2018年江苏高考数学复习：专题限时集训7 不等式含答案

【最新考纲解读】【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查. 【课前检测训练】 【判一判】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( ) (2)1a >1b⇔a <b (ab ≠0)．( )(3)a >b ，c >d ⇒ac >bd .( ) (4)若1a <1b<0，则|a |>|b |.( )(5)若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b.( )1. ×2. ×3. ×4. ×5. √ 【练一练】1．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是( )A.1a >1bB.1a －b >1aC ．|a |>－b D.－a >－b答案 B2．下列四个结论，正确的是( )①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ；④a >b >0⇒1a 2>1b2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③答案 D3．若a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( )A ．a －b >0B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <0答案 D解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |，当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立． 4．下列各组代数式的关系正确的是________．①x 2＋5x ＋6<2x 2＋5x ＋9；②(x －3)2<(x －2)(x －4)； ③当x >1时，x 3>x 2－x ＋1； ④x 2＋y 2＋1>2(x ＋y －1)． 答案 ①③④5．若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________．答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12<12.即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .【题根精选精析】考点1 应用不等式表示不等关系某厂生产甲产品每件需用A 原料2 kg 、B 原料4 kg ，生产乙产品每件需用A 原料3 kg 、B 原料2 kg ；A 原料每日供应量限额为60 kg ，B 原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多10件以上，若设每天生产甲产品x 件，乙产品y 件，用不等式(组)表示上述关系式为________． 【答案】错误！未找到引用源。

1．(2016·泰州模拟)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．2．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y＝5，则x ＋y 的最大值是________．3．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值是________．4．(2016·长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，且x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．5．函数y ＝1－2x －3x(x ＜0)的最小值为________．6．(2016·盐城模拟)已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋2x ＋b ＞0的解集为{x |x ≠－1a }，则a 2＋b 2＋7a －b(其中a ＞b )的最小值为________．7．(2016·深圳模拟)已知正实数a ，b 满足1a ＋2b＝3，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是________________． 8．若a ＞b ＞0，则a 2＋1b (a －b )的最小值为________．9．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________．10．(2016·苏州模拟)若直线ax ＋by －1＝0(a ＞0，b ＞0)过曲线y ＝1＋sinπx (0＜x ＜2)的对称中心，则1a ＋2b的最小值为__________．11．(2016·苏州、无锡、常州三模)已知常数a ＞0，函数f (x )＝x ＋a x －1(x ＞1)的最小值为3，则a 的值为______．12．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则PA ·PB 的最大值是________．13．(2016·郑州第一次质量预测)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且a·c ＝b·c ＝1，则对任意的正实数t ，|c ＋t a ＋1tb |的最小值是________．14．(2016·南京盐城联考)已知正实数x ，y 满足等式x ＋y ＋8＝xy ，若对任意满足条件的x ，y ，不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______________．答案精析1. 22.43.44.(－4,2) 5．1＋2 6 解析 ∵x ＜0， ∴y ＝1－2x －3x＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号， 故y 的最小值为1＋2 6. 6．6解析 由不等式ax 2＋2x ＋b ＞0的解集为{x |x ≠－1a }可得⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝4－4ab ＝0，即ab ＝1，a ＞0，所以a 2＋b 2＋7a －b ＝(a －b )2＋2ab ＋7a －b＝a －b ＋9a －b≥6， 当且仅当a －b ＝3时等号成立． 7.509 解析1a ＋2b ＝3⇒2a ＋b ＝3ab ⇒3ab ＝2a ＋b ≥22ab ⇒ab ≥89，因此(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝4ab ＋2≥4×89＋2＝509，当且仅当2a ＝b ＝43时，等号成立．8．4解析 原式＝(a －b )＋b ]2＋1b (a －b )≥2(a －b )b ]2＋1b (a －b )＝4(a －b )b ＋1b (a －b )≥24(a －b )b ·1b (a －b )＝4(当且仅当a ＝2，b ＝22时取等号)．9.32解析 ∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2＝a 5q ＋2a 5， 又∵{a n }是正项等比数列， ∴a 5≠0，且q ＞0， ∴q 2－q －2＝0，∴q ＝2或q ＝－1(舍去)． 又a m ·a n ＝4a 1，∴a m ·a n ＝16a 21，a 21q m ＋n －2＝16a 21，又a 21≠0，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6， 1m ＋4n ＝16(1m ＋4n )(m ＋n ) ＝16(5＋4m n ＋n m ) ≥16(5＋24mn ·n m )＝32. 当且仅当4m n＝nm，即m ＝2，n ＝4时取等号．10．3＋2 2解析 画出y ＝1＋sinπx (0＜x ＜2)的图象(图略)， 知此曲线的对称中心为(1,1)， 则直线ax ＋by －1＝0过点(1,1)， 所以a ＋b ＝1， 又a ＞0，b ＞0， 所以1a ＋2b ＝(1a ＋2b)(a ＋b )＝1＋b a ＋2ab＋2≥3＋22， 当且仅当b a ＝2ab时取等号．即(1a ＋2b)min ＝3＋2 2.11．1解析 ∵x ＞1，∴x －1＞0，又a ＞0， ∴f (x )＝x ＋a x －1＝x －1＋a x －1＋1≥2a ＋1，∴2a ＋1＝3，∴a ＝1，此时，x －1＝1x －1，即x ＝2.12．5解析 ∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3)．当点P 与点A (或B )重合时，PA ·PB 为零；当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形， ∴AP 2＋BP 2＝AB 2＝10， ∴PA ·PB ≤PA 2＋PB 22＝102＝5，当且仅当PA ＝PB 时，上式等号成立．13．2 2解析 ∵a ，b 是互相垂直的单位向量， 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )． 由a·c＝b·c＝1，得x ＝y ＝1， 即c ＝(1,1)，∴c ＋t a ＋1t b ＝(1,1)＋(t,0)＋(0，1t)＝(1＋t,1＋1t)，∴|c ＋t a ＋1tb|＝错误!)2 ＝2＋2(t ＋1t )＋t 2＋1t2，∵t ＞0，∴t ＋1t ≥2，t 2＋1t2≥2，当且仅当t ＝1时取等号，∴|c ＋t a ＋1t b|≥2＋4＋2＝22，故|c ＋t a ＋1tb|的最小值为2 2. 14．(－∞，658] 解析 因为x ＋y ＋8＝xy ≤(x ＋y 2)2，即4(x ＋y )＋32≤(x ＋y )2， 解得x ＋y ≥8或x ＋y ≤－4(舍去)．不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立可等价转化为a ≤(x ＋y )2＋1x ＋y恒成立，令x ＋y ＝t (t ≥8)，且f (t )＝t 2＋1t ＝t ＋1t.函数f (t )在8，＋∞)上单调递增， 所以f (t )min ＝f (8)＝8＋18＝658.所以实数a 的取值范围为(－∞，658]．。

