【高考四元聚焦】高三数学一轮复习 第51讲 空间角及其计算对点训练 理

§8.6几何法求空间角考试要求以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．理解异面直线所成角、直线和平面所成角和二面角的定义，并会求值．知识梳理1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)，π2.2．直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.(2)范围：0，π2.3．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角若有①O ∈l ；②OA ⊂α，OB ⊂β；③OA ⊥l ，OB ⊥l ，则二面角α－l －β的平面角是∠AOB .(3)二面角的平面角α的范围：[0，π]．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若直线l 1，l 2与同一个平面所成的角相等，则l 1∥l 2.(×)(2)异面直线所成角的范围为0，π2.(×)(3)如果平面α∥平面α1，平面β∥平面β1，那么平面α与平面β所成的二面角和平面α1与平面β1所成的二面角相等或互补．(√)(4)线面角的范围为0，π2，二面角的范围为[0，π]．(√)教材改编题1.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成角的大小为()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案C 解析连接B 1D 1，D 1C (图略)，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 即为所求的角或其补角．又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴△B 1D 1C 为等边三角形，∴∠D 1B 1C ＝60°.2.如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，PA ＝AB ，则直线PC 和平面ABC 所成角的正切值为________．答案2解析因为PA ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC和平面ABC 所成的角．在Rt △PAC 中，因为AC ＝12AB ＝12PA ，所以tan ∠PCA ＝PA AC＝2.3.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中：①二面角D ′－AB －D 的大小为________．②二面角A ′－AB －D 的大小为________．答案①45°②90°解析①在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ⊥平面ADD ′A ′，所以AB ⊥AD ′，AB ⊥AD ，因此∠D ′AD 为二面角D ′－AB －D 的平面角．在Rt △D ′DA 中，∠D ′AD ＝45°，所以二面角D ′－AB －D 的大小为45°.②因为AB ⊥平面ADD ′A ′，所以AB ⊥AD ，AB ⊥AA ′，因此∠A ′AD 为二面角A ′－AB －D 的平面角，又∠A ′AD ＝90°，所以二面角A ′－AB －D 的大小为90°.题型一异面直线所成的角例1(1)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55 D.22答案C解析如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM .易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角．因为在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋BB 21＝5.所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55延伸探究若将本例(1)中题干条件“AA 1＝3”变为“异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”．试求AA 1的值．解设AA 1＝t ，∵AB ＝BC ＝1，∴A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝t 2＋1.∴cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910，解得t ＝3，则AA 1＝3.(2)(2022·衡水检测)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE ＝14SB ，则异面直线SC 与OE 所成角的正切值为()A.222B.53 C.1316 D.113答案D 解析如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角．∵SE ＝14SB ，∴SE ＝13BE .又OB ＝3，∴OF ＝13OB ＝1.∵SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3，∴SC ＝3 2.∵SO ⊥OF ，∴SF ＝SO 2＋OF 2＝10.∵OC ⊥OF ，∴CF ＝10.∴在等腰△SCF 中，tan ∠CSF ＝113.教师备选(2022·郑州模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝4，AC ⊥BC ，CC 1＝5，D ，E 分别是AB ，B 1C 1的中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为()A.33B.13C.5829D.38729答案C 解析如图，取A 1C 1的中点F ，连接DF ，EF ，CF .易知EF 是△A 1B 1C 1的中位线，所以EF ∥A 1B 1且EF ＝12A 1B 1.又AB ∥A 1B 1且AB ＝A 1B 1，D 为AB 的中点，所以BD ∥A 1B 1且BD ＝12A 1B 1，所以EF ∥BD 且EF ＝BD .所以四边形BDFE 是平行四边形，所以DF ∥BE ，所以∠CDF 就是异面直线BE 与CD 所成的角或其补角．因为AC ＝BC ＝4，AC ⊥BC ，CC 1＝5，D ，E ，F 分别是AB ，B 1C 1，A 1C 1的中点，所以C 1F ＝12A 1C 1＝2，B 1E ＝12B 1C 1＝2且CD ⊥AB .由勾股定理得AB ＝42＋42＝42，所以CD ＝AC ·BC AB ＝4×442＝2 2.由勾股定理得CF ＝29，DF ＝BE ＝29.在△CDF 中，由余弦定理得cos ∠CDF ＝(29)2＋(22)2－(29)22×29×22＝5829.思维升华求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角或其补角．(3)三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练1(1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB与AD 1所成的角为()A.π2B.π3C.π4D.π6答案D 解析方法一如图，连接C 1P ，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，且P 为B 1D 1的中点，所以C 1P ⊥B 1D 1，又C 1P ⊥BB 1，所以C 1P ⊥平面B 1BP .又BP ⊂平面B 1BP ，所以C 1P ⊥BP .连接BC 1，则AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1为直线PB 与AD 1所成的角．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在Rt △C 1PB 中，C 1P ＝12B 1D 1＝2，BC 1＝22，sin ∠PBC 1＝PC 1BC 1＝12，所以∠PBC 1＝π6.方法二如图所示，连接BC 1，A 1B ，A 1P ，PC 1，则易知AD 1∥BC 1，所以直线PB 与AD 1所成的角等于直线PB 与BC 1所成的角．根据P 为正方形A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1的中点，易知A 1，P ，C 1三点共线，且P 为A 1C 1的中点．易知A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，所以△A 1BC 1为等边三角形，所以∠A 1BC 1＝π3，又P 为A 1C 1的中点，所以可得∠PBC 1＝12∠A 1BC 1＝π6.(2)如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案2解析如图，取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角等于异面直线AC1与BC所成的角．因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2.