带余除法

| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2知识站牌第十一讲带余除法和余数性质| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲2.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

第十四讲 带余除法【知识要点】1、带余除式可以表示成：a ÷b ＝q …r ，0≤r<b(1)当r=O 时，我们称a 能被b 整除； (2)当r=0时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的不完全商(简称商)。

2、如果两个整数对于除数A(A 是不为0的自然数)来说是同余的，那么这两个整数的差一定能被A 整除。

这是同余的一条重要性质。

【例题精析】例1：两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商与余数的和是866，求被除数和除数。

【思路点拔】由a ÷b ＝q …r 可得：被除数＋除数=866—8—22＝836，“两个数相除，商是22，余数是8”，可以理解为“被除数比除数的22倍还多8”。

如果把除数看做1倍数， 那么可转化成"和倍问题”，除数=(836—8)÷(22+1)=36(注意8是要减两次的)，被除数=36×22+8=800。

例2：一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少?【思路点拔】 题意可以理解成：这个自然数是3的倍数少2；5的倍数少2；7的倍数少2．所以，可先求出3、5、7的最小公倍数，然后减去2即可。

[3，5，7]＝105， 105－—2＝103．例3：有一个整数，除300，262，205得到的余数相同，这个数是多少?【思路点拔】 由同余性质—“如果两个整数对于除数A(A 是不为0的自然数)来说是同余的，那么这两个整数的差一定能被A 整除”，可知(300—262)，(300—205)，(262—205) 这些差也能被整除，得：300—262＝38=19×2 300—205=95＝19×5 262—205＝57＝19×3 这三个差中公因数只有19，所以这个整数是19．例4： 整数120041111个被6除的余数是几? 【思路点拔】 120041111个＝ 120011111个×1000+11l ，因为120011111个×1000 能同时被2、3整除，所以 120011111个×1000也能被6整除，那么就只有看最后的111，111除以6余3；因此120041111个被6除余3。

课件contents•引入与概念•运算方法与步骤目录•实例分析与计算•应用场景与拓展•练习题与答案解析引入与概念01如何分配物品，使得每个人得到的数量不同？在日常生活中，遇到不能整除的情况怎么办？有余数除法在实际问题中的应用有哪些？引入问题有余数除法定义有余数除法的概念两个整数相除，不能整除时，商为整数，余数为非零整数的除法运算。

余数的定义在整数除法中，被除数减去除数与商的乘积后所得的数。

有余数除法表示方法a ÷b =c …… r，其中a为被除数，b 为除数，c为商，r为余数。

无余数除法中，被除数能被除数整除，商为整数；有余数除法中，被除数不能被除数整除，商为整数，余数为非零整数。

结果差异无余数除法满足结合律和交换律；有余数除法不满足这些运算性质。

运算性质无余数除法常用于等分、计算比例等问题；有余数除法常用于解决分配、周期等问题。

应用场景与无余数除法区别运算方法与步骤02将被除数、除数和商按照竖式格式排列。

列竖式如果余数大于除数，说明试商偏小，需要调大；如果余数小于除数，说明试商偏大，需要调小。

调整根据被除数和除数的大小，估计一个接近的商。

试商将试商与除数相乘，得到积。

相乘将被除数减去积，得到余数。

相减0201030405竖式运算方法运算步骤详解观察被除数和除数的大小关系，确定商的位数。

从被除数的最高位开始，依次与除数相除，得到每一位的商和余数。

将每一位的商相加，得到最终的商。

根据被除数的最高位和除数的最高位进行试商，确定商的最高位。

010204注意事项在列竖式时，要保证被除数、除数和商的位数对齐。

在试商时，要根据被除数和除数的大小关系进行估计，避免过大或过小的试商。

在相乘和相减时，要注意运算顺序和符号问题。

在得到最终的商后，要检查余数是否为零，以确保运算的正确性。

03实例分析与计算03例子1：23 ÷5 = 4...3计算过程：23 -5 ×4 = 3被除数为17，除数为3，商为5，余数为2。

多项式带余除法1.多项式带余除法定理：若()f x 和()g x 是[]F x 中的两个多项式，且()0g x ≠，则在()F x 中有唯一的多项式()q x 和()r x ，满足()()()()f x q x g x r x =+其中(())(())r x g x ∂<∂，或者()0r x =。

