2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷

2020届天津市实验中学滨海分校高三模拟考试（3月）数学试题一、单选题(★) 1 . 已知，则（）A．B．C．D．(★★) 2 . 设，是两个不同的平面，是直线且．“ ”是“ ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 3 . 已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A．B．C．D．(★) 4 . 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度(★) 5 . 已知函数，对任意的，，总有成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★) 6 . 函数= 的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A ．B ．C ．D ．(★★) 7 . △ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ．已知 ，a=2， c= ，则 C= A ． B ．C ．D ．(★★) 8 . 设椭圆C ：的左、右焦点分别为 、 ，P 是C 上的点，⊥ ， ∠=，则C 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．(★★★★) 9 . 已知函数， ，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题(★) 10 . 复数 （ 为虚数单位）的共轭复数是 ________ ． (★★) 11 . 的展开式中x 7的系数为__________.（用数字作答）(★★) 12 . 已知，且，则的最小值为 ______________ .(★) 13 . 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．(★★) 14 . 如图，在中，，是边上一点，，则．(★★) 15 . 已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是________．三、解答题(★★) 16 . 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率：（2）记为1名顾客5次摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望(★★) 17 . 已知数列是递增的等比数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和．(★★) 18 . 如图，为圆的直径，点，在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；（Ⅲ）当的长为何值时，二面角的大小为．(★★★★) 19 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴轴分别交于两点.①设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；②求面积的最大值.(★★★★) 20 . 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．。

2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷（三）一、选择题1．（3分）已知i 是虚数单位，2017231iz i i=-+，且z 的共轭复数为z ，则(z z =g ) A ．3B ．5C ．5D ．32．（3分）,a b r r 是单位向量，“2()2a b +<r r ”是“,a b rr 的夹角为钝角”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．（3分）已知3412a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是( ) A ．4a b +>B ．4ab >C ．22(1)(1)2a b -+->D ．223a b +<4．（3分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则||a 的最小值为( )A ．12π B ．6π C ．3π D ．512π 5．（3分）已知函数3|2|1,0()31,0x x f x x x x --⎧=⎨-++<⎩…，函数(1),1()2,1ln x m x g x x x -++>-⎧=⎨+-⎩„，若方程()()f x g x =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．3(2,)2lnB ．(2,4)lnC ．(3,2)lnD ．(31,1)ln -二、填空题526．（3分）已知α满足2sin()4πα+=，则212tan tan αα+= ．7．（3分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点M 为双曲线右支上一点，若12||2||F F OM =，21tan 2MF F ∠…，则双曲线C 的离心率的取值范围为 ．8．（3分）如图，菱形ABCD 的边长为3，对角线AC 与BD 相交于O 点，||23AC =u u u r，E 为BC 边（包含端点）上一点，则||EA u u u r 的取值范围是 ，EA ED u u u r u u u rg 的最小值为 ．三、解答题9．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，112PA AD AB ===，点E 、M 分别在线段AB 、PC 上，且AE PMAB PCλ==，其中01λ<<，连接CE ，延长CE 与DA 的延长线交于点F ，连接PE ，PF ，ME ．（Ⅰ）求证：//ME 平面PFD ； （Ⅱ）若12λ=时，求二面角A PE F --的正弦值； （Ⅲ）若直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为5时，求λ值．10．已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 是等比数列，且347a a a +=，245b b b =g ，4234a b b =-，数列{}n c 满足：212,32,31,3m n m mb n mc b n m a n m-=-⎧⎪==-⎨⎪=⎩，其中*m N ∈． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记*3231313331()n n n n n n n t c c c c c c n N ---+=++∈，求数列{}n t 的前n 项和．2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷（三）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）已知i 是虚数单位，2017231iz i i=-+，且z 的共轭复数为z ，则(z z =g )A BC ．5D ．3【解答】解：201722(1)3313121(1)(1)i i i z i i i i i i i i -=-=-=+-=-++-， 则12z i =+，故2||5z z z ==g ． 故选：C ．2．（3分）,a b r r 是单位向量，“2()2a b +<r r ”是“,a b rr 的夹角为钝角”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：Q ,a b rr 是单位向量，∴①由2()2a b +<r r 得，222||||cos ,22cos ,2a a b a b b a b +<>+=+<><r r r rr r r r ， ∴cos ,0a b <><rr ， ∴,a b rr 的夹角为钝角或平角，∴ “2()2a b +<r r ”不是“,a b rr 的夹角为钝角”的充分条件； ②由,a b r r 的夹角为钝角得，cos ,0a b <><rr ，∴2()22cos ,2a b a b +=+<><r rr r ，∴ “2()2a b +<r r ”是“,a b rr 的夹角为钝角”的必要条件， ∴ “2()2a b +<r r ”是“,a b rr 的夹角为钝角”的必要而不充分条件．故选：C ．3．（3分）已知3412a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是( ) A ．4a b +>B ．4ab >C ．22(1)(1)2a b -+->D ．223a b +<【解答】解：3412a b ==Q ；33log 121log 4a ∴==+，44log 121log 3b ==+；342log 4log 34a b ∴+=++>，342log 4log 34ab =++>，22223434(1)(1)(4)(3)2log 4log 32a b log log -+-=+>=g ；2a >Q ；224a b ∴+>；D ∴错误．故选：D ．4．（3分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则||a 的最小值为( )A ．12π B ．6π C ．3π D ．512π 【解答】解由图象易知，2A =，411()3126T πππ=-=，2ω∴=，又2262k ππϕπ⨯+=+，∴2()6k k Z πϕπ=+∈，Q ||2πϕ<，∴6πϕ=，∴()2sin(2)6f x x π=+，()()0f a x f a x ++-=Q ， ()f x ∴关于点(,0)a 对称，即有2,6a k k Z ππ+=∈，∴,212k a k Z ππ=-∈， ||a ∴的最小值为12π，。

2020年高考数学第五次模拟试卷一、选择题1．不等式成立的充分不必要条件是（）A．x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1C．x＞﹣1D．﹣1＜x＜0或x＞12．现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A﹣BCD，如图所示，已知，，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（）A．B．C．D．3．数列{a n}满足a1＝1，对∀n∈N*，都有a n+1＝a1+a n+n，则++……+＝（）A．B．C．D．4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（）A．B．C．D．5．如图，圆O为直角三角形ABC内切圆，已知AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过圆心O 的直线交圆O于两点P，Q，则•的取值范围是（）A．[1，1]B．[﹣7，7]C．[﹣1，7]D．[﹣7，1]二、填空题6．设a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，已知＝，则的取值范围为．7．若a＞0，b＞0，且+＝1，则a+2b的最小值为．8．设f（x）是定义在R上的偶函数，∀x∈R，都有f（2﹣x）＝f（2+x），且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2，若函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，9]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是．三、解答题9．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|＝c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x 轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．10．已知函数f（x）＝ax sin x﹣（a∈R），且在上的最大值为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明．参考答案一、选择题1．不等式成立的充分不必要条件是（）A．x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1C．x＞﹣1D．﹣1＜x＜0或x＞1解：不等式，解得x＞1或x＜0x＞1⇒x＞1或x＜0，符合题意，故正确；x＜﹣1或0＜x＜1⇒x＞1或x＜0是假命题，故不正确；x＞﹣1⇒x＞1或x＜0是假命题，故不正确；﹣1＜x＜0或x＞1⇒x＞1或x＜0是假命题，故不正确；故选：A．2．现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A﹣BCD，如图所示，已知，，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】根据已知得三棱锥A﹣BCD的外接球的半径r＝1，且AB为外接球直径，分别求出AB，AD，BD，AC，BC的值．且当点C到平面ABD距离最大时，三棱锥A﹣BCD 的体积最大，可知此时平面ABC⊥平面ABD，且点C到平面ABD的距离d＝1，再由等体积法求三棱锥的体积的最大值．解：根据已知得三棱锥A﹣BCD的外接球的半径r＝1，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴AB为外接球直径，则AB＝2，且AD＝，BD＝1，AC ＝BC＝．当点C到平面ABD距离最大时，三棱锥A﹣BCD的体积最大，此时平面ABC⊥平面ABD，且点C到平面ABD的距离d＝1，∴．故选：B．3．数列{a n}满足a1＝1，对∀n∈N*，都有a n+1＝a1+a n+n，则++……+＝（）A．B．C．D．【分析】本题将a1＝1代入递推公式后可计算得到a n+1﹣a n＝n+1．然后代入n的具体值，运用累加法可计算出数列{a n}的通项公式，然后计算出的表达式，再运用裂项相消法计算出结果，得到正确选项．解：由题意，可知a n+1＝a n+n+1，即a n+1﹣a n＝n+1．∴a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，•••a n﹣a n﹣1＝n．各项相加，可得a n﹣a1＝2+3+…+n，∴a n＝a1+2+3+…+n＝1+2+3+…+n＝，n∈N*，＝＝2（﹣），则++…+＝2（1﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣）＝，故选：D．4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p＝2c，b2＝c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e，即可得出结论．解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p＝2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴，设A点的纵坐标大于0，∴|AF|＝p，∴A（，p），∵点A在双曲线上，∴＝1，∵p＝2c，b2＝c2﹣a2，∴＝1，化简得：c4﹣6c2a2+a4＝0，∴e4﹣6e2+1＝0，∵e2＞1，∴e2＝3+2，∴1+（）2＝3+2∴（）2＝2+2＞3∴l的倾斜角所在的区间可能是（，），故选：D．5．如图，圆O为直角三角形ABC内切圆，已知AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过圆心O 的直线交圆O于两点P，Q，则•的取值范围是（）A．[1，1]B．[﹣7，7]C．[﹣1，7]D．[﹣7，1]【分析】以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，与直线AC平行的直线为y 轴，建立直角坐标系，设△ABC的内切圆的半径为r，运用面积相等可得r＝1，设出圆的方程，求得交点P，Q，讨论直线的斜率k不存在和大于0，小于0的情况，运用向量的坐标运算，结合数量积的坐标表示和不等式的性质，计算即可得到范围．解：以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，设△ABC的内切圆的半径为r，运用面积相等可得，×3×4＝r（3+4+5），解得r＝1，则B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），即有圆O：x2+y2＝1，当直线PQ的斜率不存在时，即有P（0，1），Q（0，﹣1），＝（3，3），＝（﹣1，0），即有•＝﹣3．当直线PQ的斜率存在时，设直线l：y＝kx，（k＜0），代入圆的方程可得P（﹣，﹣），Q（，），即有＝（3﹣，1﹣），＝（﹣1，+1），则有•＝（3﹣）（﹣1）+（1﹣）（+1）＝﹣3+，由1+k2≥1可得0＜≤4，则有﹣3＜﹣3+≤1．同理当k＞0时，求得P（，），Q（﹣，﹣），则有•＝﹣3﹣，则有﹣7≤﹣3﹣＜﹣3，综上可得，•的取值范围是[﹣7，1]．故答案为：[﹣7，1]．故选：D．二、填空题6．设a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，已知＝，则的取值范围为（0，2]．【分析】由已知结合正弦定理及和角三角公式进行化简可求C，然后结合余弦定理及正弦函数的性质即可求解．解：因为＝，由正弦定理可得，2sin A cos C﹣sin B cos C＝sin C cos B，即2sin A cos C＝sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A，所以cos C＝即C＝，所以0＜B＜，所以sin B∈（0，1]，则＝＝＝＝2．