下载文档原格式
分析2013高考试题，制定2014备考计划蓝光中学高三教师：段福娟2013年9月20日分析2013高考试题，制定2014备考计划段福娟今年是陕西自主命题的第四年，试题基本都是遵循一般考试试题基本要求“数学教学回归课本，回归基础”的方向。
全卷没有偏题怪题，但思维量较去年有一定的提升，对于那些踏实认真，稳扎稳打的考生来说答起来应该比较顺手。
但是试题的灵活性较往年有所增加，新题型、改编题增多，如理科第2小题在算法中首次出现了if-then的条件语句。
下面主要以以下五方面分析今年试题：第一、立足基础。
基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验在命题设计里得到比较好的把握。
选择填空试题常规，难度低，入手易，有利于考生稳定情绪和调整考试状态。
第二、联系实际。
文理科第19题“最喜欢歌手”评选过程中的概率问题，实际背景是学生最熟悉的歌手大赛中的观众投票问题，学生易于下手，另外，此题将分层抽样与概率有机地结合在一起，更重视了对学生分析问题和解决问题的能力的考查。
第三、重视教材，回归课本。
17题数列推导“等比数列的求和公式推导” 位于教材必修五第一章《数列》，作为数列求和中“错位相减法”的来源，意义重大。
第四、增加思考，保持考查重点。
18题立体几何考察在斜三棱柱中完成线面垂直的证明和面面夹角的求解，考点与往年一致，所用的知识与方法很基本，但读图识图的要求明显增加，建系设点的难度有所上升。
第五、适度综合，突出能力的考察。
第20题解析几何不同于以往圆锥曲线的传统，而是考察圆的轨迹问题，一般同学可能会偏离方向。
第21题将函数、导数与不等式的综合运用考查非常全面。
特别是考察反函数概念有点意外。
总之，今年的陕西省数学试题难易均衡，解法常见，立意较新，这也给启示我在以后的教学中要改变高三复习的“重应用轻理论，重资料轻教材”的弊端。
针对以上几个方面，我觉得自己在2014年的复习备考时，主要从以下几个方面进行安排：一、复习计划：1.一轮复习在二月底最迟三月初结束，实施方法：以各章节知识点详复习为基础，主要强调各类知识点所对应类型题的解题思路，教会学生如何审题，加强学生的书写规范练习。
2013年高考数学试题分析（新课标卷）山西晚报网--2013-06-10■特邀名师许晓莉:山大附中数学高级教师、山西省学科带头人、山西省教学能手、山西省骨干教师、山西省优秀班主任、太原市德育标兵今年是山西省使用新课标卷高考的第三年，经历了第一年的易，第二年的难，考前按一线教师的估计今年应该难易适中，趋于稳定。
但从学生考完后的反应来看，有的感觉易，有的感觉难，说法不一。
7日晚我拿到试卷认真分析后，认为今年的考题不偏、不怪，理科数学与去年难度相近，文科数学与去年相比较为简单。
一、今年高考数学具体有以下特点1、试题构成总体稳定，风格特点基本没变从试题总体来看，主干知识中函数约22分，立体几何约22分，圆锥曲线约22分，三角约17分，概率统计约17分，数列约15分，不等式及其应用约10分，向量、二项式定理、集合、复数及算法各5分。
不过理科卷中一些常见知识没有考查，比如：命题与逻辑，排列组合，三角函数的图像和变换，线性规划，积分，正态分布，独立性检验与回归分析等。
文科卷的知识点覆盖比较全面。
今年的考题仍遵循了考试大纲所倡导的“高考应具有较高的，必要的区分度和适当的难度”这一原则。
很多题目似曾见过，但又不尽相同，进行了适度创新，体现了对考生思维能力和灵活应用知识的考查。
总之，试题融入了考纲的命题理念，以重点知识构建试题的主体，选材寓于教材又高于教材，立意创新又朴实无华，为以后的高中新课程的数学教学改革和日常教学，具有积极的导向作用。
2、试题知识点考查层次分明，难度设置比较合理理科试卷共24个题，其中22、23、24题是三选一。
1到12题是选择题，13到16题是填空题，17到24题是解答题。
选择题中前11个题目，比较常规，是学生平时常练的类型，容易上手。
不过个别题目问法较为新颖，需有一定的思辨能力。
第12题融合了数列、三角、圆锥曲线三大知识点，有一定的难度。
