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第一章试验数据的误差分析（I）教学内容与要求（1）了解真值的基本概念，理解平均值的表示方法；（2）理解误差的基本概念及表示方法；（3）理解试验数据误差的来源及分类；（4）理解描述试验数据的精准度的三个术语：精密度、正确度和准确度；（5）理解随机误差的估计方法，理解秩和检验法在系统误差检验中的应用，掌握可疑数据的取舍规则；（6）理解有效数字的含义、有效数字的运算；（7）掌握误差的传递的基本原理；（8）了解Excel在误差分析中的应用。
（II）教学重点可疑数据的取舍规则，误差的传递。
（III）教学难点误差的传递。
通过实验测量所得的大批数据是实验的初步结果，但在实验中由于测量仪表和人的观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，即误差的存在是必然的，具有普遍性的。
因此，研究误差的来源及其规律性，尽可能地减小误差，以得到准确的实验结果，对于寻找事物的规律，发现可能存在的新现象是非常重要的。
误差估算与分析的目的就是评定实验数据的准确性，通过误差估算与分析，可以认清误差的来源及其影响，确定导致实验总误差的最大组成因数，从而在准备实验方案和研究过程中，有的放矢地集中精力消除或减小产生误差的来源，提高实验的质量。
目前对误差应用和理论发展日益深入和扩展，涉及内容非常广泛，本章只就化工基础实验中常遇到的一些误差基本概念与估算方法作一扼要介绍。
1.1 实验数据的真值和平均值1.1.1真值真值是指某物理量客观存在的确定值。
对它进行测量时，由于测量仪器、测量方法、环境、人员及测量程序等都不可能完美无缺，实验误差难于避免，故真值是无法测得的，是一个理想值。
在分析实验测定误差时，一般用如下方法替代真值：(1)实际值是现实中可以知道的一个量值，用它可以替代真值。
如理论上证实的值，像平面三角形内角之和为180°；又如计量学中经国际计量大会决议的值，像热力学温度单位—绝对零度等于－273.15K；或将准确度高一级的测量仪器所测得的值视为真值。
▪ 第一章 误差和精度的基本概念▪ 误差公理① 测量结果都具有误差，误差自始自终存在于一切科学实验和测量的过程之中。
② 误差是不相等的，即误差具有不确定性。
③ 误差一般是未知的，因为真值是未知的。
因此研究误差通常从残余误入手 。
④ 由于误差的不确定性，所以可以把误差看成是随机变量，可以利用概率论与数理统计学来研究误差。
注：由于误差的不可避免性，对测量误差的分析和处理就成为测量工作中的重要问题。
误差估计过大，会造成不必要的浪费，误差估计过小，会使测量准确度低，导致实验失败或影响产口 质量。
只有在准确估计测量误码差，合理使用实验设备，正确选用测量方法，严格控制测量 环境条件的情况下，才能获得与测量准确度要求相适应的测量结果。
2. 测量设备误差包括标准器件误差，装置误差，附件误差标准器件误差是指设计测量装置时，由于采用近似原理所带来的工作原理误差 。
一般要求标准器件的误差占总误差的1/3～1/10。
装置误差是指设备出厂时校准与定度所带来的误差 。
附件误差是指元器件老化、磨损、疲劳所造成的误差 。
3.测量方法误差指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等原因所引起的误差 ，又称为理论误差4.测量环境误差指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。
5. 测量人员误差测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。
6.误差的来源主要有：(1) 仪器误差:零部件变形及其不稳定性，信号处理电路的随机噪声等。
(2) 环境误差:温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。
(3) 人员误差:瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。
（4）方法误差：指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等原因所引起的误差 ，又称为理论误差。
7.绝对误差 0x x x -=∆（绝对误差=测得值-被测量的真值，常用约定真值代替 ）特点：① 绝对误差是一个具有一定的大小、符号及单位的量。
单位：给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。
误差的基本概念误差的基本概念误差是指实际值与理论值或标准值之间的差异，它是一种客观存在的量，是科学研究、工程设计和生产制造等领域中不可避免的问题。
在现代科学技术和经济管理中，误差的控制和评定是非常重要的。