故答案为：（0，2]7．若a＞0，b＞0，且+＝1，则a+2b的最小值为+．【分析】把a+2b变形为a+2b＝﹣，再利用已知可得a+2b＝（+）（+），利用基本不等式即可得出．解：∵a＞0，b＞0，且+＝1，∴a+2b＝﹣＝（+）（+）﹣＝+++﹣≥+2＝+，当且仅当＝，a＞0，b＞0，且+＝1，即b＝，a＝+时，取等号，∴则a+2b的最小值为+，故答案为：+．8．设f（x）是定义在R上的偶函数，∀x∈R，都有f（2﹣x）＝f（2+x），且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2，若函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，9]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（，）∪（，）．【分析】可判断f（x）的周期为4，从而作函数f（x）与y＝log a（x+1）在（﹣1，9]上的图象，结合图象分类讨论即可．解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2﹣x）＝f（2+x），∴f（x）的周期为4，作函数f（x）与y＝log a（x+1）在（﹣1，9]上的图象如下，，当a＞1时，，解得，＜a＜；当0＜a＜1时，，解得，＜a＜；故答案为：（，）∪（，）．三、解答题9．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|＝c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x 轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过．转化求解椭圆的离心率．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x＝my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．通过a＝2c，可得直线AE的方程为，求解点Q的坐标为．利用|FQ|＝，求出m，然后求解直线FP的斜率．（ii）求出椭圆方程的表达式，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c＝0，与椭圆方程联立通过，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由b2＝a2﹣c2，可得2c2+ac﹣a2＝0，即2e2+e﹣1＝0．又因为0＜e＜1，解得．所以，椭圆的离心率为；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x＝my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．由（Ⅰ）知a＝2c，可得直线AE的方程为，即x+2y﹣2c＝0，与直线FP的方程联立，可解得，即点Q的坐标为．由已知|FQ|＝，有，整理得3m2﹣4m＝0，所以，即直线FP的斜率为．（ii）解：由a＝2c，可得，故椭圆方程可以表示为．由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c＝0，与椭圆方程联立消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2＝0，解得（舍去），或x＝c．因此可得点，进而可得，所以．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．因为QN⊥FP，所以，所以△FQN的面积为，同理△FPM的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c，得，整理得c2＝2c，又由c＞0，得c＝2．所以，椭圆的方程为．10．已知函数f（x）＝ax sin x﹣（a∈R），且在上的最大值为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明．【分析】（I）由题意，可借助导数研究函数，在上的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于a的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解；（II）借助导数研究函数f（x）在（0，π）内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个数．解：（I）由已知得f′（x）＝a（sin x+x cos x），对于任意的x∈（0，），有sin x+x cos x ＞0，当a＝0时，f（x）＝﹣，不合题意；当a＜0时，x∈（0，），f′（x）＜0，从而f（x）在（0，）单调递减，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上上的最大值为f（0）＝﹣，不合题意；当a＞0时，x∈（0，），f′（x）＞0，从而f（x）在（0，）单调递增，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上上的最大值为f（）＝＝，解得a＝1，综上所述，得（II）函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点．证明如下：由（I）知，，从而有f（0）＝﹣＜0，f（）＝＞0，又函数在上图象是连续不断的，所以函数f（x）在（0，）内至少存在一个零点，又由（I）知f（x）在（0，）单调递增，故函数f（x）在（0，）内仅有一个零点．当x∈[，π]时，令g（x）＝f′（x）＝sin x+x cos x，由g（）＝1＞0，g（π）＝﹣π＜0，且g（x）在[，π]上的图象是连续不断的，故存在m∈（，π），使得g（m）＝0．由g′（x）＝2cos x﹣x sin x，知x∈（，π）时，有g′（x）＜0，从而g（x）在[，π]上单调递减．当x∈（，m），g（x）＞g（m）＝0，即f′（x）＞0，从而f（x）在（，m）内单调递增故当x∈（，m）时，f（x）＞f（）＝＞0，从而（x）在（，m）内无零点；当x∈（m，π）时，有g（x）＜g（m）＝0，即f′（x）＜0，从而f（x）在（，m）内单调递减．又f（m）＞0，f（π）＜0且f（x）在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f（x）在[m，π]内有且仅有一个零点．综上所述，函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点．。

2020年天津市高考数学模拟试卷（6）一．选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）1．（5分）设全集为R ，集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |x 2≥1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，2）C ．（0，1）D ．（0，2）2．（5分）下列说法错误的是（ ）A ．命题p ：“∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0”，则￢p ：“∀x ∈R ，x 2+x +1≥0”B ．命题“若x 2﹣4x +3＝0，则x ＝3”的否命题是真命题C ．若p ∧q 为假命题，则p ∨q 为假命题D ．若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件3．（5分）已知a ＝lg 0.3，b ＝20.2，c ＝0.80.6，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜c ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜c4．（5分）在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3﹣a 5+a 7＝78，则a 5＝（ ） A ．12B ．18C ．24D ．365．（5分）已知抛物线y 2＝4√2x 的准线与双曲线x 2a 2−y 2＝1（a ＞0）相交于A 、B 两点，F为抛物线的焦点，若△F AB 为直角三角形，则实数a ＝（ ） A ．19B ．29C ．13D ．√236．（5分）将函数f(x)=sin(3x +π6)的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，若g （x ）为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．π9B ．2π9C ．π18D ．π247．（5分）将3本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，则甲、乙都分到书的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．498．（5分）在△ABC 中，E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，设AB →=a →，AC →=b →，且BG →=λa →+μb →，则λ+μ的值为（ ）A ．−13B ．13C ．23D ．19．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，f （2）＝0，则不等式xf （x +2）≤0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）10．（5分）若a ，b ∈N ，且a +b ≤6，复数a +bi 共有 个．11．（5分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ ．12．（5分）已知函数f （x ）＝e 2x ，则过原点且与曲线y ＝f （x ）相切的直线方程为 13．（5分）在底面是边长为2√3的正方形的四棱锥P ﹣ABCD 中，顶点P 在底面的射影H 为正方形ABCD 的中心，异面直线PB 与AD 所成角的正切值为2，若四棱锥P ﹣ABCD 的内切球半径为r ，外接球的半径为R ，则R ﹣r ＝ ．14．（5分）要制作一个容积为9m 3，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总价是 元． 15．（5分）若f （x ）={sin πx6(x ≤0)1−2x(x ＞0)，则f [f （3）]＝ ．三．解答题（共5小题）16．已知函数f(x)=sinx ⋅sin(x +π3)−14(x ∈R)． （1）求f(π3)的值和f （x ）的最小正周期；（2）设锐角△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且f(A 2)=14，a ＝2，求b +c 的取值范围．17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B l C 1中，BC ＝BB 1，BC 1∩B 1C ＝O ，AO ⊥平面BB 1C 1C ． （1）求证：AB ⊥B 1C ；（2）若∠B1BC＝60°，直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为30°，求二面角A﹣B l C1﹣B的余弦值．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝0，S n+n＝a n+1，n∈N*（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等比数列，（Ⅱ）设数列{b n}的首项b1＝1，其前n项和为T n，且点（T n+1，T n）在直线xn+1−yn=12上，求数列{b na n+1}的前n项和R n．19．如图，已知圆G：x2+y2﹣2x−√2y＝0，经过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点M（m，0）（m＞a）倾斜角为5π6的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．20．已知函数f（x）＝e x﹣xlnx+ax，f'（x）为f（x）的导数，函数f'（x）在x＝x0处取得最小值．（1）求证：lnx0+x0＝0；（2）若x≥x0时，f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．2020年天津市高考数学模拟试卷（6）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）1．（5分）设全集为R，集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x2≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（0，1）D．（0，2）【解答】解：∵全集为R，集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}＝{x|x≤﹣1或x≥1}，∴∁R B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}＝（0，1）．故选：C．2．（5分）下列说法错误的是（）A．命题p：“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”B．命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的否命题是真命题C．若p∧q为假命题，则p∨q为假命题D．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件【解答】解：命题p：“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”满足命题的否定形式，所以A正确；命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的否命题是x≠3，则x2﹣4x+3≠0，否命题的真命题，所以B正确；若p∧q为假命题，至少一个是假命题，当个命题都是假命题是p∨q为假命题，所以C 不正确；若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，满足充要条件的定义，所以D正确；故选：C．3．（5分）已知a＝lg0.3，b＝20.2，c＝0.80.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c【解答】解：a＝lg0.3＜0，b＝20.2＞1，c＝0.80.6∈（0，1）．∴a＜c＜b．故选：A．4．（5分）在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3﹣a 5+a 7＝78，则a 5＝（ ） A ．12B ．18C ．24D ．36【解答】解：根据题意，等比数列{a n }中，设其公比为q ，已知a 3＝6，a 3﹣a 5+a 7＝78，则6﹣6q 2+6q 4＝78，解可得q 2＝4或q 2＝﹣3，舍； 故a 5＝6q 2＝24， 故选：C ．5．（5分）已知抛物线y 2＝4√2x 的准线与双曲线x 2a 2−y 2＝1（a ＞0）相交于A 、B 两点，F为抛物线的焦点，若△F AB 为直角三角形，则实数a ＝（ ） A ．19B ．29C ．13D ．√23【解答】解：∵抛物线的方程为y 2＝4√2x ， ∴抛物线的准线为x =−√2，焦点为F （√2，0）． 又∵直线x =−√2交双曲线x 2a 2−y 2＝1于A 、B 两点，△F AB 为直角三角形．∴△F AB 是等腰直角三角形，AB 边上的高FF '＝2√2， 由此可得A （−√2，2√2）、B （−√2，﹣2√2），如图所示． 将点A 或点B 的坐标代入双曲线方程，得2a 2−8=1，解得a =√23（负值舍去）．故选：D ．6．（5分）将函数f(x)=sin(3x +π6)的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，若g （x ）为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．π9B ．2π9C ．π18D ．π24【解答】解：将函数f(x)=sin(3x +π6)的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，可得y＝sin （3x ﹣3m +π6）的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）＝sin （12x﹣3m +π6）的图象，若g （x ）为奇函数，则当m 的最小时，﹣3m +π6=0，∴m =π18， 故选：C ．7．（5分）将3本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，则甲、乙都分到书的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．49【解答】解：根据题意，将3本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，每本书有3种情况，则一共有3×3×3＝27种分法， 若甲、乙都分到书，分2种情况讨论： 甲乙丙三人都分到书，有A 33＝6种情况， 只有甲乙分到书，有C 32×2＝6种情况， 则甲、乙都分到书的的情况有6+6＝12种， 故则甲、乙都分到书的概率P =1227=49； 故选：D ．