第十七届全国中学生物理竞赛复赛试题

上海市第十七届初中物理竞赛(大同中学杯)复赛试题及解答说明：1、本试题共有五大题，答题时间为120分钟，试卷满分为150分。

2、答案及解答过程均写在答卷纸上。

其中第一大题～第二大题只要写出答案，不写解答过程；第三大题～第五大题除选择题以外，均要写出完整的解答过程。

试题一、选择题(以下每题只有一个选项符合题意．每小题4分，共32分)1．在日常生活中．有时会发现这样的现象，在商场中，经过挑选．自己感到满意的衣服．回家后却发现衣服的色彩发生了变化，造成这种情况的主要原因是 ( )(A)衣服染料的质量有问题。

(B)商场和家中环境湿度不同。

(C)商场和家中的环境温度不同(D)商场和家中的照明用的光源不同。

2．0℃的冰块全部熔化为0℃的水．体积将有所减小．比较这块冰和熔化成的水所具有的内能．下列说法中正确的是： ( )(A)它们具有相等的内能。

(B)O℃的冰具有较大的内能。

(C)O℃的水具有较大的内能。

(D)无法确定3．现有甲、乙、丙三个通草球．将其中的任意两个靠近时都相互吸引．则它们可能有几种不同的带电情况。

( )(A)3种。

(B)4种． (C)5种。

(D)6种．4．将一个小灯泡(2．5V、O．3A)和一个家用的照明白炽灯(22OV、40W)串联后接到220伏的电源上．将发生的情况是： ( )(A)小灯泡和白炽灯都发光。

(B)小灯泡和白炽灯都被烧坏。

(C)小灯泡被短路．白炽灯正常发光。

(D)小灯泡被烧坏．白炽灯完好．但不发光。

5．在制造精密电阻时．常常采用双线绕法．即把电阻丝从螺线管一端绕到另一端，再从另一端绕回来。

如果电流方向如图l所示，那么 ( )(A)螺线管左、右两端都没有磁极。

(B)螺线管左端为N极，右端为S极。

(C)螺线管左端为S极．右端为N极。

(D)螺线管左端有磁极。

右端无磁极。

6．在图2所示的电路中，两只电压表是相同的理想电表，它们的量程均为0～3～15V。

电键K闭合后，发现两只电表的指针偏转的角度相同．电路中R，、R：的值可能是（）(A)100欧，200欧。

【物理竞赛试】2000年第十七届全国中学生物理竞赛复赛试题+答案全卷共六题，总分140分一、（20分）在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管，管上端封闭，下端开口．已知槽中水银液面以上的那部分玻璃管的长度76cm l =，管内封闭有31.010mol n =⨯－的空气，保持水银槽与玻璃管都不动而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低10℃，问在此过程中管内空气放出的热量为多少？已知管外大气的压强为76cm 汞柱高，每摩尔空气的内能V U C T =，其中T 为绝对温度，常量1V 20.5J (mol K)C =⋅⋅－，普适气体常量18.31J (mol K)R =⋅⋅－。

二、（20分）如图复17-2所示，在真空中有一个折射率为n （0n n >，0n 为真空的折射率）、半径为r 的质地均匀的小球。

频率为ν的细激光束在真空中沿直线BC 传播，直线BC 与小球球心O 的距离为l （l r <），光束于小球体表面的点C 点经折射进入小球（小球成为光传播的介质），并于小球表面的点D 点又经折射进入真空．设激光束的频率在上述两次折射后保持不变．求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小．三、（25分）1995年，美国费米国家实验室CDF 实验组和DO 实验组在质子反质子对撞机TEV A TRON 的实验中，观察到了顶夸克，测得它的静止质量112251 1.7510eV/c 3.110kg m =⨯=⨯－，寿命 240.410s τ=⨯－，这是近十几年来粒子物理研究最重要的实验进展之一．1．正、反顶夸克之间的强相互作用势能可写为4()3S a U r k r=-，式中r 是正、反顶夸克之间的距离，0.12S a =是强相互作用耦合常数，k 是与单位制有关的常数，在国际单位制中250.31910J m k =⨯⋅－．为估算正、反顶夸克能否构成一个处在束缚状态的系统，可把束缚状态设想为正反顶夸克在彼此间的吸引力作用下绕它们连线的中点做匀速圆周运动．如能构成束缚态，试用玻尔理论确定系统处于基态中正、反顶夸克之间的距离0r ．已知处于束缚态的正、反夸克粒子满足量子化条件，即021,2,3,22r h mv n n π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 式中02r mv ⎛⎫ ⎪⎝⎭为一个粒子的动量mv 与其轨道半径02r 的乘积，n 为量子数，346.6310J s h =⨯⋅－为普朗克常量．2．试求正、反顶夸克在上述设想的基态中做匀速圆周运动的周期T ．你认为正、反顶夸克的这种束缚态能存在吗?四、（25分）宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动，飞行器的质量比小行星的质量小得很多，飞行器的速率为0v ，小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的6倍．有人企图借助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系，于是他便设计了如下方案：Ⅰ. 当飞行器在其圆周轨道的适当位置时，突然点燃飞行器上的喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得所需的速度，沿圆周轨道的切线方向离开圆轨道；Ⅱ. 飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘，速度的方向和小行星在该处速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；Ⅲ. 小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰，不计燃烧的燃料质量．1．试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系；2．设在上述方案中，飞行器从发动机取得的能量为1E ．如果不采取上述方案而是令飞行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得足够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系．采用这种办法时，飞行器从发动机取得的能量的最小值用2E 表示，问12E E 为多少?五、（25分）在真空中建立一坐标系，以水平向右为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向，z 轴垂直纸面向里（图复17-5）．在0y L ≤≤的区域内有匀强磁场，0.80m L =，磁场的磁感强度的方向沿z 轴的正方向，其大小0.10T B =．今把一荷质比1/50C kg q m =⋅－的带正电质点在0x =，0.20m y =-，0z =处静止释放，将带电质点过原点的时刻定为0t =时刻，求带电质点在磁场中任一时刻t 的位置坐标．并求它刚离开磁场时的位置和速度．取重力加速度210m s g =⋅－。

