数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1向量函数1.证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2.求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以3.证明。
证毕证：证毕4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为，和在区间上可导。
所以，在区间上可导当且仅当数量函数，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中区间上处处有，从而证毕5.证明具有固定方向的充要条件是具有固定方向，则。
可表示为，。
，其中，于是因为，故，从而为某个数，则在区间上处处有，于是。
如果在证：必要性：设其中为某个数量函数，为单位常向量，于是，可设，令充分性：如果量函数，为单位向量，因为为常向量，于是，6.证明，即具有固定方向。
证毕平行于固定平面的充要条件是。
，对证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得和，从而，，和此式连续求导，依次可得。
充分性：设的结论知，，即共面，因此，其中，如果可表示为，根据第5题，其中具有固定方向，则为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以共线，又由其中，为法向量过原点的平面，则平行于。
如果可知，，，和共面，于是为数量函数，令，那么，则与不，，这说明与可共线，从而表示为，根据第5题的结论知，具有固定方向，则，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1.求圆柱螺线解：，点在点的切线与法平面的方程。
，于是当时，，对应于参数，于是切线的方程为：法平面的方程为2.求三次曲线解：于是切线的方程为：，当在点处的切线和法平面的方程。
时，，，法平面的方程为3.证明圆柱螺线证：，的切线和轴成固定角。
令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为轴的方向向量为，则证毕4.求悬链线解：从起计算的弧长。
数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
