第11章滤波器设计

3.2 理想低通滤波器
幅度谱 … -2 - 0
wc
… 2
幅度谱
…
-2 - 0 2
…

理想低通滤波器的h1(n) 为：
sin(wc n) h1(n) ，为无限长序列 n
0 . 2 0 . 1 5
0 . 1
0 . 0 5
0
-0 . 0 5 -5 0
-4 0
-3 0
-2 0
2、线性相位
线性相位是保证信号无失真传输的重要 条件。 所谓线性相位是指 h(n)的相位谱满足： (w)=-w， 其中为常数。 下面对线性相移的概念做一个举例说明

假设某信号 f (t ) 2 cos(100t ) 3 cos( 200t ) 4 cos(300t ) 如果某滤波器 h(t ) 能将 f (t ) 所有的频率成分通过， 但因为通过一个系统，故会引入一个延迟。 即通过系统 h(t ) 之后， f (t ) 的响应为 f (t T ) 。 这样的系统仅引入了延迟，但没有引入失真。
1
1.5
相位谱
-1
-0.5
0
0.5
1

1.5
3.4 汉明窗
汉明窗函数如下：
2n w(n) 0.54 0.46cos( ) 0 n N 1 N 1
同矩形窗截断的情形类似，经过汉明窗截断后
N 1 h ( n ) h1( n ) w(n) 0 n N 1 2 N 1 sin[wc (n )] 2 [0.54 0.46cos(2n )] 0 n N 1 N 1 N 1 (n ) 2
f 1(t ) f (t T ) 2 cos[100 (t T )] 3 cos[ 200 (t T )] 4 cos[300 (t T )]
对频率100 ，相位延迟为 100T 对频率 200 ，相位延迟为 200T 对频率 300 ，相位延迟为 300T 根据上述特点，显然满足线性相位 wT
而假设： 对频率100 ，相位延迟为 150T ； 对频率 200 ，相位延迟为 100T ； 对频率 300 ，相位延迟为 200T ； 则输出信号为：
f 2(t ) 2 cos(100t 150T ) 3 cos( 200t 100T ) 4 cos(300t 200T )
4、低通变高通
对低通滤波器 H (s ) 做一个变换： 令 H g ( s ) H ( wr / s ) ， 所得的 H g (s) 即为高通滤波器。
wr 为高通的截止频率
5、低通变带通
对低通滤波器 H (s ) 做一个变换：
2 s 2 w0 H (s) H [ ] 构造 H l (s ) 使： l s ( w2 w1 ) ，
3.1 窗函数法基本原理



从理想特性的滤波器H()出发，经过离 散付里叶反变换可以得到h1(n) 对h1(n)再乘一个窗函数w(n)，可以得到 h(n)=h1(n)w(n) 窗函数w(n)有两个作用，一个作用是对 频谱的修整，另一个作用是做截断，使 无限长序列h1(n)变成有限长序列h(n)， 从而构成FIR滤波器。
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5



N选用偶数也是可以的，下图是偶数点的h(n)
0 .2
0 .1 5
0 .1
0 .0 5
0
-0 . 0 5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100

对应的频谱
1.5
幅度谱
1
0.5
0 -1.5 400 200 0 -200 -400 -1.5
-1
-0.5
0
0.5
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
线性相位的条件： 对 h (n ) 来说，相位谱
( w ) arctg {
h ( n ) sin nw
N 1 n0 N 1 n0
h ( n ) cos nw
}
令 ( w ) w 则要求：


模拟滤波器h(t)是连续信号，依托模拟电 路（电感、电容、电阻等）来实现。 数字滤波器h(n)是离散信号，可以用数 字电路来实现，也可以用软件来实现。

就目前的应用情况而言，一般情况下， 输入信号首先要经过采样（A/D）变成数 字信号，在后面的处理中几乎全是数字 信号的处理和传输，仅在最后的输出端 才用（D/A）变成模拟信号，因而，模拟 滤波器的应用领域越来越小，其应用大 多局限在射频部分，其理论也十分复杂， 故我们不做详细介绍
TN ( x) 2 x 2 1 N 2 ，

通带
1
过渡带
阻带
可以看出： 1）随着阶数N的增加， 切比滤波器的阻带变窄、 通带波纹变密。性能改 善。
0.8
0.6
2
0.4
3 4
0.2
0
0
wc
w
2）不管阶数如何变， 截止频率不变。
切比雪夫滤波器的幅度谱



