统计图表、数据的数字特征和用样本估计总体
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2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征页数:20
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用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件页数:34
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用样本的数字特征估计总体的数字特征页数:27
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用样本的数字特征估计总体的特征页数:60
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用样本的数字特征估计2页数:16
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用样本估计总体
用样本估计总体一、用样本的频率分布估计总体分布（1）频数、频率将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的个数，叫做该组的频数。
每组数除以全体数据的个数的商叫做该组的频率。
频率反映数据在每组中所占比例的大小。
（2）样本的频率分布根据随机所抽样本的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律（取值状况），就叫做样本的频率分布。
为了能直观地显示样本的频率分布情况，通常我们会将样本的容量、样本中出现该事件的频数以及计算所得的频率列在一张表中，叫做样本频率分布表。
（3）用样本频率分布估计总体的分布从一个总体得到一个包含大量数据的样本时，我们很难从一个个数字中直接看出样本所含的信息。
如果把这些数据形成频数分布或频率分布，就可以比较清楚地看出样本数据的特征，从而估计总体的分布情况。
用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，而对于总体分布，我们总是用样本的频率分布对它进行估计。
（4）频率分布直方图的特点从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容，所以，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
（5）频率分布折线图把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，如图所示。
为了方便看图，一般习惯于把频率分布折线图画成与横轴相连，所以横轴上的左右两端点没有实际意义。
（6）总体密度曲线①如果样本容量越大，所分组数越多，频率分布直方图中表示的频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小。
设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上是越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线。
y f x()②总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的百分比。
a b内的百分比就是图中带斜线部分的面积。
对本例来说，总体密度曲线呈产品尺寸落在(,)中间高两边低的“钟”形分布，总体的数据大致呈对称分布，并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内。
数学课件(新教材人教A版强基版)第九章统计与成对数据的统计分析92用样本估计总体
∵(0.001 5＋0.011 0＋0.022 5＋0.030 0＋a＋0.008 0＋0.002 0)×10＝1， ∴a＝0.025 0，众数为185＋2 195＝190， 设中位数为x，∵(0.001 5＋0.011 0 ＋0.022 5)×10＝， (0.001 5＋0.011 0＋0.022 5＋0.030 0) ×10＝， 则185<x<195， ＋0.030 0×(x－185)＝，
甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；
x 甲＝18×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，
x 乙＝18×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，
s2甲＝18×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88 －85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝，
把10名旗手的身高从小到大排列为175,175,176,176,178,179,179,179, 180,180， 则178＋2 179＝178.5，所以所求中位数为 178.5.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 样本的数字特征和百分位数的估计
√
数据92出现了3次，出现的次数最多，所以众数是92；这组数据已经 按照由小到大的顺序排列，计算10×25%＝，取第三个数，所以第25 百分位数是88.
思维升华
频率分布直方图中的数字特征 (1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标. (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等. (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对 应频率之积的和.
高中数学第一章统计5用样本估计总体ppt课件北师大版必修3
果如下：
对某电个数 100～200 20 200～300 30 300～400 80 400～500 40 500～600 30
(1)列出频率分布表； (2)作出频率分布直方图； (3)作出频率折线图．
解：(1)频率分布表如下： 分组 频数 频率
100～200 20 0.10 200～300 30 0.15 300～400 80 0.40 400～500 40 0.20 500～600 30 0.15
第一章 统 计
§5 用样本估计总体 5．1 估计总体的分布 5．2 估计总体的数字特征
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|学 习 目 标| 1．会作频率分布直方图、频率折线图，会用样本的频率分 布估计总体的分布． 2．会用样本的数字特征估计总体的数字特征.
1．用样本估计总体的两种情况 (1)用样本的__频__率__分__布__估计总体的分布． (2)用样本的_数__字__特__征___估计总体的数字特征． 2．频率分布直方图 在频率分布直方图中，纵轴表示__频__率__/_组__距___，数据落在各 小组内的频率用_面__积___来表示，各小长方形的面积的总和等于 _1__.