第3讲 基本不等式及其应用考试要求 1.基本不等式的证明过程，A 级要求；2.利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，C 级要求．知 识 梳 理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． (3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大)．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( )(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( )(3)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为2.( )(5)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件．( ) 解析 (2)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(3)函数y ＝x ＋1x值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值．(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为－5.(5)x >0且y >0是x y ＋y x≥2的充分条件． 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________． 解析 xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立．答案 813．(必修5P106习题16改编)设a ＞0，b ＞0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值是________．解析 由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ×a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，取等号，所以最小值为4. 答案 44．(2017·宿迁期末)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________. 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3. 答案 35．一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为______m ，宽为________m 时菜园面积最大．解析 设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．答案 15152考点一 配凑法求最值 【例1】 (1)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值．解 (1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤ －2－4x15－4x＋3＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1， 所以y ＝tt 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝1t ＋4t＋1， 因为t ＋4t≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15， 即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．【训练1】 (1)(2017·湖北重点中学一联)若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．解析 (1)因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )最小值＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. (2)y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． 答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 (2)23＋2 考点二 常数代换或消元法求最值(易错警示)【例2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________．(2)(2017·南京模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． (1)解析 法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.法二 由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y 5y －1，∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)由已知得x ＝9－3y1＋y .法一 (消元法)因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3， 所以x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋yy ＋－6＝6，当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二 ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 答案 (1)5 (2)6规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．易错警示 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．【训练2】 (1)已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y的最小值为________．(2)(2017·盐城模拟)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________． 解析 (1)(常数代换法) 因为x >0，y >0，且x ＋y ＝1， 所以8x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋8y x＋2xy≥10＋28y x ·2xy＝18，当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y 时等号成立，所以当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18.(2)由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1，且x >0，y >0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4y x＋xy＋4≥4＋4＝8.答案 (1)18 (2)8考点三 基本不等式在实际问题中的应用【例3】 (2017·苏、锡、常、镇四市调研)运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100])．(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 规律方法 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解． 【训练3】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时． 解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000v v ＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v，即v ＝11时取“＝”．∴最大车流量F 为1 900辆/时． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v＋18，∴F ≤76 0002v ·100v＋18＝2 000，当且仅当v ＝100v，即v ＝10时取“＝”．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时． 答案 (1)1 900 (2)100[思想方法]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx(m >0)的单调性． [易错防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题 1．下列不等式：①lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)；②sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )；③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )； ④1x 2＋1＜1(x ∈R )． 其中一定成立的是________(填序号)．解析 当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，①不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，②不正确；由基本不等式可知，③正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故④不正确． 答案 ③2．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是________． 解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，所以2x ＋y≤14，即2x ＋y ≤2－2，所以x ＋y ≤－2. 答案 (－∞，－2]3．(2017·镇江期末)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为________． 解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号． 答案 94．(2015·湖南卷改编)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________．解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立．因为1a ＋2b＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22，所以ab 的最小值为2 2.答案 2 25．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)若实数x ，y 满足xy >0，则xx ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为________．解析 xx ＋y ＋2y x ＋2y＝x x ＋2y ＋2y x ＋y x ＋y x ＋2y ＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当x y ＝2y x ，即x 2＝2y 2时取等号．答案 4－2 26．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是________．解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 27．(2017·苏州调研)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n的最大值为________．解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·m n ＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m＋1n取得最大值－4. 答案 －48．若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析xx 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x，因为x ＞0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x≤13＋2＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞二、解答题9．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 10．(2017·苏北四市联考)如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4米，最低点B 离地面2米，观察者从距离墙x (x >1)米，离地面高a (1≤a ≤2)米的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ.