2019高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 抛物线及其性质练习 理

第七节抛物线A组基础题组1.以x轴为对称轴,原点为顶点的抛物线上的一点P(1,m)到焦点的距离为3,则抛物线的方程是( )A.y=4x2B.y=8x2C.y2=4xD.y2=8x2.(2017北京西城二模)若抛物线y2=ax的焦点到其准线的距离是2,则a=( )A.±1B.±2C.±4D.±83.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C 的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.84.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( )A.x=1B.x=2C.x=-1D.x=-25.(2016北京西城期末)若抛物线C:y2=2px的焦点在直线x+y-3=0上,则实数p= ;抛物线C的准线方程为.6.(2017北京朝阳二模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F.设两曲线的一个交点为P,若|PF|=5,则点P的横坐标是;该双曲线的渐近线方程为.7.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线的方程;(2)若过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.8.已知圆C过定点F,且与直线x=相切,圆心C的轨迹为E,曲线E与直线l:y=k(x+1)(k∈R)相交于A,B两点.(1)求曲线E的方程;(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.B组提升题组9.(2015北京延庆期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过抛物线C上的点A作准线l的垂线,垂足为M,若△AMF与△AOF(其中O为原点)的面积之比为3∶1,则点A的坐标为( )A.(2,2)B.(2,-2)C.(2,±)D.(2,±2)10.设F为抛物线y2=2x的焦点,A、B、C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则||+||+||的值为( )A.1B.2C.3D.411.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=( )A. B.3 C. D.212.(2016北京海淀期末)已知点A(5,0),抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在抛物线C上.若点F恰好在PA的垂直平分线上,则PA的长度为( )A.2B.2C.3D.413.(2017北京东城期末)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于3,则这样的直线( )A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在14.(2016北京海淀二模)如图,抛物线W:y2=4x与圆C:(x-1)2+y2=25交于A,B两点,点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q,则△PQC的周长的取值范围是( )A.(10,14)B.(12,14)C.(10,12)D.(9,11)15.经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A,B两点,如果A,B在抛物线C的准线上的射影分别为A1,B1,那么∠A1FB1= .16.如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.答案精解精析A组基础题组1.D 设抛物线的方程为y2=2px,则由抛物线的定义知1+=3,即p=4,所以抛物线方程为y2=8x.2.C ∵y2=ax,∴2p=|a|,又∵焦点到准线的距离为2,∴p=2,∴|a|=4.∴a=±4,故选C.3.B 不妨设C:y2=2px(p>0),A(x1,2),则x1==,由题意可知|OA|=|OD|,得+8=+5,解得p=4(舍负).故选B.4.C 由题意可知焦点为,∴直线AB的方程为y=-,与抛物线方程联立得消去y 得4x2-12px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p.∵线段AB的中点的横坐标为3,∴=3,∴p=2,∴抛物线的准线方程为x=-1.5.答案6;x=-3解析抛物线C:y2=2px的焦点坐标是,由题意得+0-3=0,解得p=6,故抛物线C的准线方程为x=-3.6.答案3;y=±x解析由抛物线定义可得,点P到抛物线的准线x=-2的距离与到焦点F(2,0)的距离相等,为5,故点P的横坐标为3,可得P(3,±2).将点P的坐标代入双曲线方程得-=1,由题意知双曲线的一个焦点坐标为(2,0),即c=2,∴a2+b2=4,解得a=1,b=,∴双曲线渐近线方程为y=±x=±x.7.解析(1)抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.(2)由(1)知点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2).又∵F(1,0),∴k FA=.∵MN⊥FA,∴k MN=-,∴FA的方程为y=(x-1),①MN的方程为y=-x+2,②由①②联立得x=,y=,∴N的坐标为.8.解析(1)设圆心C的坐标为(x,y),由题意,知圆心C到定点F和直线x=的距离相等, 故圆心C的轨迹E的方程为y2=-x.(2)由方程组消去x,并整理得ky2+y-k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-1.设直线l与x轴交于点N,则N(-1,0).∴S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON||y1-y2|=×1×=.∵S△OAB=,∴=,解得k=±.经检验,k=±均符合题意,∴k=±.B组提升题组9.D 如图,由题意可得,|OF|=1,由抛物线定义得,|AF|=|AM|,∵△AMF与△AOF的面积之比为3∶1,∴==3,∴|AM|=3,设A,∴1+=3,∴=2,∴y0=±2,∴点A的坐标为(2,±2),故选D.10.C 设点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),又焦点F,x1+x2+x3=3×=,则||+||+||=++=(x1+x2+x3)+=+=3.11.B ∵=4,∴点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QM⊥l,垂足为M,由抛物线定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,则=,即=.∴|QM|=3,即|QF|=3.故选B.12.D 由抛物线方程得F(1,0).若点F恰好在线段PA的垂直平分线上,则|PF|=|FA|=4.设点P的坐标为(x P,y P)(x P>0),则由焦半径公式得4=x P+1,解得x P=3,代入抛物线方程得y P=±2,所以点P的坐标为(3,±2),所以|PA|==4.13.B 过抛物线y2=4x的焦点(1,0)作一条直线与抛物线相交于A、B两点,若直线AB的斜率不存在,则横坐标之和等于2,不适合.