(2)已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分 数在区间[40,50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数 不小于 70 的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的 比例．
【解】 (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70 的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
(1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图； (3)根据频率分布直方图，估计总体出现在 23～28 内的频率 是多少？
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件人教新课标
注:在只有样本频率散布直方图的情况下，我 们可以按上述方法估计众数、中位数和平均 数，并由此估计总体特征.
三数的优缺点
样本的众数、中位数和平均数常用来表示 样本数据的“中心值”.
1.众数和中位数容易计算，不受少数几个极端 值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.
2.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中 每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影 响也越大.
一天 10名工人生产的零件的中位数是( C )
A.14 B.16 C.15 D.17 【解析】选C.把件数从小到大排列为10，12，14， 14，15，15，16，17，17，19，可知中位数为15.
2.甲、乙两个班各随机选出 15名同学进行测验，所得成 绩的茎叶图如图.从图中看， _____班的平均成绩较高. 【解析】结合茎叶图中成绩的情况可知，
频率散布直方图中，你认为众数应在哪个
小矩形内？由此估计总体的众数是什么？
频率/组距
注意：哪段范围的数最多？
0.5
0
取最高矩形下端中点的
0.4
横坐标2.25作为众数.
0
0.3
0O 0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
0
？由直方图看出众数是2.25，可
是抽样的数据中没有2.25，为什么 区间的中点值2.25是众数呢？
3.平均数的定义:一组数据的和除以数据的 个数所得到的数.
小练 习
求下列一组数的众数、中位数、平均数
（1）2,2,3,3,5,6,7
（2）2,3,5,5
判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是样本数据中的某个数.(× ) (2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的.( × )
三数的优缺点
样本的众数、中位数和平均数常用来表示 样本数据的“中心值”.
1.众数和中位数容易计算，不受少数几个极端 值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.
2.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中 每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影 响也越大.
一天 10名工人生产的零件的中位数是( C )
A.14 B.16 C.15 D.17 【解析】选C.把件数从小到大排列为10，12，14， 14，15，15，16，17，17，19，可知中位数为15.
2.甲、乙两个班各随机选出 15名同学进行测验，所得成 绩的茎叶图如图.从图中看， _____班的平均成绩较高. 【解析】结合茎叶图中成绩的情况可知，
频率散布直方图中，你认为众数应在哪个
小矩形内？由此估计总体的众数是什么？
频率/组距
注意：哪段范围的数最多？
0.5
0
取最高矩形下端中点的
0.4
横坐标2.25作为众数.
0
0.3
0O 0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
0
？由直方图看出众数是2.25，可
是抽样的数据中没有2.25，为什么 区间的中点值2.25是众数呢？
3.平均数的定义:一组数据的和除以数据的 个数所得到的数.
小练 习
求下列一组数的众数、中位数、平均数
（1）2,2,3,3,5,6,7
（2）2,3,5,5
判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是样本数据中的某个数.(× ) (2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的.( × )
课件1：5.1.4 用样本估计总体
5.1.4 用样本估计总体
课程标准
学科素养
理解并会运用样本的数字特征估 通过对用样本估计总体的学习，强
计总体的数字特征，用样本的分布 化数据分析、数学运算、数学建模
估计总体的分布，通过实例体会其 的核心素养.
意义和作用.
【自主预习】
知识点1 用样本的数字特征估计总体的数字特征
一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本 的特征能够反映总体的特征．特别地，样本平均数(也称为样本均 值)、方差(也称为样本方差)与总体对应的值相差不会____太__大____.
[方法总结] 1．众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布直方图的关系 (1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值来表示， 即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：在频率分布表中，中位数是累计频率(样本数据小于某一数 值的频率叫作该数值点的累计频率)为0.5时所对应的样本数据的值，而 在样本中有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于 中位数．因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的 面积应该相等．
探究三 在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数
【例3】某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生， 其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示． (1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数； (3)求这次测试数学成绩的平均分．
解 (1)由图知众数为70＋2 80＝75.
