特色寒假作业之三一元一次方程

专题03 一元一次方程知识点1 一元一次方程1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.2.方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值.知识点2 等式的性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.如果a=b ，那么a±c=b±c ；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果a=b ，那么ac=bc;如果a=b ，0c ≠，那么a b c c=. 知识点3：含参一元一次方程1.次数含参：主要考查一元一次方程的定义.2.常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题.3. 由已知解求参数：将解代入参数方程，求出参数.知识点4： 解一元一次方程解一元一次方程的步骤： 1. 去分母两边同乘最简公分母. 2.去括号（1）先去小括号，再去中括号，最后去大括号； （2）乘法分配律应满足分配到每一项. 注意 ：特别是去掉括号，符号变化. 3.移项（1）定义：把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意：①移项要变符号；②一般把含有未知数的项移到左边，其余项移到右边． 4. 合并同类项（1）定义：把方程中的同类项分别合并，化成“(0)ax b a =≠”的形式； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1（1）定义：方程两边同除以未知数的系数a ，得b x a=； （2）注意：分子、分母不能颠倒.知识点5： 一元一次方程的实际应用审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系； 设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量；列:根据题目中的数量关系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程； 解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值 验:检验所求的解是否符合题意，是否符合实际意义.考点剖析考点一：一元一次方程的定义【典例1】下列方程中是一元一次方程的是（ ） A ．31x y +=B ．2250x x +-=C ．360x -=D ．130x-=【变式1-1】下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A ．x+y=2B ．x 2-2x=1C ．2x+2=1D ．3x=4x -1【变式1-2】已知方程()21190m m x --+=是关于x 的一元一次方程，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．12D ．0考点二：等式的性质【典例2】下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（ ） A ．若x y =，则55x y +=- B ．若a x b x -=+，则a b = C ．若ax ay =，则x y =D ．若22x y=，则x y = 【变式2-1】若a ，b ，c 为有理数，则下列错误的是（ ） A ．因为a b =，所以44a b -=- B ．因为a b =，所以ac bc = C ．因为42a -=，所以2a =-D ．因为a b =，所以2211a bc c =++ 【变式2-2】下列变形中，正确的是（ ） A ．若567x -=，则576x =- B ．若35x -=，则35x =-C ．若5342x x -=+，则5423x x -=+D ．若11132x x -++=，则()()21311x x -++= 考点三：一元一次方程的解 【典例3】若关于x 的方程122ax b +=的解为1x =，则63a b += ． 【变式3-1】若2x =是关于x 的方程20x a -=的解，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【变式3-2】一元一次方程5772x x +=-的解是（ ） A ．3x =B ．0x =C ．2x =-D ．2x =【变式3-3】若是关于x 的一元一次方程1ax b +=的解，则代数式425a b +-的值为 ． 考点四：解一元一次方程【典例4】解方程： (1)7234x x -=-； (2)()()1112225x x -=-+． 【变式4-1】解方程： (1)3(1)42(13)x x --=-； (2)758142x x -+-=． 【变式4-2】老师在黑板上出了一道解方程的题：1123--=x x ，小明同学的解法如下： 解：方程两边乘6，得22(1)6x x --= ① 去括号，得3226x x --= ② 合并同类项，得26x -= ③ 解得8x = ④ ∴原方程的解为8x = ⑤__________________；(2)从第_________步出现错误（填序号），错误原因是____________________________________； (3)请直接写出方程的解： ____________________________________． 考点五：同解方程【典例5】已知关于x 的方程15(1)9x ---=与252x a -=有相同的解，则=a ． 【变式5-1】若方程2113x +=与方程3x m +=有相同的解，则m ＝ ． 【变式5-2】关于x 的方程233x m -=和215x -=有相同的解，则m 的值是 . 考点六：一元一次方程的应用-利润问题【典例6】某超市第一次用7850元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的12多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）甲 乙进价（元件） 22 30 售价（元件） 29 40(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多230元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？