2015届高考数学总复习第八章 立体几何初步第2课时 直线与平面的位置关系(1)课时训练

第八章 立体几何初步第3课时 直线与平面的位置关系(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎫对应学生用书（文）102～104页 （理）104～106页考情分析考点新知了解直线与平面的位置关系，了解空间垂直的有关概念；除了熟练运用线面垂直的判定定理和性质定理外，还要考虑面面垂直的性质和作用．要注意线线垂直、线面垂直以及面面垂直的转化．可以按照要证明的目标重新整理知识点.1. (必修2P 40练习4改编)若直线l 与平面α不垂直，则在平面α内与直线l 垂直的直线有________条．答案：无数解析：易证在平面α内与l 在平面α内的射影垂直的直线与l 垂直，所以满足题意的直线有无数条．2. (原创)已知A 、B 、C 是不共线的三点，直线m 垂直于直线AB 和AC ，直线n 垂直于直线BC 和AC ，则直线m ，n 的位置关系是________．答案：平行解析：因为直线m 垂直于直线AB 和AC ，所以m 垂直于平面ABC ，同理，直线n 垂直于平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得m ∥n.3. ( 必修2P 40习题5改编)下列命题：① 一条直线在平面内的射影是一条直线；② 在平面内射影是直线的图形一定是直线；③ 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④ 两斜线与平面所成的角相等，则这两斜线互相平行．其中真命题的个数是________．答案：0解析：一条直线在平面内的射影可以是一个点，所以①是错的；在平面内射影是直线的图形可能是平面，所以是②错的；③④显然也是错的，所以正确的个数为0.4. (必修2P 42习题9改编)如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上不同于A 、B 的任一点，则图中直角三角形的个数为________．答案：4解析：因为AB 是圆O 的直径，所以AC ⊥BC ，△ACB 是直角三角形；由PA ⊥平面ABC 可得，PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，所以△PAB 与△PAC 是直角三角形；因为PA ⊥平面ABC ，且BC Ì平面ABC ，所以PA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面PAC.而PC Ì平面PAC ，所以BC ⊥PC ，△PCB 是直角三角形；故直角三角形的个数为4.5. (必修2P 42习题11、16改编)P 为△ABC 所在平面外一点，O 为P 在平面ABC 内的射影．(1) 若P 到△ABC 三边距离相等，且O 在△ABC 的内部，则O 是△ABC 的________心；(2) 若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则O 是△ABC 的________心；(3) 若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心．答案：(1) 内(2) 垂(3) 外解析：(1) P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，可知O到△ABC三边距离相等，即O是△ABC的内心；(2) 由PO⊥平面ABC且BC平面ABC，得PO⊥BC，又PA⊥BC，PO与PA是平面POA内两条相交直线，所以BC⊥平面POA，从而BC⊥AO.同理AC⊥BO，所以O是△ABC的垂心；由PA、PB、PC与底面所成的角相等，易得Rt △POA≌Rt△POB≌Rt△POC，从而OA＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心．1. 直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a 的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．2. 结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．3. 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．性质定理：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．[备课札记]题型1 直线与平面垂直的判定例1 (2013·常州期末调研)如图，在四棱锥PABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB ＝2AD ＝2，CD ＝3，直线PA 与底面ABCD 所成角为60°，点M 、N 分别是PA 、PB 的中点．求证：(1) MN ∥平面PCD ；(2) 四边形MNCD 是直角梯形； (3) DN ⊥平面PCB.证明：(1) 因为点M 、N 分别是PA 、PB 的中点，所以MN ∥AB. 因为CD ∥AB ，所以MN ∥CD.又CD Ì平面PCD ，MN Ë平面PCD ，所以MN ∥平面PCD. (2) 因为AD ⊥AB ，CD ∥AB ，所以CD ⊥AD. 因为PD ⊥底面ABCD ，CD 平面ABCD ， 所以CD ⊥PD.因为AD ∩PD ＝D ，所以CD ⊥平面PAD. 因为MD Ì平面PAD ，所以CD ⊥MD. 又MN ∥CD ，MN ≠CD ，所以四边形MNCD 是直角梯形．(3) 因为PD ⊥底面ABCD ，所以∠PAD 就是直线PA 与底面ABCD 所成的角， 从而∠PAD ＝60°.在Rt △PDA 中，AD ＝2，PD ＝6，PA ＝22，MD ＝ 2. 在直角梯形MNCD 中，MN ＝1，ND ＝3，CD ＝3，CN ＝MD 2＋（CD －MN ）2＝6，从而DN 2＋CN 2＝CD 2，所以DN ⊥CN.在Rt △PDB 中，PD ＝DB ＝6，N 是PB 的中点，则DN ⊥PB. 又PB ∩CN ＝N ，所以DN ⊥平面PCB. 备选变式（教师专享）(2013·南京调研)如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D 、E 、F 分别为线段AC 、A 1A 、C 1B 的中点．(1) 证明：EF ∥平面ABC ； (2) 证明：C 1E ⊥平面BDE.证明：(1) 取BC 的中点G ，连结AG 、FG .因为F 为C 1B 的中点，所以FG ∥=12C 1C.在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A∥=C1C，且E为A1A的中点，所以FG∥=EA.所以四边形AEFG是平行四边形. 所以EF∥AG.因为EFË平面ABC，AGÌ平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2) 因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BDÌ平面ABC，所以A1A ⊥BD.因为D为AC的中点，BA＝BC，所以BD⊥AC.因为A1A∩AC＝A，A1AÌ平面A1ACC1，ACÌ平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1.