由于这个题属选择题，可以选择小题小做的办法，采用特值技巧加以解答。
2013年高考山东卷数学（文）试题评析2013年高考山东卷数学（文）试题，题目较类型较往年并没有太大改变，试卷结构、题型、题量及分值分布等都与去年一致，没有出现偏题怪题，整套试卷的制定，严格按照《2013年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》和《2013年普通高等学校招生全国统一考试山东卷考试说明》（以下简称《考试说明》）的要求。
试题难度与往年相比基本维持在稳定水平，应该说考得比较常规。
一、试卷的结构及难度今年的高考卷知识覆盖面全，题目似曾相识，整体给学生平和的感觉。
但题目在条件给出及设问环节有所创新。
整体难度方面，与去年相比要低一些。
比如集合、复数等基础题型的考察较之去年增加了一点计算量和思维量，但如果想到用采用模的公式、特殊集合法计算也很简单；而12、16题的难度相比去年降低了一些，至少可做性强了；17、18题三角和概率的考察顺序互换了一下，应该是从难度和计算量的角度考虑，所以对学生来言是好事；考前大家普遍担心的19、20题立体几何和数列的考察也是常规的基础题型，没有像去年那样创新，特别是数列题，思维量有所降低，但计算量有所增加；21、22仍旧是并列的两道压轴题，只是顺序与去年相反，先考的导数后考的椭圆；导数的第一问求单调区间问题也是常规题型，虽然讨论起来篇幅不少，但基础好的学生做出来应该没有问题；椭圆的第一问还是简单的求标准方程问题，所以分数更好拿；两题的最后一问都是集难度、技巧性和计算量于一身的好题，尽显高考本色。
二、试卷题目特点1.试卷立足教材，回归课本，注重基本知识与技能考查选择题的第1题，复数的四则运算和模；第2题，集合的交、并、补运算；第3题，函数的奇偶性；第4题，三视图还原几何体，求正四棱锥的侧面积和体积；第5题，函数的定义域；第6题，算法与框图；第7题，正余弦定理解三角形的考察都比较基础而常规。
第9题，函数图像的判定就可以使用我们一轮复习时讲过的“三步走”方法，即“函数性质、特殊点、极限假设”的方法，通过函数的奇偶性判断，可排除b，通过特殊点位置的判断排除a，通过极限位置假设在靠近0处的图像情况就可以选出正确答案了。
２０１３年重庆高考压轴题另解的探究傅建红 （浙江省衢州第二中学 ３２４０００） ２０１３年重庆市高考数学（文）第２１题如下：图１如图１，椭圆的中心为原点犗，长轴在狓轴上，离心率犲＝槡２２，过左焦点犉１作狓轴的垂线交椭圆于犃，犃′两点，狘犃犃′狘＝４．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于狔轴的直线与椭圆相交于不同的两点犘，犘′，过犘，犘′作圆心为犙的圆，使椭圆上的其余点均在圆犙外．求△犘犘′犙的面积犛的最大值，并写出对应的圆犙的标准方程．研究高考试题，常有一种感受：一道好题，总能让人思绪飞扬、回味悠长．本题作为２０１３年重庆市的一道解几压轴题，初看，其情境新颖，构思精巧，语言简练而有内蕴，令人遐想，耐人寻味，尤其第（Ⅱ）问中，将各几何元素进行多层次的动态设置（直线犘犘′运动→圆犙运动→△犘犘′犙面积变化），感觉灵动脱俗，读之，似有一阵清新、超然之气扑面而至．然细品之下你会发觉，此题虽“动”感十足，却并非不可捉摸，只要充分运用代数的“解析”功能———用函数的“变”来应对几何的“动”，此题也不难“擒获”．命题组提供的标准解答，简要摘录如下．１ 标准解答解 （Ⅰ）椭圆的标准方程为狓２１６＋狔２８＝１；（Ⅱ）如图１，由椭圆的对称性，可设犙（狓０，０），又设犕（狓，狔）是椭圆上任意一点，则狘犕犙狘２＝（狓－狓０）２＋狔２＝狓２－２狓０狓＋狓２０＋８１－狓２（）１６＝１２（狓－２狓０）２＋狓２０＋８（狓∈［－４，４］）．设犘（狓１，狔１），由题意，犘是椭圆上到犙点距离最小的点，因此，上式当狓＝狓１时取最小值．又因狓１∈（－４，４），所以上式当狓＝２狓０时取最小值，从而狓０＝１２狓１，所以犛△犘犘′犙＝槡２狘狓１狘１－狓２１槡１６（狓１∈（－４，４）），以下省略．