一、误差的分类1. 绝对误差：指实际值与理论值或标准值之间的代数差。
2. 相对误差：指绝对误差与理论值或标准值之比。
3. 系统误差：指在同样条件下进行多次测量时，由于仪器、环境等因素引起测量结果偏离真实值而形成的常规性偏离。
系统误差也被称为仪器误差或固有偏离。
4. 随机误差：指在同样条件下进行多次测量时，由于各种因素引起测量结果随机地偏离真实值而形成的非常规性偏离。
随机误差也被称为非系统性偏离。
二、误差的来源1. 人为因素：如操作不当、读数不准确、观察角度不同等。
2. 仪器因素：如仪器的精度、灵敏度、分辨率等。
3. 环境因素：如温度、湿度、气压等。
4. 样品因素：如样品的形状、大小、密度等。
三、误差的控制误差的控制是科学研究和生产制造中必须重视的问题。
以下是误差控制的几个方面：1. 提高人员技能水平，加强对测量方法和仪器使用规范的培训。
2. 选用精度较高、稳定性好的仪器，并按照使用说明进行正确操作和维护。
3. 控制环境条件，确保测量环境稳定，避免外界干扰。
4. 对样品进行预处理，使其符合测量要求。
5. 采用多次测量并取平均值来减小随机误差，同时对系统误差进行校正。
四、误差评定误差评定是指对实验或生产过程中产生的误差进行判断和分析。
以下是误差评定的几个方面：1. 计算绝对误差和相对误差，并与规定标准比较，判断是否满足要求。
2. 根据测量数据的分布情况，判断随机误差的大小和分布规律。
3. 对系统误差进行校正，并对校正后的数据进行评定。
4. 通过误差分析，找出产生误差的原因并采取相应措施，以减小误差。
五、总结误差是科学研究和生产制造中不可避免的问题，它会对实验结果和产品质量产生影响。
因此，我们需要了解误差的基本概念、分类和来源，并采取相应措施进行控制和评定。
控制系统误差分析及其算法及应用第一章概述控制系统误差是指所设计的系统输出值与输入值之间的差异。
误差分析是指对控制系统误差进行分析，以便找出误差来源，并提出改进控制系统的策略和方法。
本文将介绍控制系统误差分析的基本原理和算法，并探讨误差分析在控制系统中的应用。
第二章控制系统误差来源控制系统误差的来源有两种：系统固有误差和外部扰动。
系统固有误差是控制系统设计中的本质问题。
例如，比例控制器的响应速度较慢、积分控制器有积分误差等。
这些问题可能会导致系统出现稳态误差。
外部扰动是指系统受到的外部干扰，例如温度变化、压力变化、电磁干扰等。
这些因素会导致系统输出值与输入值之间出现偏差。
第三章调节控制器算法最常见的控制器类型是比例积分（PI）控制器。
PI控制器能够帮助系统消除稳态误差，并增加系统的响应速度。
PI控制器的算法基于积分饱和原理，即当积分误差超过一定值时，积分项将不再累加。
这有助于避免过度响应。
PI控制器还可以通过调整比例和积分项的系数来进一步优化系统响应。
第四章滤波算法滤波算法可以帮助消除由外部扰动引起的误差。
其中，低通滤波器可以帮助去除高频噪声。
高通滤波器具有相反的作用，可以去除低频噪声。
滤波器还可以用于平滑系统响应，以防止出现过度响应或噪声。
第五章预测控制算法预测控制算法可以帮助控制系统在未来一段时间内的状态进行预测，并采取相应的控制策略。
其中，支持向量机（SVM）算法可以用于预测非线性系统的响应，可以帮助控制系统消除非线性误差。
适应性控制算法可以根据系统输入和输出的实时数据来调整算法参数，以实现更好的控制效果。
第六章控制系统误差分析应用误差分析在控制系统中具有广泛应用。
其中，误差分析可以用于诊断控制系统在稳态下的性能，并帮助优化系统工作。
误差分析还可以用于诊断控制系统在动态条件下的性能，并帮助优化系统响应。
此外，误差分析还可以用于帮助控制系统诊断故障，以实现更可靠的操作。
第七章总结控制系统误差是控制系统设计中的重要问题。
计算方法-1 -第一章 误差分析的基本概念§ 1误差的来源1. 误差概念:精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。
2. 产生误差的主要原因① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实 际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模 型误差。
② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估 算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。
这种由观察产生的误差称为观 测误差。
③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。
例如计算一个无穷次可微函数 的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限 项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。
