高等数学期中考试题
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高等数学期中考试题
一、填空题(每题3分)
1、一单位向量AB的终点为B（1，3，-2），且它与三坐标轴的正向构成相等的锐角，则A的坐标为A（，，）
2、（a+b）·（a-b）=
(a+b)×(a-b) =
3、设直线L1：x−1
1=y−5
2
=z+8
1
,及L2：
x−y=6
3y+z=3,则L1与L2的夹角
是：。
4、lim x→0
y→0
(1+xy) siny =
5、设Z=(x+y)xy,则∂z
∂x
= 二、单项选择(每题3分)
1、设L1：x−1
1=y+1
2
=z−1
γ
,及L2:x+1=y-1=z相交于一点，则γ=（）
A．1 B.0 C.5
D.−5
2、若球面x2+y2+z2+Dx+Ey+Fz+G=0与xoy坐标面相切，则其系数必须满足关系式：
A.D2+F2=4G
B.D2+E2=4G
C.E2+F2=4G
D.D2+G2=4F
3、在曲线x=t，y=-t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线（）
A．只有1条 B. 只有2条 C. 只有3条 D.不存在
4、设f（x，y）=sin（x2+y2）
x+y
，x2+y2≠0
，x2+y2=0
，则它在原点处（）
A．无定义 B.无极限 C.有极限，但不连续 D.连续
5、设z=f（x，y）在（x0，y0）处沿任何方向的方向导数均存在，则（）
A.f’x(x0,y0), f’y(x0,y0),存在
B.z在（x0，y0）连续
C.z在（x0，y0）可微
D.以上均不对
三、计算题(每题8分)
1、求过点A（-1，0，4）且平行于平面3x-4y+z-10=0，又与直线
x+1 1=y−3
1
=z
2
，相交的直线方程。
2、求两直线L1：x=1
y=z和L2：
z=−2
x=−2y间的最短距离。
3、求曲线
z=2−x2−y2
z=(x−1)2+(y−1)2
在xoy面和yoz面上的投影曲线
方程。
4、设z=f(x,y)=arctan x+y
1−xy ,求f’x(0,0)及dz|x=0
y=0。
5、设u=f(x,y,z),φ(x2,e y,z)=0,y=sin x，其中f ,φ有一阶连续偏导数，且
∂φ∂z ≠0,求du
dx。
6、确定正数q，使曲面xyz=q与曲面x2
a +y2
b
+z2
c
=1在某一点相切，
其中a,b,c>0.
四、（11分）设变换u=x−2y
v=x+ay把方程6
∂2z
∂x2
+∂2z
∂x∂y
- ∂2z
∂y2
= 0简化为
∂2z
∂u∂v
= 0，其中z=f(x,y)有二阶连续偏导数，求常数a。
五、（11分）设曲面：φx,y,z=0,其中φ有一阶连续偏导数，P(x0,y0,z0)为外一点，|pq|为P到的最短距离，q（x1,y1,z1）∈。
证明pq是上q点处的法向量。