点评 不难看出，本题关键是要突破“使椭圆上的其余点均在圆犙外”这句话的思维障碍．标准答案采用了常规的代数手段：先将点犘（狓１，狔１）“固定”（暂时看做定点），根据点犕（狓，狔）在椭圆上运动时总有狘犕犙狘≥狘犘犙狘（即狘犕犙狘ｍｉｎ＝狘犘犙狘），求得此时圆心犙的坐标为（１２狓１，０），然后“恢复”点犘作为动点的本质（即回视狓１为变量），对犛＝槡２狘狓１狘１－狓２１槡１６在狓１∈（－４，４）上求最大值，从而获解．此解法充分体现了函数与解析几何知识的融合，是解决解析几何中最值问题的通性常法．然而，本文的侧重并不在此，标准答案从代数（函数）视角对“使椭圆上的其余点均在圆犙外”这句话进行解读，虽为通法，但思维难度不小：首先要有函数意识，其次还要了解狘犕犙狘恰在狓＝狓１处取得最小值（要看清这点并不容易，因为狓，狓１，狓０本质上均为变量）．那么，能否另辟蹊径，从几何视角品味“使椭圆上的其余点均在圆犙外”这句话的言外之意？笔者对此展开思考，并产生两个疑惑：（１）椭圆上的其余点（除犘，犘′外）都在圆犙外，是否意味着椭圆与圆相切于犘（犘′）点？（２）倘若相切，则它们在交点犘（犘′）处是否有相同的切线？带着上述疑惑，笔者踏上了探究之旅．２ 探究对于疑惑（１），似乎只是表述不同：既然椭圆上的其余点都在圆外，则圆上的其余点就都在椭圆内，即它们除犘，犘′两个对称交点外，别无其他交点，由此认定，椭圆与圆相切；但对疑惑（２），笔者却心中没底，不妨假设其成立，看看解出的答案是否一致．如图１，假设直线犾是椭圆与圆在犘（狓１，狔１）点处的公切线，则犾⊥犘犙，即犽１·犽犘犙＝－１①．由椭圆切线性质知，切线犾的方程为狓１狓１６＋狔１狔８＝１，所以犽１＝－狓１２狔１．仍设圆心犙（狓０，０），则犽犘犙＝狔１狓１－狓０，代入①即得狓０＝１２狓１（与前面一致），这一结果让笔者大为振奋！是巧合，还是必然？是否意味着只要椭圆与圆相切（内切或外切），则它们在切点处均有相同的切线？３ 性质性质１ 已知椭圆犆：狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞犫＞０）及犆内（或外）任一给定点犙（狓０，狔０），以犙为圆心的圆与椭圆犆切于点犘（狓１，狔１），设椭圆犆在犘点处的切线为犾，则犾也是圆犙在犘点处的切线．图２证明 显然只要证出犾⊥犘犙．如图２，设犕（犪ｃｏｓα，犫ｓｉｎα）（α为参数）为椭圆犆上任意一点，犘点对应的参数为α１，即犘（犪ｃｏｓα１，犫ｓｉｎα１），狓１＝犪ｃｏｓα１，狔１＝犫ｓｉｎα１，则狘犙犕狘＝（犪ｃｏｓα－狓０）２＋（犫ｓｉｎα－狔０）槡２．令犳（α）＝（犪ｃｏｓα－狓０）２＋（犫ｓｉｎα－狔０）２，则犳′（α）＝（犫２－犪２）ｓｉｎ２α＋２狓０犪ｓｉｎα－（下转第６５页）有第（１）（２）小题的暗示，很多学生还是没有找到计算纸长的合理方案，即是说，学生在离开课本旁注的提示后，无法把“簿纸”想象为有一定“厚度的圆”．考试后的教学反思中，不少老师回忆教学情景时普遍反映，由于教学时没有定性的分析，缺乏形象的、夸张的“圆环”图形展示，学生又没有足够的想象力，导致学生独立解决问题时的数学化过程障碍重重，有的学生只好无奈地选择方案１或２计算了事．可以看到，教材应用题选例更多地并非是实际问题，而是实际问题抽象化的一个文本形式［４］，在抽象过程中，总有细节被舍弃，文本和实际问题已不等价．由于抽象程度的提高，文本逐渐远离实际背景而趋近数学模型，从而使学习者建模的成分减少．事实上，目前用来训练的很多应用题，只要剥离了实际背景，几乎没有数学建模的成分（要素），因此，适当降低文本抽象层级既可以缩小与实际问题的差距，又可以丰富数学建模的内涵，这样，才能真正提高学生解决实际问题的能力．本例中的问题，恰恰具有实质意义上的建模要求，这是与很多其他课本应用题的不同之处，教学中未能引起执教者足够的注意和重视，因而，测试成绩不理想就不足为怪了．我国数学教育十分注重解题（纯数学）的教学，学生数学解题（精算）能力强是世界公认的．新课程倡导数学应用问题的教学，但是，学生数学应用能力并没有得到明显的改善，这道试题的教学效果便是例证．