2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期23.1、图形的旋转同步练习26

23.1图形的旋转一、选择题（共 5 小题）1．如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=30°， BC=2，将△ ABC绕点 C 顺时针方向旋转60°后得到△ EDC，此时点 D 在斜边 AB上，斜边DE交 AC于点 F．则图中暗影部分的面积为（）A．2B．C．D．2．如图，在△ ABC中，∠ CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点 A 旋转到△ AB′C′的地点，使得CC′∥ AB，则∠ BAB′=（）A．30° B ．35° C ．40° D ．50°3．如图，将△ ABC绕点 A 逆时针旋转必定角度，获得△ADE．若∠ CAE=65°，∠ E=70°，且AD⊥ BC，∠ BAC的度数为（）A．60° B ．75° C ．85° D ．90°4．以下四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完整重合的是（）A．B．C．D．5．把一副三角板如图甲搁置，此中∠ACB=∠DEC=90°，∠ A=45°，∠ D=30°，斜边A B=6， DC=7，把三角板DCE绕点C 顺时针旋转15°获得△ D CE （如图乙），此时11AB与CD 交于点1 O，则线段AD1的长为（）A．B．5C．4D．二、填空题（共11 小题）6．如图，△ ABC和△ A′B′C是两个完整重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm．三角板A′B′C绕直角极点C顺时针旋转，当点A′落在 AB边上时， CA′旋转所组成的扇形的弧长为______cm．7．如图，在直角△OAB中，∠ AOB=30°，将△OAB绕点 O逆时针旋转100°获得△OA1B1，则∠A1OB=°．8．如图，Rt △ABC的斜边 AB=16，Rt △ ABC绕点 O顺时针旋转后获得 Rt △A′B′C′，则 Rt△A′B′C′的斜边 A′B′上的中线 C′D的长度为 ______．9．如图，在方格纸中，每个小方格都是边长为 1cm 的正方形，△ ABC的三个极点都在格点上，将△ ABC 绕点 O逆时针旋转 90°后获得△ A′B′C′（此中 A、 B、 C 的对应点分别为 A′， B′， C′，则点 B在旋转过程中所经过的路线的长是______cm．（结果保存π）10．如图，是两块完整同样的含30°角的三角板，分别记作△ABC与△ A′B′C′，现将两块三角板重叠在一同，设较长直角边的中点为 M，绕中点 M转动上边的三角板 ABC，使其直角极点 C恰巧落在三角板A′B′C′的斜边 A′B′上，当∠ A=30°， AC=10 时，则此时两直角极点 C、C′间的距离是______．11．如图，正方形ABCD的对角线订交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE=BF时，∠AOE的大小是______．12．如下图，将△ABC绕 AC的中点 O顺时针旋转180°获得△ CDA，增添一个条件______，使四边形 ABCD为矩形．13．如图，将△ ABC绕此中一个极点顺时针连续旋转 n′1、n′2、n′3所获得的三角形和△ ABC的对称关系是 ______．14．如图，在△ ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ ABC绕点 A 按顺时针旋转必定角度获得△ADE，当点 B 的对应点D恰巧落在BC边上时，则CD的长为______．15．如图，在 Rt △ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=α，将△ ABC绕点 C 按顺时针方向旋转后获得△ EDC，此时点 D 在 AB边上，则旋转角的大小为 ______．16．如图，△ AOB中，∠ AOB=90°， AO=3， BO=6，△ AOB绕极点 O逆时针旋转到△ A′OB′处，此时线段 A′B′与 BO的交点 E 为 BO的中点，则线段 B′E的长度为 ______．三、解答题（共 6 小题）17．如下图，正方形ABCD中， E 是 CD上一点， F 在 CB的延伸线上，且DE=BF．（1）求证：△ ADE≌△ ABF；（2）问：将△ ADE顺时针旋转多少度后与△ ABF重合，旋转中心是什么？18．四边形ABCD是正方形， E、F 分别是 DC和 CB的延伸线上的点，且DE=BF，连结 AE、 AF、 EF．（1）求证：△ ADE≌△ ABF；（2）填空：△ ABF能够由△ ADE绕旋转中心 ______ 点，按顺时针方向旋转 ______ 度获得；（3）若 BC=8， DE=6，求△ AEF的面积．19．如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形ABCD和一个长为2、宽为 1 的长方形CEFD拼在一同，组成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点 C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．（1）当点 D′恰巧落在 EF 边上时，求旋转角 a 的值；（2）如图 2，G为 BC中点，且 0°＜ a＜90°，求证： GD′=E′D；（3）小长方形 CEFD绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，△ DCD′与△ CBD′可否全等？若能，直接写出旋转角 a 的值；若不可以说明原因．20．将△ ABC绕点 B 逆时针旋转α 获得△ DBE，DE的延伸线与AC订交于点F，连结 DA、 BF．（1）如图 1，若∠ ABC=α=60°， BF=AF．①求证： DA∥BC；②猜想线段DF、 AF 的数目关系，并证明你的猜想；（ 2）如图 2，若∠ ABC＜α， BF=mAF（ m为常数），求的值（用含m、α 的式子表示）．21．某校九年级学习小组在研究学习过程中，用两块完整同样的且含60°角的直角三角板ABC与 AFE按如图（ 1）所示地点搁置搁置，现将Rt △ AEF绕 A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2）， AE 与BC交于点M，AC与EF 交于点N， BC与EF交于点P．（1）求证： AM=AN；（2）当旋转角α=30°时，四边形 ABPF是什么样的特别四边形？并说明原因．22．如图 1，在△ ABC中，∠ A=36°， AB=AC，∠ ABC的均分线BE 交 AC于 E．（1）求证： AE=BC；（2）如图（ 2），过点 E 作 EF∥ BC交 AB 于 F，将△ AEF绕点 A 逆时针旋转角α（ 0°＜α＜ 144°）获得△ AE′F′，连结 CE′， BF′，求证： CE′=BF′；（ 3）在（ 2）的旋转过程中能否存在CE′∥ AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明原因．23.1图形的旋转参照答案一、选择题（共 5 小题）1．C； 2． C；3． C； 4． A； 5． B；二、填空题（共 11 小题）6．；7．70；8．8；9．π； 10． 5；11． 15°或 165°； 12．∠ B=90°； 13．对于旋转点成中心对称； 14． 1.6 ；15． 2a ； 16．；三、解答题（共 6 小题）17．18．A； 90；19．20．21．22．。

人教版九年级数学上册23.1 图形的旋转同步训练（含答案）一、选择题（本大题共10道小题）1. 将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2. 如图所示，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心是( )A．点A B．点BC．点C D．点D3. 如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变换得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是( )A．①④B．②③C．②④D．③④4. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4 cm，OB＝1 cm，∠B′＝60°，那么A′B的长是( )A．4 cm B．3 cmC．2 3 cm D．(4－3)cm5. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B′的坐标是( )A．(－1，2) B．(1，4)C．(3，2) D．(－1，0)6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为( )A.10 B．2 2C．3 D．2 57. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，3)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为( )A．(3，1) B．(3，－1) C．(2，1) D．(0，2)8. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为( )A．4 B．2 5C．6 D．2 69. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是( )A．AC＝AD B．AB⊥EBC．BC＝DE D．∠A＝∠EBC10. 如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝3，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则点B的对应点B′的坐标是( )A．(3，－1) B．(1，－3)C．(2，0) D．(3，0)二、填空题（本大题共5道小题）11. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为(1，0)，点A 在x轴正半轴上，且AC＝2.将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位长度，则变化后点A的对应点的坐标为________．12. 一副三角尺如图21－K－5放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为________．图21－K－513. 分类讨论如图，点A的坐标为(－1，5)，点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(5，3)，点D的坐标为(3，－1)．小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是_________．教师详解详析14. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D 恰好在同一直线上，则∠B的度数为________．15. 