线性代数下01多项式概念与带余除法

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多元多项式带余除法

多元多项式带余除法在高中数学学习中，我们经常会接触到多元多项式带余除法的概念和应用。

多元多项式带余除法是一种求解多项式除法和求余数的方法，通过使用该方法，我们可以更加方便地进行多项式的运算，也能够避免我们做错算题。

本文将分步骤介绍多元多项式带余除法的相关知识。

1. 带余除法的定义带余除法是指，对于给定的两个多项式A(x)和B(x)(B(x)≠0)，必定存在唯一一组多项式Q(x)和R(x)，满足A(x)=B(x)×Q(x)+R(x)，其中R(x)为多项式余数，且R(x)的次数小于B(x)的次数。

2. 多元多项式带余除法的基本思想在多元多项式中，我们可以把多项式看做是一个多维的矩阵，其中每个维度表示该项指数对应的变量的次数。

例如，对于多项式f(x, y, z)来说，可以表示为f(x, y,z)=a0,0,0+a1,0,0x+a0,1,0y+a0,0,1z+a2,0,0x2+…。

基于这个思想，多元多项式带余除法就是一个类似于一元多项式带余除法的过程。

假设我们要对多项式f(x, y, z)除以多项式g(x, y, z)，则首先需要找到g(x, y, z)的最高项，并将其乘以一个常数c，使得c×g(x, y, z)的最高项系数为1。

接着，我们将多项式f(x, y, z)的最高项与c×g(x, y, z)的最高项相除，得到一个多项式q0(x, y, z)。

然后，我们将q0(x, y, z)与g(x, y, z)相乘，并将结果相减，得到一个余项r0(x, y, z)。

接下来，我们将r0(x, y, z)的最高项与c×g(x, y, z)的最高项相除，得到一个多项式q1(x, y, z)，继续进行以上过程，直到余数为0为止。

3. 多元多项式带余除法的步骤多元多项式带余除法的具体步骤如下：(1) 找到g(x, y, z)的最高项，并将其乘以一个常数c，使得c×g(x, y, z)的最高项系数为1。

理解多项式除法的概念与运算

理解多项式除法的概念与运算多项式除法是代数学中的一个重要概念和运算方法，用于解决多项式之间的除法运算，对于理解和掌握多项式除法的概念与运算，有助于我们在解决数学问题时更加准确和高效地进行计算。

本文将从多项式的定义、除法的基本概念以及应用举例等方面进行论述，旨在帮助读者更好地理解多项式除法的概念与运算。

1. 多项式的定义多项式是数学中一个重要的概念，在代数学、数学分析等学科中都有广泛的应用。

多项式可以用来表示数与字母的乘积的和，通常由若干单项式相加构成。

例如，一个多项式可以表示为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anxn，其中，a0, a1, a2, ..., an为常数，x为变量，n为多项式的次数。

多项式中的a0, a1, a2, ..., an被称为多项式的系数。

2. 多项式除法的基本概念多项式除法是指对于给定的两个多项式，通过一定的运算规则，将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数的过程。

在进行多项式除法时，需要遵守以下基本原则：- 除法的次数规则：被除式的次数减去除式的次数，得到商的次数。

- 系数相除规则：对应次数的系数相除，得到商的系数。

- 余数规则：被除式减去商与除式的乘积，得到余数。

通过多项式除法，我们可以确定商和余数，进而求解方程、求根以及进行多项式的因式分解等操作。

3. 多项式除法的运算步骤进行多项式除法时，我们需要按照一定的步骤进行运算。

下面以一个具体的例子来说明多项式除法的运算步骤：例如，我们要将多项式f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6除以多项式g(x) = x - 2。

首先，按照次数规则确定除法的次数，即f(x)为三次多项式，g(x)为一次多项式，因此商的次数为3-1=2。

接下来，按照系数相除规则，我们可以确定商的系数。

首先将f(x)的最高次数项与g(x)的次数相除，得到第一项的系数，即x^3 / (x - 2) = x^2。

多项式的基本概念与运算法则

多项式的基本概念与运算法则多项式是高中数学中的重要内容之一，它广泛应用于代数运算、函数研究和数学建模等方面。

本文将介绍多项式的基本概念以及常用的运算法则。

一、多项式的基本概念多项式是由常数项、一次项、二次项等有限个单项式按照加法运算构成的代数表达式。

多项式的一般形式可以表示为：P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，其中，P(x)为多项式的名称，an、an-1、...、a1、a0为系数，n为多项式的次数，x为自变量。

