2011年上海市徐汇区初中数学一模卷试题及参考答案【纯word版,完美打印】

2011年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（4分）（2011•徐汇区一模）在直角坐标平面内，如果抛物线y=﹣（x﹣1）2经过平移可以与抛物线y=﹣x2互相重合，那么这个平移是（）A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位【考点】M41A 函数图像的几何变换M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式【难度】容易题【分析】∵抛物线y=﹣（x﹣1）2的顶点为（1，0）；抛物线y=﹣x2的顶点为（0，0）；从（1，0）到（0，0）是向左平移了1个单位，∴抛物线也是如此平移的．故选C．【解答】C．【点评】本题考查抛物线的平移；用到的知识点为：抛物线的平移要看顶点的平移；只横坐标改变是左右平移．2．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB的值是（）A．B．C．D．【考点】M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M33E 勾股定理【难度】容易题【分析】根据勾股定理可以求出AB=5，根据三角函数的定义即可求得cosB==．故选：A．【解答】A．【点评】本题主要考查了勾股定理以及余弦函数的定义：直角三角形中邻边与斜边的比．3．（4分）（2011•徐汇区一模）下列命题不一定成立的是（）A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似B．两个等腰直角三角形相似C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D．各有一个角等于95°的两个等腰三角形相似【考点】M33M 相似三角形性质、判定【难度】容易题【分析】判定两三角形相似的方法很多如：“HL”，“AA”，“SAS”，但“SSA”不能判定两三角形相似．则：A、“HL”可以判断两直角三角形相似，命题成立．B、满足“AA”判定法，命题成立．C、∵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，∴命题不一定成立．D、满足“AA”判定法，命题成立．故选C．【解答】C．【点评】本题考查相似三角形的最常用的方法判断方法：“AA”，“SAS”，“HL”也可以判断两直角三角形相似；但“SSA”不一定能判断两三角形相似．4．（4分）（2011•徐汇区一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．ab＞0B．当x≤1时，y随x的增大而增大C．ac＞0D．方程ax2+bx+c=0有两个正实数根【考点】M241 一元二次方程的概念、解法M416 函数图像的交点问题M41B 平面直角坐标系M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式【难度】容易题【分析】由图象可知：a＜0，﹣=1，c＞0，∴b＞0．A、因为ab＜0，故本选项错误；B、由图象知：当x≤1时，y随x的增大而增大，故本选项正确；C、因为ac＜0，故本选项错误；D、由图象知方程ax2+bx+c=0的根一正一负，故本选项错误．故选：B．【解答】B．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程，有理数的乘法法则等知识点，能正确观察图象是解此题的关键．用了数形结合思想．5．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，在△ABC中，点E、F分别是边AC、BC的中点，设=，=，用、表示，下列结果中正确的是（）A．B．﹣C．D．【考点】M334 三角形中位线定理M382 向量的加法与减法M383 实数与向量的乘法M384 向量的线性运算【难度】容易题【分析】此题主要用到了三角形中位线定理，在向量CA、BC已知的情况下，可求出向量==，又知题中EF为中线，所以．故选B．【解答】B．【点评】本题考查平面向量、三角形中位线定理．解决本题的关键是懂得三角形中如何用三边向量表示、三角形的中位线定理的应用．6．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，DF=3FC，连接AE、AF、EF，那么下列结果错误的是（）A．△ABE与△EFC相似B．△ABE与△AEF相似C．△ABE与△AFD相似D．△AEF与△EFC相似【考点】M33D 直角三角形的性质和判定M33E 勾股定理M33M 相似三角形性质、判定M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质【难度】较难题【分析】已知在正方形ABCD中，E为BC中点，DF=3FC，得：AB=BC=DC=AD，BE=CE=AB=BC=DC，DC=4CF，∴CF=BE=CE，即BE=CE=2CF．在△ABE和△EFC中=，===∴△ABE与△EFC相似，∴∠AEB=∠EFC，∴∠AEB+FEC=90°，∴△ABE与△AEF相似都是直角三角形∴EF2=CF2+CE2=CF2+（2CF）2=5CF2BE2=CE2=4CF2∴==∴=．AE2=AB2+BE2=（2BE）2+BE2=5BE2AB2=（2BE）2=4BE2=∴=∴△ABE与△AEF相似又△ABE与△EFC相似（已证）∴△AEF与△EFC相似．已知正方形ABCD，∴在两直角三角形ABE和△AFD中的两直角边=1，DF=3CF，BE=2CF∴==∴△ABE与△AFD不相似．所以C答案相似错误．故选：C．【解答】C．【点评】此题考查了学生对正方形性质的应用及相似三角形判定的掌握．解答此题的关键是根据已知条件所给的4对三角形是否相似确定答案．此题为中档题．二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．（4分）（2011•徐汇区一模）如果，那么=．【考点】M33H 比例的性质【难度】容易题【分析】根据比例的性质（两内项之积等于两外项之积）解答即：∵原式的两个内项分别是a+b、5，两个外项分别是a、7，∴7a=5（a+b），即2a=5b，∴=．故答案为：．【解答】．【点评】本题主要考查了比例的基本性质：在比例式中，两内项之积等于两外项之积．8．（4分）（2011•徐汇区一模）计算：=．【考点】M362 特殊角的锐角三角函数值【难度】容易题【分析】先把cos30°=，sin45°=，cot60°=代入原式，再根据实数的运算法则进行计算得：=﹣=．故答案为：．【解答】．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．9．（4分）（2011•徐汇区一模）二次函数y=3x2﹣6x+5的图象的顶点坐标是．【考点】M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式【难度】容易题【分析】利用求顶点坐标公式x=﹣，y=代入计算可得x=﹣=1，y==2，即顶点坐标是（1，2）．【解答】（1，2）．