上海市建平中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试题

建平县实验中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 阅读右图所示的程序框图，若8,10m n ==，则输出的S 的值等于（ ） A ．28 B ．36 C ．45 D ．1202． 已知,,x y z 均为正实数，且22log x x =-，22log y y -=-，22log z z -=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y z <<D ．y x z << 3． 如果集合 ,A B ，同时满足{}{}{}{}1,2,3,41,1,1AB B A B =≠≠，A =,就称有序集对(),A B 为“ 好集对”. 这里有序集对(),A B 是指当A B ≠时，(),A B 和(),B A 是不同的集对， 那么“好集对” 一共有（ ）个A ．个B ．个C ．个D ．个 4． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π105． 设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C. (1,3) D ．(3,)+∞ 6． 定义运算：,,a a ba b b a b≤⎧*=⎨>⎩．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）A．⎡⎢⎣⎦B ．[]1,1- C．⎤⎥⎣⎦ D．⎡-⎢⎣⎦ 7． 如图所示，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长为（ ）A． B ． C. D． 8． 一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．29． 已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|||3,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0}--D ．{1,,0,1}-【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．10．某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为（ ）A ．20，2B ．24，4C ．25，2D ．25，4 11．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ） A ．13 B ．23C ．1D ．2 12．已知双曲线和离心率为4sinπ的椭圆有相同的焦点21F F 、，P 是两曲线的一个公共点，若 21cos 21=∠PF F ，则双曲线的离心率等于（ ） A ． B ．25 C ．26 D ．27二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上） 13．设,x y 满足条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩，若z ax y =-有最小值，则a 的取值范围为 ．14．设集合 {}{}22|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,满足AB =∅,{}|52A B x x =-<≤,求实数a =__________.15．已知圆22240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________． 【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力.16．已知1,3x x ==是函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在32x =处的导数302f ⎛⎫'<⎪⎝⎭，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________． 三、解答题（本大共6小题，共70分。

上海市建平中学2019届高三12月月考数学试题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知直线n在平面α内，直线m不在平面α内，则“m//n”是“m‖α”的()A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】解：由线面平行的性质定理有：直线n在平面α内，直线m不在平面α内，若“m//n”则“m‖α”即“m//n”是“m‖α”的充分条件，直线n在平面α内，直线m不在平面α内，若“m‖α”则“m//n”或“m、n异面“则“m‖α”即“m//n”是“m‖α”的不必要条件，即“m//n”是“m‖α”的充分非必要条件，故选：B．由线面平行的性质定理可得“m//n”是“m‖α”的充分条件，由线线，线面关系，可得“m//n”是“m‖α”的不必要条件，即可得解本题考查了线面平行的性质定理、线线，线面关系，属简单题．2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2+b2−c24，则C=( )A. π2B. π3C. π4D. π6【答案】C【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为a2+b2−c24，∴S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，∴sinC=a2+b2−c22ab=cosC，∵0<C<π，∴C=π4．故选：C．推导出S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，从而sinC=a2+b2−c22ab=cosC，由此能求出结果．本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.下面的四个命题中，真命题的个数是()①向量a⃗，b⃗ ，c⃗，若a⃗‖b⃗ 且b⃗ //c⃗，则a⃗//c⃗；②向量a⃗，b⃗ ，c⃗，若a⃗⋅b⃗ =b⃗ ⋅c⃗，则a⃗=c⃗；③复数z1，z2，若|z1−z2|=2，则(z1−z2)2=4；④公比为q等比数列{a n}，令b1=a1+a2+a3+a4，b2=a5+a6+a7+a8，…，b n=a4n−3+a4n−2+a4n−1+ a4n，…，则数列{b n}(n∈N∗)是公比为q4的等比数列．A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】解：当a⃗=0⃗时，由a⃗‖b⃗ 且b⃗ //c⃗，不一定有a⃗//c⃗，故①为假命题；当a⃗与b⃗ ，b⃗ 与c⃗夹角相等且|a⃗|=|c⃗|时，有a⃗⋅b⃗ =b⃗ ⋅c⃗，故②为假命题；z1=0，z2=2i，满足|z1−z2|=2，但(z1−z2)2=−4，故③为假命题；公比为q等比数列{a n}，令b1=a1+a2+a3+a4，b2=a5+a6+a7+a8，…，b n= a4n−3+a4n−2+a4n−1+a4n，…，则b nb n−1=a4n−3+a4n−2+a4n−1+a4na4n−7+a4n−6+a4n−5+a4n−4=a1q4n−4+a1q4n−3+a1q4n−2+a1q4n−1a1q4n−8+a1q4n−7+a1q4n−6+a1q4n−5=q4，数列{b n}(n∈N∗)是公比为q4的等比数列，故④为真命题．∴真命题的个数是1个．故选：B．举例说明①②③错误；由等比数列的定义说明④正确．本题考查命题的真假判断与应用，考查向量共线及向量数量积的概念，考查复数与等比数列的基础知识，是中档题．4.已知向量a⃗，b⃗ ，满足同|a⃗|=1，|b⃗ |=2，若对任意模为2的向量c⃗，均有|a⃗⋅c⃗|+|b⃗ ⋅c⃗|≤2√7，则向量a⃗，b⃗ 的夹角的取值范围是()A. [0,π3] B. [π3,π] C. [π6,π3] D. [0,2π3]【答案】B【解析】解：∵|a⃗|=1，|b⃗ |=2，|c⃗|=2，|(a⃗+b⃗ )⋅c⃗|≤|a⃗+b⃗ |⋅|c⃗|≤|a⃗⋅c⃗|+|b⃗ ⋅c⃗|≤2√7，即|a⃗+b⃗ |⋅2≤2√7，即|a⃗+b⃗ |≤√7，平方得|a⃗|2+|b⃗ |2+2a⃗⋅b⃗ ≤7，即1+4+2a⃗⋅b⃗ ≤7，则a⃗⋅b⃗ ≤1，即|a⃗|⋅|b⃗ |cos<a⃗，b⃗ >≤1，则cos<a⃗，b⃗ >≤12，即π3≤<a⃗，b⃗ >≤π，即向量a⃗，b⃗ 的夹角的取值范围是[π3,π]，故选：B．根据向量三角不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键，综台性较强，难度较大．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）第2页，共12页5.双曲线x23−y2=1的焦距为______．【答案】4【解析】解：根据题意，双曲线x23−y2=1，其中a2=3，b2=1，则c=√a2+b2=2，则其焦距2c=4；故答案为：4．根据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，由双曲线的几何性质计算可得c的值，由焦距的定义即可得答案．本题考查双曲线的标准方程，关键是利用双曲线的几何性质求出c的值．6.已知集合M={x|−2≤x−1≤2}，N={x|x=2k−1,k∈N∗}，则M∩N=______．【答案】{1,3}【解析】解：M={x|−1≤x≤3}，N是正奇数的集合；∴M∩N={1,3}．故答案为：{1,3}．可看出集合N表示正奇数的集合，从而解出集合M，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的概念及运算．7.设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为______．【答案】a n=6n−3【解析】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴{a1+d+a1+4d=36a1=3，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+(n−1)d=3+(n−1)×6=6n−3．∴{a n}的通项公式为a n=6n−3．故答案为：a n=6n−3．利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=3，d=6，由此能求出{a n}的通项公式．本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.若复数z满足∣∣∣i1+2i1z∣∣∣=0，其中i是虚数单位，则z的虚部为______．【答案】−1【解析】解：由∣∣∣i1+2i1z∣∣∣=0，得zi−1−2i=0，∴z=1+2ii =(1−2i)(−i)−i2=−2−i，∴z的虚部为−1．故答案为：−1．由已知可得zi−1−2i=0，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．第4页，共12页本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9. 函数f(x)=√log 12(x −1)−1的定义域为______．【答案】(1,32]【解析】解：函数f(x)=√log 12(x −1)−1有意义，可得：log 12(x −1)−1≥0，可得0≤x −1≤12， 解得1<x ≤32． 函数的定义域为：(1,32]. 故答案为：(1,32].利用开偶次方被开方数非负列出不等式，然后求解即可．本题考查函数的定义域的求法，对数不等式的解法，考查计算能力．10. (x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为______ 【答案】40【解析】解：根据题意得，T r+1=∁5r (x 2)5−r (2x)r =∁5r 2r x 10−3r 令10−3r =4，得r =2∴(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为∁5222=40；故答案为40．运用二项展开式的通项可得结果． 本题考查二项式定理的简单应用．11. 已知α，β为锐角，如tanα=43，cos(α+β)=√55，则tanβ=______．【答案】211【解析】解：∵α，β为锐角，∵0<α+β<π， 又cos(α+β)=√55，∴sin(α+β)=2√55，则tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=2．∵tanα=43，∴tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=2−431+2×43=211．故答案为：211．由已知求得sin(α+β)，进一步求得tan(α+β)，再由tanβ=tan[(α+β)−α]，展开两角差的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．12. 在上海进口博览会期间，要从编号为1，2，3，…，8的8名志愿者中选3人参加某项服务工作，则选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为______(结果用分数表示) 【答案】128【解析】解：在上海进口博览会期间，要从编号为1，2，3，…，8的8名志愿者中选3人参加某项服务工作，基本事件总数n =C 83=56，选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列包含的基本事件有2个， 分别为：(1,4，7)，(2,5，8)，∴选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为p =256=128． 故答案为：128．先求出基本事件总数n =C 83=56，选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列包含的基本事件有2个，由此能求出选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率．本题考查概率的求法，考查等差数列、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y =2x 上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点A 的横坐标为______． 【答案】3【解析】解：设A(a,2a)，a >0， ∵B(5,0)，∴C(a+52,a)，则圆C 的方程为(x −5)(x −a)+y(y −2a)=0． 联立{(x −5)(x −a)+y(y −2a)=0y=2x，解得D(1,2)．∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−a,−2a)⋅(−a−32,2−a)=a 2−2a−152+2a 2−4a =0．解得：a =3或a =−1． 又a >0，∴a =3． 即A 的横坐标为3． 故答案为：3．设A(a,2a)，a >0，求出C 的坐标，得到圆C 的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D 的坐标，结合AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0求得a 值得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．14. 设函数f(x)=(x −2)2sin(x −2)+3在区间[−1,5]的最大值和最小值分别为M ，m ，则M +m =______．【解析】解：设x−2=t，则t∈[−3,3]，故f(x)=g(t)=t2sint+3，t∈[−3,3]，函数y=g(t)−3是奇函数，最大值和最小值的和是0，故M−3+m−3=0，故M+m=6，故答案为：6．通过换元以及函数的奇偶性求出M+m的值即可．本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数最值以及转化思想，换元思想，是一道常规题．15.若实数a是实数1+2b与1−2b的等比中项，则8ab|a|+2|b|的最大值为______．【答案】√2【解析】解：a是1+2b与1−2b 的等比中项，则a2=1−4b2⇒a2+4b2=1≥4|ab|．∴|ab|≤14．∵a2+4b2=(|a|+2|b|)2−4|ab|=1．∴8ab|a|+2|b|=8ab√1+4|ab|≤8|ab|√1+4|ab|=4√4(ab)21+4|ab|=4√44|ab|+(1ab)2 =4√4(1|ab|+2)2−4∵|ab|≤14，∴1|ab|≥4，∴8ab|a|+2|b|≤4√4(1|ab|+2)2−4≤4√432=√2，故答案为：√2．由a是1+2b与1−2b的等比中项得到4|ab|≤1，再由基本不等式法求得．本题考查等比中项以及不等式法求最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.已知函数f(x)={x2−2mx+2m,x>m|x|,x≤m(m>0)，若存在实数b，使得函数g(x)= f(x)−b有3个零点，则实数m的取值范围是______．