【变式6-1】“双11”期间，某个体商户在网上进购某品牌A B、两款羽绒服来销售，若购进3件A款和4件B款需支付2400元，若购进1件A款和1件B款，则需支付700元．(1)求A B、两款羽绒服在网上的售价每件分别是多少元？(2)若个体商户把网上购买的A B、两款羽绒服各10件，均按每件600元进行销售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服按6折销售完，若总获利为3800元，求个体商户打折销售的羽绒服是多少件？【变式6-2】某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同．(1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？(2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利15元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？(3)在（2）的条件下，A商品按标价全部出售，B商品按标价先出售一部分后，余下的再按标价九折出售，A，B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了150元，则B商品按标价售出多少件？考点七：一元一次方程的应用-工程问题【典例7】一个道路工程，甲队单独施工8天完成，乙队单独施工12天完成．为了加快进度，甲乙两队共同施工，一段时间后由于甲队另有任务离开，剩下的工程由乙队单独完成，最终共用6天完成了此工程，问甲队工作了多少天？【变式7-1】六年1班承担了学校操场的清扫工作，计划每天清扫200平方米，30天可以清扫完．(1)若学校要求25天清扫完，每天应清扫多少平方米？(2)若实际每天清扫的面积比计划每天清扫的面积提高了14，实际多少天能清扫完整个学校操场？(3)若六年1班按照（2）的速度完成一半时，学校要求此计划提前8天完成，提速后每天清扫面积是多少平方米？【变式7-2】列方程（组）解应用题：有一批核桃要加工成罐头，甲工人每天能加工32公斤，乙工人每天能加工48公斤，且甲单独加工这批核桃要比乙多用10天．(1)这批核桃共多少公斤？(2)为了尽快加工完成，先由甲、乙两工人按原速度合作一段时间后，甲工人停工，而乙工人每天的生产速度提高25%，乙工人单独完成剩余部分，且乙工人的全部工作时间是甲工人工作时间的3倍还多1天，求乙工人共加工多少天？考点八：一元一次方程的应用-行程问题【典例8】一艘船从甲码头顺流而行，用了3小时到达乙码头，该船从乙码头返回甲码头逆流而行，用了5小时，已知水流速度是3千米/小时，求船在静水中的速度．【变式8-1】甲、乙两人从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，已知出发后经3小时两人相遇，相遇时乙比甲多行驶了60千米，相遇后再经1小时乙到达A地．(1)甲，乙两人的速度分别是多少？(2)两人从A，B两地同时出发后，经过多少时间后两人相距20千米？【变式8-2】以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票：(1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是________（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车________（填“早”或“晚”）．(2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，两列火车的长度不计，高铁比动车早到1h，求A，B两地之间的距离．(3)在（2）的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距150km．考点九：一元一次方程的应用-方案设计问题【典例9】下表中有两种移动电话计费方式：月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）方式一141200.08方式二304000.1(1)如果每月主叫时间不超过400min，当主叫时间为多少时，两种方式收费相同？(2)如果每月主叫时间超过400min，选择哪种方式更省钱？【变式9-1】某网店销售一种羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价300元，羽毛球每筒定价50元．“国庆”期间，该网店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一副球拍送两筒球；方案二：球拍和球都打九折销售．x>）．现某客户要在该网店购买球拍10副，球x筒（20(1)若该客户按方案一购买，需付款元；（用含x的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款元；（用含x的代数式表示）(2)当x为何值时，两种方式购买所需费用一样？x=时，请直接写出你的一种更为省钱的购买方案．(3)当50【变式9-2】为庆祝“建党100周年”，甲、乙两校组织代表队参加文艺汇演活动．已知甲、乙两校共有92名学生参加活动，其中甲校参加活动的学生有46~90名，现准备统一购买服装用于文艺汇演，下面是某服装厂给出的服装的价格表，当甲、乙两校单独购买服装时，一共需付5000元．购买服装的套数 1~45套 46~90套 91套以上 每套服装的价格60元50元40元(2)求甲、乙两校各有多少名学生参加文艺汇演活动？ 考点十：一元一次方程的应用-数轴动点问题【典例10】在数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，并且a b ，满足()21250a b ++-=． (1)求点A B ，之间的距离；(2)点C 在点A 的右侧，点D 在点B 的左侧，AC 为13个单位长度，BD 为7单位长度，求C D ，之间的距离． (3)动点P 以每秒3个单位的长度的速度从A 出发沿着正方向运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从B 出发沿着数轴的负方向运动，则它们几秒相距2个单位？【变式10-1】如图，数轴上点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，且2(10)60a b -++=．