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第二次课 整除的概念教学目标要求：理解多项式整除概念和性质,熟练掌握带余除法及整除的性质。
教学内容：１．带余除法定理和综合除法 ２．整除的概念 ３．整除的性质。
教学重点与难点：多项式整除的概念和性质,带余除法定理；带余除法定理的理论证明.．一、 带余除法与综合除法１．带余除法定理1 设f (x ), g (x )都是F [x ]中的多项式,且g (x )≠0,那么总可以在F [x ]中找到q (x )和r (x ),使得f (x )=g (x )q (x )+r (x )这里r (x )=0或者r (x )的次数小于g (x )的次数,满足以上条件的q (x )和r (x )只有一对. 证明 : 可行性若是f (x )=0或者f (x )的次数小于g (x )的次数,取q (x )=0,r (x )=f (x ),可使（2）式成立.若 0∂(f (x ))≥0∂(g (x )),令f (x )=a 0x n +a 1x n -1+…+a n -1x +a ng (x )=b 0x m +b 1x m -1+…+b m -1x +b m这里 a 0≠0,b 0≠0,且n ≥mg (x )=b 0x m +b 1x m -1+…+b m -1x +b m mn m n n n n n x a b x a b x f a x a n a x a ------+=++++110100101110)(1111111010)(n n n n a x a x a x f x a +++=+-2221,21220210)(n n n n a x a x a x f x a ++++-由此得： )()()(0101x g x a b x f x f m n ---=,)()()(01012x g x a b x f x f m n ---=,………………)()()(10,1101x g x a b x f x f m n k K k k ------=而 f k (x )=0或f k (x )=0的次数小于m ,把这些等式加起来得)())(()(110,1101010010x f x a b x a b x a b x g x f k m n k m n m n k ++++=-------- 取 )()(,)(110,1101010010x f x r x a b x a b x a b x q k m n k m n m n k =+++=-------- ,命题得证.唯一性：若还有q ’(x ),r ’(x ),使f (x )=g (x )q ’(x )+r ’(x ),则由f (x )=g (x )q (x )+r (x ),得g (x )(q (x )-q ’(x ))=r ’(x )-r (x ).。
小学数学教案学习除法的整除与余数小学数学教案：学习除法的整除与余数【教学目标】1. 熟练掌握整除和余数的概念；2. 学会使用除法进行计算，并正确理解计算结果的含义；3. 能够运用所学知识解决实际问题。
【教学准备】黑板、白板、教具卡片、小白板、彩色粉笔、计算器。
【教学过程】一、导入老师用彩色粉笔写出一个算式“20 ÷ 4 = ?”，并强调除法是一种运算方法，用来平均分配或分组。
请学生思考并回答这个算式的含义和结果。
二、概念解释1. 整除：当一个数能够被另一个数整除时，我们就称前面的数为后面的数的倍数，并且没有余数。
2. 余数：当一个数不能被另一个数整除时，我们进行除法运算时得到的剩余数就是余数。
三、例题讲解1. 老师设计一个例题：“36 ÷ 6 = ?”，请学生思考并回答这个算式的含义和结果。
然后进行解答，解释36被6整除得到的商为6，没有余数。
2. 老师设计另一个例题：“27 ÷ 5 = ?”，请学生思考并回答这个算式的含义和结果。
然后进行解答，解释27被5整除得到的商为5，余数为2。
强调余数表示无法完全平均分配或分组的数量。
四、巩固练习老师分发教具卡片，每张卡片上有一个除法算式。
学生们需要根据算式计算商和余数，并在小白板上写出算式和结果。
然后轮流回答问题，并解释自己的答案。
五、拓展应用老师提供一些实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。
例如：“班级里有27个学生，老师要将他们平均分成5个小组，每个小组应该有多少人？是否能够完全平均分配？如果不能，会有多余的人分在哪个小组？”学生们用除法算出每组应有的人数为5人，余数为2人，最后一个小组多余2人。
【教学总结】老师对本节课的内容进行总结，强调整除的概念、余数的含义以及学生们的学习成果。
提醒学生在日常生活中多运用除法进行计算，加深对整除和余数的理解。
【课后作业】完成课堂练习题，巩固所学知识。
同时，观察生活中的分配和分组情况，并尝试用除法进行计算和分析。
原题目：多项式的整除性质
多项式的整除性质
在代数学中，多项式的整除性质是一种非常重要的属性。
它描
述了多项式之间的除法关系。
本文将介绍多项式的整除性质及其应用。
定义
设A(x)和B(x)是两个多项式，如果存在另一个多项式C(x)，
使得A(x) = B(x) * C(x)，则称B(x)可以整除A(x)，记作B(x) | A(x)。