【课堂小结】
1. 样本平均数与总体平均数的关系：①在简单随机抽样中，我们常 用样本平均数－y 去估计总体平均数－Y . ②一般地，大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近 波动．样本量越大，波动幅度越小． 2．众数、中位数分别是频率分布直方图中最高的小矩形的中间值、 累计频率为 0.5 时所对应的样本数据的值，平均数为每个小矩形底边 中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和．
课程标准
学科素养
理解并会运用样本的数字特征估 通过对用样本估计总体的学习，强
计总体的数字特征，用样本的分布 化数据分析、数学运算、数学建模
估计总体的分布，通过实例体会其 的核心素养.
意义和作用.
【自主预习】
知识点1 用样本的数字特征估计总体的数字特征
一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本 的特征能够反映总体的特征．特别地，样本平均数(也称为样本均 值)、方差(也称为样本方差)与总体对应的值相差不会____太__大____.
[方法总结] 1．众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布直方图的关系 (1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值来表示， 即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：在频率分布表中，中位数是累计频率(样本数据小于某一数 值的频率叫作该数值点的累计频率)为0.5时所对应的样本数据的值，而 在样本中有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于 中位数．因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的 面积应该相等．
探究三 在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数
【例3】某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生， 其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示． (1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数； (3)求这次测试数学成绩的平均分．
解 (1)由图知众数为70＋2 80＝75.
【课堂小结】
1. 样本平均数与总体平均数的关系：①在简单随机抽样中，我们常 用样本平均数－y 去估计总体平均数－Y . ②一般地，大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近 波动．样本量越大，波动幅度越小． 2．众数、中位数分别是频率分布直方图中最高的小矩形的中间值、 累计频率为 0.5 时所对应的样本数据的值，平均数为每个小矩形底边 中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和．
高考数学(理科)一轮复习：单元十 算法初步、统计与统计案例 10.3 统计图表数据的数字特征、用样本估计总体
标准差和方差可刻画样本数据的稳定程度,故选B.
知识梳理 考点自测
10.3
统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体
关键能力
必备知识
-8-
1
2
3
4
5
3.(2017全国Ⅲ,理3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游 服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客 量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
第十章
知识梳理 考点自测
10.3
统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体
关键能力
必备知识
-6-
1
2
3
4
5
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)平均数、众数与中位数都可以描述数据的集中趋势.( ) (2)一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大.( ) (3)频率分布直方图中,小矩形的面积越大,表示样本数据落在该 区间内的频率越大.( ) (4)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写,相同的数据可以只记 一次.( ) (5)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形 式,前者准确,后者直观.( ) (6)在频率分布直方图中,最高的小长方形底边中点的横坐标是众关闭 数.( ) (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√
第十章
知识梳理 考点自测
10.3
统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体
关键能力
必备知识
-9-
1
2
3
4
5
4.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如 图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数 据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方 图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
知识梳理 考点自测
10.3
统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体
关键能力
必备知识
-8-
1
2
3
4
5
3.(2017全国Ⅲ,理3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游 服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客 量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
第十章
知识梳理 考点自测
10.3
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1
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3
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5
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)平均数、众数与中位数都可以描述数据的集中趋势.( ) (2)一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大.( ) (3)频率分布直方图中,小矩形的面积越大,表示样本数据落在该 区间内的频率越大.( ) (4)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写,相同的数据可以只记 一次.( ) (5)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形 式,前者准确,后者直观.( ) (6)在频率分布直方图中,最高的小长方形底边中点的横坐标是众关闭 数.( ) (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√
第十章
知识梳理 考点自测
10.3
统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体
关键能力
必备知识
-9-
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4.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如 图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数 据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方 图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
新教材高中数学第六章统计4用样本估计总体数字特征4-1样本的数字特征4-2分层随机抽样的均值与方差4
2.计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下:
第一步,按照从小到大排列原始数据;
第二步,计算i=np;
第三步,若i不是整数,大于i的最小整数为j,则p分位数为第j项数据;若i是整
数,则p分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)50%分位数就是中位数.( √ )
i=1
2.分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为x1 , x2 ,…,xn ,方差分别为s12 , s22 ,…,sn2 ,相应的
n
权重分别为 w1,w2,…,wn,则这个样本的方差为 s2= ∑ wi[si2 +(xi − x)2],其中x为
i=1
这个样本的平均数.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
第六章
4.1 样本的数字特征
4.2 分层随机抽样的均值与方差
4.3 百分位数
课标要求
1.会求样本的平均数、中位数、众数、百分位数.
