中考一元二次方程及其应用--拔高题

一元二次方程知识点运用拔高题
1.已知一元二次方程022=+-m x x ．
（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；
（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且x 1+3x 2=3，求m 的值。

2.已知关于x 的方程x 2
﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根和m 的取值。

3.已知关于x 的方程x 2－2（k－1）x+k 2=0有两个实数根x 1，x 2.
（1）求k 的取值范围；（2）若12121x x x x +=-，求k 的值.
4.已知关于x 的一元二次方程22(21)2x k x k =+-+有两个实数根为x 1,x 2
．（1）求k 的取值范围;
（2）设y=x 1+x 2,当y 取得最小值时,求相应k 的值,并求出最小值．
5.已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－4＝0.
(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．6.已知关于x的一元二次方程
x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根x
1，x
2
.
(1)若a为正整数，求a的值
(2)若x
1，x
2
满足x
1
2+x
2
2－x
1
x
2
＝16，求a的值．。

《一元二次方程》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）方程3x2﹣2x﹣9＝0的二次系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，2，9B．3，﹣2，9C．﹣3，﹣2，﹣9D．3，﹣2，﹣9 2．（5分）关于一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞0C．a＜D．a＞3．（5分）方程x2+mx﹣3x＝0不含x的一次项，则m＝（）A．0B．1C．3D．﹣34．（5分）已知x＝1是一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个解，则m的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣25．（5分）已知m是方程x2﹣2x﹣2019＝0的一个根，则2m2﹣4m的值等于（）A．2019B．﹣2019C．4038D．﹣4038二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）若关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x﹣（4k﹣1）＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，则k＝．7．（5分）关于x的方程x a﹣1+2x﹣5＝0是一元二次方程，则a＝．8．（5分）已知方程x2﹣2019x+1＝0的一个根为a，则a+的值为．9．（5分）已知4是关于x的方程x2﹣3mx+4m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为．10．（5分）已知m为一元二次方程x2﹣3x+5＝0的一根，则代数式2m2﹣6m+2029的值为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知x＝﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2＝0的一个根，求a的值．12．（10分）已知关于x的方程x2+ax﹣2＝0的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．13．（10分）已知m是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，求代数式2m2+6m﹣3的值．14．（10分）方程（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0（1）m为何值时，方程是一元二次方程；（2）m为何值时，方程是一元一次方程．15．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数．（2）设BC＝a，AC＝4．①若AD＝EC，求a的值．②线段AD的长是方程x2+2ax﹣16＝0的一个根吗？说明理由．《一元二次方程》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）方程3x2﹣2x﹣9＝0的二次系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，2，9B．3，﹣2，9C．﹣3，﹣2，﹣9D．3，﹣2，﹣9【分析】根据ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．【解答】解：一元二次方程3x2﹣2x﹣9＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣2，﹣9，故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c ＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．（5分）关于一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞0C．a＜D．a＞【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，可以得到△＜0，从而可以求得a 的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（1﹣a）＜0，解得，a＜0，故选：A．【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，知道方程无实数根时△＜0．3．（5分）方程x2+mx﹣3x＝0不含x的一次项，则m＝（）A．0B．1C．3D．﹣3【分析】根据结果不含x的一次项，确定出m的值即可．【解答】解：由方程不含x的一次项，得到m﹣3＝0，解得：m＝3，故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．4．（5分）已知x＝1是一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个解，则m的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣2＝0得到关于m的一元一次方程，解之即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣2＝0得：1+m﹣2＝0，解得：m＝1，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键．5．（5分）已知m是方程x2﹣2x﹣2019＝0的一个根，则2m2﹣4m的值等于（）A．2019B．﹣2019C．4038D．﹣4038【分析】把x＝m代入方程求出m2﹣2m＝2019，把2m2﹣4m化成2（m2﹣2m）代入求出即可．【解答】解：根据题意，将x＝m代入方程，得：m2﹣2m﹣2019＝0，则m2﹣2m＝2019，∴2m2﹣4m＝2（m2﹣2m）＝2×2019＝4038，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把m2﹣2m当作一个整体来代入．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）若关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x﹣（4k﹣1）＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，则k＝2．【分析】根据ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x﹣（4k﹣1）＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，∴2+2k+1+[﹣（4k﹣1）]＝0，解得：k＝2．故答案为：2．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c ＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．7．（5分）关于x的方程x a﹣1+2x﹣5＝0是一元二次方程，则a＝3．【分析】根据一元二次方程的定义可得a﹣1＝2，再解即可．【解答】解：∵关于x的方程x a﹣1+2x﹣5＝0是一元二次方程，∴a﹣1＝2，解得：a＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．8．（5分）已知方程x2﹣2019x+1＝0的一个根为a，则a+的值为2019．【分析】先根据一元二次方程的定义得到a2＝2019a﹣1，a2+1＝2019a，再利用整体代入的方法变形原式得到结论．【解答】解：∵a是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，∴a2﹣2019a+1＝0，∴a2＝2019a﹣1，a2+1＝2019a，∴a+＝a+＝a+＝＝＝2019，故答案为：2019．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9．（5分）已知4是关于x的方程x2﹣3mx+4m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为10．【分析】先根据一元二次方程的解的定义把x＝4代入方程求出m得到原方程为x2﹣6x+8＝0，再解此方程得到得x1＝2，x2＝4，然后根据三角形三边的关系得到△ABC的腰为4，底边为2，再计算三角形的周长．【解答】解：把x＝4代入方程得x2﹣3mx+4m＝0，解得m＝2，则原方程为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为2，则△ABC的周长为4+4+2＝10；②当△ABC的腰为2，底边为4时，不能构成三角形．综上所述，该三角形的周长的10．故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程的解，等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理．难度中等．根据等腰三角形的性质，将腰长进行分类是解题的关键．10．（5分）已知m为一元二次方程x2﹣3x+5＝0的一根，则代数式2m2﹣6m+2029的值为2019．【分析】把x＝m代入已知方程可以求得m2﹣3m＝﹣5，然后将其整体代入所求的代数式并求值．【解答】解：∵实数m是关于x方程x2﹣3x+5＝0的一根，∴m2﹣3m+5＝0，∴m2﹣3m＝﹣5，∴2m2﹣6m+2029＝2（m2﹣3m）+2029＝2019．故答案为：2019．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知x＝﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2＝0的一个根，求a的值．【分析】根据一元二次方程解的定义，把x＝﹣1代入x2+2ax+a2＝0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2＝0，然后解此一元二次方程即可．【解答】解：把x＝﹣1代入x2+2ax+a2＝0得1﹣2a+a2＝0，解得a1＝a2＝1，所以a的值为1【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型12．（10分）已知关于x的方程x2+ax﹣2＝0的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．【分析】把x＝1代入已知方程得到关于a的新方程，通过解新方程来求a的值；利用根与系数的关系来求方程的另一根．【解答】解：把x＝1代入x2+ax﹣2＝0，得12+a﹣2＝0，解得a＝1．根据根与系数的关系得到方程的另一根为：＝﹣2．综上所述，a的值为1，该方程的另一根是﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．13．（10分）已知m是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，求代数式2m2+6m﹣3的值．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x＝m入方程即可得到m2+3m的形式，再整体代入m2+3m＝1，即可求解．【解答】解：根据题意得：m2+3m﹣1＝0，∴m2+3m＝1，∴2m2+6m﹣3＝2（m2+3m）﹣3＝2﹣3＝﹣1．【点评】此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．14．（10分）方程（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0（1）m为何值时，方程是一元二次方程；（2）m为何值时，方程是一元一次方程．【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：m2﹣7＝2且m﹣3≠0，由此可以求得m的值；（2）由一元一次方程的定义得到：m﹣3＝0且m﹣2≠0或m2﹣7＝1，由此可以求得m 的值．【解答】解：（1）∵关于方程（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0是一元二次方程，∴m2﹣7＝2且m﹣3≠0，解得m＝﹣3．故m为﹣3时，方程是一元二次方程；（2）∵关于（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0是一元一次方程，∴m﹣3＝0且m﹣2≠0或m2﹣7＝1或m2﹣7＝0，解得m＝3或m＝±2或m＝±故m为3或±2或±时，方程是一元一次方程．【点评】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义．注意，一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零．15．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数．（2）设BC＝a，AC＝4．①若AD＝EC，求a的值．②线段AD的长是方程x2+2ax﹣16＝0的一个根吗？说明理由．【分析】（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，先求出∠BCD，再求∠ACD的度数；（2）①利用勾股定理得到关于a的方程，求解即可；②利用勾股定理用含a的代数式表示出AD，把AD代入方程验证是不是方程的根即可．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝90°﹣28°＝62°∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝＝59°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣59°＝31°（2）①∵AD＝EC，AD＝AE，AC＝4，∴AD＝EC＝AE＝2∵BC＝BD＝α，∴AB＝2+α∵AB2＝BC2+AC2，即（a+2）2＝a2+42，∴a＝3②∵BC＝α，AC＝4，∴AB＝∴AD＝﹣α∵当x＝AD＝﹣α时，x2+2ax﹣16＝（﹣α）2+2α（﹣α）﹣16＝16+a2﹣2a+a2+2a﹣2α2﹣16＝0∴AD的长是该方程的一个根．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、一元二次方程的解等知识点．解决本题的关键是熟练掌握和运用等腰三角形的性质及勾股定理．。