因为C1EÌ平面A1ACC1，所以BD⊥C1E.根据题意，可得EB＝C1E＝62AB，C1B＝3AB，所以EB2＋C1E2＝C1B2.从而∠C1EB＝90°，即C1E⊥EB.因为BD∩EB＝B，BD Ì平面BDE, EBÌ平面BDE，所以C1E⊥平面BDE.题型2直线与平面垂直性质的应用例2已知如图①所示，矩形纸片AA′A1′A1，点B、C、B1、C1分别为AA′、A1A1′的三等分点，将矩形纸片沿BB1、CC1折成如图②形状(正三棱柱)，若面对角线AB1⊥BC1，求证：A1C⊥AB1.(图①)(图②)证明：作AD∥BC，BD∥AC交于D，作A1D1∥B1C1，B1D1∥A1C1交于D1.连结BD1、DD1(如图)，∵A1C1B1D1为菱形，∴A1B1⊥D1C1.又AA1⊥平面A1D1B1C1，∴AA1⊥D1C1.又D1C1⊥平面ABB1A1，∴D1C1⊥AB1.又AB1⊥BC1，∴AB1⊥平面BC1D1，∴AB1⊥BD1.又BD1∥CA1，∴AB1⊥A1C.变式训练(2013·泰州期末)在三棱锥SABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA ＝AB ＝AC ＝33BC ，点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE ＝3DE ，点M 是线段SD 上一点，(1) 求证：BC ⊥AM ；(2) 若AM ⊥平面SBC ，求证：EM ∥平面ABS. 证明：(1) ∵ AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴ AD ⊥BC ，⎭⎪⎬⎪⎫SA ⊥平面ABC BC平面ABC Þ⎭⎪⎬⎪⎫SA ⊥BCAD ∩SA ＝A Þ⎭⎪⎬⎪⎫BC ⊥平面SAD AM 平面SAD ÞBC ⊥AM.(2) ∵ AM ⊥平面SBC ，AM ⊥SD ，设SA ＝AB ＝AC ＝1，则BC ＝3，SD ＝233，∵SA ⊥AD ，AM ⊥SD ，AD 2＝MD·SD ，故MD ＝36，SM ＝32，即SM ＝3MD ，又AE ＝3DE ，∴ ME ∥SA ，又ME Ë平面ABS ，SA Ì平面，故EM ∥平面ABS.题型3 直线与平面垂直的探索题例3 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点，BC ＝BB 1. (1) 若P 是CC 1上任一点，求证：AP 不可能与平面BCC 1B 1垂直； (2) 试在棱CC 1上找一点M ，使MB ⊥AB 1. (1) 证明：反证法．假设AP ⊥平面BCC 1B 1， 因为BC Ì平面BCC 1B 1，所以AP ⊥BC.又正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1⊥BC ，AP ∩CC 1＝P ，AP Ì平面ACC 1A 1，CC 1Ì平面ACC 1A 1，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.而AC Ì平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AC ，这与△ABC 是正三角形矛盾． 故AP 不可能与平面BCC 1B 1垂直． (2) M 为CC 1的中点．证明：∵ 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ＝BB 1，∴ 四边形BCC 1B 1是正方形． ∵ M 为CC 1的中点，D 是BC 的中点，∴ △B 1BD ≌△BCM ，∴ ∠BB 1D ＝∠CBM ，∠BDB 1＝∠CMB.∵ ∠BB 1D ＋∠BDB 1＝π2，∠CBM ＋∠BDB 1＝π2，∴ BM ⊥B 1D.∵ △ABC 是正三角形，D 是BC 的中点， ∴ AD ⊥BC.∵ 平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AD Ì平面ABC ， ∴ AD ⊥平面BB 1C 1C.∵ BM Ì平面BB 1C 1C ，∴ AD ⊥BM. ∵ AD ∩B 1D ＝D ，∴ BM ⊥平面AB 1D. ∵ AB 1Ì平面AB 1D ，∴ MB ⊥AB 1. 备选变式（教师专享）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是CD 、A 1D 1中点． (1) 求证：AB 1⊥BF ； (2) 求证：AE ⊥BF ；(3) 棱CC 1上是否存在点F ，使BF ⊥平面AEP ，若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由．(1) 证明：连结A 1B ，CD 1，∵ AB 1⊥A 1B ，AB 1⊥BC ，A 1B ∩BC ＝B ， ∴ AB 1⊥平面A 1BCD 1，又BF Ì平面A 1BCD 1，所以AB 1⊥BF. (2) 证明：取AD 中点M ，连结FM ，BM ，∴ AE ⊥BM ，又 ∵ FM ⊥AE ，BM ∩FM ＝M ，∴ AE ⊥平面BFM ，又BF Ì平面BFM ，∴ AE ⊥BF. (3) 解：存在，P 是CC 1的中点．易证PE ∥AB 1，故A 、B 1、E 、P 四点共面．由(1)(2)知AB 1⊥BF ，AE ⊥BF ，AB 1∩AE ＝A ，∴ BF ⊥平面AEB 1，即BF ⊥平面AEP.【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)由平面α外一点P 引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A 、B 、C ，O 为△ABC 的外心，求证：OP ⊥α.学生错解：证明：因为O 为△ABC 的外心，所以OA ＝OB ＝OC ，又因为PA ＝PB ＝PC ，PO 公用，所以△POA ，△POB ，△POC 都全等，所以∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝90°，所以OP ⊥α.审题引导： 要记OP ⊥α，需记OP 垂直于α内两条相交的直线，由图形易知，可考虑证OP 垂直于△ABC 的两条边，注意到图中的等腰三角形PBC 、OBC ，不准找到证题途径．规范解答： 证明：取BC 的中点D ，连结PD 、OD ， ∵ PB ＝PC ，OB ＝OC ，∴ BC ⊥PD ，BC ⊥OD ，(5分)又PD Ì平面POD ，OD 平面POD ，且PD ∩OD ＝D ，∴ BC ⊥平面POD.(8分) ∵ PO Ì平面POD ，∴ BC ⊥PO. 同理AB ⊥PO.(12分)又AB 、BC 是α内的两条相交直线，∴ PO ⊥α.(14分)错解分析：上述解法中∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝90°，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明．1. (2013·苏锡常镇调研)已知l ，m 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若lÌβ，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α.则所有正确的命题是________．