第十七届全国初中应用物理知识竞赛复赛试题一．(10分)表1中提供的是明湖中学利用的一台教学投影仪的有关数据，请依照其中的数据，通过计算回答：1．这台投影仪的耗电总功率是多大?2．若是投影仪的光源采纳串联电阻降压的话，所用电阻的阻值应该多大?该电阻消耗的功率为多大?3．这台投影仪的光源采纳上述串联电阻降压的方式可行吗?什么缘故?4．若是上述方式不可行，请你提出一种能够使投影仪正常工作的方案。

(要求定性说明即可)二．(10分)李教师的家离学校大约10km，为了便于上下班，他购买了一部轻便摩托车来代步，利用的燃料为93#汽油。

依照表2提供的数据，请回答：1．若是李教师上班时骑车的平均速度为36km/h，试依照表2中所提供的有关信息，为李教师计算一下，他骑车从家到学校至少需花多少油费?2．小洪同窗学过物理以后，给李教师建议：在上述条件不变的情形下，采纳加速车速缩短时刻的方式，就必然能够省油费。

请你依照自己把握的知识，分析说明这种方式是不是可行。

三．(12分)汽车在行驶途中，为了平安，车与车之间必需维持必然的距离。

因为，驾驶员从发觉某一异样情形到采取制动动作的“反应时刻〞里(设同一人、不同速度下的“反应时刻〞是一样的)；汽车要通过一段距离(称为试探距离)；而从采取制动动作到汽车完全停顿，汽车又要通过一段距离(称为制动距离)。

表3中给出了某辆汽车在同一段路面上行驶进程中，在不同速度下的试探距离和制动距离等局部数据。

1．依照表3中已给的数据，分析计算并填写尚缺的三个数据，完成表格。

2．依照表四．(12分)有一种电脑电源适配器(即充电器)的铭牌如图1所示。

这款国产充电器，有九个国家或地域的认证标志，其中已经标出了八个。

1．请你在第一个标志前的方框中填入所代表的国家名称及其英文名，并在铭牌下面的另三个图案下填写所表示的含义。

2．依照给出的数据：说明此电源适配器所适用的电源条件是什么。

3．用它与配套的笔记本电脑供电利历时的耗电功率大约在什么范围?4．试估算它为笔记本电脑供电时的效率大约在什么范围?5．有人说：“若是适配器只是输入端插入电源，输出端不接用电器时就不耗电〞，你以为对吗?请简要说明理由。

第十七届全国中学生物理竞赛决 赛 试 题一、（30分）近来一种新型的定点起重设备“平衡吊”被广泛应用于几十到几百千克工件的频繁吊运，其结构的示意图如图决17-1所示。

平衡吊主要由传动、杆系、回转座和立柱组成。

杆系是由ABD 、DEF 、BC 、CE 四杆铰接组成的四连杆机构，DECB 在任何情况下都是一个平行四边形。

杆系的A 处是一水平的转轴，通过电机可控制转轴，使之固定的竖直槽内的不同位置，从而调节挂在绞接于F 处吊钩上的重物的高度。

杆ABD 可绕转轴A 在竖直平面内无摩擦地转动。

杆系的C 点是能在光滑的水平槽上滑动的铰链，杆BC 和EC 都可绕C 点在竖直平面内转动。

绕铰链转动的摩擦均忽略不计。

下面用l 1表示AD 的长度，l 2表示AB 的长度，l 3表示DF 的长度，l 4表示BC 的长度。

（1）若将各杆都视为轻质（无自重）刚体，且无图中配重物时，试论证l 1、l 2、l 3、l 4应满足什么关系才能使平衡吊的吊钩（包括所吊的重物）位于同一水平面上的不同位置时平衡吊都能处于平衡状态。

（2）若考虑各杆的自重，为使平衡吊的吊钩（包括所吊的重物）位于同一水平面上不同位置时平衡吊都能处于平衡状态，必须在杆ABD 的另一端P 处加上配重物，P 点距A 轴的距离为l P 。

设配重物受到的重力大小为GP ，杆的AD 段、DF 段、BC 段、CE 段受到的重力的大小分别为G 1、G 3、G 4和G 5，不计杆的AP 段所受的重力。

问当杆长l 1、l 2、l 3、l 4和l P 已知，且取l 1= l 3、l 2=l 4时配重的大小G P 为多少？二、（共30分）太阳风是从太阳大气外层（称为日冕）不断向星际空间发射的稳定的、由相同数目的质子和电子构成的带电粒子流，它使太阳每年减少的质量相对于太阳质量M S 可忽略不计。

观测表明，太阳风的速度的大小v 随着与太阳中心的距离r 的增加而增大。

现提出一简单的模型来解释太阳风的速度变化的机制：假定日冕中的大量电子可视为理想气体；日冕中的电子气是等温（温度为T ）的、各向同性的，以球对称的速率v (r )（太阳风的速率）向外膨胀；太阳风中质子的定向运动速度比电子的小得多，太阳风的速度其实是电子定向运动的速度，太阳风可解释为日冕中的电子气向外的等温膨胀。

2000年第十七届全国中学生物理竞赛预、复赛试题及答案目录第十七届全国中学生物理竞赛预赛试题 (1)第十七届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答 (5)第十七届全国中学生物理竞赛复赛试题 (15)第十七届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 (18)第十七届全国中学生物理竞赛预赛试题全卷共八题，总分为140分。

一、（10分）1．（5分）1978年在湖北省随县发掘了一座战国早期（距今大约2400多年前）曾国国君的墓葬——曾侯乙墓，出土的众多墓葬品中被称为中国古代文明辉煌的象征的是一组青铜铸造的编钟乐器（共64件），敲击每个编钟时，能发出音域宽广、频率准确的不同音调。

