用样本的数字特征估计总体的数字特征

用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征是统计学中的重要概念，它可以帮助我们从一个小样本中推断出整个总体的特征。

在实际应用中，这项技术被广泛用于市场调查、医学研究、商业决策等领域，帮助我们更好地了解和分析数据。

本文将介绍用样本的数字特征估计总体的数字特征的基本原理、相关的统计学方法和实际应用。

让我们了解一下什么是样本的数字特征和总体的数字特征。

在统计学中，样本是从总体中随机抽取的一部分数据，总体是我们要研究的整体数据集。

样本的数字特征是指通过对抽样数据进行计算，得到的表示数据集特征的数字。

常见的样本数字特征包括均值、方差、标准差等。

而总体的数字特征则是指整个数据集的特征，通常我们是无法直接观测到总体的数字特征的，所以需要通过对样本的数字特征进行估计来推断总体的数字特征。

接下来，我们将介绍用样本的数字特征估计总体的数字特征的基本原理和方法。

在统计学中，估计总体的数字特征通常使用点估计和区间估计两种方法。

点估计是通过样本的数字特征来估计总体的数字特征的一个常见方法。

最常用的点估计方法是用样本的均值来估计总体的均值。

假设我们从总体中抽取了一个大小为n的样本，样本的均值记作x̄，总体的均值记作μ，那么通过样本的均值x̄来估计总体的均值μ的方法可以表示为：μ≈x̄。

除了均值，样本的方差和标准差也常用于估计总体的方差和标准差。

通过样本的数字特征来估计总体的数字特征的优点是简单直观，但缺点是可能会受到样本容量的影响，当样本容量较小时，估计结果可能不够准确和可信。

区间估计是通过样本的数字特征来构造总体数字特征的置信区间来估计总体的数字特征的方法。

置信区间是指用样本的数字特征构造一个区间，使得总体数字特征落在这个区间内的概率达到一定的置信水平。

常用的区间估计方法包括平均数的置信区间估计、比率的置信区间估计、方差的置信区间估计等。

区间估计的优点是较点估计来说更加全面和准确，但计算复杂度较高，需要考虑更多的因素。

用样本的数字特征估计总体的数字特征在统计学中，样本是对总体的一部分进行的观察和测量。

根据样本的数字特征可以估计总体的数字特征，这一过程称为参数估计。

参数估计在统计学中是一个非常重要的部分，它能够帮助我们了解总体的性质，从而做出更好的决策。

常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。

点估计是通过样本的数字特征来估计总体的数字特征，例如样本均值可以被用来估计总体均值，样本方差可以被用来估计总体方差。

区间估计则是通过构造置信区间来估计总体的数字特征，区间估计能够提供总体数字特征的近似范围以及估计的可靠程度。

在进行参数估计之前，需要对样本数据进行描述性统计分析，包括计算样本均值、标准差、中位数等数字特征。

由于样本只代表了总体的一部分，因此为了得到准确的估计，需要考虑样本的大小、样本的选取方法以及样本所代表的总体的特点等因素。

在进行点估计时，我们通常选择样本的均值、中位数和众数等数字特征作为总体的估计值。

其中，样本的均值是最常用的估计方法，它是样本中所有观察值的算术平均数，通常被假定为总体均值的无偏估计量。

如果样本的大小很大，样本分布接近正态分布，则用样本均值进行总体均值的估计是相对可靠的。

但如果样本的大小很小或者样本分布不规则，则用样本均值进行总体均值的估计就可能存在偏移。

除了样本均值之外，样本方差是另一个常用的数字特征，用来估计总体方差。

样本方差是样本中所有观察值与其均值之差的平方和除以样本大小减一。

样本方差是总体方差的无偏估计量，但它通常会被低估。

因此，在进行区间估计时，我们通常使用标准误差计算置信区间，标准误差是样本标准差除以样本大小的平方根。

通常用95%或99%的置信度来建立置信区间，这个置信度表示有95%或99%的概率总体数字特征在置信区间内。

当我们对置信区间的长度感兴趣时，可以计算置信区间的中心值和半径，半径等于置信区间的两端点的距离除以2。

学习课题：2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征※学习目标1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差；2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

※课前准备（阅读课本P71-P78）※探索新知一、众数、中位数、平均数众数：_______________________________________________________________________中位数：_______________________________________________________________________平均数：_______________________________________________________________________ 思考探究：1、在频率分布直方图中如何求出众数、中位数、平均数。