第二十四章 一元二次方程（B 卷-拔高卷）注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知m 是方程x 2+x -1=0的根，则式子m 3+2m 2+2020的值为（ ） A ．2018 B ．2019 C ．2020 D ．2021【答案】D【分析】先利用m 是方程x 2+x -1=0的根得到m 2=-m +1，则可表示出m 3=2m -1，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∴m 是方程x 2+x -1=0的根， ∴m 2+m -1=0， ∴m 2=-m +1，∴m 3=m （-m +1）=-m 2+m =m -1+m =2m -1∴m 3+2m 2+2020=2m -1+2（-m +1）+2020=2m -1-2m +2+2020=2021． 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．（2022·辽宁铁岭·九年级期末）用配方法解方程2430x x --=，经过配方可转化为（ ） A ．()221x -= B ．()227x -=C ．()221x +=D ．()227x +=【答案】B【分析】先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再配方即可. 【详解】解：2430x x --= 移项得：243x x -=两边都加4得：2447x x -+= 227x故选：B.【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解题的关键.3．（2022·四川广元·九年级期末）有一人感染了新冠肺炎，经过两轮传染后共有100人被感染，每轮传染中平均一个人传染的人数x 满足的方程为（ ） A ．1(1)100x x x +++= B ．(1)100x x +=C ．21100x x ++=D ．2100x =【答案】A【分析】每轮传染中平均一个人传染的人数为x 人,即经过第一轮有（x +1）人感染,则经过第二轮有()()11x x x +++⎡⎤⎣⎦ 人得了流感,根据两次一共有100患了流感即可列出方程．【详解】解：由题可知1+x +x （1+ x ）=100． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，认真审题，找到等量关系是解题关键．4．（2021·甘肃·金昌市第五中学八年级期末）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有（ ） A ．(18020)501089010x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭B ．180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭C ．1805050201089010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭D ．(180)5050201089010x x ⎛⎫+--⨯= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得． 【详解】解：设房价定为x 元，根据题意得：180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系列出方程是关键．5．（2022·全国·九年级课时练习）若关于x 的一元二次方程2220ax bx +-=的一个根是2022x =，则一元二次方程()22212a x bxb +++=必有一根为（ ）． A ．2020 B ．2021 C ．2022 D ．2023【答案】A【分析】对一元二次方程()22212a x bxb +++=变形，设t ＝x ＋2得到2220at bt +-=，利用2220ax bx +-=的一个根是2022x =可得t ＝2022，从而求出x 即可．【详解】解：对于一元二次方程()22212a x bxb +++=即()()222220a x b x +++-=， 设t ＝x ＋2，则可得2220at bt +-=，而关于x 的一元二次方程2220ax bx +-=的一个根是2022x =， 所以2220at bt +-=有一个根为t ＝2022， 所以x ＋2＝2022， 解得x ＝2020， 所以一元二次方程()22212a x bxb +++=必有一根为x ＝2020， 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6．（2022·河南濮阳·八年级期末）将4个数a ，b ，c ，d 记成a b c d：定义.a b ad bc c d=-，则方程243x x x=-的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．只有一个实数根【答案】C【分析】根据新定义的运算得出一元二次方程，再利用根的判别式进行判断其根的情况即可． 【详解】解：∵243x x x=-∴2x 2−4x =-3， 即22430x x -+=，∵b 2-4ac =(-4)2-4×2×3=-8﹤0， ∴原方程没有实数根， 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是明确题意，将方程进行正确的转化． 7．（2022·河北保定·一模）可以用如图所示的图形研究方程x 2+ax ＝b 2的解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2a，BC ＝b ，以点A 为圆心作弧交AB 于点D ，使AD ＝AC ，则该方程的一个正根是（ ）A ．CD 的长B ．BD 的长C ．AC 的长D ．BC 的长【答案】B【分析】由勾股定理可得：222,22a a b BD ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理可得22·,BD a BD b +=从而可得答案. 【详解】解： ∠C ＝90°，AC ＝2a，BC ＝b ，AD ＝AC ，222,22a a b BD ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 整理得：22·,BD a BD b += 而x 2+ax ＝b 2，∴ 方程的一个正根为线段BD 的长，故选B【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，勾股定理的应用，理解一元二次方程的解的含义是解本题的关键.8．（2021·辽宁葫芦岛·九年级阶段练习）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，8AB =cm ，7BC =cm ，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动（移动方向如图所示），点P 的速度为1cm/s ，点Q 的速度为2cm/s ，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止运动，若使PBQ ∆的面积为15cm 2，则点P 运动的时间是（ ）A ．3.5sB ．5sC ．4sD ．3s【分析】设出动点P ，Q 运动t 秒，能使△PBQ 的面积为15cm 2，用t 分别表示出BP 和BQ 的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．【详解】设动点P ，Q 运动t 秒后，能使△PBQ 的面积为15cm 2， 则BP 为(8−t )cm ，BQ 为2tcm ，由三角形的面积计算公式列方程得，12×(8−t )×2t ＝15，解得t 1＝3，t 2＝5（当t ＝5时，BQ ＝10，不合题意，舍去）． ∴动点P ，Q 运动3秒时，能使△PBQ 的面积为15cm 2． 故答案为:D【点睛】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．9．（2022·安徽合肥·八年级期中）对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，下列说法：①若0a b c -+=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根； ③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立； ④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+ 其中正确的：（ ） A ．只有① B ．只有①② C ．①②③ D ．只有①②④【答案】D【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可．【详解】由0a b c -+=，表明方程()200++=≠ax bx c a 有实数根﹣1，表明一元二次方程()200++=≠ax bx c a 有实数解，则240b ac ∆=-≥，故①正确；∵方程20ax c +=有两个不相等的实根，∴方程2cx a=-有两个不相等的实根， 即a 与c 异号． ∴-ac >0，∴224(4)0b ac b ac ∆=-=+->，∴方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；∵c 是方程20ax bx c ++=的一个根， ∴20ac bc c ++=， 即(1)0c ac b ++=当0c ≠时，一定有10ac b ++=成立；当c =0时，则10ac b ++=不一定成立，例如：方程2320x x +=，则130ac b ++=≠； 故③错误；∵0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，∴2000ax bx c ++=，∴200c ax bx =--，∴()0222222000044()442b ac b a ax bx ax ax b ax b -=---=++=+， 故④正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键．10．（2022·浙江绍兴·八年级期末）空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S ．下列说法错误的是（ ）A ．若a ＝16，S ＝196，则有一种围法B ．若a ＝20，S ＝198，则有两种围法C ．若a ＝24，S ＝198，则有两种围法D ．若a ＝24，S ＝200，则有一种围法【答案】A【分析】分两种情况讨论：采用图1围法，图2围法，设矩形菜园的宽为x 米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x 的范围，从而可得答案． 【详解】解：设矩形菜园的宽为x 米，则长为()402x -米，∴2402240,S x x x x当16a =时，采用图1围法，则此时1220,x当196S =时， 2240196,x x解得：12102,102,x x此时都不符合题意， 采用图2围法，如图，此时矩形菜园的宽为x 米，即,AB CD x == 则40216,AD BCx 则28,BC x 所以长为()28x -米，结合2816x 可得012,x ∴28196,x x解得：1214,x x 经检验不符合题意，综上：若a ＝16，S ＝196，则没有围法，故A 符合题意； 设矩形菜园的宽为x 米，则长为()402x -米， ∴2402240,Sx x x x当20a =时，采用图1围法，则此时1020,x当198S 时， 2240198,x x解得：1211,9,x x 经检验11x =符合题意；采用图2围法，如图，此时矩形菜园的宽为x 米，即,AB CD x == 则40220,AD BCx 则30,BC x 所以长为()30x -米，结合3020x 可得010,x ∴30198,x x解得：121533,1533,x x 经检验1533x 符合题意， 综上：若a ＝20，S ＝198，则有两种围法，故B 不符合题意； 同理可得：C 不符合题意，D 不符合题意； 故选A【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022·江苏·九年级专题练习）“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了_________人． 【答案】4【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则第一轮传染中有x 人被传染，第二轮传染中有(1)x x +人被传染，根据一人患病经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，即可得出关于x 的一元二次方程，解方程求解即可．【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则第一轮传染中有x 人被传染，第二轮传染中有(1)x x +人被传染，由题意得 1(1)25x x x +++= 解得4x =或6-（舍去）所以，每轮传染中平均一个人传染了4人 故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（2022·黑龙江大庆·八年级期中）已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程216600x x -+=的一个实数根，则该三角形的面积是_____．