【点评】本题考查用公式法求二次函数的顶点坐标．做对本题的关键是记熟公式．10．（4分）（2011•徐汇区一模）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，则二次函数解析式是．【考点】M414 用待定系数法求函数关系式M416 函数图像的交点问题M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式【难度】容易题【分析】由于抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，那么可以得到方程﹣x2+bx+c=0的两根为x=1或x=﹣3，然后利用根与系数关系得1+（﹣3）=b，1×（﹣3）=﹣c，∴b=﹣2，c=3，∴二次函数解析式是y=﹣x2﹣2x+3．【解答】y=﹣x2﹣2x+3．【点评】此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题．11．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，已知l1∥l2∥l3，若AB：BC=3：5，DF=16，则DE=．【考点】M33I 平行线分线段成比例定理【难度】容易题【分析】首先由已知l1∥l2∥l3，证得，又由AB：BC=3：5，AB+BC=AC，得AB：AC=3：8，又DF=16，即可求得，则DE=6．故答案为：6．【解答】6．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理．解题时要注意找准对应关系，注意数形结合思想的应用．12．（4分）（2011•徐汇区一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=2，若与x轴交点为A（6，0），则由图象可知，当y＞0时，自变量x的取值范围是．【考点】M416 函数图像的交点问题M41B 平面直角坐标系M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式M417 不同位置的点的坐标的特征【难度】容易题【分析】利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的另一个交点坐标（﹣2，0），再结合图象，得出函数开口向下，x轴上方部分y＞0，此时﹣2＜x＜6，故答案为：﹣2＜x＜6．【解答】﹣2＜x＜6．【点评】此题主要考查了二次函数的对称性，以及结合二次函数图象观察函数的取值问题．属于中考高频考点，考生要注意掌握！13．（4分）（2011•徐汇区一模）如图在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，则cos∠DCB=．【考点】M33E 勾股定理M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）【难度】容易题【分析】根据题意：∠DCB=∠CAB．在Rt△ABC中，易得AB=5，cos∠CAB=．故cos∠DCB=．【解答】．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．14．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AE⊥AB，交BD 于点G，交BC的延长线于点E，那么=．【考点】M33M 相似三角形性质、判定M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质【难度】容易题【分析】四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=BC，∵AE⊥AB，∠ABC=60°，∴AB=AD=BE，∵AD∥BE，∴△ADG∽△EBG，∴==．故答案为：．【解答】．【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，解题时要注意比例线段的转化．15．（4分）（2011•徐汇区一模）某滑雪运动员沿着坡比为1：的斜坡滑行了200米，则他身体下降的高度为米．【考点】M364 解直角三角形M365 仰角、俯角、坡度、坡角【难度】容易题【分析】设垂直高度下降了x米，则水平前进了x米．根据勾股定理可得：x2+（x）2=2002．解得x=100，即它距离地面的垂直高度下降了100米．故答案为：100．【解答】100．【点评】本题考查解直角三角形的应用，难度不大，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．16．（4分）如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB=1.4米，BP=2.1米，PD=12米．那么该古城墙CD的高度是米．【考点】M33M 相似三角形性质、判定【难度】容易题【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到=代入数值求的=解得：CD=8米．【解答】8．【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，注意到相似三角形，解决本题关键．17．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，在△ABC中，D是AB上一点，如果∠B=∠ACD，AB=6cm，AC=4cm，若S△ABC=36cm2，则△ACD的面积是cm2．【考点】M33M 相似三角形性质、判定M33O 三角形面积【难度】中等题【分析】D是AB上一点且∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴=∴===∵S△ABC=36cm2∴△ACD的面积是36×=16，∴△ACD的面积是16cm2．故应填：16．【解答】16．【点评】本题考查了相似三角形面积的比与相似比的关系，是相似三角形常考查的内容之一．关键是利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求得△ACD的面积．18．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，点D为腰BC 中点，点E在底边AB上，且DE⊥AD，则BE的长为．【考点】M33E 勾股定理【难度】中等题【分析】过D点作DH⊥AB，垂足为H，∵在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，∴AB==2．∵点D为腰BC中点，∴AD==，∵DE⊥AD，∠B=45°，∴DH=HB=，∴AD2=AH•AE，∴AE===，EB=AB﹣AE=2﹣=．故答案为：．【解答】．【点评】此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，解答关键是过D点作DH⊥AB，求出AE的长，这是此题的突破点，此题有点难度，属于中档题．三、解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）（2011•徐汇区一模）已知：▱ABCD中，E是BA边延长线上一点，CE交对角线DB于点G，交AD边于点F．