8．（5分）在△ABC 中，E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，设AB →=a →，AC →=b →，且BG →=λa →+μb →，则λ+μ的值为（ ）A ．−13B ．13C ．23D ．1【解答】解：∵E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ， ∴G 为△ABC 的重心，且AB →=a →，AC →=b →，∴BG →=13(BA →+BC →) =13(−AB →+AC →−AB →)=−23AB →+13AC →=−23a →+13b →，又BG →=λa →+μb →， ∴λ+μ=−13． 故选：A ．9．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，f （2）＝0，则不等式xf （x +2）≤0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【解答】解：根据题意，设g （x ）＝f （x +2），g （x ）的图象可以由f （x ）的图象向左平移2个单位得到的，函数f （x ）是R 上的奇函数，则函数g （x ）的图象关于点（﹣2，0）对称， 则g （0）＝f （2）＝0，g （﹣4）＝f （﹣2）＝0， 则g （x ）的草图如图：故xf （x +2）≤0⇒xg （x ）≤0⇒{x ≥0g(x)≤0或{x ≤0g(x)≥0；则有x ≤﹣4或x ≥﹣2；即x 的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）； 故选：C ．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）10．（5分）若a ，b ∈N ，且a +b ≤6，复数a +bi 共有 28 个． 【解答】解：∵a ，b ∈N ，且a +b ≤6，∴当a ＝0时，b ＝0，1，2，3，4，5，6，此时复数共7个；当a＝1时，b＝0，1，2，3，4，5，此时复数共6个；当a＝2时，b＝0，1，2，3，4，此时复数共5个；当a＝3时，b＝0，1，2，3，此时复数共4个；当a＝4时，b＝0，1，2，此时复数共3个；当a＝5时，b＝0，1，此时复数共2个；当a＝6时，b＝0，此时复数共1个；∴复数a+bi共7+6+5+4+3+2+1＝28个故答案为：28．11．（5分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为T r+1=C6r(−x)r可得，令r＝2，即x2项的系数a2为C62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．12．（5分）已知函数f（x）＝e2x，则过原点且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为2ex﹣y ＝0【解答】解：设切点为（m，n），函数f（x）＝e2x的导数为f′（x）＝2e2x，可得切线的斜率为2e2m，由切线过原点，可得nm =e2mm=2e2m，解得m=12，n＝e，则切线方程为y＝2ex．故答案为：2ex﹣y＝0．13．（5分）在底面是边长为2√3的正方形的四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的射影H 为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为2，若四棱锥P﹣ABCD的内切球半径为r，外接球的半径为R，则R﹣r＝32．【解答】解：如图，E，F为AB，CD的中点，由题意，P﹣ABCD为正四棱锥，底边长为2√3， ∵BC ∥AD ，∴∠PBC 即为PB 与AD 所成角，由tan ∠PBC ＝2，可得斜高为2√3， ∴△PEF 为正三角形，边长为2√3，正四棱锥P ﹣ABCD 的内切球半径，即为△PEF 的内切圆半径， 可得r =√3tan30°=√3×√33=1，设O 为外接球球心，在Rt △OHA 中，（PH ﹣R ）2+AH 2＝R 2， 即(3−R)2+(√6)2=R 2，解得R =52， ∴R ﹣r =32． 故答案为：32．14．（5分）要制作一个容积为9m 3，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总价是 300 元． 【解答】解：设长方体容器的长为xm ，宽为ym ； 则x •y •1＝9， 即xy ＝9； 则该容器的造价为 20xy +10（x +x +y +y ） ＝180+20（x +y ） ≥180+20×2√xy ＝180+120＝300；（当且仅当x ＝y ＝3时，等号成立） 故该容器的最低总价是300元； 故答案为：300．15．（5分）若f （x ）={sin πx6(x ≤0)1−2x(x ＞0)，则f [f （3）]＝ −12 ． 【解答】解：f （3）＝1﹣2×3＝﹣5 f [f （3）]＝f （﹣5）＝sin （−5π6）=−12故答案为−12． 三．解答题（共5小题）16．已知函数f(x)=sinx ⋅sin(x +π3)−14(x ∈R)． （1）求f(π3)的值和f （x ）的最小正周期；（2）设锐角△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且f(A 2)=14，a ＝2，求b +c 的取值范围．【解答】解：（1）函数f(x)=sinx ⋅sin(x +π3)−14(x ∈R)． 所以f(π3)=√32×√32−14=12． 所以f （x ）=sinx(12sinx +√32cosx)=1−cos2x 4+√34sin2x −14=12sin(2x −π6)， 所以函数f （x ）的最小正周期为π；（2）设锐角△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且f(A2)=14， 所以sin(A −π6)=12，解得A =π3． 利用正弦定理a sinA =b sinB=c sinC，解得b =√3，c =√3sin(2π3−B)， 所以b +c =√3+sin(2π3−B)]=4sin(B +π6)， 由于{0＜B ＜π20＜C =2π3−B ＜π2，解得π6＜B ＜π2，所以B +π6∈(π3，2π3)，所以b +c ∈(2√3，4]．17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B l C 1中，BC ＝BB 1，BC 1∩B 1C ＝O ，AO ⊥平面BB 1C 1C ． （1）求证：AB ⊥B 1C ；（2）若∠B 1BC ＝60°，直线A 1B 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，求二面角A ﹣B l C 1﹣B 的余弦值．【解答】解：（1）因为AO ⊥平面BB ₁C ₁C ，所以AO ⊥B ₁C ， 因为BC ＝BB ₁，所以四边形BB ₁C ₁C 为菱形， 所以BC ₁⊥B ₁C ，因为AO ∩BC ₁＝O ，所以B ₁C ⊥平面ABC ₁， AB ⊂平面ABC ₁， 所以B ₁C ⊥AB ；（2）直线A 1B 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，根据题意，∠ABO ＝30°，设BC ＝2，∠B 1BC ＝60°， 则B ₁C ＝2，OB =√3，OA ＝OB tan30°＝1，以O 为原点，OB ，OB ₁，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则O （0，0，0），B （√3，0，0），B ₁（0，1，0），A （0，0，1），C ₁（−√3，0，0）， 由AB →=B 1A 1→，得A 1（−√3，1，1，）， 设平面B ₁C ₁A ₁的法向量我m →=(x ，y ，z)，由{m →⋅A 1B 1→=−√3x +z =0m →⋅C 1B 1→=−√3x −y =0，得m →=(1，−√3，√3)，平面B ₁C ₁B 的法向量为OA →=(0，0，1)， 由cos ＜m →，OA →＞=√3√7=√217， 故所求二面角的余弦值为−√217．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝0，S n +n ＝a n +1，n ∈N * （Ⅰ）求证：数列{a n +1}是等比数列，（Ⅱ）设数列{b n }的首项b 1＝1，其前n 项和为T n ，且点（T n +1，T n ）在直线x n+1−y n=12上，求数列{b n a n +1}的前n 项和R n ．【解答】证明：（Ⅰ）由S n +n ＝a n +1，①， 得S n ﹣1+n ﹣1＝a n ，n ≥2，②， ①﹣②得a n +1＝2a n +1， ∴a n +1+1＝2（a n +1）， ∵a 1＝0， ∴a 1+1＝1，∴{a n +1}是以1为首项，以2为公比的等比数列， 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a n +1＝2n ﹣1，∴a n ＝2n ﹣1﹣1，∵点（T n +1，T n ）在直线xn+1−y n=12上，∴T n+1n+1−T n n =2， ∴{T n n}是以T 11=b 11=1为首项，公差为12的等差数列，∴T n n=1+12（n ﹣）=12（n +1）∴T n =n(n+1)2， 当n ≥2时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1=n(n+1)2−n(n−1)2=n ， 又b 1＝1满足上式， ∴b n ＝n ， ∴b n a n +1=n •（12）n ﹣1．∴R n ＝1×（12）0+2•（12）1+3•（12）2+…+n •（12）n ﹣1．③12R n ＝1×（12）1+2•（12）2+3•（12）3+…+n •（12）n ．④，由③﹣④可得，−12R n ＝1+（12）1+（12）2+（12）3+…+•（12）n ﹣n •（12），=1−12n1−12−n •（12）n ＝2﹣（n +2）•12n，∴R n ＝4−n+22n−1 19．如图，已知圆G ：x 2+y 2﹣2x −√2y ＝0，经过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 及上顶点B ，过圆外一点M （m ，0）（m ＞a ）倾斜角为5π6的直线l 交椭圆于C ，D 两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．【解答】解：（1）x 2+y 2−2x −√2y =0过点F 、B ， ∴F （2，0），B(0，√2)， 故椭圆的方程为x 26+y 22=1（2）直线l ：y =−√33(x −m)(m ＞√6){x 26+y 22=1y =−√33(x −m)消y 得2x 2﹣2mx +（m 2﹣6）＝0 由△＞0⇒−2√3＜m ＜2√3， 又m ＞√6⇒√6＜m ＜2√3设C （x 1，y 1）、D （x 2，y 2），则x 1+x 2＝m ，x 1x 2=m 2−62，y 1y 2=13x 1x 2−m 3(x 1+x 2)+m 23，FC →=(x 1−2，y 1)，FD →=(x 2−2，y 2)∴FC →⋅FD →=(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=2m(m−3)3∵F 在圆E 的内部，∴FC →⋅FD →＜0⇒0＜m ＜3， 又√6＜m ＜2√3⇒√6＜m ＜3．20．已知函数f （x ）＝e x ﹣xlnx +ax ，f '（x ）为f （x ）的导数，函数f '（x ）在x ＝x 0处取得最小值．（1）求证：lnx 0+x 0＝0；（2）若x ≥x 0时，f （x ）≥1恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）证明：函数的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝e x ﹣（lnx +1）+a ，f ″(x)=e x −1x ， 易知函数f ''（x ）在（0，+∞）上为增函数，又f ″(12)=√e −2＜0，f ″(1)=e −1＞0， 故函数f ''（x ）存在唯一零点m ∈(12，1)，使得f ″(m)=e m −1m=0， 且当x ∈（0，m ）时，f ''（x ）＜0，f ′（x ）单调递减，当x ∈（m ，+∞）时，f ''（x ）＞0，f ′（x ）单调递增，故函数f ′（x ）在x ＝m 处取得最小值，依题意，m ＝x 0，∴e x 0−1x 0=0，即e x 0=1x 0，两边同时取对数得x 0=ln 1x 0=−lnx 0，∴lnx 0+x 0＝0；（2）由（1）知，当x ≥x 0时，f ′（x ）＝e x ﹣（lnx +1）+a 的最小值为e x 0−(lnx 0+1)+a =1x 0+x 0+a −1， ①当1x 0+x 0+a −1≥0，即a ≥1−(1x 0+x 0)时，此时f （x ）为[x 0，+∞）上的增函数，∴f(x)min =f(x 0)=e x 0−x 0lnx 0+ax 0=1x 0+x 02+ax 0≥1x 0+x 02+x 0[1−(1x 0+x 0)]=1x 0+x 0−1，由（1）知，12＜x 0＜1，故1x 0+x 0−1＞1，即f （x ）＞1，故a ≥1−(1x 0+x 0)满足题意； ②当1x 0+x 0+a −1＜0，即a ＜1−(1x 0+x 0)时，f ′（x ）有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＜x 0＜x 2，则f ′(x 2)=e x 2−(lnx 2+1)+a =0，即a =lnx 2−e x 2+1，当x ∈（x 0，x 2）时，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，当x ∈（x 2，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，∴f （x ）min ＝f （x 2），注意到f （1）＝e +a ＝1时，a ＝1﹣e ，且此时f ′（1）＝e +a ﹣1＝0， （i ）当a ≥1﹣e 时，f ′（1）＝e +a ﹣1≥0＝f ′（x 2）， ∴0＜x 2≤1，即1﹣x 2≥0， 又f(x 2)=e x 2−x 2lnx 2+ax 2=e x 2−x 2lnx 2+(lnx 2−e x 2+1)x 2=(1−x 2)e x 2+x 2=(1−x 2)(e x 2−1)+1，而e x 2−1＞0，故(1−x 2)(e x 2−1)+1＞1，即f （x 2）＞1， 由于在12＜x 0＜1下，恒有1x 0+x 0＜e ，故1−e ＜1−(1x 0+x 0)； （ii ）当a ＜1﹣e 时，f ′（1）＝e +a ﹣1＜0＝f ′（x 2）， ∴x 2＞1＞x 0，∴当x ∈（1，x 2）时，f （x ）为减函数，∴f （x ）＜f （1）＝e +a ＜1，与题设不符，故舍去． 综上，实数a 的取值范围为[1﹣e ，+∞）．。

2020年高考数学（3月份）模拟测试试卷一、选择题1．已知A＝{x|y＝}，B＝{x|{4x＜2x+1}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，1]C．R D．∅2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b4．要得到函数y＝cos（4x+）的图象，只需将函数y＝cos（4x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．已知函数，对任意的x1，x2∈R（x1≠x2），总有成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ），k∈ZC．（2k﹣，2k），k∈Z D．（k﹣，k），k∈Z7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a ＝2，c＝，则C＝（）A．B．C．D．8．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．9．已知函数，若存在，使得f（x）+xf'（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，3）D．二、填空题10．复数（i为虚数单位）的共轭复数是．11．（x2﹣）8的展开式中x7的系数为（用数字作答）12．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy＝0，则xy的最小值为．13．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为．14．在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则•＝．15．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题16．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率：（2）记X为1名顾客5次摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．17．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4＝9，a2a3＝8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图所示，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1（1）求证：平面DAF⊥平面CBF；（2）求直线AB与平面CBF所成角的大小；（3）当AD的长为何值时，二面角D﹣FE﹣B的大小为60°？