(填序号)答案：②解析：对于①，当l与α、β的交线不垂直时，l与α也不垂直，所以①错误；对于②，由两个平面平行的判定定理易证正确；对于③④，l可能在α内，所以它们都是错误的；因此，正确的命题只有②.2. (2013·青岛模拟改)如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C、D、E均异于A、B)，则△ACD的形状是________．答案：直角三角形解析：∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，∴b⊥平面ABC，∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．3. 已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是________．(填序号)①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；④对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直．答案：②解析：找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．对于①，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，在图(1)中，由边AB、BC不相等可知点E、F不重合．在图(2)中，连结CE，若直线AC与直线BD垂直，∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，与点E、F不重合相矛盾，故①错误．对于②，若AB⊥CD，∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，∴AB⊥AC，由AB<BC可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，故②正确．对于③，若AD⊥BC，∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AC.已知BC＝2，AB＝1，BC>AB，∴不存在这样的直角三角形．∴③错误．由上可知④错误，故正确的说法只有②.4. 如图，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝2，PB＝2，E、F分别是BC、PC的中点．证明：AD⊥平面DEF.证明：取AD中点G，连结PG、BG、BD.因为PA＝PD，有PG⊥AD，在△ABD中，AB＝AD，∠DAB＝60°，故△ABD为等边三角形，因此BG⊥AD，BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG AD⊥PB，AD⊥GB.又PB∥EF，得AD⊥EF，而DE∥GB，得AD⊥DE.又FE∩DE＝E，EFÌ平面DEF，DEÌ平面DEF，所以AD⊥平面DEF.5. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知∠ACB＝90°，M为A1B与AB1的交点，N为棱B1C1的中点．(1) 求证：MN∥平面AA1C1C；(2) 若AC＝AA1，求证：MN⊥平面A1BC.证明：(1) 连结AC1，因为M为A1B与AB1的交点，所以M是AB1的中点．又N为棱B1C1的中点，所以MN∥AC1.又AC1平面AA1C1C，MNË平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C.(2) 由AC＝AA1，则四边形AA1C1C是正方形，所以AC1⊥A1C.因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为BCÌ平面ABC，所以CC1⊥BC.因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.因为CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AC1.又AC1Ì平面AA1C1C，MN∥AC1，所以MN⊥A1C，MN⊥BC.又BC∩A1C＝C，所以MN⊥平面A1BC.1. 如图PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的是________．(填序号)答案：①②④解析：①AEÌ平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PAÞAE⊥BC，故①正确，②AE⊥PB，AF⊥PB EF⊥PB，故②正确，③若AF⊥BCÞAF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．2. (2012·福建莆田模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC ，△ABC 分别是以A 、B 为直角顶点的等腰直角三角形，AB ＝1.现给出三个条件：① PB ＝3；② PB ⊥BC ；③ 平面PAB ⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA ⊥平面ABC ；解：(解法1)选取条件①，在等腰直角三角形ABC 中，∵ AB ＝1，∴ BC ＝1，AC ＝ 2. 又∵ PA ＝AC ，∴ PA ＝ 2. ∴ 在△PAB 中，AB ＝1，PA ＝ 2. 又∵ PB ＝3，∴ AB 2＋PA 2＝PB 2.∴ ∠PAB ＝90°，即PA ⊥AB.又∵ PA ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ，AB ，AC 真包含于平面ABC ，∴ PA ⊥平面ABC. (解法2) 选取条件②，∵ PB ⊥BC ，又AB ⊥BC ，且PB ∩AB ＝B ，∴ BC ⊥平面PAB. ∵ PA 真包含于平面PAB ，∴ BC ⊥PA.又∵ PA ⊥AC ，且BC ∩AC ＝C ，∴ PA ⊥平面ABC. (解法3)选取条件③， 若平面PAB ⊥平面ABC ，∵ 平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，BC 真包含于平面ABC ，BC ⊥AB ，∴ BC ⊥平面PAB. ∵ PA 真包含于平面PAB ，∴BC ⊥PA.∵PA ⊥AC ，且BC ∩AC ＝C ，∴ PA ⊥平面ABC. 3. 在空间四边形ABCD 中， 已知AC ⊥BD, AD ⊥BC, 求证：AB ⊥CD. 证明：过A 点作AO 垂直平面BCD 于O ，连结BO, CO, DO. ∵AO ⊥平面BCD ，∴AO ⊥BD.又AC ⊥BD ，∴BD ⊥平面AOC ，∴CO ⊥BD.同理，DO ⊥BC ，∴O 为△BCD 的垂心，∴BO ⊥CD. 又AO ⊥平面BCD ，∴AO ⊥CD ， ∴CD ⊥平面ABO ，∴AB ⊥CD.4. 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA＝PD ＝22AD.若E 、F 分别为PC 、BD 的中点，求证：(1) EF ∥平面PAD ； (2) EF ⊥平面PDC.证明：(1) 连结AC ，则F 是AC 的中点，在△CPA 中，EF ∥PA ，且PA Ì平面PAD ，EF Ë平面PAD ，∴EF ∥平面PAD.(2) ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA .又PA ＝PD ＝22AD ，∴△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝π2，即PA ⊥PD ，而CD ∩PD＝D ，∴PA ⊥平面PDC.又EF ∥PA ，∴EF ⊥平面PDC.1. 判定或证明直线与平面垂直的常用方法：(1) 利用直线与平面垂直的定义，注意弄清“任意”与“无数”两词的差异；(2) 利用直线与平面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，mÌα，nÌαÞa⊥α)；(3) 利用平面与平面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β＝l，ABÌα，AB⊥lÞAB⊥β)．注意证题时一定要将相应的条件写全，规范书写．2. 证明垂直问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间垂直关系的相互转化，达到解题目的．请使用课时训练（B）第3课时（见活页）.[备课札记]。