与铸造的普通圆钟不同，圆钟的横截面呈圆形，每个编钟的横截面均呈杏仁状。

图预17-1-1为圆钟截面的，图预17-1-2为编钟的截面，分别敲击两个钟的A 、B 、C 和D 、E 、F 三个部位，则圆钟可发出________个基频的音调，编钟可发出________个基频的音调。

2.（5分）我国在1999年11月20日用新型运载火箭成功地发射了一艘实验航天飞行器，它被命名为___________号，它的目的是为____________________作准备。

二、（15分）一半径为 1.00m R =的水平光滑圆桌面，圆心为O ，有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线C ，如图预17-2所示。

一根不可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上的某一点，另一端系一质量为27.510kg m =⨯－的小物块。

将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一个方向与绳垂直、大小为0 4.0m/s v =的初速度。

物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱上。

已知当绳的张力为0 2.0N T =时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动．1．问绳刚要断开时，绳的伸直部分的长度为多少?2．若绳刚要断开时，桌面圆心O 到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直，问物块的落地点到桌面圆心O 的水平距离为多少？已知桌面高度0.80m H =．物块在桌面上运动时未与立柱相碰．取重力加速度大小为210m/s ．2000年三、（15分）有一水平放置的平行平面玻璃板H ，厚3.0 cm ，折射率 1.5n =。

1第十七届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答一、参考解答设玻璃管内空气柱的长度为h ，大气压强为0p ，管内空气的压强为p ，水银密度为ρ，重力加速度为g ，由图复解17-1-1可知0()p l h g p ρ+-= （1）根据题给的数据，可知0p l g ρ=，得p gh ρ= （2）若玻璃管的横截面积为S ，则管内空气的体积为V Sh = （3）由（2）、（3）式得V p g S ρ= （4） 即管内空气的压强与其体积成正比，由克拉珀龙方程pV nRT =得2V g nRT Sρ= （5）由（5）式可知，随着温度降低，管内空气的体积变小，根据（4）式可知管内空气的压强也变小，压强随体积的变化关系为p V -图上过原点的直线，如图复解17-1-2所示．在管内气体的温度由1T 降到2T 的过程中，气体的体积由1V 变到2V ，体积缩小，外界对气体做正功，功的数值可用图中划有斜线的梯形面积来表示，即有221212121()22V V V W g V V g S S S V ρρ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- （6）1管内空气内能的变化V 21()U nC T T ∆=- （7） 设Q 为外界传给气体的热量，则由热力学第一定律W Q U +=∆，有Q U W =∆- （8） 由（5）、（6）、（7）、（8）式代入得V 211()2Q n T T C R ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （9） 代入有关数据得0.247J Q =-0Q <表示管内空气放出热量，故空气放出的热量为0.247J Q Q '=-= （10）评分标准：本题20分（1）式1分，（4）式5分，（6）式7分，（7）式1分，（8）式2分，（9）式1分，（10）式3分。

二、参考解答在由直线BC 与小球球心O 所确定的平面中，激光光束两次折射的光路BCDE 如图复解17-2所示，图中入射光线BC 与出射光线DE 的延长线交于G ，按照光的折射定律有0sin sin n n αβ= （1）式中α与β分别是相应的入射角和折射角，由几何关系还可知sin l rα= （2）1激光光束经两次折射，频率ν保持不变，故在两次折射前后，光束中一个光子的动量的大小p 和p '相等，即h p p c ν'=- （3） 式中c 为真空中的光速，h 为普朗克常量．因射入小球的光束中光子的动量p 沿BC 方向，射出小球的光束中光子的动量p '沿DE 方向，光子动量的方向由于光束的折射而偏转了一个角度2θ，由图中几何关系可知22()θαβ=- （4） 若取线段1GN 的长度正比于光子动量p ，2GN 的长度正比于光子动量p '，则线段12N N 的长度正比于光子动量的改变量p ∆，由几何关系得2sin 2sin h p p cνθθ∆== （5） 12GN N ∆为等腰三角形，其底边上的高GH 与CD 平行，故光子动量的改变量p ∆的方向沿垂直CD 的方向，且由G 指向球心O ．光子与小球作用的时间可认为是光束在小球内的传播时间，即02cos /r t cn nβ∆= （6） 式中0/cn n 是光在小球内的传播速率。

第十七届全国中学生物理竞赛复 赛 试 卷全卷共六题，总分为140分。

一、（20分）在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管，管上端封闭，下端开口。

已知槽中水银液面以上的那部分玻璃管的长度l = 76 cm ，管内封闭有n = 1.0×310-mol 的空气。

保持水银槽与玻璃管都不动而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低10℃，问在此过程中管内空气放出的热量为多少？已知管外大气的压强为76cm 汞柱高，每摩尔空气的内能U = V C T ，其中T 为绝对温度，常量V C = 20.5 J ·1)K mol (-⋅，普适气体恒量R = 8.31 J ·1)K mol (-⋅二、（20分）如图复17-2所示，在真空中有一个折射率为n (n ＞0n ，0n 为真空的折射率)、半径为r 的质地均匀的小球，频率为ν的细激光束在真空中沿直线BC 传播，直线BC 与小球球心O 的距离为l ( l ＜r )，光束于小球体表面的C 点经折射进入小球（小球成为光传播的媒质），并于小球表面的D 点又经折射进入真空。

设激光束的频率在上述两次折射后保持不变。

求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小。

三、（25分）1995年，美国费米国家实验室CDF 实验组和DO 实验组在质子反质子对撞机TEV ATRON 的实验中，观察到了顶夸克，测得它的静止质量τm = 1.75×1110eV/2c = 3.1×2510-kg ，寿命τ= 0.4×2410-s ，这是近十几年来粒子物理研究最重要的实验进展之一。

1、正反顶夸克之间的强相互作用势能可写为V （r ）= - K r3a4s ，式中r 是正反顶夸克之间的距离，s a = 0.12是强相互作用耦合常数，K 是与单位制有关的常数，在国际单位制中K = 0.319×2510-J ·m 。