【答案】24【分析】先利用因式分解法解方程得到x 1=6，x 2=10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：x 2-16x +60=0， （x -6）（x -10）=0， x -6=0或x -10=0， 所以x 1=6，x 2=10，当第三边长为6时，三角形为腰是6，底为8的等腰三角形，则底边上的高此时三角形的面积=182⨯⨯当第三边长为10时，∵62+82=102, ∴三角形为直角三角形， 此时三角形的面积=12×8×6=24．故答案为：24【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系，勾股定理及其逆定理． 13．（2022·北京昌平·八年级期末）2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A 组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A 组共有______支球队． 【答案】4【分析】设中国女足所在的A 组共有x 支球队，则每支球队需要比赛的场数为()1x -场，根据12×球队数×每支球队需要比赛的场数=6，列出方程，解方程即可．【详解】解：设中国女足所在的A 组共有x 支球队，根据题意得：()1162x x -=， 解得：14x =，23x =-（舍去） 故答案为：4．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程，是解题的关键． 14．（2022·浙江·诸暨市滨江初级中学八年级阶段练习）《代数学》中记载，形如x 2+8x ＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x 2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x 的方程x 2+10x +m ＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解是_________．【答案】5x =-+5x =【分析】根据阴影部分的面积+四个正方形的面积=大正方形的面积，得出2255504()(2),22x +⨯=+⨯解方程即可．【详解】解：∵阴影部分的面积为50，∴2255504()(2),22x +⨯=+⨯即75=（x +5）2，解得1255x x =-+=--∴x 的正数解为：5x =-+故答案为：5x =-+【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，借助数形结合的思想得出方程是解决本题的关键．15．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则a 与b 数量关系是______．【答案】b = 【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为(a +b )，右图是一个长方形，长、宽分别为(b +a +b )、b ，并且它们的面积相等，由此即可列出等式(a +b )2=b (b +a +b )，解方程即可求出答案．【详解】解：依题意得(a +b )2=b (b +a +b )，整理得：a 2+b 2+2ab =2b 2+ab ，则a 2-b 2+ab =0，方程两边同时除以b 2， 则210a a b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：a b =， ∵a b 不能为负，∴a b =，∴b =，故答案为：b =． 【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，是一个信息题目．解题的关键是要正确理解题目的意思，会根据题目隐含条件找到数量关系，最后利用数量关系列出方程解决问题16．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）对于实数p ，q ，我们用符号{}max ,p q 表示p ，q 两数中较大的数，例如：{}max 1,22=，若{}22max (1),y x x =-，当y ＝4则x ＝______． 【答案】-1或2##2或-1【分析】首先根据题意，进而可得max {（x ﹣1）2，x 2}＝4时分情况讨论，当x ＝0.5时，x ＞0.5时和x ＜0.5时，进而可得答案．【详解】∵max {（x ﹣1）2，x 2}＝4，()2210x x --> 解得12x <当x ＝0.5时，x 2＝（x ﹣1）2，不可能得出最小值为4，∴当x ＞0.5时，（x ﹣1）2＜x 2，则x 2＝4，解得：x 1＝-2（不合题意，舍去），x 2＝2，当x ＜0.5时，（x ﹣1）2＞x 2，则（x ﹣1）2＝4，x ﹣1＝±2，x ﹣1＝2，x ﹣1＝﹣2，解得：x 1＝-1，x 2＝3（不合题意，舍去），综上所述：x 的值为：2或﹣1．故答案为2或﹣1．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，实数的比较大小，以及分类思想的运用，关键是正确理解题意．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2022·广西崇左·八年级期中）解下列方程：(1)25210x x +-=；(2)2(y =．【答案】(1)1x =2x =(2)12y y ==【分析】（1）利用公式法解答，即可求解；（2）利用配方法解答，即可求解．（1）解：∵5a =，2b =，1c =-，∴42024∆=+=，∴x =∴1x =，2x =． （2）解：原方程可化为230y -+=，配方得，(20y =，∴12y y =【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法是解题的关键．18．（2022·北京顺义·八年级期末）已知：关于x 的方程210x kx k -+-=．(1)请判断这个方程根的情况；(2)若该方程的一个根小于1，求k 的取值范围．【答案】(1)有两个实数根(2)2k ＜【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及完全平方公式，可得原方程有两个实数根；（2）由一元二次方程的求根公式可得，22k k x ±-，分2k ≥和2k ＜两种情况进行讨论即可． （1）解：∵ ()()()222Δ41442k k k k k =---=-+=-≥0． ∴原方程有两个实数根．（2）解：∵210x kx k -+-=，其中1a =，b k =-，1c k =-，()22k =-△，∵x =∴22k k x ±-，若2k ≥，则11x k =-，21x =∵该方程的一个根小于1，∴11k -＜，即2k ＜，这与2k ≥矛盾，应舍去；若2k ＜，则11x k =-，21x =∵该方程的一个根小于1，∴11k -＜，即2k ＜，符合题意，综上，2k ＜．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和求根公式，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．19．（2022·安徽合肥·八年级期末）某水果店标价为10元/kg 的某种水果经过两次降价且两次降价的百分率都是10%，请回答下列问题：(1)该水果经过两次降价后的价格是______元/kg ；(2)从第二次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg ，设销售该水果第x 天（1≤x <10）的利润为368元，求x 的值．【答案】(1)8.1(2)9 【分析】（1）根据“水果店标价为10元/kg 的某种水果经过两次降价且两次降价的百分率都是10%”得两次降价后的价格为10×（1-10%）2=8.1元/千克．（2）利用当天销售该水果获得的利润=每斤的利润×当天的销售量-储藏和损耗费用，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出x 的值为．（1）根据题意得：10（1-10）2=8.1（元/kg ）故答案为：8.1．（2）依题意得：（8.1-4.1）（120-x ）-（3x 2-64x +409）=368，整理得：x 2-20x +99=0．解得：x 1=9，x 2=11．又∵1≤x ＜10，∴x =9．答：x 的值为9．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．（2022·广西北海·七年级期中）阅读材料：把代数式267x x --因式分解，可以分解如下：22676997x x x x --=-+--()2316x =-- ()()3434x x =-+--()()17x x =+-(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式287x x -+因式分解．(2)拓展：当代数式22230x xy y +-=时，求x y的值． 【答案】(1)(1)(7)x x --(2)1或-3【分析】（1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；（2）将方程左边因式分式后求出x 与y 的关系，求出结果即可．（1）解：287x x -+2816167x x =-+-+()249x =-- ()()4343x x =-+--()()17x x =--；（2）解：2223x xy y +-222223x xy y y y =++--()224x y y =+- ()()22x y y x y y =+++-()()3x y x y =+-，∵22230x xy y +-=，∴()()30x y x y +-=，∴0x y -=或30x y +=，∴x y =或3x y =-， ∴1x y=或33x y y y -==-． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式． 21．（2022·重庆·八年级期末）某商店今年3月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个“冰墩墩”的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购进20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”和每个“雪容融”的进价分别是多少元？(2)今年3月份第一周，商店以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个，第二周商店决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，销量比第一周增加了143m 个，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m 元，销量比第一周增加了2m 个，若该商家今年3月份第一、二周共获利13200元，求m 的值．【答案】(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元(2)15【分析】（1）设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x 元，每个“雪容融”的进价是y 元，利用总价=单价×数量，结合“冰墩墩”及“雪容融”单价间的关系，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．（1）解：设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x 元，每个“雪容融”的进价是y 元，依题意得：402030x y x y -=⎧⎨=⎩， 解得：12080x y =⎧⎨=⎩． 答：今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元．（2）依题意得：（150-120）×120+（100-80）×150+（150-120）×（120+143m ）+（100-m -80）×（150+2m ）=13200，整理得：m 2-15m =0，解得：m 1=15，m 2=0（舍去）．答：m 的值为15．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．22．（2022·河北唐山·八年级期中）如图1，90B C ∠=∠=︒，点P 从A 出发，沿A B C D ---路线运动，到D 停止；点P 的速度为每秒1cm ，运动时间为x 秒，如图1是ABP △的面积()2cm S 与x （秒）的图像．(1)______时间段内点P 在线段AB 上运动；______时间段内点P 在线段BC 上运动；(2)根据题目中提供的信息，请你推断出图1中的AB =______cm ；BC =______cm ；CD =______cm ；图2中的m =______2cm ；(3)当点P 运动______秒时，AP PD =．【答案】(1)0到2；2到5(2)2；3；1；3(3)3【分析】（1）由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点P 在线段AB 上运动，，在2到5秒的时间段点P 在线段BC 上运动，即可求解；（2）从图2看，AB ＝2cm ，BC ＝5﹣2＝3（cm ），CD ＝6﹣5＝1（cm ），当点P 和点C 重合时，△ABP 的面积S为m，即可求解；（3）当AP＝PD时，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，进而求解．（1）解：由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点P在线段AB上运动，，在2到5秒的时间段点P在线段BC上运动，故答案为：0到2；2到5；（2）解：从图2看，AB＝2cm，BC＝5﹣2＝3（cm），CD＝6﹣5＝1（cm），当点P和点C重合时，△ABP的面积S为m，即m＝S＝12×AB•BC＝12×2×3＝3（cm2），故答案为：2，3，1，3；（3）解：从图象看，当点P在BC上时，有△ADP以∠ADP为底角构成等腰三角形，此时，BP＝x﹣2，则PC＝BC﹣BP＝3﹣（x﹣2）＝5﹣x，则AP2＝AB2+BP2＝4+（x﹣2）2，DP2＝PC2+CD2＝1+（x﹣5）2，当AP＝PD时，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．23．（2022·浙江金华·八年级期中）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝4，BC 将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．①四边形ACBD______（填“是”或“不是”）等邻边四边形；②求线段DB 的长度．