页码与数字

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9是我们最常见的国际通用的阿拉伯数字（也称数码）。

数由数字组成，根据位值原则记数时，数是由十个数字中的一个或几个排列起来，表示事物的多少或次序。

数字和数是两个不同的概念，数字问题是研究一个若干位数与其各位数字之间的关系。

它不但有趣，还会活跃我们的思维，还是数字竞赛中的常见内容。

这一讲内容我们研究：1、数字的个数；2、数字的和；3、数字的位置变换。

编排一本243页的故事书，共需要用多少个数码？分析：数码即数字，要求共用多少个数码，其实就是计算排印1—243的页码时，一共需要多少个数字。

因为在这243个页码中既有一位数，又有两位数，还有三位数，所以就需要分类计算：第一类：一位数的页码从1—9页，共有9个数码；第二类：两位数的页码从10—99页，共有90×2=180个数码；第三类：三位数的页码从100—243页，共有144×3=432个数码；解：1×9+2×90+3×144=9+180+432=621（个）答：共需要621个数码。

编排一本700页的英汉大辞典，共需要多少个数码？编排一本动漫书时，共用了654个数码，那么这本动漫书一共有多少页？分析：与例题1类似，从第1页开始排印，直到第9页，一位数排印完后，开始排印两位数的，直到第99页，又开始排印三位数的，一共用了654个数码，同样的需要分类计算：第一类：一位数的页码从1—9页，共用9个数码；第二类：两位数的页码从10—99页，共用90×2=180个数码；第三类：三位数的页码从100页开始，共用654-9-180=465个数码；那么这465 个数码共可以排印：465÷3=155（个）三位数的页码。

解：（654-1×9-2×90）÷3=（654-9-180）÷3=465÷3=155（页）9+90+155=254（页）答：这本动漫书一共有254页。

第十一讲页码与数字问题这一讲的标题是从形式上定义的，其实本讲侧重的是奥数中七大重点模块中计数问题，和数论模块中的位值原理。

一、枚举计数分类枚举一定要选恰当的顺序和分类的标准才能不重不漏。

本讲的例1侧重的是分类枚举，是对加法原理的渗透。

补充小题：一本书共250页，求编码时需要多少个数码？分析与答：由于本书的页码有一位数、两位数、三位数；而几位数就需要几个数码。

故须分类计数，再相加。

一位数：有9个，共需9×1=9个数码；两位数：有90个，共需90×2=180个数码；三位数：有250-99=151个，共需151×3=453个数码；共需9+180+453=642个数码。

【记住规律：一位数：1~9，有9个；两位数：10~99，有99-10+1=90个，或99-9=90；三位数：100~999，有999-100+1=900个，或999-99=900个；四位数：9000个；……】例1：给一本书编码，一共用了723个数字，这本书一共用多少页？分析与答：刚才例子是正着问，此题倒着问。

边尝试边计算：一位数：有9个，共计用去9个数码；两位数：有90个，共需90×2=180个数码；三位数：有900个，共需900×3=2700个数码；而此题只有723个数码，多于9+180，小于9+180+2700，说明数的页数是三位数。

一位数和两位数共计用去9+180=189个数码，还剩723-189=534个数码给三位数用，每个三位数用3个数码，则还有534÷3=178个三位数，第178个三位数是99+178=277，故本书有277页。

学案1：一本书的页码，在印刷时必须用198个铅字，自这一本书的页码中数字1出现多少次？分析与答：此题是在例1的基础上再加深一步。

要想求1出现的次数，必须知道本书有多少页，这就完全转化成利1。

一位数和两位数共计用去9+180=189个数码，还剩198-189=9个数码给三位数用，每个三位数用3个数码，则还有9÷3=3个三位数，第3个三位数是102，故本书有102页。

训练点20——页码问题例题1 一本《小学数学开放题》有120页，如果给每页编上页码，共要多少个数字。

思路点拨：1~9页共用9个数字；10-99页每页2个数字，共要用2 x 90=180个数字；100一120 页共(120-99=) 21页，每页三个数字，共(3 x 21=) 63个数字，120页的书编上页码共要用(9+180+63=) 252 个数字。