若设直线AB的斜率为k,则直线AB为y=k(x-1),代入抛物线y2=4x得,k2x2-2(k2+2)x+k2=0,∵A、B两点的横坐标之和等于3,∴=3,解得k2=4,即k=±2.∴这样的直线有且仅有两条.14.C 作出抛物线的准线:x=-1.过点Q向准线引垂线,垂足为H.故|QC|=|QH|.∵PC为圆的半径,∴|PC|=5.∴△PCQ的周长=|PQ|+|QC|+|PC|=|PQ|+|QH|+5.又∵PQ与x轴平行,∴△PCQ的周长=|PH|+5.∵点P为劣弧AB上不同于A,B的动点,∴5<|PH|<7,∴10<|PH|+5<12.∴△PCQ的周长的取值范围是(10,12).15.答案解析由抛物线定义可知|BF|=|BB1|,|AF|=|AA1|,故∠BFB1=∠BB1F,∠AFA1=∠A A1F.又∠OFB1=∠BB1F,∠OFA1=∠AA1F,故∠BFB1=∠OFB1,∠AFA1=∠OFA1,又∠AFA1+∠OFA1+∠OFB1+∠BFB1=π,所以∠OFA1+∠OFB1=×π=,即∠A1FB1=.16.解析(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以B.又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-.从而得直线FN:y=-(x-1),直线BN:y=-.所以N.设M(m,0),由A,M,N三点共线得=,于是m=.所以m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).。

第7讲 抛物线[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选D.由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D. 2．若点A ，B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 是坐标原点，若正三角形OAB 的面积为43，则该抛物线方程是( )A ．y 2＝233xB ．y 2＝3x C ．y 2＝23xD ．y 2＝33x 解析：选A.根据对称性，AB ⊥x 轴，由于正三角形的面积是43，故34AB 2＝43，故AB ＝4，正三角形的高为23，故可设点A 的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p ，解得p ＝33，故所求抛物线的方程为y 2＝233x .故选A. 3．(2019·甘肃张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选B.抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B.4．(2019·昆明调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的斜率为( )A.13B.33C.32D ．1解析：选B.设抛物线的准线为m ，分别过点A ，N ，B 作AA ′⊥m ，NN ′⊥m ，BB ′⊥m ，垂足分别为A ′，N ′，B ′.因为直线l 过抛物线的焦点，所以|BB ′|＝|BF |，|AA ′|＝|AF |.又N 是线段AB 的中点，|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12(|BB ′|＋|AA ′|)＝12(|BF |＋|AF |)＝12|AB |＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，则直线MN 的倾斜角为120°.又MN ⊥l ，所以直线l 的倾斜角为30°，斜率是33.故选B. 5．(2019·合肥模拟)已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223解析：选D.设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ，易知l ：x ＝－2， 直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2，0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，由|FA |＝2|FB |，知|AM |＝2|BN |， 所以点B 为线段AP 的中点，连接OB ， 则|OB |＝12|AF |，所以|OB |＝|BF |，所以点B 的横坐标为1， 因为k ＞0，所以点B 的坐标为(1，22)， 所以k ＝22－01－（－2）＝223.故选D.6．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．解析：设满足题意的圆的圆心为M . 根据题意可知圆心M 在抛物线上， 又因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p2，又由题意可知x M ＝p 4，所以p 4＝6－p2，解得p ＝8.所以抛物线方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x7．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝________．解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由已知可得直线的方程为y ＝23(x ＋2)，即x ＝32y －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝32y －2得y 2－6y ＋8＝0. 由根与系数的关系可得y 1＋y 2＝6，y 1y 2＝8，所以x 1＋x 2＝32(y 1＋y 2)－4＝5，x 1x 2＝（y 1y 2）216＝4，因为F (1，0)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)·(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝4－5＋1＋8＝8.答案：88．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.答案：29．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k FA ＝43，因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.又FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. 10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.[综合题组练]1．(2019·重庆六校联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程是( )A ．x 2＝16yB ．x 2＝8y C ．x 2＝833yD ．x 2＝1633y解析：选A.因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以c a ＝2，即a 2＋b 2a 2＝4，所以b 2a 2＝3.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·p 2a 2＋b2＝2，解得p ＝8，所以抛物线C 2的方程是x 2＝16y .2．(2019·湖南郴州模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：选C.