实际问题转化为数学问题，要求学生把握事件的来龙去脉，学会收集、整理数据资料，观察、分析隐藏在其中的数量特征和内在规律，抓住主要矛盾，建立起反映实际问题所属对象的数量关系（数学化、近似估计等）．教师对建立实际问题数学模型的过程、方法还缺乏清晰的认识．因此，教师自身要增强数学应用意识，教学中要加强算理算法分析和定性思维的训练，为促进学生智能的全面发展提供基本的保障和有效的指导．参考文献［１］ 张奠宙．中国数学双基教学［Ｍ］．上海：上海教育出版社，２００９．［２］ 王新民，马岷兴．关于“数学双基”存在形态的分析［Ｊ］．数学通报，２００６（８）．［３］ 柴俊．数学教师教育的“多元化”的研究［Ｍ］．南宁：广西教育出版社，２００９．［４］ 赵明连．在文本和模型之间［Ｊ］．数学通报，２００９（４）檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪．（上接第５９页）２狔０犫ｃｏｓα．由题意，当犕点在椭圆上运动到犘点时，狘犙犕狘存在唯一的最小值狘犙犘狘，则当狘犙犕狘最小时，α１为犳′（α）＝０的根，即（犫２－犪２）ｓｉｎ２α１＋２狓０犪ｓｉｎα１－２狔０犫ｃｏｓα１＝０②．又易知椭圆犆在点犘（狓１，狔１）处的切线犾的方程为狓１狓犪２＋狔１狔犫２＝１，故犽犾＝－犫２狓１犪２狔１＝－犫ｃｏｓα１犪ｓｉｎα１，又犽犘犙＝狔０－犫ｓｉｎα１狓０－犪ｃｏｓα１，由②即知犽犾·犽犘犙＝－１成立，即犾⊥犘犙．４ 推广性质２ 已知双曲线犆：狓２犪２－狔２犫２＝１（犪＞０，犫＞０）及犆内（或外）任一给定点犙（狓０，狔０），以犙为圆心的圆与双曲线犆切于点犘（狓１，狔１），设双曲线犆在犘点处的切线为犾，则犾也是圆犙在点犘处的切线．图３证明 显然只要证出犾⊥犘犙．如图３，设犕（犪ｓｅｃα，犫ｔａｎα）（α为参数）为双曲线犆上任意一点，犘点对应的参数为α１，即犘（犪ｓｅｃα１，犫ｔａｎα１），狓１＝犪ｓｅｃα１，狔１＝犫ｔａｎα１，则狘犙犕狘＝（犪ｓｅｃα－狓０）２＋（犫ｔａｎα－狔０）槡２．令犳（α）＝（犪ｓｅｃα－狓０）２＋（犫ｔａｎα－狔０）２，则犳′（α）＝［２（犫２＋犪２）ｓｉｎα－２狓０犪ｓｉｎαｃｏｓα－２狔０犫ｃｏｓα］·ｓｅｃ３α．由题意，当犕点在双曲线上运动到犘点时，狘犙犕狘存在唯一的最小值狘犙犘狘，则当狘犙犕狘最小时，α１为犳′（α）＝０的根，即（犫２＋犪２）ｓｉｎα１－狓０犪ｓｉｎα１ｃｏｓα１－狔０犫ｃｏｓα１＝０③．又易知双曲线犆在点犘（狓１，狔１）处的切线犾的方程为狓１狓犪２－狔１狔犫２＝１，故犽犾＝犫２狓１犪２狔１＝犫ｓｅｃα１犪ｔａｎα１＝犫犪ｓｉｎα１，又犽犘犙＝狔０－犫ｔａｎα１狓０－犪ｓｅｃα１，由③即知犽犾·犽犘犙＝－１成立，即犾⊥犘犙得证．性质３ 已知抛物线犆：狔２＝２狆狓（狆＞０）及犆内（或外）任一给定点犙（狓０，狔０），以犙为圆心的圆与抛物线犆切于点犘（狓１，狔１），设抛物线犆在点犘处的切线为犾，则犾也是圆犙在犘点处的切线．图４证明 显然只要证出犾⊥犘犙．如图４，设犕（２狆狋２，２狆狋）（狋为参数）为抛物线犆上任意一点，犘点对应的参数为狋１，即犘（２狆狋２１，２狆狋１），狓１＝２狆狋２１，狔１＝２狆狋１，则狘犙犕狘＝（２狆狋２－狓０）２＋（２狆狋－狔０）槡２．令犳（狋）＝（２狆狋２－狓０）２＋（２狆狋－狔０）２，则犳′（狋）＝４狆［２狋（２狆狋２－狓０）＋２狆狋－狔０］．由题意，当犕点在抛物线上运动到犘点时，狘犙犕狘存在唯一的最小值狘犙犘狘，则当狘犙犕狘最小时，狋１为犳′（狋）＝０的根，即２狋１（２狆狋２１－狓０）＋２狆狋１－狔０＝０④．又易知抛物线犆在点犘（狓１，狔１）处的切线犾的方程为狔１狔＝狆（狓１＋狓），故犽１＝狆狔１＝１２狋１，又犽犘犙＝狔０－２狆狋１狓０－２狆狋２１，由④即知犽犾·犽犘犙＝－１成立，即犾⊥犘犙得证．综上可知：若圆锥曲线与圆相切，则它们在切点处具有相同的切线．。