求证：CG2=GF•GE．【考点】M33I 平行线分线段成比例定理M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质【难度】容易题【分析】由平行四边形可得AD∥BC，AB∥CD，再由平行线分线段成比例即可证明．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，AD∥BC， (2)∵DC∥AB，∴， (4)∵AD∥BC，∴， (6)∴， (8)即CG2=GF•GE． (10)【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例的性质，均属于中考常考知识点，要求考生要能够熟练掌握．20．（10分）（2011•徐汇区一模）已知：如图，▱ABCD中，E是BC中点，AE交BD于点F，设=、=．（1）用x+y（x，y为实数）的形式表示；（2）先化简，再直接在图中作：．【考点】M33M 相似三角形性质、判定M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M382 向量的加法与减法M383 实数与向量的乘法M384 向量的线性运算【难度】容易题【分析】（1）从图中不难看到△ADF∽△EBF，由于BE=，那么或BF=．再利用向量的减法，求得向量AF．（2）先利用向量的加减法将化简，再根据实数与向量的积，画出向量，连接向量的首尾．【解答】解：（1）解一：； (5)解二：； (5)（2）=﹣，=﹣． (7) (10)【点评】本题考查平行向量、平行四边形的性质．解决本题的关键是利用相似三角形求得AF、FE，BF、FD的大小关系，理解平行向量的含义．21．（10分）（2011•徐汇区一模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，，中线BE和AD交于点F．求：△ABC的面积以及sin∠EBC的值．【考点】M333 三角形的高、中线、角平分线M339 等腰三角形的性质和判定M33O 三角形面积M33E 勾股定理M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M364 解直角三角形【难度】中等题【分析】由等腰三角形的性质得AD⊥BC，再由，求得CD、AD，则S△ABC=60，根据中线的性质求出DF，BF，在△BDF中求得sin∠EBC的值．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，且AD是中线，∴AD⊥BC，∠B=∠C． (2)∵Rt△ABD与Rt△ACD中，AB=AC=13，，∴BD=DC=ABcosB=5 (4)∴，∴S△ABC=60． (6)∵中线BE和AD交于点F，∴ (7)则在Rt△BDF中， (8)∴sin∠EBC= (10)【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角函数的定义，是中档题，难度不大．注意：突破口为由等腰三角形的性质得AD⊥BC，再由，求得CD、AD！22．（10分）（2011•徐汇区一模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房．在该楼前面15米处要盖一栋高20米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°．（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）【考点】M124 实数大小比较M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M364 解直角三角形【难度】容易题【分析】（1）首先沿着光线作射线AF交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G．在Rt△AFG中，利用正切函数求得AG的长，进而根据CF=BG=AB﹣AG求得CF的高度．通过比较CF与超市高度6米，可得到中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响．（2）首先沿着光线作射线AE交直线BC于点E．在Rt△ABE中，利用正切函数求得BE 的长，即为使得超市采光不受影响，两楼应至少相距的米数．【解答】解：（1）沿着光线作射线AF交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G，由题意，在Rt△AFG中，GF=BC=15，∠AFG=29°，∴AG=GF•tan29°=15×0.55=8.25米， (2)∴GB=FC=20﹣8.25=11.75米， (4)∵11.75＞6，∴居民住房会受影响 (5)（2）沿着光线作射线AE交直线BC于点E． (6)由题意，在Rt△ABE中，AB=20，∠AEB=29°， (8)∴米， (9)∴至少要相距37米 (10)【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．23．（12分）（2011•徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，，E为线AC上一点（不与A、C重合），过点E作ED⊥AC交线段AB于点D，将△ADE沿着直线DE翻折，A的对应点G落在射线AC上，线段DG与线段BC交于点M．（1）若BM=8，求证：EM∥AB；（2）设EC=x，四边形的ADMC的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出定义域．【考点】M33O 三角形面积M33E 勾股定理M33I 平行线分线段成比例定理M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M420 函数自变量的取值范围M443 二次函数的关系式M444 二次函数的应用【难度】中等题【分析】（1）根据三角函数先在Rt△ACB中，求出AC=9，BC=12，MC=4．再在Rt△MCG 中，求出CG=3．可得AG=12，EC=3，AE=6，根据平行线分线段成比例即可证明EM∥AB；（2）根据S ADMC=S△ABC﹣S△DBM，即可得出S关于x的函数解析式．（1）在Rt△ACB中，，设AC=3k，BC=4k， (1)【解答】解：则AB=，AB=5k=15，k=3．∴AC=9，BC=12． (3)∵BM=8，∴MC=4 (4)在Rt△MCG中，，∴CG=3． (5)∴AG=12，EC=3，AE=6． (6)∵，∴EM∥AB； (7)（2）EC=x，由题意有EG=AE=9﹣x，则CG=9﹣2x， (8)，BM=12﹣（9﹣2x）， (9)S ADMC=54﹣（0＜x＜4.5）． (12)【点评】本题综合考查了平行线分线段成比例，三角函数的知识，组合图形的面积之间的关系，函数解析式等知识点，有一点的难度．尤其注意（2）问关键是根据S ADMC=S△ABC﹣S△DBM，得出S关于x的函数解析式．24．（12分）（2011•徐汇区一模）如图，抛物线与x轴相交于A、B，与y轴相交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线点D．