2、分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么问题？为什么会这样呢？3、你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？二、标准差、方差标准差S=思考探究：1、标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？2、标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？注：在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。

※例题精析例：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：甲：900，920，900，850，910，920乙：890，960，950，850，860，890那种水稻的产量比较稳定？※当堂检测（ABC班完成）1、求下列各组数据的众数、中位数、平均数（1）1 ，2，3，3，3，4，6，7，7，8，8，8（2）1 ，2，3，3，3，4，6，7，8，9，92、下列对一组数据的分析，不正确的说法是（）A、数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B、数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C、数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D、数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定※延伸拓展(AB班完成)某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下表：（2）若董事长、副董事长的工资分别从5500元、5000元提升到30000元、20000元，那么公司职工新的平均数、中位数和众数又是什么？你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？。

用样本的数字特征估计总体的数字特征在统计学中，用样本的数字特征估计总体的数字特征是一种重要的实用技术。

这种方法可以通过收集一部分数据样本来推断整个总体的数字特征，从而用相对较小的代表性数据来建立总体的分布模型。

本文将从样本的概念开始，介绍如何利用样本的数字特征估计总体的数字特征。

一、样本概念样本是指总体中的一部分数据，可以用来作为总体特征的代表。

在进行研究或实验时，由于无法对整个总体进行调查或实验，因此需要从中抽取一部分数据进行观察和统计分析。

例如，一个人口普查局需要统计某一城市的人口数量，它是无法对整个城市的人口进行调查的，因此需要从中抽取一部分人口进行调查，这个部分人口就被称为样本。

样本的选择应该是具有代表性的，即包含总体的不同群体，并且样本数据应该尽可能多地反映总体数据的特征。

二、样本数字特征在对样本进行统计分析时，我们通常会关注以下几个数字特征：1. 样本均值 (Sample Mean)：指样本中所有数据的总和除以样本的数量。

其计算公式为：$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$其中，$\bar{x}$表示样本均值，$x_i$表示第$i$个样本数据，$n$表示样本数量。