【答案】(1,+∞)【解析】解：存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，即为函数y=f(x)的图象和直线y=b有3个不同第6页，共12页即有x>0时，f(x)不单调，可得|m|>m2−2m2+2m，(m>0)，即有m2>m，解得m>1．故答案为：(1,+∞)．由题意可得函数y=f(x)的图象和直线y=b有3个不同的交点，通过x≤m的图象，可得x>0时，f(x)不单调，可得|m|>m2−2m2+2m，(m>0)，解不等式即可得到m 的范围．本题考查函数方程的转化思想，根的个数转化为交点个数，画出函数f(x)的图象是解题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到，求y= g(x)的单调增区间．【答案】解：(Ⅰ)f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+ 1+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2=√2sin(2ωx+π4)+2依题意得2π2ω=2π3，故ω的值为32．(Ⅱ)依题意得：g(x)=√2sin[3(x−π2)+π4]+2=√2sin(3x−5π4)+2由2kπ−π2≤3x−5π4≤2kπ+π2(k∈Z)解得23kπ+π4≤x≤23kπ+7π12(k∈Z)故y=g(x)的单调增区间为：[23kπ+π4,23kπ+7π12](k∈Z)．【解析】(1)先将函数化简为f(x)=√2sin(2ωx+π4)，再由2π2ω=2π3，可得答案．(2)根据g(x)=f(x−π2)先求出解析式，再求单调区间．本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法.做这种题首先要将原函数化简为y=Asin(ωx+φ)的形式再做题．18.如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2√2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；第8页，共12页(2)若点M 在棱BC 上，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线PM 与平面PAC 所成角的大小(结果用反三角表示)【答案】证明：(1)∵在三棱锥P −ABC 中，AB =BC =2√2， PA =PB =PC =AC =4，O 为AC 的中点．∴PO ⊥AC ，BO ⊥AC ，AC 2=AB 2+BC 2，PO =√16−4=2√3， ∴AB ⊥BC ，∴AO =BO =CO =2， ∴BO 2+PO 2=PB 2，∴PO ⊥BO ， ∵AC ∩BO =O ，∴PO ⊥平面ABC ．(2)以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，点M 在棱BC 上，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则P(0,0，2√3)，M(43,23,0)，A(0,−2,0)， C(0,2，0)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,23,−2√3)，平面PAC 的法向量n ⃗ =(1,0，0)， 设直线PM 与平面PAC 所成角为θ， 则sinθ=|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=43√1289=√24．∴直线PM 与平面PAC 所成角的大小为arcsin √24．【解析】(1)推导出PO ⊥AC ，BO ⊥AC ，AB ⊥BC ，PO ⊥BO ，由此能证明PO ⊥平面ABC ．(2)以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PM 与平面PAC 所成角的大小．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. 如图，已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ． (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μNQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：λ+μ为定值．【答案】解：(1)抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,2)，∴4=2p ，解得p =2， 设过点(0,1)的直线方程为y =kx +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)； 联立方程组可得{y =kx +1y 2=4x， 消y 可得k 2x 2+(2k −4)x +1=0，∴△=(2k −4)2−4k 2>0，且k ≠0解得k <1， 故直线l 的斜率的取值范围(−∞,0)∪(0,1)； (2)证明：设点M(0,y M )，N(0,y N )， 则MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1−y M )，OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)； 因为OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以1=λ(1−y M )，故λ=11−y M ，同理μ=11−y N， 直线PA 的方程为y −2=2−y 11−x 1(x −1)=2−y 11−y 124(x −1)=42−y 1(x −1)， 令x =0，得y M =2y 12+y 1，同理可得y N =2y22+y 2，因为λ+μ=11−y M+11−y N=2+y 12−y 1+2+y22−y 2=8−2y 1y 2(2−y1)(2−y 2)=8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2[k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1]1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2(1+4−2kk +1)1−4−2k k+1=2，即有λ+μ为定值．【解析】(1)将P 代入抛物线方程，即可求得p 的值，设直线AB 的方程，代入抛物线方程，由△>0，即可求得k 的取值范围；(2)根据向量的共线定理即可求得λ=1−y M ，μ=1−y N ，求得直线PA 的方程，令x =0，求得M 点坐标，同理求得N 点坐标，根据韦达定理和向量的坐标表示，即可求得λ+μ为定值．本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．20.已知两个城市A，B相距100km，现计划在两城市之间合建一个垃圾处理厂，垃圾处理厂计划在以AB为直径的半圆弧AB⏜上选择一点C建造(不能选在点A，B上)，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A 与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x(单位是km)，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调査表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为100；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在AB⏜上距离A城20公里处时，对城A和城B的总影响度为35128．(1)将y表示成x的函数；(2)求当垃圾处理厂到A，B两城市距离之和最大时的总影响度y的值；(3)求垃圾处理厂对城A和城B的总影响度的最小值，并求出此时x的值.(结算结果均用精确值表示)【答案】解：(1)由圆的性质可知BC2=AB2−AC2=10000−x2，∴y=100x2+k10000−x2，把(20,35128)代入上式得：14+k9600=35128．解得k=225．∴y=100x2+22510000−x2(0<x<100)．(2)设∠BAC=α，则AC=100cosα，BC=100sinα，∴垃圾处理厂到A，B两城市距离之和为100(sinα+cosα)=100√2sin(α+π4)，∴当α=π4时，垃圾处理厂到A，B两城市距离之和最大，此时x=AC=50√2，∴y=1005000+2255000=0.065．(3)y′=−200x3+450x(104−x2)2=−200(104−x2)2+450x4x3(104−x2)2，令y′=0得：3x2=2(104−x2)，解得x=20√10．∴当0<x<20√10时，y′<0，当20√10<x<100时，y′>0，∴当x=20√10，y取得最小值，最小值为1004000+2256000=0.0625．【解析】(1)先求出k的值，再得出解析式；(2)根据三角函数求出距离和的最大值对应的x的值，再计算影响度；(3)利用导数判断函数的单调性，从而得出y的最小值及对应的x的值．第10页，共12页本题主要考查函数模型的建立和应用，考查函数最值的计算，属于中档题．21. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ∗，点(n,S n )均在函数y =b x +r(b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b =2时，记b n =n+14a n (n ∈N ∗)，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)数列{c n }满足，c 1=1，c n+1−c n =2(a n+1−a n )(n ∈N ∗)，若12<c n c m<2对m ，n ∈N ∗恒成立，求实数b 的取值范围．【答案】解：(1)等比数列{a n }的公比设为q ，对任意的n ∈N ∗，点(n,S n )均在函数y =b x +r 的图象上，即S n =b n +r ，可得a 1=S 1=b +r ，a 2=S 2−S 1=b 2+r −b −r =b 2−b ， a 3=S 3−S 2=b 3+r −b 2−r =b 3−b 2，则公比为b ，即有b(b +r)=b 2−b ，解得r =−1；(2)当b =2时，可得公比为2，首项为2−1=1，即a n =2n−1，b n =n+14a n =(n +1)⋅(12)n+1，前n 项和T n =2⋅(12)2+3⋅(12)3+⋯+(n +1)⋅(12)n+1，可得12T n =2⋅(12)3+3⋅(12)4+⋯+(n +1)⋅(12)n+2，相减可得12T n =12+(12)3+(12)4+⋯+(12)n+1−(n +1)⋅(12)n+2=12+18(1−12n−1)1−12−(n +1)⋅(12)n+2， 化简可得T n =32−(n +3)⋅(12)n+1；(3)数列{c n }满足，c 1=1，c n+1−c n =2(a n+1−a n )，可得c n =c 1+(c 2−c 1)+(c 3−c 2)+⋯+(c n −c n−1)=1+2(a 2−a 1+a 3−a 2+⋯+a n −a n−1)=1+2(a n −a 1)=1+2(b −1)(b n−1−1)，由于b >0且b ≠1，若b >1可得c n 递增，且无界，12<cn c m <2对m ，n ∈N ∗恒成立，可得0<b <1， 考虑n 很大，m =1可得12<1−2(b −1)<2，解得12<b <1．【解析】(1)由等比数列的定义和数列的递推式，解方程可得r 的值；(2)a n =2n−1，b n =n+14a n =(n +1)⋅(12)n+1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和；(3)运用数列恒等式可得c n =c 1+(c 2−c 1)+(c 3−c 2)+⋯+(c n −c n−1)，结合数列不等式恒成立，讨论公比b与1的关系，解不等式可得所求b的范围．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列恒等式和数列的错位相减法求和，以及不等式恒成立问题解法，考查运算能力，属于中档题．第12页，共12页。

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高二（上）12月月考数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.0分）直线y=3x+1的倾斜角的大小为___ ．2.（填空题.0分）过点P （1.-1）.法向量 n ⃗ =(2，5) 的直线的一般式方程为___ ．3.（填空题.0分）以A （2.7）、B （4.5）为直径的圆的方程为___ ． 4.（填空题.0分）直线 x −√3y +1=0 与直线x+y-3=0的夹角大小为___ ．5.（填空题.0分）直线y=2x+3与曲线y=x 2相交于A 、B 两点.则|AB|=___ ．6.（填空题.0分）到x 轴和直线4x-3y=0的距离相等的点的轨迹方程是___ ．7.（填空题.0分）关于x 、y 的二元线性方程组 {2x +my =5nx −y =2的增广矩阵经过变换.最后得到的矩阵为 (10311) .则mn=___ ． 8.（填空题.0分）已知点A （2.-1）、B （-3.-2）.若直线l ：ax+y+1=0与线段AB 不相交.则a 的取值范围是___ ．9.（填空题.0分）若a≥0.b≥0且当 {x ≥1y ≥1x +y ≤3 时.恒有ax+by≤3.则以a 、b 为坐标点的P （a.b ）所形成的平面区域的面积为___ ．10.（填空题.0分）经过P （1.2）的直线l 与两直线l 1：x-3y+10=0和l 2：2x+y-8=0分别交于P 1、P 2两点.且满足 P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则直线l 的方程为___ ．11.（填空题.0分）一条封闭的曲线C 由C 1与C 2组成.其中 C 1：|y |=1+√1−x 2，C 2：|x |=1+√1−y 2 .若直线x+y-a=0与曲线C 恰有两个公共点.则实数a 的取值范围是___ ． 12.（填空题.0分）已知x 2+y 2=1.则 √2+x +√3y +2√2+x −√3y +3√2−2x 的取值范围是___ ．13.（单选题.0分）直线（a+1）x-y+1-2a=0与直线（a 2-1）x+（a-1）y-15=0平行.则实数a 的值为（ ） A.1 B.-1.1 C.-1 D.014.（单选题.0分）已知a.b∈R.a2+b2≠0.则直线l：ax+by+a2+b2=0与圆x2+y2+ax+by=0的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不能确定15.（单选题.0分）若P（2.3）既是A（a1.b1）、B（a2、b2）的中点.又是直线l1：a1x+b1y-13=0与直线l2：a2x+b2y-13=0的交点.则线段AB的中垂线方程是（）A.2x+3y-13=0B.3x+2y-12=0C.3x-2y=0D.2x-3y+5=016.（单选题.0分）在平面直线坐标系中.定义d（A.B）=max{|x1-x2|.|y1-y2|}为两点A（x1.y1）、B（x2.y2）的“切比雪夫距离”.又设点P及l上任意一点Q.称a（P.Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”记作d（P.l）.给出下列四个命题：① 对任意三点A、B、C.都有d（C.A）+d（C.B）≥d（A.B）；② 已知点P（3.1）和直线l：2x-y-1=0.则d(P，l)=4；3③ 到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”相等点的轨迹是正方形；④ 定点F1（-c.0）、F2（c.0）.动点P（x.y）满足|d（P.F1）-d（P.F2）|=2a（2c＞2a＞0）.则点P的轨迹与直线y=k（k为常数）有且仅有2个公共点．其中真命题的个数是（）A.4B.3C.2D.117.（问答题.0分）已知△ABC的三个顶点A（m.n）、B（2.1）、C（-2.3）．（1）求BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线AD的方程为2x-3y+6=0.且S△ABC=7.求点A的坐标．18.（问答题.0分）在平面直角坐标系xOy中.已知A（1.4）、B（-3.0）、C（-2.-2）．（1）作出以A、B、C为顶点的三角形及其内部的平面区域（包括边界）.并用关于x、y的不等式组表示区域；（2）若目标函数z=ax+by 仅在点A 处取得最大值.写出满足题意的一组a 、b 的值．19.（问答题.0分）已知圆C 与x 轴、y 轴、直线x+y= √2 都相切.求圆C 的方程．20.（问答题.0分）过点P （2.-1）的直线l 分别交 y =12x （x≥0）与y=-2x （x≥0）于A 、B两点．（1）设△AOB 的面积为 245.求直线l 的方程； （2）当|PA|•|PB|最小时.求直线l 的方程．21.（问答题.0分）如图.圆x 2+y 2=4与x 轴交于A 、B 两点.动直线l ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F.与圆交于C 、D 两点． （1）求CD 中点M 的轨迹方程； （2）若 CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ .求直线l 的方程；（3）设直线AD 、CB 的斜率分别是k 1、k 2.