高考数学直线和平面的位置关系知识点直线战争面只要三种位置关系。

以下是查字典数学网整理的直线战争面的位置关系知识点，请考生学习。

①直线在平面内有有数个公共点
②直线战争面相交有且只要一个公共点
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)
规则：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角
由此得直线战争面所成角的取值范围为[0，90]
最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理：假设平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直
esp.直线战争面垂直
直线战争面垂直的定义：假设一条直线a和一个平面内的恣意一条直线都垂直，我们就说直线a战争面相互垂直.直线a 叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：假设一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：假设两条直线同垂直于一个平
面，那么这两条直线平行。

③直线战争面平行没有公共点
直线战争面平行的定义：假设一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线战争面平行的判定定理：假设平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线战争面平行的性质定理：假设一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

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高中数学必修二第八章立体几何初步知识点总结全面整理单选题1、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βB．若m//n，m⊥α，n//β，则α⊥βC．若m⊥n，m//α，n//β，则α//βD．若m//n，m⊥α，n⊥β，则α//β答案：C分析：利用线面垂直的判定性质、面面垂直的判定推理判断A，B；举例说明判断C；利用线面垂直的判定性质判断D作答.对于A，因m⊥n，m⊥α，当n⊂α时，而n⊥β，则α⊥β，当n⊄α时，在直线m上取点P，过P作直线n′//n，则m⊥n′，过直线m,n′的平面γ∩α=l，如图，由m⊥α得m⊥l，于是得l//n′//n，而n⊥β，则l⊥β，而l⊂α，所以α⊥β，A正确；对于B，若m//n，m⊥α，则n⊥α，又n//β，则存在过直线n的平面δ，使得δ∩β=c，则有直线c//n，即有c⊥α，所以α⊥β，B正确；对于C，如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABCD为平面α，直线A1B1为直线m，平面ADD1A1为平面β，直线B1C1为直线n，满足m⊥n，m//α，n//β，而α∩β=AD，C不正确；对于D，若m//n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，于是得α//β，D正确.故选：C2、已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A．2πR2B．94πR2C．83πR2D．πR2答案：B分析：根据圆柱的表面积公式以及二次函数的性质即可解出．设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为ℎ，所以在轴截面三角形中，如图所示：由相似可得，rR =3R−ℎ3R，所以，ℎ=3R−3r，即圆柱的全面积为S=2πr2+2πrℎ=2πr2+2πr(3R−3r)=2π(−2r2+3rR)=2π[−2(r−34R)2+98R2]≤9π4R2，当且仅当r=34R时取等号．故选：B．3、如图所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.其中不正确的是（）A．④⑤B．③④⑤C．②③④⑤D．③⑤答案：D解析：根据平面的表示方法判断．③中AD不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D.4、如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，则图中与平面PCD 垂直的平面是（ ）A ．平面ABCDB ．平面PBCC ．平面PAD D ．平面PCD答案：C分析：由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，由四边形ABCD 为矩形得CD ⊥AD ，因为PA ∩AD =A ，所以CD ⊥平面PAD ．又CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ．故选：C5、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6 答案：D分析：平移直线AD 1至BC 1，将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC1,PC1,PB，因为AD1∥BC1，所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1=B1，所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB，设正方体棱长为2，则BC1=2√2,PC1=12D1B1=√2，sin∠PBC1=PC1BC1=12，所以∠PBC1=π6.故选：D6、圆台的上、下底面的面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是（）A．2√33πB．2√3πC．7√36πD．7√33π答案：D分析：求出圆台的高，再利用圆台的体积公式进行计算.设圆台的上、下底面的半径分别为r，R，母线长为l，高为h.,由圆台的上、下底面的面积分别是π，4π，得{πr2=π,πR2=4π,所以r=1，R=2，由圆台侧面积公式可得π×(2+1)l=6π，所以l=2，所以ℎ=√22−(2−1)2=√3，所以该圆台的体积V=13πℎ(R2+r2+Rr)=13π×√3×(4+1+2)=7√33π.