第二讲整除问题进阶
例题1.答案：120087
详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有208
++是99的倍数，只能是99．两个空中先后要填1和7．
例题2.答案：123483789
详解：设这个九位数为1234789
++++=+是99
a b ba
ab，两位截断求和1234789160的倍数，只能是198．所以a=8，b=3．
例题3.答案：6
详解：利用7的整除特性，895930
-=能被7整除，只能填6．
例题4.答案：5
详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数．所以只需要满足13|59就可以了．空格中要填5．
例题5.答案：768768
详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成．又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了．答案不唯一．
例题6.答案：20999
详解：利用数字谜，从后往前逐位确定．
练习1.答案：6237
简答：两位截断后的和是99．
练习2.答案：12327678
简答：两位截断后的和是198． 练习3. 答案：5712或5782
简答：利用7的整除特性，72与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8．
练习4. 答案：0
简答：前面依次去掉111111，后面依次去掉333333，最后剩下．它是13的倍数，
那么空格中只能填0．
作业1. 答案：7的倍数有7315，58674，360360；13的倍数有325702，360360
简答：牢记7和13的判断方法．
作业2. 答案：6336
简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可．
作业3. 答案：2758
简答：应用三位截断法，可知能被7整除，框中填5满足条件．
作业4. 答案：9
简答：应用三位截断，可知能被7和13整除，即是91的倍数，框中填9
满足条件．
作业5. 答案：3
简答：应用三位截断，可知能被7整除，框中填3满足条件． 第二讲 整除问题进阶
1
3 81 81 76
上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等．现在我们再来学习一些新的判断方法．
一、截断作和
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和能被99整除．
六位数2008能同时被9和11整除．这个六位数是多少？
【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除．想一想，99的整除特性是什么？
四位数能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
【分析】这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数．这个99的倍数可能是多少呢？
已知八位数能被99整除，这个八位数是多少？
二、截断作差
能被7、11、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7或11或13整除．
【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化．
阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数5989，使得这个五位数能被7整除．请问：小高写的数是多少？
123678 已知九位数1234789能被99整除，这个九位数是多少？
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四位数572能被7整除，那么这个四位数可能是多少？
接下来我们处理一些较复杂的问题．
【分析】在本题中，255
259
55
599
9□个个能被13整除．这个数的位数太多，我们可以想办法使它
变得简短一些．因为1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘积，说明它们都是13的倍数．那我们是不是可以去掉这个51位数上的一些5和9，并仍然保证它能被13整除？
已知多位数20101
20103
111333个个能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？
【分析】能被6，7，8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被7整除，我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被7整除呢？题目只要求我们写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可．
用数字6，7，8各两个，要组成能同时被6，7，8整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．
已知51位数255
259
55
599
9个个能被13整除，中间方格内的数字是多少？
一个五位数，它的末三位为999．如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？
【分析】我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘
积，因此不可能根据整除特征来考虑．我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23
整除，就是说它能写成23与另一个数的乘积．接下来，大家想到该怎么办了吗？
课堂内外
自古成功在尝试
枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用．当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路．
胡适（学者，诗人，1946～1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是．我今为下一转语，自古成功在尝试”．这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功．而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功．
我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试．