是否存在实数k 使得 k1k 2=2 ？若存在.求出k 的值；若不存在.说明理由．2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高二（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.0分）直线y=3x+1的倾斜角的大小为___ ．【正确答案】：[1]arctan3【解析】：由题意利用直线的倾斜角和斜率.求出直线y=3x+1的倾斜角的大小．【解答】：解：∵直线y=3x+1的斜率为3.故它的倾斜角为arctan3.故答案为：arctan3．．【点评】：本题主要考查直线的倾斜角和斜率.属于基础题．2.（填空题.0分）过点P（1.-1）.法向量n⃗=(2，5)的直线的一般式方程为___ ．【正确答案】：[1]2x+5y+3=0．利用点斜式即可得出．【解析】：法向量n⃗=(2，5) .可得要求直线的斜率k=- 25．【解答】：解：法向量n⃗=(2，5) .可得要求直线的斜率k=- 25∴过点P（1.-1）.法向量n⃗=(2，5)的直线的方程为：y+1=- 2（x-1）.化为：2x+5y+3=0．5故答案为：2x+5y+3=0．【点评】：本题考查了法向量、点斜式与一般式.考查了推理能力与计算能力吗.属于基础题．3.（填空题.0分）以A（2.7）、B（4.5）为直径的圆的方程为___ ．【正确答案】：[1]（x-3）2+（y-6）2=2【解析】：由中点坐标公式求得AB的中点坐标.再由两点间的距离公式求出|AB|.代入圆的标准方程得答案．【解答】：解：∵A（2.7）、B（4.5）.∴AB的中点坐标为（3.6）.|AB|= √(4−2)2+(5−7)2=2√2 .则以A（2.7）、B（4.5）为直径的圆的方程为（x-3）2+（y-6）2=2．故答案为：（x-3）2+（y-6）2=2．【点评】：本题考查圆的方程的求法.考查中点坐标公式及两点间距离公式的应用.是基础题．4.（填空题.0分）直线x−√3y+1=0与直线x+y-3=0的夹角大小为___ ．【正确答案】：[1]75°【解析】：由题意可得两直线的斜率.进而可得倾斜角即可求得结论．；直线的倾斜角α=30°.【解答】：解：∵直线x−√3y+1=0的斜率为k1= √33又∵直线x+y-3=0的斜率k2=-1.∴直线的倾斜角β=135°.∴已知两直线的夹角为75°.故答案为：75°．【点评】：本题考查两直线的夹角与到角问题.求出直线的倾斜角是解决问题的关键.属基础题5.（填空题.0分）直线y=2x+3与曲线y=x2相交于A、B两点.则|AB|=___ ．【正确答案】：[1]4 √5【解析】：联立直线方程和抛物线方程.解方程可得交点A.B的坐标.由两点的距离公式可得所求值．【解答】：解：直线y=2x+3与曲线y=x2联立.可得x2-2x-3=0.解得x=3或-1.可设A（3.9）.B（-1.1）.|AB|= √(3+1)2+(9−1)2 =4 √5 .故答案为：4 √5．【点评】：本题考查直线和抛物线的位置关系.考查联立直线方程和抛物线方程.运用两点的距离公式.考查运算能力.属于基础题．6.（填空题.0分）到x轴和直线4x-3y=0的距离相等的点的轨迹方程是___ ．【正确答案】：[1]x-2y=0【解析】：由角平分线的定义可知.到x轴和直线4x-3y=0的距离相等的点的轨迹为∠AOX的角平分线所在的直线l.再结合直线斜率的定义求出直线l 的斜率.从而求出直线l 的方程．【解答】：解：由角平分线的定义可知.到x 轴和直线4x-3y=0的距离相等的点的轨迹为∠AOX 的角平分线所在的直线l. 如图所示：设直线4x-3y=0的倾斜角为α.则直线l 的倾斜角为 α2 . ∵tanα= 43.∴tan α2= 12或-2（舍去）. ∴直线l 的斜率为 12 .∴直线l 的方程为y= 12x .即x-2y=0.∴到x 轴和直线4x-3y=0的距离相等的点的轨迹方程是：x-2y=0． 故答案为：x-2y=0．【点评】：本题主要考查了求动点轨迹.做题时注意数形结合.是中档题． 7.（填空题.0分）关于x 、y 的二元线性方程组 {2x +my =5nx −y =2的增广矩阵经过变换.最后得到的矩阵为 (10311) .则mn=___ ． 【正确答案】：[1]-1【解析】：由题意写出增广矩阵.转化成矩阵.得到等式.再求解．【解答】：解：增广矩阵为 (2m 5n −12) . 第一行除以2.得到 (1m 252n−12) .第二行+第一行×（-n ）.得到 (1m 252−mn 2−12−5n 2) 由于得到的矩阵第二行比例是1：1.可知 −mn2−1=2−5n 2① .可以得到 (1m252011) .第一行+第二行× (−m2) .得到 (1052−m2011) .由题意知 52−m 2=3 ②联立 ① ②解之得 {m =−1n =1 .所以mn=-1. 故答案为-1【点评】：本题考查增广矩阵.以及矩阵的运算.为中等难度题．8.（填空题.0分）已知点A （2.-1）、B （-3.-2）.若直线l ：ax+y+1=0与线段AB 不相交.则a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]（- 13 .0）【解析】：直线l ：ax+y+1=0经过定点P （0.-1）．根据斜率计算公式及其意义即可得出．【解答】：解：直线l ：ax+y+1=0经过定点P （0.-1）． k PA =0.k PB = −2+1−3+0 = 13 ．∵直线l ：ax+y+1=0与线段AB 不相交. 则a 满足：0＜-a ＜ 13. 解得：- 13 ＜a ＜0． 故答案为：（- 13 .0）．【点评】：本题考查了直线系的应用、斜率计算公式及其意义.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．9.（填空题.0分）若a≥0.b≥0且当 {x ≥1y ≥1x +y ≤3 时.恒有ax+by≤3.则以a 、b 为坐标点的P （a.b ）所形成的平面区域的面积为___ ． 【正确答案】：[1]1【解析】：欲求平面区域的面积.先要确定关于a.b 的约束条件.根据恒有ax+by≤1成立.a≥0.b≥0.确定出ax+by 的最值取到的位置从而确定关于a.b 约束条件．【解答】：解：∵a≥0.b≥0t=ax+by 最大值在区域的右上取得.即一定在点（0.3）或（3.0）取得. 故有3by≤3恒成立或3ax≤3恒成立. ∴0≤b≤1或0≤a≤1.∴以a.b 为坐标点P （a.b ）所形成的平面区域是一个正方形. 所以面积为1． 故答案为：1．【点评】：本小题主要考查线性规划的相关知识．本题主要考查了简单的线性规划.以及利用几何意义求最值.属于基础题．10.（填空题.0分）经过P （1.2）的直线l 与两直线l 1：x-3y+10=0和l 2：2x+y-8=0分别交于P 1、P 2两点.且满足 P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则直线l 的方程为___ ． 【正确答案】：[1]2x-41y+80=0【解析】：设P 1（a.b ）.可得a-3b+10=0．根据P （1.2）. P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .可得P 2坐标.利用点斜式即可得出直线l 的方程．【解答】：解：设P 1（a.b ）.则a-3b+10=0 ① ． ∵P （1.2）. P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴ 13 （1-a.2-b ）= PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴P 2（4−a 3，8−b3.）. 将P 2代入l 2可得. 2×4−a3+8−b 3−8=0 ② .联立 ① ② 解得a= −347 .b= 127. 则 k l =127−2−347−1=241 .则直线l 的方程为： y −2=241(x −1) . 故答案为：2x-41y+80=0．【点评】：本题考查了直线方程、斜率计算公式、向量坐标运算性质.考查了推理能力与计算能力吗.属于基础题．11.（填空题.0分）一条封闭的曲线C 由C 1与C 2组成.其中 C 1：|y |=1+√1−x 2，C 2：|x |=1+√1−y 2 .若直线x+y-a=0与曲线C 恰有两个公共点.则实数a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]±（ √2+1 ）或（-2.2）【解析】：先将曲线化简.画出曲线.由数形结合求出直线x+y-a=0与曲线C 恰有两个公共点a 的范围．【解答】：解：c 1中.由题意1≤|y|≤2.当1≤y≤2时.方程整理为：y-1= √1−x 2 （1≤y≤2）即x 2+（y-1）2=1.（1≤y≤2）. 即以（0.1）为圆心.以1为半径的圆的上半圆.同理-2≤y≤-1.即以（0.-1）为圆心.以1为半径的圆的下半圆；同理c 2中.1≤x≤2.是以（1.0）为圆心.以1为半径的圆的右半圆.-2≤x≤-1. 是以（-1.0）为圆心.以1为半径的圆的左半圆；综上所述.如图所示满足直线x+y-a=0与曲线C 恰有两个公共点时. 直线介于l 2到l 3之间.及与l 1.l 4重合时.由题意l 2过（1.1）点.l 3过（-1.-1）. 代入直线x+y-a=0.可得a=2.-2.所以直线x+y-a=0与曲线C 恰有两个公共点的a 的范围（-2.2）． l 4的直线与圆x 2+（y+1）2=1.（-2≤y≤-1）相切.所以√2=1.所以a=- √2−1 .同理l 1与x 2+（y-1）2=1.（1≤y≤2）.相切时可得a= √2 +1. 故答案为：a=±（ √2+1 ）或（-2.2）．【点评】：考查曲线与方程的化简和直线与圆的位置关系.属于中难题．12.（填空题.0分）已知x2+y2=1.则√2+x+√3y+2√2+x−√3y+3√2−2x的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [7−3√3，2√21]【解析】：三角换元.令x=cosθ.y=sinθ.θ∈[0.2π].再利用二倍角公式降次.然后对θ分类讨论.利用辅助角公式及三角函数的性质得解．【解答】：解：令x=cosθ.y=sinθ.θ∈[0.2π].∴ √2+x+√3y+2√2+x−√3y+3√2−2x= √2+cosθ+√3sinθ+2√2+cosθ−√3sinθ+3√2−2cosθ= √3cos2θ2+sin2θ2+2√3sinθ2cosθ2+2√3cos2θ2+sin2θ2−2√3sinθ2cosθ2+3√4sin2θ2= √(√3cosθ2+sinθ2)2+2√(√3cosθ2−sinθ2)2+3√4sin2θ2= |√3cosθ2+sinθ2|+2|√3cosθ2−sinθ2|+3|2sinθ2| .① 当θ∈[0，2π3]时.原式= √3cosθ2+sinθ2+2(√3cosθ2−sinθ2)+6sinθ2= 3√3cosθ2+5sinθ2=√52sin(θ2+φ1)∈[4√3，√52]；② 当θ∈(2π3，4π3]时.原式= √3cosθ2+sinθ2−2(√3cosθ2−sinθ2)+6sinθ2= −√3cosθ2+9sinθ2=2√21sin(θ2+φ2)∈[5√3，2√21]；③ 当θ∈(4π3，2π]时.原式= −(√3cos θ2+sin θ2)−2(√3cos θ2−sin θ2)+6sin θ2 = −3√3cos θ2+7sin θ2=2√19sin (θ2+φ3)∈[7−3√3，5√3] ；综上. √2+x +√3y +2√2+x −√3y +3√2−2x 的取值范围是 [7−3√3，2√21] ． 故答案为： [7−3√3，2√21] ．【点评】：本题主要考查二倍角公式及辅助角公式.三角函数的图象及性质的运用.考查转化思想及运算能力.属于难题．13.（单选题.0分）直线（a+1）x-y+1-2a=0与直线（a 2-1）x+（a-1）y-15=0平行.则实数a 的值为（ ） A.1 B.-1.1 C.-1 D.0【正确答案】：C【解析】：由题意可得.两直线的斜率都存在.故a≠1.由两直线平行.则它们的斜率相等且在y 轴上的截距不相等可得 a+1= a 2−11−a .1-2a≠ 15a−1 .由此解得实数a 的值．【解答】：解：由题意可得.两直线的斜率都存在.故a≠1. 由两直线平行.则它们的斜率相等且在y 轴上的截距不相等可得 a+1= a 2−11−a .且1-2a≠ 15a−1 .即 {a ≠1a 2=12a 2−3a +16≠0 .解得 a=-1．故选：C ．【点评】：本题主要考查利用两直线平行的性质.利用了斜率都存在的两直线平行.它们的斜率相等且在y 轴上的截距不相等.属于 基础题．14.（单选题.0分）已知a.b∈R .a 2+b 2≠0.则直线l ：ax+by+a 2+b 2=0与圆x 2+y 2+ax+by=0的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离D.不能确定 【正确答案】：B【解析】：根据题意.由圆的方程分析圆的圆心与半径.进而求出该圆的圆心到直线ax+by+a 2+b 2=0的距离.据此分析可得答案．【解答】：解：根据题意.圆x 2+y 2+ax+by=0.即（x+ a 2 ）2+（y+ b2 ）y 2= a 2+b 24. 其圆心为（- a2 .- b2 ）.半径r=√a 2+b 22. 该圆的圆心到直线ax+by+a 2+b 2=0的距离d= |a×(−a2)+b×(−b 2)+a 2+b 2|√a 2+b 2=√a 2+b 22=r. 即直线与圆相切； 故选：B ．【点评】：本题考查直线与圆位置关系的判断.注意分析圆的圆心与半径.属于基础题． 15.（单选题.0分）若P （2.3）既是A （a 1.b 1）、B （a 2、b 2）的中点.又是直线l 1：a 1x+b 1y-13=0与直线l 2：a 2x+b 2y-13=0的交点.则线段AB 的中垂线方程是（ ） A.2x+3y-13=0 B.3x+2y-12=0 C.3x-2y=0 D.2x-3y+5=0 【正确答案】：C【解析】：直线l 1：a 1x+b 1y-13=0与直线l 2：a 2x+b 2y-13=0方程相减可得：（a 1-a 2）x+（b 1-b 2）y=0.把点P 代入可得：k AB = b 1−b 2a 1−a 2=- 23 .进而得出线段AB 的中垂线方程．【解答】：解：直线l 1：a 1x+b 1y-13=0与直线l 2：a 2x+b 2y-13=0方程相减可得： （a 1-a 2）x+（b 1-b 2）y=0. 把点P 代入可得：k AB = b 1−b 2a 1−a 2=- 23 .∴线段AB 的中垂线方程是y-3= 32（x-2）.化为：3x-2y=0． 故选：C ．【点评】：本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．16.（单选题.0分）在平面直线坐标系中.定义d（A.B）=max{|x1-x2|.|y1-y2|}为两点A（x1.y1）、B（x2.y2）的“切比雪夫距离”.又设点P及l上任意一点Q.称a（P.Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”记作d（P.l）.给出下列四个命题：① 对任意三点A、B、C.都有d（C.A）+d（C.B）≥d（A.B）；；② 已知点P（3.1）和直线l：2x-y-1=0.则d(P，l)=43③ 到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”相等点的轨迹是正方形；④ 定点F1（-c.0）、F2（c.0）.动点P（x.y）满足|d（P.F1）-d（P.F2）|=2a（2c＞2a＞0）.则点P的轨迹与直线y=k（k为常数）有且仅有2个公共点．其中真命题的个数是（）A.4B.3C.2D.1【正确答案】：A【解析】：① 讨论A.B.C三点共线.以及不共线的情况.结合图象和新定义.即可判断；② 设点Q是直线y=2x-1上一点.且Q（x.2x-1）.可得d（P.Q）=max{|x-3|.|2-2x|}.讨论|x-3|.|2-2x|的大小.可得距离d.再由函数的性质.可得最小值；③ 运用新定义.求得点的轨迹方程.即可判断；④ 讨论P在坐标轴上和各个象限的情况.求得轨迹方程.即可判断．【解答】：解：① 对任意三点A、B、C.若它们共线.设A（x1.y1）、B（x2.y2）.C（x3.y3）.如右图.结合三角形的相似可得d（C.A）.d（C.B）.d（A.B）为AN.CM.AK.或CN.BM.BK.则d（C.A）+d（C.B）=d（A.B）；若B.C或A.C对调.可得d（C.A）+d（C.B）＞d（A.B）；若A.B.C不共线.且三角形中C为锐角或钝角.由矩形CMNK或矩形BMNK. d（C.A）+d（C.B）≥d（A.B）；则对任意的三点A.B.C.都有d（C.A）+d（C.B）≥d（A.B）；故① 正确；② 设点Q是直线y=2x-1上一点.且Q（x.2x-1）.可得d（P.Q）=max{|x-3|.|2-2x|}.由|x-3|≥|2-2x|.解得-1≤x≤ 53.即有d（P.Q）=|x-3|.当x= 53时.取得最小值43；由|x-3|＜|2-2x|.解得x＞53或x＜-1.即有d（P.Q）=|2x-2|.d（P.Q）的范围是（3.+∞）∪（43 .+∞）=（43.+∞）.无最值.综上可得.P.Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为43．故② 正确；③ 到原点的“切比雪夫距离”等于1的点.即为max{|x|.|y|}=1.若|y|≥|x|.则|y|=1；若|y|＜|x|.则|x|=1.故所求轨迹是正方形.故③ 正确；④ 定点F1（-c.0）、F2（c.0）.动点P（x.y）满足|d（P.F1）-d（P.F2）|=2a（2c＞2a＞0）.