故选：D.7、下面四个选项中一定能得出平面α/⁄平面β的是（）A．存在一条直线a，a//α，a//βB．存在一条直线a，a⊂α，a//βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//α答案：D分析：对于A，B，C，举出符合条件的特例即可判断；对于D，过直线a作平面γ∩β=c，再证c//α即可. 如图，ABCD−A1B1C1D1是长方体，平面ABCD为平面α，平面ABB1A1为平面β，对于A，直线C1D1为直线a，显然a//α，a//β，而α与β相交，A不正确；对于B，直线CD为直线a，显然a⊂α，a//β，而α与β相交，B不正确；对于C，直线CD为直线a，直线A1B1为直线b，显然a⊂α，b⊂β，a//β，b//α，而α与β相交，C不正确；对于D，因a，b是异面直线，且a⊂α，b⊂β，过直线a作平面γ∩β=c，如图，则c//a，并且直线c与b必相交，而c⊄α，于是得c//α，又b//α，即β内有两条相交直线都平行于平面α，⁄平面β.因此，平面α/故选：D8、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（）A．100cm3B．200cm3C．300cm3D．400cm3答案：B分析：根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为ℎ，所以ℎ−4ℎ=610，求出ℎ的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为ℎ，所以ℎ−4ℎ=610，解得：ℎ=10，则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，所以该壶的容积V=13×π×52×10−13×π×32×6=1963π≈200cm3.故选：B.多选题9、如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（）A．圆柱的体积为4πR3B．圆锥的侧面积为√5πR2C．圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等D．圆柱､圆锥､球的体积之比为3：1：2答案：BD分析：依次判断每个选项：圆柱的体积为2πR3，A错误；圆锥的侧面积为√5πR2，B正确；圆柱的侧面积为4πR2，C错误；计算体积之比为3：1：2，D正确，得到答案.依题意圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R，圆柱的体积为πR2×2R=2πR3，∴A错误；圆锥的母线长为√5R，圆锥的侧面积为πR×√5R=√5πR2，∴B正确；∵圆柱的侧面积为4πR2，圆锥表面积为√5πR2+πR2，∴C错误；∵V圆柱=πR2⋅2R=2πR3，V圆锥=13πR2⋅2R=23πR3，V球=43πR3∴V圆柱:V圆锥:V球=2πR3:23πR3:43πR3=3:1:2，∴D正确.故选：BD.10、在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为AB,A1D1的中点，则（）A．BD⊥B1CB．EF//平面DB1BC．AC1⊥平面B1D1CD．过直线EF且与直线BD1平行的平面截该正方体所得截面面积为√2答案：BC解析：（1）求出BD,B1C所成的角，不为90∘（2）通过证明面面平行，再到线面平行.即先证面FGE//面DBB1D1，再可以说明EF//平面DB1B（3）先证B1C⊥面ABC1，则可说明B1C⊥AC1，同理可得B1D1⊥AC1，则证明了AC1垂直于平面内两条相交直线，故AC1⊥平面B1D1C（4）找到过直线EF且与直线BD1平行的平面即平面FGEQ，求出面积即可A. 由图易知BD//B1D1，又有B1D1=D1C=B1C=2√2，故△B1D1C为等边三角形，故B1D1与B1C所成的角为60∘BD,B1C所成的角为60∘，故A错.B. 记AD中点为G，易知FG//D1D，GE//DB，则可知FG//面DBB1D1，GE//面DBB1D1故面FGE//面DBB1D1FE⊂面FGE，故EF//平面DB1B.C. 四边形BCB1C1为正方形，B1C⊥BC1，又AB⊥面B1BCC1，故AB⊥B1C则B1C⊥面ABC1故B1C⊥AC1同理B1D1⊥AC1故AC1⊥平面B1D1C.D.记A1B1中点为Q，由B项可知，面FGEQ//面DBB1D1，故BD1//面FGEQ，又EF⊂面FGEQ，故过EF且与直线BD1平行的平面为如图所示的平面FGEQ，面积为S=FQ⋅FG=2⋅√2=2√2.故选：BC小提示：本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.11、如图直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，BC=CD=12AB=2，E为AB中点.以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2√3则（）A．平面PED⊥平面PCD B．PC⊥BDC．二面角P−DC−B的大小为π4D．PC与平面PED所成角的正切值为√2答案：ABC解析：先证明PE⊥平面DEBC，得PE⊥DC，再结合DC⊥DE，即证DC⊥平面PED，所以平面PED⊥平面PCD，判断A正确；利用投影判断PC⊥BD，判断B正确；先判断∠PDE即为二面角P−DC−B的平面角，再等腰直角三角形判断∠PDE=π4，即C正确；先判断∠CPD为PC与平面PED所成的角，再求正切tan∠CPD=CDPD，即知D错误.由题易知EC=2√2，又PE=2，PC=2√3，所以PE2+EC2=PC2，所以PE⊥EC，又PE⊥ED，ED∩EC=E，所以PE⊥平面DEBC，所以PE⊥DC，又DC⊥DE，PE∩DE=E，所以DC⊥平面PED，又DC⊂平面PCD，所以平面PED⊥平面PCD，故A正确；PC在平面EBCD内的射影为EC，又EBCD为正方形，所以BD⊥EC，PC⊥BD，故B正确；易知∠PDE即为二面角P−DC−B的平面角，又PE⊥ED，PE=ED，所以∠PDE=π4，故C正确；易知∠CPD为PC与平面PED所成的角，又PD=2√2，CD=2，CD⊥PD，所以tan∠CPD=CDPD =2√2=√22，故D错误.小提示：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.本题使用了定义法.填空题12、我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC−A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1=AB=1，当“阳马”即四棱锥B−A1ACC1，体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABC−A1B1C1的表面积为_______.答案：3+2√22分析：依据均值定理去求四棱锥B−A1ACC1取体积最大值时AB的长度，再去求三棱柱ABC−A1B1C1的表面积即可.四棱锥B−A1ACC1的体积是三棱柱体积的23，V ABC−A1B1C1=12AC⋅BC⋅AA1=12AC⋅BC≤14(AC2+BC2)=14AB2=14，当且仅当AB=BC=√22时，取等号.所以三棱柱ABC−A1B1C1的表面积为S=2×12×√22×√22+(√22+√22+1)×1=3+2√22.