这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。
④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时 进行了舍入而引起的误差。
3. 举例说明例1设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在t=0 C 时的实际长度为 L o ,用i t 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型： I tL °（1「.t ）,其中a 是由实验观察得到的常数:-二（0.0000238 ± 0.0000001 ） 1/ C,称L t —I t 为模型误差，0.0000001/ C 是a 的观测误差。
这个问题中模型 误差产生的原因是：实际上 L t 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。
为了计算近似值，可取前面有限项计算•如取前面五项计算，计算过程中与计算结果都取五位小数得e ~1+1 + 1/2+1/6+1/24疋2.7083, e 取五位小数时的准确值为~ =2.71828，于是截断误差为：□0' —:2.71828 -2.7083 = 0.00995 n总n !这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。
例3. n =3.1415926, ;、2 =1.41421356,，在计算机上运算时只能用有限位小数，如果我们取小数点后四位小数则：几=n -3.1416 =-0.0000074 , ;?22 -1.4142=0.000013 ,就是舍入误差。
另外值得一提的是十进制数转化为二进制数时有时也引起循环小数，因计算机上浮点数存储位数限制而舍弃尾部部 分小数，如 0.1 10 =0.0001100110 011……2存储时会引起舍入误差。
这个数制转化问题表明：只要计算机内部采用二进制运算，无论计算机发展的多完善，这个舍入误差理论问题永远存在。
总的来说，误差一般有：模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。
在计算方法这门课程中，截断误差和舍入误差是误差的主要研究对象，讨论它们在计算过程中的传播和对计算结果的影响，并找出误差 的上下界，对分析和改进算法都有重大的实际意义。
§ 2 绝对误差相对误差有效数字定义1:设x 为准确数，x *为x 的近似值，记e * =x-x *称e *为x 与x *的误差，也叫x 与x *的绝对 误差。
显然，x= x * + e *即近似值加误差就是准确值，因此把 e *也叫做近似值 x *的修正值，或者说近似值加上修正值就是准确值。
误差可正可负，且有量纲单位，当误差为负时，近似值偏大，叫做“强近似” ，当误差为正时，近似 值偏小，叫做“弱近似”例2已知e x在x=0处展开的泰勒级数为:QO n-0nX n!-2 -误差分析的基本概念现在引入有效数字的概念。
如果近似值 *的误差限是某一位上的半个单位，该位*的第一位非零数字共有 n 位，我们就说 x *有“ n 位有效数字”，或者说 x *准确到该位。
用四舍五入法取准确值的前 n 位作为近似值x *，则x *有n 位有效数字。
就称近似值x 具有n 位有效数字.利用定义3,由有效数字位数 n 和近似值x *可以确定误差限: 注意，首先需要特别指出的是，在有效数字的记法中，有效数字 别的，前者只有三位有效数字，后者却有四位有效数字；其次，如果只知道x * =300000的绝对误差限不超过500= 2 103，则应把它写成 300 X 103或3.00 X 105,如果仍记为300000,则表示它的误差限不超过 0.5 , 这是因为前者有三位有效数字， 后者有六位有效数字； 再次，还需要指出的是，一个准确数字的有效位数， 例2若x * =3587.64是x 的具有六位有效字的近似值，那么它的误差限为\x 「x * \ J 10 4- = 110 - =0.0052 2为近似值x *的相对误差。
相对误差无量刚。
相对误差可正可负。
我们把相对误差绝对值的上界叫做相对误 差限，记作；；=* /\x *\,其中:是x *的误差限（；*也叫绝对误差限）。