为估算正反顶夸克能否构成一个处在束缚状态的系统，可把束缚状态设想为正反顶夸克在彼此间的吸引力作用于下绕它们连线的中点做匀速圆周运动。

2017年九年级物理竞赛复赛试卷（全卷共4页，总分值100分，考试时刻60分钟）一、选择题（每题4分，共32分，每一小题只有一个选项是正确的或最合理的答案，请把你以为正确的答案对应的字母填在答题卡相应位置上）一、如图1所示，小明在广场上游玩时，将一充有氢气的气球系于一辆玩具小汽车上，并将玩具小汽车放置在滑腻的水平地面上，无风时细绳处于竖直方向，当一阵风沿水平方向吹向气球时，那么以下说法中正确的选项是二、如图2所示，密度均匀的长方体木块漂浮在水面上。

假设将木块虚线以下的部份截去，那么A. 木块和水面均下降，且下降的高度相同B. 木块和水面均下降，且木块下降的高度更大C. 木块和水面均下降，且水面下降的高度更大D. 木块下降，水面上升，且转变的高度不相同3、如图3所示，置于水平桌面上的一个密闭的圆锥形容器内装满了重力为G的某种液体。

已知：圆锥形容器的容积公式为V=πR2 h/3,，其中，R、h别离为容器的底面半径和高。

那么容器内的液体对容器侧面的压力大小为A．1G B．2G C．3G D．04、如图4所示，以平面镜MO和NO为两个侧面的一个黑盒子里有一个点光源S，黑盒子的另一侧面EN 上开有一个小孔P。

一名观看者在盒外沿与EN平行的方向走过时，通过P孔能看到几个不同位置的S所发出的光A．1个B．2个C．3个D．4个图1 图2 图3 图4五、如图5所示，杠杆AB可绕O转动，绳AD连在以A为圆心的弧形槽MN上，D能够在MN上自由滑动，在绳的D端从N向M滑动进程中杠杆仍维持平稳，那么绳对杠杆的拉力转变情形是A．变大B．变小C．先变大后变小D．先变小后变大六、某刻度均匀但读数不准的温度计，用它测量冰水混合物的温度时，示数是4︒C，当冰熔化后，水温度升高到某一数值时，发觉它的示数恰好与真实温度相等，让水温再增加10︒C，而温度计的示数只增加了9︒C，那么，当用此温度计去测量一个标准大气压下的滚水温度时，示数变成A．92︒C B．94︒C C．96︒C D．98︒C7、如图6所示的电路中，电流表和电压表均为理想电表，那么以下判定中正确的选项是A．R AB＝R BD，且R BC最大，R AC最小B．R AB＝R CD，且R BC最大，R AC最小C．R AC＝R CD，且R BC最大，R AD最小D．R AC＝R BD，且R BC最大，R AD最小八、如图7所示，有两个正方体实心物体A、B叠放在水平桌面上，物体A重15N，B重5N。

上海市第十七届初中物理竞赛(大同中学杯)复赛试题一、选择题(以下只有一个选项符合题意，每小题4分，共32分)1．在日常生活中，有时会发现这样的现象，在商场中，经过挑选，自己感到满意的衣服，回家后却发现衣服的色彩发生了变化，造成这种情况的主要原因是：A．衣服染料的质量有问题。

B．商场和家中环境湿度不同。

C．商场和家中的环境温度不同。

D．商场和家中的照明用的光源不同。

2．0℃的冰块全部熔化为0℃的水，体积将有所减小，比较这块冰和熔化成的水所具有的内能，下列说法中正确的是：A．它们具有相等的内能B．0°C的冰具有较大的内能。

C．0°C的水具有较大的内能D．无法确定。

3．现有甲、乙、丙三个通草球，将其中的任意两个靠近时都相互吸引，则它们可能有几种不同的带电情况：A．3种。

B．4种C．5种。

D．6种。

4．将一个小灯泡(2．5 V、O．3A)和一个家用的照明白炽灯(220V、40W)串联后接到220V的电源上，将发生的情况是：A．小灯泡和白炽灯都发光B．小灯泡和白炽灯都被烧坏c．小灯泡被短路，白炽灯正常发光D．小灯泡被烧坏，白炽灯完好，但不发光。

5．在制造精密电阻时，常常采用双线绕法，即把电阻丝从螺线管一端绕到另一端，再从另一端绕回来，如果电流方向如图1所示，那么A．螺线管左、右两端都没有磁极。

B．螺线管左端为N极，右端为S极。

C．螺线管左端为S极，右端为N极。

D．螺线管左端有磁极，右端无磁极。

6．在图2所示的电路中，两只电压表是相同的理想电表，它们的量程均为0-3-15 V。

电键S闭合后，发现两只电表的指针偏转的角度相同，电路中R1、R2的值可能是A．100欧，200欧。

B．300欧，700欧。

C．500欧，125欧,。

D．700欧，2 800欧。

7．在一个不透明的木板上，钻一个小孔，用眼睛通过小孔可以观察到一定的范围，如图3所示。

为了扩大观察的范围，在小孔中嵌入各种形状的玻璃制品，则在图中的四个截面中能获得最大观察范围的是：8．甲、乙两实心球放入足够深的某种液体中平衡后，所受的浮力之比为F甲：F乙=2：5。