题型二直线与平面所成的角例2如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD＝4，PA＝AB＝BC＝AD＝2，Q为棱PC上的一点，且PQ＝1PC.3(1)证明：平面QBD⊥平面ABCD；(2)求直线QD 与平面PBC 所成角的正弦值．(1)证明连接AC ，交BD 于点O ，因为AB ∥CD ，所以△ABO ∽△CDO ，又AB ＝12CD ，所以AO ＝13AC .连接QO ，由PQ ＝13PC ，得QO ∥PA ，由PA ⊥平面ABCD ，得QO ⊥平面ABCD ，又QO ⊂平面QBD ，所以平面QBD ⊥平面ABCD .(2)解过D 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连接HQ ，设QD 与平面PBC 所成的角为θ，则∠DQH ＝θ.设DH ＝h ，V 三棱锥Q －BCD ＝V 三棱锥D －BCQ ，即13S △BCD ·QO ＝13S △BCQ ·h .在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝4，可得BD ＝23，∠CBD ＝π2所以S △BCD ＝12×2×23＝2 3.由(1)得OQ ＝23PA ＝43，则QD ＝OD 2＋QO 2＝83.在△PBC 中，PB ＝22，PC ＝4，由余弦定理得cos ∠PCB ＝34，则sin ∠PCB ＝74，所以S △PCB ＝12×2×4×74＝7，所以S △BCQ ＝273.所以13×23×43＝13×237×h ，解得h ＝4217.所以sin θ＝DH QD ＝32114.即直线QD与平面PBC所成角的正弦值为321 14.教师备选如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD＝BC＝1，二面角P－CD－A为直二面角．(1)若E为线段PC的中点，求证：DE⊥PB；(2)若PC＝3，求PC与平面PAB所成角的正弦值．(1)证明∵PD＝DC＝1，且E为PC的中点，∴DE⊥PC，又∵二面角P－CD－A为直二面角，∴平面PCD⊥平面ABCD，∵BC⊥CD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥DE.∵BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，BC∩PC＝C，∴DE⊥平面PBC，又∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.(2)解若PC＝3，由余弦定理可求得∠PDC＝120°，过点P作PH⊥CD的延长线于H，如图，可得PH⊥平面ABCD，在Rt△PHD中，PH＝PD sin60°＝32，过H点作HG∥DA，且HG与BA的延长线交于G点．可得HG⊥AB，从而PG⊥AB.在Rt △PHG 中，PG ＝PH 2＋HG 2＝72，∴V P －ABC ＝13S △ABC ·PH ＝13×12×32＝312，设点C 到平面PAB 的距离为h ，则三棱锥C －PAB 的体积V ＝13S △ABP ·h ＝13×12×72h ＝312，解得h ＝37，设PC 与平面PAB 所成的角为θ，sin θ＝h PC ＝77，即PC 与平面PAB 所成角的正弦值为77.思维升华求线面角的三个步骤一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解．跟踪训练2(1)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点．若AB ＝BC ＝BB 1，∠ABC ＝π2，则CC 1与平面BC 1D 所成角的正弦值为________．答案33解析过点C 作CH ⊥C 1D 于点H ，如图，∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴CC 1⊥平面ABC .∵BD ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥BD .∵AB ＝BC ，D 为AC 的中点，∴BD⊥AC，又CC1∩AC＝C，CC1，AC⊂平面ACC1，∴BD⊥平面ACC1，∵CH⊂平面ACC1，∴BD⊥CH.又CH⊥C1D，C1D∩BD＝D，C1D，BD⊂平面BC1D，∴CH⊥平面BC1D，∴∠CC1D为CC1与平面BC1D所成的角，设AB＝2a，则CD＝2a，C1D＝6a，∴sin∠CC1D＝CDC1D＝2a6a＝33.(2)(2022·贵溪市实验中学模拟)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．①求证：直线BD1∥平面PAC；②求直线BD1与平面ABCD所成角的正切值．①证明如图，设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，连接PO，又∵P是DD1的中点，故PO∥BD1，又∵PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，∴直线BD1∥平面PAC.②解在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵DD1⊥平面ABCD，∴∠D1BD是直线BD1与平面ABCD所成的角，∵DD1＝2，BD＝AB2＋AD2＝2，∴tan∠D1BD＝22＝2，∴直线BD1与平面ABCD所成角的正切值为2.题型三二面角例3(2022·郑州模拟)如图，已知矩形ABCD所在的平面垂直于直角梯形ABPE所在的平面，且EP＝3，BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥EP，AE∥BP，F，G分别是BC，BP的中点．(1)求证：平面AFG∥平面PEC；(2)求二面角D－BE－A的余弦值．(1)证明∵F，G分别是BC，BP的中点，∴FG∥CP，且FG⊄平面PEC，CP⊂平面PEC，则FG∥平面PEC，BG＝PG＝AE＝1，且AE∥BP，AE⊥EP，∴四边形AEPG是矩形，则EP∥AG，且AG⊄平面PEC，EP⊂平面PEC，则AG∥平面PEC，又GA∩GF＝G，GA，GF⊂平面AFG，故平面AFG∥平面PEC.(2)解∵平面ABCD⊥平面ABPE，∴AD⊥平面ABPE，则AD⊥BE，过A作AM⊥BE于M，连接DM，如图．又AM∩AD＝A，AM，AD⊂平面AMD，则BE⊥平面AMD，又DM⊂平面AMD，则BE⊥DM，则∠AMD即为二面角D－BE－A的平面角，由(1)知AG＝EP＝3，则AB＝(3)2＋12＝2，∠ABP ＝60°，∠BAE ＝120°，BE ＝EP 2＋BP 2＝(3)2＋22＝7，在△ABE 中，由面积公式知AM ＝AE ·AB sin ∠BAE BE ＝1×2×327＝217，在Rt △AMD 中，AD ＝1，DM＝707，因此cos ∠AMD ＝AM DM ＝217707＝3010，即二面角D －BE －A 的余弦值为3010.教师备选如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 在线段CD 1上，CE ＝2ED 1，点F 为线段AB 上的动点，AF ＝λFB ，且EF ∥平面ADD 1A 1.(1)求λ的值；(2)求二面角E －DF －C 的余弦值．解(1)过E 作EG ⊥D 1D 于G ，连接GA ，如图．则EG ∥CD ，而CD ∥FA ，所以EG ∥FA .因为EF ∥平面ADD 1A 1，EF ⊂平面EFAG ，平面EGAF ∩平面ADD 1A 1＝GA ，所以EF ∥GA ，所以四边形EGAF 是平行四边形，所以GE ＝AF .因为CE ＝2ED 1，所以GE DC ＝D 1E D 1C ＝13.所以AF AB ＝13，即AF FB ＝12，所以λ＝12.(2)过E 作EH ⊥CD 于H ，过H 作HM ⊥DF 于M ，连接EM ，如图．因为平面CDD 1C 1⊥平面ABCD ，EH ⊥CD ，所以EH ⊥平面ABCD .因为DF ⊂平面ABCD ，所以EH ⊥DF .又HM ⊥DF ，HM ∩EH ＝H ，HM ，EH ⊂平面EMH ，所以DF ⊥平面EMH .因为EM ⊂平面EMH ，所以DF ⊥EM .所以∠EMH 是二面角E －DF －C 的平面角．设正方体的棱长为3a ，则EH ＝2a .在Rt △DHF 中，DH ＝a ，HF ＝3a ，DF ＝10a ，所以HM ＝DH ·HF DF ＝a ×3a 10a＝310a .在Rt △EHM 中，求得EM ＝EH 2＋HM 2＝710a ，所以cos ∠EMH ＝HM EM ＝37，所以二面角E －DF －C 的余弦值为37.思维升华作二面角的平面角的方法作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．跟踪训练3如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△PBC 为正三角形，M ，N 分别为PD ，BC 的中点，PN ⊥AB .(1)求三棱锥P －AMN 的体积；(2)求二面角M －AN －D 的正切值．