2.会求样本的极差、标准差与方差.
3.通过应用相关知识解决实际统计问题,培养数据分析的核心素养.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
Байду номын сангаас
学以致用•随堂检测全达标
5
5
5
=
42
.
5
2
2
2
2
2
2
2 1
又甲 =[(10-8) +(9-8) +(8-8) +(7-8) +(8-8) +(6-8) ]×6
9.2用样本估计总体
授课主题用样本估计总体教学目标1．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．3．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．4．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题．教学内容1.频率分布直方图（1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；②决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，且=极差组距组数；③将数据分组：通常对组内数值所在区间区左闭右开区间，最后一组取闭区间；也可以将样本数据多取一位小数分组．④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以频率组距的值为纵坐标绘制直方图。
（2）频率分布直方图的特点：①==⨯频率小长方形的面积组距频率组距，②个小长方形的面积等于1，③1==频率小长方形的高，所有小长方形的高的和组距组距．（3）频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．（4）总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线()y f x=来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地n；n①众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量；x的平均数为x，则一组数,,n的平均数为用样本的标准差估计总体的标准差）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述；定义样本方差为222212()()()n x x x x x x s n-+-++-=；简化公式：22222121[()]n s x x x nx n=+++-=2222121()n x x x x n+++-（方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方）（4）样本的标准差是方差的算术平方根．样本标准差22212()()()0n x x x x x x s s n-+-++-=≥，．标准差越大数据离散程度越大，数据家分散；标准差越小，数据集中在平均数周围． （5）方差相关结论：①如果一组数12,,,n x x x 的方差为2s ，则一组数12,,,n x a x a x a +++的方差为2s ；②如果一组数12,,,n x x x 的方差为2s ，则一组数12,,,n kx kx kx 的方差为22k s 。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习第九章 第二节 统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体 Word版
课时作业组——基础对点练．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，所得数据都在区间[]内，其频率分布直方图如图所示．已知活动时间在[)内的频数为，则的值为()．．．．解析：根据频率分布直方图，知组距为，所以活动时间在[)内的频率为.因为活动时间在[)内的频数为，所以＝＝.答案：．为了了解某校九年级名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是( )．该校九年级学生分钟仰卧起坐的次数的中位数估计值为次．该校九年级学生分钟仰卧起坐的次数的众数估计值为次．该校九年级学生分钟仰卧起坐的次数超过次的人数约有人．该校九年级学生分钟仰卧起坐的次数少于次的人数约有人解析：由题图可知中位数是次，众数是次，分钟仰卧起坐的次数超过次的频率为，所以估计该校九年级学生分钟仰卧起坐的次数超过次的人数约有人；分钟仰卧起坐的次数少于次的频率为，所以该校九年级学生分钟仰卧起坐的次数少于次的人数约有人．故是错误的，选.答案：.(·西安检测)已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为( )．．．．解析：由茎叶图知，乙组数据的中位数为＝，所以＝，所以甲组数据的平均数为＝，故选.答案：．(·湖南五市十校联考)某中学奥数培训班共有人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是，乙组学生成绩的中位数是，则－的值是( )．．．．解析：由甲组学生成绩的平均数是，可得＝，解得＝.由乙组学生成绩的中位数是，可得＝，所以－＝，故选.答案：.为了解某校高三学生数学调研测试的情况，学校决定从甲、乙两个班中各抽取名学生的数学成绩(满分分)进行深入分析，得到如图所示的茎叶图，茎叶图中某学生的成绩因特殊原因被污染了，如果甲、乙两个班被抽取的学生的平均成绩相同，则被污染处的数值为( )．．．．解析：由茎叶图可知，乙班的名学生的成绩同时减去，分别为－，－，－，－，＝＋＝，对于甲班，设被污染处的数值为，甲班的名学生的成绩同时减去，所以乙分别为－，－，－，－，－＋，所以＝＋＝，所以＝，即被污染处的数值为.甲答案：．(·广州检测)在样本的频率分布直方图中，共有个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他个小长方形的面积和的，且样本容量为，则中间一组的频数为．解析：依题意，设中间小长方形的面积为，则其余小长方形的面积和为，所以＝，＝，中间一组的频数为×＝.。
用样本估计总体
频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001
月收入(元)
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
练习1、如图是150辆汽车通过某路段 时速度的频率分布直方图，则速度在[60， 60 辆. 70)的汽车大约有______
在频率分布直方图中，依次连接各小长 方形上端的中点，就得到一条折线，这条 折线称为频率分布折线图.