所以答案是：3+2√2213、如图，平面OAB⊥平面α，OA⊂α，OA=AB，∠OAB=120°．平面α内一点P满足PA⊥PB，记直线OP 与平面OAB所成角为θ，则tanθ的最大值是_________．答案：√612分析：作出图形，找出直线OP与平面OAB所成的角θ，证出PA⊥平面PBH，得出PA⊥PH，得出点P的轨迹就是平面α内以线段AH为直径的圆(A点除外)，转化成与圆有关的最值问题，即可求出结果.如图，过点B作BH⊥OA，交OA的延长线于点H，连接PH，OP，取AH的中点为E，连接PE，过点P作PF⊥OA，垂足为F，∵平面OAB⊥平面α，且平面OAB∩平面α=OA，BH⊂平面OAB，PF⊂α，∴BH⊥α，PF⊥平面OAB，∴OP在平面OAB上的射影就是直线OA，故∠AOP就是直线OP与平面OAB所成的角θ，即∠AOP=θ，∵AP⊂α，∴AP⊥BH，又∵PA⊥PB，PB∩BH=B，PB，BH⊂平面PBH，∴PA⊥平面PBH，∵PH⊂平面PBH，∴PA⊥PH，故点P的轨迹就是平面α内以线段AH为直径的圆(A点除外)，∵OA=AB，且∠OAB=120∘，∴∠BAH=60∘，设OA=a(a>0)，则AB=a，从而AH=AB⋅cos60∘=a2，∴PE=12AH=a4，如图，当且仅当PE⊥OP，即OP是圆E的切线时，角θ有最大值，tanθ有最大值，tanθ取得最大值为：PEOP =√OE2−PE2=a4√(a+4)2−(4)2=√612．所以答案是：√612.14、如果一个水平放置的图形用斜二测画法画出的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______.答案：2+√2##√2+2分析：求出直观图中梯形的下底长，作出原图形，结合梯形的面积公式可求得结果.直观图中，梯形的下底长为1+2×1×cos45∘=1+√2，作出原图形如下图所示：由图可知，原图形为直角梯形ABCD，且该梯形的上底长为CD=1，下底长为AB=1+√2，高为AD=2，=2+√2.因此，原图形的面积为S=(AB+CD)⋅AD2所以答案是：2+√2.解答题15、如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1C1与B1D1交于点O1，求证：(1)直线A1B∥平面ACD1；(2)直线BO1∥平面ACD1．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析分析：(1)根据题意，先证得四边形A1D1CB是平行四边形，从而证得A1B∥D1C，即可证得线面垂直；(2)连接BD，交AC于O，连接D1O，只需证明O1B∥D1O，即可证得线面垂直；（1）证明：直线A1B在平面ACD1外，因为A1D1∥BC，A1D1=BC，所以四边形A1D1CB是平行四边形，所以A1B∥D1C，而D1C是平面ACD1内的直线，根据判定定理可知，直线A1B∥平面ACD1．（2）证明：如图，连接BD，交AC于O，连接D1O，易知D1O1∥OB，D1O1=OB，则四边形D1O1BO是平行四边形，所以O1B∥D1O，所以D1O在平面ACD1上，根据判定定理可知，O1B∥平面ACD1．。

立体几何—直线与平面的位置关系（平行、垂直、异面）知识精要1、证明直线与平面的平行的思考途径:（1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 2、证明直线与平面垂直的思考途径:（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。

3、证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行。

4、 空间向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则：(1) a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2) a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a ·b ＝112233a b a b a b ++； 5、 夹角公式：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则2cos ,a b a <>=.6、 异面直线间的距离 ：||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).7、点B 到平面α的距离：||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，A α∈，AB 是α的一条斜线段）. 热身练习：1、A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ C ）()A ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,()B βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线 ()C αα∉⇒∈A l A l ,内不在()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合2、对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交． 其中，使三条直线共面的充分条件有 （ B ）（1和4）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个3、在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点H G F E ,,,，如果EF 与HG 相交于一点M ，那么 （ A ）()A M 一定在直线AC 上 ()B M 一定在直线BD 上 ()C M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 ()D M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上4、设ABCD 是空间四边形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则,,满足（ B ） （A ） 共线 （B ） 共面 （C ） 不共面 （D ） 可作为空间基向量 正确答案：B 错因：学生把向量看为直线。