多项式的次数由最高次数的单项式决定，而系数则代表单项式的系数。

例如，对于多项式P(x) = 3x4 + 2x3 - 5x2 + x - 7，其次数为4，系数分别为3、2、-5、1和-7。

二、多项式的运算法则1. 加法运算多项式的加法运算是指将相同次数的单项式相加。

例如，对于多项式P(x) = 3x2 - 2x + 5和Q(x) = 2x2 + x - 3，它们的和可以表示为：P(x) + Q(x) = (3x2 - 2x + 5) + (2x2 + x - 3) = 5x2 - x + 2。

2. 减法运算多项式的减法运算是指将相同次数的单项式相减。

例如，对于多项式P(x) = 3x2 - 2x + 5和Q(x) = 2x2 + x - 3，它们的差可以表示为：P(x) - Q(x) = (3x2 - 2x + 5) - (2x2 + x - 3) = x2 - 3x + 8。

3. 乘法运算多项式的乘法运算是指将两个多项式相乘。

例如，对于多项式P(x) = 3x2 - 2x + 5和Q(x) = 2x - 3，它们的乘积可以表示为：P(x) * Q(x) = (3x2 - 2x + 5) * (2x - 3) = 6x3 - 13x2 + 11x - 15。

在进行多项式的乘法运算时，需要应用分配律和乘法法则，逐项相乘后将同次幂的项进行合并，并按次数从高到低排列。

1.一元多项式的带余除法

所以 a0 = a1 == an = 0, 与a0, a1,, an 不全为零矛盾.
7
数域 F 上多项式全体记为 F[x], 在 F[x] 中定义加法和乘法：
ai x bi x (ai bi ) x i .
i i i 0 i 0 i 0
n
n
n
k a i x b j x i j k ai b j x . i 0 j 0 k 0 定理1 deg ( f g) max{deg f, deg g}.
g( x) bm xm bm1 x m1 b1 x b0 , an n m 这里 an 0, bm 0. 令 q1 ( x ) x , bm 记 f ( x) g( x)q1 ( x) f1 ( x), 则 deg f1 ( x) deg f ( x), 由
若 r(x) – s(x) 0, 则 q(x) – p(x) 0, deg (r(x) – s(x)) = deg (q(x) – p(x)) + deg g(x) < deg g(x), 矛盾. 所以 r(x) – s(x) = 0, q(x) – p(x) = 0. 例2
f ( x) x3 1, g( x) x 2 2 x 2, x2 2 x 2 x3 1 x3 2 x 2 2 x
a0 a1c1 an c1n 0 n a0 a1c2 an c2 0 n a0 a1cn1 an cn1 0 1 c1 c12 c1n 2 n 1 c2 c2 c2 2 n 1 c3 c3 c3 (c j ci ) 0, 1 i j n1 2 n 1 cn cn cn 2 n 1 cn1 cn1 cn1

多项式的整除性和带余除法-课件(PPT演示)PPT16页

— —西塞罗
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
多项式的整除性和带余除法-课件（PPT 演示）
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们就不再配享受自由了。—— 毕达哥拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的利益，而是为了公共的利益；一部分靠有害的强制，一部分靠榜样的效力。 ——格老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话，那么法律作为一件无用之物自己就会消灭。— —洛克

多项式的概念及运算

结果：$= x^4 + 6x^3 + 4x^2 - 8x - 4$
多项式的除法运算
定义：多项式除以除数与被除数的每一项分别相除，得到商和余数
注意事项：除数不能为0，否则无意义
举例说明：多项式除以单项式的具体运算过程
多项式的代数式展开
第三章
代数式展开的概念
代数式展开是将多项式中的代数式按照一定的顺序进行展开，得到具体的数值或表达式。代数式展开是多项式运算中的一种基本运算，是学习数学和其他学科的基础。通过代数式展开，可以更好地理解多项式的结构和性质，掌握代数运算的技巧和方法。代数式展开在解决实际问题中也有广泛应用，如求解方程、不等式、函数等。
多项式是由有限个单项式通过加减运算得到的代数式。
多项式的次数是所有单项式中次数最高的那一项的次数。
多项式中每一项的系数不能为0。
多项式中单项式的排列顺序不影响多项式的值。
举例说明多项式的形式
二次多项式：ax² + bx + c
四次多项式：ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
三次多项式：ax³ + bx² + cx + d
任意次多项式：a_0 + a_1x + a_2x² + ... + a_nx^n
多项式的运算
第二章
多项式的加法运算
定义：将两个多项式的同类项的系数相加，得到新的多项式举例：如 (2x^2 + 3x + 1) + (x^2 - 2x + 3) = 3x^2 + 1 注意事项：注意合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变运算律：满足交换律和结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)

