第一章 误差与精度的基本概念

数值分析中的名词解释数值分析是一门研究如何利用计算机进行数值计算和模拟的学科，它在科学计算、工程领域以及许多其他领域中都有广泛的应用。

本文将通过解释数值分析中的一些重要名词，来介绍这个领域的基本概念和方法。

一、误差与精度在数值分析中，误差是指数值计算和实际结果之间的差异。

由于计算过程中存在舍入误差、截断误差等，数值计算很难得到完全准确的结果。

为了度量误差的大小，我们需要引入精度的概念。

精度表示了计算结果的准确程度，通常使用绝对误差或相对误差来衡量。

绝对误差是计算结果与实际结果的差值，而相对误差则是绝对误差与实际结果的比值。

二、插值与外推插值是指根据已知数据点的数值，通过某种方法去估算出未知点的数值。

常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。

而外推则是利用已知数据点的数值，通过推算来估计未知点的数值。

插值和外推在数值分析中常常用于构建函数的近似表达式或预测未来数据的趋势。

三、数值积分与数值微分数值积分是指通过数值方法来近似求解定积分。

由于很多函数的原函数无法用解析算式表示，或者求解困难，因此数值积分成为了一种常用的求解方法。

常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则等。

而数值微分则是通过数值方法来近似求解微分。

数值微分的目的是通过逼近导数的定义来估算导数值，通常使用数值差商或有限差分来实现。

四、线性方程组的解法在科学计算中，线性方程组的求解是一个核心问题。

数值分析中有各种不同的算法和方法可以用来解决线性方程组，如高斯消元法、追赶法、迭代法等。

这些方法的基本思想是通过对系数矩阵进行操作或迭代运算来求解未知数的值。

线性方程组的求解在很多科学和工程问题中都非常重要，比如力学模拟、电路分析等。

五、常微分方程的数值解法常微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型。

然而，绝大部分的常微分方程都无法用解析算式求解，因此需要使用数值方法来近似求解。

数值分析中有许多不同的方法可以用于求解常微分方程，如欧拉法、龙格-库塔法、四阶龙格-库塔法等。

如何正确区分误差、不确定度、精密度、准确度、偏差、方差？在日常分析测试工作中，测量误差、测量不确定度、精密度、准确度、偏差、方差等是经常运用的术语，它直接关系到测量结果的可靠程度和量值的准确一致。

如何区分这些概念呢？一起来看看吧！传统的方法多是用精密度和准确度来衡量。

但是，通常说的准确度和误差只是一个定性的、理想化的概念，因为实际样品的真值是不知道的。

而精密度只是表示最终测定数据的重复性，不能真正衡量其测定的可靠程度。

作为一名分析测试人员，这些术语是应该搞清楚的概念，但这些概念互相联系又有区别，也常常使人不知所云。

在此略作论述，希望能引起大家讨论。

测量误差测量误差表示测量结果偏离真值的程度。

真值是一个理想的概念，严格意义上的真值是通过实际测量是不能得到的，因此误差也就不能够准确得到。

在实际误差评定过程中，常常以约定真值作为真值来使用，约定真值本身有可能存在误差，因而得到的只能是误差的估计值。

此外，误差本身的概念在实际应用过程中容易出现混乱和错误理解。

按照误差的定义，误差应是一个差值。

当测量结果大于真值时，误差为正，反之亦然。

误差在数轴上应该是一个点，但实际上不少情况下对测量结果的误差都是以一个区间来表示（从一定程度上也反映了误差定义的不合理），这实际上更像不确定度的范围，不符合误差的定义。

在实际工作中，产生误差的原因很多，如方法、仪器、试剂产生的误差，恒定的个人误差，恒定的环境误差，过失误差，可控制或未加控制的因素变动等。

由于系统误差和随机误差是两个性质不同的量，前者用标准偏差或其倍数表示，后者用可能产生的最大误差表示。

数学上无法解决两个不同性质的量之间的合成问题。

因此，长期以来误差的合成方法上一直无法统一。

这使得不同的测量结果之间缺乏可比性。

不确定度测量不确定度为“表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果想联系的参数”。

定义中的参数可能是标准偏差或置信区间宽度。

不确定度是建立在误差理论基础上的一个新概念，它表示由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，是定量说明测量结果质量的重要参数。