（1）求梯形ABCD的面积；（2）若梯形ACDB的对角线AD、BC交于点E，求点E的坐标，并求经过A、B、E三点的抛物线的解析式；（3）点P是直线CD上一点，且△PBC与△ABC相似，求符合条件的P点坐标．【考点】M241 一元二次方程的概念、解法M323 平行线的判定、性质M33M 相似三角形性质、判定M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M345 梯形的概念M346 等腰梯形的性质与判定M348 四边形周长、面积M414 用待定系数法求函数关系式M417 不同位置的点的坐标的特征M41B 平面直角坐标系M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式M444 二次函数的应用【难度】较难题【分析】（1）把x=0，y=0分别代入解析式，即可求出A、B、C的坐标，由CD∥x轴得到C和D的纵坐标相等（是﹣2）从而求出D的坐标，利用梯形的面积公式求出即可；此问简单（2）根据抛物线的对称性求出E的横坐标，过E作EN⊥AB，就可得到比例式，进一步求出E的纵坐标，即过、B、E三点的抛物线的顶点坐标，即可求出解析式；此问中等（3）由已知相似可得比例式，能求出CP的值，进而求出P的坐标．此问较难【解答】解：（1），当y=0时，﹣x2+x﹣2=0，解得：x1=1，x2=4， (1)当x=0时，y=﹣2，∴A（1，0），B（4，0），C（0，﹣2），∵CD∥x轴，∴D点的纵坐标也是﹣2， (2)把y=﹣2代入得：﹣x2+x﹣2=﹣2，解得：x3=0，x4=5，D点的坐标是：（5，﹣2）， (3)S梯形ACDB=×[（4﹣1）+5]×|﹣2|，=8．所以梯形ABCD的面积是8． (4)（2）由抛物线的对称性有，过E作EN⊥AB于N，，，，∴， (6)设：经过A、B、E三点的抛物线的解析式为：y=a﹣，把A（1，0）代入解得：a=， (7)所以经过A、B、E三点的抛物线的解析式是：，即y═x2﹣x+． (8)（3）当点P在C的右侧，当∠CAB=∠CBP时，=，=，PB=， (9)设P（a，﹣2），∵B（4，0），∴由勾股定理得：22+（4﹣a）2=（）2，a=（此时∠CAB≠∠CBP舍去），a=，∴P（，﹣2）； (10)当∠CPB=∠CAB时，∵AB∥CD，∴∠ABC=∠PCB，∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°，∴∠ACB=∠CBP，∴AC∥PB，∴四边形ACPB是平行四边形，∴AB=CP， (11)∵A（1，0），B（4，0），∴CP=AB=3，∵C（0，﹣2），CP∥AB，∴P（3，﹣2），当点P在C的左侧，由题意有钝角∠BAC≠钝角∠PCB，此时不存在．所以符合条件的P点坐标是P（3，﹣2）和P（，﹣2）． (12)【点评】本题主要考查了二次函数的性质，三角形相似的性质，梯形的面积公式，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能综合运用这些知识解题是解决本题的关键．难点是（3）小题的求法，巧妙地运用了分类讨论思想．25．（14分）（2011•徐汇区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EF⊥CD，求BE的长．【考点】M232 一元一次方程的概念、解法M323 平行线的判定、性质M334 三角形中位线定理M33F 全等三角形概念、判定、性质M33M 相似三角形性质、判定M346 等腰梯形的性质与判定M347 梯形中位线定理M711 数学综合与实践【难度】较难题【分析】（1）先根据已知条件判断出梯形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性质可得出△MEF∽△MFC，由相似三角形的性质及判定定理可得出△MEF∽△BEM；此问简单（2）由（1）可知△MEF∽△BEM，BM=BF=3=MC，则△MEF≌△FMC，由全等三角形的对应边相等可得出EF的长；同理，若BM=BM=3=MC，则△MEF≌△FMC，由全等三角形的对应边相等可得出EF的长；此问中等（3）根据EF⊥CD，△MEF∽△BEM可求出∠MFE=∠MFC=∠BME=45°，设BE=x，则BH=，EH=MH=，由MH+BH=3即可求出答案．此问较难【解答】证明：（1）在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C， (1)∵∠BMF=∠EMB+∠EMF=∠C+∠MFC，又∵∠EMF=∠B，∴∠EMB=∠MFC， (2)∴△EMB∽△MFC，∴， (3)∵MC=MB，∴，又∵∠EMF=∠B，∴△MEF∽△BEM； (4)（2）解：若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，则有两种情况：①BM=ME，那么根据△MEF∽△BEM，∴=，∴=，即EF=MF (5)根据第（1）问中已证△BME∽△MFC，∴=，即MF=FC，∴∠FMC=∠C，又∵∠B=∠C，∴∠FMC=∠B，∴MF∥AB (6)延长BA和CD相交于点G，又点M是BC的中点，∴MF是△GBC的中位线，∴MF=GB，又∵AD∥BC，∴△GAD∽△GBC，∴===，∴=1，即AG=AB=6，∴GB=12，∴MF=EF=6 (7)②BM=BE=3，∴点E是AB的中点，又△MEF∽△BEM，∴==1，即MF=ME，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=（AD+BC）=（3+6）=； (9)（3）∵EF⊥CD，∴∠EFC=90°，△MEF∽△BEM，∠MFE=∠MFC=∠BME=45°， (11)解一：过点E作EH⊥BC，则可得△EHM等腰直角三角形，故EH=MH， (12)设BE=x，则BH=，EH=MH=，，∴BE= (14)解二：过点M作MN⊥DC，MC=3，NC=．MN==FN，FC=﹣2由△MEF∽△MFC有， (12)即，得BE=． (14)【点评】本题主要考查的是等腰梯形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，难度较大．解题时尤其注意第（3）小问关键是得出BH、MH之间的关系，然后由MH+BH=3即可求出答案．。