第十七届全国中学生物理竞赛复赛试题参考答案一、解：设玻璃管内空气柱的长度为ｈ，大气压强为ｐ０，管内空气的压强为ｐ，水银密度为ρ，重力加速度为ｇ，由图4知ｐ＋（ｌ－ｈ）ρｇ＝ｐ０，①根据题给的数据，可知ｐ０＝ｌρｇ，得ｐ＝ρｇｈ，②若玻璃管的横截面积为S，则管内空气的体积为Ｖ＝Ｓｈ，③由②、③式，得ｐ＝（Ｖ／Ｓ）ρｇ，④即管内空气的压强与其体积成正比，由克拉珀龙方程ｐＶ＝ｎＲＴ，得ρｇ（Ｖ2／Ｓ）＝ｎＲＴ，⑤由⑤式可知，随着温度降低，管内空气的体积变小，根据④式可知管内空气的压强也变小，压强随体积的变化关系为ｐ－Ｖ图上过原点的直线，如图5所示．在管内气体的温度由Ｔ１降到Ｔ２的过程中，气体的体积由Ｖ１变到Ｖ２，体积缩小，外界对气体做正功，功的数值可用图中划有斜线的梯形面积来表示，即有图4 图5Ｗ＝（1／2）ρｇ（（Ｖ１／Ｓ）＋（Ｖ２／Ｓ））（Ｖ１－Ｖ２）＝ρｇ（Ｖ１2－Ｖ２2）／2Ｓ，⑥管内空气内能的变化为ΔＵ＝ｎＣＶ（Ｔ２－Ｔ１），⑦设Ｑ为外界传给气体的热量，则由热力学第一定律Ｗ＋Ｑ＝ΔＵ，有Ｑ＝ΔＵ－Ｗ，⑧由⑤、⑥、⑦、⑧式代入得Ｑ＝ｎ（Ｔ２－Ｔ１）（ＣＶ＋（1／2）Ｒ），⑨代入有关数据得Ｑ＝－0．247Ｊ，Ｑ＜0，表示管内空气放出热量，故空气放出的热量为Ｑ′＝－Ｑ＝0．247Ｊ．（10）二、解：在由直线ＢＣ与小球球心Ｏ所确定的平面中，激光光束两次折射的光路ＢＣＤＥ如图6所示，图中入射光线ＢＣ与出射光线ＤＥ的延长线交于点Ｇ，按照光的折射定律有图6ｎ0ｓｉｎα＝ｎｓｉｎβ，①式中α与β分别是相应的入射角与折射角，由几何关系还可知ｓｉｎα＝ｌ／ｒ．②激光光束经两次折射，频率ν保持不变，故在两次折射前后，光束中一个光子的动量的大小ｐ与ｐ′相等，即ｐ＝ｈν／ｃ＝ｐ′，③式中ｃ为真空中的光速，ｈ为普朗克常量．因射入小球的光束中光子的动量ｐ沿ＢＣ方向，射出小球的光束中光子的动量ｐ′沿ＤＥ方向，光子动量的方向由于光束的折射而偏转了一个角度2θ，由图中几何关系可知2θ＝2（α－β）．④若取线段ＧＮ１的长度正比于光子动量ｐ，ＧＮ２的长度正比于光子动量ｐ′，则线段Ｎ１Ｎ２的长度正比于光子动量的改变量Δｐ，由几何关系得Δｐ＝2ｐｓｉｎθ＝2（ｈν／ｃ）ｓｉｎθ，⑤△ＧＮ１Ｎ２为等腰三角形，其底边上的高ＧＨ与ＣＤ平行，故光子动量的改变量Δｐ的方向沿垂直ＣＤ的方向，且由Ｇ指向球心Ｏ．光子与小球作用的时间可认为是光束在小球内的传播时间，即Δｔ＝2ｒｃｏｓβ／（ｃｎ０／ｎ），⑥式中ｃｎ０／ｎ是光在小球内的传播速率，按照牛顿第二定律，光子所受小球平均作用力的大小为ｆ＝Δｐ／Δｔ＝ｎ0ｈνｓｉｎθ／ｎｒｃｏｓβ，⑦按照牛顿第三定律，光子对小球的平均作用力大小Ｆ＝ｆ，即Ｆ＝ｎ０ｈνｓｉｎθ／ｎｒｃｏｓβ，⑧力的方向由点Ｏ指向点Ｇ．由①、②、④及⑧式，通过三角函数关系运算，最后可得Ｆ＝（ｎ０ｌｈν／ｎｒ2）（1－）．⑨三、解：1．相距为ｒ的电量为Ｑ１与Ｑ２的两点电荷之间的库仑力ＦＱ与电势能ＵＱ公式为ＦＱ＝ｋ（Ｑ１Ｑ２／ｒ２），ＵＱ＝－ｋ（Ｑ１Ｑ２／ｒ），①现在已知正反顶夸克之间的强相互作用势能为Ｕ（ｒ）＝－ｋ（4ａｓ／3ｒ），根据直接类比可知，正反顶夸克之间的强相互作用力为Ｆ（ｒ）＝－ｋ（4ａｓ／3ｒ2），②设正反顶夸克绕其连线的中点做匀速圆周运动的速率为ｖ，因二者相距ｒ０，二者所受的向心力均为Ｆ（ｒ０），二者的运动方程均为ｍ1ｖ2／（ｒ０／2）＝ｋ（4ａｓ／3ｒ０2）．③由题给的量子化条件，粒子处于基态时，取量子数ｎ＝1，得2ｍ１ｖ（ｒ０／2）＝ｈ／2π．④由③与④两式，解得ｒ０＝3ｈ2／8π２ｍ１ａｓｋ，⑤代入数据得ｒ０＝1．4×10－17ｍ．⑥2．由③、④两式，可得ｖ＝（π／ｈ）（ｋ4ａｓ／3），⑦由ｖ与ｒ０可算出正反顶夸克做匀速圆周运动的周期Ｔ为Ｔ＝2π（ｒ０／2）／ｖ＝ｈ3／2π２ｍ1（ｋ4ａｓ／3）2，⑧代入数值得Ｔ＝1．8×10－24ｓ，⑨由此可知τ／Ｔ＝0．22．（10）因正反顶夸克的寿命只有它们构成的束缚系统的周期的1／5，故正反顶夸克的束缚态通常是不存在的．四、解：1．设太阳的质量为Ｍ０，飞行器的质量为ｍ，飞行器绕太阳做圆周运动的轨道半径为Ｒ．根据所设计的方案，可知飞行器是从其原先的圆轨道上某处出发，沿着半个椭圆轨道到达小行星轨道上的，该椭圆既与飞行器原先的圆轨道相切，又与小行星的圆轨道相切．要使飞行器沿此椭圆轨道运动，应点燃发动机使飞行器的速度在极短的时间内，由ｖ０变为某一值ｕ０．