综合算式：9+2 x 90+3 x ( 120-9-90 ) =252 (页)练习11、一本数学奥林匹克的书，共150页，编页码共要多少个数字？~12、一本《科学奇观》共188页，编页码共要多少个数字？3、《小学数学开窍天天练》第四册共295页，编这本书的页码个数字？例题2翻开《小学数学奥林匹克解题题典》，左右两页的页码和是185,左右两页的页码各少？思路点拨：相邻两页页码的和是185,两个页码之差是1,可按和差问题的解题规律解答:(和+差)：2=大数，(和-差)：2=小数，和-大数=1'数或和-小数=大数。

综合算式：(185 + 1 ) + 2=93 .. 右边的页码数9 3-1=92 .... 左边的页码数练习21、打开《小学数学奥赛详解》，左右两页页码和是497,左右两页页码数各是多少？2、翻开《全国小学数学教师分类详解》一书，左右两页页码的和是513,左右两页页码数各是多少？3、打开《少年数学邀请赛集训题典》，左右两页页码和是1449,这两页的页码各是多少？例题3某出版社出版一本《知识就是力量》，编页码共用了 498个数字，这本书共有多少页？思路点拨：1~9页共用9个数字，10~99页用(2 x 90=) 180个数字，从100页开始到999 页每页用3个数字。

498-9-180=309(个)数字，可编(309 - 3= )103页。

这本书共有9+90+103=202 页。

综合算式：9+90+ ( 498-9-180 ) + 3=202 (页)练习31、一本《电脑手册》，在编页码时共用了939个数字，这本书共用多少页？2、一本书的页码依次是1,2,3,....一共由2205个数字组成，这本书共用多少页？3、一本《小学数学奥林匹克解题题典》共有1021页，编页码共用了多少个数字？例题4徐伟从开始连续写数：1,2,3,4,5,......他一共写了 726个数字，他写到了哪一个数？思路点拨：徐伟从1写到9用9个数字，从10写到99用(2 x 90=) 180个数字，从100 开始每写1个数要用3个数字。

二、页码中的数学通过以前的学习我们都知道，常用的阿拉伯数字只有0～9一共十个。

用这些数字可以组成无数个数，数的个数是无限的。

一本书的页码都是由数字组成的，熟悉页码中包含的数字规律可以解决许多有趣的数学问题。

例1一本连环画共128页，编页码要用多少个数字？分析：给一部书编页码：从1～9页各用1个数字，共用1×9＝9(个)数字；从10～99页各用2个数字，共用2×90＝180(个)数字；从100～999页各用3个数字，共用3×900＝2700(个)数字；从1000～9999页各用4个数字……这就是编页码的规律，也就是解题的突破口：1×9＋2×90＝189(个) ……1～99页用的数字个数3×(128－99)＝87(个) ……100～128页用的数字个数189＋87＝276(个)答：编页码要用276个数字。

例2 给一本百科全书编上页码，共需6869个数字，这部书共有多少页？分析：根据刚才我们总结的规律9＋180＋2700＝2889(个) ……排列999页已经用的数字个数6869－2889＝3980(个) ……由4个数字组成的页码的数字个数和3980÷4＝995(页) ……页码由4个数字组成的页数999＋995＝1994(页)答：这部书共1994页。

练一练：1．一本书共328页，编页码要用多少个数字？2．给一本书编页码，共用了900个数字，这本书共有多少页？3．给一本书编页码，共用了2781个数字，这本书共有多少页？4．给一本书编页码，共用了36□个数字，这本书可能有多少页？例3在1～1000这一千个自然数中，数字1出现了多少次？分析：我们可以按照数位来研究数字1出现的规律。

先看个位：1是按照1、11、21、31……101、111、121……981、991这样出现的。

通过观察可以看出，其实是公差是10的一个等差数列。

可以用等差数列的知识来求出个位上1的个数(991－1)÷10＋1＝100(个)再看十位：1是按照10～19，110～119，210～219，310～319……910～919这样的规律出现的，每组数十位上出现10次1，一共有10组。