普陀区2010学年度第一学期九年级数学期终考试调研卷2011.1.11（时间：100分钟，满分：150分）考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ▲ ） （A ）21y x x=+； （B ）2y ax bx c =++； （C ）()227y x x =-+； （D ）(1)(21)y x x =+-．2．下列说法中不正确．．．的是（ ▲ ） （A ）如果m 、n 为实数，那么()m n a ma na +=+；（B ）如果0k =或0a =，那么0ka = ；（C ）长度为1的向量叫做单位向量；（D ）如果m 为实数，那么()m a b ma mb +=+．3．已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，那么a 、b 、c 的符号为（ ▲ ） （A ）a ＞0，b ＞0，c ＞0； （B ）a ＜0，b ＜0，c ＜0； （C ）a ＜0，b ＞0，c ＞0； （D ）a ＜0，b ＜0，c ＞0．4．如图，能推得DE ∥BC 的条件是（ ▲ ） （A ）AD ∶AB =DE ∶BC ； （B ）AD ∶DB =DE ∶BC ； （C ）AD ∶DB =AE ∶EC ； （D ）AE ∶AC =AD ∶DB ．E DCBA（第4题图）5．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，如果CD ＝2， AC ＝3，那么sin B 的值是（ ▲ ） （A ）23； （B ）32； （C ）34； （D ）35． 6．如图， A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ ∽△ABC ，那么点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ▲ ） （A ）甲； （B ）乙； （C ）丙； （D ）丁．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知抛物线的表达式是()221y x =--，那么它的顶点坐标是 ▲．8．如果二次函数223y x ax =++的对称轴是直线1x =，那么a 的值是 ▲ ． 9．在平面直角坐标系中，如果把抛物线235y x =+向右平移4个单位，那么所得抛物线的表达式为 ▲ ．10．实际距离为3000米的两地，在比例尺为1:100000的地图上的距离为 ▲ 厘米． 11．如果两个相似三角形的面积比为1∶2，那么它们的周长比为 ▲ ． 12． 已知点M 是线段AB 的黄金分割点（AM ＞MB ），如果AM ＝215-cm ， 那么AB ＝ ▲ cm ．13．已知点G 是△ABC 的重心，AD 是中线，如果AG =6，那么AD = ▲ ． 14．如图，四边形ABCD 是正方形，点E 、F 分别在边DC 、BC 上，AE ⊥EF ,如果53DE EC =,那么AE ∶EF 的值是 ▲ ． 15．如图，直线 A A 1∥BB 1∥CC 1，如果12AB BC =， 12AA =，15CC =，那么线段BB 1的长是 ▲ ．16．如果一段斜坡的垂直高度为8米，水平宽度为10米，那么这段斜坡的坡比 i = ▲ ．(第15题图)A BCA 1B 1C 1CABD（第5题图）（第6题图）F EDCBA（第14题图）17．如图， 已知在△ABC 中，AD =2，DB =4，DE BC ∥．设AB a = ，AC b =，试用向量a 、b表示向量BE = ▲ ．18．已知在ABC ∆中，20AB =，12AC =，16BC =，点D 是射线BC 上的一点（不与端点B 重合），联结AD ，如果△ACD 与△ABC 相似，那么BD ＝ ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分） 计算：()02tan 60cot 452011cos60cos30sin 30︒+︒+-︒︒-︒．20．（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量→a 、→b ．先化简，再求作：2(→a ＋12→b )－12(2→a －4→b )．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）21．（本题满分10分）已知一个二次函数的图像经过()0,1A 、()1,3B 、()1,1C -三点， 求这个函数的解析式，并用配方法求出图像的顶点坐标．22.（本题满分10分）某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，每级小台阶都为0.4米.现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与FG 垂直且长均为l 米的不锈钢架杆AD 和BC （杆子的底端分别为D ，C ），且66DAB ∠=（1）求点D 与点C 的高度差DH 的长度；（2）求所用不锈钢材料的总长度l （即AD ＋AB ＋BC 结果精确到0.1米）.（参考数据：sin 660.91≈，cos660.41≈，tan 66 2.25≈ ，cot 660.45≈ ）（第17题图）ED CBA（第20题图）→a→bGF（第22题图）23．（本题满分12分）如图，在ABC △中，90BAC ∠= ，AD 是BC 边上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．求证：（1）EG CGAD CD=； （2）FD ⊥DG ．24. （本题满分12分）如图，已知ABC △为直角三角形，90ACB ∠=，AC BC =，点A 、C 在x 轴上，点B坐标为（3，m ）(m ＞0)，线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的二次函数图像经过点B 、D ．（1）用m 表示点A 、D 的坐标； （2）求这个二次函数的解析式；（3）点Q 为二次函数图像上点P 至点B 之间的一点， 且点Q 到ABC △边BC 、AC 的距离相等，联结PQ 、BQ ， 求四边形ABQP 的面积．25、（本题满分14分）在ABC △中，90ACB ∠=，4AC =,3BC =，D 是边AC 上一动点（不与端点A 、C重合），过动点D 的直线l 与射线AB 相交于点E ，与射线BC 相交于点F ， （1）设1CD =，点E 在边AB 上，ADE △与ABC △相似，求此时BE 的长度． （2）如果点E 在边AB 上，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点E 、A 、D 为顶点的三角形相似，设CD ＝x ， BF ＝y ，求y 与x 之间的函数解析式并写出函数的定义域． （3）设1CD =，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点E 、A 、D 为顶点的三角形相似， 求:△△EBF EAD S S 的值．GF EDCBA（第23题图）（第25题图）ABC ABC（备用图）ABC（第24题图）普陀区2010学年度第一学期九年级数学期终考试试卷参考答案及评分说明一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(D)； 2．(B)； 3．(D)； 4．(C)； 5．(C) ； 6．(B).二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. ()1,0； 8. －1； 9. ()2345y x =-+ ； 10. 3； 11． 12. 1 13．9； 14．83； 15．3； 16．51:4； 17． 13b a -； 18．7或25或32．三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．解:原式=11++…………………………………………………………………………5′=32 ……………………………………………………………………3′=5+ ……………………………………………………………………2′20．