设飞行器椭圆轨道达小行星轨道到时的速度为ｕ，因大小为ｕ０与ｕ的这两个速度的方向都与椭圆的长轴垂直，由开普勒第二定律，得ｕ０Ｒ＝6ｕＲ，①由能量关系，有（1／2）ｍｕ０2－Ｇ（Ｍ０ｍ／Ｒ）＝（1／2）ｍｕ2－Ｇ（Ｍ０ｍ／6Ｒ），②由牛顿万有引力定律，有Ｇ（Ｍ０ｍ／Ｒ2）＝ｍ（ｖ０2／Ｒ），或者ｖ０＝．③解①、②、③式，得ｕ0＝ｖ0，④ｕ＝ｖ0．⑤设小行星绕太阳运动的速度为ｖ，小行星的质量Ｍ，由牛顿万有引力定律，有ＧＭ0Ｍ／（6Ｒ）2＝Ｍｖ2／6Ｒ，得ｖ＝ｖ0，⑥能够看出ｖ＞ｕ．⑦由此可见，只要选择好飞行器在圆轨道上合适的位置离开圆轨道，使得它到达小行星轨道外时，小行星的前缘也正好运动到该处，则飞行器就能被小行星撞击．能够把小行星看做是相对静止的，飞行器以相对速度为ｖ－ｕ射向小行星，由于小行星的质量比飞行器的质量大得多，碰撞后，飞行器以同样的速率ｖ－ｕ弹离，即碰撞后，飞行器相对小行星的速度的大小为ｖ－ｕ，方向与小行星的速度的方向相同，故飞行器相对太阳的速度为ｕ1＝ｖ＋ｖ－ｕ＝2ｖ－ｕ，或者将⑤、⑥式代入得ｕ１＝（ｖ0．⑧假如飞行器能从小行星的轨道上直接飞出太阳系，它应具有的最小速度为ｕ２，则有（1／2）ｍｕ２2－Ｇ（Ｍ0ｍ／6Ｒ）＝0，得ｕ２＝ｖ0，⑨能够看出ｕ１＝ｖ0＝ｕ2．（10）飞行器被小行星撞击后具有的速度足以保证它能飞出太阳系．2．为使飞行器能进入椭圆轨道，发动机应使飞行器的速度由ｖ0增加到ｕ0，飞行器从发动机取得的能量Ｅ１＝（1／2）ｍｕ02－（1／2）ｍｖ02＝（1／2）ｍ（12／7）ｖ02－（1／2）ｍｖ02＝（5／14）ｍｖ02．（11）若飞行器从其圆周轨道上直接飞出太阳系，飞行器应具有的最小速度为ｕ３，则有（1／2）ｍｕ32－Ｇ（Ｍ0ｍ／Ｒ）＝0，由此得ｕ３＝ｖ0．（12）飞行器的速度由ｖ0增加到ｕ3，应从发动机获取的能量为Ｅ2＝（1／2）ｍｕ３2－（1／2）ｍｖ０2＝（1／2）ｍｖ０2，（13）因此Ｅ１／Ｅ2＝（5／14）ｍｖ22／（1／2）ｍｖ22＝0．71．（14）五、解法一：带电质点静止释放时，受重力作用做自由落体运动，当它到达坐标原点时，速度为ｖ１＝＝2．0ｍ·ｓ－1，①方向竖直向下．带电质点进入磁场后，除受重力作用外，还受到洛伦兹力作用，质点速度的大小与方向都将变化，洛伦兹力的大小与方向亦随之变化．我们能够设想，在带电质点到达原点时，给质点附加上沿ｘ轴正方向与负方向两个大小都是ｖ0的初速度，由于这两个方向相反的速度的合速度为零，因而不影响带电质点以后的运动．在ｔ＝0时刻，带电质点因具有沿ｘ轴正方向的初速度ｖ0而受洛伦兹力ｆ１的作用，即ｆ１＝ｑｖ0Ｂ，②其方向与重力的方向相反．适当选择ｖ0的大小，使ｆ１等于重力，即ｑｖ0Ｂ＝ｍｇ，③ｖ0＝ｇ／（ｑ／ｍ）Ｂ＝2．0ｍ·ｓ－1，④只要带电质点保持④式决定的ｖ0沿ｘ轴正方向运动，ｆ１与重力的合力永远等于零．但如今，位于坐标原点的带电质点还具有竖直向下的速度ｖ１与沿ｘ轴负方向的速度ｖ0，二者的合成速度大小为ｖ＝＝2．8ｍ·ｓ－1，⑤方向指向左下方，设它与ｘ轴的负方向的夹角为α，如图7所示，则ｔｇα＝ｖ１／ｖ0＝1，α＝π／4，⑥图7因而带电质点从ｔ＝0时刻起的运动能够看做是速率为ｖ0，沿ｘ轴的正方向的匀速直线运动与在ｘＯｙ平面内速率为ｖ的匀速圆周运动的合成．圆周半径为Ｒ＝ｍｖ／ｑＢ＝0．56ｍ．⑦带电质点进入磁场瞬间所对应的圆周运动的圆心Ｏ′位于垂直于质点如今速度ｖ的直线上，由图7可知，其坐标为ｘＯ′＝Ｒｓｉｎα＝0．40ｍ，⑧ｙＯ′＝Ｒｃｏｓα＝0．40ｍ．圆周运动的角速度为ω＝ｖ／Ｒ＝5．0ｒａｄ·ｓ－1．⑨由图7可知，在带电质点离开磁场区域前的任何时刻ｔ，质点位置的坐标为ｘ＝ｖ０ｔ－［Ｒｓｉｎ（ωｔ＋α）－ｘＯ′］，（10）ｙ＝ｙＯ′－Ｒｃｏｓ（ωｔ＋α），（11）式中ｖ０、Ｒ、ω、α、ｘＯ′、ｙＯ′已分别由④、⑦、⑨、⑥、⑧各式给出．带电质点到达磁场区域下边界时，ｙ＝Ｌ＝0．80ｍ，代入（11）式，再代入有关数值，解得ｔ＝0．31ｓ，（12）将（12）式代入（10）式，再代入有关数值，得ｘ＝0．63ｍ，（13）因此带电质点离开磁场下边界时的位置的坐标为ｘ＝0．63ｍ，ｙ＝0．80ｍ，ｚ＝0．（14）带电质点在磁场内的运动可分解成一个速率为ｖ的匀速圆周运动与一个速率为ｖ０的沿ｘ轴正方向的匀速直线运动，任何时刻ｔ，带电质点的速度ｖ′便是匀速圆周运动速度ｖ与匀速直线运动的速度ｖ０的合速度．若圆周运动的速度在ｘ方向与ｙ方向的分量为ｖｘ′、ｖｙ′，则质点合速度在ｘ方向的分速度分别为ｖｘ′＝ｖｘ＋ｖ０，（15）ｖｙ′＝ｖｙ．