设A ，B 在准线l 上的射影分别为A 1，B 1，如图，由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线AB 的斜率为3，故|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6， 从而|BF |＝1，|AB |＝4， 故p |AA 1|＝|CF ||AC |＝12，即p ＝32， 从而抛物线的方程为y 2＝3x ，故选C.3．(2019·广东六校第一次联考)抛物线y ＝2x 2上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长为3，则点M 的纵坐标的最小值为( )A.118 B.54 C.32D ．1 解析：选A.由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .由题意知y 0≥b ＞0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b y ＝2x 2，整理得2x 2－kx －b ＝0，Δ＝k 2＋8b ＞0，x 1＋x 2＝k 2，x 1x 2＝－b2，则|AB |＝1＋k2k 24＋2b ，点M 的纵坐标y 0＝y 1＋y 22＝x 21＋x 22＝k 24＋b .因为弦AB 的长为3，所以1＋k2k 24＋2b ＝3，即(1＋k 2)(k 24＋2b )＝9，故(1＋4y 0－4b )(y 0＋b )＝9，即(1＋4y 0－4b )(4y 0＋4b )＝36.由基本不等式得，(1＋4y 0－4b )＋(4y 0＋4b )≥2（1＋4y 0－4b ）（4y 0＋4b ）＝12，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝18y 0＝118时取等号，即1＋8y 0≥12，y 0≥118，点M 的纵坐标的最小值为118，故选A.4．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值范围为________．解析：如图，设C (x 0，x 20)(x 20≠a )，A (－a ，a )，B (a ，a )， 则CA →＝(－a －x 0，a －x 20)，CB →＝(a －x 0，a －x 20)．因为CA ⊥CB ，所以CA →·CB →＝0，即－(a －x 20)＋(a －x 20)2＝0，(a －x 20)(－1＋a －x 20)＝0， 所以x 20＝a －1≥0，所以a ≥1. 答案：[1，＋∞)5．(应用型)(2019·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M .(1)求OA →·OB →；(2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .解：(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2，得x 2－2pkx －p 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2，所以y 1·y 2＝p 24， 所以OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2.(2)由x 2＝2py ，知y ′＝x p，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p ，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p(x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p (x －x 2)，则可得M ⎝⎛⎭⎪⎫pk ，－p 2.所以k MF ＝－1k，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)， 用－1k代替k 得，|CD |＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1，四边形ACBD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13，即k ＝±3或k ＝±33. 6．(创新型)(2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0，1)设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①(1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p， 因为点N 在以AB 为直径的圆上，所以AN ⊥BN ， 所以－2p＝－1，所以p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x1p（x －x 1），y －y 2＝x2p （x －x 2），结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2， 则△ABN 的面积S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，当k ＝0时，取等号，因为△ABN 的面积的最小值为4，所以22p ＝4，所以p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .。

§9.6抛物线及其性质考纲解读分析解读 1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主,分值约为12分,属偏难题.五年高考考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2016课标全国Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8答案 B2.(2016某某,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )A. B.C. D.1答案 C3.(2017课标全国Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M 为FN的中点,则|FN|=.答案 64.(2016某某,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案9教师用书专用(5—8)5.(2015某某,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.答案 26.(2014某某,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=.答案1+7.(2013某某,20,14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.解析(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,由题意易知=,且结合c>0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y'=x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,联立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0.由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,所以+-2y0+1=2+2y0+5=2+.