(2)如图2，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，将Rt △ABC 沿∠B 的平分线BB '方向平移得到A B C '''，连接AA '，BC '．若平移后的四边形ABC A ''是“等邻边四边形”，则平移的距离（即线段BB '的长）为______．【答案】(1)①是；②BD 或5或 【分析】（1）①“等邻边四边形”的定义判断即可；②根据旋转的性质和勾股定理即可得到结论；（2）根据由平移的性质易得BB ′=AA ′，A ′B ′AB ，A ′B ′=AB =4，B ′C ′=BC =3，A ′C ′=AC =5，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论．（1）解：①四边形ACBD 是等邻边四边形，理由：∵将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，∴AC =AD ，∴四边形ACBD 是等邻边四边形；故答案为：是；②如图1，过D 作DH ⊥BC 于H ，则∠DHC =∠DHB =90°，∵将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，∴AC =AD ，∠CAD =60°，∴△ACD 是等边三角形，∴CD =AC =4，∠ACD =60°，∵∠ACB =90°，∴∠DCH =30°，∴DH =12CD =2，CH∵BC∴BH∴BD（2）解：∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，∴AC=5，∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′=AA′，A′B′AB，A′B′=AB=4，B′C′=BC=3，A′C′=AC=5，（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=4；（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=5；（III）当A′C′=BC′=5时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=12∠ABC=45°，∴∠BB′D=∠ABB′=45°，∴B′D=BD，设B′D=BD=x，则C′D=x+3，BB，∵在Rt△BC′D中，BD2+C′D2=BC′2，∴x2+（x+3）2=52，解得：x（负值已舍），∴BB x（Ⅳ）当BC′=AB=4时，如图4，与（Ⅳ）方法一同理可得：BD2+C′D2=BC′2，设B′D=BD=x，则x2+（x+3）2=42，解得：x，∴BB x，综上所述，要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”应平移4或5故答案为：4或5．【点睛】本题是几何变换综合题，新定义类探究题，主要考查了平移的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．解决本题需利用新定义，逐一讨论，解题中利用平移的性质并构造直角三角形是关键．。

一元二次方程检测题802姓名 分数一、选择填空题（20*2=40分）1.解下列方程x 2-6x-7=0, 2x 2-50=0, 3(4x-1)2=(1-4x), 3x 2-5x-6=0，较简便的方法依次是（ ）A ．因式分解法、公式法、配方法、公式法B ．配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法C ．直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法D ．公式法、直接开平方法、因式分解法、配方法2.下列说法中：①方程02=++q px x 的二根为1x ，2x ，则))((212x x x x q px x --=++② )4)(2(862--=-+-x x x x .③)3)(2(6522--=+-a a b ab a ④ ))()((22y x y x y x y x -++=-⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个3.若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ）A.-1或-2B.-1或2C.1或-2D.1或24.已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三 角形的斜边是（ ） A.3 B.3 C.6 D.65.若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝ 0 （a ≠0） 的两根之比为2：3，那么a 、b 、c 间的关系应当是（ ）A.3b 2＝8acB.a c a b 2325922=C.6b 2＝25acD.不能确定 6.设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．20097.若一元二次方程的两根x 1、x 2满足下列关系：x 1x 2+x 1+x 2+2=0,x 1x 2-2x 1-2x 2+5=0. 则这个一元二次方程是（ ）A.x 2+x+3=0B.x 2-x-3=0C.x 2-x+3=0D.x 2+x-3=08.已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为9.若=•=-+y x 则y x 324,035210.()()=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a11.已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则y x y x -+的值为12.已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为13.若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为14.菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的面积为 15.若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为16.已知方程012=++mx x 与02=--m x x 有一个公共实根，则字母系数m=17.已知α，β是方程0522=-+x x 的两个实数根，则α2+β2+2α+2β的值为_______18.已知3-=+b a ，1=ab ，则=+b a 8319.已知实数m 、n 满足0142=--m m ，0142=--n n 则=+mn n m 20.若p 、q 是方程01)2(2=+-+x m x 的两个实根，则=++++)1)(1(22mq q mp p二、解答题（110）21.已知x=2是关于x 的方程2x 2+mx-4=0的一个根，求m 的值及另一个根。

《实际问题与一元二次方程》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）为把我市创建成全国文明城市，某社区积极响应市政府号召，准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花，如图中的阴影“”带，鲜花带一边宽1m，另一边宽2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长xm，可列方程为（）A．（x﹣1）（x﹣2）＝18B．x2﹣3x+16＝0C．（x+1）（x+2）＝18D．x2+3x+16＝02．（5分）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，最终以每平方米12150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是（）A．8%B．9%C．10%D．11%3．（5分）某校的羽毛球队有若干名队员，任意两名队员间进行一场友谊赛，共比赛了36场，如果全队有x名队员，那么根据题意列出的方程是（）A．x（x﹣1）＝36B．x（x+1）＝36C．＝36D．＝36 4．（5分）某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（）A．x＝B．100（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2C．（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2D．（100+40%）（100+10%）＝100（1+x）25．（5分）在元且庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有（）人．A．9B．10C．12D．15二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）给定一个边长为3的正方形，存在一个矩形，使它的周长和面积分别是这个正方形周长和面积的2倍，则这个矩形较长边的边长为．7．（5分）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是．8．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s速度移动．若P，Q分别同时从A，B出发，设运动时间为t，当四边形APQB的面积是16cm2时，则t的值为．9．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”译文：“今有正方形水池边长为1丈，有棵芦苇生长在它长出水面的部分为1尺．将芦苇的中央，向池岸牵引，恰好与水岸齐接．问水深，芦苇的长度分别是多少尺？”（备注：1丈＝10尺）如果设水深为x尺，那么芦苇长用含x的代数式可表示为尺，根据题意，可列方程为．10．（5分）某大型超市连锁集团元月份销售额为300万元，三月份达到了720万元，若二、三月份两个月平均每月增长率为x，则根据题意列出方程是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元．试问哪种方案更优惠？优惠多少元？（不考虑其他因素）12．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，点Q从点B开始沿BC边向点C移动，点Q的速度为2cm/s．点P从点B开始沿BA边向点A移动，然后再返回B点，点P的速度为3cm/s．（1）如果P、Q分别从点B同时出发，那么几秒后△PBQ的面积等于21cm2？（2）如果P、Q分别从点B同时出发，△PBQ的面积能否等于51cm2？说明理由．13．（10分）“饺子“又名“交子”或者“娇耳”，是新旧交替之意，它是重庆人民的年夜饭必吃的一道美食．今年除夕，小侨跟着妈妈一起包饺子准备年夜饭，体验浓浓的团圆气氛．已知小侨家共10人，平均每人吃10个饺子，计划用10分钟将饺子包完．（1）若妈妈每分钟包饺子的速度是小侨速度的2倍少2个，那么小侨每分钟至少要包多少个饺子？（2）小侨以（1）问中的最低速度，和妈妈同时开始包饺子，妈妈包饺子的速度在（1）问的最低速度基础上提升了a%，在包饺子的过程中小侨外出耽误了分钟，返家后，小侨与妈妈一起包完剩下的饺子，所用时间比原计划少了a%，求a的值．14．（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了40米木栏，所围成的矩形菜园的面积为150平方米，求矩形菜园的边长BC和AB．15．（10分）【知识链接】一年分为四个季度，一至三月为第一季度，四至六月为第二季度，七至九月为第三季度，十至十二月为第四季度．【百姓生活】庆庆公司2018年一至四月每月有a万元产值，由于受国际贸易市场传导影响，五月、六月产值出现下滑现象（每月仍有一定数量产值），第三季度得益于优惠政策，产值迅速反弹，创造了363万元产值新高．已知一至三季度产值的平均增长百分数与第二季度中的月产值平均降低百分数相同，按上述月产值之间增长率统计的第二季度产值比按季度产值之间增长率统计的第二季度产值少0.59a万元．【问题解决】（1）试用a代数式表示第一季度产值；（2）①求一至三季度产值的平均增长百分数；②求a的值．《实际问题与一元二次方程》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）为把我市创建成全国文明城市，某社区积极响应市政府号召，准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花，如图中的阴影“”带，鲜花带一边宽1m，另一边宽2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长xm，可列方程为（）A．（x﹣1）（x﹣2）＝18B．x2﹣3x+16＝0C．（x+1）（x+2）＝18D．x2+3x+16＝0【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式方程可列出．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）＝18，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．2．（5分）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，最终以每平方米12150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是（）A．8%B．9%C．10%D．11%【分析】本题主要考查了一元二次方程，因为求的是平均每次下调的百分率，所以设一个未知数就可以，列出方程，解出即可．【解答】解：设平均每次下调的百分率为x则：1500•（1﹣x）•（1﹣x）＝12150∴（1﹣x）2＝0.81∴1﹣x＝0.9或1﹣x＝﹣0.9解得：x＝0.1或x＝1.9∵x＜1∴x＝1.9（舍）∴x＝0.1答：平均每次下调的百分率为10%．故选：C．【点评】本题关键是列一元二次方程，以及解一元二次方程，本题采用的是开平方法解一元二次方程．3．（5分）某校的羽毛球队有若干名队员，任意两名队员间进行一场友谊赛，共比赛了36场，如果全队有x名队员，那么根据题意列出的方程是（）A．x（x﹣1）＝36B．x（x+1）＝36C．＝36D．＝36【分析】两名队员间进行一场比赛，x名同学比赛总场数＝x（x﹣1），即可列方程求解．【解答】解：设有x名同学，每个队员都要赛（x﹣1）场，但两人之间只有一场比赛，故x（x﹣1）＝36．故选：C．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛人数之间的关系为：比赛场数＝人数×（人数﹣1）÷2，进而得出方程是解题关键．4．（5分）某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（）A．x＝B．