多项式带余除法定理证明

多项式带余除法定理证明一、多项式带余除法定理设f(x)，g(x)是数域P上的两个多项式，g(x)≠0，则在数域P上存在唯一的一对多项式q(x)，r(x)，使得f(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)=0或者∂(r(x))<∂(g(x))。

这里∂(p(x))表示多项式p(x)的次数。

二、证明存在性1. 当f(x) = 0或者∂(f(x))<∂(g(x))时- 取q(x)=0，r(x)=f(x)，显然f(x)=0× g(x)+f(x)满足f(x)=q(x)g(x)+r(x)且r(x) = f(x)满足r(x)=0或者∂(r(x))<∂(g(x))。

2. 当∂(f(x))≥slant∂(g(x))时- 设f(x)=a_nx^n + a_{n - 1}x^n-1+·s+a_1x + a_0，g(x)=b_mx^m + b_{m - 1}x^m-1+·s+b_1x + b_0，其中n≥slant m。

- 令f_1(x)=f(x)-(a_n)/(b_m)x^n - mg(x)。

- 那么∂(f_1(x))<∂(f(x))。

- 如果f_1(x)=0或者∂(f_1(x))<∂(g(x))，则取q(x)=(a_n)/(b_m)x^n - m，r(x)=f_1(x)，有f(x)=q(x)g(x)+r(x)。

- 如果∂(f_1(x))≥slant∂(g(x))，对f_1(x)重复上述过程。

- 由于f(x),f_1(x),·s的次数不断降低，经过有限次这样的步骤后，必然得到f_k(x)=0或者∂(f_k(x))<∂(g(x))。

- 假设经过k次得到，此时q(x)=(a_n)/(b_m)x^n - m+·s（由每次构造q(x)的部分相加得到），r(x)=f_k(x)，满足f(x)=q(x)g(x)+r(x)。

三、证明唯一性1. 假设存在两组不同的q_1(x),r_1(x)和q_2(x),r_2(x)满足条件- 即f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)，其中r_1(x)=0或者∂(r_1(x))<∂(g(x))；f(x)=q_2(x)g(x)+r_2(x)，其中r_2(x)=0或者∂(r_2(x))<∂(g(x))。

多项式的带余除法

多项式带余除法1.多项式带余除法定理：若()f x 和()g x 是[]F x 中的两个多项式，且()0g x ≠，则在()F x 中有唯一的多项式()q x 和()r x ，满足()()()()f x q x g x r x =+其中(())(())r x g x ∂<∂，或者()0r x =。

1) 此时()q x 称为()g x 除()f x 的商式，()r x 称为余式（非0余式的次数小于除式）。

2) 当()g x x a =-时，则()()r x f a =称为余元，式中a 的F 是的元素。

此时带余除法具有形式()()()()f x q x g x f a =+，称为余元定理。

3) ()g x 是()f x 的因式的充分必要条件是()g x 除()f x 所得余式等于零。

4) 特别的，x a -是()f x 的因式的充分必要条件是()0f x =，这时称a 是()0f x =的一个根。

5) 商式与余式的计算。

2.整除的概念与性质：对数域上的任意两个多项式()f x ，()g x ，如果存在多项式()h x 满足()()()f x h x g x =那么称()g x 能整除()f x ，或()f x 能被()g x 整除记作()|()g x f x 。

此时称()g x 是()f x 的一个因式，()f x 是()g x 的一个倍式。

高等代数知识点总结

19
矩阵等价 •
A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB • 每个矩阵都行等价于唯一一个RREF矩阵 • A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ Ir 0 • 每个秩数为r的矩阵都等价于 0 0 • 对于m×n矩阵A，B下列条件等价 1. AB，即A可由初等变换化成B 2. 有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B 3. 秩A=秩B 4. A，B的标准型相同
3
重要结论： • 带余除法定理
对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x) 和r(x)使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x).
• 最大公因式的存在和表示定理
任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得 d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
(kA)T= k AT (AB)T= BT AT
(AT)T=A
|A1|=|A|1
|A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n-1
0, 若r(A)<n-1 n, 若r(A)=n
其它
A-1=|A|-1A*
定义性质
若P,Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ ) 12 =r(PAQ)
6
• 复数域上的标准分解定理
在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数.
f a( x x1 )
n1
( x xt )
nt
• 实数域上的标准分解定理
在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解