所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.8.(2013某某,21,13分)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1>0,k2>0,证明:·<2p2;(2)若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程.解析(1)由题意得,抛物线E的焦点为F,直线l1的方程为y=k1x+.由得x2-2pk1x-p2=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实数根.从而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2p+p.所以点M的坐标为,=(pk1,p).同理可得点N的坐标为,=(pk2,p),于是·=p2(k1k2+).由题设知k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,所以0<k1k2<=1.故·<p2(1+12)=2p2.(2)由抛物线的定义得|FA|=y1+,|FB|=y2+,所以|AB|=y1+y2+p=2p+2p,从而圆M的半径r1=p+p.故圆M的方程为(x-pk1)2+=(p+p)2,化简得x2+y2-2pk1x-p(2+1)y-p2=0.同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2+1)y-p2=0.于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+(-)y=0.又k2-k1≠0,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0.因为p>0,所以点M到直线l的距离d===.故当k1=-时,d取最小值.由题设知=,解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x2=16y.考点二抛物线的几何性质1.(2015某某,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B 在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )A. B.C. D.答案 A2.(2013某某,6,5分)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( )A. B. C.1 D.答案 B3.(2016某某,14,5分)设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值为.答案教师用书专用(4—5)4.(2013,7,5分)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( )A. B.2 C. D.答案 C5.(2013某某,14,5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.答案 6考点三直线与抛物线的位置关系1.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )A. B. C. D.答案 D2.(2014某某,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )A. B. C. D.答案 D3.(2017,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.解析(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=====0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.教师用书专用(4—5)4.(2016某某,22,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值X围.解析(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为,由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.①由消去x得y2+2py-2pb=0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2,从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.方程(*)的两根为y1,2=-p±,从而y0==-p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<.因此,p的取值X围是.5.(2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.解析(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2++=.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2018某某某某一模,3)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-=1的右焦点重合,则p的值为( )A.-2B.2C.-4D.4答案 D2.(2018某某某某质检,7)已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p 的值为( )A.1B.2C.3D.4答案 D3.(2017皖北协作区3月联考,3)已知抛物线C:x2=2py(p>0),若直线y=2x被抛物线所截弦长为4,则抛物线C 的方程为( )A.x2=8yB.x2=4yC.x2=2yD.x2=y答案 C4.(2017某某百校联盟质检,4)已知抛物线C:y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4,且|AF|>2,则点A到原点的距离为( )A.3B.4C.4D.4答案 B5.(2017某某某某二模,14)已知点A(1,y1),B(9,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,y2>y1>0,点F是抛物线的焦点,若|BF|=5|AF|,则+y2的值为.答案10考点二抛物线的几何性质6.(2018某某某某模拟,8)抛物线y2=16x的焦点为F,点A在y轴上,且满足||=||,B是抛物线的准线与x轴的交点,则·=()A.-4B.4C.0D.-4或4答案 C7.(2018某某某某一模,8)过点M作圆x2+y2=1的切线l,l与x轴的交点为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,l与抛物线E交于A、B两点,则AB的中点到抛物线E的准线的距离为( )A. B.3C. D.4答案 D8.(2017某某红色七校一联,7)已知抛物线y=x2和y=-x2+5所围成的封闭曲线如图所示,给定点A(0,a),若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点A对称,则实数a的取值X围是( )A.(1,3)B.(2,4)C. D.答案 D9.(2017某某九校联考,14)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|=.答案 2考点三直线与抛物线的位置关系10.