练习3、以往招生Biblioteka 计显示，某所大学录 取的新生高考总分的中位数基本稳定在550 分，若某同学今年高考得了520分，他想报 考这所大学还需收集哪些信息？
要点： (1)查往年录取的新生的平均分数.若平均数 小于中位数很多，说明最低录取线较低，可以 报考； (2)查往年录取的新生高考总分的标准差.若 标准差较大，说明新生的录取分数较分散，最 低录取线可能较低，可以考虑报考.
标准差的取值范围是什么？标准差为0 的样本数据有何特点？ s≥0，标准差为0的样本数据都相等. 方差的意义： 方差(或标准差)越大离散程度越大，数 据较分散； 方差(或标准差)越小离散程度越小，数 据较集中在平均数周围.
例 2 、有两个班级，每班各自按学号随 机选出 5 名学生，测验铅球成绩，以考察 体育达标程度，测验成绩如下：单位（米） 甲 9.1 7.8 8.5 6.9 5.2 乙 8.8 7.2 7.3 7.5 6.7 两个班相比较，哪个班整体实力强一些 ？
制作频率分布直方图的方法： （1）求极差（即一组数据中最大值与最小 值的差）； （2）决定组距与组数；（样本容量不超过
100时，组数常分成5～12组）
（3）将数据分组； （4）列频率分布表； （5）画频率分布直方图.
注：频率分布直方图中
月收入(元)
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
练习1、如图是150辆汽车通过某路段 时速度的频率分布直方图，则速度在[60， 60 辆. 70)的汽车大约有______
在频率分布直方图中，依次连接各小长 方形上端的中点，就得到一条折线，这条 折线称为频率分布折线图.
练习3、以往招生Biblioteka 计显示，某所大学录 取的新生高考总分的中位数基本稳定在550 分，若某同学今年高考得了520分，他想报 考这所大学还需收集哪些信息？
要点： (1)查往年录取的新生的平均分数.若平均数 小于中位数很多，说明最低录取线较低，可以 报考； (2)查往年录取的新生高考总分的标准差.若 标准差较大，说明新生的录取分数较分散，最 低录取线可能较低，可以考虑报考.
标准差的取值范围是什么？标准差为0 的样本数据有何特点？ s≥0，标准差为0的样本数据都相等. 方差的意义： 方差(或标准差)越大离散程度越大，数 据较分散； 方差(或标准差)越小离散程度越小，数 据较集中在平均数周围.
例 2 、有两个班级，每班各自按学号随 机选出 5 名学生，测验铅球成绩，以考察 体育达标程度，测验成绩如下：单位（米） 甲 9.1 7.8 8.5 6.9 5.2 乙 8.8 7.2 7.3 7.5 6.7 两个班相比较，哪个班整体实力强一些 ？
制作频率分布直方图的方法： （1）求极差（即一组数据中最大值与最小 值的差）； （2）决定组距与组数；（样本容量不超过
100时，组数常分成5～12组）
（3）将数据分组； （4）列频率分布表； （5）画频率分布直方图.
注：频率分布直方图中
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北 师 大 版
[27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7
[39.5,43.5) 3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率
约是(
)
第10章
第二节
高考数学总复习
1 A. 6 1 C. 2
[答案] B
1 B. 3 2 D. 3
北 师 大 版
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图； (3)估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率； (4)估计电子元件寿命在400h以上的概率．
北 师 大 版
第10章
第二节
高考数学总复习
[解析] (1)样本频率分布表如下：
寿命(h) 100～200 200～300
300～400 频数 20 30 频率 0.10 0.15
第二节
高考数学总复习
7．为了了解高一女生的体能情况，我校抽取部分学生
进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率 分布直方图，图中从左到右各小长方形面积之比为1:2:8 7:4:3，第二小组频数为12. (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2) 若次数在 120 以上 ( 含 120 次 ) 为优秀，试估计该学校 全体高一学生的优秀率是多少？
叫做这 n 个数的平均数．
第10章
第二节
高考数学总复习
3．标准差和方差 (1)标准差是样本数据到平均数的一种 平均距离 ．
1 [x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2] n
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(2)标准差：s＝
.