测量误差与精度控制的基本知识测量是科学研究和工程实践中不可或缺的一环。

无论是实验室中的研究，还是生产线上的质量控制，准确的测量数据都是基础和前提。

然而，由于各种原因导致的测量误差不可避免，因此了解测量误差的产生原因及如何进行精度控制是十分重要的。

首先，我们需要了解什么是测量误差。

简单来说，测量误差就是测量结果与真实值之间的差异。

它可以由多个因素引起，如测量仪器的精度、环境条件、人为操作等。

误差通常可分为系统误差和随机误差两类。

系统误差是由于各种固定原因引起的，具有一定的可预测性和偏离真实值的趋势。

例如，一台称重仪器由于制造过程中的偏差而导致每次测量值都比真实值偏高，这就是系统误差。

系统误差可以通过校正仪器、调整测量条件等手段进行修正和控制。

随机误差则是不可预测的，其产生原因是多方面的，可能是仪器的测量精度本身有限，也可能是操作者的误差或环境因素的影响。

随机误差通常呈现正态分布的特点，即测量值围绕着真实值上下波动，且波动范围内的概率较高。

对于随机误差，我们可通过多次测量取平均值来减小其影响，并且可以利用统计学方法进行分析和估计。

控制误差的关键是提高测量精度。

测量精度是描述测量结果的可靠程度，常用的指标是标准差或置信区间。

标准差越小，说明测量结果越接近真实值，精度越高。

那么如何提高测量精度呢？首先，选择合适的测量仪器是至关重要的。

不同的测量任务需要不同精度的仪器，过于精密的仪器可能带来昂贵的成本，而过于粗糙的仪器则无法满足要求。

因此，根据实际需求进行仪器选择，并确保其测量范围和精度与任务相匹配。

其次，环境条件的控制也非常重要。

温度、湿度、气压等环境因素都可能对测量结果产生影响，因此在测量过程中，要尽量保持环境的稳定性，并进行必要的修正。

例如，在高温环境下，可以采用温度补偿的方法进行修正，保证测量结果的准确性。

此外，合理的操作规范和技能也对测量精度的控制至关重要。

操作者应接受相关培训，熟悉测量仪器的使用方法，并按照标准程序进行操作。

加工精度与加工误差基本知识1 概述1.1 加工精度与加工误差加工精度是指零件加工后的实际几何参数(尺寸、形状和位置)与理想几何参数的符合程度。

实际加工不可能做得与理想零件完全一致，总会有大小不同的偏差，零件加工后的实际几何参数对理想几何参数的偏离程度，称为加工误差。

1.2 原始误差由机床、夹具、刀具和工件组成的机械加工工艺系统(简称工艺系统)会有各种各样的误差产生，这些误差在各种不同的具体工作条件下都会以各种不同的方式(或扩大、或缩小)反映为工件的加工误差。

工艺系统的原始误差主要有工艺系统的几何误差、定位误差、工艺系统的受力变形引起的加工误差、工艺系统的受热变形引起的加工误差、工件内应力重新分布引起的变形以及原理误差、调整误差、测量误差等。