(1)若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ (2)若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围．解 (1)当a ＝1.5时，过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，则BD ＝0.5，且θ＝∠ACD －∠BCD ， 由已知知观察者离墙x 米，且x >1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x，所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD )＝2.5x－0.5x1＋2.5×0.5x 2＝2x 1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255，当且仅当x ＝52>1时，等号成立． 又因为tan θ在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以当观察者离墙52米时，视角θ最大． (2)由题意得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－ax，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD )＝2xx 2＋a －a －＝12， 所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0，x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4，又因为x >1，所以3≤x ≤4， 所以x 的取值范围为[3,4]．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为________．解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*) 则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.答案 112．(2017·衡水中学调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax＋2by (a >0，b >0)的最大值为1，则1a 2＋14b2的最小值为________．解析 不等式组所表示的平面区域是以(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，(1,1)为顶点的三角形区域(包括边界)，观察可知，当直线z ＝ax ＋2by 过点(1,1)时，z 有最大值，故a ＋2b ＝1，故1≥22ab ，故ab ≤18，故1a 2＋14b 2≥1ab ≥8，当且仅当a ＝2b ＝12时等号成立，故1a 2＋14b 2的最小值为8.答案 813．(2017·盐城中学月考)a 是1＋2b 与1－2b 的等比中项，则2ab|a |＋2|b |的最大值为________．解析 依题意，a 2＝1－4b 2，故a 2＋4b 2＝1≥4ab ，故ab ≤14，2ab |a |＋2|b |≤2ab 22ab ≤24，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝24或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－22，b ＝－24时，等号成立．答案2414．(2017·南京模拟)一位创业青年租用了如图所示的一块边长为1百米的正方形田地ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC ，CD 上分别取点E ，F (不与正方形的顶点重合)，连接AE ，EF ，FA ，使得∠EAF ＝45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF 部分规划为蜂巢区，△CEF 部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？解 设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T .则T ＝2×105·S ＋105·(1－S )＝105·(S ＋1)，所以只要求S 的最小值即可得T 的最小值．设∠EAB ＝α(0°<α<45°)，在△ABE 中，因为AB ＝1，∠B ＝90°，所以BE ＝tan α， 则S △ABE ＝12AB ·BE ＝12tan α.又∠DAF ＝45°－α，所以S △ADF ＝12tan(45°－α)．所以S ＝12[tan α＋tan(45°－α)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1－tan α1＋tan α. 令x ＝tan α∈(0,1)，则S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 1＋x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x －1x ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＋1－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋＋2x ＋1－2≥12(22－2)＝2－1. 当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时取等号． 此时T ＝2×105，所以三个区域的总投入T 的最小值约为2×105元.。

第七章 不等式 7.1 不等关系与不等式教师用书 理 苏教版1.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0).2.不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b.②a <0<b ⇒1a <1b.③a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. ④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则 ①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m(b －m >0). ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种.( √ ) (2)若a b>1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.( × ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小.( ×) (5)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c.(√) (6)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.( √ )1.(教材改编)已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是______________. 答案 a >－b >b >－a解析 ∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0，－a <b <0， ∴a >－b >0>b >－a ，即a >－b >b >－a .2.(教材改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的____________条件. 答案 充分不必要 解析a －b >0⇒a >b⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3.(2016·南京模拟)若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是________. ①a －b >0; ②a 3＋b 3>0； ③a 2－b 2<0; ④a ＋b <0. 答案 ④解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |， 当b ≥0时，a ＋b <0成立， 当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0.4.如果a ∈R ，且a 2＋a <0，则a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是________________. 答案 a <－a 2<a 2<－a 解析 由a 2＋a <0得a <－a 2， ∴a <0且a >－1，∴a <－a 2<a 2<－a .5.(教材改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为___________.答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12<12.即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系为________.答案 c <b <a解析 方法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln x x ，y ′＝1－ln xx2， 易知当x >e 时，函数f (x )单调递减. 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .(2)已知a >0，试比较a 与1a的大小.解 因为a －1a ＝a 2－1a＝a －a ＋a，因为a >0，所以当a >1时，a －a ＋a>0，有a >1a；当a ＝1时，a －a ＋a ＝0，有a ＝1a；当0<a <1时，a －a ＋a <0，有a <1a.综上，当a >1时，a >1a； 当a ＝1时，a ＝1a；当0<a <1时，a <1a.思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.(1)设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是________.(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________. 答案 (1)A ≥B (2)a <b 解析 (1)∵A ≥0，B ≥0，A 2－B 2＝a ＋2ab ＋b －(a ＋b )＝2ab ≥0， ∴A ≥B .(2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1， ∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618，即a <b . 题型二 不等式的性质例2 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列不等式中一定成立的是________. ①ab >ac; ②c (b －a )<0； ③cb 2<ab 2;④ac (a －c )>0. (2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有________.答案 (1)①(2)①④解析 (1)由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立.