1 2 2 2 [( x 1－ x ) ＋(x2－ x ) ＋…＋(xn－ x ) ] 2 (3)方差：s ＝ n
[解析] 本题主要考查频率分布知识．因为[31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3 故[31.5,43.5)的概率为 12＋7＋3 1 ＝ ，故选 B. 66 3
第10章
第二节
高考数学总复习
2． 若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶
图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
北 师 大 版
第10章
第二节
高考数学总复习
(理)如图，是2011年中央电视台举办的挑战主持人大赛
上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一
个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别 为( ) A．84,4.84 C．85,1.6 B．84,1.6 D．85,4
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[答案] C
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第10章
第二节
高考数学总复习
[点评] 解决总体分布估计问题的一般程序为：当总体
中所取不同的数值较少时，常用条形图表示相应样本的频 率分布，否则常用频率分布直方图表示相应样本的频率分 布，具体步骤为：
北 师 大 版
第10章
第二节
高考数学总复习
(1) 先确定分组的组数 ( 最大数据与最小数据之差除以组 距得组数)； 频数 (2)分别计算各组的频数及频率(频率＝ )； 总数 (3)画出频率分布直方图并作出相应的估计．
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第10章
第二节
高考数学总复习
为了了解九年级学生中女生的身高 (单位： cm)情况，某 中学对九年级女生身高进行了一次测量，所得的数据整理后 列出了频率分布表如下：
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第10章
第二节
高考数学总复习
4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基
本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总 体的思想． 5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解 决一些简单的实际问题．
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第10章
第二节
高考数学总复习
考向预测 1．本节是用样本估计总体，是统计学的基础．以考查频 率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准差为主，同时考 查对样本估计总体的思想的理解． 2．本节在高考题中主要是以选择题和填空题为主，属于 中低档题目． 3．常以频率分布直方图为工具结合现实生活出一道应用 大题，属于中档题目．
第10章
第二节
高考数学总复习
3．(文)(2010·山东文)在某项体育比赛中，七位裁判为
一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93
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去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值 和方差分别为( A．92,2 C．93,2 ) B．92,2.8 D．93,2.8
[答案] B
第10章
第二节
高考数学总复习
[解析] B 本题考查了方差及平均值的概念， 数据设置便 3＋4＋ 3＋0＋0 于运算属基础题， 可各减去 90， 得 0,0,3,4,3. ＝2， 5 ∴平均数为 92，方差 2－02＋2－02＋2－32＋2－42＋2－32 ＝2.8，选 B. 5
高考数学总复习
5．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取
了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重 要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图 如右图所示，则在抽样的100根中，有________根棉花纤维 的长度小于20 mm.
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[答案] 30
第10章
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频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.
第10章
第二节
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基 础 自 测
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第10章
第二节
高考数学总复习
1.(2011·四川理，1)有一个容量为66的样本，数据的分
组及各组的频数如下：
[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18
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第10章
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2 [解析] (1)依题意知第二小组的频率为 ＝0.08， 25 12 又因第二小组的频数为 12，则样本容量为： ＝150. 0.08 (2)次数在 120 以上(含 120)的频率为： 14 14 ＝ ＝0.56. 1＋2＋8＋7＋4＋3 25 所以全体高一学生的优秀率为 56%.