100（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2C．（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2D．（100+40%）（100+10%）＝100（1+x）2【分析】设平均每次增长的百分数为x，根据“某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x”，得到商品现在关于x的价格，整理后即可得到答案．【解答】解：设平均每次增长的百分数为x，∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，∴商品现在的价格为：100（1+40%）（1+10%），∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x，∴商品现在的价格为：100（1+x）2，∴100（1+40%）（1+10%）＝100（1+x）2，整理得：（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程和有理数的混合运算，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．5．（5分）在元且庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有（）人．A．9B．10C．12D．15【分析】每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数﹣1）＝90，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设参加此次活动的人数有x人，由题意得：x（x﹣1）＝90，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．即参加此次活动的人数是10人．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）给定一个边长为3的正方形，存在一个矩形，使它的周长和面积分别是这个正方形周长和面积的2倍，则这个矩形较长边的边长为6+3．【分析】设矩形较长边的边长为x（x＞6），则较短边的边长为（3×4﹣x），由矩形的面积公式结合矩形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答】解：设矩形较长边的边长为x（x＞6），则较短边的边长为（3×4﹣x），由题意得：x（3×4﹣x）＝2×3×3，整理得：x2﹣12x+18＝0，解得：x1＝6+3，x2＝6﹣3（不合题意，舍去）．故答案为：6+3．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（5分）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是100（1+x）2＝144．【分析】设二，三月份每月平均增长率为x，根据一月份生产机器100台，三月份生产机器144台，可列出方程．【解答】解：设二，三月份每月平均增长率为x，100（1+x）2＝144．故答案为：100（1+x）2＝144．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程．8．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s速度移动．若P，Q分别同时从A，B出发，设运动时间为t，当四边形APQB的面积是16cm2时，则t的值为2．【分析】利用勾股定理可求出BC的长，当运动时间为t秒时，AP＝2tcm，PC＝（8﹣2t）cm，BQ＝tcm，CQ＝（6﹣t）cm，利用三角形的面积公式结合四边形APQB的面积是16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，∴BC＝＝6cm．当运动时间为t秒时，AP＝2tcm，PC＝（8﹣2t）cm，BQ＝tcm，CQ＝（6﹣t）cm，根据题意得：×6×8﹣（8﹣2t）（6﹣t）＝16，整理得：t2﹣10t+16＝0，解得：t1＝2，t2＝8．∵8﹣2t≥0，∴t≤4，∴t＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”译文：“今有正方形水池边长为1丈，有棵芦苇生长在它长出水面的部分为1尺．将芦苇的中央，向池岸牵引，恰好与水岸齐接．问水深，芦苇的长度分别是多少尺？”（备注：1丈＝10尺）如果设水深为x尺，那么芦苇长用含x的代数式可表示为（x+1）尺，根据题意，可列方程为（x+1）2＝x2+52．【分析】直接根据题意表示出各线段长，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：设水深为x尺，那么芦苇长用含x的代数式可表示为：（x+1）尺，根据题意，可列方程为：（x+1）2＝x2+52．故答案为：（x+1）；（x+1）2＝x2+52．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确应用勾股定理是解题关键．10．（5分）某大型超市连锁集团元月份销售额为300万元，三月份达到了720万元，若二、三月份两个月平均每月增长率为x，则根据题意列出方程是300（1+x）2＝720．【分析】为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果二，三月份平均每月的增长率为x，根据“元月份销售额为300万元，三月份达到720万元”，根据题意可得出300（1+x）2＝720．【解答】解：设二，三月份平均每月的增长率为x，已知“元月份销售额为300万元，三月份达到720万元”，根据题意可得出：300（1+x）2＝720．故答案为：300（1+x）2＝720．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2＝c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元．试问哪种方案更优惠？优惠多少元？（不考虑其他因素）【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据“我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售”，列出关于x的一元二次方程，解之即可，（2）根据“某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元”分别计算方案①和方案②优惠的价格，比较后即可得到答案．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意得：15000（1﹣x）2＝12150，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），答：平均每次下调的百分率为10%，（2）方案①购房优惠：12150×100×（1﹣0.98）＝24300，方案②可优惠：250×100＝25000，25000﹣24300＝700，答：选择方案②更优惠，优惠700元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键：①正确找出等量关系，列出一元二次方程，②正确根据优惠政策列式计算．12．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，点Q从点B开始沿BC边向点C移动，点Q的速度为2cm/s．点P从点B开始沿BA边向点A移动，然后再返回B点，点P的速度为3cm/s．（1）如果P、Q分别从点B同时出发，那么几秒后△PBQ的面积等于21cm2？（2）如果P、Q分别从点B同时出发，△PBQ的面积能否等于51cm2？说明理由．【分析】（1）根据直角三角形的面积公式和路程＝速度×时间进行求解即可．（2）根据（1）中的解题思路列出方程，结合根的判别式进行解答．【解答】解：由已知得，12÷3＝4，16÷2＝8∴点P从点B移动到点A需要4秒，然后再返回到B点，仍需要4秒；点Q从点B移动到点C，需要8秒．设时间为t，则△PBQ的面积S△PBQ与时间t的关系如下：当0﹣4秒时，当4﹣8秒时，（1）如果面积为21cm2当0﹣4秒时，3t2＝21，，所以，．当4﹣8秒时，﹣3t2+24t＝21，所以t＝7，t＝1（舍去）．∴如果P、Q分别从点B同时出发，那么秒和7秒后△PBQ的面积都等于21cm2．（2）如果面积为51cm2当0﹣4秒时，3t2＝51，，所以，．当4﹣8秒时，﹣3t2+24t＝51，整理，得t2﹣8t+17＝0，由b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×17＝﹣4＜0，可知这个方程无解；∴如果P、Q分别从点B同时出发，△PBQ的面积不能等于51cm2．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．13．（10分）“饺子“又名“交子”或者“娇耳”，是新旧交替之意，它是重庆人民的年夜饭必吃的一道美食．今年除夕，小侨跟着妈妈一起包饺子准备年夜饭，体验浓浓的团圆气氛．已知小侨家共10人，平均每人吃10个饺子，计划用10分钟将饺子包完．（1）若妈妈每分钟包饺子的速度是小侨速度的2倍少2个，那么小侨每分钟至少要包多少个饺子？（2）小侨以（1）问中的最低速度，和妈妈同时开始包饺子，妈妈包饺子的速度在（1）问的最低速度基础上提升了a%，在包饺子的过程中小侨外出耽误了分钟，返家后，小侨与妈妈一起包完剩下的饺子，所用时间比原计划少了a%，求a的值．【分析】题目明确给出了工作总量为10×10个饺子，工作时间10分钟，再设一个工作速度即能列得等量关系．（1）题干中明确给出妈妈和小侨包饺子的速度关系，设一个未知数即可表示两人的速度．问题出现“至少”说明应列不等式解题，即若小侨速度加快的话，包的饺子总量有可能大于100个．（2）明确了小侨的速度，妈妈速度提升的是一个百分数，所用是原来速度再乘以（1+a%），所用时间减少的也是一个百分数，应是10×（1﹣a%）．小侨速度×时间+妈妈速度×时间＝100个．计算时先把含a%的式子化简，能帮助准确计算．【解答】解：（1）设小侨每分钟包x个饺子，则妈妈每分钟包（2x﹣2）个饺子，得：10x+10（2x﹣2）≥10×10解得：x≥4（2）依题意得：小侨每分钟包4个饺子，妈妈每分钟包饺子数量为6×（1+a%）＝6+a，包饺子总时间为10×（1﹣a%）＝10﹣a，列得方程：（6+a）（10﹣a）+4（10﹣a﹣a）＝100解得：a1＝0（舍去），a2＝40答：（1）小侨每分钟包至少包4个饺子；（2）a的值为40．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用和一元二次方程的应用，解题关键是（1）找准是等量关系还是不等量关系；（2）提升或减少的是一个百分数，带a%式子的准确计算．14．（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了40米木栏，所围成的矩形菜园的面积为150平方米，求矩形菜园的边长BC和AB．【分析】设AB＝x米，则BC＝（40﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形菜园的面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入40﹣2x中可求出BC的长，取其小于20的值即可．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（40﹣2x）米，依题意，得：x（40﹣2x）＝150，整理，得：x2﹣20x+75＝0，解得：x1＝5，x2＝15．当x＝5时，40﹣2x＝30＞20，不合题意，舍去；当x＝15时，40﹣2x＝10．答：矩形菜园的边长BC为10米，AB为15．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．（10分）【知识链接】一年分为四个季度，一至三月为第一季度，四至六月为第二季度，七至九月为第三季度，十至十二月为第四季度．【百姓生活】庆庆公司2018年一至四月每月有a万元产值，由于受国际贸易市场传导影响，五月、六月产值出现下滑现象（每月仍有一定数量产值），第三季度得益于优惠政策，产值迅速反弹，创造了363万元产值新高．已知一至三季度产值的平均增长百分数与第二季度中的月产值平均降低百分数相同，按上述月产值之间增长率统计的第二季度产值比按季度产值之间增长率统计的第二季度产值少0.59a万元．【问题解决】（1）试用a代数式表示第一季度产值；（2）①求一至三季度产值的平均增长百分数；②求a的值．【分析】（1）将一至三月的产值相加即可得出结论；（2）①设一至三季度产值的平均增长率为x，由按月产值计算出的第二季度产值比按季度产值计算出的第二季度产值少0.59a万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；②根据第一、三季度的产值及一至三季度产值的平均增长率，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．【解答】解：（1）第一季度的产值为3a万元．（2）①设一至三季度产值的平均增长率为x，依题意，得：3a（1+x）﹣0.59a＝a+a（1﹣x）+a（1﹣x）2，整理，得：x2﹣6x+0.59＝0，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝5.9（不合题意，舍去）．答：一至三季度产值的平均增长率为10%．②依题意，得：3a（1+10%）2＝363，解得：a＝100．答：a的值为100．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）用含a的代数式表示出第一季度的产值；（2）①找准等量关系，正确列出一元二次方程；②找准等量关系，正确列出一元一次方程．。