解(1)∵PB ＝PC ，∴PN ⊥BC ，又∵PN ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABCD ，∴PN ⊥平面ABCD ，∵AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2，∴PN ＝3，M 为PD 的中点，V P －AMN ＝V D －AMN ＝V M －ADN ，∴V P －AMN ＝12V P －ADN ＝14V P －ABCD ＝14×13×4×3＝33.(2)如图，取DN 的中点E ，连接ME ，∵M ，E 分别为PD ，DN 的中点，∴ME ∥PN ，∵PN ⊥平面ABCD ，∴ME ⊥平面ABCD ，过E 作EQ ⊥AN ，连接MQ ，又ME ⊥AN ，EQ ∩ME ＝E ，EQ ，ME ⊂平面MEQ ，∴AN ⊥平面MEQ ，∴AN ⊥MQ ，∠MQE 即为二面角M －AN －D 的平面角，∴tan ∠MQE ＝ME QE，∵PN ＝3，∴ME ＝32，∵AN ＝DN ＝5，AD ＝2，∴QE＝25 5，∴tan∠MQE＝15 4 .即该二面角的正切值为154.课时精练1.(2020·新高考全国Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°答案B解析如图所示，⊙O为赤道平面，⊙O1为A点处的日晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的面垂直，则晷针AC与水平面所成角为40°.2.如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，其中AC＝3，PA＝4，BC ＝5，则PB与平面PAC所成角的正弦值为()A.22B.12C.32D.175答案A 解析根据题意，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，则BC ⊥AC ，又由PA ⊥圆O 所在平面，则PA ⊥BC ，因为PA ∩AC ＝A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，则BC ⊥平面PAC ，故∠BPC 是PB 与平面PAC 所成的角，在△ACB 中，AC ＝3，BC ＝5，AC ⊥BC ，则AB ＝AC 2＋BC 2＝34，在△PAB 中，AB ＝34，PA ＝4，PA ⊥AB ，则PB ＝PA 2＋AB 2＝52，在Rt △PCB 中，BC ＝5，PB ＝52，则sin ∠BPC ＝BC PB ＝22.3．(2022·哈尔滨模拟)已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为()A.32 B.155C.105D.33答案C解析如图所示，补成直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，则所求角为∠BC 1D ，∵BC 1＝2，BD ＝22＋1－2×2×1×cos 60°＝3，C 1D ＝AB 1＝5，易得C 1D 2＝BD 2＋BC 21，即BC 1⊥BD ，因此cos ∠BC 1D ＝BC 1C 1D ＝25＝105.4．在正四面体P －ABC 中，点M 是棱BC 上的动点(包含端点)，记异面直线PM 与AB 所成的角为α，直线PM 与平面ABC 所成的角为β，则()A ．α>βB ．α<βC ．α≥βD ．α≤β答案C解析根据题意，如图，作PO⊥底面ABC，连接OM，则∠PMO是直线PM与平面ABC所成的角，即∠PMO＝β，过点M作l平行于AB，过点P作PN⊥l，与l交于点N，∠PMN是直线PM与AB所成的角，即∠PMN＝α，在Rt△POM和Rt△PMN中，有PN≥PO，则sinα≥sinβ，则α≥β.5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法不正确的是()A．A1C1⊥BDB．A1C⊥BDC．B1C与BD所成的角为60°D．AC1与平面ABCD所成的角为45°答案D解析对于A，如图，由正方体性质可知B1D1⊥A1C1，又因为BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以A1C1⊥BD，故选项A正确；对于B，如图，由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1可得CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，由选项A 可知A 1C 1⊥BD ，又A 1C 1∩CC 1＝C 1，A 1C 1，CC 1⊂平面A 1C 1C ，所以BD ⊥平面A 1C 1C ，因为A 1C ⊂平面A 1C 1C ，所以BD ⊥A 1C ，故选项B 正确；对于C ，如图，由选项A 可知BD ∥B 1D 1，所以∠CB 1D 1为直线B 1C 与直线BD 所成的角，由正方体性质可知△B 1CD 1为正三角形，所以∠CB 1D 1＝60°，故选项C 正确；对于D ，如图，由CC 1⊥平面ABCD ，所以∠C 1AC 为直线AC 1与平面ABCD 所成的角，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ＝2CC 1，tan ∠CAC 1＝CC 1AC ＝22，所以∠CAC 1≠45°，故选项D 错误．6.如图，已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB ⊥CD ，若平面SAD ∩平面SBC ＝l ，以下四个结论中正确的是()①AD∥平面SBC；②l∥AD；③若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积；④l与平面SCD所成的角为45°.A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④答案B解析已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，所以四边形ACBD是正方形．所以AD∥BC，又BC⊂平面SBC，AD⊄平面SBC，所以AD∥平面SBC，①正确；因为AD∥平面SBC，平面SAD∩平面SBC＝l，AD⊂平面SAD，所以l∥AD，②正确；若E是底面圆周上的动点，当∠ASB≤90°时，△SAE的最大面积等于△SAB的面积，当∠ASB>90°时，△SAE的最大面积等于两条母线的夹角为90°的截面三角形的面积，③不正确；因为l∥AD，l与平面SCD所成的角就是AD与平面SCD所成的角，即∠ADO＝45°，④正确．7．在正四棱锥P－ABCD中，底面边长为2，四棱锥的体积为43，则二面角P－AB－C的大小为________．答案45°解析如图，连接AC，BD交于点E，依题意，PE⊥平面ABCD，取AB 的中点F ，连接FE ，FP ，易知AB ⊥EF ，AB ⊥PF ，则∠PFE 为二面角P －AB －C 的平面角，又V P －ABCD ＝13×2×2×PE ＝43，故PE ＝1，∴PE ＝EF ＝1，∴△PEF 为等腰直角三角形，∴∠PFE ＝45°.8．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，SA ⊥平面ABC ，且SA ＝2，则AB 与平面SBC 所成角的正弦值为________.答案217解析如图，取BC 的中点D ，连接AD ，SD ，过A 作AO ⊥SD ，交SD 于点O ，连接OB ，∵在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，SA ⊥平面ABC ，且SA ＝2，∴AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，SA ⊥AD ，∵AD ∩SD ＝D ，AD ，SD ⊂平面SAD ，∴BC ⊥平面SAD ，∴BC ⊥AO ，AD ＝4－1＝3，SD ＝4＋4－1＝7，∵12×SA ×AD ＝12×SD ×AO ，∴AO ＝2×37＝2217，∵AO ⊥SD ，SD ∩BC ＝D ，SD ，BC ⊂平面SBC ，∴AO ⊥平面SBC ，∴∠ABO 是AB 与平面SBC 所成的角，∴AB 与平面SBC 所成角的正弦值为sin ∠ABO ＝AO AB ＝22172＝217.9.如图，已知在三棱锥A －BCD 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB ⊥AD ，BC ⊥AC ，BD ＝3，AD＝1，AC ＝BC ，M 为线段AB 的中点．(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)求异面直线MD 与BC 所成角的余弦值；(3)求直线MD 与平面ACD 所成角的余弦值．(1)证明∵平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABD ，∴AD ⊥平面ABC ，∴AD ⊥BC ，又AC ⊥BC ，AD ∩AC ＝A ，AD ，AC ⊂平面ACD ，∴BC ⊥平面ACD .(2)解如图，取AC 的中点N ，连接MN ，DN ，∵M 是AB 的中点，∴MN ∥BC ，∴∠NMD (或其补角)为异面直线MD 与BC 所成的角，由(1)知BC ⊥平面ACD ，∴MN ⊥平面ACD ，MN ⊥ND ，∵BD ＝3，AD ＝1，AB ⊥AD ，∴AB ＝22，又∵AC ＝BC ，AC ⊥BC ，∴AC ＝BC ＝2，在Rt △MND 中，MN ＝12BC ＝1，MD ＝AD 2＋AM 2＝3，∴cos ∠NMD ＝MN MD ＝33，即异面直线MD 与BC 所成角的余弦值为33.