19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y ＝x被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴y轴分别交于M，N两点．①设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；②求△OMN面积的最大值．20．已知函数f（x）＝﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．参考答案一、选择题（45分）1．已知A＝{x|y＝}，B＝{x|{4x＜2x+1}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，1]C．R D．∅【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|x≥1}，B＝{x|2x＜x+1}＝{x|x＜1}，∴A∩B＝∅．故选：D．2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．3．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c的大小．解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a＝﹣f（）＝f（log25），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．4．要得到函数y＝cos（4x+）的图象，只需将函数y＝cos（4x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：将函数y＝cos（4x+）的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝cos（4x+）的图象，故选：C．5．已知函数，对任意的x1，x2∈R（x1≠x2），总有成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意，函数，在定义域R上是增函数，列出不等式组，解出即可．解：∵对任意的x1，x2∈R（x1≠x2），总有成立，∴函数在定义域R上是增函数，∴，解得，0＜a≤，故选：A．6．函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ），k∈ZC．（2k﹣，2k），k∈Z D．（k﹣，k），k∈Z【分析】由图象可得函数正确，进一步求出离y轴最近的两对称轴的横坐标，数形结合可得f（x）的单调递减区间．解：由图可知，，则T＝2，∴y轴左侧第一个最高点的横坐标为，y轴右侧第一个最底点的横坐标为．∴f（x）的单调递减区间为（2k﹣，2k），k∈Z．故选：C．7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a ＝2，c＝，则C＝（）A．B．C．D．【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可解：sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∵sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，∴sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C﹣sin A cos C＝0，∴cos A sin C+sin A sin C＝0，∵sin C≠0，∴cos A＝﹣sin A，∴tan A＝﹣1，∵＜A＜π，∴A＝，由正弦定理可得＝，∴sin C＝，∵a＝2，c＝，∴sin C＝＝＝，∵a＞c，∴C＝，故选：B．8．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设|PF2|＝x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．解：|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2x，|F1F2|＝x，又|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c∴2a＝3x，2c＝x，∴C的离心率为：e＝＝．故选：D．9．已知函数，若存在，使得f（x）+xf'（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，3）D．【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数b的取值范围．解：∵f（x）＝，x＞0，∴f′（x）＝，∴f（x）+xf′（x）＝+＝，∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x）＝x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）＝1﹣＝，当g′（x）＝0时，解得：x＝，当g′（x）＞0时，即＜x≤2时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即≤x＜2时，函数单调递减，∴当x＝2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）＝2+＝，∴b＜，故选：B．二、填空题（30分）10．复数（i为虚数单位）的共轭复数是1﹣i．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵＝，∴．故答案为：1﹣i．11．（x2﹣）8的展开式中x7的系数为﹣56（用数字作答）【分析】利用通项公式即可得出．解：T r+1＝＝x16﹣3r，令16﹣3r＝7，解得r＝3．∴（x2﹣）8的展开式中x7的系数为＝﹣56．故答案为：﹣56．12．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy＝0，则xy的最小值为64．【分析】利用基本不等式构建不等式即可得出解：∵x＞0，y＞0，2x+8y﹣xy＝0，∴xy＝2x+8y≥2＝8，∴≥8，∴xy≥64．当且仅当x＝4y＝16时取等号．故xy的最小值为64．故答案为：6413．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为．【分析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由此能求出结果．解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，∴V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝πR3．∴＝，S圆柱＝2πR×2R+2×πR2＝6πR2，S球＝4πR2．∴．故答案为：．14．在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则•＝．【分析】选定基向量，，将两向量与用基向量表示出来，再进行数量积运算，即可求出•的值．解：选定基向量，，由图及题意得＝﹣，＝+＝+，则•＝（﹣）•（+）＝+﹣＝＝﹣．故答案为：．15．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）．【分析】由y＝f（x）﹣a|x|＝0得f（x）＝a|x|，利用数形结合即可得到结论．解：由y＝f（x）﹣a|x|＝0得f（x）＝a|x|，作出函数y＝f（x），y＝a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a≥2时，此时y＝a|x|与f（x）有三个交点，当a＝1时，当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣5x﹣4，由f（x）＝﹣x2﹣5x﹣4＝﹣x得x2+4x+4＝0，则判别式△＝16﹣4×4＝0，即此时直线y＝﹣x与f（x）相切，此时y＝a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y＝f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）三、解答题（75分）16．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率：（2）记X为1名顾客5次摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意可得第二次摸到黑球，第一次为其他球，求出概率；（2）先求出摸一次的奖金数额，再求5次的金额，求出相应的概率，进而求出发布列，及期望．解：（1）由题意可得第一次是红黄白中的一个，概率为，不放回的第二次为黑球，是从剩余的3个球中摸出黑色的球，概率为，所以1名顾客摸球2次停止摸奖的概率为＝；（2）顾客摸一次的奖金金额设为Y，可能取值0，10，20，30，40，则P（Y＝0）＝，P（Y＝10）＝＝，P（Y＝20）＝+＝，P（Y＝30）＝＝，P（Y＝40）＝＝；所以1名5次摸奖X＝5Y的分布列为Y010203040 X＝5Y050100150200 P所以随机变量X的期望E（X）＝0＝100．17．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4＝9，a2a3＝8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a n}的通项公式；（2）求出b n＝，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4＝9，a2a3＝8．∴a1+a4＝9，a1a4＝a2a3＝8．解得a1＝1，a4＝8或a1＝8，a4＝1（舍），解得q＝2，即数列{a n}的通项公式a n＝2n﹣1；（2）S n＝＝2n﹣1，∴b n＝＝＝﹣，∴数列{b n}的前n项和T n＝+…+﹣＝﹣＝1﹣．18．如图所示，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1（1）求证：平面DAF⊥平面CBF；（2）求直线AB与平面CBF所成角的大小；（3）当AD的长为何值时，二面角D﹣FE﹣B的大小为60°？【分析】（1）欲证平面DAF⊥平面CBF，先证直线与平面垂直，由题意可得：CB⊥平面ABEF，所以AF⊥CB，又在底面圆中AF⊥BF，所以AF⊥平面CBF，进一步易得平面DAF⊥平面CBF（2）本题的设问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的．根据（1）的证明，有AF⊥平面CBF，所以FB为AB在平面CBF上的射影，则∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．由DA⊥平面ABEF可知：过点A作AM⊥EF，交EF的延长线于点M，连接DM，所以∠DMA为二面角D﹣FE﹣B的平面角，∠DMA＝60°．解：（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF．∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．∵AF⊂平面DAF，∴平面DAF⊥平面CBF．（2）根据（1）的证明，有AF⊥平面CBF，∴FB为AB在平面CBF上的射影，因此，∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角．∵AB∥EF，∴四边形ABEF为等腰梯形，过点F作FH⊥AB，交AB于H．AB＝2，EF＝1，则AH＝＝．在Rt△AFB中，根据射影定理AF2＝AH•AB，得AF＝1，sin∠ABF＝＝，∴∠ABF＝30°，∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°．（3）过点A作AM⊥EF，交EF的延长线于点M，连接DM．根据（1）的证明，DA⊥平面ABEF，则DM⊥EF，∴∠DMA为二面角D﹣FE﹣B的平面角，即∠DMA＝60°．在Rt△AFH中，∵AH＝，AF＝1，∴FH＝．又∵四边形AMFH为矩形，∴MA＝FH＝．∵AD＝MA•tan∠DMA＝•＝．因此，当AD的长为时，二面角D﹣FE﹣B的大小为60°．19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y ＝x被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴y轴分别交于M，N两点．①设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；②求△OMN面积的最大值．【分析】（1）由椭圆的离心率为，得到a2＝4b2，由直线y＝x被椭圆C截得的线段长为，得到a2+b2＝，从而解得a2＝4，b2＝1，由此能求出椭圆方程．（2）①设A（x1，y1），（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），直线AB的斜率，则直线AD的斜率k＝﹣，设直线AD的方程为y＝kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4＝0，由韦达定理得到k1＝，从而直线BD的方程为y+y1＝（x+x1），求出k2＝﹣，由此得到存在常数λ＝﹣，使得k1＝λk2．②直线BD的方程为y+y1＝（x+x1），令x＝0，得y＝﹣，即N（0，﹣），△OMN的面积S＝，由此能求出△OMN面积的最大值．解：（1）∵椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴，∴＝，∴＝，∴a2＝4b2，①设直线y＝x与椭圆交于P，Q两点，设P是直线与椭圆在第一象限的交点，∵直线y＝x被椭圆C截得的线段长为，∴P（，），∴+＝1，解得a2+b2＝，②联立①②，解得a2＝4，b2＝1，∴椭圆方程为＝1．证明：（2）①设A（x1，y1），（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），直线AB的斜率，又AB⊥AD，∴直线AD的斜率k＝﹣，设直线AD的方程为y＝kx+m，由题意得k≠0，m≠0，联立，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4＝0，∴x1+x2＝﹣，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，由题意知x1≠﹣x2，∴k1＝＝﹣＝，∴直线BD的方程为y+y1＝（x+x1），令y＝0，得x＝3x1，即M（3x1，0），解得k2＝﹣，∴，则，∴存在常数λ＝﹣，使结论成立．解：②直线BD的方程为y+y1＝（x+x1），令x＝0，得y＝﹣，即N（0，﹣），由①知M（3x1，0），得△OMN的面积S＝＝，∵|x1||y1|＝1，当且仅当＝|y1|＝时，等号成立，此时S取得最大值，∴△OMN面积的最大值为．20．已知函数f（x）＝﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x ）＝﹣﹣1+＝﹣，设g（x）＝x2﹣ax+1，当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，判别式△＝a2﹣4，①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）≥0，即f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（0，）（，）（，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）递减递增递减综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，则（，）上是增函数．（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，则f（x1）﹣f（x2）＝（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）＝2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），则＝﹣2+，则问题转为证明＜1即可，即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，则lnx1﹣ln＞x1﹣，即lnx1+lnx1＞x1﹣，即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，设h（x）＝2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）＝0，求导得h′（x）＝﹣1﹣＝﹣＝﹣＜0，则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，故2lnx＞x﹣，则＜a﹣2成立．（2）另解：注意到f（）＝x﹣﹣alnx＝﹣f（x），即f（x）+f（）＝0，由韦达定理得x1x2＝1，x1+x2＝a＞2，得0＜x1＜1＜x2，x1＝，可得f（x2）+f（）＝0，即f（x1）+f（x2）＝0，要证＜a﹣2，只要证＜a﹣2，即证2alnx2﹣ax2+＜0，（x2＞1），构造函数h（x）＝2alnx﹣ax+，（x＞1），h′（x）＝≤0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（1）＝0，∴2alnx﹣ax+＜0成立，即2alnx2﹣ax2+＜0，（x2＞1）成立．即＜a﹣2成立．。