解：原式=22a b a b +-+…………………………………………2′=3a b +. ………………………………………………2′……………………………5′3ba3a b + BACa（第20题图）∴AC =3a b +. ……………………1′21．解：（1）设所求的二次函数解析式为c bx ax y ++=2()0a ≠.由这个函数的图像过()0,1A ，可知1c =.………………………1′ 再由这个函数的图像过点()1,3B 、()1,1C -，得∴31,1 1.a b a b =++⎧⎨=-+⎩ …………………………2′∴1,1.a b =⎧⎨=⎩…………………………2′所以这个二次函数的解析式为：21y x x =++ . …………………1′ （2）21y x x =++213()24y x =++. ………………………………………2′∴这个二次函数的顶点坐标为13(,)24-. ……………………2′22．解：（1）DH ＝0.43⨯＝1.2（米）. ……………………………………2′（2）过点B 作BM ⊥AH ，垂足为M . ………………………1′由题意得：MH ＝BC ＝AD= 1，66A ∠=.∴AM ＝AH －MH ＝1 1.21+-＝1.2. …………………2′ 在Rt △AMB 中，∵cos AMA AB =， ……………………………………………………1′ ∴AB ＝1.22.92cos 660.41AM ≈=︒（米）. …………………………2′ ∴l ＝AD ＋AB ＋BC 1 2.921 4.9≈++≈（米）. ……………………1′答：点D 与点C 的高度差DH 为1.2米；所用不锈钢材料的总长度约为4.9米. …1′23．（1）证明：在ADC △和EGC △中，GFAD 是BC 边上的高， EG AC ⊥，∴90ADC EGC ∠=∠= ， ………………………1’又 C ∠为公共角，ADC EGC ∴△∽△.………………………………………1’ EG CG AD CD∴=.………………………………………………2′ （2）证明：在四边形AFEG 中，90FAG AFE AGE ∠=∠=∠= ，∴四边形AFEG 为矩形. ………………………………1′AF EG ∴=. ………………………………………………1′由（1）知EG CGAD CD =， AF CG AD CD ∴=. AF AD CG CD∴=.………………………………………1′ ABC △为直角三角形，AD BC ⊥，FAD C ∴∠=∠.………………………………………1′ AFD CGD ∴△∽△.……………………………………1′ ADF CDG ∴∠=∠.………………………………………1′又90CDG ADG ∠+∠=，90ADF ADG ∴∠+∠= .即90FDG ∠=………………………………1′FD DG ∴⊥.………………………1′24．解：(1) ∵点B 坐标为（3，m ）(m ＞0)，∴3OC =，BC m =. ∵AC BC =， ∴AC m =，∴点A 坐标为()3,0m -.………………………………………2′ 由题意得：AO OD =,∴点D 坐标为()0,3m -. …………………………………………2′ (2)设以P （1，0）为顶点的抛物线的解析式为()21y k x =-()0k ≠，……1′∵抛物线过点B 、D ，∴()()2231,301.m k m k ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩解得：4,1.m k =⎧⎨=⎩ ……………………………………2′所以二次函数的解析式为()21y x =-. …………………1′ 即：221y x x =-+.(3)设点Q 的坐标为(x ，y )，显然1＜x ＜3，y ＞0． 据题意，3y x =-，即x 2－2x ＋1＝3－x ，整理得 x 2－x －2＝0．解得2x =，1x =-(舍去)．所以1y =，点Q 的坐标为(2，1)，点Q 到边AC 、BC 的距离都等于1．…………2′ 联结CQ ，四边形ABQP 的面积＝△ABC 的面积－四边形CBQP 的面积＝△ABC 的面积－(△CBQ 的面积＋△CPQ 的面积)＝12×4×4－(12×4×1＋12×2×1)＝5．……………… 2′25．解：(1)由勾股定理得：5AB =.……………………………………1′∵过动点D 的直线l 与射线BC 相交于点F ，即DE 不平行于BC ， ∴只可能DE ⊥AB ，即△ADE ∽△ABC （如图1）．……………1′由AD AE AB AC =，解得125AE =， ………………………………1′ ∴135BE =.………………………………………………………1′(2)如图2，过点D 的直线l 交线段AB 于点E ， 交BC 的延长线于点F ， ∵A B ∠≠∠，2A ∠≠∠，如果BEF △与EAD △相似，那么只能1A ∠=∠. 又∵34∠=∠，∴FDC △∽ABC △.……………………2′∴CD CF CB CA =. ∴334x y -=．∴493x y +=(0＜x ＜4)．……………………………………2′+1′(3) 如图2，当直线l 交线段AB 于点E ，交BC 的延长线于点F 时，C BAD E如图1l4321FE DABC 如图21CD =时，133BF =,3AD =． 由EBF△∽EDA △得:△△EBF EAD S S ＝2BF AD ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝16981．………………………………………2′ 如图3，当直线l 交线段AB 的延长线于点E 、 交线段BC 于点F 时，CD ＝1，AD ＝3． 由1A ∠=∠得EBF △∽EDA △， 进而，由FDC△∽ABC △，得CD CFCB CA=． 由134CF =，得CF ＝43． ∴BF ＝53．……………………………………………………1′由EBF△∽EDA △得：:△△EBF EAD S S ＝2BF AD ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2581． ………………………………2′ 综上所述，:△△EBF EAD S S 的值等于16981或2581．如图3321F ED AB Cl。