可得P不y轴上.P在线段F1F2间成立.可得x+c-（c-x）=2a.解得x=a.由对称性可得x=-a也成立.即有两点P满足条件；若P在第一象限内.满足|d（P.F1）-d（P.F2）|=2a.即为x+c-y=2a.为射线.由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线.则点P的轨迹与直线y=k （k为常数）有且仅有2个公共点．故④ 正确；故选：A．【点评】：本题考查新定义的理解和运用.考查数形结合思想方法.以及运算能力和推理能力.属于难题也是易错题目．17.（问答题.0分）已知△ABC的三个顶点A（m.n）、B（2.1）、C（-2.3）．（1）求BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线AD的方程为2x-3y+6=0.且S△ABC=7.求点A的坐标．【正确答案】：【解析】：（1）由两点的斜率公式.算出BC 的斜率k=- 12 .再由直线方程的点斜式列式.化简即得BC 边所在直线方程；（2）由两点的距离公式.算出|BC|=2 √5 .结合S △ABC =7得到点A 到BC 的距离等于 √5 .由此建立关于m 、n 的方程组.解之即可得到m.n 的值．【解答】：解：（1）∵B （2.1）.C （-2.3）. ∴k BC =3−1−2−2 =- 12. 可得直线BC 方程为y-3=- 12（x+2） 化简.得BC 边所在直线方程为x+2y-4=0； （2）由题意.得|BC|=2 √5 . ∴S △ABC = 12 |BC|•h=7.解之得h= √5 .由点到直线的距离公式. 得√1+4= √5 .化简得m+2n=11或m+2n=-3.∴ {m +2n =112m −3n +6=0 或 {m +2n =−32m −3n +6=0 . 解得m=3.n=4或m=-3.n=0. 故A （3.4）或（-3.0）．【点评】：本题给出三角形ABC 的顶点BC 的坐标.求直线BC 的方程并在已知面积的情况下求点A 的坐标．着重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式等知识． 18.（问答题.0分）在平面直角坐标系xOy 中.已知A （1.4）、B （-3.0）、C （-2.-2）． （1）作出以A 、B 、C 为顶点的三角形及其内部的平面区域（包括边界）.并用关于x 、y 的不等式组表示区域；（2）若目标函数z=ax+by 仅在点A 处取得最大值.写出满足题意的一组a 、b 的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用已知条件真假画出可行域.然后写出关于x 、y 的不等式组即可． （2）利用最优解.写出满足题意的一组a 、b 的值即可．【解答】：解：（1）在平面直角坐标系xOy 中.已知A （1.4）、B （-3.0）、C （-2.-2）．可行域如图：表示区域关于x 、y 的不等式组： {x −y +3≥06x +y +6≥02x −y +2≤0．（2）目标函数z=ax+by 仅在点A 处取得最大值.则A 为最优解.所以直线的向量小于0.满足题意的一组a 、b 的值：a=1.b=1．【点评】：本题考查线性规划的简单应用.画出可行域.利用可行域求解约束条件.以及判断最优解对于a.b 的值.是中档题．19.（问答题.0分）已知圆C 与x 轴、y 轴、直线x+y= √2 都相切.求圆C 的方程．【正确答案】：【解析】：设圆心坐标为（a.b ）.半径为r.由题意列关于a.b.r 的方程组.求解可得a.b.r 的值.则圆的方程可求．【解答】：解：设圆心坐标为（a.b ）.半径为r.由已知可得： {|a |=|b |√2|√2=r r =|a |.解得： {a =−1b =1r =1 或 {a =1b =−1r =1 或 {a =√2+1b =√2+1r =√2+1 或 {a =√2−1b =√2−1r =√2−1 ．∴圆C 的方程为（x+1）2+（y-1）2=1或（x-1）2+（y+1）2=1或 (x −√2−1)2+(y −√2−1)2=(√2+1)2或 (x −√2+1)2+(y −√2+1)2=(√2−1)2．【点评】：本题考查圆的标准方程.考查点到直线的距离公式.考查计算能力.是中档题． 20.（问答题.0分）过点P （2.-1）的直线l 分别交 y =12x （x≥0）与y=-2x （x≥0）于A 、B 两点．（1）设△AOB 的面积为 245.求直线l 的方程； （2）当|PA|•|PB|最小时.求直线l 的方程．【正确答案】：【解析】：（1）点斜式设直线l 的方程；求解A 、B 两点的坐标.由 y =12x （x≥0）与y=-2x （x≥0）的斜率可知.这两条直线垂直.且交于（0.0）.根据△AOB 的面积为 245 .求直线l 的方程； （2）根据A 、B 两点的坐标.表示|PA|.|PB|.转化为二次最值问题求解k.可得直线l 的方程．【解答】：解：（1）设过点P （2.-1）的直线l 的方程为y+1=k （x-2）分别交 y =12x （x≥0）与y=-2x （x≥0）于A 、B 两点.（k ≠12 .k ＞0）由 y =12x （x≥0）与y=-2x （x≥0）的斜率可知.这两条直线垂直.且交于（0.0）. 联立 {y =12x y +1=k (x −2) .设直线l 与 y =12x （x≥0）交于A （ 2k+1k−12 . 2k+12k−1 ）：同理．直线l 与y=-2x （x≥0）交于B （ 2k+1k+2，−4k−2k+2） ∴|OA|=√20k 2+20k+52k−1 .|OB|= √20k 2+20k+5k+2∵△AOB 的面积为 245 . 即 12 |OA|×|OB|= 245 ∴ 20k+20k+5(2k−1)(k+2)=125解得：k= 112故得直线l 的方程 y =112x −12 ；（2）由（1）可得|PA|= √16+16k 22k−1|PB|=√9+9k 2k+2当|PA|•|PB|最小时.即 √16+16k 22k−1 × √9+9k 2k+2 = 12(1+k 2)2k 2+3k−2令y= 1+k 22k 2+3k−2 .（y≥0）则2yk 2+3ky-2y=1+k 2.即方程（2y-1）k 2+3yk-（2y+1）=0有解. 显然△≥0.即9y 2+4（4y 2-1）≥0 解得y ≥25 ．即当y= 25 时.可得|PA|•|PB|最小． 可得：带入方程.可得k=3∴当|PA|•|PB|最小时.直线l 的方程为：y=3x-7．【点评】：本题考查两直线的交点问题和两点的距离公式.斜率问题的运用.考查运算能力.属于中档题．21.（问答题.0分）如图.圆x 2+y 2=4与x 轴交于A 、B 两点.动直线l ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F.与圆交于C 、D 两点． （1）求CD 中点M 的轨迹方程； （2）若 CE⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ .求直线l 的方程； （3）设直线AD 、CB 的斜率分别是k 1、k 2.是否存在实数k 使得 k1k 2=2 ？若存在.求出k 的值；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据条件得到OM⊥CD .故轨迹为圆.代入数据得到答案． （2）根据题意得到E （1.0）或（-1.0）.计算得到答案． （3）计算 k 1=y 2x 2+2. k 2=y 1x1−2.根据 k 1k 2=2 得到12k 2-20k+3=0.解得答案．【解答】：解：（1）∵OM⊥C D.∴∠FMO=90°. ∵圆x 2+y 2=4与直线l ：y=kx+1交于C 、D 两点. ∴CD 中点M 的轨迹方程为 x 2+(y −12)2=14(x ≠0) ．（2）∵ CE⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ .M 为EF 中点.则|OE|=|OF|. ∴E （1.0）或E （-1.0）.即l 的方程为y=±x+1． （3） k 1=y 2x 2+2. k 2=y 1x 1−2 .∴ k1k 2=y 2(x 1−2)y 1(x 2+2)=2 .又 y 12=4−x 12，y 22=4−x 22.∴ [y 2(x 1−2)]2[y 1(x 2+2)]2=(4−x 22)(x 1−2)2(4−x 12)(x 2+2)2=(2−x 1)(2−x 2)(2+x 1)(2+x 2)=4 .即3x 1x 2+10（x 1+x 2）+12=0.12k 2-20k+3=0. k =32 或 k =16. 又x 1.x 2∈（-2.2）.y 2(x 1−2)y 1(x 2+2)=2 .∴y 1y 2＜0.则 k =16舍去. 综上. k =32．【点评】：本题考查了轨迹方程.直线方程.求斜率.意在考查学生的计算能力和转化能力.属中档题．。

2019届上海市建平中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知直线n 在平面α内，直线m 不在平面α内，则“m n ”是“m α”（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件又非必要条【答案】A【解析】讨论充分性和必要性即得解. 【详解】先讨论充分性，即考虑“m n ”能否推出“m α”. 因为直线n 在平面α内，直线m 不在平面α内，m n ， 所以m α,所以“m n ”是“m α”的充分条件.讨论必要性，即考虑“m α”能否推出“m n ”.因为直线n 在平面α内，直线m 不在平面α内，m α， 所以m||n 或者m,n 异面，所以“m n ”是“m α”的非必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，考查空间位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】C【解析】分析：利用面积公式12ABCS absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得。

详解：由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-= 所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。

3．下面的四个命题中，真命题的个数是（ ）①向量a 、b 、c ，若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥c ；②向量a 、b 、c ，若a b c b ⋅=⋅，则a c =；③复数1z 、2z ，若12||2z z -=，则212()4z z -=；④公比为q 等比数列{}n a ，令11234b a a a a =+++，25678b a a a a =+++，⋅⋅⋅，4342414n n n n n b a a a a ---=+++，⋅⋅⋅，则数列{}n b （*n ∈N ）是公比为4q 的等比数列. A.0 B.1C.2D.3【答案】A【解析】举出反例：当0b =时，得到①②错误；取121z z -=得到③错误；取(1)n n a =-得到④错误，得到答案.【详解】①向量a 、b 、c ，若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥c ，当0b =时，任意a ，c 均满足，错误；②向量a 、b 、c ，若a b c b ⋅=⋅，则a c =，当0b =时，任意a ，c 均满足，错误；③复数1z 、2z ，若12||2z z -=，则212()4z z -=，举反例121z z -=+时不满足，错误；④公比为q 等比数列{}n a ，令11234b a a a a =+++，25678b a a a a =+++，⋅⋅⋅，4342414n n n n n b a a a a ---=+++，⋅⋅⋅，则数列{}n b （*n ∈N ）是公比为4q 的等比数列.取(1)nn a =-，则n b 恒为0，不构成等比数列，错误.故选：A 【点睛】本题考查了命题的真假判断，举反例可以简化运算，快速得到答案.二、填空题4．双曲线22:13x C y -=的焦距是________【答案】4【解析】直接利用焦距公式得到答案. 【详解】双曲线22:13x C y -=，2224,2c a b c =+==焦距为24c = 故答案为：4 【点睛】本题考查了双曲线的焦距，属于简单题.5．已知集合{|212}M x x =-??，*{|21,}N x x k k ==-∈N ，则M N =________【答案】{1,3}【解析】先计算集合{|13}M x x =-＃，{1,3,5...}N =，再计算交集得到答案.【详解】{|212}{|13}M x x x x =-??-＃*{|21,}{1,3,5...}N x x k k ==-∈=N{1,3}M N ?故答案为：{1,3} 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题型.6．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =-【解析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=Q ，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.7．若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________【答案】1-【解析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部. 【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2i iz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为：1- 【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力. 8．函数()f x =________【答案】3(1,]2【解析】函数定义域需要满足1210log (1)10x x ->⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得答案.【详解】()f x =1210log (1)10x x ->⎧⎪⎨--≥⎪⎩ 解得312x <≤ 故答案为：3(1,]2【点睛】本题考查了函数的定义域，没有考虑周全是容易发生的错误.9．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 项的系数为_______． 【答案】40【解析】根据二项定理展开式，求得r 的值，进而求得系数。

上海市建平中学2019届高三12月月考数学试题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知直线n在平面α内，直线m不在平面α内，则“m//n”是“m‖α”的()A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】解：由线面平行的性质定理有：直线n在平面α内，直线m不在平面α内，若“m//n”则“m‖α”即“m//n”是“m‖α”的充分条件，直线n在平面α内，直线m不在平面α内，若“m‖α”则“m//n”或“m、n异面“则“m‖α”即“m//n”是“m‖α”的不必要条件，即“m//n”是“m‖α”的充分非必要条件，故选：B．由线面平行的性质定理可得“m//n”是“m‖α”的充分条件，由线线，线面关系，可得“m//n”是“m‖α”的不必要条件，即可得解本题考查了线面平行的性质定理、线线，线面关系，属简单题．2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2+b2−c24，则C=( )A. π2B. π3C. π4D. π6【答案】C【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为a2+b2−c24，∴S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，∴sinC=a2+b2−c22ab=cosC，∵0<C<π，∴C=π4．故选：C．推导出S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，从而sinC=a2+b2−c22ab=cosC，由此能求出结果．本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.下面的四个命题中，真命题的个数是()①向量a⃗，b⃗ ，c⃗，若a⃗‖b⃗ 且b⃗ //c⃗，则a⃗//c⃗；②向量a⃗，b⃗ ，c⃗，若a⃗⋅b⃗ =b⃗ ⋅c⃗，则a⃗=c⃗；③复数z1，z2，若|z1−z2|=2，则(z1−z2)2=4；④公比为q等比数列{a n}，令b1=a1+a2+a3+a4，b2=a5+a6+a7+a8，…，b n=a4n−3+a4n−2+a4n−1+ a4n，…，则数列{b n}(n∈N∗)是公比为q4的等比数列．A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】解：当a⃗=0⃗时，由a⃗‖b⃗ 且b⃗ //c⃗，不一定有a⃗//c⃗，故①为假命题；当a⃗与b⃗ ，b⃗ 与c⃗夹角相等且|a⃗|=|c⃗|时，有a⃗⋅b⃗ =b⃗ ⋅c⃗，故②为假命题；z1=0，z2=2i，满足|z1−z2|=2，但(z1−z2)2=−4，故③为假命题；= a∴4.