第八章 立体几何初步第2课时 直线与平面的位置关系(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）100～101页 （理）102～103页考情分析考点新知了解直线与平面的位置关系，了解空间平行的有关概念；除了能熟练运用线面平行的判定定理和性质定理外，还要充分利用定义．要注意线线关系、线面关系以及面面关系的转化．对于直线与平面所成角，点到面的距离了解即可.1. (必修2P 37练习3改编)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB Ì平面α，CD Ë平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系可能是________．答案：平行或异面解析：因为AB ∥CD ，AB Ì平面α，CD Ë平面α，所以CD ∥平面α，所以CD 与平面α内的直线可能平行，也可能异面．2. (必修2P 41练习2改编)过直线l 外一点P ，作与l 平行的平面，则这样的平面有________个．答案：无数解析：直线l 与点P 确定一个平面，记为α，在平面α内作直线PQ ∥α，又在平面α外任取一点R ，则点R 与直线PQ 确定一平面，记为β，由直线与平面平行的判定定理易知l ∥β，因此满足题意的平面有无数个．3. (必修2P 37练习4改编)在正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的表面中，与A 1F 1平行的平面是________．答案：平面ABCDEF 、平面CC 1D 1D解析：在正六棱柱中，易知A 1F 1∥AF ，且A 1F 1平面ABCDEF ，所以A 1F 1∥平面ABCDEF.同理，A 1F 1∥C 1D 1，且A 1F 1平面CC 1D 1D ，所以A 1F 1∥平面CC 1D 1D.其他各面与A 1F 1不满足直线与平面平行的条件．故答案为平面ABCDEF 与平面CC 1D 1D.4. (必修2P 32习题3改编)已知P 是正方体ABCDA 1B 1C 1D 1棱DD 1上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP 平行的直线是 ____________．答案：DC 、D 1C 1、A 1B 1解析：DC 、D 1C 1、A 1B 1均平行于直线AB ，依据直线与平面平行判定定理，均可证明它们平行于平面ABP.5. (必修2P 41习题5改编)在四面体ABCD 中，M 、N 分别是平面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案：平面ABC 、平面ABD解析：如图，连结AM 并延长交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB ，因此，MN∥平面ABC ，且MN ∥平面ABD.1. 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种： 位置关系 直线a 在平面α内 直线a 与平面α相交直线a 与平面α平行公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点没有公共点符号 表示 a Ìα a ∩α＝A a ∥α图形 表示直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．[备课札记]题型1 基本概念辨析例1 (1) 要得到直线l ∥平面α，则下列条件不正确的有________．(填序号) ① l 平行于α内的所有直线；② l 平行于过l 的平面与α的交线； ③ l 平行于α内的无数条直线；④ l 和α内的所有直线都没有公共点．(2) 已知直线a 、b 和平面α，那么能得到a ∥b 的条件有________．(填序号) ① a ∥α，b ∥α；② a ⊥α，b ⊥α； ③ b Ìα且a ∥α；④ a 、b 与α成等角．(3) α、β表示平面，a 、b 表示直线，则能得到a ∥α的条件有________．(填序号) ① α⊥β且a ⊥β；② α∩β＝b ，且a ∥b ； ③ a ∥b 且b ∥α；④ α∥β且a Ìβ. 答案：(1) ③ (2) ② (3) ④ 备选变式（教师专享）如图是一正方体的表面展开图，B 、N 、Q 都是所在棱的中点，则在原正方体中，① AB 与CD 相交；② MN ∥PQ ；③ AB ∥PE ；④ MN 与CD 异面；⑤ MN ∥平面PQC.其中真命题的是________(填序号)．答案：①②④⑤解析：将正方体还原后如图，则N 与B 重合，A 与C 重合，E 与D 重合，所以①、②、④、⑤为真命题．题型2 直线与平面平行例2 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点． (1) 若E 为A 1C 1的中点，求证：DE ∥平面ABB 1A 1；(2) 若E 为A 1C 1上一点，且A 1B ∥平面B 1DE ，求A 1EEC 1的值．(1) 证明：取B 1C 1中点G ，连结EG 、GD ，则EG ∥A 1B 1，DG ∥BB 1.又EG ∩DG ＝G ，∴平面DEG∥平面ABB1A1.又DEÌ平面DEG，∴DE∥平面ABB1A1.(2) 解：设B1D交BC1于点F，则平面A1BC1∩平面B1DE＝EF.因为A1B∥平面B1DE，A1BÌ平面A1BC1，所以A1B∥EF.所以A1EEC1＝BFFC1.因为BFFC1＝BDB1C1＝12，所以A1EEC1＝12.变式训练如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．求证：MN∥平面AA1C1.证明：设A1C1中点为F，连结NF、FC.∵N为A1B1中点，∴NF∥B1C1，且NF＝12B1C1.又由棱柱性质知B1C1∥=BC，又M是BC的中点，∴NF∥=MC，∴四边形NFCM为平行四边形．∴MN∥CF.又CF平面AA1C1，MNË平面AA1C1，∴MN∥平面AA1C1.备选变式（教师专享）(2014·泰州中学期初调研)如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE＝BC，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE.(1) 求证：AE⊥BE；(2) 求证：AE∥平面BFD.证明：(1) ∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，AD⊥AB，∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE.∵AD∥BC，则BC⊥AE.又BF⊥平面ACE，则BF⊥AE.∵BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE.(2) 设AC∩BD＝G，连结FG，易知G是AC的中点，∵BF⊥平面ACE，则BF⊥CE.而BC＝BE，∴F是EC中点.在△ACE中，FG∥AE，∵AEË平面BFD，FGÌ平面BFD，∴AE∥平面BFD.题型3线面平行与线线平行例3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点．求证：(1) BF∥HD1；(2) EG ∥平面BB 1D 1D.证明：(1) 取BB 1的中点M ，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴ HD 1∥MC 1. 又MC 1∥BF ，∴ BF ∥HD 1.(2) 取BD 的中点O ，连结EO 、D 1O ，则OE ∥=12DC ，又D 1G ∥=12DC ，∴ OE ∥=D 1G ，∴ 四边形OEGD 1是平行四边形， ∴ GE ∥D 1O. 又D 1O Ì平面BB 1D 1D ， ∴ EG ∥平面BB 1D 1D. 备选变式（教师专享） (2013·扬州调研)如图，四边形ABCD 为正方形，在四边形ADPQ 中，PD ∥QA.又QA ⊥平面ABCD ，QA ＝AB ＝12PD.(1) 证明： PQ ⊥平面DCQ ；(2) CP 上是否存在一点R ，使QR ∥平面ABCD ，若存在，请求出R 的位置，若不存在，请说明理由．