2013年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析命题热点五 解析几何高考对解析几何的考查主要包括以下内容：直线与圆的方程、圆锥曲线等，在高考试卷中一般有1~2个客观题和1个解答题，其中客观题主要考查直线斜率、直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义应用、标准方程的求解、离心率的计算等，解答题则主要考查直线与椭圆、抛物线等的位置关系问题，经常与平面向量、函数与不等式交汇等，考查一些存在性问题、证明问题、定点与定值、最值与范围问题等，解析几何试题的特点是思维量大、运算量大，所以应加强对解析几何重点题型的训练.预测1. 如果圆22(3)(1)1x y ++-=关于直线:l 410mx y +-=对称，则直线l 的斜率等于————————————.解析：依题意直线410mx y +-=经过点(3,1)-，所以3410m -+-=，1m =，于是直线斜率为14k =-.动向解读：本题考查直线方程与斜率、圆的方程、对称等基本问题，这是解析几何的基础内容，是高考的重点内容，一般以选择题、填空题的形式考查，有时也间接考查，与圆锥曲线的内容综合起来进行考查.预测2. 已知双曲线221916xy-=的左右焦点分别是12,F F ，P 点是双曲线右支上一点，且212||||PF F F =，则三角形12P F F 的面积等于——————————.解析：由已知可得3a =，12||210F F c ==，而12||||26PF PF a -==，所以12||16,||10PF PF ==，又12||10F F =，所以可得三角形12P F F 的面积等于116482S =⨯⨯=.动向解读：本题考查双曲线的定义、三角形面积的计算等问题，是一道综合性的小题.尽管高考对双曲线的考查要求不高，但对于双曲线的定义、离心率、渐近线等知识点的考查却常考常新，经常会命制一些较为新颖的考查基础知识的小题目.解答这类问题要善于运用双曲线的定义，善于运用参数间的关系求解.预测 3.已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>，,M N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线P M P N 、的斜率分别为12k k 、，若1214k k =，则椭圆的离心率为A.12B.2C.2D ．3解析：设0000(,),(,),(,)P x y M x y N x y --，则00120,y y y y k k x x x x -+==-+，依题意有220001222y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-.又因为,M N 在椭圆上，所以22220022221,1x y x y abab+=+=，两式相减得22220220x x y y ab--+=，即2220222y y b x x a-=--，所以2214b a=，即22214a c a-=，解得2e =故选C.动向解读：本题考查椭圆的离心率问题，这是高考的热点内容，这类问题的特点是：很少直接给出圆锥曲线的方程等数量关系，而是提供一些几何性质与几何位置关系，来求离心率的值或取值范围.解决这类问题时，首先应考虑运用圆锥曲线的定义获得必要的数量关系或参数间的等量关系，其次是根据题目提供的几何位置关系，确定参数,,a b c 满足的等式或不等式，然后根据,,a b c 的关系消去参数b ，从而可得到离心率的值或取值范围.预测4.已知椭圆22)(y c x +-10)(22=+++yc x 的短轴长为b 2，那么直线03=++cy bx 截圆122=+yx 所得的弦长等于____________.解析：由椭圆定义知210a =，所以5a =，于是22225b c a +==，圆122=+y x 的圆心到直线03=++cy bx的距离等于335d ==，故弦长等于85=.动向解读：本题考查椭圆定义、椭圆标准方程、直线与圆的位置关系等问题，是一道多知识点的综合性小题，这正体现了高考数学命题所追求的“在知识交汇点处命题”的原则.值得注意的是：本题中椭圆方程没有直接给出，而是要借助椭圆的定义进行分析求解，才能得到有关的参数值.