用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件

2．中位数
(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列 ，处于 _中__间___位置的数称为这组数据的中位数．
(2)特征：一组数据中的中位数是_唯__一___的，反映了该组数 据的___集__中__趋__势_____．在频率分布直方图中，中位数左边和右 边的直方图的面积__相__等__．
[破疑点] 中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些
[答案] 6 [解析] x ＝4＋6＋5－6 8＋7＋6＝6.
3．(2012·陕西卷)对某商店一个月内每天的顾客人数进行
统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众
数、极差分别是( )
A．46、45、56
B．46、45、53
C．47、45、56
D．45、47、53
[答案] A
[解析] 本题考查样本数据的中位数、众数及极差．根据
s2乙＝110[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312]＝ 110×1[答28案8＝] 12(18).8乙(c种m2玉)．米所的以苗s长2甲＜得s高2乙. ，(2)甲种玉米的苗长得 齐．
●探索延拓
频率分布直方图与数字特征的综合应用
(1)(2012·安徽高考)甲、乙两人在一次射击比赛 中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长 的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、 众数又是什么？(精确到1元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？ 结合此问题谈一谈你的看法．
[探究] 平均数、中位数、众数的定义分别是什么？
[解析] (1)平均数是
[知识拓展] 数据组 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，方差 为 s2，标准差为 s，则数据组 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a， b 为常数)的平均数为 a x ＋b，方差为 a2s2，标准差为 as.
6．用样本估计总体 现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数、 众数、中位数、标准差、方差是不知道的，因此，通常用 _样__本___的平均数、众数、中位数、标准差、方差来估计．这与 上 一 节 用 _样__本___ 的 频 率 分 布 来 近 似 地 代 替 总 体 分 布 是 类 似 的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受 的． [规律总结] 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两 类：用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标 准差，样本容量越大，估计就越精确．
[解析] 看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种 玉米的苗的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看 两种玉米的苗高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动 大小的特征数．
(1) x 甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42) ＝110×300＝30(cm)，
x 乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40) ＝110×310＝31(cm)．
●误区警示
小明是班里的优秀学生，他的历次数学成绩是
96,98,95,93分，但最近的一次考试成绩只有45分，原因是他带 病参加了考试．期末评价时，怎样给小明评价？
[错解] 这五次数学考试的平均分是
96＋98＋95＋93＋45 5
＝ 85.4
，则
按平
均分
给小
明一
个
“良
好”．
[错因分析] 这种评价是不合理的，尽管平均分是反映一 组数据平均水平的重要特征，但任何一个数据的改变都会引起 它的变化，而中位数则不受某些极端值的影响．本题中的5个 成绩从小到大排列为：45,93,95,96,98；中位数是95，较为合理 地反映了小明的数学水平，因而应该用中位数来衡量小明的数 学成绩．
用样本的数字特征估计总体的数 字特征
●知识衔接
1．在初中，我们已经学过平均数描述了数据的__平__均__水 平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平．我们也知道可 以用样本的平均数去估计总体的平均水平，而样本数据的方 差、标准差则反映了数据的离散程度．方差或标准差越 __小____，数据越集中，总体越均衡；方差或标准差越__大____， 数据越分散，总体越不均衡．而中位数则是指样本数据按从小 到大(或从大到小)的顺序排列后，处于__中__间__位置的一个量， 当样本数据个数为奇数时，___中__间__一__个__数__据___就是中位数，它 是样本数据；
≈1 500＋1 788＝3 288(元)． 中位数是 1 500 元，众数是 1 500 元．
(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司职工的工 资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别 较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公 司职工的工资水平．
[规律总结] 关于众数、中位数、平均数的几个问题 (1)一组数据中的众数可能不止一个，如果两个数据出现的 次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据 都是这组数据的众数． (2)一组数据中的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将 这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列． (3)由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样 本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不 具备的性质．
5．方差 (1)定义：标准差的平方， 即s2＝____1n_[_(x_1_－__x_)_2_＋__(x_2_－__x__)2_＋__…__＋__(x_n_－__x__)2_]_____． (2)特征：与___标__准__差_____的作用相同，描述一组数据围绕 平均数波动程度的大小． (3)取值范围：_[0_，__＋__∞__) ___．
(1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组 中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的 底边中点的横坐标．
(2)中位数：在频率分布表中，中位数是累计频率(样本数 据小于某一数值的频率叫作该数值点的累计频率)为0.5时所对 应的样本数据的值，而在样本中有50%的个体小于或等于中位 数，也有50%的个体大于或等于中位数．因此，在频率分布直 方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
[探究] 1.如何利用条形图求众数、中位数、平均数？ 2．如何利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数？
[解析] (1) x 甲＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6， x 乙＝15(5×3＋6＋9)＝6， 甲的中位数是 6， 乙的中位数是 5. 甲的成绩的方差为15(22×2＋12×2)＝2， 乙的成绩的方差为15(12×3＋32×1)＝2.4.
●互动探究
中位数、众数、平均数的应用
位)如下：
据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1
1
2
1
5
3
20
工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500
(1)求该公司的职工月工资的平均数、中位数、众数；
(3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频 率之积的和．又平均数是频率分布直方图的“重心”．我们 知道，n 个样本数据 x1，x2，…，xn 的平均数 x ＝1n(x1＋x2＋… ＋xn)，则有 n x ＝x1＋x2＋…＋xn，也就是把每个 xi(i＝1,2，…， n)都用 x 取代后，数据总和保持不变，所以平均数 x 对数据有 “取齐”的作用，代表了一组数据的数值平均水平，在频率 分布直方图中，平均数是直方图的平衡点．
x ＝1 500＋
4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20 33
≈1 500＋591＝2 091(元)． 中位数是 1 500 元，众数是 1 500 元．
(2)平均数是 x ′＝1 500＋
28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20 33
当样本数据个数为偶数时，中位数则是中间两个数据的
_平__均__数_，当这两个数据相等时，中位数是样本数据，否则它不 是 样 本 数 据 ， 众 数 则 是 指 在 样 本 数 据 中 出 现 次 数 _最__多___ 的 数 据，众数不一定_唯__一___．
2．(2015·江苏卷)已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据 的平均数为________．
③由图知这次数学成绩的平均分为：
40＋50 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
×0.005×10
＋
50＋60 2
×0.015×10
＋
60＋70 2
×0.02×10
＋
70＋80 2
×0.03×10
＋
80＋90 2
×0.025×10
＋
90＋2100×0.005×10＝72. [答案] (1)C
[规律总结] 众数、中位数、平均数与频率分布表、频率 分布直方图的关系
甲的极差是 4，乙的极差是 4. 所以 A，B，D 错误，C 正确． (2)①由图知众数为70＋2 80＝75. ②由图知，设中位数为 x，由于前三个矩形面积之和为 0.4，第四个矩形面积为 0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于 第四个矩形内，得 0.1＝0.03(x－70)，所以 x≈73.3.
茎叶图可知样本总共有30个数据，中位数为46，出现次数最多
的是45，最大数与最小数的差为68－12＝56，故选A.
●自主预习
1．众数 (1)定义：一组数据中出现次数__最__多__的数称为这组数据的 众数． (2)特征：一组数据中的众数可能_不__止___一个，也可能没 有，反映了该组数据的__集__中__趋__势____． [破疑点] 众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其 他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征．
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差