(3)解由(2)知∠MDN 为直线MD 与平面ACD 所成的角，在Rt △MND 中，ND ＝MD 2－MN 2＝2，∴cos ∠MDN ＝ND MD ＝23＝63，即直线MD 与平面ACD 所成角的余弦值为63.10.如图，在三棱锥A －BCD 中，△ABD 为等边三角形，BC ＝BD ，平面ABD ⊥平面BCD 且BA ⊥BC .(1)求证：BC ⊥AD ；(2)求二面角A －CD －B 的正切值．(1)证明如图，取BD 的中点E ，连接AE ，则AE ⊥BD ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AE ⊂平面ABD ，则AE ⊥平面BCD ，所以AE ⊥BC ，又因为AB ⊥BC ，AB ∩AE ＝A ，AB ，AE ⊂平面ABD ，则BC ⊥平面ABD ，因为AD ⊂平面ABD ，则BC ⊥AD .(2)解如图，过点E 作EF ⊥CD 交CD 于点F ，连接AF ，由(1)知AE ⊥CD ，AE ∩EF ＝E ，AE ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ，因为AF ⊂平面AEF ，则CD ⊥AF ，所以∠AFE 为二面角A －CD －B 的平面角．因为△ABD 为等边三角形，设BD ＝2，则AE ＝3，EF ＝22，则tan ∠AFE ＝AE EF ＝322＝ 6.所以二面角A －CD －B 的正切值为 6.11．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，异面直线AB 与A 1C 所成角的大小为π3，则该长方体的侧面积与表面积的比值是()A.4－227 B.4－24C.8－227D.4－28答案C解析如图，连接B 1C ，因为AB ∥A 1B 1，所以∠B 1A 1C 是异面直线AB 与A 1C 所成的角，即∠B 1A 1C ＝π3.设AB ＝x ，AA 1＝y ，在△A 1B 1C 中，B 1C 2＝x 2＋y 2，A 1C 2＝2x 2＋y 2，则cos ∠B 1A 1C ＝x 2＋2x 2＋y 2－(x 2＋y 2)2x ·2x 2＋y 2＝12，整理得y ＝2x ，从而该长方体的侧面积S 1＝4xy ＝42x 2，该长方体的表面积S 2＝4xy ＋2x 2＝(42＋2)x 2，故S 1S 2＝42x 2(42＋2)x 2＝8－227.12．已知正四面体A －BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，点F 在线段BC 上，则下面四个命题中：①∃F ∈BC ，EF ∥AC ；②∀F ∈BC ，EF ≤3；③∃F ∈BC ，EF 与AD 不垂直；④∀F ∈BC ，直线EF 与平面BCD 夹角正弦的最大值为33.所有不正确的命题序号为________．答案①③解析如图，对∀F ∈BC ，EF 与AC 异面或相交，故①错误；当点F 为BC 的中点时，EF 为异面直线AD 和BC 的公垂线段，此时EF 取得最小值，当F 与B ，C 重合时，EF 取得最大值3，故②正确；因为AD ⊥BE ，AD ⊥CE ，BE ∩CE ＝E ，所以AD ⊥平面BEC ，故AD ⊥EF ，故③错误；因为E 到平面BCD 的距离为定值d ，设直线EF 与平面BCD 的夹角为θ，则sin θ＝d EF，当F 为BC 的中点时，易知EF 为异面直线AD 和BC 的公垂线段，此时EF 取得最小值，sin θ＝dEF有最大值，此时DF ＝3，DE ＝1，故EF ＝3－1＝2，在Rt △EFD 中，EF ·DE ＝DF ·d ，解得d ＝63，所以sin θ＝d EF ＝33，故④正确．13．在三棱锥S －ABC 中，底面△ABC 是边长为3的等边三角形，SA ＝3，SB ＝23，二面角S －AB －C 的大小为60°，则此三棱锥的外接球的表面积为________．答案13π解析根据题意，SA 2＋AB 2＝SB 2，所以SA ⊥AB ，取AB 的中点为D ，SB 的中点为M ，连接MD ，则MD ∥SA ，MD ＝12SA ＝32，MD ⊥AB ，△ABC 是正三角形，CD ⊥AB ，∠MDC 是二面角S －AB －C 的平面角，∠MDC ＝60°，∠SAB ＝90°，M 是△SAB 的外心，设N 在CD 上，CN ＝2ND ，N 是△ABC 的外心，设过M 与平面SAB 垂直的直线与过N 垂直于平面ABC 的直线交于点O ，则O 是三棱锥S －ABC 外接球的球心．连接OB ，BN ，CN ＝BN ＝33×3＝3，DN ＝32，又DM ＝32，在四边形MDNO 中，ON ＝12，外接球半径为r ＝OB ＝BN 2＋NO 2＝3＋14＝132，表面积为S ＝4π132＝13π.14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，使折起后平面ADE ⊥平面ABCE ，则异面直线AE 和CD 所成角的余弦值为________．答案63解析由题意，取AB 的中点F ，连接CF ，DF ，则CF ∥AE ，可得直线AE 和CD 所成的角为∠DCF (或其补角)，如图，取AE 的中点M ，连接DM ，MF ，MC ，∵AD ＝DE ，∴DM ⊥AE ，又平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE ∩平面ABCE ＝AE ，DM ⊂平面ADE ，∴DM ⊥平面ABCE ，∴DM ⊥MF ，且AM＝DM＝2 2，结合平面图形可得FM＝2 2，∴DF＝DM2＋MF2＝1，CF＝2，又MC2＝5 2，∴DC2＝DM2＋MC2＝3，∴在△DFC中，DC2＝DF2＋FC2，∴△DFC是直角三角形且DF⊥FC，可得cos∠DCF＝23＝63.15.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为3＋3，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是()A．与AB所成的角是60°的棱共有8条B．AB与平面BCD所成的角为30°C．二面角A－BC－D的余弦值为33D．经过A，B，C，D四个顶点的球面面积为2π答案D解析补全该半正多面体得到一个正方体，如图．设正方体的棱长为a，由题意可知，该半正多面体的表面由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，则由半正多面体的表面积为3＋3，所以8×34×＋6＝3＋3，解得a ＝1，对于A ，在与AB 相交的6条棱中，与AB 所成的角是60°的棱有4条，在这4条棱中，每一条棱都有3条平行的棱，故与AB 所成的角是60°的棱共有16条，故选项A 错误；对于B ，因为AE ⊥平面BCD ，所以AB 与平面BCD 所成的角为∠ABE ＝45°，故选项B 错误；对于C ，取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，则AF ⊥BC ，EF ⊥BC ，所以二面角A －BC －D 的补角为∠AFE ，二面角A －BC －D 的余弦值为－cos ∠AFE ，在Rt △AEF 中，AE ＝12，EF ＝24，AE ⊥EF ，所以AF ＝AE 2＋EF 2＝14＋18＝64，则cos ∠AFE ＝EF AF ＝33，故－cos ∠AFE ＝－33，故选项C 错误；对于D ，由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，其对称中心为正方体体对角线的中点O ，点O 在平面ABE 内的射影为O 1，如图．则OO 1＝12，AO 1＝12，所以AO ＝OO 21＋AO 21＝22，故经过点A ，B ，C ，D 四个顶点的球的半径为22，所以球面面积为4π＝2π，故选项D 正确．16.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为四边形，△ABD 是边长为2的正三角形，BC ⊥CD ，BC ＝CD ，PD ⊥AB ，平面PBD ⊥平面ABCD .(1)求证：PD ⊥平面ABCD ；(2)若二面角C －PB －D 的平面角的余弦值为66PD 的长．(1)证明如图所示，E 为BD 的中点，连接AE ，△ABD 是正三角形，则AE ⊥BD .又平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，AE ⊂平面ABCD ，故AE ⊥平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，故AE ⊥PD .又PD ⊥AB ，AE ∩AB ＝A ，AE ，AB ⊂平面ABCD ，故PD ⊥平面ABCD .(2)解如图所示，过点E 作EF ⊥PB 于点F ，连接CF .因为BC ⊥CD ，BC ＝CD ，E 为BD 的中点，故EC ⊥BD ，又EC ⊥PD ，BD ∩PD ＝D ，所以EC ⊥平面PBD ，所以EC ⊥PB ，又EF ⊥PB ，EC ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面EFC ，CF ⊥PB ，故∠EFC 为二面角C －PB －D 的平面角．cos ∠EFC ＝66，故tan ∠EFC ＝5，EC ＝1，故EF ＝55.sin∠PBD＝EFEB＝55，tan∠PBD＝12，即PDBD＝12，所以PD＝1.。