整除定理
多项式的整除性质可以通过整除定理来描述。
整除定理指出，
当B(x)是一个一次多项式，即B(x) = ax + b，并且B(x)整除A(x)时，A(x)在x = -b/a时取值为零。
应用
多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
一些重要的应用包括：
1. 确定多项式的公因式：如果B(x)整除A(x)，则B(x)是A(x)的一个公因式。
这可以用来简化多项式、分解多项式或找到多项式的根。
2. 带余除法：根据整除性质，可以使用带余除法来将一个多项式除以另一个多项式。
带余除法是一种有效的算法，可以用于多项式的除法运算。
3. 多项式的因式分解：利用多项式的整除性质，可以将一个多项式因式分解为较低次数的多项式乘积的形式。
这在代数学和数值计算中都是非常重要的操作。
4. 多项式的最大公因式：通过利用多项式的整除性质，可以求解多项式的最大公因式。
最大公因式是两个或多个多项式共有的最高次数的公因式。
总结
多项式的整除性质是一种重要的代数属性，它描述了多项式之间的除法关系。
整除定理提供了判断多项式整除性的方法，而多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
第4章 多项式4.1整数的一些整除性质教学内容：4.1整数的一些整除性质教学目标：掌握整除的性质及带余除法，掌握最大公因数与互素的概念及互素的一些简单性质授课时数：2学时教学重点：整除的性质、带余除法、最大公因数存在定理教学难点：带余除法定理及最大公因数存在定理的证明（定理4.1.1与定理4.1.2的证明）教学过程：一、整数的整除1、整除的定义定义1 设,a b 是两个整数。
如果存在一个整数q 使得b aq =，则称a 整除b ，或称b 被a 整除，记作|a b ，也说a 是b 的因数，b 是a 的倍数。
如果对任意整数q ，都有b aq ≠,则称 a 不整除，记作|a b 。
注：用乘积的等式来定义整除，给后面的讨论带来方便，这是研究方法上的一个进步。
例1 3|6,3|6,5|11,0|0,0|(0),|0.b b a -≠2、整除与除法的区别除法中不能用0作除数；由于整除是由乘积的等式来定义的，有0|0。
二．整除的基本性质根据定义，容易推出整除的基本性质：1）若|,|,a b b c ,则|a c 。
2）若|,|a b a c ,则.|()a b c +。
3）若|,a b c Z ∈,则|a bc 。
4）若|,1,2,,i a b i n = ，,对任意12,,,n c c c Z ∈ ,则有1122|()n n a b c b c b c +++ 。
* 4）是2、3）的推广5）对于任意整数a 有，|0,1|,|a a a a ±±。
6）若|a b 且|b a ，则|b a ±。
6）的证明：按定义，存在整数,c d ，使得,b ac =且a bd =。
将b ac =代入a bd =，有()()a bd ac d a cd ===。
若0a =，则0b ac a ===；若0a ≠，则由消去律得1ad =，因此1c d ==±，于是|b a ±。
例2 若3|n ，且7|n ，则21|n 。
多项式带余除法的教学设计引言多项式带余除法是高中数学课程中重要的内容之一，它是多项式运算的重要基础，对于学生理解多项式的结构和运算规律具有重要意义。
本文旨在设计一个教学方案，帮助学生理解多项式带余除法的概念、过程和应用。
一、教学目标1. 掌握多项式带余除法的定义；2. 理解多项式带余除法的过程；3. 掌握使用多项式带余除法解决实际问题的方法；4. 培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容1. 多项式的定义和基本运算；2. 多项式的次数、项数和系数；3. 多项式的因式分解；4. 多项式除法的定义和性质；5. 多项式带余除法的概念和过程；6. 多项式带余除法的应用。
三、教学过程1. 导入（5分钟）通过简单的例子引发学生对多项式带余除法的疑惑，激发他们学习的兴趣和求知欲。
2. 知识讲解（20分钟）介绍多项式的定义和基本运算，帮助学生理解多项式的构成和运算规则。
同时，解释多项式的次数、项数和系数的概念，并讲解多项式的因式分解。
然后，引入多项式除法的定义和性质，为多项式带余除法的学习做铺垫。
3. 多项式带余除法的概念和过程（30分钟）首先，介绍多项式带余除法的概念，解释为何要进行多项式带余除法以及其作用。
然后，详细讲解多项式带余除法的步骤和操作方法，通过示例演示如何进行多项式带余除法。
帮助学生理解多项式带余除法的过程和计算步骤，并注意引导学生注意多项式带余除法中的细节和注意事项。
4. 多项式带余除法的应用（30分钟）以实际问题为背景，帮助学生应用多项式带余除法解决问题。
通过具体的例子，让学生理解多项式带余除法在实际问题中的应用价值，并培养学生分析问题、解决问题的能力。
5. 练习和巩固（20分钟）布置一定数量的练习题，让学生在课堂上完成，然后进行批改和讲解。
通过多次练习，巩固学生对多项式带余除法的理解和应用能力。
6. 拓展与展望（10分钟）引导学生思考多项式带余除法的拓展问题，如多项式的整除性质、余式的性质等。