在设计切比雪夫滤波器时，可以首先确 定系统的低通截止频率，以及通带内允 许起伏指标、阻带截止指标。 然后根据上述指标确定滤波器阶数和决 定通带内波纹的。 再查表确定滤波器的H(s) 根据H(s)构造硬件模拟电路即可。
通带
1
过渡带
阻带
可以看出： 1）随着阶数N的增加， 巴特滤波器的阻带变窄、 通带变平坦。性能改善。
0.8
0.6
N=2
0.4
N=3 N=4
0.2
2）不管阶数如何变， 截止频率不变。
w
0
0
wc
巴特沃斯低通滤波器的幅度谱



在设计巴特滤波器时，可以首先确定系 统的低通截止频率，以及通带内允许起 伏指标、阻带截止指标。 然后根据上述指标确定滤波器阶数 再查表确定滤波器的H(s) 根据H(s)构造硬件模拟电路即可。




数字滤波器应用越来越广，其未来的方向是软 件无线电，软件无线电需要高性能的主机和相 应的硬件设备支撑。目前计算机的性能还不能 满足要求。 所谓无限冲激响应IIR滤波器，是指h(n)是无限 长的序列。 所谓有限冲激响应FIR滤波器，是指h(n)是有 限长的序列。 显然，FIR滤波器是应用需求的重点，IIR滤波 器实现起来相对困难。
-1 0
0
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
3.3 矩形窗

所谓矩形窗就是： w(n)=1, 0 nN-1 w(n)=0, n为其他值
为了保证线性相位和滤波器的因果性，即要求： 1） h ( n ) 为偶对称，我们选N 为奇数 2） h(n) 0
n 0，
考虑到我们要用 N 点的窗截断h1( n ) ，同时要保证对称 性，所以要先将h1( n ) 右移 ( N
11.2 模拟滤波器简介
1、概述
模拟滤波器的设计主要包括两块内容： 首先要构造相应的付里叶频谱H (w) 然后获得拉氏频谱H (s) 并构造模拟电路。 注： 之所以要获得H (s) ， 是因为可以从H (s) 出发构造硬件模拟电路的理论十分成熟。
模拟滤波器的核心是设计低通滤波器， 由低通滤 波器可以经过变量替换获得高通或带通滤波器。 经典的低通滤波器模板有： 巴特沃斯低通滤波器 切比雪夫低通滤波器
其中 w0 w1w2
w1 ~ w2 构成了通带
所得的 H l (s ) 即为带通滤波器。
6、低通变带阻
对低通滤波器 H (s ) 做一个变换： 构造 H k (s ) 使： 其中 w0 w1w2
w1 ~ w2 构成了阻带 H k (s) H [ s ( w2 w1 ) ] 2 2 ， s w0
显然不满足线性相位条件，从下图可以看出，这将引入失真
10 8
f(t)为原信号
f(t) f1 (t)
6 4 2 0 -2 -4 -6
f2 (t)
f1(t)为线性相位系统的 输出信号，仅对f(t)有 一定的延迟，波形完全 一样。 f2(t)为非线性相位系统 的输出信号，f2(t)引入 了失真，波形与f(t)不 同
h(n) h( N 1 n) 0 n N 1
，此时， ( N 1) / 2

以下的h(n)能保证线性相位吗？
h(n)
h(n)
0
1 2
3 4 5 6
n
0
1 2
3 4 5
n
N=7
N=6


上面的情况相当与对具有线性相位的h(n)做时 域平移： h’(n)=h(n-K) 根据离散付里叶变换的性质 H’(w)=H(w)ejwK h’(n)的相位谱：’(w)= (w)+Kw ’(w)=(-+K)w 显然h’(n)也能保证线性相位
0
-0 . 0 5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
显然这样的h(n)是偶对称的，满足线性相位的要求 当然对上面的h(n)做移位，也是满足线性相位要求的， 但不一定能满足因果性的要求谱
1.5 幅度谱 1 0.5 0 -1.5 400 200 0 -200 -400 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 相位谱

结论：对h(n)而言，所谓偶对称是指相 对位置上的幅度值相等，而与绝对位置 无关。