2023年高考数学----空间角问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的． （3）计算：在证明的基础上计算得出结果． 简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式θ=sin hl，其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°． 4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【典型例题】例19．（2022·浙江金华·高三期末）已知正方体1111ABCD A B C D −中，P 为1ACD △内一点，且1113PB D ACD S S =△△，设直线PD 与11AC 所成的角为θ，则cos θ的取值范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎤⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】如图1，设1B D 与平面1ACD 相交于点E ，连接BD 交AC 于点O ，连接11B D ， ∵1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1BB AC ⊥，AC BD ⊥，1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面11BDD B∴AC ⊥平面11BDD B ，由1B D ⊂平面11BDD B ，则1AC B D ⊥， 同理可证：11AD B D ⊥， 1AD AC A =，1,AD AC ⊂平面1ACD ，∴1B D ⊥平面1ACD ，∵111111AC AD CD AB B D B C =====，由正三棱锥的性质可得：E 为1ACD △的中心， 连接1OD ，∵O 为AC 的中点，∴1OD 交1B D 于点E ，连接PE ，由1B D ⊥平面1ACD ，PE ⊂平面1ACD ，则1B D PE ⊥，即PE 是1PB D 的高，设AB a =，PE d =，则1,B D AC =，且1ACD △的内切圆半径r OE ==，则1112PB D S B D PE =⋅=△，))1212ACD S =⨯=△，∵1113PB DACD S S =△△213=，则13d a r =<， ∴点P 的轨迹是以E 为圆心，13a 为半径的圆.∵1B D ⊥平面1ACD ，1OD ⊂平面1ACD ，则11B D OD ⊥，∴DE ， 故PD 为底面半径为13a，高为=DE 的圆锥的母线，如图2所示，设圆锥的母线与底面所成的角α，则3tan 13a α== 所以π3α=，即直线PD 与平面1ACD 所成的角为π3. 直线AC 在平面1ACD 内，所以直线PD 与直线AC 所成角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为11AC AC ∥，所以直线PD 与直线11AC 所成角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以10cos 2θ≤≤. 故选：C.例20．（2022·浙江·效实中学模拟预测）在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB AD CD BC ===，AC 交BD 于O 点，ABD △沿着直线BD 翻折成1A BD ，所成二面角1A BD C −−的大小为θ，则下列选项中错误的是（ ）A ．1A BC θ∠≤B ．1AOC θ∠≥ C ．1A DC θ∠≤ D ．11A BC A DC θ∠+∠≥【答案】C【解析】等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB AD CD BC ===,可知：30,ACB ACD BD DC ∠=∠=⊥取BD 中点N ,BC 中点M 连接1,A N NM ,则1A N BD ⊥，NM BC ⊥,所以1A NM ∠为 二面角1A BD C −−的平面角，即1A NM θ∠=设122AB AD CD BC ====，则1111,1,2,2A N MN A B A D ==== 2222211111111cos 1222A N NM A M A M A M A N NM θ+−+−∴===−⋅,2222222111111221cos 122228A B BM A M A M A BC A M A B BM +−+−∴∠===−⋅⨯⨯,因为在[]0,π上余弦函数单调递减，又2211111111cos cos 82A M A M A BC A BC θθ−≥−⇒∠≥⇒∠≤，故A 对. 2222222111111221cos 122228A D DC AC AC A DC AC A D CD +−+−∴∠===−⋅⨯⨯222122221111153cos 2416AC AO OC AC AOC AC AO OC +−+−∴∠===−⋅ 当0θ=时,1A 与M 重合,此时160A DC ∠=,故C 不对. 1A DC ∠在翻折的过程中，角度从120减少到60 1AOC ∠在翻折的过程中，角度从180减少到30BD 选项根据图形特征及空间关系，可知正确.. 故选:C例21．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）如图，ABC 中，90C ∠=︒，1AC =，BC D 为AB 边上的中点，点M 在线段BD （不含端点）上，将BCM 沿CM 向上折起至'B CM △，设平面'B CM 与平面ACM 所成锐二面角为α，直线'MB 与平面AMC 所成角为β，直线MC 与平面'B CA 所成角为γ，则在翻折过程中，下列三个命题中正确的是（ ）①tan βα，②γβ≤，③γα>. A ．① B ．①② C ．②③ D ．①③【答案】B 【解析】如图，设直线BN 与直线CM 垂直相交于点N ，在折叠图里，线段B T '与平面ACM 垂直相交于点T ，,(0,30)BCM θθ∠=∈，由图像知：;B NT B MT αβ''∠=∠=，B N BN θ=='， ()sin ;/sin 30B T B M θαθθ=*='︒+'，cos NT θα*，()tan 60MN θθ=*︒−，()()2sin 30CM θ=︒+，①tan β==，tan β=≤≤，所以tan βα；② ()Δ1sin 902ACM S CM CA θ=*︒−= 设ACB δ∠'=，则()()()2cos cos cos 90sin sin 90cos cos 0.5sin2δθθθθααθ=*︒−+*︒−=*，Δsin ACB S δ'== 由ΔΔ1133ACM M ACB ACB B T S d S −''**=**'，得M ACB d −'=()sin sin 30sin M ACB d B TMC B M γβθα'−====︒+*''，则()()sin sin 2tan 21sin 2sin 30cos 22sin 30γθθβθθθ=≤=≤︒+︒+， 由sin sin γβ≤得γβ≤； ③sin sin sin γγα=⇒，则sin sin 2tan 2sin 2cos 22γθθαθ≤=<sin γα<，所以sin sin γα<，则γα<.故选：B例22．（2022·浙江·高三专题练习）已知等边ABC ，点,E F 分别是边,AB AC 上的动点，且满足EF BC ∥，将AEF △沿着EF 翻折至P 点处，如图所示，记二面角P EF B −−的平面角为α，二面角P FC B −−的平面角为β，直线PF 与平面EFCB 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．αγβ≥≥C ．βαγ≥≥D ．βγα≥≥【答案】A【解析】在等边ABC 中，取BC 边中点D ，连接AD ，交EF 于O ，连接PO ， 则,EF PO EF DO ⊥⊥，=PO DO O ⋂，PO ⊂平面POD ，DO ⊂平面POD 故EF ⊥平面POD ，又EF ⊂平面EFCB ，则平面POD ⊥平面EFCB 在POD 中，过P 做PM 垂直于OD 于M ，则PM ⊥平面EFCB ，连接MF ， 在等边ABC 中，过M 做MN 垂直于AC 于N ，连接PN.由,EF PO EF DO ⊥⊥，则POM ∠为二面角P EF B −−的平面角即POM α∠=， 由PM ⊥平面EFCB ，MN AC ⊥，则PNM ∠为二面角P FC B −−的平面角即PNM β?由PM ⊥平面EFCB ，则PFM ∠直线PF 与平面EFCB 所成角，即PFM γ?，设AO ，则PO ，=FO a ，sin PM α，cos MO αFM ，)1=cos (1cos )2MN αα+=+， 则有FM OM >，FM NM >由cos MO MN α-(1cos )(cos 1)0αα-+=-<可得MO MN <，则有FM MN OM >>，则111FM MN OM<< 又tan tan ,tan PM PM PMOM NM FMαβγ，=== 故tan tan tan αβγ>>，又0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、、故αβγ>> 故选：A例23．（2022·全国·高三专题练习）设三棱锥V ABC −的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B −−的平面角是γ则三个角α，β，γ中最小的角是（ ） A ．α B ．β C ．γD ．不能确定【答案】B【解析】如图，取BC 的中点 D ，作VO ⊥平面ABC 于点O ， 由题意知点O 在AD 上，且AO =2OD .作PE //AC ，PE 交VC 于点E ，作PF ⊥AD 于点F ，连接BF ，则PF ⊥平面ABC 取AC 的中点M ，连接BM ，VM ，VM 交 PE 于点H ， 连接BH ，易知BH ⊥PE ， 作于点G ，连接FG ，由PG ⊥AC ，PF ⊥AC ，PG PF =P ，由线面垂直判定定理可得AC ⊥平面PGF ，又FG ⊂平面PGF ∴ FG ⊥AC , 作FN ⊥BM 于点N . ∵ PG ∥VM ，PF ∥VN∴ 平面PGF ∥平面VMB ， 又 PH ∥FN , 四边形PFNH 为平行四边形， 所以PH =FN因此，直线PB 与直线AC 所成的角=BPE α∠， 直线PB 与平面ABC 所成的角PBF β=∠， 二面角P -AC -B 的平面角PGF γ=∠， 又cos cos PH FN BFPB PB PBαβ==<=又,[0,]2παβ∈，∴ αβ> 因为 tan =tan PF PFGF BF γβ>= ,(0,)2πβγ∈∴ γβ>综上所述，,,αβγ中最小角为β，故选 B.。