1) 此时()q x 称为()g x 除()f x 的商式，()r x 称为余式（非0余式的次数小于除式）。

2) 当()g x x a =-时，则()()r x f a =称为余元，式中a 的F 是的元素。

此时带余除法具有形式()()()()f x q x g x f a =+，称为余元定理。

3) ()g x 是()f x 的因式的充分必要条件是()g x 除()f x 所得余式等于零。

4) 特别的，x a -是()f x 的因式的充分必要条件是()0f x =，这时称a 是()0f x =的一个根。

5) 商式与余式的计算。

2.整除的概念与性质：对数域上的任意两个多项式()f x ，()g x ，如果存在多项式()h x 满足()()()f x h x g x =那么称()g x 能整除()f x ，或()f x 能被()g x 整除记作()|()g x f x 。

此时称()g x 是()f x 的一个因式，()f x 是()g x 的一个倍式。

1) 1|(),()|(),()|0f x f x f x f x ,…2) 若()()()()f x h x g x r x =+符合带余除法定理，则()|()g x f x 当且仅当余式()0r x =3) 若()|()g x f x ，()|()f x h x 则()|()g x h x4) 若()|(),1,2,3....i g x f x i s =，则对任意的1()[],()|()()si i i i u x F x g x u x f x =∈∑5) 若()|()g x f x ，()|()f x g x 则，()()f x cg x =其中c 为非零常数6) 多项式的整除性质与数域无关经典例题1.(中国人民大学1991)多项式()f x 除以(0)ax b a -≠所得余式__()b a f __ 解：设()()()f x ax b q x A =-+ 将b ax =代入上式，得()b a f A =，由商式和余式的唯一性即可。