2020年天津高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|lg(2)}A x y x ==-，(2,3)B =-，则A B =I A ．(2,2)(2,3-U ） B ．(2,2)-C ．(2,3)D ．[2,3)2．“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知ln3x =，4log 2y =，12z e -=，则A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<4．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF V 与ABC V 的面积之比为A ．12B ．13C ．15D ．175．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119L ，，，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为 A ．8 B ．9 C ．10 D ．116．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，则ab=A ．13B ．13-C ．3D ．-37．设函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则函数()3()4y f x f x π=++的单调增区间为A ．[,]()44k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ D ．[,]()2k k k Z πππ+∈8．已知三棱锥 P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，且两两垂直，ABC V 是边长为2的正三角形，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC 6πD 69．已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是 A ．()2,0-B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2第Ⅱ卷二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z =_______．11．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表： 等待时间/分 [)0,5[)5,10[)10,15[)15,20[]20,25频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x =______，病人等待时间方差的估计值2s =______.12．已知向量a v 、b v 满足1a =v，||2b =v ，且它们的夹角为120°，则向量2a b +v v 与向量a v 夹角的余弦值为________13．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为1V 、2V 、3V ，若它们的表面积相等，则222123::V V V =________（结果保留π）.14．已知0x >，0y >，141x y+=，不等式280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围是_______．（答案写成集合或区间格式）15．某省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分.已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业：物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.（用数字作答）四、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a c b ac +=-．()I 求角B 的大小；()II 若BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，1AD ==，求sin BAC ∠的值．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PBC V 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =.AB平面PDC;（Ⅰ）求证://-的体积;（Ⅱ）当平面PBC⊥平面ABCD时，求四棱锥P ABCDP A B C D中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,BC垂直，并给出证明．．.18．某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完℃有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间气温(单位：)[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(Ⅰ)求六月份这种饮料一天的需求量(X 单位：瓶)的分布列，并求出期望EX ； (Ⅱ)设六月份一天销售这种饮料的利润为(Y 单位：元)，且六月份这种饮料一天的进货量为(n 单位：瓶)，请判断Y 的数学期望是否在n EX =时取得最大值？19．已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线与椭圆C 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =20．已知函数()()32111323a f x x a x x =-++-． （1）若函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程为9x ﹣y +b ＝0，求实数a ，b 的值； （2）若a ≤0，求f （x ）的单调减区间；（3）对一切实数a ∈（0，1），求f （x ）的极小值的最大值．2020年天津高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|lg(2)}A x y x ==-，(2,3)B =-，则A B =I A ．(2,2)(2,3-U ） B ．(2,2)-C ．(2,3)D ．[2,3)【解析】因为(){}|lg 22A x y x ∞==-=+（，），所以()2,3A B ⋂=，故选C.2．“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”⇔24004a a a ∆=-<⇔<<若“04a ≤≤”成立，“04a <<”不一定成立 反之，若“04a <<”成立，“04a ≤≤”一定成立所以“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的必要不充分条件. 所以A 选项是正确的. 故选A3．已知ln3x =，4log 2y =，12z e -=，则A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<【解析】1241log 212y e -==<=<，ln3ln 1e >=，∴y z x <<． 故选：D.4．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF V 与ABC V 的面积之比为A ．12B ．13C ．15D ．17【解析】2,BD AD AF BD ==Q ，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点，由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+，解得7AB AD =， )22ABC1()sin 601217sin 6072DEF AD S S ︒︒∴==V V ， 故选D5．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119L ，，，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为 A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得2(422)(2)(1)(2)2m m m a a m m +---==+-，∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+，∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数， 故选B 6．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，则ab= A ．13B ．13- C ．3 D ．-3【解析】依题意()()()'2221322x x y x x --+-==--，'1|3x y ==-，由于曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，所以()131,3a a b b ⎛⎫-⋅-=-=- ⎪⎝⎭. 故选：B7．设函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则函数()3()4y f x f x π=++的单调增区间为A ．[,]()44k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ D ．[,]()2k k k Z πππ+∈【解析】由图像可知2A =，1,4612T T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，因为2T πω=，得到2ω= 代入,212π⎛⎫-- ⎪⎝⎭得sin 16πϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得23k πϕπ=-，取0k =，则3πϕ=-所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2cos 243f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()34y f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭2sin 223sin 2343x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭⎝⎭ 2sin 223sin 22sin 223233233x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=4sin 233x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭4sin2x =，则22222k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，得4sin 2y x =的单调递增区间，得44k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈.故选A 项.8．已知三棱锥 P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，且两两垂直，ABC V 是边长为2的正三角形，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．6πD ．62π 【解析】由题中条件易得2PA PB PC ===，从而球O 的半径36222r =⨯=，体积3463V r ππ==， 故选：C ．9．已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是 A ．()2,0-B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2【解析】由题意，画出函数2()43f x x x =-+的图象，如图所示，可得()(1)(3)0,(2)1,0f f f f x ===≥，因为方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根，则方程20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内，设()2g t t bt c =++，则满足(1)0g =且(0)0g >且()02b g -<且012b<-<，即10b c ++=且0c >且2()()022b b b c -+⋅-+<且012b<-<，解得21b -<<-，即实数b 的取值范围是()2,1--， 故选B.第Ⅱ卷二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．10．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z =_______．【解析】22.12,iz i i z i z i-⋅=-∴==-∴=Q 11．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x =______，病人等待时间方差的估计值2s =______.【解析】（1） 2.547.5812.5517.5222.519.520x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==；（2）222222(2.59.5)4(7.59.5)8(12.59.5)5(17.59.5)2(22.59.5)128.520s -⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯==12．已知向量a v 、b v 满足1a =v，||2b =v，且它们的夹角为120°，则向量2a b +vv 与向量a v 夹角的余弦值为________【解析】2a b +===r r ()112122cos 2,2a b a a b a a b a⎛⎫+- ⎪+<+>====+r r r g g g r r r r r r g13．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为1V 、2V 、3V ，若它们的表面积相等，则222123::V V V =________（结果保留π）.【解析】设球的半径为R ，圆柱底面半径为r ，正方体的棱长为a ， 由它们的表面积相等，则222466R r a ππ==，则222111::::466R r a ππ=， 即2223232321234::():(2):()6:4:3V V V R r a πππ==. 14．已知0x >，0y >，141x y+=，不等式280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围是_______．（答案写成集合或区间格式） 【解析】因为0x >，0y >，141x y+=，则144()()559y x x y x y x y ++=++≥+=，（当且仅当3,6x y ==时取等号），9x y +≥，不等式280m m x y ---<恒成立，即：28m m x y -<+只需2289,890m m m m -<--<，则19m -<<，则m 的取值范围是(1,9)-.15．某省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分.已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业：物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.（用数字作答）【解析】根据题意得到分情况：当考生选择技术时，两个专业均可报考，再从剩下的6门课中选择两科即可，方法有2615C =种；当学生不选技术时，可以从物理化学中选择一科，再从历史，地理选一科，最后从政治生物中选择一科，有2228⨯⨯=种方法；当学生同时选物理化学时，还需要选择历史，地理中的一科，有2中选择，当学生同时选择历史，地理时，需要从物理化学中再选择一科，也有2种方法，共有4种；最终加到一起共有：15+8+4=27种.四、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a c b ac +=-．()I 求角B 的大小；()II 若BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，1AD ==，求sin BAC ∠的值．【解析】()I Q 在ABC V 中，222a c b ac +=-．∴由余弦定理可得：2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，()0,B π∈Q ，23B π∴=()IIQ 由正弦定理可得：sin sin AD BDB BAD =∠， 31sin 12sin 423BD B BAD AD ⨯⋅∴∠===， ()0,BAD π∠∈Q ，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，215cos 1sin BAD BAD ∴∠=-∠=， ()15sin sin 22sin cos 8BAC BAD BAD BAD ∴∠=∠=∠⋅∠=17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PBC V 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =.（Ⅰ）求证://AB 平面PDC ;（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积;（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线BC 垂直，并给出证明．．. 【解析】（Ⅰ）证明：∵AB ∥DC ，且DC ⊂平面PDC ，AB ⊄平面PDC ， ∴AB ∥平面PDC ；（Ⅱ）解：取BC 中点D ，∵PB=PC ，∴PD ⊥BC ， 又平面PBC ⊥平面ABCD ，且平面PBC∩平面ABCD=BC ， ∴PD ⊥平面ABCD ，则PD 为四棱锥P ﹣ABCD 的高， 在底面直角梯形ABCD 中，由AB=5，AD=4，DC=3， 得()1435162ABCD S =⨯⨯+=，且224(53)25+-=又PB=PC=3，∴PD=223(5)2-=． ∴13216233P ABCD V -=⨯⨯=； （Ⅲ）解：图中PA ⊥BC ． 证明如下：由（Ⅱ）知，PD ⊥BC ，作CG ⊥AB ，在直角三角形CGB 中，可得cos 5CBG ∠=， 在三角形ADB 中，由余弦定理可得22255(5)25520AD =+-⨯⨯⨯=， 则AD 2+BD 2=AB 2， ∴AD ⊥BC ，又AD∩PD=D ，∴BC ⊥平面PAD ，则PA ⊥BC ．18．某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)℃有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(Ⅰ)求六月份这种饮料一天的需求量(X 单位：瓶)的分布列，并求出期望EX ； (Ⅱ)设六月份一天销售这种饮料的利润为(Y 单位：元)，且六月份这种饮料一天的进货量为(n 单位：瓶)，请判断Y 的数学期望是否在n EX =时取得最大值？【解析】(Ⅰ)由题意知X 的可能取值为100，300，500，()2161000.290P X +===， ()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===，X ∴的分布列为：()1000.23000.45000.4340E X =⨯+⨯+⨯=．(Ⅱ)由题意知六月份这种饮料的进货量n 满足100500n ≤≤，当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则532Y n n n =-=，若最高气温位于[)20,25，则()530023003900Y n n n =⨯+--=-， 若最高气温低于20，则()510021003300Y n n n =⨯+--=-，()()()20.49000.43000.24200.2E Y n n n n ∴=⨯+-⨯+-⨯=+，此时，500n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元， 当100300n ≤≤时，若最高气温不低于25，则532Y n n n =-=， 若最高气温位于[)20,25，则532Y n n n =-=，若最高气温低于20，则()5100100300300Y n n =⨯---=-，()()()20.40.43000.260 1.4E Y n n n ∴=⨯++-⨯=+，此时，300n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为480元，340n ∴=时，Y 的数学期望值为：4200.2340488+⨯=不是最大值， 500n =时，y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．19．已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线与椭圆C 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =【解析】（Ⅰ）由题意，得椭圆的半焦距1c =，右焦点()1,0F ，上顶点()0,M b ，所以直线MF 的斜率03tan 1014b k π-===--，解得1b =，由222a b c =+，得22a =，所以椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，其中12k =或，()1122,),,Ax y B x y （，由方程组22{12y kx mx y =++=得()222124220kxkmx m +++-=，所以2216880k m ∆=-+> ()*，于是有2121222422,1212km m x x x x k k --+==++ ， 所以()222222222422114821121212km m k AB k k m k k k --+⎛⎫=+-⨯=-+ ⎪+++⎝⎭，因为原点O 到直线y kx m =+的距离 21m d k=+所以()22221221212AOB S AB d m k m k ∆=⋅=-++ 222S =()22299AOB S m m ∆=- 当1k =时，()22233AOB S m m ∆=-232m =时AOB S ∆的最大值12S =，验证知()*成立；292m =当2k =时，所以当时AOB S ∆的最大值，验证知()*成立；所以12S S =。

2020年天津市高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年天津市⾼考数学模拟试卷（6）2020年天津市⾼考数学模拟试卷（6）⼀．选择题（共9⼩题，满分45分，每⼩题5分）1．（5分）设全集为R ，集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |x 2≥1}，则A ∩（?R B ）＝（） A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，2）C ．（0，1）D ．（0，2）2．（5分）下列说法错误的是（）A ．命题p ：“?x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0”，则￢p ：“?x ∈R ，x 2+x +1≥0”B ．命题“若x 2﹣4x +3＝0，则x ＝3”的否命题是真命题C ．若p ∧q 为假命题，则p ∨q 为假命题D ．若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件3．（5分）已知a ＝lg 0.3，b ＝20.2，c ＝0.80.6，则a ，b ，c 的⼤⼩关系是（） A ．a ＜c ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜c4．（5分）在等⽐数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3﹣a 5+a 7＝78，则a 5＝（） A ．12B ．18C ．24D ．365．（5分）已知抛物线y 2＝4√2x 的准线与双曲线x 2a 2y 2＝1（a ＞0）相交于A 、B 两点，F为抛物线的焦点，若△F AB 为直⾓三⾓形，则实数a ＝（） A ．19B ．29C ．13D ．√236．（5分）将函数f(x)=sin(3x +π6)的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，若g （x ）为奇函数，则m 的最⼩值为（） A ．π9B ．2π9C ．π18D ．π247．（5分）将3本不同的书随机分给甲、⼄、丙三⼈，则甲、⼄都分到书的概率为（） A ．19B ．29C ．13D ．498．（5分）在△ABC 中，E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，设AB →=a →，AC →=b →，且BG →=λa →+µb →，则λ+µ的值为（）A ．?13B ．13C ．23D ．19．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，f （2）＝0，则不等式xf （x +2）≤0的解集是（） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）⼆．填空题（共6⼩题，满分30分，每⼩题5分）10．（5分）若a ，b ∈N ，且a +b ≤6，复数a +bi 共有个．11．（5分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝．12．（5分）已知函数f （x ）＝e 2x ，则过原点且与曲线y ＝f （x ）相切的直线⽅程为 13．（5分）在底⾯是边长为2√3的正⽅形的四棱锥P ﹣ABCD 中，顶点P 在底⾯的射影H 为正⽅形ABCD 的中⼼，异⾯直线PB 与AD 所成⾓的正切值为2，若四棱锥P ﹣ABCD 的内切球半径为r ，外接球的半径为R ，则R ﹣r ＝．14．（5分）要制作⼀个容积为9m 3，⾼为1m 的⽆盖长⽅体容器，已知该容器的底⾯造价是每平⽅⽶20元，侧⾯造价是每平⽅⽶10元，则该容器的最低总价是元． 15．（5分）若f （x ）={sin πx6(x ≤0)1?2x(x ＞0)，则f [f （3）]＝．三．解答题（共5⼩题）16．已知函数f(x)=sinx ?sin(x +π3)?14(x ∈R)．（1）求f(π3)的值和f （x ）的最⼩正周期；（2）设锐⾓△ABC 的三边a ，b ，c 所对的⾓分别为A ，B ，C ，且f(A 2)=14，a ＝2，求b +c 的取值范围．17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B l C 1中，BC ＝BB 1，BC 1∩B 1C ＝O ，AO ⊥平⾯BB 1C 1C ．（1）求证：AB ⊥B 1C ；（2）若∠B1BC＝60°，直线A1B1与平⾯BB1C1C所成的⾓为30°，求⼆⾯⾓A﹣B l C1﹣B的余弦值．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝0，S n+n＝a n+1，n∈N*（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等⽐数列，（Ⅱ）设数列{b n}的⾸项b1＝1，其前n项和为T n，且点（T n+1，T n）在直线xn+1?yn=12上，求数列{b na n+1}的前n项和R n．19．如图，已知圆G：x2+y2﹣2x?√2y＝0，经过椭圆x2a +y2b=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外⼀点M（m，0）（m＞a）倾斜⾓为5π6的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的⽅程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．20．已知函数f（x）＝e x﹣xlnx+ax，f'（x）为f（x）的导数，函数f'（x）在x＝x0处取得最⼩值．（1）求证：lnx0+x0＝0；（2）若x≥x0时，f（x）≥1恒成⽴，求a的取值范围．2020年天津市⾼考数学模拟试卷（6）参考答案与试题解析⼀．选择题（共9⼩题，满分45分，每⼩题5分）1．（5分）设全集为R，集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x2≥1}，则A∩（?R B）＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（0，1）D．（0，2）【解答】解：∵全集为R，集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}＝{x|x≤﹣1或x≥1}，∴?R B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∩（?R B）＝{x|0＜x＜1}＝（0，1）．故选：C．2．（5分）下列说法错误的是（）A．命题p：“?x0∈R，x02+x0+1＜0”，则￢p：“?x∈R，x2+x+1≥0”B．命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的否命题是真命题C．若p∧q为假命题，则p∨q为假命题D．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件【解答】解：命题p：“?x0∈R，x02+x0+1＜0”，则￢p：“?x∈R，x2+x+1≥0”满⾜命题的否定形式，所以A正确；命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的否命题是x≠3，则x2﹣4x+3≠0，否命题的真命题，所以B正确；若p∧q为假命题，⾄少⼀个是假命题，当个命题都是假命题是p∨q为假命题，所以C 不正确；若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，满⾜充要条件的定义，所以D正确；故选：C．3．（5分）已知a＝lg0.3，b＝20.2，c＝0.80.6，则a，b，c的⼤⼩关系是（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b ＜c【解答】解：a＝lg0.3＜0，b＝20.2＞1，c＝0.80.6∈（0，1）．∴a＜c＜b．故选：A．4．（5分）在等⽐数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3﹣a 5+a 7＝78，则a 5＝（） A ．12B ．18C ．24D ．36【解答】解：根据题意，等⽐数列{a n }中，设其公⽐为q ，已知a 3＝6，a 3﹣a 5+a 7＝78，则6﹣6q 2+6q 4＝78，解可得q 2＝4或q 2＝﹣3，舍；故a 5＝6q 2＝24，故选：C ．5．（5分）已知抛物线y 2＝4√2x 的准线与双曲线x 2a ?y 2＝1（a ＞0）相交于A 、B 两点，F为抛物线的焦点，若△F AB 为直⾓三⾓形，则实数a ＝（） A ．19B ．29C ．13D ．√23【解答】解：∵抛物线的⽅程为y 2＝4√2x ，∴抛物线的准线为x =?√2，焦点为F （√2，0）．⼜∵直线x =?√2交双曲线x 2a ?y 2＝1于A 、B 两点，△F AB 为直⾓三⾓形．∴△F AB 是等腰直⾓三⾓形，AB 边上的⾼FF '＝2√2，由此可得A （?√2，2√2）、B （?√2，﹣2√2），如图所⽰．将点A 或点B 的坐标代⼊双曲线⽅程，得2a 28=1，解得a =√23（负值舍去）．故选：D ．6．（5分）将函数f(x)=sin(3x +π6)的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，若g （x ）为奇函数，则m 的最⼩值为（） A ．π9B ．2π9C ．π18D ．π24【解答】解：将函数f(x)=sin(3x +π6)的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，可得y＝sin （3x ﹣3m +π6）的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）＝sin （12x﹣3m +π6）的图象，若g （x ）为奇函数，则当m 的最⼩时，﹣3m +π6=0，∴m =π18，故选：C ．7．（5分）将3本不同的书随机分给甲、⼄、丙三⼈，则甲、⼄都分到书的概率为（） A ．19B ．29C ．13D ．49【解答】解：根据题意，将3本不同的书随机分给甲、⼄、丙三⼈，每本书有3种情况，则⼀共有3×3×3＝27种分法，若甲、⼄都分到书，分2种情况讨论：甲⼄丙三⼈都分到书，有A 33＝6种情况，只有甲⼄分到书，有C 32×2＝6种情况，则甲、⼄都分到书的的情况有6+6＝12种，故则甲、⼄都分到书的概率P =1227=49；故选：D ．8．（5分）在△ABC 中，E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，设AB →=a →，AC →=b →，且BG →=λa →+µb →，则λ+µ的值为（）A ．?13B ．13C ．23D ．1【解答】解：∵E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，∴G 为△ABC 的重⼼，且AB →=a →，AC →=b →，∴BG →=13(BA →+BC →) =13(?AB →+AC →?AB →)=?23AB →+13AC →=?23a →+13b →，⼜BG →=λa →+µb →，∴λ+µ=?13．故选：A ．9．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，f （2）＝0，则不等式xf （x+2）≤0的解集是（） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【解答】解：根据题意，设g （x ）＝f （x +2），g （x ）的图象可以由f （x ）的图象向左平移2个单位得到的，函数f （x ）是R 上的奇函数，则函数g （x ）的图象关于点（﹣2，0）对称，则g （0）＝f （2）＝0，g （﹣4）＝f （﹣2）＝0，则g （x ）的草图如图：故xf （x +2）≤0?xg （x ）≤0?{x ≥0g(x)≤0或{x ≤0g(x)≥0；则有x ≤﹣4或x ≥﹣2；即x 的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）；故选：C ．⼆．填空题（共6⼩题，满分30分，每⼩题5分）10．（5分）若a ，b ∈N ，且a +b ≤6，复数a +bi 共有 28 个．【解答】解：∵a ，b ∈N ，且a +b ≤6，∴当a ＝0时，b ＝0，1，2，3，4，5，6，此时复数共7个；当a＝1时，b＝0，1，2，3，4，5，此时复数共6个；当a＝2时，b＝0，1，2，3，4，此时复数共5个；当a＝3时，b＝0，1，2，3，此时复数共4个；当a＝4时，b＝0，1，2，此时复数共3个；当a＝5时，b＝0，1，此时复数共2个；当a＝6时，b＝0，此时复数共1个；∴复数a+bi共7+6+5+4+3+2+1＝28个故答案为：28．