(2)因为1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ， 因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋b c<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是________. 答案 3解析 方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误. ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )， ∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd<0，故②正确.∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )， ∴a －c >b －d ，故③正确.∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )， 故④正确. 方法二 取特殊值. 题型三 不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立 例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为________.答案①②③解析方法一由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴a>b，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立.方法二令a＝3，b＝2，可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③a－b>a－b均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立.命题点2 求代数式的取值范围例4 已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________. 答案(－4,2) (1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.引申探究1.将已知条件改为－1<x<y<3，求x－y的取值范围.解∵－1<x<3，－1<y<3，∴－3<－y<1，∴－4<x－y<4.又∵x<y，∴x－y<0，∴－4<x－y<0，故x－y的取值范围为(－4,0).2.若将本例条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围.解设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为(－32，232).思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等. (2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径.(1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是________.①1a －b >1b； ②a 2<ab ； ③|b ||a |<|b |＋1|a |＋1； ④a n >b n. (2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c ). 其中所有正确结论的序号是________. 答案 (1)③ (2)①②③解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确； ③中，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a <b <0，∴|b |<|a |成立. (2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b，又c <0，∴c a >c b，①正确； 构造函数y ＝x c，∵c <0，∴y ＝x c在(0，＋∞)上是减函数， 又a >b >1，∴a c <b c，②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确.6.利用不等式变形求范围典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________. 错解展示解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4， ②①＋②得3≤2a ≤6，∴6≤4a ≤12， 又由①可得－2≤－a ＋b ≤－1，③ ②＋③得0≤2b ≤3，∴－3≤－2b ≤0， 又f (－2)＝4a －2b ，∴3≤4a －2b ≤12， ∴f (－2)的取值范围是[3,12]. 答案 [3,12] 现场纠错解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧f－＝a －b ，f ＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －＋f ，b ＝12[f－f －，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]纠错心得 在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.1.(教材改编)当x ＞1时，x 3与x 2－x ＋1的大小关系为______________. 答案 x 3＞x 2－x ＋1 解析 ∵x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1) ＝(x －1)(x 2＋1).又∵x ＞1，故(x －1)(x 2＋1)＞0，∴x 3－(x 2－x ＋1)＞0，即x 3＞x 2－x ＋1.2.(2016·镇江模拟)若6<a <10，a 2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是__________. 答案 (9,30)解析 ∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥3a 2， ∴9<3a 2≤a ＋b ≤3a <30. 3.已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是________.①xy >yz; ②xz >yz ；③xy >xz; ④x |y |>z |y |.答案 ③解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0，又y >z ，∴xy >xz .4.设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的________条件.答案 充分不必要解析 由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时⇏(a －b )·a 2<0，必要性不成立.5.设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是__________. 答案 (－π6，π) 解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 6.已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是________.①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若a c >b c ，则a >b ；③若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b；④若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b. 答案 ③解析 当c ＝0时，可知①不正确；当c <0时，可知②不正确；对于③，由a 3>b 3且ab <0，知a >0且b <0，所以1a >1b成立，③正确； 当a <0且b <0时，可知④不正确.7.若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是________.①a ＋1b >b ＋1a ； ②b a >b ＋1a ＋1； ③a －1b >b －1a ； ④2a ＋b a ＋2b >a b. 答案 ①解析 取a ＝2，b ＝1，排除②与④；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立. 8.若a >b >0，则下列不等式一定不成立的是________.①1a <1b； ②log 2a >log 2b ； ③a 2＋b 2≤2a ＋2b －2; ④b <ab <a ＋b 2<a .答案 ③ 解析 ∵(a －1)2＋(b －1)2>0(由a >b >0，a ，b 不能同时为1)，∴a 2＋b 2－2a －2b ＋2>0，∴a 2＋b 2>2a ＋2b －2，∴③一定不成立.9.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n<0对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是____________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，74 解析 当n 为奇数时，2n (1－a )<3n －1，1－a <13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需1－a <13×⎝ ⎛⎭⎪⎫321，∴a >12.当n为偶数时，2n (a －1)<3n －1，a －1<13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需a －1<13×⎝ ⎛⎭⎪⎫322，∴a <74. 综上，12<a <74. 10.已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0；②若ab >0，c a －d b >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0.其中正确的命题是________.答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab >0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确.故①②③都正确.11.(教材改编)一辆汽车原来每天行驶x km ，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程将超过2 200 km ，用不等式表示为____________.答案 8(x ＋19)>2 200解析 因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，所以汽车每天行驶的路程为(x ＋19) km ，则在8天内它的行程为8(x ＋19) km ，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x ＋19)>2 200来表示.12.已知－1<2x －1<1，则2x－1的取值范围是________. 答案 (1，＋∞)解析 －1<2x －1<1⇒0<x <1⇒1x >1⇒2x>2 ⇒2x－1>1. 13.已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是__________(用区间表示). 答案 [3,8]解析 ∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )， ∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8， ∴z 的取值范围是[3,8].14.已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mx x －1，试比较f (a )与f (b )的大小. 解 f (x )＝m (1＋1x －1)，f (a )＝m (1＋1a －1)， f (b )＝m (1＋1b －1). 由a >b >1，知a －1>b －1>0.∴1a －1<1b －1，∴1＋1a －1<1＋1b －1. ①当m >0时，m (1＋1a －1)<m (1＋1b －1)，f (a )<f (b ). ②当m ＝0时，f (a )＝f (b )＝0.③当m <0时，m (1＋1a －1)>m (1＋1b －1)，f (a )>f (b ). 综上所述，当m >0时，f (a )<f (b )；当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m <0时，f (a )>f (b ).。