零多项式整除零多项式

唯一性得证．
§3 整除的概念 © 2009, Henan Polytechnic University
66
附：综合除法
第一章多项式
若 f ( x) an xn + an1xn-1 + L + a0 ,则 x a 除 f ( x) 的商式 q( x) bn1xn1 b0 和余式 r
１１１１１
１１１１
１ 2
１ 3
１ 4
§3 整除的概念 © 2009, Henan Polytechnic University
88
第一章多项式
例1．求 g x除 f x的商式和余式
f x x3 x2 x, g x x 1 2i
解: 由
1 2i １
＋)
１
－１ 1 2i 2i
－１ 4 2i 5 2i
则 q x g x r x q x g x r x
即 q x－q x g x＝r x－r x.
§3 整除的概念 © 2009, Henan Polytechnic University
55
第一章多项式
若q x q x，由g x 0, 有r x－r x 0
§3 整除的概念 © 2009, Henan Polytechnic University
33
第一章多项式
其中 r1 x < g( x) 或者 r1( x) 0. 于是
f x b1axnm q1 x g x r1 x.
０ 9 8i 9 8i
有 f (x) g(x) x2 2ix 5 2i 9 8i.

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Example 8.2 (P.5) f ( x) x 4 x 5x 2
3 2
find
Solution:
f ( 3)
1 + 1 4 3 7 5 21 16 2 48 46
3
f ( x ) ( x 2 7 x 16)( x 3) 46 f ( 3) 46
●
9
f ( x ) an x n an 1 x n 1 a1 x a0 q( x ) bn 1 x n 1 bn 2 x n 2 b1 x b0 f ( x ) q( x )( x ) r r f ( )
an bn 1 an 1 bn 2 bn 1 an 2 bn 3 bn 2 a1 b0 b1 a0 r b0 an bn 1 an 1 bn 1 bn 2 an 2 bn 2 bn 3 a1 b1 b0 a0 b0 r f ( )
整数环整数总是可以比较大小有些整数有整除关系有素数和合数整数有唯一素因数分解整数有公因数和公倍数整数有带余除法
多项式环F[x]
6
问题：整数环与多项式环中能否做除法？如何改进？例如:猴子分桃问题
三、带余除法
定理1 设f(x), g(x)∈F [x], g(x)≠0, 则∃唯一的 q(x), r(x)∈F[x], s.t. f (x) = q(x)g(x) + r(x) 其中，deg r(x) < deg g(x). (规定：deg 0= ∞) 证明思路：存在性:分情况讨论+对次数归纳；唯一性注记： f (x)称为被除式, g(x)称为除式, q(x)称为商式(quotient) r(x)称为余式(remainder) 当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除，记为g(x) | f(x).
推论3 设f(x)∈F[x], deg f(x)=n，则f(x)在F 的扩域K中至多有n个互异零点. 证明思路：反证法最简单
这个条件很重要
推论4 设f(x)∈F[x], deg f(x)=n，若f(x)在F 的某个扩域 K中有多于n个互异零点，则 f(x) ≡ 0. 推论5 设f(x), g(x)∈F[x], deg f(x)≤ n, deg g(x)≤ n，若f(αi)= g(αi), i=1,2,···, n+1，其中αi∈F，且αi≠αj, i≠j，则 f(x)=g(x). 注记：n+1个点及其函数值，可确定一个n次多项式
上述表达式，可简化为下表（综合除法）
an