推论 1.近似数 x = ±0.% a ? ..O n 汉 10 P （n 、q 及 p 为整数，1w a ! < 9; 0< a i< 9, 2< i < n ）有 n 位有效数字，则其相对误差限为：気一兰丄"0^4）\x \ 2二证明：由于X * = 0 .〉1〉2... :-n 10 p 有n 位有效数字，故x *与x 的绝对误差限应为\ x - x * \_ 1 10 p j以下观察有效数字的位数n 与误差限之间的关系\ -• _ x ； \ = 0.00159265< 1 X10 -= 0.005 3位有效数字3 .1 423 2 1\ - _ x 5 \ - 0.00000735< 1 X 10 '=0.00005 5位有效数字 3. 14 16_ 25 4 3 2 1\ - _ x ； \= 0 .00000265<丄 X10 - = 0.0000056位有效数字3 .14159265 4 3 2 1疋乂 3 :右用x 表示 X 的近似值，并将X *表示成X * :=± 0 .「1「2「3 * **t:-n 108 兰 9；0 兰 8 < 9 , 2 乞i 乞n ）若其误差限为1 <|x _x* \<^2 10 P _nP, （ :-i 及p 为整数,110p —n2 。
330.123 X 10-和 0.1230 X 10-是有区应当说有无穷多位。
例如对于1/4=0.25不能说只有两位有效数字。
定义4 :称e *—=心乩 为近似值x *的相对误差，当x xe ；比较小时，有时也把计算方法-3 -2由相对误差限的定义得：-4 - 误差分析的基本概念1 p n10 一x|* p r 1 2 nx = 10 r 10 …• 2 1°'…：叱n 10 -*p* 1 2 n p 1|X |=10 ! 10「:叱2 10 一…吒n 10，：'：：：；/.1 1° -丄10p』占* —p』-心―1』| x | 2。
1 2o(1由此可以看出，有效数字位数越多，相对误差限就越小。
推论2：若近似数x * = ±0 心 1 g…a n x 10 p( n,a i 及p 为整数，1 < a 勺< 9; 0 W g < 9, 2 < i < n) 的相对误差限满足：则x *至少有n位有效数字。
证明：* * * *1 1 n| X — X冃X |务斗X |——1——X10 一2（8+1）X* - _0 ... :-n 10 p（高位进1,舍去尾数，其值变大）=10 P [% 10 丄：:二2 10 2 -…：：•' -n 10』|x—x*| 乞：，110p」一1——101」=l10p』2（ot i +1 ） 2由定义3知道：近似数x* =「0再 1 6... : n 10 p有n位有效数字。
证毕。
例3 用x* =2.72来表示e具有三位有效数字的近似值，相对误差限是多少？解：X* =2.72 =0.272 X 10 , n=3 , p=1 ,宀=2 . 由推论1 得：名；兰-^x10 < =0.0025 2X2例4.为了使,20的近似值的相对误差小于0.1 %，问至少要取几位有效数字？解：由推论2 ;r< 110』-..20 = 0.4... 10 故：・1 =4r 2(些+1 j按题目要求Z* <0.1 % =10」令. 1 10 1 J <10 则有10』：：：10」即n至少要取为42(% +1 )取n=4查数学用表20 ：4.472，其相对误差小于0.1%§ 3.和差积商的误差1. 和差积商的误差设x*是x的近似值，y*是y的近似值，用x* _ y*来表示x _ y的近似值，则它的误差为(x ±0-(x * iy*)=(x-x *) ±y-y *) (1-3-1)于是有如下结论：结论1：和的误差是误差之和，差的误差是误差之差。
|(x 当)-(x ±y)| W|x-x | +|y-y | (1-3-2)结论2：两个数和或差的绝对误差限不超过各数绝对误差限之和。
X -X_n2 ：1 110 1 _n计算方法-5 -设 u=xy 贝U Inu=lnx+lny dinu=dlnx+dlny于是有如下结论:结论5 乘积的相对误差是各乘数的相对误差之和。
设 u=x/y 贝U lnu=lnx-lny dlnu=dlnx-dlny 于是有如下结论: 结论6: 商的相对误差是被除数的相对误差减去除数的相对误差。
结论7:任意多次连乘，连除所得计算结果的相对误差限不超过各乘数和除数的相对误差限之和。
证明： 设 w=(uv)/(xy) 则 lnw=lnu+lnv-lnx-lny ; dinw=dInu+dlnv-dlnx-dlny|dlnw| < |dlnu|+|dlnv|+|dlnx|+|dlny|证毕。
例1设 y=f(x)y 二f x 则y 的相对误差是d In y = - — dxf (x )例2设 y = x 则In y = n ln x ，因此d ln y = n d ln x ・x 的相对误差疋 x 的相对误差的n 倍。
2 •一般数值运算的误差估计2,■■■x n 的近似值依次是x 1，x 2, ；X ；，把近似值代入函数y=f （ x 1,x 2, ,x n ）运算得yy *的误差、相对误差如何估计？如果函数 y=f （ x 1 ,x 2, ,x n ）在（x ；,x 2,…;x ；）y *的误差可用多元函数在（X 1，X 2；「X n ）处的泰勒展开式得到。