+即|a⃗|⋅|b⃗ |cos<a⃗，b⃗ >≤1，则cos<a⃗，b⃗ >≤12，即π3≤<a⃗，b⃗ >≤π，即向量a⃗，b⃗ 的夹角的取值范围是[π3,π]，故选：B．根据向量三角不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键，综台性较强，难度较大．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.双曲线x23−y2=1的焦距为______．【答案】4【解析】解：根据题意，双曲线x23−y2=1，其中a2=3，b2=1，则c=√a2+b2=2，则其焦距2c=4；故答案为：4．根据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，由双曲线的几何性质计算可得c的值，由焦距的定义即可得答案．本题考查双曲线的标准方程，关键是利用双曲线的几何性质求出c的值．6.已知集合M={x|−2≤x−1≤2}，N={x|x=2k−1,k∈N∗}，则M∩N=______．【答案】{1,3}【解析】解：M={x|−1≤x≤3}，N是正奇数的集合；∴M∩N={1,3}．故答案为：{1,3}．可看出集合N表示正奇数的集合，从而解出集合M，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的概念及运算．7.设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为______．【答案】a n=6n−3【解析】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴{a1+d+a1+4d=36a1=3，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+(n−1)d=3+(n−1)×6=6n−3．∴{a n}的通项公式为a n=6n−3．故答案为：a n=6n−3．利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=3，d=6，由此能求出{a n}的通项公式．本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.若复数z满足∣∣∣i1+2i1z∣∣∣=0，其中i是虚数单位，则z的虚部为______．【答案】−1【解析】解：由∣∣∣i1+2i1z∣∣∣=0，得zi−1−2i=0，∴z=1+2ii =(1−2i)(−i)−i2=−2−i，∴z 的虚部为−1． 故答案为：−1．由已知可得zi −1−2i =0，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9. 函数f(x)=√log 12(x −1)−1的定义域为______．【答案】(1,32]【解析】解：函数f(x)=√log 12(x −1)−1有意义，可得：log 12(x −1)−1≥0，可得0≤x −1≤12， 解得1<x ≤32． 函数的定义域为：(1,32]. 故答案为：(1,32].利用开偶次方被开方数非负列出不等式，然后求解即可．本题考查函数的定义域的求法，对数不等式的解法，考查计算能力．10. (x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为______ 【答案】40【解析】解：根据题意得，T r+1=∁5r (x 2)5−r (2x )r =∁5r 2r x10−3r 令10−3r =4，得r =2∴(x 2+2x)5的展开式中x 4的系数为∁5222=40； 故答案为40．运用二项展开式的通项可得结果． 本题考查二项式定理的简单应用．11. 已知α，β为锐角，如tanα=43，cos(α+β)=√55，则tanβ=______．【答案】211【解析】解：∵α，β为锐角，∵0<α+β<π， 又cos(α+β)=√55，∴sin(α+β)=2√55，则tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=2．∵tanα=43，∴tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=2−431+2×43=211．故答案为：211．由已知求得sin(α+β)，进一步求得tan(α+β)，再由tanβ=tan[(α+β)−α]，展开两角差的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．12. 在上海进口博览会期间，要从编号为1，2，3，…，8的8名志愿者中选3人参加某项服务工作，则选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为______(结果用分数表示) 【答案】128【解析】解：在上海进口博览会期间，要从编号为1，2，3，…，8的8名志愿者中选3人参加某项服务工作，基本事件总数n =C 83=56，选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列包含的基本事件有2个， 分别为：(1,4，7)，(2,5，8)，∴选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为p =256=128． 故答案为：128．先求出基本事件总数n =C 83=56，选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列包含的基本事件有2个，由此能求出选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率．本题考查概率的求法，考查等差数列、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y =2x 上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点A 的横坐标为______． 【答案】3【解析】解：设A(a,2a)，a >0， ∵B(5,0)，∴C(a+52,a)，则圆C 的方程为(x −5)(x −a)+y(y −2a)=0． 联立{(x −5)(x −a)+y(y −2a)=0y=2x，解得D(1,2)．∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−a,−2a)⋅(−a−32,2−a)=a 2−2a−152+2a 2−4a =0．解得：a =3或a =−1． 又a >0，∴a =3． 即A 的横坐标为3． 故答案为：3．设A(a,2a)，a >0，求出C 的坐标，得到圆C 的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D 的坐标，结合AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0求得a 值得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．14.设函数f(x)=(x−2)2sin(x−2)+3在区间[−1,5]的最大值和最小值分别为M，m，则M+m=______．【答案】6【解析】解：设x−2=t，则t∈[−3,3]，故f(x)=g(t)=t2sint+3，t∈[−3,3]，函数y=g(t)−3是奇函数，最大值和最小值的和是0，故M−3+m−3=0，．∴∵∵∴∴8ab|a|+2|b|≤4√4(1|ab|+2)2−4≤4√432=√2，故答案为：√2．由a是1+2b与1−2b的等比中项得到4|ab|≤1，再由基本不等式法求得．本题考查等比中项以及不等式法求最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.已知函数f(x)={x2−2mx+2m,x>m|x|,x≤m(m>0)，若存在实数b，使得函数g(x)= f(x)−b有3个零点，则实数m的取值范围是______．【答案】(1,+∞)【解析】解：存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，即为函数y=f(x)的图象和直线y=b有3个不同的交点，即有x>0时，f(x)不单调，可得|m|>m2−2m2+2m，(m>0)，即有m2>m，解得m>1．故答案为：(1,+∞)．由题意可得函数y=f(x)的图象和直线y=b有3个不同的交点，通过x≤m的图象，可得x>0时，f(x)不单调，可得|m|>m2−2m2+2m，(m>0)，解不等式即可得到m 的范围．本题考查函数方程的转化思想，根的个数转化为交点个数，画出函数f(x)的图象是解题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到，求y= g(x)的单调增区间．【答案】解：(Ⅰ)f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+ 1+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2=√2sin(2ωx+π4)+2依题意得2π2ω=2π3，故ω的值为32．(Ⅱ)依题意得：g(x)=√2sin[3(x−π2)+π4]+2=√2sin(3x−5π4)+2由2kπ−π2≤3x−5π4≤2kπ+π2(k∈Z)解得23kπ+π4≤x≤23kπ+7π12(k∈Z)故y=g(x)的单调增区间为：[23kπ+π4,23kπ+7π12](k∈Z)．【解析】(1)先将函数化简为f(x)=√2sin(2ωx+π4)，再由2π2ω=2π3，可得答案．(2)根据g(x)=f(x−π2)先求出解析式，再求单调区间．本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法.做这种题首先要将原函数化简为y =Asin(ωx +φ)的形式再做题．18. 如图，在三棱锥P −ABC 中，AB =BC =2√2，PA =PB =PC =AC =4，O 为AC 的中点． (1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线PM 与平面PAC 所成角的大小(结果用反三角表示)【答案】证明：(1)∵在三棱锥P −ABC 中，AB =BC =2√2，PA =PB =PC =AC =4，O 为AC 的中点． ∴PO ⊥AC ，BO ⊥AC ，AC 2=AB 2+BC 2，PO =√16−4=2√3，∴AB ⊥BC ，∴AO =BO =CO =2， ∴BO 2+PO 2=PB 2，∴PO ⊥BO ， ∵AC ∩BO =O ，∴PO ⊥平面ABC ．(2)以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，点M 在棱BC 上，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则P(0,0，2√3)，M(43,23,0)，A(0,−2,0)， C(0,2，0)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,23,−2√3)，平面PAC 的法向量n ⃗ =(1,0，0)，设直线PM 与平面PAC 所成角为θ， 则sinθ=|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=43√1289=√24．∴直线PM 与平面PAC 所成角的大小为arcsin √24．【解析】(1)推导出PO ⊥AC ，BO ⊥AC ，AB ⊥BC ，PO ⊥BO ，由此能证明PO ⊥平面ABC ．(2)以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PM 与平面PAC 所成角的大小．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. 如图，已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ． (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μNQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：λ+μ为定值．【答案】解：(1)抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,2)，∴4=2p ，解得p =2， 设过点(0,1)的直线方程为y =kx +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)； 联立方程组可得{y =kx +1y 2=4x， 消y 可得k 2x 2+(2k −4)x +1=0，∴△=(2k −4)2−4k 2>0，且k ≠0解得k <1， 故直线l 的斜率的取值范围(−∞,0)∪(0,1)； (2)证明：设点M(0,y M )，N(0,y N )， 则MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1−y M )，OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)； 因为OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以1=λ(1−y M )，故λ=11−y M ，同理μ=11−y N， 直线PA 的方程为y −2=2−y 11−x 1(x −1)=2−y 11−y 124(x −1)=42−y 1(x −1)， 令x =0，得y M =2y 12+y 1，同理可得y N =2y22+y 2，因为λ+μ=11−y M+11−y N=2+y 12−y 1+2+y22−y 2=8−2y 1y 2(2−y1)(2−y 2)=8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2[k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1]1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2(1+4−2kk +1)1−4−2k k+1=2，即有λ+μ为定值．【解析】(1)将P 代入抛物线方程，即可求得p 的值，设直线AB 的方程，代入抛物线方程，由△>0，即可求得k 的取值范围；(2)根据向量的共线定理即可求得λ=1−y M ，μ=1−y N ，求得直线PA 的方程，令x =0，求得M 点坐标，同理求得N 点坐标，根据韦达定理和向量的坐标表示，即可求得λ+μ为定值．本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．20.已知两个城市A，B相距100km，现计划在两城市之间合建一个垃圾处理厂，垃圾处理厂计划在以AB为直径的半圆弧AB⏜上选择一点C建造(不能选在点A，B上)，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A 与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x(单位是km)，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调査表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为100；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在AB⏜上距离A城20公里处时，对城A和城B的总影响度为35128．(1)将y表示成x的函数；(2)求当垃圾处理厂到A，B两城市距离之和最大时的总影响度y的值；(3)求垃圾处理厂对城A和城B的总影响度的最小值，并求出此时x的值.(结算结果均用精确值表示)【答案】解：(1)由圆的性质可知BC2=AB2−AC2=10000−x2，∴y=100x2+k10000−x2，把(20,35128)代入上式得：14+k9600=35128．解得k=225．∴y=100x2+22510000−x2(0<x<100)．(2)设∠BAC=α，则AC=100cosα，BC=100sinα，∴垃圾处理厂到A，B两城市距离之和为100(sinα+cosα)=100√2sin(α+π4)，∴当α=π4时，垃圾处理厂到A，B两城市距离之和最大，此时x=AC=50√2，∴y=1005000+2255000=0.065．(3)y′=−200x3+450x(104−x2)2=−200(104−x2)2+450x4x3(104−x2)2，令y′=0得：3x2=2(104−x2)，解得x=20√10．∴当0<x<20√10时，y′<0，当20√10<x<100时，y′>0，∴当x=20√10，y取得最小值，最小值为1004000+2256000=0.0625．【解析】(1)先求出k的值，再得出解析式；(2)根据三角函数求出距离和的最大值对应的x的值，再计算影响度；(3)利用导数判断函数的单调性，从而得出y的最小值及对应的x的值．本题主要考查函数模型的建立和应用，考查函数最值的计算，属于中档题．21.等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N∗，点(n,S n)均在函数y=b x+r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b=2时，记b n=n+14a n(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和T n；(3)数列{c n}满足，c1=1，c n+1−c n=2(a n+1−a n)(n∈N∗)，若12<c nc m<2对m，n∈N∗恒成立，求实数b的取值范围．【答案】解：(1)等比数列{a n}的公比设为q，ab==n1 2<c nc m<2对m，n∈N∗恒成立，可得0<b<1，考虑n很大，m=1可得12<1−2(b−1)<2，解得12<b<1．【解析】(1)由等比数列的定义和数列的递推式，解方程可得r的值；(2)a n=2n−1，b n=n+14a n =(n+1)⋅(12)n+1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和；(3)运用数列恒等式可得c n=c1+(c2−c1)+(c3−c2)+⋯+(c n−c n−1)，结合数列不等式恒成立，讨论公比b与1的关系，解不等式可得所求b的范围．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列恒等式和数列的错位相减法求和，以及不等式恒成立问题解法，考查运算能力，属于中档题．。