2(∁R P )∩Q ＝____________.2．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，由点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是________．3．(2016·南京一模)若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2x －y 的最小值为________．4．(2016·徐州质检)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是______________． 5．(2016·潍坊联考)已知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则2m ＋1n的最小值为________．6．(2016·山西大学附中检测)已知函数f (x )＝|lg x |，a ＞b ＞0，f (a )＝f (b )，则a 2＋b 2a －b的最小值等于________． 7．(2016·宁德质检)设P 是不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －2y ≥－1，x ＋y ≤3表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)．若OP →＝λm ＋μn (λ，μ∈R )，则μ的最大值为________．8．(2016·镇江模拟)设函数f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b 2)，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是________．(填序号) ①q ＝r ＜p; ②q ＝r ＞p ； ③p ＝r ＜q; ④p ＝r ＞q .9．(2016·福建长乐二中等五校期中联考)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不少于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x －1450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂一年内生产的商品能全部销售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？10．(2016·海口一模)已知函数f (x )＝x ＋m x＋2(m 为实常数)．(1)若函数f (x )图象上动点P 到定点Q (0,2)的距离的最小值为2，求实数m 的值； (2)若函数y ＝f (x )在区间2，＋∞)上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围；(3)设m ＜0，若不等式f (x )≤kx 在x ∈12，1]时有解，求k 的取值范围．答案精析1．(2,3] 2．4 3解析 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2知〈OA →，OB →〉＝π3.设OA →＝(2,0)，OB →＝(1，3)，OP →＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝y 3，λ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －y 3.由|λ|＋|μ|≤1得|3x －y |＋|2y |≤2 3. 作出可行域，如图所示．则所求面积S ＝2×12×4×3＝4 3.3．44．(－∞，－8]解析 分离变量得－(4＋a )＝3x ＋43x ≥4，得a ≤－8.当且仅当x ＝log 32时取等号．5．9解析 易知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n的最小值为9.6．2 2解析 由函数f (x )＝|lg x |，a ＞b ＞0，f (a )＝f (b )，可知a ＞1＞b ＞0，所以lg a＝－lg b ，b ＝1a ，a －b ＝a －1a ＞0，则a 2＋b 2a －b＝a 2＋(1a )2a －1a＝a －1a＋2a －1a≥22(当且仅当a －1a ＝2a －1a，即a ＝2＋62时，等号成立)．7．3 解析设P 的坐标为(x ，y )，因为OP →＝λm ＋μn ， 所以 ⎩⎨⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ，解得μ＝x －y .题中不等式组表示的可行域是如图所示的阴影部分，由图可知，当目标函数μ＝x －y 过点G (3,0)时，μ取得最大值3－0＝3. 8．③解析 因为0＜a ＜b ，所以a ＋b 2＞ab ，又因为f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f (a ＋b 2)＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p .故p ＝r ＜q .9．解 (1)当0＜x ＜80，x ∈N *时， L (x )＝500×1000x 10000－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝500×1000x 10000－51x －10000x ＋1450－250＝1200－(x ＋10000x)，∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250(0＜x ＜80，x ∈N *)，1200－(x ＋10000x )(x ≥80，x ∈N *).(2)当0＜x ＜80，x ∈N *时，L (x )＝－13(x －60)2＋950， ∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950. 当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝1200－(x ＋10000x )≤1200－2x ·10000x＝1200－200＝1000， ∴当x ＝10000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值L (100)＝1000＞950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大． 10．解 (1)设P (x ，y )，则y ＝x ＋m x＋2，PQ 2＝x 2＋(y －2)2＝x 2＋(x ＋mx)2＝2x2＋m2x2＋2m≥22|m|＋2m＝2，当m＞0时，解得m＝2－1；当m＜0时，解得m＝－2－1.所以m＝2－1或m＝－2－1. (2)由题意知，任取x1，x2∈2，＋∞)，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝x2＋mx2＋2－(x1＋mx1＋2)＝(x2－x1)·x1x2－mx1x2＞0.因为x2－x1＞0，x1x2＞0，所以x1x2－m＞0，即m＜x1x2.由x2＞x1≥2，得x1x2＞4，所以m≤4. 所以m的取值范围是(－∞，4]．(3)由f(x)≤kx，得x＋mx＋2≤kx.因为x∈12，1]，所以k≥mx2＋2x＋1.令t＝1x，则t∈1,2]，所以k≥mt2＋2t＋1.令g(t)＝mt2＋2t＋1，t∈1,2]，于是，要使原不等式在x∈12，1]时有解，当且仅当k≥g(t)]min(t∈1,2])．因为m＜0，所以g(t)＝m(t＋1m)2＋1－1m的图象开口向下，对称轴为直线t＝－1m＞0.因为t∈1,2]，所以当0＜－1m≤32，即m ≤－23时，g (t )min ＝g (2)＝4m ＋5；当－1m ＞32，即－23＜m ＜0时，g (t )min ＝g (1)＝m ＋3.综上，当m ≤－23时，k ∈4m ＋5，＋∞)；当－23＜m ＜0时，k ∈m ＋3，＋∞)．。

第3讲 基本不等式及其应用考试要求 1.基本不等式的证明过程，A 级要求；2.利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，C 级要求．知 识 梳 理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． (3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大)．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( )(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( )(3)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为2.( )(5)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件．( )解析 (2)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(3)函数y ＝x ＋1x值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值．(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为－5.(5)x >0且y >0是x y ＋y x≥2的充分条件． 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________． 解析 xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立．答案 813．(必修5P106习题16改编)设a ＞0，b ＞0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值是________．解析 由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ×a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，取等号，所以最小值为4. 答案 44．(2017·宿迁期末)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________. 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3. 答案 35．一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为______m ，宽为________m 时菜园面积最大．