有余数的除法有余数的除法对于任意一个整数除以一个自然数，一定存在唯一确定的商和余数，使被除数=除数×商+余数（0≤余数＜除数）也就是说，整数a除以自然数b，一定存在唯一确定的q和r，使a=bq＋r （0≤r＜b）成立．我们把对于已知整数a和自然数b，求q和r，使a=bq＋r（0≤r＜b）成立的运算叫做有余数的除法，或称带余除法．记为a÷b=q（余r）或a÷b=q…r读作“a除以b商q余r”，其中a叫做被除数，b叫做除数，q叫做不完全商（简称商），r叫做余数．例如5÷7=0（余5），6÷6=1（余0），29÷5=5（余4）．解决有关带余问题时常用到以下结论：（1）被除数与余数的差能被除数整除．即如果a÷b=q（余r），那么b｜（a-r）．因为a÷b=q（余r），有a=bq＋r，从而a-r=bq，所以b｜（a-r）．例如39÷5=7（余4），有39＝5×7＋4，从而39-4=5×7，所以5｜（39-4）（2）两个数分别除以某一自然数，如果所得的余数相等，那么这两个数的差一定能被这个自然数整除．即如果a1÷b=q1（余r），a2÷b=q2（余r），那么b｜（a1-a2），其中a1≥a2．因为a1÷b=q1（余r），a2÷b=q2(余r），有a1=bq1+r，a2=bq2＋r，从而a1-a2=（bql＋r）-（bq2＋r）=b（q1-q2），所以b｜(a1-a2)．例如，22÷3=7（余1），28÷3=9（余1），有22=3×7＋1，28=3×9＋1，从而28-22=3×9-3×7＝3×（9-7），所以3｜（28-22）．（3）如果两个数a1和a2除以同一个自然数b所得的余数分别为r1和r2，r1与r2的和除以b的余数是r，那么这两个数a1与a2的和除以b的余数也是r．例如，18除以5的余数是3，24除以5的余数是4，那么（18+24）除以5的余数一定等于（3＋4）除以5的余数（余2）．（4）被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变，余数的也随着扩大（或缩小）相同的倍数．即如果a÷b=q（余r），那么（am）÷（bm）=q （余rm），（a÷m))÷（b÷m）=q（余r÷m）（其中m｜a，m｜b）．例如，14÷6=2（余2），那么（14×8）÷（6×8）＝2（余2×8），（14÷2）÷（6÷2）=2（余2÷2）．下面讨论有关带余除法的问题．例1节日的街上挂起了一串串的彩灯，从第一盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏绿灯，2盏蓝灯的顺序重复地排下去，问第1996盏灯是什么颜色？分析：因为彩灯是按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏绿灯，2盏蓝灯的顺序重复地排下去，要求第1996盏灯是什么颜色，只要用1996除以5＋4＋3＋2的余数是几，就可判断第1996盏灯是什么颜色了．解：1996÷（5＋4＋3＋2）=142 (4)所以第1996盏灯是红色．例2把1至1996这1996个自然数依次写下来，得一多位数123456789101112……199419951996，试求这一多位数除以9的余数．分析：从前面我们学习被9整除的特征知道，一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，这个数必能被9整除．所以一个数除以9的余数，与这个数的各个数位上的数字之和除以9的余数正好相等．这样问题转化为求1至1996这1996个自然数中所有数字之和是多少，然后用这个和除以9所得的余数即为所求．解：将0至1999这2000个整数一头一尾分成如下1000组：（0，1999），（l，1998），（2，1997），（3，1996），……，（997，1002），（998，1001），（999，1000）．以上每一组的两数之和都是1999，并且每一组两数相加时都不进位，这样1至1999这1999个自然数的所有数字之和等于：（1＋9＋9+9）×1000=28000而1997至1999这3个自然数所有数字之和为：1×3+9×3+9×3＋7+8+9=81所以从1至1996这1996个自然所有数字之和为:28000-81=2791927919÷9=3102 (1)所以123456789……199419951996除以9的余数是1．另外：因为依次写出的任意连续9个自然数所组成的位数一定能被9整除．而1至1996共有1996个连续的自然数，且1996÷9=221…7，最后7个自然数为1990，1991，1992，…1996，这7个数的所有数字之和为：1×7＋9×7+9×7+1＋2＋3＋…+6=154154÷9=17 (1)所以123456789……199419951996这个多位数被9除余1．为什么依次写出任意连续9个自然数所组成的多位数一定能被9整除呢？这是因为任意连续的9个自然数各数位上的数字之和除以9的余数，必是0，1，2，…，7，8这9个数，而各数位上的数字之和除以9的余数，就等于这9个数之和0+1+2+…+8除以9的余数，由于0＋1＋2+…＋8=36能被9整除，所以任意连续的9个自然数各数位上的数字之和必能被9整除，因此任意连续9个自然数所组成的多位数必能被9整除．分析：首先要找到最少几个8连在一起得到的自然数能被7整除，这只要直接用除法进行试验来得出．88÷7＝12…4，888÷7=126…6，8888÷7＝1269…5，88888÷7=12698…2，888888÷7=126984，最少6个8能被7整除，凡是6的整数倍个8均能被7整除，而1996÷6=332…4，解：因为888888÷7=126984，1996÷6=332…4，8888÷7=1269…例4一个数除93，254得到相同的余数，除163所得的余数比上面的余数大1，求这个数．分析：因为这个数除93，254得到的余数相同，除163所得的余数比上面的余数大1，如果除162所得的余数应与上面的余数完全相同．这样将问题转化成相同余数的问题，根据前面结论（2）转化成整除问题，问题就可以得到解决．解：设这个数为a，则a除93，254，162，得到相同的余数，于是有：93＝aq1＋r，254＝aq2＋r,162＝aq3＋r这样a｜（254-162），a（162-93），即a是92和69的公约数，（92，69）=23，23的公约数是1，23，但a≠1，所以a=23．例5一个自然数在1000到1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求这个自然数，分析：先求出被3除余1的数，然后在其中找到除以5余2的数，最后在这些数中找出除以7余3的最小自然数，这个数必然满足被3除余1，被5除余2，被7除余3的最小自然数．再加上3，5，7的公倍数，使得和在1000到1200之间．解：被3除余1的数为：4，7，10，13，16，19，22，…，其中被5除余2的数为：7，22，37，52，67，…，这其中被7除3的最小自然数52，又因为[3，5，7]=105，所以所求数可表示为52＋105m，m是自然数，当m=10时，52＋105×10=1102即为所求．例6如图18—1，图中是一个按一定规律排列的数表，将自然数的所有奇数排成A、B、C、D、E、F六列，问1997出现在哪一列打头字母下？ABCDEF1357919171513112123252729393735333141…………图18—1分析：从数表中可以看出，每两排共10个数为一个循环周期．1997是第（1997＋1）÷2=999个奇数．凡被10除余1或9在B列，被10除余2或8在C列，被10除余3或7在D列，被10除余4或6在E列，被10除余5在F列，被10整除在A列．这样很容易求出第999个奇数除以10的余数，从而得到1997在哪一列．解：因为每两排共10个数为一个循环周期，1997是第（1997+1）÷2=999个奇数，又999÷10=99…9，所以1997在B列．。

带余除法知识框架带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2、余数的性质⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲【例 1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。

【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】2009年，希望杯，第七届，四年级，复赛，第2题，5分【解析】125【答案】125【巩固】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。

【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，四年级，复赛，第3题【解析】因为最大的三位数为999，999362727⨯+=÷=，所以满足题意的三位数最大为：36278980【答案】980【例 2】除法算式÷□□=208中，被除数最小等于。