an 1 a1 a0 bn 1 b1 b0 b0 r
bn 1 bn 2
其中
f ( x ) an x n an 1 x n 1 a1 x a0 q( x ) bn 1 x n 1 bn 2 x n 2 b1 x b0 f ( x ) q( x )( x ) r r f ( )
i 1 i i i n 1
bi F ( x ) = i 1 ( x ai ) F ( ai )
其中 F ( x ) : ( xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ai )
i 1 n 1
n 1
14
作业:习题八 1,2,4,5,9, 11,13,15
15
下节内容: 多项式的最大公因式与互素
《线性代数2》
杨晶
第一讲
多项式概念 & 带余除法
2012年 2月20日
1
本讲提要
多项式的概念与带余除法
一、代数基本系统简介：群、环、域二、多项式的概念与运算三、带余除法四、拉格朗日(Lagrange)插值公式
2
一、代数基本系统简介
群(Group)：一个集合G及其中的一个二元运算(记为*) 封闭性: a*b∈G 群的口诀： “凤姐咬你” 结合律: (a*b)*c= a*(b*c) 单位元(幺元): ∃!e, s.t. e*a=a*e=a (∀a∈G) 逆元: ∀a∈G, ∃ , s.t. b*a=a*b=e, 记 b=a-1. 交换群： “凤姐咬你脚” 交换群：二元运算还满足交换律的群. 群的例子: ( ,+), ( ,*), {偶整数,+}, (Mn( ),+). (Mn( ),*)? {奇整数,+}? 环(Ring): 一个集合R, 其中有两种运算，分别记为+和× +法构成交换群（凤姐咬你脚） ×法构成半群（封闭性&结合律：凤姐）例如: (Z,+,×) 域(Filed): 乘法也构成交换群的环（凤姐咬你双脚） 3 如：ℚ, , . ? Mn( )?
n i 0 n m
∑
,g
(n m)
∑
f ( x ) g ( x ) ( ai bi ) x i
f ( x) g( x)
运算后的次数:
(
k 0
i jk

ai b j ) x k .
何时取小于号？
deg( f g ) max{deg f , deg g } deg( fg ) deg f deg g
7
Example 8.1 (P.4) 设 f x 1, g ( x ) x 2 x 2
3 2
求多项式 q r 使得 f qg r and deg r deg g
长除法：
x 2 q( x )
x3 x 2x 2x
3 2 2
建议用“厂”形竖图
x 2x 2
2
1 2x 2x 1
2 x2 4 x 4 6 x 5 r( x)
推论1 (余数定理) 设f(x) ∈F [x], α∈F，则∃!q(x) ∈F [x], s.t. f(x) = (x − α)q(x) + f(α). 证明思路：设f(x)=(x−α)q(x)+r, 将x=α代入得r= f(α). 推论 2 设 f(x)∈F[x], α∈F，则 f(α) = 0 ⇐⇒ x−α | f (x). 其中，α 称为根或零点. 特别地，对于f(x)除以(x−α) ，还有一个更简便的方法叫综合除法 f(x) = (x − α)q(x) + r
规定 deg 0= ∞ 零多项式：f(x)=0, 即所有ai=0. 零次多项式：f(x)= a0, 即只有常数项, 则deg f(x)=0.
多项式相等：设 ∑ ,g ∑
4
f(x) = g(x) ⇐⇒ n = m, 且ai = bi, i = 0, 1, • • • , n.
多项式的运算:设
F 上的一元多项式环：F上全体多项式对于加法和乘法构成环，记为F[x]. （请自行验证） F上次数<n的全体多项式记为：（是否也构成环？）
t i Fn[ x ] ai x t n, ai F , i 1, 2, ..., t i 0
5
与整数环类似乘法交换律，乘法消去律总可拿与F[x]做类比 f (x)g(x) = g(x)f (x) 若 f(x)≠0，则 f (x)g(x) = f (x)h(x) =⇒ g(x) = h(x).
二、多项式的概念与运算
定义1 (一元多项式) F −数域，x− 符号(未定元)，形式为：
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0
其中 ai∈F, i = 0,1,···,n, 且an≠0. 则 f(x) 称为数域 F上的关于 x的一元多项式(polynomial). aixi称 i次项，ai称i次项系数， an称首项系数, a0称常数项. n 称为f(x)的次数(degree)，记作 deg f(x).
具体如何确定各项系数呢？
13
四、拉格朗日(Lagrange)插值公式
问题：给定F中n+1个不同的数：a1, a2,···, an+1及任意 n+1个数 b1, b2,···, bn+1，求一个次数 ≤ n的多项式f(x)，s.t. f(ai)=bi, i=1,2,···, n+1. 分析：特殊情况入手, 即b1≠0, b2=···=bn+1=0, 用零点构造满足条件的f1(x), 再求和. n 1 结论： bi ( x a1 ) ( x ai ) ( x an1 ) f ( x) ) i 1 ( a a ) ( a a ) ( a a