（16）尽管＝ｖ，ｖ由⑤式决定，其大小是恒定不变的，ｖ０由④式决定，也是恒定不变的，但在质点运动过程中因ｖ的方向不断变化，它在ｘ方向与ｙ方向的分量ｖｘ与ｖｙ都随时间变化，因此ｖｘ′与ｖｙ′也随时间变化，取决于所考察时刻质点做圆周运动速度的方向，由于圆周运动的圆心的ｙ坐标恰为磁场区域宽度的一半，由对称性可知，带电质点离开磁场下边缘时，圆周运动的速度方向应指向右下方，与ｘ轴正方向夹角α′＝π／4，故代入数值得ｖｘ＝ｖｃｏｓα′＝2．0ｍ·ｓ－1，ｖｙ＝ｖｓｉｎα′＝2．0ｍ·ｓ－1，将以上两式及⑤式代入（15）、（16）式，便得带电质点刚离开磁场区域时的速度分量，它们分别为ｖｘ′＝4．0ｍ·ｓ－1，（17）ｖｙ′＝2．0ｍ·ｓ－1，（18）速度大小为ｖ′＝＝4．5ｍ·ｓ－1，（19）设ｖ′的方向与ｘ轴的夹角为β，如图8所示，则ｔｇβ＝ｖｙ′／ｖｘ′＝1／2，得β＝27°．（20）图8解法二：若以带电质点到达坐标原点O的时刻作为起始时刻（ｔ＝0），则质点的初速度为ｖ1＝＝2．0ｍ·ｓ－1，①方向沿ｙ轴正方向．进入磁场区后，带电质点将受到洛伦兹力作用，洛伦兹力在ｘ方向的分力取决于质点在ｙ方向的分速度，因此质点动量在ｘ方向的分量的增量为ｍΔｖｘ＝ｑｖｙＢΔｔ＝ｑΔｙＢ，②Δｙ是带电质点在Δｔ时间内沿ｙ方向的位移，质点在磁场中运动的整个过程中，此式对每一段Δｔ时间都成立，因此在ｔ＝0到ｔ＝ｔ时间内ｘ方向的分量的改变为ｍｖｘ－ｍｖ０ｘ＝ｑＢ（ｙ－ｙ０），因初始时刻（ｔ＝0），带电质点在ｘ轴方向的动量ｍｖ０ｘ为零，其位置在原点，ｙ０＝0，因而得ｍｖｘ＝ｑｙＢ，即ｖｘ＝（ｑＢ／ｍ）ｙ．③当带电质点具有ｘ方向的速度后，便立即受到沿ｙ负方向的洛伦兹力的作用．根据牛顿第二定律，在ｙ方向上有加速度ａｙ，则ｍａｙ＝ｍｇ－ｑｖｘＢ，④将③式代入④式，得ｍａｙ＝－［（ｑＢ）2／ｍ］（ｙ－（ｍ2／ｑ2Ｂ2）ｇ），⑤令ｙ′＝ｙ－Ｄ，⑥式中Ｄ＝ｍ2ｇ／（ｑＢ）2＝ｇ／（ｑ／ｍ）2Ｂ2＝0．40ｍ，⑦即在ｙ方向作用于带电质点的合力Ｆｙ＝－ｋｙ′，其中ｋ＝ｑ2Ｂ2／ｍ，Ｆｙ是准弹性力，在Ｆｙ作用下，带电质点在ｙ′方向的运动是简谐运动，其振动的圆频率为ω＝＝5．0ｒａｄ·ｓ－1，⑧ｙ′随时间变化的规律为ｙ′＝Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ0），⑨或者ｙ＝Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ0）＋Ｄ，（10）图9Ａ与φ0是待求的常量，质点的简谐运动能够用参考圆来描写，以所考察的简谐运动的振幅Ａ为半径作一圆，过圆心Ｏ1作一直角坐标ｘ′Ｏ1ｙ′．若有质点Ｍ沿此圆周做匀速率圆周运动，运动的角速度等于所考察简谐运动的角频率ω，且按逆时针方向转动，在ｔ＝0时刻，点Ｍ的在圆周上的位置恰使连线Ｏ1Ｍ与ｙ′轴的夹角等于⑨式中的常量φ０，则在任意时刻ｔ，点Ｏ1与点Ｍ的连线与ｙ′轴的夹角等于ωｔ＋φ０，因此连线Ｏ1Ｍ在ｙ′轴上的投影即为⑨式所示的简谐运动，将ｘ′轴平行下移Ｄ＝0．40ｍ，连线Ｏ1Ｍ在ｙ轴的投影即如（10）式所示（参看图9所示），点Ｍ做圆周运动的速度大小ｖ＝Ａω，方向与Ｏ1Ｍ垂直，速度ｖ的ｙ分量就是带电质点沿ｙ轴做简谐运动的速度，即ｖｙ＝－Ａωｓｉｎ（ωｔ＋φ０），（11）（10）与（11）两式中的A与φ0可由下面的方法求得：由于已知在ｔ＝0时，带电质点位于ｙ＝0处，速度ｖｙ＝ｖ1，把这个条件代入（10）式与（11）式，得Ａｃｏｓφ０＋Ｄ＝0，ｖ1＝－Ａωｓｉｎφ０．解上面两式，结合①、⑧式，注意到振幅Ａ总是正的，故得φ０＝5π／4，（12）Ａ＝0．56ｍ．（13）把（10）式代入③式，便得带电质点沿ｘ轴运动的速度为ｖｘ＝ωＤ＋Ａωｃｏｓ（ωｔ＋φ０），（14）（14）式表示带电质点在ｘ方向上的速度是由两个速度合成的，即沿ｘ方向的匀速运动速度ωＤ与ｘ方向的简谐运动速度Ａωｃｏｓ（ωｔ＋φ０）的合成，带电质点沿ｘ方向的简谐运动匀速运动的位移为ｘ′＝ωＤｔ．（15）由沿ｘ方向的简谐振动速度Ａωｃｏｓ（ωｔ＋φ０）可知，沿ｘ方向振动位移的振幅等于速度的最大值与角频率的比值（参看图8），即等于Ａ．