【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】2007年，第5届，希望杯，4年级，初赛，4题【解析】本题的商和余数已经知道了，若想被除数最小，则需要除数最小即可，除数最小是819+=，所以本题答案为：20×（8+1）+8=188.【答案】188【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。

带余除法与整除性判断带余除法是一种数学运算方法，用于计算两个数相除的商和余数。

它可以帮助我们判断一个数能否整除另一个数。

本文将介绍带余除法的概念和使用方法，并详细解释如何利用带余除法进行整除性判断。

一、带余除法的概念带余除法又称为长除法，是一种将除数逐步从被除数中减去并计数的方法，直到无法再减去时得到的商为止。

在进行带余除法时，除数通常为整数，而被除数可以是任意实数。

二、带余除法的使用方法1. 将被除数写在除号上方，除数写在除号下方。

2. 从被除数中取出与除数位数相同的数字作为第一个除数位数。

3. 判断第一个除数位数能否整除除数，如果可以，则将商写在上方对应位置，否则向后取一位进行下一步计算。

4. 将上一步中得到的商乘以除数，并在下面写出结果。

5. 将上一步中得到的结果减去被除数，并将差写在下方。

6. 重复以上步骤，直到无法再减去被除数为止。

三、整除性判断利用带余除法，我们可以判断一个数能否整除另一个数。

如果在整个带余除法的过程中，被除数始终能够被整除，则被除数是除数的倍数，即可以整除。

如果在带余除法的过程中出现了余数，则被除数不能整除除数。

例如，我们要判断36能否被9整除：1. 将36写在除号上方，9写在除号下方。

2. 取出与除数位数相同的数字3，作为第一个除数位数。

3. 9可以整除3，商为3，将3写在上方对应位置。

4. 3乘以9得27，将27写在下方。

5. 36减去27得到9，将9写在下方。

6. 9可以整除9，商为1。

7. 1乘以9得到9，将9写在下方。

8. 9减去9得到0，此时已无法再减去被除数，整个过程结束。

因此，36能够被9整除。

通过带余除法，我们不仅可以判断整除性，还可以得到具体的商和余数。

这在数学计算和实际生活中都具有重要的应用价值。

综上所述，带余除法是一种实用的数学运算方法，可以帮助我们判断一个数能否整除另一个数。

通过正确运用带余除法，我们能够快速准确地进行整除性判断，提高解题效率。

带余除法的计算在数学中，带余除法是一种常见的算术运算方法，用于计算两个整数相除时的商和余数。

带余除法的计算方法简单易懂，可以应用于多种实际问题的求解。

本文将介绍带余除法的基本概念、计算过程以及一些应用案例。

一、带余除法的基本概念带余除法，也称为余数定理或欧几里德除法，是指在两个整数相除时，得到的商和余数的关系。

该定理的表述如下：对于任意的整数a和正整数b（b不等于零），存在唯一的整数q和r，满足a =b * q + r，其中0 ≤ r < |b|其中，a称为被除数，b称为除数，q称为商，r称为余数。

二、带余除法的计算过程带余除法的计算过程包括以下几个步骤：1. 确定被除数a和除数b的值。

2. 将被除数a除以除数b，得到商q和余数r。

3. 检查余数r的值是否满足0 ≤ r < |b|的条件，如果不满足，则需要进行调整。

4. 返回计算结果，包括商q和余数r。

三、带余除法的应用案例1. 求解方程：带余除法可以用于求解一元多项式的除法运算。

例如，我们希望求解多项式f(x)除以多项式g(x)的商和余数，可以利用带余除法进行计算。

2. 分配资源：在实际的资源分配问题中，带余除法可以用于确定每个参与者能够获得的均等份额和剩余数量。

例如，一辆卡车运送货物，希望将货物平均分配给多个收货点，那么带余除法可以用来确定每个收货点能够分得的货物数量以及剩余的货物数量。

3. 时间计算：在时钟和日期计算中，带余除法可以用于确定给定的时间段内包含多少个完整的周期，并计算剩余的时间。

例如，计算一段时间内包含多少个整小时或者计算某一天的是星期几等问题。

四、总结带余除法是一种常用的算术运算方法，用于计算两个整数相除的商和余数。

本文介绍了带余除法的基本概念、计算过程以及一些应用案例。

通过学习和掌握带余除法，我们可以更好地理解和应用数学知识，解决实际问题。

带余除法在数学的各个领域都有广泛的应用，希望读者通过本文的介绍能够对带余除法有更深入的认识和理解。