如图，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－33x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－33x上，依次进行下去……若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为________．三、解答题（本大题共3道小题）16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与点A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．17. 如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD ＝30，DM＝10.(1)在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外部的点D1处转到其内部的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．18. (1)如图(a)，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.①求证：BE＋CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．(2)如图(b)，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．人教版九年级数学上册23.1 图形的旋转同步训练（含答案）-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D [解析] 平行四边形绕其对角线的交点旋转能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是180°，故A错误；矩形绕其对角线的交点旋转，能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是180°，故B错误；菱形绕其对角线的交点旋转，能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是180°，故C错误；正方形绕其对角线的交点旋转，能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是90°.故选D.2. 【答案】B [解析] 旋转中心到对应点的距离相等．3. 【答案】D [解析] 先将△ABC绕着B′C的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着B′C′的中点旋转180°，即可得到△A′B′C′；先将△ABC沿着B′C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B′C′的垂直平分线翻折，即可得到△A′B′C′.故选D.4. 【答案】B [解析] ∵旋转前、后的两个图形是全等图形，AB＝4 cm，OB＝1cm，∴A′B′＝AB＝4 cm，OB′＝OB＝1 cm.在△OB′B中，∵∠B′＝60°，OB′＝OB，∴△OB′B是等边三角形，∴BB′＝OB＝1 cm，∴A′B＝A′B′－BB′＝4－1＝3(cm)．5. 【答案】C6. 【答案】A [解析] ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5. ∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE＝4，DE＝3，∴BE＝1.在Rt△BED中，BD＝BE2＋DE2＝10.故选A.7. 【答案】A [解析] 如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，∴∠AEO＝∠A′FO＝90°.∵点A的坐标为(1，3)，∴AE＝1，OE＝3，∴OA＝2，∠AOE＝30°，由旋转可知∠AOA′＝30°，OA′＝OA＝2，∴∠A′OF＝90°－30°－30°＝30°，∴A′F＝12OA′＝1，OF＝3，∴A′(3，1)．故选A.8. 【答案】D [解析] 由旋转可得，S正方形ABCD＝S四边形AECF＝20，即AD2＝20，∴AD＝2 5.∵DE＝2，∴在Rt△ADE中，AE＝AD2＋DE2＝2 6.故选D.9. 【答案】D [解析] 由旋转的性质可知，AC＝CD，但∠A不一定是60°，所以不能证明AC＝AD，所以选项A错误；因为旋转角度不定，所以选项B不能确定；因为不确定AB和BC的数量关系，所以BC和DE的数量关系不能确定，所以选项C不能确定；由旋转的性质可知∠ACD＝∠BCE，AC＝DC，BC＝EC，所以2∠A＝180°－∠ACD，2∠EBC＝180°－∠BCE，从而可证选项D是正确的．10. 【答案】A二、填空题（本大题共5道小题）11. 【答案】(－2，2) [解析] △ABC绕点C逆时针旋转90°后，点A的对应点的坐标为(1，2)，再向左平移3个单位长度，点A的对应点的坐标为(－2，2)．12. 【答案】15°或60°[解析] 分情况讨论：①若DE⊥BC，设此时直线AD与BC交于点F，则∠BFA＝90°－45°＝45°，∴∠BAD＝180°－60°－45°＝75°，∴α＝90°－∠BAD＝15°；②若AD⊥BC，则∠BAD＝30°，∴α＝90°－∠BAD＝60°.故答案为15°或60°.13. 【答案】(4，4)或(1，1)[解析] (1)若点A和点D、点B和点C分别为对应点，如图①，分别作线段AD，BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点P1(4，4)即为旋转中心；(2)若点A和点C、点B和点D分别为对应点，如图②，分别作线段AC，BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点P2(1，1)即为旋转中心．综上所述，旋转中心的坐标是(4，4)或(1，1)．14. 【答案】15°[解析] 由旋转的性质可知AB＝AD，∠BAD＝150°，∴∠B＝∠ADB＝12×(180°－150°)＝15°.15. 【答案】9＋3 3 [解析] 将y＝1代入y＝－33x，解得x＝－ 3.∴AB＝3，OA＝2，且直线y＝－33x与x轴所夹的锐角是30°.由图可知，在旋转过程中每3次一循环，其中OO2＝O2O4＝O4O6＝O6O8＝O 8O 10＝O 10O 12＝2＋3＋1＝3＋ 3. ∴OO 12＝6×(3＋3)＝18＋63. ∴点O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋3 3.三、解答题（本大题共3道小题）16. 【答案】解：(1)证明：由题意可知，CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ，即∠ACD ＝∠BCE.在△ACD 与△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)．(2)∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°.∵△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE ，∠CBE ＝∠A ＝45°.∵AD ＝BF ，∴BE ＝BF ，∴∠BEF ＝12×(180°－45°)＝67.5°.17. 【答案】 解：(1)①当A ，D ，M 三点在同一直线上时，AM ＝AD ＋DM ＝40或AM ＝AD－DM＝20.②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，∵AM>0，∴AM＝20 2.当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1000，∵AM>0，∴AM＝10 10.综上所述，满足条件的AM的长为20 2或10 10.(2)如图，连接CD1，由题意得，∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30 2.∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝∠AD2C－∠AD2D1＝90°，∴CD1＝（30 2）2＋602＝30 6.∵∠BAC＝∠D1AD2＝90°，∴∠BAC－∠CAD2＝∠D1AD2－∠CAD2，∴∠BAD2＝∠CAD1.又∵AB＝AC，AD2＝AD1，∴△BAD2≌△CAD1(SAS)，∴BD2＝CD1＝30 6.18. 【答案】解：(1)①证明：如图(a)，将△DBE绕点D旋转180°得到△DCG，连接FG，则△DCG≌△DBE.∴DG＝DE，CG＝BE.又∵DE⊥DF，∴DF垂直平分线段EG，∴FG＝EF.∵在△CFG中，CG＋CF＞FG，∴BE＋CF＞EF.②BE2＋CF2＝EF2.证明：∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACD＝90°.由①得，∠FCG＝∠FCD＋∠DCG＝∠FCD＋∠B＝90°，∴在Rt△CFG中，由勾股定理，得CG2＋CF2＝FG2，∴BE2＋CF2＝EF2.(2)EF＝BE＋CF.证明：如图(b)．∵CD＝BD，∠BDC＝120°，∴将△CDF绕点D逆时针旋转120°得到△BDM，∴△BDM≌△CDF，∴DM＝DF，BM＝CF，∠BDM＝∠CDF，∠DBM＝∠C.∵∠ABD＋∠C＝180°，∴∠ABD＋∠DBM＝180°，∴点A，B，M共线，∴∠EDM ＝∠EDB ＋∠BDM ＝∠EDB ＋∠CDF ＝∠BDC －∠EDF ＝120°－60°＝60°＝∠EDF.在△DEM 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DE ，∠EDM ＝∠EDF ，DM ＝DF ，∴△DEM ≌△DEF ，∴EF ＝EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋CF.。

九年级数学上册第二十三章旋转：
图形的旋转（第2课时）
1．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，•则旋转角等于（）
A．50° B．210° C．50°或210° D．130°
2．在图形旋转中，下列说法错误的是（）
A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等
B．图形上每一点移动的角度相同
C．图形上可能存在不动的点
D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等
3．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________．
4．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD 绕A旋转42°后得到的图形是_ ，它们之间的关系是______，•其中BD=_________．
5.将下图中大写字母N绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90˚，作出旋转后的图案.