专题09 一元二次方程及其应用（33题）一、单选题1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．()221x −=− B ．()220x −= C ．()221x −= D ．()222x −=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A 、()2210x −=−<，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B 、()220x −=，解得：122x x ==，故本选项符合题意； C 、()221x −=，21x −=±，解得123,1x x ==，故本选项不符合题意；D 、()222x −=，2x −，解得1222x x 故选：B ．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−．则原来的方程是( ) A ．2650x x ++= B ．27100x x −+= C ．2520x x −+= D ．26100x x −−=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中127x x +=，1210x x =，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1； ∴12617x x +=+=，又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2−和5−． ∴1210x x =A. 2650x x ++=中，126x x +=−，125x x =，故该选项不符合题意；B. 27100x x −+=中，127x x +=，1210x x =，故该选项符合题意；C. 2520x x −+=中，125x x +=，122x x =，故该选项不符合题意；D. 26100x x −−=中，126x x +=，1210x x =−，故该选项不符合题意； 故选：B ．3．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （ ）A ．1B 1−C 1+D ．11【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程221a a +=，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：221a a +=，解得：1a =1a = 故选：C ．4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．4m ≤ B ．4m ≥ C ．4m ≥−且2m ≠ D ．4m ≤且2m ≠【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−的意义得到20m −≠且0∆≥，即244(2)20m −×−×≥，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有实数根， 20m ∴−≠且0∆≥，即244(2)20m −×−×≥， 解得：4m ≤，m ∴的取值范围是4m ≤且2m ≠． 故选：D ．5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A ．20%B ．22%C ．25%D ．28%【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为x ，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．【详解】解：设每次降价的百分率为x ，由题意，得：()248127x −=， 解得：121725%,44x x ===（舍去）； 故选C ．6．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++−=的一个根是0x =，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2− C ．2或2−D ．12【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．由一元二次方程的定义，可知20a +≠；一根是0，代入()22240a x x a +++−=可得240a −=，即可求答案．【详解】解：()22240a x x a +++−=是关于x 的一元二次方程， 20a ∴+≠，即2a ≠−①由一个根0x =，代入()22240a x x a +++−=， 可得240a −=，解之得2a =±；② 由①②得2a =； 故选A7．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．()67012780x ×+=B ．()26701780x ×+= C ．()26701780x ×+=D ．()6701780x ×+=【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设该村水稻亩产量年平均增长率为x ，根据题意列出方程即可．【详解】解：根据题意得：()26701780x ×+=．8．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c −+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（ ） A ．16− B ．4− C ．4 D ．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式()22Δ44410b ac c =−=−−××=即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程240x x c −+=有两个相等的实数根，1,4,a b c c ==−=， ∴()22Δ44410b ac c =−=−−××=， ∴416c =， 解得4c =． 故选C ．9．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A ．260x x −= B ．290x -= C ．2660x x −+= D ．2690x x −+=【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=−>时，方程有两个不相等实数根；当240b ac ∆=−=时，方程的两个相等的实数根；当24<0b ac ∆=−时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A ．()2Δ6410360=−−××=> ，该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意；B ．()2Δ0419360=−××−=> ，该方程有两个不相等实数根，故B 选项不符合题意；C ．()2Δ6416120=−−××=> ，该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意； D ．()2Δ64190=−−××= ，该方程有两个相等实数根，故D 选项不符合题意； 故选：D ．10．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <且1m ≠−B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠−D ．0m <【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx ca ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．由关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=两个不相等的实数根，可得0∆>且10m +≠，解此不等式组即可求得答案．【详解】解： 关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +−+=有两个不相等的实数根， ∴()()22410m ∆=−−+>， 解得：0m <，10m +≠ ， 1m ∴≠−，m ∴的取值范围是：0m <且1m ≠−． 故选：A ．11．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（ ）A ．()0.6410.69x +=B ．()20.6410.69x += C ．()0.64120.69x +=D ．()20.64120.69x +=【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x ，根据2023年底森林覆盖率=2021年底森林覆盖率()21x ×+，据此即可列方程求解．【详解】解：根据题意，得()264%169%x += 即()20.6410.69x +=， 故选：B ．12．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x −=的解是（ ）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =−D ．12x =−，21x =−【答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ 220x x −=，∴()20x x −=，∴0x =或20x −=， ∴12x =，20x =， 故选∶B ．13．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（ ）A ．23−B ．23C ．6−D ．6【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系：若方程的两实数根为12,x x ，则1212,b x x x x a+=−⋅ca =．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系得到121222,1x x x x p +=−=−⋅=，然后通分，11x +1221212x x x x x p+−==，从而得到关于p 的方程，解方程即可． 【详解】解：121222,1x x x x p +=−=−⋅= ， 121212112x x x x x x p+−∴+==， 而12113x x +=， 23p−∴=， 23p ∴=−，故选：A ．14．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（ ）A ．()280160x −=B ．()280160x −=C ．()80160x −=D ．()801260x −=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为x ，利用现在生产1千克甲种药品的成本=两年前生产1千克甲种药品的成本年×（1−平均下降率）2，即可得出关于的一元二次方程．【详解】解： 甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意可得()280160x −=， 故选：B ．二、填空题15．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m −+=有两个相等的实数根，则m 的值为 ． 【答案】14/0.25【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ0=时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出2242440b ac m ∆=−=−××=，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x 的方程2420x x m −+=有两个相等的实数根， ∴2242444160b ac m m ∆=−=−××=−=， 解得：14m =． 故答案为：14．16．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程230x x m −+=的一个根为1，则m = ． 【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将1x =代入原方程，列出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】解： 关于x 的一元二次方程230x x m −+=的一个根为1，1x ∴=满足一元二次方程230x x m −+=， 130m ∴−+=，解得，2m =． 故答案为：2．17．（2024·江苏连云港·中考真题）关于x 的一元二次方程20x x c −+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ． 【答案】14/0.25【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得2Δ14c 0=−=，进行计算即可得．【详解】解：若关于x 的一元二次方程20x x c −+=有两个相等的实数根，2140c ∆=−=，14c ∴=，故答案为：14．18．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x −=−+−=，，则x 的值为 ． 【答案】3【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将2y x =代入22330x y x −+−=，转化为解一元二次方程，20y x =≥，要进行舍解． 【详解】解：∵20y x −=， ∴2y x =，将2y x =代入22330x y x −+−=得，2330x x x −+−=， 即：2230x x −−=，()()310x x −+=， ∴3x =或=1x −， ∵20y x =≥， ∴=1x −舍， ∴3x =， 故答案为：3．19．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k −+=有两个相等的实数根，则k 的值为 ． 【答案】2【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=−>；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=−=；没有实数根，则24<0b ac ∆=−．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=−=−−××=， 解得：2k = 故答案为：220．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c −+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ． 【答案】12/0.5【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的根的判别式为24b ac ∆=−，且当0∆>时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，该方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：()21Δ1402c =−−×=，再求解即可．【详解】解∶∵方程2102x x c −+=有两个相等的实数根， ∴()21Δ1402c =−−×=，∴12c =， 故答案为：12．21．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． 【答案】10%【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x ，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均增长率为x ，由题意得：()240148.4x +=，解得：10.110%x ==，2 2.1x =−（不符合题意，舍去）； 故答案为：10%．