1.3 研究机械加工精度的方法研究机械加工精度的方法分析计算法和统计分析法。

2 工艺系统集合误差2.1 机床的几何误差加工中刀具相对于工件的成形运动一般都是通过机床完成的，因此，工件的加工精度在很大程度上取决于机床的精度。

机床制造误差对工件加工精度影响较大的有：主轴回转误差、导轨误差和传动链误差。

机床的磨损将使机床工作精度下降。

2.1.1 主轴回转误差机床主轴是装夹工件或刀具的基准，并将运动和动力传给工件或刀具，主轴回转误差将直接影响被加工工件的精度。

主轴回转误差是指主轴各瞬间的实际回转轴线相对其平均回转轴线的变动量。

它可分解为径向圆跳动、轴向窜动和角度摆动三种基本形式。

产生主轴径向回转误差的主要原因有：主轴几段轴颈的同轴度误差、轴承本身的各种误差、轴承之间的同轴度误差、主轴绕度等。

但它们对主轴径向回转精度的影响大小随加工方式的不同而不同。

产生轴向窜动的主要原因是主轴轴肩端面和轴承承载端面对主轴回转轴线有垂直度误差。

不同的加工方法，主轴回转误差所引起的的加工误差也不同。

在车床上加工外圆和内孔时，主轴径向回转误差可以引起工件的圆度和圆柱度误差，但对加工工件端面则无直接影响。

测绘技术中常见的精度评定与评估方法一、引言测绘技术在现代社会的应用日益广泛，它在地图制作、工程测量、导航系统等方面扮演着重要的角色。

然而，在测绘过程中，精度评定与评估是确保测绘成果质量的关键环节。

本文将介绍测绘技术中常见的精度评定与评估方法。

二、误差与精度在进行精度评定之前，我们需要明确两个基本概念：误差和精度。

误差是指测量值与真实值之间的差异，而精度则是指测量结果的可靠程度。

通过对于误差的评定和精度的确定，可以确保测绘成果的准确性和可信度。

三、测量数据处理在进行精度评估前，我们需要进行测量数据的处理。

常见的数据处理方法有以下几种：1. 简单平均法：将多次测量的结果进行平均，以减小随机误差的影响。

2. 权重平均法：对于不同测量数据赋予不同权重，以考虑到其相对可靠性的差异。

3. 加权拟合法：对数据进行拟合，根据拟合曲线的结果来确定最终的测量结果。

4. 差值法：通过测量数据之间的差值计算得到具体的测量结果。

四、相对精度评定方法相对精度评定方法是测绘技术中最为常见的一种。

其主要通过对不同对象之间或同一对象不同部分之间的相对位置关系进行分析，来评估测量的准确程度。

常见的相对精度评定方法有以下几种：1. 直接相对精度评定法：通过比较不同对象或同一对象的不同测量结果，来评估测量的相对准确度。

2. 间接相对精度评定法：通过间接比较不同对象或同一对象的不同属性进行测量，来评估测量的相对准确度。

五、绝对精度评估方法绝对精度评估方法是对测量数据进行绝对化的评估方法，常用于测绘成果与地面真实情况之间的对比分析。

常见的绝对精度评估方法有以下几种：1. 数字化对比法：通过将测绘结果与现实情况进行对比，评估测绘的准确程度。

2. 空间变换法：通过对测绘结果进行空间变换，将其与地面真实情况进行比较，来评估测绘的准确程度。

3. 形状匹配法：通过对测绘结果和真实情况进行形状匹配，评估测绘的准确程度。

六、精度评定与评估的案例应用为了更好地理解精度评定与评估方法的应用，以下是一个测绘技术在道路规划中的案例。

误差理论与数据处理开课学院：主讲教师：联系电话：E-mail:关于任课教师秦岚, 1983年9月-1994年6月在重庆大学获精密仪器及机械专业学士、硕士和博士学位，长期从事精密仪器及机械学科的科研和教学工作。

2001年12月晋升教授，2004年7月任博导，2011年晋三级教授。

现为重庆市“322重点人才”工程人选、重庆市学术技术带头人。

先后担任重庆大学光电工程学院副院长（1996-1999）、党委书记（1999-2010）、重庆市发改委副主任（2001-2003，挂职）、重庆大学数学与统计学院党委书记（2010—）、大连理工大学校长助理（201204-201207，挂职）。

先后兼任全国高等学校机电类专业教学指导委员会委员，中国仪器仪表学会机械量测试仪器分会第四届理事会副理事长，全国测量误差与不确定度研究会副理事长，中国计量测试学会第五届理事会理事，全国互换性与测量技术研究会常务理事、副秘书长等。

1994年至今担任本课程主讲教师。

本课程的意义20042006我和费先生的特殊友谊20132009费业泰: 误差理论是仪器科学特有的基础理论1、误差理论贯穿仪器及测试系统的始末。

在仪器设计、制造、使用及测试结果处理与评定等五大环节，误差理论均起着指导与保证作用。

2、误差理论在仪器科学人才培养中是必不可少重要内容。

过去的教学计划中测试技术课程为主要课程，而有关误差理论内容则占全课程约1/3 学时。

根据国外高校相关专业很早巳开设有关误差理论课程，我国高校1978年首次设置该课程. 30年来讲授误差课程高校专业已很普遍，但仪器学科专业该课程体系、内容最为全面系统。