解析 设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．答案 15152考点一 配凑法求最值【例1】 (1)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值．解 (1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤ －2－4x15－4x＋3＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1， 所以y ＝tt 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝1t ＋4t＋1， 因为t ＋4t≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15， 即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．【训练1】 (1)(2017·湖北重点中学一联)若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．解析 (1)因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )最小值＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. (2)y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． 答案 (1)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 (2)23＋2 考点二 常数代换或消元法求最值(易错警示)【例2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________．(2)(2017·南京模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． (1)解析 法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.法二 由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y 5y －1，∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)由已知得x ＝9－3y1＋y .法一 (消元法)因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3， 所以x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋yy ＋－6＝6，当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二 ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 答案 (1)5 (2)6规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．易错警示 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．【训练2】 (1)已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y的最小值为________．(2)(2017·盐城模拟)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________． 解析 (1)(常数代换法) 因为x >0，y >0，且x ＋y ＝1， 所以8x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋8y x＋2xy≥10＋28y x ·2xy＝18，当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y 时等号成立，所以当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18.(2)由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1，且x >0，y >0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4y x＋xy＋4≥4＋4＝8.答案 (1)18 (2)8考点三 基本不等式在实际问题中的应用【例3】 (2017·苏、锡、常、镇四市调研)运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100])．(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 规律方法 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解． 【训练3】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v，即v ＝11时取“＝”．∴最大车流量F 为1 900辆/时． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v＋18，∴F ≤76 0002v ·100v＋18＝2 000，当且仅当v ＝100v，即v ＝10时取“＝”．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时． 答案 (1)1 900 (2)100[思想方法]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx(m >0)的单调性． [易错防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题 1．下列不等式：①lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)；②sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )；③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )； ④1x 2＋1＜1(x ∈R )． 其中一定成立的是________(填序号)．解析 当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，①不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，②不正确；由基本不等式可知，③正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故④不正确． 答案 ③2．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是________． 解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，所以2x ＋y≤14，即2x ＋y ≤2－2，所以x ＋y ≤－2. 答案 (－∞，－2]3．(2017·镇江期末)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为________． 解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号． 答案 94．(2015·湖南卷改编)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________．解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立．因为1a ＋2b＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22，所以ab 的最小值为2 2.答案 2 25．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)若实数x ，y 满足xy >0，则xx ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为________．解析 xx ＋y ＋2y x ＋2y＝x x ＋2y ＋2y x ＋y x ＋y x ＋2y ＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当x y ＝2y x ，即x 2＝2y 2时取等号．答案 4－2 26．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是________．解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 27．(2017·苏州调研)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n的最大值为________．解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·m n ＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m＋1n取得最大值－4. 答案 －48．若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析xx 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x，因为x ＞0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x≤13＋2＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞二、解答题9．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 10．(2017·苏北四市联考)如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4米，最低点B 离地面2米，观察者从距离墙x (x >1)米，离地面高a (1≤a ≤2)米的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ.(1)若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ (2)若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围．解 (1)当a ＝1.5时，过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，则BD ＝0.5，且θ＝∠ACD －∠BCD ， 由已知知观察者离墙x 米，且x >1， 则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x，所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD )＝2.5x－0.5x1＋2.5×0.5x 2＝2x 1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255，当且仅当x ＝52>1时，等号成立． 