解： (1) 证法一：∵ QA ⊥平面ABCD ，∴ QA ⊥CD, 由四边形ABCD 为正方形知DC ⊥AD ，又QA 、AD 为平面PDAQ 内两条相交直线，∴ CD ⊥平面PDAQ ，∴ CD ⊥PQ ，在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD, 又CD 、QD 为平面ADCB 内两条相交直线，∴ PQ ⊥平面DCQ.证法二： ∵ QA ⊥平面ABCD ，QA Ì平面PDAQ ，∴ 平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD. 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，∴ DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC. 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD, 又CD 、QD 为平面ADCB 内两条相交直线，∴ PQ ⊥平面DCQ.(2) 存在CP 中点R ，使QR ∥平面ABCD.证明如下：取CD 中点T ，连结QR 、RT 、AT ，则RT ∥DP ，且RT ＝12DP ，又AQ ∥DP ，且AQ ＝12DP ，从而AQ ∥RT ，且AQ ＝RT ，∴ 四边形AQRT 为平行四边形，所以AT ∥QR ，∵ QR Ë平面ABCD ，AT Ì平面ABCD ，∴ QR ∥平面ABCD.1. (2013·南京模拟)直线l 上有两点与平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是________．答案：平行或相交解析：设A 、B 是直线l 上两点，若两点A 、B 在平面α的同侧，则l ∥α，若两点A 、B 在平面α的异侧，且线段AB 的中点在α上，则l 与α相交．2. 下列命题中正确的是________．(填序号)① 若直线a 不在α内，则a ∥α；② 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；③ 若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点； ④ 平行于同一平面的两直线可以相交． 答案：③④解析：a ∩α＝A 时，a Ëα，∴ ①错；直线l 与α相交时，l 上有无数个点不在α内，故②错；l ∥α，l 与α无公共点，∴ l 与α内任一直线都无公共点，③正确；长方体中A 1C 1与B 1D 1都与平面ABCD 平行，∴ ④正确．3. 已知在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________．答案：23解析：取A 1B 1的中点F ，则∠AEF 为所求角或其补角．设正方体棱长为2，则AE ＝3，AF ＝5，EF ＝2，所以cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22AE ×EF＝23.4. 下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是________．(填序号)答案：①②解析：由线面平行的判定定理知图①②可得出AB ∥平面MNP.5. 如图所示，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别为AA 1、CC 1的中点，AC ⊥BE ，点F 在线段AB 上，且AB ＝4AF.若M 为线段BE 上一点，试确定M 在线段BE 上的位置，使得C 1D ∥平面B 1FM.解：连结AE ，在BE 上取点M ，使BE ＝4ME ，连结FM 、B 1M 、FB 1.在△BEA 中，∵ BE ＝4ME ，AB ＝4AF ，∴ MF ∥AE.又在平面AA 1C 1C 中，易证C 1D ∥AE ，∴ C 1D ∥FM.∵ C 1D Ë平面FMB 1，FM Ì平面FMB 1，∴ C 1D ∥平面B 1FM.1. (2013年汕头质检)若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题是真命题的是________．(填序号)① 若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ② 若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③ 已知α、β互相平行，m 、n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β； ④ 若m 、n 在平面α内的射影互相平行，则m 、n 互相平行． 答案：②解析：①为假命题，②为真命题，在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m 、n 也可能异面，故为假命题．2. α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件：① a ∥γ，b Ìβ；② a ∥γ，b ∥β；③ b ∥β，a Ìγ.如果命题“α∩β＝a ，b Ìγ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．答案：①③解析：①中，a∥γ，aÌβ，bÌβ，β∩γ＝bÞa∥b(线面平行的性质)．③中，b ∥β，bÌγ，aÌγ，β∩γ＝aÞa∥b(线面平行的性质)．3. 正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝A1A，D为C1C的中点，O为A1B与AB1的交点．(1) 求证：AB1⊥平面A1BD；(2) 若点E为AO的中点，求证：EC∥平面A1BD.证明：(1) 连结DA、DB1、DO.∵AB＝A1A，D为C1C的中点，而DB1＝DC21＋C1B21，DA＝DC2＋CA2，∴DB1＝DA.又O是正方形A1ABB1对角线的交点，∴DO⊥AB1.又A1B⊥AB1，A1B∩DO＝O，∴AB1⊥平面A1BD.(2) 取A1O的中点F，在△A1OA中，∵E是OA中点，∴EF∥=12AA1.又D为C1C的中点，∴CD∥=12AA1.∴EF∥= CD，故四边形CDFE是平行四边形．∴CE∥DF.又DFÌ平面A1BD，CEË平面A1BD，∴EC∥平面A1BD.4. 设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；② m∥α；③ n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________．(填序号)答案：①②③(或①③②)解析：当m∥α时，由线面平行的性质定理，过m作平面与α的交线m′，则有m∥m′，因为m∥n，所以n∥m′，又n是平面α外的直线，所以n∥α.故①②③.同理①③②.1. 判定或证明直线与平面平行的常用方法：(1) 利用直线与平面平行的定义(无公共点)；(2) 利用直线与平面平行的判定定理(aα，bËα，a∥bÞa∥α)；(3) 利用平面与平面平行的性质(α∥β，aËαÞa∥β)；注意不管用哪种方法，都应将相应的条件写全，缺一不可．2. 直线与平面平行的性质定理的作用是证线线平行，应用时常常需构造辅助平面，和平面几何中添加辅助线一样，在构造辅助平面时要确认这个平面的存在性．3. 证明平行问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间平行关系，实现“空间问题”与“平面问题”之间的转化．请使用课时训练（A）第2课时（见活页）.[备课札记]。