预测5. （理科）已知椭圆2221(08xy b b+=<<的左、右焦点分别为F 1和F 2 ，以F 1 、F 2为直径的圆经过点M （0，b ）.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且0MA MB ⋅=.求证：直线l 在y 轴上的截距为定值.解析：（1）由题设知b c =，又a =2b c ==，故椭圆方程为22184xy+=；（2）因为(0,2)M ，所以直线l 与x 轴不垂直.设直线l 的方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y .由22184x yy kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(21)4280k x km x m +++-=， 所以2121222428,2121km m x x x x k k -+=-=++，又0MA MB ⋅=，所以1122(,2)(,2)0x y x y -⋅-=，即1212122()40x x y y y y +-++=，121212()()2()40x x kx m kx m kx m kx m +++-++++=，整理得221212(1)(2)()(2)0k x x k m x x m ++-++-=，即22222284(1)(2)()(2)02121m km k k m m k k -++--+-=++，因为2m ≠，所以2222(1)(2)4(21)(2)0k m k m k m ++-++-=， 展开整理得320m +=，即23m =-.直线l 在y 轴上的截距为定值23-.预测6. 已知椭圆12222=+by ax （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e .（Ⅰ）若2e =，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点. 若坐标原点O 在以M N 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围.解：（Ⅰ）由题意得32c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩a =………………2分结合222a b c =+，解得212a =，23b =. ………………3分所以，椭圆的方程为131222=+yx. ………………4分（Ⅱ）由22221,,x ya b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0b a k x a b +-=.设1122(,),(,)A x y B x y .所以2212122220,a bx x x x b a k-+==+， ………………6分依题意，O M O N ⊥，易知，四边形2O M F N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥， ………………7分 因为211(3,)F A x y =- ，222(3,)F B x y =-，所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=. ………………8分 即222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-， ………………9分将其整理为 42224242188********a a k a aa a-+==---+-. ………………10分因为2322≤<e，所以a ≤<21218a ≤<. ………………11分所以218k ≥，即(,]44k ∈-∞-+∞ .预测7. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为3e =，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上的动点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线P A 与P B 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；（Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若O P O Mλ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为222x y b +=， ∵直线20x y -+=与圆相切，∴d b ==，即b =，又3c e a==，即a =，222a b c =+，解得a =1c =，所以椭圆方程为22132xy+=．（Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(0)A，0)B ，则2200132x y +=，即2200223y x =-，则1k =，2k =即2220012222000222(3)2333333x x yk k x x x --⋅====----，∴12k k 为定值23-．（Ⅲ）设(,)M x y，其中[x ∈．由已知222O P O Mλ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x xx x yx y λ+-+==++，整理得2222(31)36x y λλ-+=，其中[x ∈．①当3λ=26y =，所以点M的轨迹方程为y x =≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段；②当3λ≠2222166313xyλλ+=-，其中[x ∈，当03λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足x ≤≤的部分；当13λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x ≤≤的部分；当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．预测8.已知椭圆(222:13x yE a a+=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于 不同的两点,M N ,以线段M N 为直径作圆C ,圆心为C ． (1) 求椭圆E 的方程；(2) 若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求A B C ∆的面积的最大值.（1）解：∵椭圆()222:133x yE a a+=>的离心率12e =,∴12a=. …… 2分解得2a =. ∴ 椭圆E 的方程为22143xy+=． …… 4分（2）解法1：依题意，圆心为．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即07t <<．∴弦长||A B ===． …… 8分∴A B C ∆的面积12S =⋅ …… 9分)1=)221272t +-≤7=. …… 12分=7t =时，等号成立.∴ A B C ∆的面积的最大值为7． …… 13分解法2：依题意，圆心为．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=.∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分∴ 圆C 的方程为222123()4tx t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即07t <<．在圆C 的方程222123()4tx t y --+=中，令0x =，得2y =±，∴弦长||AB =∴A B C ∆的面积12S =⋅)=)221272t +-≤7=.=7t =时，等号成立.∴ A B C ∆的面积的最大值为7．预测9. 已知抛物线)0(2:2>=p py xC ，其焦点F 到准线的距离为21。