(1)求a ，b 的值；(2)若动点P ，Q 分别以每秒4个单位长度和每秒2个单位长度的速度从点A ，B 同时出发沿数轴向负方向做匀速运动，当点P 的运动时间为t 秒时．①写出点P ，Q 所表示的数；（用含t 的式子表示）②若数轴上的点M 到点A ，P 的距离相等，求点Q ，M 之间的距离．过关检测一、选择题1．已知下列方程：①x －2＝3x ；②0.3x ＝1；③2x＝5x －1；④x 2－4x ＝3；⑤x ＝0；⑥x ＋2y ＝0，其中一元一次方程的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．下列等式变形正确的是（ ） A ．如果mx = my ，那么x =y B ．如果12x =6，那么x =3 C ．如果x -3 =y +3，那么x =y D ．如果x =y ，那么mx = my3．方程247236x x --+=-去分母得（ ） A ．22(24)(7)x x +-=-- B ．122(24)7x x +-=-- C ．12(24)(7)x x +-=--D ．122(24)(7)x x +-=--4．若关于x 的方程2x m -=的解与2(1)2x m +=+的解之和等于5，则m 的值是（ ） A ．-1B ．3C ．2D ．125．把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有x 名学生，则可列方程为（ ）A ．3x ＋20＝4x －25B ．3x －20＝4x ＋25C ．032x +＝542x - D ．203x -＝254x + 6．如图是某年的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置的9个数（如3，4，5，10，11，12，17，18，19）．若用这样的矩形圈圈这张日历表的9个数，则圈出的9个数的和不可能为下列数中的（ ）A ．81B ．90C ．108D ．2167．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时，每吨价格为 2 元，当用水超过 4吨而不超过 7 吨时，超过部分每吨水的价格为 3 元，当用水超过 7 吨时，超过部分每吨水的价格为5 元，李老师 10 月份付了水费 32 元，则李老师用水吨数为（ ） A ．7B ．10C ．11D ．128．某轮船在静水中的速度为20km /h ，水流速度为4km /h ，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时5h （不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为km x ，则可列方程为（ ）A ．2045x x +=B ． (204)(204)5x x ++-=C ．5204x x+= D ．5204204x x+=+- 二、填空题9．已知5x =是关于x 的方程(2)2a x a --=的解，那么=a ．10．某商店对一种商品调价,按原价的8折出售, 打折后的利润率是20% , 已知该商品的定价是63元, 则该商品的进价是 元.11．已知2x ﹣3y ﹣5＝0，则9y ﹣6x ＋16＝ ．12．为迎接七年级新生，47中清华分校对校园重新美化装修．现计划对教室墙体重新粉刷一遍（所有教室面积相同）．现有甲，乙两个装修队承担此项工作．已知甲队3天粉刷5个教室，结果其中有30平方米墙面未来得及粉刷；乙队5天粉刷7个教室外还多粉刷20平方米．已知甲队比乙队每天多粉刷10平方米，则每间教室的面积为 平方米． 三、解答题 13．解方程：（1）5(1)82(1)x x x -=-+； （2）2151136x x +--=. 14．已知,x y 为有理数，现规定一种新运算“※”，满足2x y x y =-※．根据以上信息，解决下列问题：(1)求34※的值；(2)若()226a -=※，求a 的值．15．我们把有相同的解的两个方程称为同解方程．例如：方程36x =与方程48x =的解都为2x =，所以它们为同解方程．若关于x 的方程2(3)5x x --=和5233x m x +-=是同解方程，求m 的值． 16．如图，长方形PQMN 是由六个正方形A ，B ，C ，D ，E ，F 拼接而成，已知最大的正方形B 的边长是21米，最小正方形A 的边长是a 米．(1)用含a 的式子分别表示正方形D ，E ，F 的边长； (2)求a 的值；(3)现有一项沿着长方形PQMN 的四条边铺设管道的工程．甲、乙两个工程队共同参与这项工程，甲队单独铺设3天后，乙队加入，两队又共同铺设了6天，这项铺设管道的工程全部完成．已知甲队每天比乙队每天少铺设4米，则甲、乙两队每天各铺设多少米？17．某服装厂加工A 、B 两种款式的学生服共100件，加工A 种学生服的成本为每件80元，加工B 种学生服的成本为每件100元，加工两种学生服的成本共用去9200元． (1)A 、B 两种学生服各加工多少件？(2)将这100件学生服送到商场销售，A 种学生服售价200元，B 种学生服售价220元．若销售过程中发现A 种学生服的销量不好，A 种学生服卖出一定数量后，服装厂决定余下的部分按原价的七折出售，两种学生服全部卖出后，共获利9840元，则A 种学生服卖出多少件后打折销售？18．某玩具生产厂家A 车间原来有30名工人，B 车间原来有20名工人，现将新增25名工人分配到两车间，使A 车间工人总数是B 车间工人总数的2倍． (1)新分配到A 、B 车间各是多少人?(2)A 车间有生产效率相同的若干条生产线，每条生产线配置5名工人，现要制作一批玩具，若A 车间用一条生产线单独完成任务需要30天，问A 车间新增工人和生产线后比原来提前几天完成任务?19．某糕点厂中秋节前要制作20吨月饼出售，若在市场上直接销售，每吨利润为10000元，经简装加工后销售，每吨利润可达35000元，经精包装加工后销售，每吨利润涨至75000元．该工厂的加工生产能力是：如果对月饼进行简装加工，每天可加工1.6吨，如果进行精包装加工，每天可加工0.6吨．但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，工厂必须在15天内将这批月饼全部销售或加工完毕，为此工厂研制了三种可行方案：方案一：将月饼全部进行简装加工；方案二：尽可能多地对月饼进行精包装加工，没来得及进行加工的月饼，在市场上直接销售；方案三：将部分月饼进行精包装加工，其余月饼进行简装加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案获利最多？为什么？。