6．如图，以△ABC的三顶点为圆心，半径为1，作两两不相交的扇形，•则图中三个扇形面积之和是多少？
参考答案：
1.C
2.A
3.相等
4.△ACE ， 全等， CE
5.略
6.6.三个扇形组合在一块成为一个半圆，面积2212ππ=⨯=S。

23.1.1图形的旋转附答案知识点在平面内，把一个图形绕着某______沿着某个方向转动______的图形变换叫做旋转．这个点O叫做______，转动的角叫做______．因此，图形的旋转是由______和_____及_ 决定的．一．选择题1. 下列物体的运动不是旋转的是（）A．坐在摩天轮里的小朋友B．正在走动的时针C．骑自行车的人D．正在转动的风车叶片2．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（）．A．6个B．7个C．8个D．9个3.同学们曾玩过万花筒吗？如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以点A为中心（）得到的.A、顺时针旋转60°B、顺时针旋转120°C、逆时针旋转60°D、逆时针旋转120°(第3题) (第4题) (第5题)4. 如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（）A．900 B．600 C．450 D．3005.如图，图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是( )A、300B、600C、900D、1200二、填空6．如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两点叫做这个旋转的______．7．如图，△AOB旋转到△A′OB′的位置．若∠AOA′=90°，则旋转中心是点______．旋转角是______．点A的对应点是______．线段AB的对应线段是______．∠B的对应角是______．∠BOB′=______．A'(第7题) (第8题) (第9题)8．如图，△ABC绕着点O旋转到△DEF的位置，则旋转中心是______．旋转角是______．AO=______，AB=______，∠ACB=∠______．9．如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转______度，可与其自身重合．10．一个平行四边形ABCD，如果绕其对角线的交点O旋转，至少要旋转______度，才可与其自身重合．11．钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了______度．12.如图，把△ABC绕C顺时针旋转350，得到△A＇B＇C，若∠BCA＇=1000，则∠B/CA=_______。

第二十三章旋转23.1图形的旋转一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．平面图形的旋转一般情况下会改变图形的A．位置B．大小C．形状D．性质【答案】A【解析】旋转和平移一样只改变图形的位置．故选A．2．如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是A．球B．圆柱C．半球D．圆锥【答案】A3．…依次观察这三个图形，并判断照此规律从左向右的第四个图形是【答案】D【解析】根据图形，有规律可循．从左到右图形顺时针方向旋转，可得到第四个图形是D．故选D．4．若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是A．15°B．30°C．45°D．75°【答案】C【解析】如图：∵∠AOB=60°，∠BOD=15°，∴∠AOD=∠AOB–∠BOD=60°–15°=45°，故选C．5．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是A．96 B．69 C．66 D．99【答案】B【解析】现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．故选B．6．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．如图，将△AO B绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠BOC=__________度．【答案】60°【解析】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后，得到△COD，∴∠BOD=45°，又∵∠AOB=15°，∴∠BOC=∠BOD+∠AOB=45°+15°=60°.故答案为：60°.8．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得C′C ∥A B，则∠B′AB等于__________．【答案】50°9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC =2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B=__________．【答案】31-【解析】如图,连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′,∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，'''''' AB BBAC B C BC BC⎧===⎪⎨⎪⎩，∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，可证得AD=12AB′=12AB．∵∠C =90°，AC =BC =2，∴A B =()()2222+=2，∴BD =22AB AD -=3，C ′D =12×2=1，∴BC ′=BD −C ′D =3−1. 故答案为：3−1.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．如图，已知点A ，B 的坐标分别为（0，0）、（2，0），将△ABC 绕C 点按顺时针方向旋转90°得到△A 1B 1C ．（1）画出△A 1B 1C ；（2）A 的对应点为A 1，写出点A 1的坐标； （3）求出B 旋转到B 1的路线长．【解析】（1）△A 1B 1C 如图所示．（2）A 1（0，6）．（3）点B 旋转到B1的路线长即为1B B 的长度． 由题知旋转角为90°，BC=10， ∴1B B =90π10180⨯=10π2．11．如图，等腰Rt △ABC 中，BA =BC ，∠ABC =90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕点B 沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE ． （1）求∠DCE 的度数；（2）若AB =4，CD =3AD ，求DE 的长．（2）∵BA =BC ，∠ABC =90°， ∴AC 2242AB BC +=∵CD =3AD ，∴AD 2，DC 2．由旋转的性质可知：AD =EC 2．∴DE 2225CE DC +=12．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD –BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE–CD=AD–BE．（3）DE=BE–AD（或AD=BE–DE，BE=AD+DE等）．易证得△ACD≌△CBE，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD–CE=BE–AD．。

人教版九年级数学上册《23.1图形的旋转》同步练习题（附答案）考试时间：60分钟；总分：100分一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）1．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（）A．135°B．90°C．60°D．45°2．下列运动属于旋转的是（）A．篮球的滚动过程B．转动的方向盘C．气球升空的运动D．一个图形沿某直线对折的过程3．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度a得到△A'B'C，∠A＝30°，∠1＝50°，则旋转角a等于（）A．110°B．70°C．40°D．20°4．如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面AB与水平地面的夹角∠CAB为61°，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面AB绕点A旋转的度数为（）A．119°B．120°C．61°D．121°5．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°6．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（）A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠CC．AD∥BC D．AD＝DE7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（）A．（5，0）B．（8，0）C．（0，5）D．（0，8）8．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接AA'，若∠1＝25°．则∠BAA'的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．如图，四边形EFGH是由四边形ABCD经过旋转得到的，如果用有序数对（2，1）表示方格纸上点A 的位置，用（1，2）表示点B的位置，那四边形ABCD旋转得到四边形EFGH时的旋转中心用有序数对表示是．10．如图，图形是由一个菱形经过次旋转得到，每次旋转了度．11．如图所示，△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为．12．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使得点B落在AB边上的点D处，此时点A的对应点E恰好落在BC边的延长线上，若∠B＝50°，则∠A的度数为．三．解答题（共4题，满分52分，每小题13分）13．（13分）如图，作出△ABC绕点O顺时针旋转60°之后的三角形．（保留作图痕迹）14．（13分）如图，已知正方形ABCD，点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且CF＝AE．以图中某一点为旋转中心，将△DAE按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△DCF重合．（1）旋转中心是点，旋转角的度数为°．（2）判断△DFE的形状并说明理由．15．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是度；（2）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．16．（13分）如图，点O是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB＝90°，∠AOB＝140°，∠AOC＝α，将△AOC绕顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，连接OD（1）当α＝95°时，是判断△BOD的形状，并说明理由；（2）若OC＝1，OA＝2，OB＝，求∠BOC的度数；（3）当α等于多少度时，△BOD是等腰三角形？参考答案与试题解析一．选择题（共25小题，满分100分，每小题4分）1．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（）A．B．90°C．60°D．45°解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角而∠DOB＝90°．∴旋转的角度为90°．故选：B．2．下列运动属于旋转的是（）A．篮球的滚动过程B．转动的方向盘C．气球升空的运动D．一个图形沿某直线对折的过程解：A、篮球的滚动不一定是旋转；B、转动的方向盘，属于旋转；C、气球升空的运动是平移，不属于旋转；D、一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转．故选：B．3．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度a得到△A'B'C，∠A＝30°，∠1＝50°，则旋转角a等于（）A．110°B．70°C．40°D．20°解：∵△ABC绕点C顺时针旋转某个角度α得到△A′B′C∴∠A＝∠A′＝30°又∵∠1＝∠A′+∠ACA′＝50°∴∠BCB′＝∠ACA′＝20°故选：D．4．如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面AB与水平地面的夹角∠CAB为61°，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面AB绕点A旋转的度数为（）A．119°B．120°C．61°D．121°解：∵AB与地面的夹角∠CAB为61°∴∠BAB'＝180°﹣∠CAB＝180°﹣61°＝119°即旋转角为119°∴箕面AB绕点A旋转的度数为119°．故选：A．5．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′∠AOA′即为旋转角∴旋转角为90°故选：C．6．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（）A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠CC．AD∥BC D．AD＝DE解：∵点E在AB的延长线上∴A、B、E三点在同一条直线上∴∠ABD和∠CBE分别是△DBE和△ABC的外角∴∠ABD＞∠E，∠CBE＞∠C故A错误、B错误；由旋转得BD＝BA，∠ABD＝∠CBE＝60°∴△ABD是等边三角形∵∠ADB＝60°，∠CBD＝180°﹣∠ABD﹣∠CBE＝60°∴∠ADB＝∠CBD∴AD∥BC故C正确；∵∠DAE＝∠ABD＝60°，∠E＜∠ABD∴∠E＜60°∴∠DAE≠∠E若AD＝DE，则∠DAE＝∠E，显然与已知条件相矛盾∴AD≠DE故D错误故选：C．