(2018某某某某模拟,7)已知点A(-1,-2)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,记C的焦点为F,过点F且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M,N两点,则线段MN的长为( )A.4B.2C.2D.1答案 A11.(2018某某某某模拟,7)如图,过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,若|BC|=|BF|,且|AF|=4+2,则p=( )A.1B.2C.D.3答案 B12.(2017某某某某一模,11)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若抛物线C在点B处的切线的斜率为1,则|AF|=( )A.1B.2C.3D.4答案 A13.(人教A选2—1,二,2-4A,5,变式)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与双曲线x2-=1的一条渐近线平行,并交抛物线于A、B两点,若|AF|>|BF|,且|AF|=2,则抛物线的方程为( )A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=x答案 AB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018某某某某一模,10)抛物线M:y2=4x的准线与x轴交于点A,点F为焦点,若抛物线M上一点P满足PA⊥PF,则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为(参考数据:≈2.24)()A. B. C. D.答案 D2.(2017某某五校3月联考,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点(5,m)到焦点的距离为6,P、Q分别为抛物线C 与圆M:(x-6)2+y2=1上的动点,当|PQ|取得最小值时,向量在x轴正方向上的投影为( )A.2-B.2-1C.1-D.-1答案 A二、填空题(每小题5分,共15分)3.(2017某某某某调研,15)已知抛物线x2=4y与圆C:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0)有公共点P,若抛物线在P点处的切线与圆C也相切,则r=.答案4.(2017某某某某模拟,16)如图所示,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F,且两曲线交点的连线也过焦点F,则该椭圆的离心率为.答案-15.(2017某某某某模拟,16)已知抛物线x2=4py(p>0)的焦点为F,直线y=x+2与该抛物线交于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线,垂足为N,若·+(+)·=-1-5p2,则p的值为.答案三、解答题(共15分)6.(2018某某某某模拟,20)如图,已知过抛物线E:x2=4y的焦点F的直线交抛物线E于A、C两点,经过点A的直线l1分别交y轴、抛物线E于点D、B(B与C不重合),∠FAD=∠FDA,经过点C作抛物线E的切线为l2.(1)求证:l1∥l2;(2)求三角形ABC面积的最小值.解析(1)证明:抛物线E:x2=4y的焦点为F(0,1),且直线AF的斜率一定存在,故设AF的方程为y=kx+1.设A(x1,y1),C(x2,y2)(不妨设x2>0),由得x2-4kx-4=0⇒x1+x2=4k,x1x2=-4,∵∠FAD=∠FDA,∴|AF|=|DF|,y1+=y D-1,∴y D=y1+2.∴直线l1的斜率k1==,∵x1x2=-4,∴k1==x2,又∵y'=x,∴过C(x2,y2)的切线斜率k2=x2.即k1=k2,∴l1∥l2.(2)由(1)得直线l1的斜率为x2,故直线l1的方程为y=x2x++2,联立得x2-2x2x--8=0,∴x1+x B=2x2,x1x B=-(+8).∴|AB|=·=2·,点C到直线l1的距离d=====,三角形ABC的面积S=×|AB|×d=(x2-x1)3.由(1)可得x2-x1=4,∴当k=0时,(x2-x1)min=4,∴当k=0时,三角形ABC的面积S=(x2-x1)3取到最小值,S min=×43=16.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求抛物线的标准方程的方法1.(2018某某某某模拟,6)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2)是抛物线C上一点,圆M与y轴相切且与线段MF相交于点A,若=2,则p等于( )A.1B.2C.2D.4答案 B2.(2017某某某某二模,4)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上一点,若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且三角形OAF的面积为1,O为坐标原点,则p的值为( )A.1B.2C.3D.4答案 B3.(2017某某某某模拟,14)函数y=a x-1(a>0且a≠1)的图象恒过点P,则焦点在x轴上且过点P的抛物线的标准方程是.答案y2=x方法2 抛物线定义的应用策略4.(2018某某某某模拟,7)已知点A(3,0),过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B,若|PB|=|PA|,则点P的横坐标为( )A.1B.C.2D.答案 C5.(2018某某某某模拟,7)设抛物线的顶点在原点,其焦点在x轴上,又抛物线上的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a=( )A.4B.4或-4C.-2D.-2或2答案 D6.(2018某某某某模拟,14)已知F是抛物线y=x2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为.答案7.(2017某某四地六校4月模拟,15)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F与抛物线C交于A,B两点,且|AB|=6,若AB的垂直平分线交x轴于P点,则P点的坐标为.答案(4,0)8.(2016某某某某模拟,13)如图,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值X围是.答案(8,12)方法3 解决直线与抛物线位置关系问题的方法9.(2018某某某某一模,9)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点,若抛物线C在点B处的切线斜率为1,则线段|AF|=( )A.1B.2C.3D.4答案 A10.(2017某某某某长郡中学模拟,20)在平面直角坐标系xOy中,过点C(2,0)的直线与抛物线y2=4x相交于A、B 两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求证:y1y2为定值;(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求出该直线的方程和弦长,如果不存在,说明理由.解析(1)证明:设直线AB的方程为my=x-2.由得y2-4my-8=0,∴y1y2=-8,为定值.(2)存在.设存在直线x=a满足条件.设AC的中点为E,则E,|AC|=,因此以AC为直径的圆的半径r=|AC|==,点E到直线x=a的距离d=,所以所截弦长为2=2==.当1-a=0,即a=1时,弦长为定值2,这时直线方程为x=1.。