2009届一轮复习关于求空间的角的问题高考要求:空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想. 重难点归纳:空间角的计算步骤:一作、二证、三算 1.异面直线所成的角范围:0°＜θ≤90° 方法:①平移法；②补形法.2.直线与平面所成的角范围:0°≤θ≤90° 方法:关键是作垂线，找射影.3.二面角方法:①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法. 注1:二面角的计算也可利用射影面积公式S ′=S cos θ来计算. 注2:借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果. 典型题例示范讲解:例1在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点. (1)求证:四边形B ′EDF 是菱形； (2)求直线A ′C 与DE 所成的角；(3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角；(4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角.命题意图:本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强.知识依托:平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角.错解分析:对于第(1)问，若仅由B ′E =ED =DF =FB ′就断定B ′EDF 是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B ′、E 、D 、F 四点共面.技巧与方法:求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.(1)证明:如上图所示，由勾股定理，得B ′E =ED =DF =FB ′=25a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A ′G 、EG ，由EGAB A ′B ′知，B ′EGA ′是平行四边形.∴B ′E ∥A ′G ,又A ′ F.DG ,∴A ′GDF 为平行四边形.∴A ′G ∥FD ，∴B ′、E 、D 、F 四点共面 故四边形B ′EDF 是菱形. (2)解:如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ，则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角. 在△A ′CP 中，易得A ′C =3a ，CP =DE =25a ,A ′P =213a 由余弦定理得cos A ′CP =1515故A ′C 与DE 所成角为arccos1515. 另法（向量法）:如图建立坐标系，则(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2aA a C a a D a E a '(,,),(,,0)2aA C a a a DE a '⇒=-=-15cos ,15||||A C DE A C DE A C DE ''⇒<>==' 故A ′C 与DE 所成角为arccos1515. (3)解:∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上.如下图所示. 又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′在Rt △B ′AD 中，AD =2a ，AB ′=2a ,B ′D =2a则cos ADB ′=33故AD 与平面B ′EDF 所成的角是arccos33. 另法（向量法）:∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上.如下图所示. 又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′， 如图建立坐标系，则(0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a '(0,,0),(,,)DA a DB a a a '⇒=-=- 3cos ,3||||DA DB DA DB DA DB ''⇒<>=='， 故AD 与平面B ′EDF 所成的角是arccos33. (4)解:如图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心. 作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心，再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ，故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角.在Rt △DOE 中，OE =22a ,OD =23a ,斜边DE =25a , 则由面积关系得OM =1030=⋅DE OE OD aB在Rt △OHM 中，sin OMH =630=OM OH 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为arcsin 630. 另法（向量法）:如图建立坐标系，则(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,,0)2aA A aB a a D a E a ''，所以面ABCD 的法向量为:(0,0,),m AA a '== 下面求面B ′EDF 的法向量n : 设(1,,)n y z =，由(,,0),(0,,),22a aED a EB a '=-=- 00221002a a y nED y a z nED y az ⎧-+=⎪⎧==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⎩⎪⎪⎩-+=⎪⎩∴(1,2,1)n =.∴6cos ,||||6n m n m n m <>==. 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为 例2如下图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA 1长为b ,且AA 1与AB 、AD 的夹角都是120°.求:(1)AC 1的长；(2)直线BD 1与AC 所成的角的余弦值.命题意图:本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题. 知识依托:向量的加、减及向量的数量积. 错解分析:注意＜AB AA ,1＞=＜1AA ,＞=120°而不是60°,＜,＞=90°.技巧与方法:数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用. 解：211111(1)||()()AC AC AC AA AC AA AC =⋅=++ 11()()AA AB AD AA AB AD =++++222111||||||222AA AB AD AA AB AA AD AB AD =+++⋅+⋅+⋅11222221:||,||||AA b AB AD a ===由已知得11,,120,,90AA AB AA AD AB AD <>=<>=︒<>=︒1111cos120,cos120,022AA AB b a ab AA AD b a ab AB AD ∴⋅=⋅︒=-⋅=⋅︒=-⋅=22211||22,||AC a b ab AC ∴=+-∴=11112211(2),||2,()()AC a AC AB AD BD AD BA AA AD AB AC BD AB AD AA AD AB AB AA AD AA AB AD AD AB ==+=+=+-∴⋅=++-=⋅+⋅+⋅+-依题意得21111122222111||()()||||||2222AB AD ab BD BD BD AA AD AB AA AD AB AA AD AB AA AD AB AD AA AB a b -⋅=-=⋅=+-+-=+++⋅-⋅-⋅=+2212||b a BD +=∴ 2211124||||,cos b a b AC BD BD +-=>=<∴BD 1与AC 所成角的余弦值为2224ba b +.例3如图，l αβ--为60°的二面角，等腰直角三角形MPN 的直角顶点P 在l 上，M ∈α,N ∈β,且MP 与β所成的角等于NP 与α所成的角.(1)求证:MN 分别与α、β所成角相等； (2)求MN 与β所成角.(1)证明:作NA ⊥α于A ，MB ⊥β于B ,连接AP 、PB 、BN 、AM ，再作AC ⊥l 于C ，BD ⊥l 于D ，连接NC 、MD.∵NA ⊥α,MB ⊥β,∴∠MPB 、∠NPA 分别是MP 与β所成角及NP 与α所成角，∠MNB ，∠NMA 分别是MN 与β,α所成角，∴∠MPB =∠NPA .在Rt △MPB 与Rt △NPA 中，PM =PN ，∠MPB =∠NPA ，∴△MPB ≌△NPA ，∴MB =NA .在Rt △MNB 与Rt △NMA 中，MB =NA ，MN 是公共边，∴△MNB ≌△NMA ，∴∠MNB =∠NMA ，即(1)结论成立.(2)解:设∠MNB =θ,MN =2a ,则PB =PN =a ,MB =NA =2a sin θ，NB =2a cos θ, ∵MB ⊥β,BD ⊥l ,∴MD ⊥l ,∴∠MDB 是二面角α—l —β的平面角， ∴∠MDB =60°，同理∠NCA =60°,∴BD =AC =3633=MB a sin θ,CN =DM =63260sin 6=︒MB a sin θ, ∵MB ⊥β，MP ⊥PN ，∴BP ⊥PN∵∠BPN =90°,∠DPB =∠CNP ,∴△BPD ∽△PNC ,∴PBBDPN PC =a =即=整理得，16sin 4θ－16sin 2θ+3=0解得sin 2θ=4341或,sin θ=2321或，当sin θ=23时，CN =632a sin θ=.2a ＞PN 不合理，舍去. ∴sin θ=21,∴MN 与β所成角为30°. 另法（向量法）:如图设α的法向量为n ，β的法向量为m ，模均为1，由题意0,60n m <>=，,,n PN m PM <>=<>，0,90,PN PM <>=设||||PN PM a ==， 则，12n m =，n PN m PM n PN m PM ==或－，0,PN PM = 且0m PN n PM ==cos ,||||||||||MN n MN n PN n PM n PN nMN n MN n MN MN MN -<>====cos ,||||||||||MN m MN m PN m PM m PM mMN m MN m MN MN MN --<>====所以cos ,MN n <>＝cos ,MN m <> 或cos ,MN n <>＝－cos ,MN m <>所以，MN 分别与α、β所成角相等.学生巩固练习:1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是( )A6πB4πC3πD2π2.设△ABC 和△DBC 所在两平面互相垂直，且AB =BC =BD =a ,∠CBA =∠CBD =120°,则AD 与平面BCD 所成的角为( )A 30°B 45°C 60°D 75°3.已知∠AOB =90°,过O 点引∠AOB 所在平面的斜线OC ，与OA 、OB 分别成45°、60°，则以OC 为棱的二面角A —OC —B 的余弦值等于______.4.正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_________.5.已知四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ABC =90°,PA⊥平面AC ，且PA =AD =AB =1,BC =2(1)求PC 的长；(2)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小； (3)求证:二面角B —PC —D 为直二面角.6.设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =120°，求:(1)直线AD 与平面BCD 所成角的大小； (2)异面直线AD 与BC 所成的角；(3)二面角A —BD —C 的大小.7.一副三角板拼成一个四边形ABCD ，如图，然后将它沿BC 折成直二面角.(1)求证:平面ABD ⊥平面ACD ； (2)求AD 与BC 所成的角；(3)求二面角A —BD —C 的大小.参考答案:1.解析:(特殊位置法)将P 点取为A 1，作OE ⊥AD 于E ，连结A 1E ，则A 1E 为OA 1的射影，又AM ⊥A 1E ，∴AM ⊥OA 1，即AM 与OP 成90°角.答案:D2.解析:作AO ⊥CB 的延长线，连OD ，则OD 即为AD 在平面BCD 上的射影，∵AO =OD =23a ,∴∠ADO =45°. 答案:B3.解析:在OC 上取一点C ，使OC =1，过C 分别作CA ⊥OC 交OA 于A ，CB ⊥OC 交OB 于B ，则AC =1，，OA =2，BC =3，OB =2，Rt △AOB 中，AB 2=6，△ABC 中，由余弦定理，得cos ACB =－33.答案:－33 4.解析:设一个侧面面积为S 1，底面面积为S ，则这个侧面在底面上射影的面积为3S ，由题设得321=S S ，设侧面与底面所成二面角为θ,则cos θ=2133111==S S S S,∴θ=60°. 答案:60°5. (1)解:因为PA ⊥平面AC ，AB ⊥BC ,∴PB ⊥BC ,即∠PBC =90°,由勾股定理得PB =222=+AB PA .∴PC =622=+PC PB .(2)解:如图，过点C 作CE ∥BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC 与BD 所成的角为∠PCE 或它的补角.∵CE =BD =2，且PE =1022=+AE PA ∴由余弦定理得cos PCE =632222-=⋅-+CE PC PE CE PC∴PC 与BD 所成角的余弦值为63.(3）证明:设PB 、PC 中点分别为G 、F ，连结FG 、AG 、DF ，则GF ∥BC ∥AD ，且GF =21BC =1=AD ，从而四边形ADFG 为平行四边形， 又AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥AG ， 即ADFG 为矩形，DF ⊥FG .在△PCD 中，PD =2，CD =2，F 为BC 中点， ∴DF ⊥PC从而DF ⊥平面PBC ，故平面PDC ⊥平面PBC ， 即二面角B —PC —D 为直二面角. 另法（向量法）:(略)6.解:(1)如图，在平面ABC 内，过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，则AH ⊥平面DBC ， ∴∠ADH 即为直线AD 与平面BCD 所成的角:由题设知△AHB ≌△AHD ，则DH ⊥BH ，AH =DH ，∴∠ADH =45°(2)∵BC ⊥DH ，且DH 为AD 在平面BCD 上的射影， ∴BC ⊥AD ，故AD 与BC 所成的角为90°.(3)过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连结AR ，则由三垂线定理知，AR ⊥BD ，故∠ARH 为二面角A —BD —C 的平面角的补角.设BC =a ,则由题设知，AH =DH =2,23aBH a =,在△HDB 中，HR =43a ，∴tan ARH =HR AH=2 故二面角A —BD —C 大小为π－arctan2. 另法（向量法）:(略)7. (1)证明:取BC 中点E ，连结AE ，∵AB =AC ，∴AE ⊥BC∵平面ABC ⊥平面BCD ，∴AE ⊥平面BCD ， ∵BC ⊥CD ，由三垂线定理知AB ⊥CD .又∵AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面BCD ，∵AB ⊂平面ABD . ∴平面ABD ⊥平面ACD .(2)解:在面BCD 内，过D 作DF ∥BC ，过E 作EF ⊥DF ，交DF 于F ，由三垂线定理知A F ⊥DF ，∠ADF 为AD 与BC 所成的角.设AB =m ，则BC =2m ，CE =DF =22m ,CD =EF =36m 321arctan ,321tan 22=∠∴=+==∴ADF DF EF AE DFAFADF即AD 与BC 所成的角为arctan321(3)解:∵AE ⊥面BCD ，过E 作EG ⊥BD 于G ，连结AG ，由三垂线定理知AG ⊥BD ，∴∠AGE 为二面角A —BD —C 的平面角∵∠EBG =30°，BE =22m ,∴EG =42m 又AE =22m ,∴tan AGE =GEAE=2,∴∠AGE =arctan2.即二面角A —BD —C 的大小为arctan2. 另法（向量法）:(略)课前后备注:D。