7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（）A．（5，0）B．（8，0）C．（0，5）D．（0，8）解：∵A（3，0），B（0，4）∴AO＝3，BO＝4∴AB＝＝5∴AB＝AB′＝5，故OB′＝8∴点B′的坐标是（8，0）．故选：B．8．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接AA'，若∠1＝25°．则∠BAA'的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C∴AC＝A′C∴△ACA′是等腰直角三角形∴∠CA′A＝∠A′AC＝45°∴∠CA′B′＝∠CA′A﹣∠1＝45°﹣25°＝20°＝∠BAC∴∠BAA′＝∠BAC+∠A′AC＝20°+45°＝65°故选：C．二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分）9．如图，四边形EFGH是由四边形ABCD经过旋转得到的，如果用有序数对（2，1）表示方格纸上点A 的位置，用（1，2）表示点B的位置，那四边形ABCD旋转得到四边形EFGH时的旋转中心用有序数对表示是（5，2）．解：如图，连接AE、DH作AE、DH的垂线，相交于点P，则点P即为旋转中心∵A（2，1），B（1，2）∴P（5，2）．故答案为：（5，2）．10．如图，图形是由一个菱形经过六次旋转得到，每次旋转了60度．解：图形是由一个菱形经过六次旋转得到，每次旋转了360°÷6＝60度．故答案为：六；60．11．如图所示，△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为17°．解：∵∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′∴∠B'AC'＝33°，∠BAB'＝50°∴∠B′AC的度数＝50°﹣33°＝17°．故答案为：17°．12．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使得点B落在AB边上的点D处，此时点A的对应点E恰好落在BC边的延长线上，若∠B＝50°，则∠A的度数为30°．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转∴BC＝CD，∠BCD＝∠ACE∴∠B＝∠BDC＝50°∴∠BCD＝80°＝∠ACE∵∠ACE＝∠B+∠A∴∠A＝80°﹣50°＝30°故答案为：30°．三．解答题（共11小题，满分143分，每小题13分）13．（13分）如图，作出△ABC绕点O顺时针旋转60°之后的三角形．（保留作图痕迹）解：如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形．14．（13分）如图，已知正方形ABCD，点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且CF＝AE．以图中某一点为旋转中心，将△DAE按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△DCF重合．（1）旋转中心是点D，旋转角的度数为90°．（2）判断△DFE的形状并说明理由．解：（1）∵将△DAE按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△DCF重合∴∠ADC＝∠EDF＝90°，DE＝DF∴旋转中心是点D，旋转角的度数为90°故答案为：D，90；（2）△DEF是等腰直角三角形理由如下：∵将△DAE按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△DCF重合∴∠ADC＝∠EDF＝90°，DE＝DF∴△DEF是等腰直角三角形．15．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是2个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是y轴；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是120度；（2）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0）∴△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD；∴△AOC与△BOD关于y轴对称；∵△AOC为等边三角形∴∠AOC＝∠BOD＝60°∴∠AOD＝120°∴△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB．（2）如图，∵等边△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB∴OA＝OD∵∠AOC＝∠BOD＝60°∴∠DOC＝60°即OE为等腰△AOD的顶角的平分线∴OE垂直平分AD∴∠AEO＝90°．故答案为2；y轴；120．16．（13分）如图，点O是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB＝90°，∠AOB＝140°，∠AOC＝α，将△AOC绕顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，连接OD（1）当α＝95°时，是判断△BOD的形状，并说明理由；（2）若OC＝1，OA＝2，OB＝，求∠BOC的度数；（3）当α等于多少度时，△BOD是等腰三角形？解：（1）△BOD为等腰三角形．理由如下：∵△AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC∴∠OCD＝90°，CO＝CD，∠CDB＝∠COA＝α∴△COD是等腰直角三角形；∴∠COD＝∠CDO＝45°∵∠BOD＝360°﹣∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝360°﹣140°﹣95°﹣45°＝80°而∠BDO＝∠CDB﹣∠CDO＝95°﹣45°＝50°∴∠DBO＝180°﹣∠BDO﹣∠BOD＝50°∴∠DBO＝∠BDO∴△BOD为等腰三角形；（2）∵△COD是等腰直角三角形∴OD＝OC＝而BD＝OA＝2，OB＝∴OB2+OD2＝BD2∴△BOD为等腰直角三角形∠BOD＝90°；（3）∠BOD＝360°﹣∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝360°﹣140°﹣α﹣45°＝175°﹣α∠BDO＝∠CDB﹣∠CDO＝α﹣45°∠OBD＝180°﹣∠BDO﹣∠BOD＝180°﹣α+45°﹣175°+α＝50°当BD＝OD时，∠OBD＝∠BOD，即175°﹣α＝50°，解得α＝125°；当OB＝OD时，∠OBD＝∠BDO，即α﹣45°＝50°，解得α＝95°；当DB＝DO时，∠BOD＝∠DBO，即175°﹣α＝α﹣45°，解得α＝110°即当α等于125°或95°或110°时，△BOD是等腰三角形．。

优质文档新人教版九年级数学上册23.1图形的旋转（2）同步练习———提优清单———提优点1：旋转的性质提优点2：利用旋转的证明与计算———典型例题———【例1】（2012•湖北十堰）如图，O 是正△ABC 内一点，OA =3，OB =4，OC =5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB =150°；④S 四边形AOBO′=6＋33；⑤S△AOC＋S △AOB =6＋493．其中正确的结论是（）A ．①②③⑤B ．①②③④C ．①②③④⑤D ．①②③【方法总结】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB 向不同方向旋转，体现了结论①－结论④解题思路的拓展应用．变式：如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA =1，PB =2，PC =3，以点B 为旋转中心将△ABC 顺时针旋转使点A 与点C 重合，这时P 点旋转到G 点．（1）画出旋转后的图形，此时△ABP 绕点B 旋转了多少度？（2）请你猜想△PGC 的形状，并说明理由．【例2】（2014•江苏宿迁）如图，已知△BAD 和△BCE 均为等腰直角三角形，∠BAD =∠BCE =90°，点M 为DE 的中点，过点E 与AD 平行的直线交射线AM 于点N ． （1）当A ，B ，C 三点在同一直线上时（如图1），求证：M 为AN 的中点；（2）将图1中的△BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE 绕点B 旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．【方法总结】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量（或全等）关系．或通过旋转图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．【例3】（2013•四川达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则EF =BE ＋DF ，试说明理由． （1）思路梳理 ∵AB =CD ，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合．∵∠ADC =∠B =90°，∴∠FDG =180°，点F 、D 、G 共线．根据 ，易证△AFG ≌ ， 得EF =BE ＋DF ．（2）类比引申如图2，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF =45°．若∠B 、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足等量关系 时，仍有EF =BE ＋DF ． （3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．【方法总结】解答阅读理解型问题的关键在于阅读，重在理解，考察自学能力和应用新知识、新方法的能力．解题策略是：理清材料脉络，归纳总结数学思想方法和解题技巧，构建相应的数学模型来解答．———分层提优———复习巩固提优1．（☆）如图，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD，AC于点F，G．则旋转后的图中，全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对2．（☆2013•天津市）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形（第2题图）（第3题图）3．（☆☆2014•贵州遵义）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）A．2－2B．32C．3－1 D．1 4．（☆2013•湖北鄂州）如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为．（第4题图）（第5题图）5．（☆☆2014•陕西省）如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为_______．6．（☆☆2011•福建宁德）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，设CD交AB于F，连接AD，当旋转角α度数为，△ADF是等腰三角形．（第6题图）（第7题图）7．（☆☆☆2014•黑龙江牡丹江）如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠C=90°，点D为BC中点，将△ABC绕点D 逆时针旋转45°，得到△A′B′C′，B′C′与AB交于点E，则S四边形ACDE= ．8．（☆☆2013•湖北襄樊）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为度时，边AD′落在AE上；②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．综合运用提优9．（☆☆2014•湖北孝感）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C 为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）A．（2，10）B．（－2，0）C．（2，10）或（－2，0）D．（10，2）或（－2，0）（第9题图）（第10题图）10．（☆☆2014•黑龙江大庆）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）A．34B．212C．2－1 D．1＋211．（☆☆☆2014•四川绵阳）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为．（第11题图）（第12题图）12．（☆☆2013•黑龙江牡丹江）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（0，6），D（4，0），将菱形ABCD 先向左平移5个单位长度，再向下平移8个单位长度，然后在坐标平面内绕点O旋转90°，则边AB中点的对应点的坐标为．13．（☆☆2013•青海西宁）如图，是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC与△A′B′C′，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A′B′C′的斜边A′B′上，当∠A=30°，AC=10时，则此时两直角顶点C、C′间的距离是．14．（☆☆☆☆2014•江西省）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC 边上（不与点B、C重合）．第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．①请判断四边形EFGH的形状为，此时AE与BF的数量关系是；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．拓广探究提优15．（☆☆☆☆☆2014•重庆A卷）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=203，AE⊥BD，垂足是E．