3、误差理论在科学技术与工程实践中具有重要作用。

任何科学与工程对可靠性、准确度具有要求，这是普遍性问题.不仅其实验和实践过程需要测试，而本身在系统设计、建造和运行控制也需要一定的误差理论作指导。

结论：误差理论是仪器科学的重要基础理论，也是科学与工程技术具有遍普意义的必不可少基础理论之一，而仪器科学领域学术研究所建立误差理论的严谨学术体系与全面系统内容，则是其他科学与工程技术应用误差理论的依据，充分表明误差理论是仪器科学特有的基础理论。

误差、仪表精度等级的概念测量误差：测量值与真实值之间存在的差别。

真值：一个变量本身所具有的真实值,它是一个理想的概念,一般是无法得到的。

在计算误差时,一般用约定真值或相对真值来代替。

约定真值：一个接近真值的值,它与真值之差可忽略不计。

实际测量中以在没有系统误差的情况下,足够多次的测量值之平均值作为约定真值。

相对真值：指当高一级标准器的误差仅为低一级的1/3以下时,可认为高一级的标准器或仪表示值为低一级的相对真值。

绝对误差的实质,是仪表读数与被测参数真实值之差。

仪表的绝对误差只能是读数与约定真值或相对真值之差。

相对误差：仪表的绝对误差与真值的百分比。

引用误差：绝对误差与仪表量程的百分比。

仪表精度等级又称准确度级,是按国家统一规定的允许误差大小划分成的等级。

引用误差的百分数分子作为等级标志。

我国仪表精度等级有：0.005、0.02、0.05、0.1、0.2、0.35、0.4、0.5、1.0、1.5、2.5、4.0等。

级数越小,精度（准确度）就越高。

『等级』－对功能相同但质量要求不同的产品、过程或体系所作的分类或分类。

『准确度等级』－符合一定的计量要求，使误差保持在规定极限内的测量仪器的等级、级别。

『测量准确度』－测量结果与被测量真值之间的一致程度。

『量的约定真值』－对于给定目的具有适当不确定的、赋予特定量的值，有时该值是约定采用的。

仪表的相对误差＝（测量结果－被测量真值/仪表量程）*100%实际上你说的仪表精度是仪表的相对误差，他和仪表的精度等级还有一些区别，比如说标准仪器有些是按照“等”来划分的（如：一等、二等），有些采用的是绝对误差（如：砝码）。

按百分比划分的有：0.01级、0.02级、0. 05级、0.1级、0.2级、0.5级、1.0级等。

按等划分的有：一等、二等、三等、四等、....。

一般在检定规程中有规定。

第一章 误差分析的基本概念§1 误差的来源1． 误差概念 ：精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。

2． 产生误差的主要原因① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模型误差。

② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。

这种由观察产生的误差称为观测误差。

③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。

例如计算一个无穷次可微函数的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。

这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。

④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时进行了舍入而引起的误差。

3.举例说明例1 设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在 t=0℃时的实际长度为L 0,用t l 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型：)t (L l t α+=10,其中α是由实验观察得到的常数 =α（0.0000238±0.0000001）1/℃，称t t l L -为模型误差，0.0000001/℃是α的观测误差。

这个问题中模型误差产生的原因是：实际上t L 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。

例2 已知xe 在 x=0 处展开的泰勒级数为：∑∞==n nx!n x e 为了计算近似值,可取前面有限项计算.如取前面五项计算,计算过程中与计算结果都取五位小数得e ≈1+1+1/2+1/6+1/24≈2.7083，e 取五位小数时的准确值为e ~=2.71828，于是截断误差为: 0099507083271828215...!=-≈∑∞=n n这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。