高三数学知识点：空间角问题知识点总结下面整理了高三数学知识点：空间角问题，希望大家能把觉得有用的知识点摘抄下来，在空余时间进行复习。

一、直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

二、直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为。

②平面的垂线与平面所成的角：规定为。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：一作，二证，三计算。

在作角时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，三、解题技巧在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

(3)二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直;反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角以上就是高三数学知识点：空间角问题，希望能帮助到大家。

空间角问题高三数学知识点空间角问题是高三数学中的重要知识点之一。

在解决空间角问题时，我们需要熟练掌握一系列概念、定理和计算方法。

本文将系统介绍空间角问题的相关内容，包括空间角的定义、分类和性质，以及求解空间角问题的具体方法和技巧。

一、空间角的定义和分类1.1 空间角的定义空间角是在三维空间中由两条射线形成的角。

它可以看作是平面角在立体空间中的推广。

通常用小写的希腊字母表示空间角，如α、β、γ等。

1.2 空间角的分类根据空间角的大小和位置关系，空间角可以分为以下几种类型：1) 零角：两条射线重合，形成的角为零角。

2) 锐角：两条射线夹角小于90度，形成的角为锐角。

3) 直角：两条射线夹角等于90度，形成的角为直角。

4) 钝角：两条射线夹角大于90度但小于180度，形成的角为钝角。

5) 平角：两条射线夹角等于180度，形成的角为平角。

二、空间角的性质空间角具有一系列重要的性质，掌握这些性质有助于我们解决空间角问题。

2.1 垂直性质若两个空间角互为互补角，则它们所对的两条射线垂直。

2.2 同位角性质若两个空间角由相同的两条射线所形成（其中一条射线相互重合），则这两个空间角互为同位角。

同位角具有以下性质：1) 同位角相等：若两个同位角中的一个角为α，则另一个角也为α。

2) 同位角的补角关系：若两个同位角中的一个角为α，则另一个角为180度减α的补角。

2.3 对顶角性质若两个空间角互为对顶角，则它们所对的两条射线互相重合。

三、求解空间角问题的方法和技巧3.1 判断空间角的类型在解决空间角问题时，首先要能够准确地判断空间角的类型。

可以通过观察两条射线的位置关系和夹角的大小来判断空间角是锐角、直角、钝角还是平角。

3.2 应用对顶角和同位角的性质对顶角和同位角的性质在求解空间角问题时经常被应用。

通过利用对顶角和同位角的性质，可以得到空间角的相关信息，进而解决问题。

3.3 运用向量方法在空间角问题的求解中，向量方法也是一种重要的技巧。

6.3.3空间角的计算学习目标 1.会用向量法求线线角、线面角、二面角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角的关系.3.能正确区分平面法向量所成的角与二面角的平面角的关系．导语地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26′.黄道面与地球相交的大圆为“黄道”．黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内．黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”．从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来．一、两条异面直线所成的角知识梳理(1)设两条异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a ，b ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a ||b |.(2)，π2.注意点：，π2，两条异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．例1如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，试求直线EF 和BC 1所成的角．解分别以直线BA ，BC ，BB 1为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设AB ＝1，则B (0,0,0)，0，，0C 1(0,1,1)，所以EF →－12，0BC 1→＝(0,1,1)．于是cos 〈BC 1→，EF →〉＝BC 1→·EF →|BC 1→||EF →|＝1222×2＝12，所以直线EF 和BC 1所成角的大小为60°.反思感悟运用向量法常有两种途径(1)基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基底的方法，在由公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |求向量a ，b 的夹角时，关键是求出a·b 及|a |与|b |，一般是把a ，b 用基向量表示出来，再求有关的量．(2)坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单．跟踪训练1已知四棱锥S －ABCD 的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成的角的余弦值为()A.13 B.23 C.33 D.23答案C 解连接AC ，BD 交于点O ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，设四棱锥S －ABCD 的棱长为2，则A (0，－1,0)，B (1,0,0)，S (0,0,1)，D (－1,0,0)，∴EAE →1SD →＝(－1,0，－1)，∴cos 〈AE →，SD →〉＝AE →·SD →|AE →||SD →|＝－162×2＝－33，故异面直线AE ，SD 所成角的余弦值为33.二、直线与平面所成的角问题直线的方向向量与平面的法向量所成的角是否是直线与平面所成的角？提示不是．知识梳理设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈e ，n 〉|＝|e ·n ||e ||n |.注意点：(1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角．(2)线面角的范围为0，π2.(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．例2如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．(1)证明设PA ＝1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系(如图)．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，又AN ＝14AB ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点，∴0，，0，12，CM →，－1SN →－12，－12，∴CM →·SN →，－1－12，－12，0，∴CM →⊥SN →，∴CM ⊥SN .(2)解由(1)知，NC →－12，1，SN →－12，－12，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，∴CM →·a ＝0，NC →·a ＝0.－y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0.＝2y ，＝－2y .取y ＝1，得a ＝(2,1，－2)．设SN 与平面CMN 所成的角为θ，∵sin θ＝|cos 〈a ，SN →〉|＝|a ·SN →||a ||SN →|＝|－1－12|3×22＝22.∴SN与平面CMN 所成角的大小为π4.反思感悟若直线l 与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：跟踪训练2如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，E ，F 依次为C 1C ，BC 的中点．求A 1B 与平面AEF 所成角的正弦值．解以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，B (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,1,0)，所以A 1B →＝(2,0，－2)，AE →＝(0,2,1)，AF →＝(1,1,0)．设平面AEF 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )，n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，2b ＋c ＝0，a ＋b ＝0，令a ＝1可得n ＝(1，－1,2)．设A 1B 与平面AEF 所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈n ，A 1B →〉|＝|n ·A 1B →||n ||A 1B →|＝36，即A 1B 与平面AEF 所成角的正弦值为36.三、二面角知识梳理将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角，如图，向量n 1⊥α，n 2⊥β，则二面角α－l －β的大小为〈n 1，n 2〉或π－〈n 1，n 2〉，若二面角α－l －β的大小为θ(0≤θ≤π)，则|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|.注意点：(1)求二面角问题转化为两个平面法向量的夹角问题．(2)二面角的范围是[0，π]．例3如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥平面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1－OB 1－D 的余弦值．(1)证明因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ，又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ，因为AC ∩BD ＝O ，AC ，BD ⊂平面ABCD ，所以O 1O ⊥平面ABCD .(2)解因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD ，又O 1O ⊥平面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)，平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)，设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥OB 1→，m ⊥OC 1→，得3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0，取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以m ＝(2,23，－3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝2319＝25719.因为二面角C 1－OB 1－D 为锐二面角，所以二面角C 1－OB 1－D 的余弦值为25719.反思感悟利用向量法求二面角的步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量．(3)求两个法向量的夹角．(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角．(5)确定二面角的大小．跟踪训练3如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A －PB －C 的余弦值．(1)证明由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD .又AP ∩PD ＝P ，AP ，PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD .因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)解在平面PAD 内作PF ⊥AD ，垂足为点F .由(1)可知，AB ⊥平面PAD ，PF ⊂平面PAD ，故AB ⊥PF ，又AD ∩AB ＝A ，AD ，AB ⊂平面ABCD ，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系F －xyz .由(1)及已知可得0，，01，－22，1，PC →－22，1CB →＝(2，0,0)，PA →0AB →＝(0,1,0)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCB 的一个法向量，·PC →＝0，·CB →＝0，1＋y 1－22z 1＝0，0.所以可取n ＝(0，－1，－2)．设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面PAB 的一个法向量，·PA →＝0，·AB →＝0，2－22z 2＝0，0.所以可取m ＝(1,0,1)，则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－23×2＝－33.因为二面角A －PB －C 为钝二面角，所以二面角A －PB －C 的余弦值为－33.1．知识清单：(1)异面直线所成的角．(2)直线与平面所成的角．(3)二面角．2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间角的范围．1．已知向量m ，n 分别是直线l 的方向向量和平面α的法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案A 解析设l 与α所成的角为θ且0°≤θ≤90°，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12.∴θ＝30°.2．(多选)已知二面角α－l －β的两个半平面α与β的法向量分别为a ，b ，若〈a ，b 〉＝π3，则二面角α－l －β的大小可能为()A.π3 B.2π3 C.π6 D.5π6答案AB 解析由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角α－l －β的大小为π3或2π3，故选AB.3．已知在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB 1与ED 1所成角的余弦值为()A.1010 B.105C ．－1010D ．－105答案A 解析因为A (2,2,0)，B 1(2,0,2)，E (0,1,0)，D 1(0,2,2)，所以AB 1→＝(0，－2,2)，ED 1→＝(0,1,2)，所以|AB 1→|＝22，|ED 1→|＝5，AB 1→·ED 1→＝0－2＋4＝2，所以cos 〈AB 1→，ED 1→〉＝AB 1→·ED 1→|AB 1→||ED 1→|＝222×5＝1010，所以AB 1与ED 1所成角的余弦值为1010.4．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________．