点F 是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．———参考答案———例1．【答案】【解析】连接OO′，证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′＋S△OB O′=6＋43，故结论④错误；如图，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC＋S△AOB转化为S△COO″＋S△AOO″，计算可得结论⑤正确．变式：【解析】（1）如图所示，此时△ABP绕点B顺时针旋转了90°；（2）证明：由已知可得：△ABP≌△CBG，∴BP=BG，∠ABP=∠CBG，CG=AP=1，又∵在正方形ABCD中，∠ABC=90°，即∠ABP＋∠PBC=90°，∴∠CBG＋∠PBC=90°，∴∠PBG=90°，∴在Rt△PBG中，PG2=BP2＋BG2=8，又∵GC2=12=1，PC2=32=9，∴PC2=PG2＋GC2，∴△PGC是直角三角形．例2．【解析】（1）证明：如图1，∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．∵点M为DE的中点，∴DM=EM．在△ADM和△NEM中，∠MAD＝∠MNE，∠ADM＝∠NEM，DM＝EM，∴△ADM≌△NEM，∴AM=MN．∴M为AN的中点．（2）证明：如图2，∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，∴∠DAE＋∠NEA=180°．∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180°－∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，AB＝NE，∠ABC＝∠NEC，BC＝EC，∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．（3）△ACN仍为等腰直角三角形．证明：如图3，此时A、B、N三点在同一条直线上．∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．∵∠BCE=90°，∴∠CBN＋∠CEN=360°－90°－90°=180°．∵A、B、N三点在同一条直线上，∴∠ABC＋∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，AB＝NE，∠ABC＝∠NEC，BC＝EC，∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．例3．【解析】（1）SAS，△AFE；（2）∠B+∠D=180°；（3）猜想：DE2=BD2+EC2．证明：根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，∴△AEC ≌△ABE′，∴BE′=EC ，AE′=AE ，∠C =∠ABE′，∠EAC =∠E′AB ． 在Rt △ABC 中，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =45°， ∴∠ABC +∠ABE′=90°，即∠E′BD =90°，∴E′B 2+BD 2=E′D 2， 又∵∠DAE =45°，∴∠BAD +∠EAC =45°， ∴∠E′AB +∠BAD =45°，即∠E′AD =45°．在△AE′D 和△AED 中，AE′＝AE ，∠E′AD ＝∠DAE ，AD ＝AD ， ∴△AE′D ≌△AED （SAS ），∴DE =DE′， ∴DE 2=BD 2+EC 2． 例4．【解析】 1．【答案】C【解析】旋转后的图中，全等的三角形有：△B′CG ≌△DCE ，△A′B′C ≌△ADC ，△AGF ≌△A′EF ，△ACE ≌△A′CG ，共4对． 2．【答案】A【解析】∵△ADE 绕点E 旋转180°得△CFE ，∴AE =CE ，DE =EF ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵AC =BC ，点D 是边AB 的中点，∴∠ADC =90°，∴四边形ADCF 矩形． 3．【答案】C【解析】如图，连接BB′，∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB =AB′，∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB =BB′，∴△ABC ′≌△B′BC′（SSS ），∴∠ABC′=∠B′BC′．延长BC′交AB′于D ，则BD ⊥AB′，∵∠C =90°，AC =BC 2，∴AB 22(2)(2) ，∴BD =2×32=3，C′D =12×2=1，∴BC′=BD －C′D 3－1． 4．【答案】955【解析】∵∠AOB =90°，AO =3，BO =6，∴AB =2236+=35．∵△AOB绕顶点O 逆时针旋转到△A′OB′处，∴AO =A′O =3，A′B′=AB =35．∵点E 为BO 的中点，∴OE =12BO =12×6=3，∴OE =A′O ．过点O 作OF ⊥A′B′于F ，S △A′OB′=12×35•OF =12×3×6，解得OF =655．在Rt △EOF 中，EF =22OE OF -=355．∵OE =A′O ，OF ⊥A′B′，∴A′E =2EF =2×355=655（等腰三角形三线合一），∴B′E =A′B′－A′E =35－655=955．5．【答案】22【解析】由题意可得出：∠BDC =45°，∠DA′E =90°，∴∠DEA′=45°，∴A′D =A′E ．∵在正方形ABCD 中，AD =1，∴AB =A′B =1，∴BD 2A′D 2－1，∴在Rt △DA′E 中，DE 2DA′=22．6．【答案】40°或20°【解析】∵△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC ，∴∠DCA =α，CD =CA ，∴∠CDA =∠CAD =12（180°－α）=90°－12α，∵△ADF 是等腰三角形，∠DFA =30°＋α，①CD =CA ，则∠CDA =∠CAD ，当FD =FA ，则∠FDA =∠FAD ，这不合题意舍去；②当AF =AD ，∴∠ADF =∠AFD ，∴90°－12α=30°＋α，解得α=40°；③当DF =DA ，∴∠DFA =∠DAF ，∴30°＋α=90°－12α－30°，解得α=20°． 7．【答案】28【解析】由题意可得∠B =∠BDE =45°，BD =4，则∠DEB =90°，∴BE =DE 2，∴S △BDE =12×2×2．∵S △ACB=12×AC ×BC =32，∴S 四边形ACDE=S △ACB －S △BDE =28．8．【解析】（1）证明：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形， ∴AB =AD ，AE =AC ，∠BAD =∠CAE =60°，∴∠BAD +∠DAE =∠CAE +∠DAE ，即∠BAE =∠DAC ．在△BAE和△DAC中，AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，AE＝AC，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴BE=CD；（2）①60．②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．理由如下：由旋转可知，AB′与AD重合，∴AB=BD=DD′=AD′，∴四边形ABDD′是菱形，∴∠ABD′=∠DBD′=12∠ABD=12×60°=30°，DP∥BC．∵△ACE是等边三角形，∴AC=AE，∠ACE=60°，∵AC=2AB，∴AE=2AD′，∴∠PCD′=∠ACD′=12∠ACE=12×60°=30°，又∵DP∥BC，∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°．在△BDD′与△CPD′中，∠DBD′＝∠PCD′，BD′＝CD′，∠BD′D＝∠PD′C，∴△BDD′≌△CPD′（ASA）．9．【答案】C【解析】∵点D（5，3）在边AB上，∴BC=5，BD=5－3=2．①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，所以，D′（－2，0）；②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D′（2，10）．综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（－2，0）．10．【答案】C【解析】连接AC1，∵四边形AB1C1D1是正方形，∴∠C1AB1=12×90°=45°=∠AC1B1．∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，∴∠B1AB=45°，∴∠DAB1=90°－45°=45°，∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线．∵正方形ABCD的边长是1，∴四边形AB1C1D1的边长是1，在Rt△C1D1A中，由勾股定理得AC1=2，则DC1=2－1．∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°，∴∠C1OD=45°=∠DC1O，∴DC1=OD=2－1，∴S△ADO=12×OD•AD=212-，∴四边形AB1OD的面积是=2×212-=2－1．11．【答案】2【解析】将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，由题意可得△DAF≌△BAF′，∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，∴∠EAF′=45°．在△FAE和△EAF′中，AF＝AF′，∠FAE ＝∠EAF′，AE＝AE，∴△FAE≌△EAF′（SAS），∴EF=EF′．∵△ECF的周长为4，∴EF＋EC＋FC=FC＋CE＋EF′=FC ＋BC＋BF′=DF＋FC＋BC=4，∴2BC=4，∴BC=2．12．【答案】（－5，7）或（5，－7）【解析】∵菱形ABCD的D（4，0），∴点B的坐标为（－4，0），∴AB的中点的坐标为（－2，3），∵向左平移5个单位长度，再向下平移8个单位长度，∴平移后AB的中点的坐标为（－7，－5）．∵在坐标平面内绕点O旋转90°，∴若是顺时针旋转，则对应点在第二象限，坐标为（－5，7）；若是逆时针旋转，则对应点在第四象限，坐标为（5，－7）．综上，边AB中点的对应点的坐标为（－5，7）或（5，－7）．13．【答案】5【解析】连接C′C，∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，∴M是AC、A′C′的中点，AC=A′C′，∴CM=A′M=C′M=12AC=5，∴∠A′=∠A′CM=30°，∴∠CMC′=60°，∴△MCC′为等边三角形，∴C′C=CM=5，∴C′C长为5．14．【解析】（1）如题图2，由旋转性质可知EF=DF=DE，则△DEF为等边三角形．在Rt△ADE与Rt△CDF中，AD＝CD，DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴AE=CF．设AE=CF=x，则BE=BF=4－x，∴△BEF为等腰直角三角形．∴EF22（4－x），DE=DF=EF2（4－x）．在Rt△ADE中，由勾股定理得AE2＋AD2=DE2，即x2＋4224－x）]2，解得x1=8－3x2=8＋3，∴EF24－x）6－2．所以，△DEF的形状为等边三角形，此时EF的长为6－2．（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF．理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH的形状为正方形．∵∠1＋∠2=90°，∠2＋∠3=90°，∴∠1=∠3．∵∠3＋∠4=90°，∠2＋∠3=90°，∴∠2=∠4．∴△AEH≌△BFE（ASA），∴AE=BF．②利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形，∴BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4－x．∴y=S正方形ABCD－4S△AEH=4×4－4×12x（4－x）=2x2－8x＋16．∵y=2x2－8x＋16=2（x－2）2＋8（0＜x＜4），∴当x=2时，y取得最小值8；当x=0时，y=16，∴y的取值范围为8≤y＜16．15．【解析】（1）在Rt△ABD中，AB=5，AD=203，由勾股定理得BD=22AB AD+=22205()3+=253．∵S△ABD=12BD•AE=12AB•AD，∴AE=AB ADBD=2053253⨯=4．在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理得BE=3．（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：由对称点性质可知，∠1=∠2．由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．①当点F′落在AB上时，∵AB∥A′B′，∴∠3=∠4，∴∠3=∠2，∴BB′=B′F′=3，即m=3；②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1，∴∠5=∠6，又易知A′B′⊥AD，∴△B′F′D为等腰三角形，∴B′D=B′F′=3，∴BB′=BD－B′D=253－3=163，即m=163．（3）存在．理由如下：在旋转过程中，等腰△DPQ 依次有以下4种情形：①如答图3－1所示，点Q 落在BD 延长线上，且PD =DQ ，易知∠2=2∠Q ，∵∠1=∠3＋∠Q ，∠1=∠2，∴∠3=∠Q ，∴A′Q =A′B =5，∴F′Q =F′A′＋A′Q =4＋5=9．在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得BQ =22F Q F B ''+=2293+=310．∴DQ=BQ －BD =310－253； ②如答图3－2所示，点Q 落在BD 上，且PQ =DQ ，易知∠2=∠P ．∵∠1=∠2，∴∠1=∠P ，∴BA′∥PD ，则此时点A′落在BC 边上．∵∠3=∠2，∴∠3=∠1，∴BQ =A′Q ，∴F′Q =F′A′－A′Q =4－BQ ．