由参考圆方法可知，沿ｘ方向的振动的位移ｘ″具有如下的形式，即Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ０－（π／2））＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ０），它可能是ｘ″＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ０），亦可能是ｘ″－ｂ＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ０）．在本题中，ｔ＝0时刻，ｘ应为零，故前一表示不符合题意．后一表示式中，ｂ应取的值为ｂ＝－Ａｓｉｎφ０，故有ｘ″＝－Ａｓｉｎφ０＋Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ０）．（16）带电质点在ｘ方向的合位移ｘ＝ｘ′＋ｘ″，由（15）、（16）式，得ｘ＝ωＤｔ－Ａｓｉｎφ０＋Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ０）．（17）（17）、（10）、（14）与（11）式分别给出了带电质点在离开磁场区域前任何时刻ｔ的位置坐标与速度的ｘ分量与ｙ分量，式中常量ω、Ａ、φ０、Ｄ已分别由⑧、（13）、（12）与⑦式给出．当带电质点达到磁场的下边界时，有ｙ＝Ｌ＝0．80ｍ，（18）将与（10）式有关的数据代入，可解得ｔ＝0．31ｓ，（19）代入（17）式，得ｘ≈0．63ｍ，（20）将（19）式分别代入（14）、（11）式，得ｖｘ＝4．0ｍ·ｓ－1，ｖｙ＝2．0ｍ·ｓ－1，速度大小为ｖ＝＝4．5ｍ·ｓ－1，（21）速度方向为α＝ａｒｃｔｇ（ｖｙ／ｖｘ）＝27°．（22）图10六、1．由于光纤内所有光线都从轴上的点Ｏ出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图10为纵剖面内的光路图，设由点Ｏ发出的与轴的夹角为α的光线，射至Ａ、Ｂ分界面的入射角为ｉ，反射角也为ｉ．该光线在光纤中多次反射时的入射角均为ｉ，射至出射端面时的入射角为α．若该光线折射后的折射角为θ，则由几何关系与折射定律可得ｉ＋α＝90°，①ｎＡｓｉｎα＝ｎＦｓｉｎθ．②当ｉ大于全反射临界角ｉＣ时将发生全反射，没有光能缺失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面，而ｉ＜ｉＣ的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入Ｂ，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了．因而能射向出射端面的光线的ｉ的数值一定大于或者等于ｉＣ，ｉＣ的值由下式决定，即ｎＡｓｉｎｉＣ＝ｎＢ，③与ｉＣ对应的α值为αＣ＝90°－ｉＣ，④当α０＞αＣ时，即ｓｉｎα０＞ｓｉｎαＣ＝ｃｏｓｉＣ＝时，或者ｎＡｓｉｎα０＞时，由点Ｏ发出的光束中，只有α≤αＣ的光线才满足ｉ≥ｉＣ的条件，才能射向端面，如今出射端面处α的最大值为αｍａｘ＝αＣ＝90°－ｉＣ．⑤若α0＜αＣ，即ｎＡｓｉｎα０＜时，则由点O发出的光线都能满足ｉ＞ｉＣ的条件，因而都能射向端面，如今出射端面处α的最大值为αｍａｘ＝α０．⑥端面处入射角α最大时，折射角θ也达最大值，设为θｍａｘ，由②式可知ｎＦｓｉｎθｍａｘ＝ｎＡｓｉｎαｍａｘ．⑦由⑥、⑦式可得，当α０＜αＣ时，有ｎＦ＝ｎＡｓｉｎα０／ｓｉｎθｍａｘ，⑧当α０≥αＣ时，由③至⑦式可得，ｎＦ＝ｎＡｃｏｓｉＣ／ｓｉｎθｍａｘ＝／ｓｉｎθｍａｘ，⑨θｍａｘ的数值可由图11上的几何关系求得ｓｉｎθｍａｘ＝（（ｄ2－ｄ１）／2）／．（10）图11因此当α0＜αＣ时，ｎＦ的表达式应为ｎＦ＝ｎＡｓｉｎα０（／（（ｄ2－ｄ1）／2），（11）当α０≥αＣ时，有ｎＦ＝（／（（ｄ2－ｄ１）／2）．（12）2．可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得ｈ１′、ｈ2′、ｄ１′、ｄ2′，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同．已知空气的折射率等于1，故有当α０＜αＣ时，有1＝ｎＡｓｉｎα０／（（ｄ2′－ｄ１′）／2），（13）当α０≥αＣ时，有1＝（／（（ｄ2′－ｄ１′）／2），（14）将（11）、（12）两式分别与（13）、（14）式相除，均得ｎＦ＝（（ｄ2′－ｄ１′）／（ｄ2－ｄ１））（／）．（15）此结果适用于α０为任何值的情况．。