例 2011年上海市徐汇区中考模拟第24题如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ， D 为OC 的中点，直线AD 交抛物线于点E （2，6），且△ABE 与△ABC 的面积之比为3∶2．（1）求直线AD 和抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x 轴相交于点F ，点Q 为直线AD 上一点，且△ABQ 与△ADF 相似，直接写出．．．．点Q 点的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11徐汇24”，拖动点Q 可以在直线AD 上运动，分别双击按钮“∠AFD ＝∠ABQ ”和“∠AFD ＝∠AQB ”可以准确显示三角形相似的两种情形． 请打开超级画板文件名“11徐汇24”，思路点拨1．点E 是已知的，由同底三角形的面积关系得到点C 的坐标，由D 是OC 的中点再得到点D 的坐标．求直线AD 的解析式需要代入点D 和点E 的坐标．2．由直线AD 的解析式得到点A 的坐标，代入点A 、C 、E 可以用待定系数法求抛物线的解析式．3．探求△ABQ 与△ADF 相似，点Q 不可能在x 轴下方．4．点Q 在x 轴上方时，△ABQ 与△ADF 相似有两种情况．满分解答（1）因为△ABE 与△ABC 是同底的三角形，所以面积比等于高的比．因为△ABE 与△ABC 的面积之比为3∶2，E （2，6），所以点C 的坐标为（0，4），OC 的中点D 的坐标为（0，2）．设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入点D （0，2）和点E （2，6），得2,2 6.b k b =⎧⎨+=⎩ 解得2,2.k b =⎧⎨=⎩ 所以直线AD 的解析式为y ＝2x ＋2．于是得到点A 的坐标为（－1，0）．因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （－1，0）、C （0，4）、E （2，6）三点，所以0,0,42 6.a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩ 解得1,3,4.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋3x ＋4． （2）点Q 的坐标为（1，4）或（32，5）．考点伸展第（2）题的解题思路是这样的：由y ＝－x 2＋3x ＋4＝－(x ＋1)(x －4)，知点B 的坐标为（4，0），点F 的坐标为（32，0）．当点Q 在x 轴下方的直线AD 上时，△ABQ 是钝角三角形，不可能与△ADF 相似，因此点Q 一定在x 轴上方．此时△ABQ 与△ADF 有一个公共的∠A ，两个三角形相似存在两种情况：①如图2，当AB AF AQ AD=时，由于F 是AB 的中点，所以此时D 是AQ 的中点．因此点Q 与点A 关于点D 对称，所以点Q 的坐标为（1，4）．②如图3，当AB AD AQ AF=时，552AQ =，解得2AQ =． 如图4，作QH ⊥x 轴，垂足为H ．由于DO //QH ，那么AO O D AD AH H Q AQ ==，即122AH H Q == 解得AH ＝52，HQ ＝5．所以点Q 的坐标为（32，5）．事实上，图4中的点H 就是图3中的点F ．图2 图3 图4。

2011学年第一学期徐汇区初二年级数学学科学习能力诊断卷（考试时间90分钟，满分100分） 2012．1一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分） 1．化简：16= ______________． 2．已知42)(-=x x f ，那么=)6(f ______________．3．函数 112+-=x x y 的定义域为_______________． 4．方程x x 22=的根是__________．5．在实数范围内分解因式：=+-132x x __________________________．6．如果正比例函数)0(≠=k kx y 图像经过点)6,2(-，那么它的解析式是 ． 7．如果关于x 的一元二次方程0)2(42=---m x x 没有实数根，那么m 的取值范围是_____________． 8．反比例函数xky =（k ≠0），当2-=x 时，3=y ．这个反比例函数的图像位于第_________象限．9．如果一个三角形的三边的长分别为13125、、，那么最大边上的中线长等于________．10．命题“直角三角形两锐角互余．”的逆命题是 ． 11．在平面直角坐标系内，已知点)0,2(-P ，点Q 在直线x y =上，如果2=PQ ，那么点Q 的坐标是 ．12．如图1，在ABC Rt ∆中，90=∠C ，BC AC =，AD 平分CAB ∠，如果1=CD ，那么BD = ．学校_______________________ 班级__________ 学号_________ 姓名______________…………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………AC13．以AB 为底边的等腰三角形顶点的轨迹是 ． 14．如图2，ABC ∆中，︒=∠50C ，将ABC ∆绕着点A顺时 针旋转到ADE ∆的位置，此时，点E 正好落在边BC 上， 那么=∠BED _________度．二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填在括号内】 15．下列各式中与12是同类二次根式的是……………………………………()（A ）6； （B ）24； （C ）31； （D ）32． 16．下列函数中，y 的值随x 的值增大而减小的是………………………………（ ）（A ）x y 2= （B ）x y 2-= （C ）xy 2=（D ）x y 2-=．17．下列说法正确的是 …………………………………………………………（ ） （A ）真命题的逆命题是真命题； （B ）假命题的逆命题是假命题； （C ）一个定理一定有逆定理； （D ）一个命题一定有逆命题． 18．学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用下面的一个函数图像近似地刻画，这个函数图像是………………………………………………（ ）三、简答题（本大题共5题，第19、20题每题5分；第21、22、23题，每题6分；满分28分）19．计算：2128)21(2118----．ABC DE （图2）(B)(A)(D)(C)20. 正比例函数x k y 1=和反比例函数xk y 2=（21k k ≠0）的图像交于点)2,5.0(-A 和点B ．求点B 的坐标．21．先化简：ab ba ab b a ⋅++，再求当121+=a ，121-=b 时的值．22．关于x 的一元二次方程012)13(2=-+--m x m mx ，其根的判别式的值为1，求m 的值及这个方程的根．23．某经济开发区2011年10月份工业产值是50亿元，12月份的工业产值达72亿元，设11月份、12月份每月的增长率相同．求这个增长率．四、（本大题共3题，第24、25题，每题7分；第26题8分；满分22分）24．如图3，BC AB ⊥，BC DC ⊥，垂足分别是点C B 、，点E 是线段BC 上一点，且DE AE ⊥，ED AE =，如果3=BE ，11=+BC AB ，求AB 的长．25．如图4，在ABC ∆中，AC AB =， ︒=∠30B ． （1）在BC 边上求作一点N ，使得BN AN =； （不要求写作法，但要保留作图痕迹） （3分）（2）在（1）的条件下，求证：BN CN 2=．（4分）ABCDE （图3）ABC（图4）26．如图5，在平面直角坐标系xoy 内，点P 在直线x y 21=上（点P 在第一象限），过点P 作x PA ⊥轴，垂足为点A ， 且52=OP ． （1）求点P 的坐标； （4分）（2）如果点M 和点P 都在反比例函数)0(≠=k xky 图像上，过点M 作x MN ⊥轴，垂足为点N ，如果MNA ∆和OAP ∆全等（点A N M 、、分别和点P A O 、、对应），求点M 的坐标． （4分）（图5）五、（本题满分10分）27．