在Rt △BQF′中，由勾股定理得BF′2＋F′Q 2=BQ 2，即32＋（4－BQ ）2=BQ 2，解得BQ =258， ∴DQ =BD －BQ =253－258=12524； ③如答图3－3所示，点Q 落在BD 上，且PD =DQ ，易知∠3=∠4．∵∠2＋∠3＋∠4=180°，∠3=∠4，∴∠4=90°－12∠2． ∵∠1=∠2，∴∠4=90°－12∠1．∴∠A′QB =∠4=90°－12∠1，∴∠A′BQ =180°－∠A′QB －∠1=90°－12∠1， ∴∠A′QB =∠A′BQ ，∴A′Q =A′B =5，∴F′Q =A′Q －A′F′=5－4=1．在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得BQ =22F Q F B ''+=2231+=10，∴DQ =BD －BQ =253－10； ④如答图3－4所示，点Q 落在BD 上，且PQ =PD ，易知∠2=∠3．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴BQ =BA′=5，∴DQ =BD －BQ =253－5=103． 综上所述，存在4组符合条件的点P 、点Q ，使△DPQ 为等腰三角形；DQ 的长度分别为310－253、12524、253－10或103．10．（2014•山东泰安）将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB =∠CED =90°，∠A =45°，∠D =30°．把△DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1，如图②，连接D 1B ，则∠E 1D 1B 的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．7.5°D ．15°10．【答案】D【解析】∵∠CED =90°，∠D =30°，∴∠DCE =60°．∵△DCE 绕点C 顺时针旋转15°，∴∠BCE 1=15°，∴∠BCD 1=60°－15°=45°，∴∠BCD 1=∠A ．在△ABC 和△D 1CB 中，AC ＝CB ，∠BCD 1＝∠A ，AB ＝CD 1，∴△ABC ≌△D 1CB （SAS ），∴∠BD1C=∠ABC=45°，∴∠E1D1B=∠BD1C－∠CD1E1=45°－30°=15°．15．（2013•湖北天门）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE=BF 时，∠AOE的大小是．。

图形的旋转1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？（2）请画出旋转中心和旋转角．（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？3．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形．4．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=14，△ABF是△ADE的旋转图形．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF的长度是多少？（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？5．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．参考答案1. 解：（1）旋转中心是O ，∠AOE、∠BOF 等都是旋转角．（2）经过旋转，点A 和点B 分别移动到点E 和点F 的位置．2. （1）可以看做是由正方形ABCD 的基本图案通过旋转而得到的．（2）画图略．（3）点A 、点B 、点C 、点D 移到的位置是点E 、点F 、点G 、点H ．旋转前、后的图形全等．3. 分析：绕C 点旋转，A 点的对应点是D 点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD，•又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示．解：（1）连结CD（2）以CB 为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD（3）在射线CE 上截取CB′=CB则B′即为所求的B 的对应点．（4）连结DB′则△DB′C 就是△ABC 绕C 点旋转后的图形．4. 分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF•的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE 的长度，由勾股定理很容易得到． △ABF 与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形．解：（1）旋转中心是A 点．（2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的∴B 是D 的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角（3）∵AD=1，DE=14∵对应点到旋转中心的距离相等且F 是E 的对应点 （4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF 是等腰直角三角形．5. 分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明． 解：∵四边形ABCD 、四边形AKLM 是正方形∴AB=AD，AK=AM ，且∠BAD=∠KAM 为旋转角且为90°∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的∴BK=DM。

新人教版九年级数学上册同步测试：23.1 图形的旋转一、选择题（共18小题）1．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°2．如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．110°D．120°3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（）A．15°B．60°C．45°D．75°4．如图，线段AB放在边长为1个单位的小正方形网格中，点A、B均落在格点上，先将线段AB 绕点O逆时针旋转90°得到线段A1B1，再将线段AB向下平移3个单位得到线段A2B2，线段AB，A1B1，A2B2的中点构成三角形面积为（）A．B．15 C．3 D．5．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=21°，则∠AOB′的度数是（）A．21°B．45°C．42°D．24°6．如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB的延长线上，连结AE，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF，点E落在DC上的点F处，AF的延长线交BC延长线于点G．若AB=3，AE=，则CG的长是（）A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．27．如图，△ABC中，∠C=67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（）A．56°B．50°C．46°D．40°8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（）A．55°B．60°C．65°D．80°9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（）A．B．C． D．π10．如图，ABCD为正方形，O为对角线AC、BD的交点，则△COD绕点O经过下列哪种旋转可以得到△DOA（）A．顺时针旋转90°B．顺时针旋转45°C．逆时针旋转90°D．逆时针旋转45°11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（）A．πB．6πC．3πD．1.5π12．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°13．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A．AE∥BC B．∠ADE=∠BDCC．△BDE是等边三角形D．△ADE的周长是914．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为（）A．0.5 B．1.5 C．D．115．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（）A．10°B．20°C．7.5°D．15°16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．30°B．60°C．90°D．150°17．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2 B．πC．πD．π﹣218．如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC 相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．2﹣B． +1 C．D．﹣1二、填空题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是．20．如图，在△ABC中，∠B=50°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB′C′的位置，使得AB′⊥BC，连接CC′，则∠AC′C=度．21．如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为．22．如图，AB是⊙O的直径，分别以OA，OB为直径作半圆．若AB=4，则阴影部分的面积是．23．如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB、CA′相交于点D，则线段BD的长为．24．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠C=90°，点D为BC中点，将△ABC绕点D逆时针旋转45°，=．得到△A′B′C′，B′C′与AB交于点E，则S四边形ACDE三、解答题（共6小题）25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．26．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．27．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．28．已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME ⊥m于E，CF⊥m于F．（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF．（不需证明）（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．29．在同一平面内，△ABC和△ABD如图①放置，其中AB=BD．小明做了如下操作：将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，如图②，请完成下列问题：（1）试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；（2）连接EF，CD，如图③，求证：四边形CDEF是平行四边形．30．两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD 绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD（如图②）．（2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．2016年人教版九年级数学上册同步测试：23.1 图形的旋转参考答案与试题解析一、选择题（共18小题）1．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°【考点】旋转的性质；平移的性质．【分析】利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，进而得出△A′B′C是等边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数．【解答】解：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，∴△A′B′C是等边三角形，∴B′C=4，∠B′A′C=60°，∴BB′=6﹣4=2，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°．故选：B．【点评】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△A′B′C是等边三角形是解题关键．2．如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．110°D．120°【考点】旋转的性质．【分析】由旋转的性质可知AC=EC，BC=DC，∠BCD=∠ACE=40°，在△BCD中，由内角和定理求∠1，根据外角定理可求∠2．【解答】解：在△BCD中，∠BCD=∠ACE=40°，BC=CD，∴△BCD为等腰三角形，∴∠1=（180°﹣40°）=70°，∵∠BEC为△ACE的外角，∴∠2+∠DEC=∠ACE+∠A，而∠DEC与∠A为对应角，∴∠2=∠ACE=40°，∴∠1+∠2=70°+40°=110°，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质的运用．旋转前后对应边相等，对应点与旋转中心的连线相等，且夹角为旋转角．3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（）A．15°B．60°C．45°D．75°【考点】旋转的性质．