上海市建平中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 若集合,则= ( )ABC D2． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 3． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．04． 已知集合A={x ∈Z|（x+1）（x ﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x ＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|﹣1≤x ＜2} B ．{﹣1，0，1} C ．{0，1，2}D ．{﹣1，1}5． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（ ）A.34B.38C.14D.18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 6． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.7． 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）A.18B.12C.9D.0【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.8． 已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-9． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如右图所示，则 f （0）的值为（ ） A.32-B.1-C.D.【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用. 10．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A．12+B．12 C. 34 D ．0 11．已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．12．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1-<mB ．10<<mC ．1>mD ．1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若函数63e ()()32ex x bf x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________． 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．14．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积12S c =， 则边c 的最小值为_______．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．15．已知,0()1,0x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2(2)()f x f x ->的解集为________．【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力． 16．三角形ABC中，2,60AB BC C ==∠=，则三角形ABC 的面积为 .三、解答题（本大共6小题，共70分。

建平中学高三数学开学考2018.09.06一. 填空题1. 若复数(1i)(i)a 是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为2. 已知集合2{|(1)()0,}x x x x a x --+=∈R 中的所有元素之和为1，则实数a 的取值集合为3. 已知()f x 函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，32()f x x x =-，则当0x >时，()f x 的解析式为4. 已知△ABC 中，点A 、B 、C 的坐标依次是(2,1)A -、(3,2)B 、(3,1)C --，BC 边上 的高为AD ，则D 的坐标是5. 集合2541{|()1}2xx A x -+=≥，2{|2(2)0}B x x a x a =--+≤，若B A ⊆，则实数a 的取 值范围为6. 若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为7. 已知数列{}n a 的通项公式为|13|n a n =-，那么满足119102k k k a a a ++++⋅⋅⋅+=的整数k 的个数为8. 已知整数以按如下规律排成一列：(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)，(3,1)，(1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1)，⋅⋅⋅，则第60个数对是9. 已知函数()sin()6f x x πω=+（0ω>），若函数()f x 图像上的一个对称中心到对称轴 的距离的最小值为3π，则ω的值为 10. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种 分解中，两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当p q ⨯（p q ≤且 *,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()p f n q =，如3(12)4f =，关于函数()f n 有下列叙述：①1(7)7f =；②3(24)8f =；③4(28)7f =；④9(144)16f =，其中正 确的序号为11. 已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++-，若对于任意的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点，则a 的取值范围是12. 设函数11()()21x f x x x =++，O 为坐标原点，n A 为函数()y f x =图像上横坐标为n （*n ∈N ）的点，向量n OA 与向量(1,0)i =的夹角为n θ，则满足 125tan tan tan 3n θθθ++⋅⋅⋅+<的最大整数n 的值为二. 选择题13. 若a 、b 为实数，则()0ab a b -<成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 110a b << B. 110b a << C. 11a b < D. 11b a< 14. 若非空集合A 、B 、C 满足A B C =，且B 不是A 的子集，则（ ）A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”的必要条件15.在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为 11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为 （ ）A. B. 11[,)52 C. 1(5 D. 16. 对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意*n ∈N ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M ，那么下列命题正确的是（ ） A. 若{}n a M ，则数列{}n a 各项均大于或等于M B. 若{}n a M ，则22{}n a M C. 若{}n a M ，{}n b M ，则{}2n n a b M + D. 若{}n a M ，则{21}21n a M ++三. 解答题17. 设有两个命题：①“关于x 的不等式22(1)0x a x a +-+>的解集是R ”；②“函数22()(21)f x a a =++是R 上的减函数”，若命题①和②中至少有一个是真命题，求实数a 的取值范围.18. 设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.（1）若关于x 的不等式()1f x ≥在区间(,)a +∞上恒成立，求a 的取值范围；（2）求()f x 的最小值.19. 如图所示，在三棱锥P ABC -中，PD ⊥平面ABC ，且垂足D 在棱AC 上，AB BC ==，1AD =，3CD =，PD =（1）证明：△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.20. 如图，直线220x y -+=经过椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左顶点A 和上顶点D ， 椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS 、BS 与直线10:3l x = 分别交于M 、N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN 的长度的最小值；（3）当线段MN 的长度的最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得△TSB 的面积为15？若存在， 确定点T 的个数，若不存在，请说明理由.21. 已知集合2{|20,}A x x x x =--≤∈Z ，集合2{|lg(8)1}B x x x =++=，集合{|,,}C x x ab a A b B ==∈∈.（1）用列举法表示集合C ；（2）设集合C 的含n 个元素所有子集为n C ，记有限集合M 的所有元素和为()S M ，求12()()()n S C S C S C ++⋅⋅⋅+的值；（3）已知集合P 、Q 是集合C 的两个不同子集，若P 不是Q 的子集，且Q 不是P 的子集，求所有不同的有序集合对(,)P Q 的个数(,)n P Q .参考答案一. 填空题1. 12. 1{0}(,)4+∞3. 32()f x x x =--(0)x >4. (1,1)5. 32(1,]7 6. (5,7) 7. 2 8. (5,7) 9. 3210. ①③ 11. (0,1) 12. 3 12. 11tan ()2(1)n n n n θ=++，分组求和，1152()213n n S n =--<+，解得3n ≤.二. 选择题13. B 14. B 15. D 16. D三. 解答题 17. 若①为真，则1a <-或13a >，若②为真，则102a -<<， 综上，11(,1)(,0)(,)23a ∈-∞--+∞. 18.（1）62(,][,)a ；（2）2min 22,0()32,0a a f x aa . 19.（1）BD =PB =BC =，PC =222PB BC PC +=，得证； （2）等体积法，26APBC P ABC A PBC V V h ，∴sin A PBC h AP θ-==. 20.（1）22141x y +=；（2）83；（3）即点T 到直线SB 2个. 21.（1）{1,1,2,2,4,0}C；（2）5(112240)2128； （3）666643322702.。

上海市建平中学2019届高三12月月考数学试题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.己知直线〃在平面a内，直线m不在平面a内，则“是a m\\a"的（）A.必要非充分条件B,充分非必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】解：由线面平行的性质定理有：直线〃在平面a内，直线m不在平面a内，若”则“m||a”即是的充分条件，直线”在平面a内，直线m不在平面a内，若则"m//n”或“m、”异面"则即"m//n>,是的不必要条件,即是“m||a”的充分非必要条件，故选：B.由线面平行的性质定理可得“m〃n”是的充分条件，由线线，线面关系，可得“m//"”是的不必要条件，即可得解本题考查了线面平行的性质定理、线线，线面关系，属简单题.BC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c.若△ABC的面积为受牛《，贝'JC=（）A-I B.；驾 D.=【答案】C【解析】解:•••△ABC的内角A,B,。

的对边分别为a,b, c.A ABC的面积为型W,4.c_1u•r—^2+b2-c2^labc=—-，7T0<C V7T,C=.4故选：c.推导出S mbc=-absinC=变坦从而sinC=。

电砂孑=cosC；由此能求出结果.贝242ab本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.3,下面的四个命题中，真命题的个数是（）①向量丸b，c,若研伍且片//%贝ija//c；②向量元，b，c,若a-b=b-c>则a=c；③复数Z］,z2,若|Z1-z21=2,则（Z1-z2）2=4；④公比为g等比数列｛%｝,令如=^+a2+a3 +a4,b2=a5+a6+a7 +a8,b n=a4n_3+a4n_2+a4n_1+a4n,则数列（b n］（n E Af*）是公比为q4的等比数列.A.0B. 1C.2D.3【答案】B【解析】解：当3=0时，由a\\b^.b//c，不一定有元〃已故①为假命题；当3与片，可与万夹角相等且同=|诺时,有a-b=b-c，故②为假命题;Z］=0,z2=2i,满足\z r-z2\=2,但（Zi-z2）2=-4,故③为假命题；公比为q等比数列｛%｝,令bi=+a2+a3+a4,b2=a5+a6+a7+a8,b n=a4n_3+a4n_2+口切-1+ Q472'•••9m,!b n=aanT+tUn-z+azm-i+ag=aiq4"-*+aiq4n-3+aiq4n-2+aiq4nT=4AJ b n-i~a4n-7+a4n-6+«4n-s+a4n-4—a^^+a^-7+a1q in-6+a1q in~5—"'数列｛如｝（n G N*）是公比为q4的等比数列，故④为真命题..••真命题的个数是1个.故选：B.举例说明①②③错误；由等比数列的定义说明④正确.本题考查命题的真假判断与应用，考查向量共线及向量数量积的概念，考查复数与等比数列的基础知识，是中档题.4,已知向量丸片，满足同|切=1,伍|=2,若对任意模为2的向量已均有\a-c\+\b-c\<2<7,则向Sa,片的夹角的取值范围是（）A.岫B.［知C.［男D.［0,京【答案】B【解析】解：0|=1，怀|=2,"|=2,|（a+K）-c|<|a+K|-|c|<|a-c|+|K-c|<2甫，HP|a+K|■2<2V7>BP|a+K|<V7-平方得\a\2+\b\2+2a-b<7,即1+4+2元M<7，贝屹•b<1>即|研•|K|cos<a，b><1，则cos<a,b><即；M瓦b><7T，即向量瓦5的夹角的取值范围是［§,兀］,故选：B.根据向量三角不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论.本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键，综台性较强，难度较大.2二、填空题(本大题共12小题，共36.0分)5,双曲线亡-y2=1的焦距为_____.3'【答案】42【解析】解：根据题意，双曲线--y2=1,其中口2=3,册=1,3J则c=Va2+b2=2,则其焦距2c=4；故答案为：4.根据题意，由双曲线的标准方程可得a、力的值，由双曲线的几何性质计算可得c的值，由焦距的定义即可得答案.本题考查双曲线的标准方程，关键是利用双曲线的几何性质求出c的值.6,已知集合M={x|-2<x-l<2},N={x\x=2k-l,ke N*},则M n N=.【答案】{1,3}【解析】解：M={x|-1<x<3),N是正奇数的集合；；.M n N={1,3}.故答案为：(1,3}.可看出集合N表示正奇数的集合，从而解出集合然后进行交集的运算即可.考查描述法、列举法的定义，以及交集的概念及运算.7.设{an}是等差数列，且的=3,a2+a5=36,则{。