页码问题编一本书的页码，一共需要多少个数码呢？反过来，知道编一本书的页码所需的数码数量，求这本书的页数．这是页码问题中的两个基本内容。

我们先看一下“数”与“组成它的数码个数”之间的关系．1、一位数的页码有9页，共1×9=9个数字；组成所有的一位数需要9个数码；2、两位数的页码有90页，共90×2=180个数字；需要180个数码3、三位数有900个，全部编上共用900×3=2700个数字，需要3×900＝2700(个)数码。

题目会出1、一本书有N页，求排版时用了多少个数字；或者反过来，一本书排版时用了N个数字，求这本书有多少页；2、已知一本N页的书中，求某个数字出现多少次；3、已知一本N页的书中，求含有某个数字的页码有多少页一本书排版时用了N个数字，求这本书有多少页，数字数<2889时，用公式：页码数=数字数/3+36；数字数>2889时,用添加0计算。

例1 一本书共204页，需多少个数码编页码？2.编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115 用了2个1 和1个5共3个数字），问这本书一共有多少页？N/3+36。

270/3 +36=126。

2．一本小说的页码，在排版时必须用2211 个数码。

问这本书共有多少页？A．773 B.774 C .775 D.7763 ．王先生在编一本书，其页数需要用6869 个字，问这本书具体是多少页？A.1999B.9999C.1994D.1995方法一：假设这个页数是A页，则：A+(A-9)+(A-99)+(A-999)=6869 ，求出A=1994方法二：6869>2889，所以，把所有的数字看作是4位数字，不足4位的添O补足4位，l , 2 , 3 , …9 记为0001 , 0002 , 0003 , ..0009 这样增加了3 * 9 = 27 个010 , 11 , 12 , …99 记为0010 , 0011 , 0012 ，..0099 增加了180 个0100 , 101 ，…999 记为0100 , 0101 ，…0999 增加了900 个O(6869+27+180+900)/4 =1994关于含“1”出现过多少次的问题，总结出的公式就是：总页数的1/10 乘以（数字位-1 )，再加上10 的（数字位数-l）次方。

（四）数码问题——页码问题1、给一本书编页码，在印刷时必须用到2007 个铅字（一个铅字代表一个数字）。

这本书共有多少页？1 〜9 页用9 个数字,10~99 页共90X 2= 180 个数字,2007 —9- 189= 1818, 1818- 3= 606, 故共有606 + 90+ 9= 705 页。

2、排印一本200 页的书,共需要多少数字？1 〜9 页用9 个数字，10~99 页用（99 —10+ 1）X 2= 180 个数字，100~200 页，用（200 —100＋1）X3=101X3= 303 个数字,共用了9＋180＋303= 492个数字。

3、一本书有500页，编上页码1、2、3、…，问数字1在页码中出现多少次？每连续10个数，在个位数上出现一次1，因此个位数上共出现500- 10= 50（次）;十位数上每连续100个数出现10 次，共有5X10= 50（次），又在500 页书中，在百位数上出现1 的有100次。

所以出现1 的次数共有50+50+ 100=200（次）4、给一部百科全书编上页码需要6869 个数字。

那么这部书共有多少页？一位数用9 个数字，二位数用90X 2= 180 个数字，三位数用3X 900= 2700 个数字，共用了9+ 180+ 2700 = 2889 个数字，还余6869 —2889 = 3980 （个数字），3980- 4= 995 （个4位数），所以这部书共有9+ 90+ 900+ 995=1994（页）5、上、下两册书共有687 个数字，且上册比下比多5 页，那么上册有几页？由题意“上册书比下册书多5 页，又上、下两册共用687 个数字”知，这两册书均超过100 页。

所以，上册书共用（687 + 5X 3）十2= 351 （个数字）其中1〜9页用9个数字，10~99页用90X 2= 180个数字，所以上册书页码共有（351 —9—180）十3+ 99 = 153 （页）6、甲、乙两岫书的面码共用了777 个数字，且甲册比乙册多7个页码，问：甲册有多少页？显然这两册书的页数都为三位数。