【分析】根据∠AOD=∠DOB﹣∠AOB求解．【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，∴∠BOD=60°，∵∠AOB=15°，∴∠AOD=∠DOB﹣∠AOB=60°﹣15°=45°．故选：C．【点评】本题考查了图形的旋转的性质，解题的关键是一个旋转图形的对应点的连线所夹的角相等，都等于旋转角．4．如图，线段AB放在边长为1个单位的小正方形网格中，点A、B均落在格点上，先将线段AB 绕点O逆时针旋转90°得到线段A1B1，再将线段AB向下平移3个单位得到线段A2B2，线段AB，A1B1，A2B2的中点构成三角形面积为（）A．B．15 C．3 D．【考点】旋转的性质；平移的性质．【专题】网格型．【分析】首先作出线段A1B1和A2B2，确定线段AB，A1B1，A2B2的中点，作出三角形，利用三角形的面积公式求解．【解答】解：三角形的面积是：×3×5=．故选A．【点评】本题考查了图形的旋转以及平移作图，以及三角形的面积公式，正确作出线段AB，A1B1，A2B2的中点构成三角形是关键．5．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=21°，则∠AOB′的度数是（）A．21°B．45°C．42°D．24°【考点】旋转的性质．【分析】如图，首先运用旋转变换的性质求出∠BOB′的度数，结合∠AOB=21°，即可解决问题．【解答】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠BOB′=45°，∵∠AOB=21°，∴∠AOB′=45°﹣21°=24°，故选D．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是灵活运用、解题的关键．6．如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB的延长线上，连结AE，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF，点E落在DC上的点F处，AF的延长线交BC延长线于点G．若AB=3，AE=，则CG的长是（）A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．2【考点】旋转的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】先根据正方形的性质得AB=AD=CD=3，再根据旋转的性质得AF=AE=，则可根据勾股定理计算出DF=2，所以CF=CD﹣DF=1，然后证明△CGF∽△DAF，再利用相似比可计算出CG．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=3，∵△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF，∴AF=AE=，在Rt△ADF中，∵AD=3，AF=，∴DF==2，∴CF=CD﹣DF=3﹣2=1，∵AD∥CG，∴△CGF∽△DAF，∴=，即=，∴CGF=1.5．故选A．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．7．如图，△ABC中，∠C=67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（）A．56°B．50°C．46°D．40°【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用旋转的性质以及等腰三角形的性质得出∠AC′C=∠AC′B′=67°，进而得出∠B′C′B的度数．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，∴AC′=AC，∴∠C=∠AC′C=67°，∴∠AC′B=180°﹣67°=113°，∵∠AC′C=∠AC′B′=67°，∴∠B′C′B=∠AC′B﹣∠AC′B′=113°﹣67°=46°．故选：C．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，得出∠AC′C=∠AC′B′=67°是解题关键．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（）A．55°B．60°C．65°D．80°【考点】旋转的性质．【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得出△ABB1是等边三角形，即可得出旋转角度．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，∴AB1=BC，BB1=B1C，AB=AB1，∴BB1=AB=AB1，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1=60°，∴旋转的角度等于60°．故选：B．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△ABB1是等边三角形是解题关键．9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（）A．B．C． D．π【考点】旋转的性质；弧长的计算．【专题】几何图形问题．【分析】利用锐角三角函数关系得出BC的长，进而利用旋转的性质得出∠BCB′=60°，再利用弧长公式求出即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，∴cos30°=，∴BC=ABcos30°=2×=，∵将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，∴∠BCB′=60°，∴点B转过的路径长为：=π．故选：B．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点B转过的路径形状是解题关键．10．如图，ABCD为正方形，O为对角线AC、BD的交点，则△COD绕点O经过下列哪种旋转可以得到△DOA（）A．顺时针旋转90°B．顺时针旋转45°C．逆时针旋转90°D．逆时针旋转45°【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】因为四边形ABCD为正方形，所以∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，则△COD绕点O 逆时针旋转得到△DOA，旋转角为∠COD或∠DOA，据此可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，∴△COD绕点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为∠COD或∠DOA，故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，旋转要找出旋转中心、旋转方向、旋转角．11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（）A．πB．6πC．3πD．1.5π【考点】旋转的性质；弧长的计算．【专题】计算题．【分析】根据弧长公式列式计算即可得解．【解答】解：的长==1.5π．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．12．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B=∠A′B′C．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=20°+45°=65°，由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=65°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．13．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A．AE∥BC B．∠ADE=∠BDCC．△BDE是等边三角形D．△ADE的周长是9【考点】旋转的性质；平行线的判定；等边三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】首先由旋转的性质可知∠EBD=∠ABC=∠C=60°，所以看得AE∥BC，先由△ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∠EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故DE=BD=4，故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴∠EAB=∠C=∠ABC=60°，∴AE∥BC，故选项A正确；∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=5，∵△BAE△BCD逆时针旋旋转60°得出，∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，∴AE+AD=AD+CD=AC=5，∵∠EBD=60°，BE=BD，∴△BDE是等边三角形，故选项C正确；∴DE=BD=4，∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，故选项D正确；而选项B没有条件证明∠ADE=∠BDC，∴结论错误的是B，故选：B．【点评】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．14．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为（）A．0.5 B．1.5 C．D．1【考点】旋转的性质．【分析】解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据旋转的性质可得AB=AD，然后判断出△ABD 是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，然后根据CD=BC﹣BD计算即可得解．【解答】解：∵∠B=60°，∴∠C=90°﹣60°=30°，∵AC=，∴AB=AC•tan30°=×=1，∴BC=2AB=2，由旋转的性质得，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=1，∴CD=BC﹣BD=2﹣1=1．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．15．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（）A．10°B．20°C．7.5°D．15°【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE=60°，旋转的性质可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，从而得到∠BCD1=∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根据∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1计算即可得解．【解答】解：∵∠CED=90°，∠D=30°，∴∠DCE=60°，∵△DCE绕点C顺时针旋转15°，∴∠BCE1=15°，∴∠BCD1=60°﹣15°=45°，∴∠BCD1=∠A，在△ABC和△D1CB中，，∴△ABC≌△D1CB（SAS），∴∠BD1C=∠ABC=45°，∴∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1=45°﹣30°=15°．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC和△D1CB全等是解题的关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．30°B．60°C．90°D．150°【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°，根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△A′AC 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠ACA′=60°，然后根据旋转角的定义解答即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°﹣30°=60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，∴AC=A′C，∴△A′AC是等边三角形，∴∠ACA′=60°，∴旋转角为60°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．17．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（）A ．π﹣2B ．πC ．πD ．π﹣2【考点】旋转的性质；扇形面积的计算．【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AB ，再根据旋转的性质可得A ′B=AB ，然后求出∠OA ′B=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A ′BA=60°，即旋转角为60°，再根据S 阴影=S 扇形ABA ′+S △A ′BC ′﹣S △ABC ﹣S 扇形CBC ′=S 扇形ABA ′﹣S 扇形CBC ′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=2OA=2OB=AC=2，∵△ABC 绕点B 顺时针旋转点A 在A ′处，∴BA ′=AB ，∴BA ′=2OB ，∴∠OA ′B=30°，∴∠A ′BA=60°，即旋转角为60°，S 阴影=S 扇形ABA ′+S △A ′BC ′﹣S △ABC ﹣S 扇形CBC ′，=S 扇形ABA ′﹣S 扇形CBC ′， =﹣， =π﹣π， =π．故选C ．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键，难点在于求出旋转角的度数．18．