又因为tan θ在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以当观察者离墙52米时，视角θ最大． (2)由题意得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－ax，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD )＝2xx 2＋a －a －＝12， 所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0，x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4，又因为x >1，所以3≤x ≤4， 所以x 的取值范围为[3,4]．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为________．解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*) 则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.答案 112．(2017·衡水中学调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax＋2by (a >0，b >0)的最大值为1，则1a 2＋14b2的最小值为________．解析 不等式组所表示的平面区域是以(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，(1,1)为顶点的三角形区域(包括边界)，观察可知，当直线z ＝ax ＋2by 过点(1,1)时，z 有最大值，故a ＋2b ＝1，故1≥22ab ，故ab ≤18，故1a 2＋14b 2≥1ab ≥8，当且仅当a ＝2b ＝12时等号成立，故1a 2＋14b 2的最小值为8.答案 813．(2017·盐城中学月考)a 是1＋2b 与1－2b 的等比中项，则2ab|a |＋2|b |的最大值为________．解析 依题意，a 2＝1－4b 2，故a 2＋4b 2＝1≥4ab ，故ab ≤14，2ab |a |＋2|b |≤2ab 22ab ≤24，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝24或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－22，b ＝－24时，等号成立．答案2414．(2017·南京模拟)一位创业青年租用了如图所示的一块边长为1百米的正方形田地ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC ，CD 上分别取点E ，F (不与正方形的顶点重合)，连接AE ，EF ，FA ，使得∠EAF ＝45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF 部分规划为蜂巢区，△CEF 部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？解 设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T .则T ＝2×105·S ＋105·(1－S )＝105·(S ＋1)，所以只要求S 的最小值即可得T 的最小值． 设∠EAB ＝α(0°<α<45°)，在△ABE 中，因为AB ＝1，∠B ＝90°，所以BE ＝tan α， 则S △ABE ＝12AB ·BE ＝12tan α.又∠DAF ＝45°－α，所以S △ADF ＝12tan(45°－α)．所以S ＝12[tan α＋tan(45°－α)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1－tan α1＋tan α.令x ＝tan α∈(0,1)，则S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 1＋x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x －1x ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＋1－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋＋2x ＋1－2≥12(22－2)＝2－1. 当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时取等号． 此时T ＝2×105，所以三个区域的总投入T 的最小值约为2×105元.。

1．(2017·杭州联考)设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＞0，x －2，x ≤0，则不等式f (x )＜x 2的解集是__________________．2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的值的集合是______________． 3．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是________．4．(2016·南京模拟)不等式2x 2－3|x |－2＜0的解集为____________． 5．(2016·许昌模拟)若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜14，则ab ＝________.6．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________________________．7．(2017·南宁月考)已知当a ∈－1,1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为________________．8．(2016·宿迁模拟)若存在实数a ∈1,3]，使得关于x 的不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是________________________． 9．(2017·合肥质检)已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为________________．10．(2016·徐州一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，则不等式ff (x )]≤3的解集为________．11．(2016·南京一模)若关于x 的不等式(ax －20)lg 2ax≤0对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值集合是________．12．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈32，＋∞)，f (xm)－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．13．设关于x 的不等式|x 2－2x ＋3m －1|≤2x ＋3的解集为A ，且－1∉A,1∈A ，则实数m 的取值范围是__________． 14．已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈2,6]恒成立，则a 的取值范围是________．答案精析1．(－∞，0]∪(2，＋∞) 2.{a |0≤a ≤4} 3.(－7,3) 4.(－2,2) 5．28解析 由题意知－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，且a ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－2＋14，－2a ＝(－2)×14，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.6．(－∞，－32)∪(12，＋∞)解析 由题意知f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a ＜0， 由f (－2x )＜0，得－2x ＞3或－2x ＜－1， ∴x ＜－32或x ＞12.7．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则由f (a )＞0对于任意的a ∈－1,1]恒成立， 易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0， 且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可， 联立方程解得x ＜1或x ＞3. 8．(－∞，－1)∪(23，＋∞)解析 当a ∈1,3]时，a (x 2＋x )－2x －2＞0成立． ①若x 2＋x ＝0，即x ＝－1或x ＝0，不合题意； ②若⎩⎨⎧x 2＋x ＞0，3x 2＋3x －2x －2＞0，则⎩⎨⎧x ＞0或x ＜－1，x ＞23或x ＜－1，解得x ＞23或x ＜－1；③若⎩⎨⎧x 2＋x ＜0，x 2＋x －2x －2＞0，则⎩⎨⎧－1＜x ＜0，x ＞2或x ＜－1，无解，综上所述，x ＞23或x ＜－1.9．{x |x ＜－lg2}解析 由已知条件得0＜10x ＜12，解得x ＜lg 12＝－lg2.10．(－∞，3]解析 f (x )的图象如图．结合图象，由ff (x )]≤3，得f (x )≥－3，由图可知f (x )≥－3的解集为(－∞，3]，所以不等式ff (x )]≤3的解集为(－∞，3]．11．{10} 解析 由2ax＞0，x ＞0，得a ＞0，由不等式(ax －20)lg2a x≤0，得⎩⎨⎧x ≥20a ，x ≥2a或⎩⎨⎧0＜x ≤20a ，0＜x ≤2a ，所以20a＝2a ，a ＝10. 12．{m |m ≤－32或m ≥32} 解析 依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈32，＋∞)上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈32，＋∞)上恒成立． 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 13．{m |－13＜m ≤73}解析 由－1∉A ，得|(－1)2－2×(－1)＋3m －1|＞2×(－1)＋3， 即|3m ＋2|＞1，解得m ＜－1或m ＞－13.①由1∈A ，得|12－2×1＋3m －1|≤2×1＋3， 即|3m －2|≤5，解得－1≤m ≤73.②故由①②得实数m 的取值范围是 {m |－13＜m ≤73}．14．－1,2] 解析 设y ＝2x －1，则y ′＝－2(x －1)2＜0，故y ＝2x －1在2,6]上单调递减， 即y min ＝26－1＝25， 故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈2,6]恒成立等价于15|a 2－a |≤25恒成立， 化简得⎩⎨⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0，解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是－1,2]．。