作为计量人员，误差、精度与不确定度是应该搞清楚的概念，但这些概念互相联系又有区别，也常常使人不知所芸。

在此略作论述，希望能引起大家讨论。

一、误差的基本概念：1.误差的定义：误差＝测得值－真值；因此，误差是一个值，数学上就是坐标轴上的一个点，是具有正负号的一个数值。

2.误差的表示方法：2.1 绝对误差：绝对误差＝测量值－真值（约定真值）在检定工作中，常用高一等级准确度的标准作为真值而获得绝对误差。

如：用一等活塞压力计校准二等活塞压力计，一等活塞压力计示值为100.5N/cm2，二等活塞压力计示值为100.2N/cm2，则二等活塞压力计的测量误差为-0.3N/cm2。

2.2 相对误差：相对误差＝绝对误差/真值X100％相对误差没有单位，但有正负。

如：用一等标准水银温度计校准二等标准水银温度计，一等标准水银温度计测得20.2℃，二等标准水银温度计测得20.3℃，则二等标准水银温度计的相对误差为0.5%。

2.3 引用误差：引用误差＝示值误差/测量范围上限（或指定值）X100％引用误差是一种简化和实用方便的仪器仪表示值的相对误差。

如测量范围上限为3000N的工作测力计，在校准示值2400N处的示值为2392.8N，则其引用误差为-0.3%。

3.误差的分类：3.1 系统误差：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。

3.2 随机误差：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。

3.3 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差。

二、精度：1.精度细分为：准确度：系统误差对测量结果的影响。

精密度：随机误差对测量结果的影响。

精确度：系统误差和随机误差综合后对测量结果的影响。

精度是误差理论中的说法，与测量不确定度是不同的概念，在误差理论中，精度定量的特征可用目前的测量不确定度（对测量结果而言）和极限误差（对测量仪器仪表）来表示。

对测量而言，精密度高的准确度不一定高，准确度高的精密度不一定高，但精确度高的准确度与精密度都高，精度是精确度的简称。

精度的基本概念是什么精度是指测量结果与真实值之间的接近程度或一致性程度。

在科学、工程和统计学领域中，精度是一个重要的指标，用于描述测量或计算的准确程度。

精度可以通过以下两个方面来进行衡量和评估：1. 绝对误差：绝对误差是指测量结果与真实值之间的差异。

绝对误差可以表示为测量结果与真实值之间的差值，也可以表示为测量结果与真实值之间的差异的绝对值。

绝对误差可以通过公式来计算：绝对误差= 测量结果- 真实值。

绝对误差越小，说明测量结果越接近真实值，精度越高。

2. 相对误差：相对误差是指绝对误差与真实值之间的比例关系。

相对误差可以表示为绝对误差与真实值之间的比值，也可以表示为绝对误差与真实值之间的比值的绝对值。

相对误差可以通过公式来计算：相对误差= 绝对误差/ 真实值。

相对误差越小，说明测量结果越接近真实值，精度越高。

在实际应用中，精度的概念通常与精确度的概念一起使用，但它们在定义和衡量方法上是有区别的。

精度强调的是测量结果与真实值之间的差异，即测量的准确程度。

而精确度则强调的是测量结果的稳定性和一致性，即测量的可重复性和可信度。

精确度可以通过重复测量同一样本多次，并比较测量结果之间的差异来进行评估。

在实际测量和计算中，提高精度需要考虑以下几个因素：1. 仪器和设备的精度：使用具有更高精度的仪器和设备可以提高测量结果的精度。

仪器和设备的精度通常由制造商提供，可以通过技术规格和精度指标来评估。

2. 校准和校验：及时进行仪器的校准和校验可以使测量结果更准确。

仪器的校准是通过与标准值进行比较来确定误差，并进行调整以消除误差。

校验是通过对相同样本进行多次测量来检验仪器的准确性和一致性。

3. 测量方法和技术：选择合适的测量方法和技术可以提高测量结果的精度。

不同的测量方法和技术具有不同的精度要求，应根据具体情况选择适合的方法和技术。

4. 数据处理和分析：正确的数据处理和分析方法可以减小误差，并提高测量结果的准确性。

对数据进行平均、插值、曲线拟合等处理可以消除一些随机误差，并提高测量结果的精度。