22．（2024·四川南充·中考真题）已知m 是方程2410x x −=+的一个根，则(5)(1)m m +−的值为 ． 【答案】4−【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m 是方程2410x x −=+的一个根，可得出241m m +=，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m 是方程2410x x −=+的一个根， ∴241m m +=(5)(1)m m +−255m m m −+− 245m m =+−15=−4=−，故答案为：4−．23．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：()()200a b a a b a b a −≤ ⊗= −+> 例如：224(2)40−⊗=−−=，23231⊗=−+=．若314x ⊗=−，则x 的值为 ． 【答案】12−或74【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．【详解】解：∵()()200a b a a b a b a −≤ ⊗=−+>， 而314x ⊗=−， ∴①当0x ≤时，则有2314x −=−， 解得，12x =−；②当0x >时，314x −+=−， 解得，74x =综上所述，x 的值是12−或74，故答案为：12−或74．24．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根，则()22m n +−的值为 ． 【答案】7【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出2520n n −+=，5b m n a+=−=，从而得到252n n =−，再将原式利用完全平方公式展开，利用252n n =−替换2n 项，整理后得到m n 2++，再将5m n +=代入即可． 【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程2520x x −+=的两个实数根， ∴2520n n −+=，5bm n a+=−=， 则252n n =−∴()22m n +− 244m n n =+−+5244m n n =+−−+ 2m n =++ 52=+7=故答案为：725．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程22410x x −−=的两根为m ，n ，则2234m m n −+的值为 ． 【答案】6【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,bc x x x x a a+=−=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得122m n mn +==−，，2241m m −=，再把2234m m n −+变形为22224m m m n −++，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程22410x x −−=的两个根为m ，n ，∴122m n mn +==−，，2241m m −=∴2234m m n −+22224m m m n −++= 221m n =++2()21m n mn =+−+2122()12=−×−+6=故答案为：6．26．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程220x x +−=的两根分别为1x ，2x ，则1211+x x 的值为 ． 【答案】12/0.5【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的两根分别为1x ，2x ，则12bx x a +=−，12c x x a=，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．先根据根与系数的关系得到121x x +=−，122x x =−，然后把1211+x x 化简为1212x x x x +然后整体代入即可． 【详解】解： 方程220x x +−=的两根分别为1x ，2x ， 121x x ∴+=−，122x x =−，121212111122x x x x x x +−∴+===−． 故答案为：12．27．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x −−=的两个实数根，则()212123x x x x −+的值是 ． 【答案】14【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为1x ，2x ，则12b x x a +=−，12cx x a=．先根据根与系数的关系得到123x x +=，125x x =−，再根据完全平方公式的变形()22212112229x x x x x x +=++=，求出()21229x x −=，由此即可得到答案． 【详解】解： 1x ，2x 是一元二次方程2350x x −−=的两个实数根，123x x ∴+=，125x x =−，()22212112229x x x x x x ∴+=++=，∴()2221211221229492029x x x x x x x x −=−+=−=+=， ∴()()212123293514x x x x −+=+×−=．故答案为：14．三、解答题28．（2024·上海·中考真题）解方程组：2234026x xy y x y −−= += ①②．【答案】4x =，1y =或者6x =−，6y =．【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．【详解】解：2234026x xy y x y −−= += ①②，由②得：62x y =−代入①中得：()()226236240y y y y −−−−=，()2223624418640y y y yy −+−+−=，2642360y y −+=，()26760y y −+=，()()6610y y −−=解得：1y =或6y =， 当1y =时，6214x =−×=， 当6y =时，6266x =−×=−， ∴方程组的解为4,1x y ==或者6,6x y =−=． 29．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n 行有n 个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前n 行的点数之和为______(2)体验：三角点阵中前n 行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n 排2n 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)36；120；()112n n +(2)不能(3)一共能摆放20排．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；（2）根据前n 行的点数和是500，即可得出关于n 的一元二次方程，解之即可判断；（2）先得到前n 行的点数和是()1n n +，再根据题意得出关于n 的一元二次方程，解之即可得出n 的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为()112345678188362+++++++=+×=， 前15行的点数之和为()11231415115151202+++++=+×= ， 那么，前n 行的点数之和为()()111231122nn nn n ++++=+×=+ ； 故答案为：36；120；()112n n +；（2）解：不能， 理由如下：由题意得()115002n n +=， 得210000n n +−=，()21410004001∆=−×−=，∴此方程无正整数解，所以三角点阵中前n 行的点数和不能是500； 故答案为：不能；（3）解：同理，前n 行的点数之和为()()124622112n n n n n ++++=×+×=+ ， 由题意得()1420n n +=， 得24200n n +−=，即()()21200n n +−=， 解得20n =或21n =−（舍去）， ∴一共能摆放20排．30．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px −+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________； (2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值． 【答案】(1)p ，1； (2)1211p x x +=，111x p x +=； (3)3p =．【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．（1）利用根和系数的关系即可求解；（2）1211+x x 变形为()21212122x x x x x x +−，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得21110x px −+=，即得1110x p x −+=，进而可得111x p x +=； （3）把方程变形为()21212221x x x x p +−=+，再把根和系数的关系代入得2221p p −=+，可得1p =−或3p =，再根据根的判别式进行判断即可求解．【详解】（1）解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ， 故答案为：p ，1；（2）解：∵12x x p +=，121=x x ， ∴12121211x x p x x x x ++==， ∵关于x 的一元二次方程210x px −+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ， ∴21110x px −+=， ∴1110x p x −+=， ∴111x p x +=； （3）解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ，∵221221x x p +=+，∴()21212221x x x x p +−=+， ∴2221P p −=+， ∴2230P p −−=， 解得1p =−或3p =，∴一元二次方程210x px −+=为210x x ++=或2310x x −+=， 当1p =−时，2141130∆=−××=−<，不合题意，舍去； 当3p =时，()2Δ341150=−−××=>，符合题意； ∴3p =．31．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m −+−=有两个不等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m −−−÷⋅−+． 【答案】(1)3m > (2)2−【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于x 的方程2240x x m −+−=有两个不等的实数根． ∴()()224140m ∆=−−××−>， 解得：3m >； （2）解：∵3m >， ∴2113|3|21m m m m m −−−÷⋅−+ ()()1123311m m m m m m −+−−⋅⋅−−+ 2=−；32．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值． 【答案】(1)1k > (2)2【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根”，则0∆>，得出关于k 的不等式求解即可；（2）根据5k <，结合（1）所求k 的取值范围，得出整数k 的值有2，3，4，分别计算讨论整数k 的不同取值时，方程22210x kx k k −+−+=的两个实数根1x ，2x 是否符合都是整数，选择符合情况的整数k 的值即可．【详解】（1）解：∵1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k −+−+=的两个不相等的实数根， ∴0∆>，∴()()2222Δ24114444440k k k k k k k =−−××−+=−+−=−>，解得：1k >；（2）解：∵5k <，由（1）得1k >， ∴15k <<，∴整数k 的值有2，3，4，当2k =时，方程为2430x x −+=，解得：11x =，23x =（都是整数，此情况符合题意）； 当3k =时，方程为2670x x −+=，解得：3x =±（不是整数，此情况不符合题意）； 当4x =时，方程为28130x x −+=，解得：4x =（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，k 的值为2．33．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m −++−=． (1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +−=，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)11m =或22m =−．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据根的判别式证明0∆>恒成立即可；（2）由题意可得，122x x m +=+，121⋅=−x x m ，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：()()22Δ24118m m m =−+−××−=+ ， ∵无论m 取何值，280m +>，恒成立，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵12,x x 是方程()2210x m x m −++−=的两个实数根， ∴122x x m +=+，121⋅=−x x m ，∴()()()22221212121232319x x x x x x x x m m +−=+−=+−−=，解得：11m =或22m =−．。