如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC 相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．2﹣B． +1 C．D．﹣1【考点】旋转的性质；四点共圆；线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】取AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图，易证△DAG∽△DCF，则有∠DAG=∠DCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解决问题．【解答】解：AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图．∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC，=，∴△DAG∽△DCF，∴∠DAG=∠DCF．∴A、D、C、M四点共圆．根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，此时，BO===，OM=AC=1，则BM=BO﹣OM=﹣1．故选：D．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键．二、填空题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是．【考点】旋转的性质；扇形面积的计算．【专题】计算题．【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2AC=2，BC=AC=，根据互余得到∠CAB=60°，再根据旋转的性质得到AC′=AC=1，AB′=AB=2，B′C′=BC=，∠B′AB=30°，∠C′AB′=∠CAB=60°，则∠C′AD=∠C′AB′∠BAB′=30°，接着在Rt△AC′D中，利用∠C′AD=30°可得C′D=AC′=，所以B′D=B′C′﹣C′D=，然后根据三角形面积公式、扇形面积公式和图中阴﹣S△ADB′进行计算即可．影部分的面积=S扇形BAB′【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=30°，∴∠CAB=60°，AB=2AC=2，BC=AC=，∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，∴AC′=AC=1，AB′=AB=2，B′C′=BC=，∠B′AB=30°，∠C′AB′=∠CAB=60°，∴∠C′AD=∠C′AB′∠BAB′=30°，在Rt△AC′D中，∵∠C′AD=30°，∴C′D=AC′=，∴B′D=B′C′﹣C′D=﹣=，﹣S△ADB′∴图中阴影部分的面积=S扇形BAB′=﹣××1=．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了扇形面积的计算和含30度的直角三角形三边的关系．20．如图，在△ABC中，∠B=50°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB′C′的位置，使得AB′⊥BC，连接CC′，则∠AC′C=70度．【考点】旋转的性质．【分析】首先证明∠CAC′=40°然后证明∠ACC′=∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠AC′C=70°即可解决问题．【解答】解：∵∠B=50°，AB′⊥BC，∴∠B′AB=40°，∴旋转角为40°，∴∠CAC′=40°，由题意得：AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C；∴∠AC′C=70°，故答案为70．【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．21．如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为2﹣．【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．【解答】解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，∴∠DEA′=45°，∴A′D=A′E，∵在正方形ABCD中，AD=1，∴AB=A′B=1，∴BD=，∴A′D=﹣1，∴在Rt△DA′E中，DE==2﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D 的长是解题关键．22．如图，AB是⊙O的直径，分别以OA，OB为直径作半圆．若AB=4，则阴影部分的面积是2π．【考点】旋转的性质．【分析】首先计算出圆的面积，根据图示可得阴影部分面积为半圆的面积，进而可得答案．【解答】解：∵AB=4，∴BO=2，∴圆的面积为：π×22=4π，∴阴影部分的面积是：×4π=2π，故答案为：2π．【点评】此题主要考查了旋转的性质，关键是掌握圆的面积公式．23．如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB、CA′相交于点D，则线段BD的长为6．【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用平行线的性质以及旋转的性质得出△CAD∽△B′A′C，再利用相似三角形的性质得出AD的长，进而得出BD的长．【解答】解：∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，∴AC=CA′=4，AB=B′A′=2，∠A=∠CA′B′，∵CB′∥AB，∴∠B′CA′=∠D，∴△CAD∽△B′A′C，∴=，∴=，解得AD=8，∴BD=AD﹣AB=8﹣2=6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△CAD∽△B′A′C 是解题关键．24．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠C=90°，点D为BC中点，将△ABC绕点D逆时针旋转45°，=28．得到△A′B′C′，B′C′与AB交于点E，则S四边形ACDE【考点】旋转的性质．【专题】几何图形问题．=S△ACB﹣S△BDE求出即【分析】利用旋转的性质得出∠B=∠BDE=45°，BD=4，进而由S四边形ACDE可．【解答】解：由题意可得：∠B=∠BDE=45°，BD=4，则∠DEB=90°，∴BE=DE=2，∴S△BDE=×2×2=4，∵S△ACB=×AC×BC=32，=S△ACB﹣S△BDE=28．∴S四边形ACDE故答案为：28．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形面积求法，得出S△BDE是解题关键．三、解答题（共6小题）25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．【专题】几何图形问题．【分析】（1）利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC是等边三角形，即可得出∠ACD的度数；（2）利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，∴AC=DC，∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴n的值是60；（2）四边形ACFD是菱形；理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，∴FC=DF=FE，∵∠CDF=∠A=60°，∴△DFC是等边三角形，∴DF=DC=FC，∵△ADC是等边三角形，∴AD=AC=DC，∴AD=AC=FC=DF，∴四边形ACFD是菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出△DFC是等边三角形是解题关键．26．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【考点】旋转的性质；正方形的判定；平移的性质．【专题】几何图形问题．【分析】（1）根据旋转和平移可得∠DEB=∠ACB，∠GFE=∠A，再根据∠ABC=90°可得∠A+∠ACB=90°，进而得到∠DEB+∠GFE=90°，从而得到DE、FG的位置关系是垂直；（2）根据旋转和平移找出对应线段和角，然后再证明是矩形，后根据邻边相等可得四边形CBEG是正方形．【解答】（1）解：FG⊥ED．理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，∴∠DEB=∠ACB，∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠DEB+∠GFE=90°，∴∠FHE=90°，∴FG⊥ED；（2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，∵CG∥EB，∴∠BCG=∠CBE=90°，∴四边形BCGE是矩形，∵CB=BE，∴四边形CBEG是正方形．【点评】此题主要考查了图形的旋转和平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．27．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=AB，根据等边对等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC﹣∠EDF计算即可得解；（2）根据同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根据然后求出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD=60°，从而得到∠CPD=∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出△DPM和△DCN 相似，再根据相似三角形对应边成比例可得=为定值．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=AD=BD=AB，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°；（2）∵∠EDF=90°，∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，∴∠PDM=∠CDN，∵∠B=60°，BD=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠CPD=∠BCD，在△DPM和△DCN中，，∴△DPM∽△DCN，∴=，∵=tan∠ACD=tan30°=，∴的值不随着α的变化而变化，是定值．【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．28．已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME ⊥m于E，CF⊥m于F．（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF．（不需证明）（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；梯形中位线定理．【专题】证明题．【分析】（1）利用垂直于同一直线的两条直线平行得出ME∥CF，进而利用中位线的性质得出即可；（2）根据题意得出图2的结论为：ME=（BD+CF），图3的结论为：ME=（CF﹣BD），进而利用△DBM≌△KCM（ASA），即可得出DB=CK，DM=MK即可得出答案．【解答】解：（1）如图1，∵ME⊥m于E，CF⊥m于F，∴ME∥CF，∵M为BC的中点，∴E为BF中点，∴ME是△BFC的中位线，∴EM=CF．（2）图2的结论为：ME=（BD+CF），图3的结论为：ME=（CF﹣BD）．图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K又∵BD⊥m，CF⊥m∴BD∥CF。

图1 23.1.1图形的旋转知识点在平面内，把一个图形绕着某______沿着某个方向转动______的图形变换叫做旋转．这个点O叫做______，转动的角叫做______．因此，图形的旋转是由______和_____及_ 决定的．一．选择题1. 下列物体的运动不是旋转的是（）A．坐在摩天轮里的小朋友B．正在走动的时针C．骑自行车的人D．正在转动的风车叶片2．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（）．A．6个B．7个C．8个D．9个3.同学们曾玩过万花筒吗？如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以点A为中心（）得到的.A、顺时针旋转60°B、顺时针旋转120°C、逆时针旋转60°D、逆时针旋转120°4.图1可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（）A．900 B．600 C．450 D．3005.如图2，图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是( )A、300B、600C、900D、1200二、填空6．如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两点叫做这个旋转的______．7．如图，△AOB旋转到△A′OB′的位置．若∠AOA′=90°，则旋转中心是点______．旋转角是图2ABCB'A'______．点A 的对应点是______．线段AB 的对应线段是______．∠B 的对应角是______．∠BOB ′=______．7题图8．如图，△ABC 绕着点O 旋转到△DEF 的位置，则旋转中心是______．旋转角是______．AO =______，AB =______，∠ACB =∠______．8题图 9题图9．如图，正三角形ABC 绕其中心O 至少旋转______度，可与其自身重合．10．一个平行四边形ABCD ，如果绕其对角线的交点O 旋转，至少要旋转______度，才可与其自身重合．11．钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了______度．12.如图，把△ABC 绕C 顺时针旋转350，得到△A ＇B ＇C ，若∠BCA ＇=1000，则∠B /CA=_______。