11．（5分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为T r+1=C6r(?x)r可得，令r＝2，即x2项的系数a2为C62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．12．（5分）已知函数f（x）＝e2x，则过原点且与曲线y＝f（x）相切的直线⽅程为2ex﹣y ＝0【解答】解：设切点为（m，n），函数f（x）＝e2x的导数为f′（x）＝2e2x，可得切线的斜率为2e2m，由切线过原点，可得nm =e2mm=2e2m，解得m=12，n＝e，则切线⽅程为y＝2ex．故答案为：2ex﹣y＝0．13．（5分）在底⾯是边长为2√3的正⽅形的四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底⾯的射影H 为正⽅形ABCD的中⼼，异⾯直线PB 与AD所成⾓的正切值为2，若四棱锥P﹣ABCD的内切球半径为r，外接球的半径为R，则R﹣r＝32【解答】解：如图，E，F为AB，CD的中点，由题意，P﹣ABCD为正四棱锥，底边长为2√3，∵BC ∥AD ，∴∠PBC 即为PB 与AD 所成⾓，由tan ∠PBC ＝2，可得斜⾼为2√3，∴△PEF 为正三⾓形，边长为2√3，正四棱锥P ﹣ABCD 的内切球半径，即为△PEF 的内切圆半径，可得r =√3tan30°=√3×√33=1，设O 为外接球球⼼，在Rt △OHA 中，（PH ﹣R ）2+AH 2＝R 2，即(3?R)2+(√6)2=R 2，解得R =52，∴R ﹣r =32．故答案为：32．14．（5分）要制作⼀个容积为9m 3，⾼为1m 的⽆盖长⽅体容器，已知该容器的底⾯造价是每平⽅⽶20元，侧⾯造价是每平⽅⽶10元，则该容器的最低总价是 300 元．【解答】解：设长⽅体容器的长为xm ，宽为ym ；则x ?y ?1＝9，即xy ＝9；则该容器的造价为 20xy +10（x +x +y +y ）＝180+20（x +y ） ≥180+20×2√xy ＝180+120＝300；（当且仅当x ＝y ＝3时，等号成⽴）故该容器的最低总价是300元；故答案为：300．15．（5分）若f （x ）={sin πx6(x ≤0)1?2x(x ＞0)，则f [f （3）]＝ ?12 ．【解答】解：f （3）＝1﹣2×3＝﹣5 f [f （3）]＝f （﹣5）＝sin （?5π6）=?12故答案为?12．三．解答题（共5⼩题）16．已知函数f(x)=sinx ?sin(x +π3)?14(x ∈R)．（1）求f(π3)的值和f （x ）的最⼩正周期；（2）设锐⾓△ABC 的三边a ，b ，c 所对的⾓分别为A ，B ，C ，且f(A 2)=14，a ＝2，求b +c 的取值范围．【解答】解：（1）函数f(x)=sinx ?sin(x +π3)?14(x ∈R)．所以f(π3)=√32×√32?14=12．所以f （x ）=sinx(12sinx +√32cosx)=1?cos2x 4+√34sin2x ?14=12sin(2x ?π)，所以函数f （x ）的最⼩正周期为π；（2）设锐⾓△ABC 的三边a ，b ，c 所对的⾓分别为A ，B ，C ，且f(A2)=14，所以sin(A ?π6)=12，解得A =π3．利⽤正弦定理a sinA =b sinB=c sinC，解得b =3，c =3sin(2π3?B)，所以b +c =3+sin(2π3?B)]=4sin(B +π6)，由于{0＜B ＜π20＜C =2π3?B ＜π2，解得π6＜B ＜π2，所以B +π6∈(π3，2π3)，所以b +c ∈(2√3，4]．17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B l C 1中，BC ＝BB 1，BC 1∩B 1C ＝O ，AO ⊥平⾯BB 1C 1C ．（1）求证：AB ⊥B 1C ；（2）若∠B 1BC ＝60°，直线A 1B 1与平⾯BB 1C 1C 所成的⾓为30°，求⼆⾯⾓A ﹣B l C 1﹣B 的余弦值．【解答】解：（1）因为AO ⊥平⾯BB ?C ?C ，所以AO ⊥B ?C ，因为BC ＝BB ?，所以四边形BB ?C ?C 为菱形，所以BC ⊥B ?C ，因为AO ∩BC ?＝O ，所以B ?C ⊥平⾯ABC ?， AB ?平⾯ABC ?，所以B ?C ⊥AB ；（2）直线A 1B 1与平⾯BB 1C 1C 所成的⾓为30°，根据题意，∠ABO ＝30°，设BC ＝2，∠B 1BC ＝60°，则B ?C ＝2，OB =√3，OA ＝OB tan30°＝1，以O 为原点，OB ，OB ?，OA 为x ，y ，z 轴建⽴空间直⾓坐标系，则O （0，0，0），B （√3，0，0），B ?（0，1，0），A （0，0，1），C ?（?√3，0，0），由AB →=B 1A 1→，得A 1（?√3，1，1，），设平⾯B ?C ?A ?的法向量我m →=(x ，y ，z)，由{m →A 1B 1→=?√3x +z =0m →?C 1B 1→=?√3x ?y =0，得m →=(1，?√3，√3)，平⾯B ?C ?B 的法向量为OA →=(0，0，1)，由cos ＜m →，OA →＞=√3√7=√217，故所求⼆⾯⾓的余弦值为?√217．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝0，S n +n ＝a n +1，n ∈N * （Ⅰ）求证：数列{a n +1}是等⽐数列，（Ⅱ）设数列{b n }的⾸项b 1＝1，其前n 项和为T n ，且点（T n +1，T n ）在直线x n+1y n=12上，求数列{b n a n +1}的前n 项和R n ．【解答】证明：（Ⅰ）由S n +n ＝a n +1，①，得S n ﹣1+n ﹣1＝a n ，n ≥2，②，①﹣②得a n +1＝2a n +1，∴a n +1+1＝2（a n +1），∵a 1＝0，∴a 1+1＝1，∴{a n +1}是以1为⾸项，以2为公⽐的等⽐数列，解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a n +1＝2n ﹣1，∴a n ＝2n ﹣1﹣1，∵点（T n +1，T n ）在直线xn+1y n=12上，∴T n+1n+1?T n n =2，∴{T n n}是以T 11=b 11=1为⾸项，公差为12的等差数列，∴T n n=1+12（n ﹣）=12（n +1）∴T n =n(n+1)2，当n ≥2时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1=n(n+1)2?n(n?1) 2=n ，⼜b 1＝1满⾜上式，∴b n ＝n ，∴b n a n +1=n ?（12）n ﹣1．∴R n ＝1×（12）0+2?（12）1+3?（12）2+…+n ?（12）n ﹣1．③12R n ＝1×（12）1+2?（12）2+3?（12）3+…+n ?（12）n ．④，由③﹣④可得，?12R n ＝1+（12）1+（12）2+（12）3+…+?（12）n ﹣n ?（12），=1?12n1?12n （12）n ＝2﹣（n +2）?12，∴R n ＝4?n+22n?1 19．如图，已知圆G ：x 2+y 2﹣2x ?√2y ＝0，经过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 及上顶点B ，过圆外⼀点M （m ，0）（m ＞a ）倾斜⾓为5π6的直线l 交椭圆于C ，D 两点，（1）求椭圆的⽅程；（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．【解答】解：（1）x 2+y 2?2x ?√2y =0过点F 、B ，∴F （2，0），B(0，√2)，故椭圆的⽅程为x 26+y 22=1（2）直线l ：y =?√33(x ?m)(m ＞√6){x 26+y 22=1y =?√33(x ?m)消y 得2x 2﹣2mx +（m 2﹣6）＝0 由△＞0??2√3＜m ＜2√3，⼜m ＞√6?√6＜m ＜2√3设C （x 1，y 1）、D （x 2，y 2），则x 1+x 2＝m ，x 1x 2=m 2?62，y 1y 2=13x 1x 2?m 3(x 1+x 2)+m 2 3，FC →=(x 1?2，y 1)，FD →=(x 2?2，y 2)∴FC →FD →=(x 1?2)(x 2?2)+y 1y 2=2m(m?3)3∵F 在圆E 的内部，∴FC →FD →＜0?0＜m ＜3，⼜√6＜m ＜2√3?√6＜m ＜3．20．已知函数f （x ）＝e x ﹣xlnx +ax ，f '（x ）为f （x ）的导数，函数f '（x ）在x ＝x 0处取得最⼩值．（1）求证：lnx 0+x 0＝0；（2）若x ≥x 0时，f （x ）≥1恒成⽴，求a 的取值范围．【解答】解：（1）证明：函数的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝e x ﹣（lnx +1）+a ，f ″(x)=e x ?1x ，易知函数f ''（x ）在（0，+∞）上为增函数，⼜f ″(12)=√e ?2＜0，f ″(1)=e ?1＞0，故函数f ''（x ）存在唯⼀零点m ∈(12，1)，使得f ″(m)=e m ?1m=0，且当x ∈（0，m ）时，f ''（x ）＜0，f ′（x ）单调递减，当x ∈（m ，+∞）时，f ''（x ）＞0，f ′（x ）单调递增，故函数f ′（x ）在x ＝m 处取得最⼩值，依题意，m ＝x 0，∴e x 0?1x 0=0，即e x 0=1x 0，两边同时取对数得x 0=ln 1x 0=?lnx 0，∴lnx 0+x 0＝0；（2）由（1）知，当x ≥x 0时，f ′（x ）＝e x ﹣（lnx +1）+a 的最⼩值为e x 0?(lnx 0+1)+a =1x 0+x 0+a ?1，①当1x 0+x 0+a ?1≥0，即a ≥1?(1x 0+x 0)时，此时f （x ）为[x 0，+∞）上的增函数，∴f(x)min =f(x 0)=e x 0?x 0lnx 0+ax 0=1x 0+x 02+ax 0≥1x 0+x 02+x 0[1?(1x 0+x 0)]=1x 0+x 0?1，由（1）知，12＜x 0＜1，故1x 0+x 0?1＞1，即f （x ）＞1，故a ≥1?(1x 0+x 0)满⾜题意；②当1x 0+x 0+a ?1＜0，即a ＜1?(1x 0+x 0)时，f ′（x ）有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＜x 0＜x 2，则f ′(x 2)=e x 2?(lnx 2+1)+a =0，即a =lnx 2?e x 2+1，当x ∈（x 0，x 2）时，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，当x ∈（x 2，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，∴f （x ）min ＝f （x 2），注意到f （1）＝e +a ＝1时，a ＝1﹣e ，且此时f ′（1）＝e +a ﹣1＝0，（i ）当a ≥1﹣e 时，f ′（1）＝e +a ﹣1≥0＝f ′（x 2），∴0＜x 2≤1，即1﹣x 2≥0，⼜f(x 2)=e x 2?x 2lnx 2+ax 2=e x 2?x 2lnx 2+(lnx 2?e x 2+1)x 2=(1?x 2)e x 2+x 2=(1?x 2)(e x 2?1)+1，⽽e x 2?1＞0，故(1?x 2)(e x 2?1)+1＞1，即f （x 2）＞1，由于在12＜x 0＜1下，恒有1x 0+x 0＜e ，故1?e ＜1?(1x 0+x 0)；（ii ）当a ＜1﹣e 时，f ′（1）＝e +a ﹣1＜0＝f ′（x 2），∴x 2＞1＞x 0，∴当x ∈（1，x 2）时，f （x ）为减函数，∴f （x ）＜f （1）＝e +a ＜1，与题设不符，故舍去．综上，实数a 的取值范围为[1﹣e ，+∞）．。

2020年天津市高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|2<x <4}，B ={x|−2≤x ≤3}，则A ∩(∁R B)等于( )A. (1,2)B. (3,4)C. (1,3)D. (1,2)∪(3,4) 2. 若复数z =4−i ，则z −z =( ) A. −1517+817i B. 1+817i C. 1517+817i D. 1517−817i 3. 在平行四边形ABCD 中，BC⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AC⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 下列有关命题的说法中错误的是( )A. 随机变量ξ～N(3,4)，则“c =3”是“P(ξ>c +2)=P(ξ<c −2)”的充要条件B. △ABC 中，“A >B ”的充要条件为“sinA >sinB ”C. 若命题“∃x 0∈R ，使得x 02+mx 0+2m −3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是(−∞,2)∪(6,+∞)D. 命题“无理数的平方是有理数”的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”5. 不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有( )．A. 3个B. 4个C. 6个D. 7个6. 函数f(x)=e x −e −xx 2的图象大致为( ) A. B.C. D.7. 三个数a =0.43, b =(2.9)0.4, c =30.4之间的大小关系是( )A. a <c <bB. b <a <cC. a <b <cD. b <c <a8.已知直线l：(2k+1)x+(k+1)y+1=0(k∈R)与圆(x−1)2+(y−2)2=25交于A，B两点，则弦长|AB|的取值范围是()A. [4,10]B. [3,5]C. [8,10]D. [6,10]9.函数y=sin2x−6sinx+1,x∈[π6,2π3]的最大值是()A. 1B. −4C. 74−3√3 D. −74二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）10.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，则应从丁专业抽取的学生人数为______．11.已知f(x)=xln(x−1)，则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是____．12.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，左、右顶点分别为A1，A2，坐标原点为O，若以线段A1A2为直径的圆与该双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，且∠PFO=45°，则双曲线的离心率为______．13.(2x+x2)8的展开式中x的系数为______．14.已知P为球O球面上的一点，A为OP的中点，若过点A且与OP垂直的平面截球O所得圆的面积为3π，则球O的表面积为______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15.抛物线x2=4y的焦点F的坐标为(1)，过F的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为4，则线段AB的长度为(2)．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.设等差数列{a n}的公差为d>1，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q.已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)记c n=a nb n，求数列{c n}的前n项和T n．17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知√3bcosA=asinB．(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a=√7，b=2，求△ABC的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PA=AB=2，点Q为线段PC的中点．(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值；(3)求二面角A−PC−D的大小．19. 已知椭圆E ：x 2a +y 2b =1(a >b >0 )的离心率为23，C 为椭圆E 上位于第一象限内的一点．(1)若点C 的坐标为(2,53)，求椭圆E 的标准方程；(2)设A 为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AB 的斜率．20. 设函数f(x)=2lnx −x 2，g(x)=−x 2+x +2+a ．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)与g(x)在区间(1,3)内恰有两个交点，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵B ={x|−2≤x ≤3}=[−2,3]，全集U =R ，∴C R B =(−∞,−2)∪(3,+∞)，又A ={x|2<x <4}=(2,4)，则A ∩C R B =(3,4)，故选：B ．