特色寒假作业之三·一元一次方程及应用班级： 姓名：【概念回顾】①含有 的 叫做方程。

②只含有 ，并且 的 方程叫做一元一次方程。

③等式性质1：等式两边都加上（或减去） ，所得结果仍是等式。

等式性质2：等式两边都乘（或除以） （除数或除式 ），所得结果仍是等式。

④解一元一次方程的一般步骤 。

⑤列一元一次方程解应用题的一般步骤 。

⑥利润问题：利润 = － ；利润率 = ÷ 。

⑦工程问题：工作量＝ × ； ＋ ＝甲乙合作的工作总量。

⑧行程问题：S ＝ × ；V 顺水（风）＝ ＋ ；V 逆水（风）＝ － 。

【知识应用】 一、选择题：1、已知3=x 是方程6)13(=-m x 的解，则m 的值是（ ）A 、37 B 、1 C 、97 D 、31 2、下列结论正确的是（ ）A 、x +3=1的解是x= 4B 、3-x = 5的解是x=2C 、35=x 的解是35=x D 、2323=-x 的解是x = -1 3、下列各式中是一元一次方程的是（ ）A 、1232x y -=- B 、25421x x x -=- C 、1123y y -=- D 、1224x x -=+ 4、下列方程中，解是2的方程是（ ）A 、360x +=B 、11042x -+=C 、223x = D 、531x -=5、下列方程中，解是x =2的一共有 （ ）①480x -=；②480x +=；③840x -=；④240x -=。