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三（上）12月月考数学试卷（A卷）试题数：21.满分：01.（填空题.3分）双曲线 x 23−y 2=1 的焦距为___ ．2.（填空题.3分）已知集合M={x|-2≤x -1≤2}.N={x|x=2k-1.k∈N *}.则M∩N=___ ．3.（填空题.3分）设{a n }是等差数列.且a 1=3.a 2+a 5=36.则{a n }的通项公式为___ ．4.（填空题.3分）若复数z 满足 |i 1+2i1z | =0.其中i 是虚数单位.则z 的虚部为___ ．5.（填空题.3分）函数f （x ）= √log 12(x −1)−1 的定义域为___ ．6.（填空题.3分）（x 2+ 2x ）5的展开式中x 4的系数为___ ．7.（填空题.3分）已知α.β为锐角.如tanα= 43.cos （α+β）= √55.则tanβ=___ ．8.（填空题.3分）在上海进口博览会期间.要从编号为1.2.3.….8的8名志愿者中选3人参加某项服务工作.则选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为___ （结果用分数表示）9.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy 中.A 为直线l ：y=2x 上在第一象限内的点.B （5.0）.以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.则点A 的横坐标为___ ． 10.（填空题.3分）设函数f （x ）=（x-2）2sin （x-2）+3在区间[-1.5]的最大值和最小值分别为M.m.则M+m=___ ．11.（填空题.3分）若实数a 是实数1+2b 与1-2b 的等比中项.则 8ab|a|+2|b| 的最大值为___ ． 12.（填空题.3分）已知函数f （x ）= {|x |，x ≤mx 2−2mx +2m ，x ＞m （m ＞0）.若存在实数b.使得函数g （x ）=f （x ）-b 有3个零点.则实数m 的取值范围是___ ．13.（单选题.3分）已知直线n 在平面α内.直线m 不在平面α内.则“m || n”是“m‖α”的（ ） A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.（单选题.3分）△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c．若△ABC的面积为a2+b2−c24.则C=（）A. π2B. π3C. π4D. π615.（单选题.3分）下面的四个命题中.真命题的个数是（）① 向量a . b⃗ . c .若a‖ b⃗且b⃗ || c .则a || c；② 向量a . b⃗ . c .若a• b⃗ = b⃗• c .则a = c；③ 复数z1.z2.若|z1-z2|=2.则（z1-z2）2=4；④ 公比为q等比数列{a n}.令b1=a1+a2+a3+a4.b2=a5+a6+a7+a8.….b n=a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n.….则数列{b n}（n∈N*）是公比为q4的等比数列．A.0B.1C.2D.316.（单选题.3分）已知向量a . b⃗ .满足同| a |=1.| b⃗ |=2.若对任意模为2的向量c .均有| a• c |+| b⃗• c|≤2 √7 .则向量a . b⃗的夹角的取值范围是（）A.[0. π3]B.[ π3 . 2π3]C.[ π6 . 2π3]D.[0. 2π3]17.（问答题.0分）设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π3．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移π2个单位长度得到.求y=g（x）的单调增区间．18.（问答题.0分）如图.在三棱锥P-ABC中.AB=BC=2 √2 .PA=PB=PC=AC=4.O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M 在棱BC 上.且 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .求直线PM 与平面PAC 所成角的大小（结果用反三角表示）19.（问答题.0分）如图.已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1.2）.过点Q （0.1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A.B ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点.直线PA 交y 轴于M.直线PB 交y 轴于N ． OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μ NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求证：λ+μ为定值．20.（问答题.0分）已知两个城市A.B 相距100km.现计划在两城市之间合建一个垃圾处理厂.垃圾处理厂计划在以AB 为直径的半圆弧 AB̂ 上选择一点C 建造（不能选在点A.B 上）.其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关.对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和.记C 点到城A 的距离为x （单位是km ）.建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比.比例系数为100；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比.比例系数为k.当垃圾处理厂建在 AB ̂ 上距离A 城20公里处时.对城A 和城B 的总影响度为 35128 ． （1）将y 表示成x 的函数；（2）求当垃圾处理厂到A.B 两城市距离之和最大时的总影响度y 的值；（3）求垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度的最小值.并求出此时x 的值．（结算结果均用精确值表示）21.（问答题.0分）等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知对任意的n∈N *.点（n.S n ）均在函数y=b x +r （b ＞0且b≠1.b.r 均为常数）的图象上． （1）求r 的值；（2）当b=2时.记b n = n+14a n（n∈N *）.求数列{b n }的前n 项和T n ；（3）数列{c n }满足.c 1=1.c n+1-c n =2（a n+1-a n ）（n∈N *）.若 12 ＜ cn c m＜2对m.n∈N *恒成立.求实数b 的取值范围．2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三（上）12月月考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）双曲线x23−y2=1的焦距为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：根据题意.由双曲线的标准方程可得a、b的值.由双曲线的几何性质计算可得c的值.由焦距的定义即可得答案．【解答】：解：根据题意.双曲线x 23−y2=1 .其中a2=3.b2=1.则c= √a2+b2 =2.则其焦距2c=4；故答案为：4．【点评】：本题考查双曲线的标准方程.关键是利用双曲线的几何性质求出c的值．2.（填空题.3分）已知集合M={x|-2≤x-1≤2}.N={x|x=2k-1.k∈N*}.则M∩N=___ ．【正确答案】：[1]{1.3}【解析】：可看出集合N表示正奇数的集合.从而解出集合M.然后进行交集的运算即可．【解答】：解：M={x|-1≤x≤3}.N是正奇数的集合；∴M∩N={1.3}．故答案为：{1.3}．【点评】：考查描述法、列举法的定义.以及交集的概念及运算．3.（填空题.3分）设{a n}是等差数列.且a1=3.a2+a5=36.则{a n}的通项公式为___ ．【正确答案】：[1]a n=6n-3【解析】：利用等差数列通项公式列出方程组.求出a1=3.d=6.由此能求出{a n}的通项公式．【解答】：解：∵{a n }是等差数列.且a 1=3.a 2+a 5=36. ∴ {a 1=3a 1+d +a 1+4d =36 . 解得a 1=3.d=6.∴a n =a 1+（n-1）d=3+（n-1）×6=6n-3． ∴{a n }的通项公式为a n =6n-3． 故答案为：a n =6n-3．【点评】：本题考查等差数列的通项公式的求法.考查等差数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．4.（填空题.3分）若复数z 满足 |i 1+2i1z | =0.其中i 是虚数单位.则z 的虚部为___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：由已知可得zi-1-2i=0.变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】：解：由 |i 1+2i1z | =0.得zi-1-2i=0.∴z=1+2ii=(1−2i )(−i )−i 2=−2−i .∴z 的虚部为-1． 故答案为：-1．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.是基础题． 5.（填空题.3分）函数f （x ）= √log 12(x −1)−1 的定义域为___ ．【正确答案】：[1]（1. 32 ]【解析】：利用开偶次方被开方数非负列出不等式.然后求解即可．【解答】：解：函数f （x ）= √log 12(x −1)−1 有意义.可得： log 12(x −1)−1≥0 .可得0 ≤x −1≤12.解得1 ＜x ≤32 ．函数的定义域为：（1. 32 ]． 故答案为：（1. 32 ]．【点评】：本题考查函数的定义域的求法.对数不等式的解法.考查计算能力． 6.（填空题.3分）（x 2+ 2x ）5的展开式中x 4的系数为___ ． 【正确答案】：[1]40【解析】：运用二项展开式的通项可得结果．【解答】：解：根据题意得.T r+1= ∁5r （x 2）5-r （ 2x ）r = ∁5r 2r x10-3r 令10-3r=4.得r=2∴（x 2+ 2x ）5的展开式中x 4的系数为 ∁52 22=40；故答案为40．【点评】：本题考查二项式定理的简单应用．7.（填空题.3分）已知α.β为锐角.如tanα= 43 .cos （α+β）= √55 .则tanβ=___ ． 【正确答案】：[1] 211【解析】：由已知求得sin （α+β）.进一步求得tan （α+β）.再由tanβ=tan[（α+β）-α].展开两角差的正切求解．【解答】：解：∵α.β为锐角.∵0＜α+β＜π. 又cos （α+β）= √55.∴sin （α+β）= 2√55. 则tan （α+β）=sin (α+β)cos (α+β)=2 ．∵tanα= 43 .∴tanβ=tan[（α+β）-α]= tan (α+β)−tanα1+tan (α+β)tanα = 2−431+2×43=211 ．故答案为： 211 ．【点评】：本题考查三角函数的化简求值.考查诱导公式的应用.是基础题．8.（填空题.3分）在上海进口博览会期间.要从编号为1.2.3.….8的8名志愿者中选3人参加某项服务工作.则选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为___ （结果用分数表示）【正确答案】：[1] 128【解析】：先求出基本事件总数n= C 83=56.选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列包含的基本事件有2个.由此能求出选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率．【解答】：解：在上海进口博览会期间.要从编号为1.2.3.….8的8名志愿者中选3人参加某项服务工作.基本事件总数n= C 83=56.选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列包含的基本事件有2个. 分别为：（1.4.7）.（2.5.8）.∴选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为p= 256=128 ． 故答案为： 128 ．【点评】：本题考查概率的求法.考查等差数列、古典概型等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．9.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy 中.A 为直线l ：y=2x 上在第一象限内的点.B （5.0）.以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.则点A 的横坐标为___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：设A （a.2a ）.a ＞0.求出C 的坐标.得到圆C 的方程.联立直线方程与圆的方程.求得D 的坐标.结合 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0求得a 值得答案．【解答】：解：设A （a.2a ）.a ＞0. ∵B （5.0）.∴C （a+52 .a ）. 则圆C 的方程为（x-5）（x-a ）+y （y-2a ）=0． 联立 {y =2x(x −5)(x −a )+y (y −2a )=0.解得D （1.2）．∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−a ，−2a)•(−a−32，2−a) =a2−2a−152+2a 2−4a =0 ．解得：a=3或a=-1． 又a ＞0.∴a=3． 即A 的横坐标为3． 故答案为：3．【点评】：本题考查平面向量的数量积运算.考查圆的方程的求法.是中档题．10.（填空题.3分）设函数f （x ）=（x-2）2sin （x-2）+3在区间[-1.5]的最大值和最小值分别为M.m.则M+m=___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：通过换元以及函数的奇偶性求出M+m 的值即可．【解答】：解：设x-2=t.则t∈[-3.3]. 故f （x ）=g （t ）=t 2sint+3.t∈[-3.3]. 函数y=g （t ）-3是奇函数. 最大值和最小值的和是0. 故M-3+m-3=0. 故M+m=6. 故答案为：6．【点评】：本题考查了函数的奇偶性问题.考查函数最值以及转化思想.换元思想.是一道常规题． 11.（填空题.3分）若实数a 是实数1+2b 与1-2b 的等比中项.则 8ab|a|+2|b| 的最大值为___ ． 【正确答案】：[1] √2【解析】：由a 是1+2b 与1-2b 的等比中项得到4|ab|≤1.再由基本不等式法求得．【解答】：解：a 是1+2b 与1-2b 的等比中项.则a 2=1-4b 2⇒a 2+4b 2=1≥4|ab|． ∴|ab|≤ 14 ．∵a 2+4b 2=（|a|+2|b|）2-4|ab|=1． ∴ 8ab |a|+2|b| = √1+4|ab|≤√1+4|ab|=4 √4(ab )21+4|ab| =4 √44|ab|+(1ab)2 =4 √4(1|ab|+2)2−4∵|ab|≤ 14 . ∴ 1|ab| ≥4. ∴ 8ab|a|+2|b| ≤4 √4(1|ab|+2)2−4≤4 √432 = √2 .故答案为： √2 ．【点评】：本题考查等比中项以及不等式法求最值问题.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．12.（填空题.3分）已知函数f （x ）= {|x |，x ≤mx 2−2mx +2m ，x ＞m （m ＞0）.若存在实数b.使得函数g （x ）=f （x ）-b 有3个零点.则实数m 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（1.+∞）【解析】：由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=b有3个不同的交点.通过x≤m的图象.可得x＞0时.f（x）不单调.可得|m|＞m2-2m2+2m.（m＞0）.解不等式即可得到m的范围．【解答】：解：存在实数b.使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根.即为函数y=f（x）的图象和直线y=b有3个不同的交点.即有x＞0时.f（x）不单调.可得|m|＞m2-2m2+2m.（m＞0）.即有m2＞m.解得m＞1．故答案为：（1.+∞）．【点评】：本题考查函数方程的转化思想.根的个数转化为交点个数.画出函数f（x）的图象是解题的关键.属于中档题．13.（单选题.3分）已知直线n在平面α内.直线m不在平面α内.则“m || n”是“m‖α”的（）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【正确答案】：B【解析】：由线面平行的性质定理可得“m || n”是“m‖α”的充分条件.由线线.线面关系.可得“m || n”是“m‖α”的不必要条件.即可得解【解答】：解：由线面平行的性质定理有：直线n在平面α内.直线m不在平面α内.若“m || n”则“m‖α”即“m || n”是“m‖α”的充分条件.