000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图 ( 如 图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关 系，要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出200人作进 一步调查，其中低于1 500元的称为低收入者，高于3 000 元的称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中分别抽 取的人数是( )
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A．1 000,2 000 C．20,40
B．40,80 D．10,20
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[分析] 根据频率分布直方图， 分别计算出低收入者和高收 入者的频率即可，这个频率分布直方图可以看作是容量为 200 的样本的频率分布直方图．
第二节
高考数学总复习
[解析]
本题主要考查频率分布直方图的应用，从而考
查考生的识图与用图能力，同时也考查了考生的数据处理 能力和分析解决问题的能力． 由题意知，棉花纤维的长度小于 20mm 的频率为 (0.01 ＋0.01＋0.04)×5＝0.3，故抽测的100根中，棉花纤维的长 度小于20mm的有0.3×100＝30(根)．
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6．频率折线图和总体密度曲线 (1)频率折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的
中点 ，就得频率分布折线图． ______
所划分的 (2)总体密度曲线： 随着 样本量 的增大， 作图时__________
区间数 增多，每个区间的长度则会相应随之减小，相应的 _________
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高考数学总复习
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知识梳理 1．茎叶图的优点 当样本数据较少时，茎叶图表示数据的效果较好，一是统 计图上没有 原始数据 的损失，二是方便 记录与表示 ，但 茎叶图只便于表示两位有效数字的数据．
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第二节
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第10章
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[解析] 去掉 79 和 93， 剩下的 5 个数为 84,84,86,84,87.∴ x ＝85， 1 s ＝ [(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2] 5
2
1 ＝ (4＋4)＝1.6，∴选 C. 5
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4 ． 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10
(xn 是样本数据，n 是样本容量， x 是样本平均数．)
．
第10章
第二节
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4．在频率分布直方图中，纵轴表示频率与组距的比值， 数据落在各小组内的频率用 小长方形的面积 表示，所有长方 形面积之和 等于 1 .
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第二节
高考数学总复习
5．作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中 最大值与最小值 的差)． (2)决定 组距与组数 ． (3)将数据 分组 ． (4)列 频率分布表 ． (5)画 频率分布直方图 ．
第10章
第二节
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[答案] C
[解析] 由图可知，低收入者的频率是0.000 2×500＝
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0.1，故应在低收入者中抽取 200×0.1＝20人；高收入者的 频率是(0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2，故应在高收入者中抽 取200×0.2＝40人．
[27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7
[39.5,43.5) 3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率
约是(
)
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1 A. 6 1 C. 2
[答案] B
1 B. 3 2 D. 3
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(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图； (3)估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率； (4)估计电子元件寿命在400h以上的概率．
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[解析] (1)样本频率分布表如下：
寿命(h) 100～200 200～300
300～400 频数 20 30 频率 0.10 0.15
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7．为了了解高一女生的体能情况，我校抽取部分学生
进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率 分布直方图，图中从左到右各小长方形面积之比为1:2:8 7:4:3，第二小组频数为12. (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2) 若次数在 120 以上 ( 含 120 次 ) 为优秀，试估计该学校 全体高一学生的优秀率是多少？
叫做这 n 个数的平均数．
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3．标准差和方差 (1)标准差是样本数据到平均数的一种 平均距离 ．
1 [x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2] n
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(2)标准差：s＝
.