A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6、今年爷爷的年龄是孙子的5倍，12年后爷爷的年龄是孙子的3倍，则今年孙子的年龄是（ ） A 、11岁 B 、12岁 C 、13岁 D 、14岁7、给出下面四个方程及其变形：①020)2(4=+=+x x 变形为； ②x x x +=-=-75342变形为； ③253215x x ==变形为； ④422x x =-=-变形为； 其中变形正确的是（ ） A 、①③④ B 、①②④ C 、③④②D 、①②③8、方程x x +=--1752274去分母得（ ）A 、4172527()()x x +=--B 、468401035x x +=--C 、41740107x x +=-+D 、468401035x x +=-+9、一件标价为600元的上衣，按8折销售，仍可获利20元，设这件上衣的成本价为x 元，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）A 、600×0.8―x=20B 、600×80―x=20C 、600×0.8=x―20D 、600×8=x―2010、一件工作甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现由甲单独做4小时，剩下的由甲、乙合作，还需要几小时？若设剩下的部分需要x 小时完成，下列方程正确的是( ) A 、4411202012202012x x x x B --=+-=、 4411202012202012x x x xC D ++=-+=、、 二、填空题： 1、石峰学校女生人数占全体学生数的52%，比男生多80人，设这个学校学生数为x ，则女生数为 ，男生数为 ，依题意得方程： 。

A．1 或
B．1
C．
D．2
● 模块二 一元一次方程的概念和解法
特训 5
（1）若
x
是方程 x
x
a
的解，则
a
a
的值是_________．
（2）如果关于 x 的一元一次方程 (m )x | m | 的解是 x ，则 m 的值______．
（3）如果方程 (m )x|m| m n 是关于 x 的一元一次方程，且 x n 是它的解，则 n m ______．
B． a b
C． ma mb
D． ma mb
（2）下列判断错误的是（ ） A．若 a b ，则 ac bc C．若 x ，则 x x
B．若
a
b
，则
a c
b c
D．若 x x ，则 x
（3）给出下列等式：①若
a
b
，则
ac
bc
；②若
ac
bc
，则
a
b
；③若
② x 、 、 y 不是方程．
5．方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
【例】 x 是 x 的解． 6．解方程：求方程的解的过程．
【注】解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程．
● 模块二 一元一次方程的概念和解法 1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程，叫做一元一次方程．
特训 6
解方程：（1） (x ) x (x )
（2） x (x ) (x )
（3） x x
（4） x x
（5） x x 2 2x 5 3
5
3

《一元一次方程的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过一元一次方程的实际应用，加深学生对一元一次方程的理解，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，同时提高学生的逻辑思维和计算能力。

二、作业内容作业内容主要围绕一元一次方程的应用展开，具体包括以下几个方面：1. 基础练习：通过典型例题，让学生熟练掌握一元一次方程的解法，包括列方程、解方程等基本操作。

2. 实际问题建模：选取生活中常见的实际问题，如购物找零、行程问题等，引导学生将实际问题转化为数学模型，即一元一次方程。

3. 方程应用拓展：设计一些综合性问题，如经济问题、工程问题等，让学生运用所学知识解决更为复杂的问题。

4. 小组合作探究：分组让学生合作解决一些具有挑战性的问题，培养学生的团队协作能力和交流沟通能力。

三、作业要求为确保作业质量，提出以下作业要求：1. 准确理解题目：仔细阅读题目，准确理解题意，将实际问题转化为数学模型。

2. 规范解答：解题过程要规范，步骤要清晰，答案要准确。

3. 独立思考：鼓励学生在解题过程中独立思考，培养解决问题的能力。

4. 小组合作：小组合作时，每位同学要积极参与，发挥各自优势，共同解决问题。

5. 按时完成：作业需在规定时间内完成，保证作业的时效性。

四、作业评价作业评价将从以下几个方面进行：1. 正确性：答案是否正确，解题过程是否有误。

2. 规范性：解题过程是否规范，步骤是否清晰。

3. 创新性：学生是否有独特的解题思路和方法。

4. 合作性：小组合作时，成员之间的配合和交流情况。

教师将根据以上评价标准对作业进行批改，并给出相应的评分和反馈。

五、作业反馈作业反馈是本作业设计的重要环节，具体包括以下几个方面：1. 错误分析：对于学生出现的错误，教师需进行详细的分析，找出错误原因，并给出正确的解题方法和思路。

2. 表扬鼓励：对于表现出色的学生，教师应给予表扬和鼓励，激发学生的学习积极性。

3. 改进建议：针对学生在作业中暴露出的问题，教师需给出具体的改进建议，帮助学生提高数学能力和解题技巧。