直线n在平面α内.直线m不在平面α内.若“m‖α”则“m || n”或“m、n异面“则“m‖α”即“m || n”是“m‖α”的不必要条件.即“m || n”是“m‖α”的充分非必要条件.故选：B．【点评】：本题考查了线面平行的性质定理、线线.线面关系.属简单题．14.（单选题.3分）△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c．若△ABC的面积为a2+b2−c24.则C=（）A. π2B. π3C. π4D. π6【正确答案】：C【解析】：推导出S△ABC= 12absinC = a2+b2−c24.从而sinC= a2+b2−c22ab=cosC.由此能求出结果．【解答】：解：∵△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c．△ABC的面积为a2+b2−c24.∴S△ABC= 12absinC = a2+b2−c24.∴sinC= a2+b2−c22ab=cosC.∵0＜C＜π.∴C= π4．故选：C．【点评】：本题考查三角形内角的求法.考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．15.（单选题.3分）下面的四个命题中.真命题的个数是（）① 向量a . b⃗ . c .若a‖ b⃗且b⃗ || c .则a || c；② 向量a . b⃗ . c .若a• b⃗ = b⃗• c .则a = c；③ 复数z1.z2.若|z1-z2|=2.则（z1-z2）2=4；④ 公比为q等比数列{a n}.令b1=a1+a2+a3+a4.b2=a5+a6+a7+a8.….b n=a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n.….则数列{b n}（n∈N*）是公比为q4的等比数列．A.0B.1C.2D.3【正确答案】：B【解析】：举例说明① ② ③ 错误；由等比数列的定义说明④ 正确．【解答】：解：当a=0⃗时.由a‖ b⃗且b⃗ || c .不一定有a || c .故① 为假命题；当a与b⃗ . b⃗与c夹角相等且|a|=|c|时.有a• b⃗ = b⃗• c .故② 为假命题；z1=0.z2=2i.满足|z1-z2|=2.但（z1-z2）2=-4.故③ 为假命题；公比为q等比数列{a n}.令b1=a1+a2+a3+a4.b2=a5+a6+a7+a8.….b n=a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n.….则b nb n−1=a4n−3+a4n−2+a4n−1+a4na4n−7+a4n−6+a4n−5+a4n−4= a1q4n−4+a1q4n−3+a1q4n−2+a1q4n−1a1q4n−8+a1q4n−7+a1q4n−6+a1q4n−5=q4.数列{b n}（n∈N*）是公比为q4的等比数列.故④ 为真命题．∴真命题的个数是1个．故选：B．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用.考查向量共线及向量数量积的概念.考查复数与等比数列的基础知识.是中档题．16.（单选题.3分）已知向量a . b⃗ .满足同| a |=1.| b⃗ |=2.若对任意模为2的向量c .均有| a• c |+| b⃗• c|≤2 √7 .则向量a . b⃗的夹角的取值范围是（）A.[0. π3]B.[ π3 . 2π3]C.[ π6 . 2π3]D.[0. 2π3]【正确答案】：B【解析】：根据向量不等式得到|a+b⃗|≤√7 .平方得到a•b⃗≤1 .代入数据计算得到cosα≤12.再求出向量a . b⃗的夹角的取值范围．【解答】：解：由|a|=1，|b⃗|=2 .若对任意模为 2 的向量c .均有|a•c|+|b⃗•c|≤2√7 . 则|(a+b⃗)•c|≤|(a+b⃗)|•|c|≤|a•c|+|b⃗•c|≤2√7 .∴ |(a+b⃗)|•2≤2√7，|a+b⃗|≤√7 .平方得到 a⃗⃗⃗ 2+ b⃗2+2 a•b⃗≤7.即a•b⃗≤1.即cosα≤ 12.同时|（a - b⃗）• c|≤|（a - b⃗）|•| c|≤|| a• c + b⃗• c|≤2 √7 .∴|（a - b⃗）|•2≤2 √7 .即| a - b⃗|≤ √7 .平方得到 a⃗⃗⃗ 2+ b⃗2-2 a•b⃗≤7.即a•b⃗≥-1.即cosα≥- 12.综上- 12≤cosα≤ 12.即π3≤α≤ 2π3.∴向量a . b⃗的夹角的取值范围[ π3 . 2π3]．故选：B．【点评】：本题主要考查平面向量数量积的应用.根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系.综台性较强.难度较大．17.（问答题.0分）设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π3．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移π2个单位长度得到.求y=g（x）的单调增区间．【正确答案】：【解析】：（1）先将函数化简为f（x）= √2 sin（2ωx+ π4）.再由2π2ω=2π3.可得答案．（2）根据g（x）=f（x- π2）先求出解析式.再求单调区间．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx= sin2ωx+cos2ωx+2=√2sin(2ωx+π4)+2依题意得2π2ω=2π3.故ω的值为32．（Ⅱ）依题意得：g(x)=√2sin[3(x−π2)+π4]+2=√2sin(3x−5π4)+2由2kπ−π2≤3x−5π4≤2kπ+π2(k∈Z)解得23kπ+π4≤x≤23kπ+7π12(k∈Z)故y=g（x）的单调增区间为：[23kπ+π4，23kπ+7π12](k∈Z)．【点评】：本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法．做这种题首先要将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式再做题．18.（问答题.0分）如图.在三棱锥P-ABC 中.AB=BC=2 √2 .PA=PB=PC=AC=4.O 为AC 的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上.且 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 BC⃗⃗⃗⃗⃗ .求直线PM 与平面PAC 所成角的大小（结果用反三角表示）【正确答案】：【解析】：（1）推导出PO⊥AC .BO⊥AC .AB⊥BC .PO⊥BO .由此能证明PO⊥平面ABC ．（2）以O 为原点.OB 为x 轴.OC 为y 轴.OP 为z 轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能求出直线PM 与平面PAC 所成角的大小．【解答】：证明：（1）∵在三棱锥P-ABC 中.AB=BC=2 √2 . PA=PB=PC=AC=4.O 为AC 的中点．∴PO⊥AC .BO⊥AC .AC 2=AB 2+BC 2.PO= √16−4 =2 √3 . ∴AB⊥BC .∴AO=BO=CO=2. ∴BO 2+PO 2=PB 2.∴PO⊥BO . ∵AC∩BO=O .∴PO⊥平面ABC ．（2）以O 为原点.OB 为x 轴.OC 为y 轴.OP 为z 轴. 建立空间直角坐标系.点M 在棱BC 上.且 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 BC⃗⃗⃗⃗⃗ . 则P （0.0.2 √3 ）.M （ 43，23 .0）.A （0.-2.0）. C （0.2.0）.PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 43，23 .-2 √3 ）.平面PAC 的法向量 n ⃗ =（1.0.0）.设直线PM 与平面PAC 所成角为θ. 则sinθ= |PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||n ⃗ |•|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 43√1289 = √24． ∴直线PM 与平面PAC 所成角的大小为arcsin √24 ．【点评】：本题考查线面垂直的证明.考查线面角的大小的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．19.（问答题.0分）如图.已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1.2）.过点Q （0.1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A.B ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点.直线PA 交y 轴于M.直线PB 交y 轴于N ． OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μ NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求证：λ+μ为定值．【正确答案】：【解析】：（1）将P 代入抛物线方程.即可求得p 的值.设直线AB 的方程.代入抛物线方程.由△＞0.即可求得k 的取值范围；（2）根据向量的共线定理即可求得λ=1-y M .μ=1-y N .求得直线PA 的方程.令x=0.求得M 点坐标.同理求得N 点坐标.根据韦达定理和向量的坐标表示.即可求得λ+μ为定值．【解答】：解：（1）抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1.2）.∴4=2p .解得p=2. 设过点（0.1）的直线方程为y=kx+1.A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）； 联立方程组可得 {y 2=4xy =kx +1 .消y 可得k 2x 2+（2k-4）x+1=0. ∴△=（2k-4）2-4k 2＞0.且k≠0解得k ＜1. 故直线l 的斜率的取值范围（-∞.0）∪（0.1）； （2）证明：设点M （0.y M ）.N （0.y N ）. 则 MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1-y M ）. OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1）； 因为 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .所以1=λ（1-y M ）.故λ= 11−y M.同理μ= 11−yN. 直线PA 的方程为y-2= 2−y11−x 1（x-1）=2−y 11−y 124（x-1）= 42−y 1（x-1）.令x=0.得y M =2y 12+y 1.同理可得y N =2y 22+y 2. 因为λ+μ= 11−y M+ 11−y N= 2+y12−y 1+ 2+y22−y 2= 8−2y 1y 2(2−y1)(2−y 2)= 8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k (x 1+x 2)+k 2x 1x 2 = 8−2[k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1]1−k (x 1+x 2)+k 2x 1x 2 = 8−2(1+4−2kk+1)1−4−2kk+1=2. 即有λ+μ为定值．【点评】：本题考查抛物线的方程.直线与抛物线的位置关系.考查韦达定理的应用.考查转化思想.计算能力.属于中档题．20.（问答题.0分）已知两个城市A.B 相距100km.现计划在两城市之间合建一个垃圾处理厂.垃圾处理厂计划在以AB 为直径的半圆弧 AB̂ 上选择一点C 建造（不能选在点A.B 上）.其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关.对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和.记C 点到城A 的距离为x （单位是km ）.建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比.比例系数为100；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比.比例系数为k.当垃圾处理厂建在 AB ̂ 上距离A 城20公里处时.对城A 和城B 的总影响度为 35128 ． （1）将y 表示成x 的函数；（2）求当垃圾处理厂到A.B 两城市距离之和最大时的总影响度y 的值；（3）求垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度的最小值.并求出此时x 的值．（结算结果均用精确值表示）【正确答案】：【解析】：（1）先求出k 的值.再得出解析式；（2）根据三角函数求出距离和的最大值对应的x 的值.再计算影响度； （3）利用导数判断函数的单调性.从而得出y 的最小值及对应的x 的值．【解答】：解：（1）由圆的性质可知BC 2=AB 2-AC 2=10000-x 2. ∴y=100x 2 + k10000−x 2. 把（20. 35128 ）代入上式得： 14 + k9600 = 35128 ． 解得k=225．∴y= 100x 2 + 22510000−x 2 （0＜x ＜100）．（2）设∠BAC=α.则AC=100cosα.BC=100sinα.∴垃圾处理厂到A.B 两城市距离之和为100（sinα+cosα）=100 √2 sin （α+ π4 ）. ∴当α= π4 时.垃圾处理厂到A.B 两城市距离之和最大.此时x=AC=50 √2 . ∴y= 1005000 + 2255000 =0.065．（3）y′=- 200x 3 + 450x(104−x 2)2 = −200(104−x 2)2+450x 4x 3(104−x 2)2. 令y′=0得：3x 2=2（104-x 2）.解得x=20 √10 ． ∴当0＜x ＜20 √10 时.y′＜0.当20 √10 ＜x ＜100时.y′＞0. ∴当x=20 √10 .y 取得最小值.最小值为 1004000 + 2256000 =0.0625．【点评】：本题主要考查函数模型的建立和应用.考查函数最值的计算.属于中档题．21.（问答题.0分）等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知对任意的n∈N *.点（n.S n ）均在函数y=b x +r （b ＞0且b≠1.b.r 均为常数）的图象上． （1）求r 的值；（2）当b=2时.记b n = n+14a n（n∈N *）.求数列{b n }的前n 项和T n ；（3）数列{c n }满足.c 1=1.c n+1-c n =2（a n+1-a n ）（n∈N *）.若 12 ＜ cn c m＜2对m.n∈N *恒成立.求实数b 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由等比数列的定义和数列的递推式.解方程可得r 的值；（2）a n =2n-1.b n = n+14a n=（n+1）•（ 12 ）n+1.由数列的错位相减法求和.结合等比数列的求和公式.计算可得所求和；（3）运用数列恒等式可得c n =c 1+（c 2-c 1）+（c 3-c 2）+…+（c n -c n-1）.结合数列不等式恒成立.讨论公比b 与1的关系.解不等式可得所求b 的范围．【解答】：解：（1）等比数列{a n }的公比设为q. 对任意的n∈N *.点（n.S n ）均在函数y=b x +r 的图象上. 即S n =b n +r.可得a 1=S 1=b+r.a 2=S 2-S 1=b 2+r-b-r=b 2-b. a 3=S 3-S 2=b 3+r-b 2-r=b 3-b 2.则公比为b.即有b （b+r ）=b 2-b.解得r=-1； （2）当b=2时.可得公比为2.首项为2-1=1. 即a n =2n-1.b n = n+14a n=（n+1）•（ 12 ）n+1.前n 项和T n =2•（ 12 ）2+3•（ 12 ）3+…+（n+1）•（ 12 ）n+1. 可得 12 T n =2•（ 12 ）3+3•（ 12 ）4+…+（n+1）•（ 12 ）n+2.相减可得 12 T n = 12 +（ 12 ）3+（ 12 ）4+…+（ 12 ）n+1-（n+1）•（ 12 ）n+2= 12 + 18(1−12n−1)1−12-（n+1）•（ 12 ）n+2.化简可得T n = 32 -（n+3）•（ 12 ）n+1；（3）数列{c n}满足.c1=1.c n+1-c n=2（a n+1-a n）. 可得c n=c1+（c2-c1）+（c3-c2）+…+（c n-c n-1）=1+2（a2-a1+a3-a2+…+a n-a n-1）=1+2（a n-a1）=1+2（b-1）（b n-1-1）.由于b＞0且b≠1.若b＞1可得c n递增.且无界.1 2＜c nc m＜2对m.n∈N*恒成立.可得0＜b＜1.考虑n很大.m=1可得12＜1-2（b-1）＜2.解得12＜b＜1．【点评】：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用.考查数列恒等式和数列的错位相减法求和.以及不等式恒成立问题解法.考查运算能力.属于中档题．。