1．(2016·镇江模拟)设A ＝2a ＋2b ，B ＝a ＋b(a ＞0，b ＞0)，则A ，B 的大小关系是________．2．(2017·河南六市第一次联考)若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是________．(填序号) ①a 2＜b 2；②ab ＜b 2；③a ＋b ＜0；④|a |＋|b |＞|a ＋b |.3．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中，能使log b 1b＜log a 1b＜log a b 成立的条件的序号是________． 4．(2016·济南模拟)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是________．(填序号)①1x 2＋1＞1y 2＋1； ②ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)；③sin x ＞sin y ；④x 3＞y 3.5．对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a ＞b ，则ac ＜bc ；②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；④若c ＞a ＞b ＞0，则ac －a ＞b c －b ；⑤若a ＞b ，1a ＞1b，则a ＞0，b ＜0.其中真命题是________．(填序号)6．(2016·北京西城区模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎨⎧ a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，a ∨b ＝⎩⎨⎧ b ，a ≤b ，a ，a ＞b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则下列结论正确的是________．①a ∧b ≥2，c ∧d ≤2; ②a ∧b ≥2，c ∨d ≥2；③a ∨b ≥2，c ∧d ≤2; ④a ∨b ≥2，c ∨d ≥2.7．若存在x 使不等式x －me x ＞x 成立，则实数m 的取值范围为____________．8．设a ＞0，且a ≠1，P ＝log a (a 3－1)，Q ＝log a (a 2－1)，则P 与Q 的大小关系是________．9．对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )＜log a (1＋1a)； ②log a (1＋a )＞log a (1＋1a )；③a 1＋a ＜a 1＋1a； ④a 1＋a ＞a 1＋1a .其中成立的是________．10．(2016·苏州模拟)设a ＞b ＞c ＞0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“＞”连接)11．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________． 12．(2017·辽宁五校联考)三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，则b a的取值范围是________． 13．(2016·长沙模拟)已知a ，b ，c ∈{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n ＞2时，c n 与a n ＋b n 的大小关系为______________．(用“＞”连接)14．已知－12＜a ＜0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，则A ，B ，C ，D 的大小关系是________．(用“＞”连接)答案精析1．A ＞B 2.④ 3.② 4.④5．②③④⑤解析 ①中，c 的符号不确定，故ac 与bc 的大小关系也不能确定，故为假． ②中，由ac 2＞bc 2知c ≠0，∴c 2＞0，则a ＞b ，故为真．③中，由⎩⎨⎧ a ＜b ，b ＜0可得ab ＞b 2，由⎩⎨⎧ a ＜b ，a ＜0可得a 2＞ab ，∴a 2＞ab ＞b 2，故为真．④中，由a ＞b 得－a ＜－b ，∴c －a ＜c －b ，又c ＞a ，∴0＜c －a ＜c －b ，∴1c －a ＞1c －b ＞0.又a ＞b ＞0，∴ac －a ＞bc －b ，故为真．⑤中，由a ＞b 得a －b ＞0，由1a ＞1b 得b －a ab ＞0，又b －a ＜0，∴ab ＜0，而a ＞b ，∴a ＞0，b ＜0，故为真．6．③解析 不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c .若b ＜2，则a ＜2，∴ab ＜4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2.故a ∨b ≥2.若c ＞2，则d ＞2，∴c ＋d ＞4，与c ＋d ≤4矛盾，∴c ≤2.故c ∧d ≤2.故③正确．7．(－∞，0)解析 由x －me x ＞x ，得－m ＞e x ×x －x (x ＞0)，令f (x )＝e x ×x －x (x ＞0)，则－m ＞f (x )min ，f ′(x )＝e x ×x ＋e x ×12x －1≥2×e x －1＞0(x ＞0)，所以f (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以f (x )≥f (0)＝0，－m ＞0，m ＜0.8．P ＞Q解析 由题意可知a ＞1.∴(a 3－1)－(a 2－1)＝a 2(a －1)＞0，∴a 3－1＞a 2－1，∴log a (a 3－1)＞log a (a 2－1)，即P ＞Q .9．②④解析 因为0＜a ＜1，所以(1＋a )－(1＋1a )＝(a ＋1)(a －1)a ＜0，则1＋a ＜1＋1a，可知②④成立．10．z ＞y ＞x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )＞0，∴y ＞x .同理，z ＞y ，∴z ＞y ＞x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z ＞y ＞x .11．27解析 由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y 2≤81. 又3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13， ∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27. ∴x 3y 4的最大值是27. 12．23，32] 解析 两个不等式同时除以a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤b a ＋c a ≤2， ①b a≤1＋c a ≤2·b a ， ②将②乘(－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤b a ＋c a≤2，－2·b a ≤－1－c a ≤－b a ，两式相加，得1－2b a ≤b a －1≤2－b a ，解得23≤b a ≤32.13．c n ＞a n ＋b n解析 ∵a ，b ，c ∈{正实数}，∴a n ＞0，b n ＞0，c n ＞0.而a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n.∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴0＜a c ＜1,0＜b c ＜1.∵n ∈N ，n ＞2，∴(a c )n ＜(a c )2，(b c )n ＜(b c )2.∴a n ＋b n c n ＝(a c )n ＋(b c )n ＜a 2＋b 2c 2＝1.∴a n ＋b n ＜c n .14．C ＞A ＞B ＞D解析 由已知得－12＜a ＜0，不妨取a ＝－14，这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45.由此猜测：C ＞A ＞B ＞D .∵C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a＝－a [(a ＋12)2＋34]1＋a .又∵1＋a ＞0，－a ＞0，(a ＋12)2＋34＞0，∴C ＞A .∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2＞0，∴A ＞B . ∵B －D ＝1－a 2－11－a ＝a (a 2－a －1)1－a＝a [(a －12)2－54]1－a .又∵－12＜a ＜0，∴1－a ＞0.又∵(a －12)2－54＜(－12－12)2－54＜0，∴B ＞D .综上所述，C ＞A ＞B ＞D .。

全国著名重点中学领航高考冲刺试卷数 学(江苏卷)7命题：王建宏本试卷分为第I 卷（填空题）、第II 卷（解答题）和第Ⅲ卷（附加题）三部分，文科考生只要求．．．做第I 卷、第II 卷，第Ⅲ卷．．．不做．．，满分160分，考试时间120分钟；理科考生第I 卷、第II 卷和第Ⅲ卷都必须．．．做．，满分160+40分，考试时间120＋30分钟。

第I 卷（填空题 共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．已知1+→x x f ：是集合{}a A ,1=到集合{}3,2=B 的映射，则实数 a 的值为 ▲ _．2．函数|3||2|1)(2-++-=x x x x f 是 ▲ __（奇函数，偶函数，既不是奇函数也不是偶函数）．3．已知1log )(+=x x f a 的部分对应值如表所示， 则不等式1)2(>-x f 的解集是 ▲ __． 4．如图所示，在水平放置的图形OAB 的直观图中， 已知y B A '''//轴，且4=''=''B O B A ， 则图形OAB 的面积为 ▲ __． 5．已知x 、y 之间的一组数据如下：则y 与x 的线性回归方程a bx y+=ˆ必过点 ▲ . 6．在等差数列{}n a 中，若k k q q q p p p +++=+++ 2121 其中*∈N q q q p p p k k ，，，，，，， 2121，则k k q q q p p p a a a a a a +++=+++ 2121，类比这一结论，在等比数列{}n b 中相应的结论为 ▲ .7．曲线)4cos()4cos(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点横坐标按从小到大依次记为n P P P ,,,21 ，则=n P P 22 ▲ __．8．已知函数()32(0)f x ax bx cx d a =+++≠的对称中心为（,m n ），令()()F xf x '=，则函数'()2y F x =图像的对称轴方程为 ▲ ．9．将函数74+=x y 的图像按向量a →平移后得到函数14-=x y 的图像，给出以下三个命题：①a →的坐标可以是)0,2(；②a →的坐标可以是)12,1(--；③a →的坐标可以有无数种情况，其中真命题的序号是 ▲ __．10．在ABC ∆中任取一点P ，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比大于31的概率为 ▲ .11．下面的程序流程图中，能实现数据A ，B 互相交换的有 ．12．定义在R +上的函数)(x f ，若对任意+∈R x x 21,，如果当1)()(21=-x f x f 时，总有2008)()(2008220081=-x f x f ，则满足条件的一个函数)(x f 为 ▲ .13．如图，OA 、OB 、OC 是两个半径分别为1和2的同心圆中大圆的半径，它们与小圆分别相交于A 1，B 1，C 1三点，若存在△PQR 使1112,2,2CC RP BB QR AA PQ ===，如果=++B A λ110，则实数λ的值为____▲_____.14．已知直线l 和中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 上点的坐标一组对应值如下表ABCC 1 B 1A 1O①②③则椭圆在直线右方点的纵坐标集合为▲ .第Ⅱ卷（解答题共90分）二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）已知函数32∈a b c N*f x ax bx cx(),=++其中,,(1) 用a，b，c表示'(1)f；++为奇数(2) 如果符合'(1)16f x等可能的出现，求在其中取一个函数()f=的每个函数()f x满足a b c的概率。