答案±156解析设a ＝(0，－1,3)，b ＝(2,2,4)，则cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝1010×24＝156，又因为两向量的夹角与二面角相等或互补，所以这个二面角的余弦值为±156.课时对点练1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为()A.π6 B.5π6C.π6或5π6D ．以上均不对答案A解析l 1与l 2，π2，故选A.2．若二面角α－l －β的大小为120°，则平面α与平面β的法向量的夹角为()A ．120°B ．60°C ．120°或60°D ．30°或150°答案C 解析二面角为120°时，其法向量的夹角可能是60°，也可能是120°.3．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为()A.55 B.53C.255 D.35答案A解析不妨设CA ＝CC 1＝2CB ＝2，则AB 1→＝(－2,2,1)，C 1B →＝(0，－2,1)，所以cos 〈AB 1→，C 1B →〉＝AB 1→·C 1B →|AB 1→||C 1B →|＝(－2)×0＋2×(－2)＋1×19×5＝－55.因为直线BC 1与直线AB 1的夹角为锐角，所以所求角的余弦值为55.4．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝4，则BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为()A.13 B.33C.63D.223答案A 解析如图所示，建立空间直角坐标系．则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,4)，B (2,2,0)，B 1(2,2,4)，AC →＝(－2,2,0)，AD 1→＝(－2,0,4)，BB 1→＝(0,0,4)．设平面ACD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AC →＝0，·AD 1→＝0，2x ＋2y ＝0，2x ＋4z ＝0，取n ＝(2,2,1)，设BB 1与平面ACD 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BB 1→〉|＝|n ·BB 1→||n ||BB 1→|＝49×4＝13.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AD ，C 1D 1的中点，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则异面直线MN 与OD 1所成角的余弦值为()A.16B.14C ．－16D ．－14答案A解析如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则M (1,0,0)，N (0,1,2)，O (1,2,1)，D 1(0,0,2)，∴MN →＝(－1,1,2)，OD 1→＝(－1，－2,1)．则cos 〈MN →，OD 1→〉＝MN →·OD 1→|MN →||OD 1→|＝16×6＝16.∴异面直线MN 与OD 1所成角的余弦值为16，故选A.6．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为()A.104 B.102 C.55 D.510答案A解析设三棱柱的棱长为1，以B 为原点建立空间直角坐标系，如图，则C 1(0,1,1)，，12，则AC 1→，12，易知平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1,0,0)，设AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AC 1→〉＝|AC 1→·n ||AC 1→||n |＝64，所以cos θ＝1－sin 2θ＝104.7．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则直线CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于________．答案23解析以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图．设AA 1＝2AB ＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，＋y ＝0，＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝|n ·DC →||n ||DC →|＝23.8.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB ＝2，AB ⊥BC ，则二面角B 1－A 1C －C 1的大小为________．答案π3解析如图所示，建立空间直角坐标系，则由题意可知B (0,0,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，设AC 的中点为M ，连接BM ，则BM ⊥AC ，又由题意知BM ⊥CC 1，又AC ∩CC 1＝C ，所以BM ⊥平面A 1C 1C ，即BM →＝(1,1,0)是平面A 1C 1C 的一个法向量．设平面A 1B 1C 的法向量是n ＝(x ，y ，z )．A 1C →＝(－2,2，－2)，A 1B 1—→＝(－2,0,0)，n ·A 1B 1—→＝－2x ＝0，n ·A 1C →＝－2x ＋2y －2z ＝0，令z ＝1，可得n ＝(0,1,1)．设法向量n 与BM →的夹角为φ，二面角B 1－A 1C －C 1的大小为θ，显然θ为锐角．所以cos θ＝|cos φ|＝|n ·BM →||n ||BM →|＝12，解得θ＝π3，所以二面角B 1－A 1C －C 1的大小为π3.9．如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为平行四边形，其中AB ＝2，BD ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 为DC 的中点，F 是棱DD 1上的动点．(1)求异面直线AD 1与BE 所成角的正切值；(2)当DF 为何值时，EF 与BC 1所成的角为90°？解由BC 2＋BD 2＝DC 2可知BD ⊥BC ，分别以BC ，BD ，BB 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则B (0,0,0)，A (－1,1,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,2)，C (1,0,0)，C 1(1,0,2)，，12，(1)因为AD 1→＝(1,0,2)，BE →，12，所以cos 〈AD 1→，BE →〉＝AD 1→·BE →|AD 1→||BE →|＝125×22＝1010，所以sin 〈AD 1→，BE →〉＝31010，所以tan 〈AD 1→，BE →〉＝3，即AD 1与BE 所成角的正切值为 3.(2)设F (0,1，q )，则EF →－12，12，又BC 1→＝(1,0,2)，由EF →·BC 1→1＋0×12＋q ·2＝0，得q ＝14，即DF ＝14时，EF ⊥BC 1.10.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF 的中点．(1)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E －AG －C 的大小．解(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ，所以BE ⊥平面ABP .又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP ，即∠EBP ＝90°，又∠EBC ＝120°，所以∠CBP ＝30°.(2)以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0,0,3)，E (2,0,0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)，故AE →＝(2,0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →＝(2,0,3)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量，·AE →＝0，·AG →＝0，x 1－3z 1＝0，1＋3y 1＝0.取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量，·AG →＝0，·CG →＝0，2＋3y 2＝0，x 2＋3z 2＝0.取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.因为二面角E －AG －C 为锐二面角，故所求二面角E －AG －C 的大小为60°.11.如图所示，已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高分别为1和2，AB ＝4，则异面直线AQ 与PB 所成角的余弦值为()A.33 B.36C.39 D.34答案C解析由题设知，四边形ABCD 是正方形，连接AC ，BD ，交于点O ，则AC ⊥BD .连接PQ ，则PQ 过点O .由正四棱锥的性质知，PQ ⊥平面ABCD ，故以O 为原点，以CA ，DB ，QP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，A (22，0,0)，Q (0,0，－2)，B (0,22，0)，∴AQ →＝(－22，0，－2)，PB →＝(0,22，－1)．则cos 〈AQ →，PB →〉＝AQ →·PB →|AQ →||PB →|＝39，∴异面直线AQ 与PB 所成角的余弦值为39.12．(多选)将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论正确的是()A ．AC ⊥BDB ．AB ，CD 所成角为π3C ．△ADC 为等边三角形D ．AB 与平面BCD 所成角为60°答案ABC解析如图，取BD 的中点O ，连接AO ，CO ，易知BD ⊥平面AOC ，故BD ⊥AC .如图，建立空间直角坐标系，设正方形边长为a ，则，0，，－22a ，故AB →－22a ，－22a ，，0，22a ，22a ，故CD →，22a ，－22a 由两向量夹角公式得cos 〈CD →，AB →〉＝－12，故两异面直线所成的角为π3.在Rt △AOC 中，由AO ＝CO ＝22a ，AO ⊥CO ，所以AC ＝2AO ＝a ，故△ADC 为等边三角形．易知∠ABO 即为直线AB 与平面BCD 所成的角，可求得∠ABO ＝45°，故D 错．13.如图，正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，则直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为____．答案155解析如图，取BC的中点O ，连接AO ，DO ，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝1，则A 0，0，32，B 0，－12，0，C 0，12，0，D 32，0，0，所以BA →＝0，12，32，BD →＝32，12，0CD →＝32，－12，0.设平面ABD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·BA →＝0，n ·BD →＝0，12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0.取x ＝1，则y ＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，CD →〉＝155，因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为155.14.如图所示，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝2π3，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F .现将△ABD 沿对角线BD 翻折，当二面角A －BD －C 的余弦值为13时，异面直线BE 与CF 所成角的正弦值是________．答案356解析如图所示，过点E 作EH ⊥BD ，交BD 于H 点，设异面直线BE 与CF 所成的角为θ，则θ，π2，记二面角A －BD －C 的大小为α，CF →·BE →＝CF →·(BH →＋HE →)＝CF →·HE →，即CF →·BE →＝|CF →|·|HE →|cos(π－α)，即|CF →|·|BE →|cos 〈CF →，BE →〉＝12|CF →|·|BE →∴cos 〈CF →，BE →〉＝－16，∴cos θ＝16，即sin θ＝356.15．三棱柱OAB －O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，且∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与O 1A 所成角的余弦值为________．答案17解析以O 为坐标原点，OA ，OB 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (3，0,0)，B (0,2,0)，A 1(3，1，3)，O 1(0,1，3)，所以A 1B →＝(－3，1，－3)，O 1A →＝(3，－1，－3)．设所求的角为α，则cos α＝|A 1B →·O 1A →||A 1B →||O 1A →|＝|－3－1＋3|7×7＝17，即异面直线A 1B 与O 1A 所成角的余弦值为1716．如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .(1)求证：AD ⊥BM ；(2)若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E －AM －D 的余弦值为55.(1)证明∵在长方形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点，∴AM ＝BM ＝2，∴BM ⊥AM .∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM ＝AM ，BM ⊂平面ABCM ，∴BM ⊥平面ADM ，∵AD ⊂平面ADM ，∴AD ⊥BM .(2)解取AM 的中点O ，则OD ⊥AM ，又平面ADM ⊥平面ABCM ，所以OD ⊥平面ABCM ，以O 为原点，OA ，ON ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，M (－1,0,0)，D (0,0,1)，B (－1,2,0)，MD →＝(1,0,1)，DB →＝(－1,2，－1)，AM →＝(－2,0,0)，设DE →＝λDB →(0<λ<1)，ME →＝MD →＋λDB →＝(1－λ，2λ，1－λ)，设平面AME 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，m ·AM →＝0，m ·ME →＝0，－2x ＝0，(－λ)x ＋2λy ＋(1－λ)z ＝0，取y ＝1，得x ＝0，y ＝1，z ＝2λλ－1，所以m ＝0，1，2λλ－1平面AMD 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，因为cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝55，解得λ＝12，所以E 为BD 的中点．。