页码问题【知识导学】一、数与数字数是由数字组成，数有无穷个，但数字只有10个，即0、1、 2、 3、 4、 5、6、7、8、9。

二、页码特征1、页码是连续的自然数。

2、同一页纸有2个页码，是两个相邻自然数(奇数在前，偶数在后)，页数和是奇数。

3、任意翻开的两页页码是先偶后奇的两个相邻自然数。

1、知道页码，求数字的个数方法:分段算，根据一位数、两位数、三位数……分段去求数字的个数。

2、知道数字个数，求页码数方法一:分段算，根据一位数、两位数、三位数……分段去求页码数。

方法二:补位法，页数是三位数时，每个一位数补2个数字;每个两位数补1个数字，都变成三位数。

3、求某个数字出现的次数方法:枚举，根据个位、十位......分位去求数字出现的次数。

4、页码与页码的累加和方法:页码就是连续的自然数，可用等差数列求和。

【例1】一本小漫画书一共40页，这些页码共用了多少个数字?【即学即练1】一个小册子共有20页，1~20页的页码一共用了多少个数字?【例2】一本书共有150页，这些页的页码一共用了多少个数字?【即学即练2】一本小说共有86页，这些页的页码一共用了多少个数字?【例3】给一本书编页码，一共用了225个数字，这本书一共有多少页？【即学即练3】一本小说的页码，在印刷时必须用105个数字。

这本书共有多少页?【例4】(1)一本书共有100页，1~100页的页码中，一共用了多少个数字“2" ？(2)一本书共有1000页，1~1000页的页码中，一共用了多少个"2 " ？【即学即练4】一本书共有100页，1~100页的页码中，数字3用了多少个？数字4用了多少个？同学们找找规律，再计算1~9中的其他数字各出现多少次。

【例5】(1）给一本书编页码时，一共用了10个数字“5 “，请问这本书有多少页?(2)给一本书编页码时，一共用了41个数字“5"，请问这本书最少有多少页?最多有多少页?【即学即练5】一本书编页码时，一共用了62个数字“8”，且最后一页是含有“8”的页码，请问这本书有多少页?【例6】有一本50页的书，中间缺了一张，丁丁将残书的页码相加，得到了1230。

页码问题知识点：1、数字（数码）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，共10个。

2、打开一本书有两页：左小右大，左单右双。

3、一位数页码：1~9页，共9页，所用数字1×9=9个两位数页码：10~99页，共90页，所用数字2×90=180个三位数页码：100~999页，共900页，所用数字3×900=2700个4、题型：（1）左右分别是多少页：和÷2，商为较小页数（2）已知页数，求用了多少个数字：①按位数分段，求每一段有多少页；②求一位数、两位数、三位数各用了多少个数字；③各段个数相加求和。

（3）已知用多少数字，求页数：①按位数分段，分别求一位数、两位数、三位数有多少页；②各段页数相加求和（4）已知页数，求某数字出现次数：①按数位分类，求在个位、十位、百位…各出现多少次；②各类次数相加求和。

【例1】小禹打开一本故事书，发现左右两页的页码之和为49，你知道小禹打开的是哪两页吗？请指出来。

【变式1】打开一本书发现左右两边的页码之和为153，左右两边分别是多少页？【例2】一本书共20页。

在给这本书编页码时，共用掉了多少个数字？【变式2】某数学书共99页，这本书的页码共多少页？【例3】一本书共100页，现在要给这本书编页码，需要多少个数字？【变式3】一本杂志共125页，这本书的页码用了多少个数字？【例4】给一本书编页码，共用了93个数字，这本书有多少页？【变式4】给一本书编页码，共用了723个数字，这本书一共多少页？【例5】一本书共有90页，这本书的页码中，含有数字“1”的有多少个？【变式5】一本书共200页，在这本书的页码中不含数字1的有多少个？【例6】一本书共78页，编这本书的页码，数字2在页码中共出现了多少次？【变式6】一本书共125页，编这本书的页码，数字3在页码中共出现了多少次？【挑战】大数123456789101112……是将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成的，问：左起第89位上的数字是多少？【变式挑战】大数123456789101112……是将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成的，问：左起第189位上的数字是多少？作业：1、小禹在放学后看《世界未解之谜》，翻到某两页时就去吃饭了，这时两页的页数之和为137，小禹最后打开的是哪两页？2、有一个缺乏道德的人去图书馆看书，他看见书上有些图很好漂亮，就偷偷撕下页码为21、42、84、85、151、159、160、180的这几页。