2. 样本中位数 (Sample Median)：指将样本数据按升序排列后，中间位置的数值。

如果数据数量为偶数，则将中间两个数取平均值。

3. 样本众数 (Sample Mode)：指出现最频繁的数值。

有时样本可能出现多个众数，此时称为多峰分布。

5. 样本标准差 (Sample Standard Deviation)：是方差的平方根，用于度量样本数据的波动程度。

其计算公式为：当我们获得了样本数据的数字特征之后，可以通过适当的方法来估计总体的数字特征。

以下介绍几种常用的方法：1. 样本均值估计总体均值：如果样本是随机抽取的，并且代表性良好，那么样本均值可以很好地估计总体均值。

在这种情况下，总体均值的点估计为：$$\mu=\bar{x}$$$$\sigma=s$$其中，$\sigma$表示总体标准差，$s$表示样本标准差。

用样本的数字特征估计总体的数字特征
在统计学中，样本是从总体中抽取的部分数据。

样本的数字特征是通过对样本数据的分析和计算得出的描述性统计量，可以用来估计总体的数字特征。

本文将介绍常用的样本数字特征，并讨论如何利用这些特征来估计总体的数字特征。

一、样本的数字特征
1. 平均数：样本的平均数是样本数据的总和除以样本的个数。

平均数是样本数据的中心位置的度量，可以用来估计总体的平均数。

2. 中位数：样本的中位数是将样本数据按照大小排列后，位于中间位置的数字。

中位数是样本数据的中心位置的度量，可以用来估计总体的中位数。

3. 众数：样本的众数是样本数据中出现次数最多的数字。

众数可以表示样本数据的最常见的数值，可以用来估计总体的众数。

4. 方差：样本的方差是样本数据与样本均值之差的平方的平均值。

方差反映了样本数据的离散程度，可以用来估计总体的方差。

5. 标准差：样本的标准差是样本方差的平方根。

标准差也反映了样本数据的离散程度，可以用来估计总体的标准差。

三、注意事项
1. 样本的数字特征只能提供对总体数字特征的估计，估计的准确程度取决于样本的大小和抽样方法的随机性。

样本越大，估计的准确性一般越高。

2. 在利用样本数字特征估计总体数字特征时，需要考虑样本的代表性。

抽样时要保证样本能够代表总体的各个特征和属性。

3. 样本数字特征只能给出对总体数字特征的一种估计，通过使用统计方法和推断技巧，可以给出估计结果的置信区间和可靠程度。

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 （两课时）零号作业一、众数、中位数、平均数1、众数：(1)定义：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．(2)特征：一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势 [破疑点] 众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征．（3）在直方图中为最高矩形下端中点的横坐标 2、中位数：(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数． (2)特征：一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．[破疑点] 中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．（3） 直方图面积平分线与横轴交点的横坐标.左右两边面积各占一半3、平均数：(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为xn＝x 1＋x 2＋…＋x nn(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．（3） 直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和. 二、标准差、方差1、标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，通常用以下公式来计算s ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]可以用计算器或计算机计算标准差．(2)特征：标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较_ 小．2．方差(1)定义：标准差的平方，即s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](2)特征：与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小． (3)取值范围：[0，＋∞)3、数据组x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，标准差为s ，则数据组ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b (a ，b 为常数)的平均数为a x ＋b ，方差为a 2s 2，标准差为4、规律总结（1）用样本的数字特征估计总体的数字特征，是指用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据. 样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.用样本的数字特征估计总体的数字特征，是指用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据（2）平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平.标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.在实际应用中，我们常综合样本的多个统计数据，对总体进行估计，为解决问题作出决策.（3）标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围.列出一组样本数据的频率分布表步骤说明：1、对同一个总体，可以抽取不同的样本，相应的平均数与标准差都会发生改变.如果样本的代表性差，则对总体所作的估计就会产生偏差；如果样本没有代表性，则对总体作出错误估计的可能性就非常大，由此可见抽样方法的重要性.2.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，如从一个包含6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本就有20中可能抽样，因此样本的数字特征也有随机性.用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有惟一答案.3.在实际应用中，调查统计是一个探究性学习过程，需要做一系列工作，我们可以把学到的知识应用到自主研究性课题中去.一号作业11、众数(1)定义：一组数据中出现次数______的数称为这组数据的众数．(2)特征：一组数据中的众数可能______一个，也可能没有，反映了该组数据的____________．在直方图中为最高矩形下端中点的____________最多不止集中趋势横坐标2．中位数(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于______位置的数称为这组数据的中位数．(2)特征：一组数据中的中位数是______的，反映了该组数据的______________．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积______．．中间唯一集中趋势相等3．平均数(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x1，x2，…，x n的平均数为x n＝_________________.(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的_____________．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的______，但平均数受数据中_________的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的. ______x1＋x2＋…＋x nn平均水平信息极端值乘积之和4．标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算s＝__________________________.可以用计算器或计算机计算标准差．(2)特征：标准差描述一组数据围绕______波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较______；标准差较小，数据的离散程度较______．1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]平均数大小5．方差(1)定义：标准差的平方，即s2＝________________________________________．(2)特征：与____________的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小．(3)取值范围：___________．1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2] 标准差[0，＋∞)数据组x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b(a，b为常数)的平均数为a x＋b，方差为a2s2，标准差为as.典例讲解中位数、众数、平均数的应用例1据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：(1)求该公司的职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到1元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．[解析](1)平均数是x＝1 500＋4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋591＝2 091(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(2)平均数是x′＝1 500＋28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋1 788＝3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平．练习1：某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：甲群13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征？(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征？[答案](1)甲群市民年龄的平均数为13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋1710＝15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．(2)乙群市民年龄的平均数为54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋5710＝15(岁)，中位数为5岁，众数为6岁．由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．例2：(1)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差(2)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．①求这次测试数学成绩的众数．②求这次测试数学成绩的中位数．③求这次测试数学成绩的平均分．[解析](1)x甲＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，x乙＝15(5×3＋6＋9)＝6，甲的中位数是6，乙的中位数是5.甲的成绩的方差为15(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为15(12×3＋32×1)＝2.4.甲的极差是4，乙的极差是4.所以A，B，D错误，C正确．(2)①由图知众数为70＋802＝75.②由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.③由图知这次数学成绩的平均分为：40＋502×0.005×10＋50＋602×0.015×10＋60＋702×0.02×10＋70＋802×0.03×10＋80＋902×0.025×10＋90＋1002×0.005×10＝72.[答案](1)C (2)见解析练习1：参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分布的茎叶图1和频率分布直方图2均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：求参加数学抽测的人数n，抽测成绩的中位数及分数分布在[80,90)，[90,100]内的人数．[答案]分数在[50,60)内的频率为2，由频率分布直方图可以看出，分数在[90,100]内的同样有2人．由2n＝10×0.008，得n＝25.由茎叶图可知抽测成绩的中位数为73.∴分数在[80,90)之间的人数为25－(2＋7＋10＋2)＝4.参加数学竞赛人数n＝25，中位数为73，分数在[80,90)，[90,100]内的人数分一号作业21．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2.①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值都不相等；③这组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的值相等．其中正确的结论的个数() A．1B．2 C．3 D．42、为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如下图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m O，平均值为x，则()A．m e＝m O＝x B．m e＝m O<x C．m e<m O<x D．m O<m e<x3、某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是() A．31,6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁4、阶段考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均分为N，那么M N为________．1、A 2 D 3、C 4、 15、为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3．5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2．3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1．4 1.60.5 1.80.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2．70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据绘制茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？[解析](1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得x＝120×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y＝120×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．标准差、方差的应用例3、从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？[解析]看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的苗的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米的苗高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数．(1)x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm)，x乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)．所以x甲＜x乙．(2)s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝110(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝110×1042＝104.2(cm2)，s2乙＝110[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312]＝110×1288＝128.8(cm2)．所以s2甲＜s2乙.[答案](1)乙种玉米的苗长得高，(2)甲种玉米的苗长得齐．练习1：甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有() A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3D．s2>s3>s1[答案] B练习2：一次数学知识竞赛中，两组学生成绩如下表：已经算得两个组的平均分都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由．[答案](1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)s2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝150×(2×900＋5×400＋10×100＋13×0＋14×100＋6×400)＝172.s2乙＝150×(4×900＋4×400＋16×100＋2×0＋12×100＋12×400)＝256.因为s2甲＜s2乙，所以甲组成绩较乙组成绩稳定．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的人数为20人，乙组成绩大于或等于90分的人数为24人，所以乙组成绩在高分阶段的人数多，同时，乙组得满分的比甲组得满分的多6人，从这一角度看，乙组成绩较好．一号作业31． 若样本数据x 1，x 2，……，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．322．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品7个月份的每月市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前6个月的市场收购价格：则前7A.757 B.767 C ．11D.7873． 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数4．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)1、C2、B3、C4、1,1,3,3。