如图6，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，33=AC ，9=BC ，点Q 是边AC 上的动点（点Q 不与点C A 、重合），过点Q 作QR ∥AB ，交边BC 于点R ，再把QCR ∆沿着动直线QR 翻折得到QPR ∆，设x AQ =．（1）求PRQ ∠的大小；（3分）（2）当点P 落在斜边AB 上时，求x 的值；（3分）（3）当点P 落在ABC Rt ∆外部时，PR 与AB 相交于点E ，如果y BE =，请直接写出y 关于x 的函数关系式及定义域．（4分）…………………………………………………………………………………………………………………………………………………密 封 线 内不 准 答 题2011学年第一学期徐汇区初二年级数学学科学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分） 1．4； 2．22； 3．1-≠x ； 4．2,021==x x ；5．)253)(253(--+-x x ；6．x y 3-=； 7．m ＜2-； 8．二、四； 9．213； 10．有两角互余的三角形是直角三角形； 11．)1,1(--； 12．2； 13．线段AB 的垂直平分线（线段AB 的中点除外）； 14．80．二．选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 15．C ； 16．B ； 17．D ； 18．B ．三、简答题（本大题共5题，第19、20题每题5分；第21、22、23题，每题6分；满分28分）19．解：原式＝22122223-+--…………………………………………（4分）＝221-…………………………………………………（1分） 20．解：∵正比例函数x k y 1=和反比例函数xky 2=（21k k ≠0）的图像交于点)2,5.0(-A ，∴45.021-=-=k ，125.02-=⨯-=k ；………………………………（2分） ∴⎩⎨⎧-=-=xy xy 41；∴{5.02±==x y ； ……………………………………………………………（2分）∴)2,5.0(-B ．………………………………………………………………（1分）21．解：原式ab ba b a ab ⋅++=)(ab = ………………………………………（2分）当12121-=+=a ，12121+=-=b 时，……………………（2分）原式1)12)(12(=+-=………………………………………………（2分）22．解：∵1248169222+-=+-+-=∆m m m m m m ．………………………（1分）由题意，得1122=+-m m …………………………………………………（1分） 解得，21=m ，02=m （舍去）…………………………………………（1分） ∴所求方程为03522=+-x x ．…………………………………………（1分） 解得，23,121==x x ………………………………………………………（2分） 23．解：设这个增长率为x ．…………………………………………………………（1分）由题意，得 72)1(502=+x ………………………………………………（3分） 变形，得 100144)1(2=+x 解得 2.2,2.021-==x x （不合题意，舍去）…………………………（2分） 答：这个增长率为20℅．四、（本大题共3题，第24、25题，每题7分；第26题8分；满分22分） 24．解：∵BC DC BC AB ⊥⊥,，垂足分别是点C B 、，∴︒=∠=∠90C B ．………………………………………………………（1分） ∴︒=∠+∠90AEB A ………………………………………………………（1分） ∵DE AE ⊥，∴︒=∠90AED ，∵︒=∠+∠+∠180DEC AED AEB ， ∴︒=∠+∠90DEC AEB ，…………………………………………………（1分） ∴DEC A ∠=∠………………………………………………………………1分） ∵DE AE =， ∴ABE ∆≌ECD ∆．……………………………………（1分） ∴CE AB =．………………………………………………………………（1分）∵AB BE CE BE BC +=+=，∴112=+=+BE AB BC AB ，∵3=BE ∴42311=-=AB ．………………………………………………………（1分） 25．（1）解：作图正确2分，结论1分； （2）证：联结AN ．∵AC AB =，∴︒=∠=∠30C B ．…………………………………（1分）∴︒=∠-︒=∠1202180B BAC ．∵BN AN =，∴︒=︒-︒=∠-∠=∠9030120NAB BAC NAC ．（1分） ∵︒=∠30C ，∴AN CN 2=．………………………………………（1分） ∴BN CN 2=．…………………………………………………………（1分）26．解：（1）∵轴x PA ⊥，垂足为点A ．∴︒=∠90PAO ，………………………1分）∵点P 在直线x y 21=上（点P 在第一象限）， ∴设),2(x x P ，其中x ＞0……………………………………………（1分）∴x AO 2=，x PA =，∴222OP AP AO =+，∴222)52()2(=+x x ，解得，2=x …（1分）∴)2,4(P ．………………………………………………………………（1分） （2）∵点p 在反比例函数)0(≠=k xky 的图像上， ∴42k =，∴8=k ，∴xy 8=………………………………………（1分） 在PAO Rt ∆中，︒=∠90PAO ，4,2==AO PA∵︒=∠90MNA ，当MNA ∆和APO ∆全等时，分以下两种情况：︒1 点N 在点A 的左侧时，4==AO MN ，2=AN∴224=-=-=AN OA ON ， ∴)4,2(M ．且点M 在反比例函数xy 8=的图像上．………………（1分） ︒2 点N 在点A 的右侧时，4==AO AN ，2=MN∴844=+=+=AO AN ON ．∴)2,8(M ，但点M 不在反比例函数xy 8=的图像上……………（1分） 综合︒︒21、，满足条件的点)4,2(M ．………………………………（1分）27．解：（1）在ABC Rt ∆中，︒=∠90C∴369)33(2222=+=+=BC AC AB …………………（1分）∴AB AC 21=，∴︒=∠30B ∵QR ∥AB ，∴︒=∠=∠30B QRC ……………………………（1分）∴︒=∠30PRQ ………………………………………………………（1分）（2）在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠30B ．∴︒=∠60A ，同理，可得︒=∠60CQR ，︒=∠60PQR∴︒-︒-︒=∠6060180AQP ，∴︒=∠60APQ ………………（１分）∴CQ PQ AQ ==．∴x x -=33． ……………………………………………………（1分）∴323=x ．…………………………………………………………（1分） （3）x y 3=；定义域：0＜x ＜323；…………………………（3分；1分）。