由全集U =R ，找出R 中不属于集合B 的部分，求出B 的补集，找出B 补集与A 的公共部分，即可求出所求的集合此题考查了交、并、补集的混合运算，是一道基本题型．学生求补集时注意全集的范围． 2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z =4+i 4−i=(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ． 故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.答案：A解析：本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．根据CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 化简可得结果．解：因为在平行四边形ABCD 中CD⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ = BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选A ．4.答案：C解析：解：A.若P(ξ>c +2)=P(ξ<c −2)，则x =c +2与x =c −2关于x =3对称， 则c+2+c−22=3，即c =3，故A 正确，B .△ABC 中，“A >B ”的充要条件为a >b ，由正弦定理得sinA >sinB ，故B 正确，C.若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”为假命题，则若命题“∀x∈R，使得x2+mx+2m−3≥0”恒成立，即判别式△=m2−4(2m−3)≤0，即m2−8m+12≤0，得(m−2)(m−6)≤0，得2≤m≤6，即C为假命题，D.命题“无理数的平方是有理数”的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”正确，故错误的命题是C，故选：C．A.根据正态分布的对称性与概率的关系进行判断B.根据正弦定理以及大边对大角的性质进行判断C.根据命题真假关系以及一元二次不等式恒成立与判别式△的关系进行判断D.根据全称命题的否定是特称命题进行判断本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．5.答案：D解析：当三点在平面α一侧，一点在另一侧时，有4种情况；当两点在平面α一侧，另两点在平面α另一侧时，有3种情况．∴这样的平面α共有7个，故选D．6.答案：B解析：本题考查由函数解析式判断函数图象，属于基础题．利用函数的奇偶性以及函数值的大小、正负情况可以排除错误答案，选出正确选项．解：因为函数f(x)=e x−e−xx2的定义域是{x|x≠0}，且f(−x)=e −x−e xx2=−e x−e−xx2=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A；当x>0时，e x−e−x>0，即f(x)>0，排除D;当x→+∞时，e−x→0，由指数函数y=e x和二次函数y=x2的图象特征，可知此时f(x)→+∞，排除C;故选B．7.答案：C解析：利用指数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：∵a=0.43∈(0,1)，1<2.90.4<30.4 ，∴a<b<c.故选C．8.答案：D解析：本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，属于中档题．通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点，说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，由勾股定理即可得到最短弦长．解：由直线l：(2k+1)x+(k+1)y+1=0(k∈R)得：(x+y+1)+k(2x+y)=0，故l恒过定点D(1,−2)．因为(1−1)2+(−2−2)2=8<25，则点D在圆C的内部，直线l与圆C相交．圆心C(1,2)，半径为5，|CD|=4，当截得的弦长最小时，l⊥CD，最短的弦长是2√25−16=6．再由l经过圆心时弦长最长为2r=10，则|AB|∈[6,10]．故选：D．9.答案：D解析：本题主要考查了函数的最值，三角函数的定义域与值域的应用，属于基础题．由题意，可得y=(sinx−3)2−8，由正弦函数及二次函数的性质，可求出该函数的最大值．解：，又，∴sinx∈[12,1]，∴当sinx=12时，y max=(12−3)2−8=−74．故选D．10.答案：18解析：本题考查分层抽样方法，根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丁专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丁专业要抽取的人数．解：∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生∴本校共有学生150+150+400+300=1000，∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取60名学生进行调查，∴每个个体被抽到的概率是601000，∵丁专业有300人，∴要抽取300×601000=18，故答案为18．11.答案：y=2x−4解析：本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线的方程的运用，考查运算能力，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程．解：f(x)=xln(x−1)的导数为f′(x)=ln(x−1)+xx−1，可得曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为k=ln1+2=2，切点为(2,0)，则切线的方程为y−0=2(x−2)，即为y=2x−4．故答案为：y=2x−4．12.答案：√2解析：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．求出双曲线的右焦点F和一条渐近线方程，由题意可设直线PF的方程，联立渐近线方程求得P的坐标，由|OP|=a，结合离心率公式，计算可得所求值．解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0)，双曲线的渐近线方程为y=bax，由∠PFO=45°，可得直线PF的方程为y=−(x−c)，联立渐近线方程，可得P(aca+b ,bca+b)，由|OP|=a，可得(aca+b )2+(bca+b)2=a2，由a2+b2=c2，可得2a3=b3+a2b，即有(a−b)(2a2+ab+b2)=0，可得a=b，则e=ca =√1+b2a2=√2．故答案为√2．13.答案：1792解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中x的系数．解：(2x+x2)8的展开式的通项公式为T r+1=C8r⋅28−r⋅x3r−8，令3r−8=1，求得r=3，可得展开式中x的系数为C83⋅25=1792，故答案为：1792．14.答案：16π解析：解：∵过点A 且与OP 垂直的平面截球O 所得圆的面积为3π，∴截面圆的半径为√3，设球O 的半径为R ，则R 2=(12R)2+(√3)2，∴R =2，∴球O 的表面积为4πR 2=16π．故答案为：16π．解析：求出截面圆的半径，利用勾股定理求出球O 的半径，利用球的面积公式求出球O 的表面积即可．本题考查球O 的表面积，考查学生的计算能力，正确求出球O 的半径是关键． 15.答案：(0,1)10解析：解：由抛物线x 2=4y ，可得焦点F(0,1)，|AB|=|AF|+|FB|=y A +y B +p=2×(4+1)=10．故答案分别为：(0,1)；10．由抛物线x 2=4y ，可得焦点F(0,1)，由|AB|=|AF|+|FB|═y A +y B +p ，再利用梯形的中位线定理即可得出．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、弦长公式、梯形的中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：(本小题(12分)，第1小题(6分)，第2小题6分)解：(1)由题意可得：{10a 1+45d =100a 1d =2， 解得{a 1=9d =29(舍去)或{a 1=2d =2， 所以a n =2n −1，b n =2n−1．(2)∵c n=a nb n ，c n=2n−12n−1，∴T n=1+32+522+723+⋯+2n−12n−1…①，12T n=12+322+523+724+925+⋯+2n−12n…②①−②可得12T n=2+12+122+⋯+12n−2−2n−12n=3−2n+32n，故T n=6−2n+32n−1.(12分)解析：(1)利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解通项公式．(2)化简数列的通项公式，然后利用错位相减法求和即可．本题考查数列的通项公式的求法，等差数列以及等比数列的应用，考查数列求和的方法，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)asinB=√3bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=√3sinBcosA，∵B是三角形内角，∴sinB≠0，∴tanA=√3，A是三角形内角，∴A=π3．(Ⅱ)∵a=√7，b=2，A=π3．∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得：7=4+c2−2×2×c×12，整理可得：c2−2c−3=0，解得：c=3或c=−1(舍去)，∴S△ABC=12bcsinA=12×2×3×√32=3√32．解析：本题考查正弦定理以及余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A 的大小即可．(Ⅱ)利用余弦定理可求c 的值，通过三角形面积公式即可得解．18.答案：(本小题9分)证明：(1)因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD ，………………(1分)正方形ABCD 中AC ⊥BD ，PA ∩AC =A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，………………(2分)所以BD ⊥平面PAC.………………(3分)解：(2)正方形ABCD 中AB ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，所以以点A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)． 因为PA =AB =2，所以P(0,0，2)，D(0,2，0)，C(2,2，0)，因为点Q 为线段PC 的中点，所以Q(1,1，1)，所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)．………………(4分)设n ⃗ =(x,y,z)是平面PCD 的法向量，则有{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，所以{x =02y −2z =0，取y =1，得n ⃗ =(0,1,1)，………………(5分)因为cos <AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√63，………………(6分)所以直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值等于√63．(3)由(1)可知BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)是平面PAC 的法向量，由(2)n ⃗ =(0,1,1)是平面PCD 的法向量，因为cos <BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=12，………………(8分)由图可知，二面角A −PC −D 为锐二面角，所以二面角A −PC −D 的大小为π3. ………………(9分)解析：(1)由PA ⊥平面ABCD ，得PA ⊥BD ，再由AC ⊥BD ，能证明BD ⊥平面PAC ．(2)以点A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值．(3)求出平面PAC 的法向量和平面PCD 的法向量，利用向量法能求出二面角A −PC −D 的大小． 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值、二面角的大小求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)由题意可知：椭圆的离心率e =c a =√1−b2a 2=23，则b 2a 2=59，① 由点C 在椭圆上，将(2,53)代入椭圆方程，4a +259b =1，②解得：a 2=9，b 2=5，∴椭圆E 的标准方程为x 29+y 25=1； (2)方法一：由(1)可知：b 2a 2=59，则椭圆方程：5x 2+9y 2=5a 2，设直线OC 的方程为x =my(m >0)，B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，{x =my 5x 2+9y 2=5a2，消去x 整理得：5m 2y 2+9y 2=5a 2， ∴y 2=5a 25m 2+9，由y 2>0，则y 2=√5a √5m 2+9， 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB//OC ，设直线AB 的方程为x =my −a ， 则{x =my −a 5x 2+9y 2=5a2，整理得：(5m 2+9)y 2−10amy =0， 由y =0，或y 1=10am 5m 2+9，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x 1+a,y 1)=(12x 2,12y 2)， 则y 2=2y 1， 则√5a√5m 2+9=2×10am 5m 2+9，(m >0)，解得：m =√35， 则直线AB 的斜率1m =5√33；方法二：由(1)可知：椭圆方程5x 2+9y 2=5a 2，则A(−a,0)，B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x 1+a,y 1)=(12x 2,12y 2)，则y 2=2y 1， 由B ，C 在椭圆上，∴{5x 22+9y 22=5a 25(12x 2−a)2+9(y 22)2=5a 2， 解得：x 2=a 4，y 2=4√3则直线直线AB 的斜率k =y 2x 2=5√33；直线AB 的斜率=5√33解析：(1)利用抛物线的离心率求得b 2a 2=59，将(2,)代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值； (2)方法一：设直线OC 的斜率，代入椭圆方程，求得C 的纵坐标，则直线直线AB 的方程为x =my −a ，代入椭圆方程，求得B 的纵坐标，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线直线AB 的斜率k ； 方法二：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，y 2=2y 1，将B 和C 代入椭圆方程，即可求得C 点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB 的斜率．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，向量共线定理，考查计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)f′(x)=2(1−x 2)x ，x >0，由f′(x)>0，可得{x >01−x 2>0，即x ∈(0,1)， ∴函数f(x)的单调递增区间是(0,1)；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=2lnx −x −2−a ，则ℎ′(x)=2−x x ，∴x ∈(1,2)时，ℎ′(x)>0，x ∈(2,3)时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(1,2)上为增函数，在(2,3)上为减函数，∴ℎ(2)是ℎ(x)的极大值，也是ℎ(x)在(1,3)上的最大值．∵函数f(x)与g(x)在区间(1,3)内恰有两个交点，∴函数ℎ(x)在区间(1,3)内有两个零点，则有ℎ(2)>0，ℎ(1)<0，ℎ(3)<0．∴有{2ln2−4−a >0−3−a <02ln3−5−a <0，解得：2ln3−5<a <2ln2−4，∴a 的取值范围是(2ln3−5,2ln2−4)．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点判断，体现了数学转化思想方法，是中档题．(1)求出f(x)的导函数，由导函数大于0求得x 的范围可得函数f(x)的单调递增区间；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=2lnx −x −2−a ，把函数f(x)与g(x)在区间(1,3)内恰有两个交点转化为函数ℎ(x)在区间(1,3)内有两个零点，利用导数求ℎ(x)在(1,3)上的最大值，结合函数零点的判定列式求解．。