用样本的数字特征估计总体的数字特征估计总体的数字特征是统计学中的一个重要问题，在实际应用中经常需要通过样本数据对总体数据的统计参数进行估计。

估计总体的数字特征包括均值、方差、标准差、偏度、峰度等多个方面。

首先，对于总体的均值μ的估计，可以使用样本的平均值x_bar作为总体均值的近似值，即：μ ≈ x_bar这是因为样本的平均值是总体均值的无偏估计量。

在大样本条件下，由于中心极限定理的作用，样本的平均值的标准差会越来越小，从而使得x_bar更加接近总体均值μ。

其次，对于总体的方差σ^2的估计，可以使用样本方差s^2作为总体方差的无偏估计量，即：σ^2 ≈ s^2其中，样本方差的计算公式为：s^2 = ∑(x_i - x_bar)^2 / (n-1)其中，x_i表示第i个样本数据，x_bar表示样本的平均值，n表示样本容量。

在样本容量较大时，样本方差与总体方差之间的差别会越来越小，从而可以更加准确地估计总体方差。

然而，使用样本方差进行总体方差的估计存在一个问题，即样本方差的值通常比总体方差的值偏小。

因此，为了更加准确地估计总体方差，可以使用修正样本方差s_*^2，即将分母从n-1改为n，计算公式为：除了均值和方差的估计外，偏度和峰度等数字特征的估计也是非常重要的。

偏度是衡量数据分布对称性的数字特征，偏度为0表示数据分布对称。

正偏度表示数据分布向右倾斜，负偏度表示数据分布向左倾斜。

偏度的计算公式为：其中，s是样本标准差。

峰度是衡量数据分布尖峭程度的数字特征，峰度为0表示数据分布与正态分布相同。

正峰度表示数据分布比正态分布更加集中，负峰度表示数据分布较为平缓。

峰度的计算公式为：通过样本的数字特征估计总体的数字特征是数据分析的一个基本问题。

在实际应用中，要根据数据分析的目的选择合适的估计方法，并掌握估计方法的优缺点，以确保估计结果的准确性和可靠性。