1 2 2 2 [( x 1－ x ) ＋(x2－ x ) ＋…＋(xn－ x ) ] 2 (3)方差：s ＝ n
[解析] 本题主要考查频率分布知识．因为[31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3 故[31.5,43.5)的概率为 12＋7＋3 1 ＝ ，故选 B. 66 3
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2． 若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶
图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
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(理)如图，是2011年中央电视台举办的挑战主持人大赛
上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一
个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别 为( ) A．84,4.84 C．85,1.6 B．84,1.6 D．85,4
北 师 大 版
[答案] C
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[点评] 解决总体分布估计问题的一般程序为：当总体
中所取不同的数值较少时，常用条形图表示相应样本的频 率分布，否则常用频率分布直方图表示相应样本的频率分 布，具体步骤为：
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(1) 先确定分组的组数 ( 最大数据与最小数据之差除以组 距得组数)； 频数 (2)分别计算各组的频数及频率(频率＝ )； 总数 (3)画出频率分布直方图并作出相应的估计．
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为了了解九年级学生中女生的身高 (单位： cm)情况，某 中学对九年级女生身高进行了一次测量，所得的数据整理后 列出了频率分布表如下：
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4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基
本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总 体的思想． 5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解 决一些简单的实际问题．
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考向预测 1．本节是用样本估计总体，是统计学的基础．以考查频 率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准差为主，同时考 查对样本估计总体的思想的理解． 2．本节在高考题中主要是以选择题和填空题为主，属于 中低档题目． 3．常以频率分布直方图为工具结合现实生活出一道应用 大题，属于中档题目．
第10章
第二节
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3．(文)(2010·山东文)在某项体育比赛中，七位裁判为
一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93
北 师 大 版
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值 和方差分别为( A．92,2 C．93,2 ) B．92,2.8 D．93,2.8
[答案] B
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第二节
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[解析] B 本题考查了方差及平均值的概念， 数据设置便 3＋4＋ 3＋0＋0 于运算属基础题， 可各减去 90， 得 0,0,3,4,3. ＝2， 5 ∴平均数为 92，方差 2－02＋2－02＋2－32＋2－42＋2－32 ＝2.8，选 B. 5
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5．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取
了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重 要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图 如右图所示，则在抽样的100根中，有________根棉花纤维 的长度小于20 mm.
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[答案] 30
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频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.
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基 础 自 测
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1.(2011·四川理，1)有一个容量为66的样本，数据的分
组及各组的频数如下：
[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18
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2 [解析] (1)依题意知第二小组的频率为 ＝0.08， 25 12 又因第二小组的频数为 12，则样本容量为： ＝150. 0.08 (2)次数在 120 以上(含 120)的频率为： 14 14 ＝ ＝0.56. 1＋2＋8＋7＋4＋3 25 所以全体高一学生的优秀率为 56%.
000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图 ( 如 图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关 系，要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出200人作进 一步调查，其中低于1 500元的称为低收入者，高于3 000 元的称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中分别抽 取的人数是( )
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A．1 000,2 000 C．20,40
B．40,80 D．10,20
北 师 大 版
[分析] 根据频率分布直方图， 分别计算出低收入者和高收 入者的频率即可，这个频率分布直方图可以看作是容量为 200 的样本的频率分布直方图．
第二节
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[解析]
本题主要考查频率分布直方图的应用，从而考
查考生的识图与用图能力，同时也考查了考生的数据处理 能力和分析解决问题的能力． 由题意知，棉花纤维的长度小于 20mm 的频率为 (0.01 ＋0.01＋0.04)×5＝0.3，故抽测的100根中，棉花纤维的长 度小于20mm的有0.3×100＝30(根)．
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6．频率折线图和总体密度曲线 (1)频率折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的
中点 ，就得频率分布折线图． ______
所划分的 (2)总体密度曲线： 随着 样本量 的增大， 作图时__________
区间数 增多，每个区间的长度则会相应随之减小，相应的 _________
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知识梳理 1．茎叶图的优点 当样本数据较少时，茎叶图表示数据的效果较好，一是统 计图上没有 原始数据 的损失，二是方便 记录与表示 ，但 茎叶图只便于表示两位有效数字的数据．
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第二节
高考数学总复习
[解析] 去掉 79 和 93， 剩下的 5 个数为 84,84,86,84,87.∴ x ＝85， 1 s ＝ [(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2] 5
2
1 ＝ (4＋4)＝1.6，∴选 C. 5
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第10章
第二节
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4 ． 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10
(xn 是样本数据，n 是样本容量， x 是样本平均数．)
．
第10章
第二节
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4．在频率分布直方图中，纵轴表示频率与组距的比值， 数据落在各小组内的频率用 小长方形的面积 表示，所有长方 形面积之和 等于 1 .
北 师 大 版
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第二节
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5．作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中 最大值与最小值 的差)． (2)决定 组距与组数 ． (3)将数据 分组 ． (4)列 频率分布表 ． (5)画 频率分布直方图 ．
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第二节
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[答案] C
[解析] 由图可知，低收入者的频率是0.000 2×500＝
北 师 大 版
0.1，故应在低收入者中抽取 200×0.1＝20人；高收入者的 频率是(0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2，故应在高收入者中抽 取200×0.2＝40人．