中考数学(一元二次方程组提高练习题)压轴题训练附答案一、一元二次方程1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．2．解方程：x2－2x＝2x＋1.【答案】x1＝2，x2＝2【解析】试题分析：根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式x=求解即可.试题解析：方程化为x2－4x－1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝420 ＝2±5 ， ∴x 1＝2－5 ，x 2＝2＋5.3．已知：关于的方程有两个不相等实数根． （1） 用含的式子表示方程的两实数根； （2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值． 【答案】（I ）kx 2+（2k －3)x+k －3 = 0是关于x 的一元二次方程． ∴由求根公式，得． ∴或（II ），∴． 而，∴，． 由题意，有∴即（﹡） 解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】 （1）计算△=（2k-3）2-4k （k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可； （2）有（1）可知方程的两根，再有条件x 1＞x 2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：4．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．5．关于x 的方程()2204k kx k x +++=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【解析】【分析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0V >，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围.()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.【详解】解：()1依题意得2(2)404k k k =+-⋅>V ， 1k ∴>-，又0k Q ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204k kx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x k x x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=， 43k ∴=-，由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意， 因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

2020-2021九年级中考数学一元二次方程组解答题压轴题提高专题练习含详细答案一、一元二次方程1．如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm/s 的速度向C 点移动．如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2？【答案】经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2． 【解析】 【分析】作出辅助线，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，即可得出S △PQB =12×PB×QE ，有P 、Q 点的移动速度，设时间为t 秒时，可以得出PB 、QE 关于t 的表达式，代入面积公式，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，则∠QEB ＝90°． ∵∠ABC ＝30°， ∴2QE ＝QB ． ∴S △PQB ＝12•PB•QE ． 设经过t 秒后△PBQ 的面积等于4cm 2， 则PB ＝6﹣t ，QB ＝2t ，QE ＝t ．根据题意，12•（6﹣t ）•t ＝4． t 2﹣6t+8＝0． t 2＝2，t 2＝4．当t ＝4时，2t ＝8，8＞7，不合题意舍去，取t ＝2． 答：经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．2．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍.②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)，综上所述，n=0.3．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根．()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥V ，解之可得．()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：()1Q 关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根，0∴≥V ，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，221223x x +=Q ，224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤Q ， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0V >，方程有两个不相等的实数根；当0=V ，方程有两个相等的实数根；当0<V ，方程没有实数根.以及根与系数的关系．4．计算题（1）先化简，再求值：21x x -÷（1+211x -），其中x=2017．（2）已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，求m 的值． 【答案】（1）2018；（2）m=4 【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21x x -÷（1+211x -）=2221111x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x +-⋅- =x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0， 解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.5．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（）【答案】124x x 23==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（） 解得124x x 23==-，6．解下列方程： (1)2x 2－4x －1＝0(配方法)； (2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋2x 2＝1－21＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32.∴(x －1)2＝32.∴x －1＝±2.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2. (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0. ∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0. ∴x 1＝－1，x 2＝5.7．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元. （1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.【解析】 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩ 解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-= 解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意 答：x 的值为2或7. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.8．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A ，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍． （1）求A 社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A ，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有1.2万人知晓，B 社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A 社区的知晓人数平均月增长率为m %，B 社区的知晓人数第一个月增长了45m %，第二月在第一个月的基础上又增长了2m %，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m 的值．【答案】（1）A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）m 的值为50． 【解析】 【分析】（1）设A 社区居民人口有x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m 的方程并解答． 【详解】解：（1）设A 社区居民人口有x 万人，则B 社区有（7.5-x ）万人， 依题意得：7.5-x ≤2x ， 解得x ≥2.5．即A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m %）2+1.5×（1+45m %）+1.5×（1+45m %）（1+2m %）=7.5×92%， 解得m =50 答：m 的值为50． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．9．如图，在Rt ABC V 中，90B =o ∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析 【解析】 【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况. 【详解】解：∵90B ∠=o ，10AC =，6BC =， ∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=， ∵1632160=-=-<V ，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.10．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究）探究一：（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=232⨯=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6． （3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______． 探究二：（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2=232⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+．（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． （6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．探究三：（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++．（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．（结论）如图①，在a×b×c 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论． 【答案】探究一：（3）()a a 12+ ；探究二：（5）3a （a+1）；（6）()()ab a 1b 14++ ；探究三：（8）()()3ab a 1b 12++ ；【结论】：①()()()abc a 1b 1c 18+++ ；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析. 【解析】 【分析】（3）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； （5）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； （6）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； （8）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； (结论)根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：探究一、（3）棱AB上共有()a a12+线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×1×1=()a a12+，故答案为() a a12+；探究二：（5）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×6×1=3a（a+1），故答案为3a（a+1）；（6）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有()b b12+条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×()b b12+×1=()()ab a1b14++，故答案为()() ab a1b14++；探究三：（8）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有()b b12+条线段，棱AD上有6条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×()b b12+×6=()()3ab a1b12++，故答案为()() 3ab a1b12++；(结论)棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有()b b12+条线段，棱AD上有()c c12+条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×()b b12+×()c c12+=()()()abc a1b1c18+++，故答案为()()() abc a1b1c18+++；(应用)由(结论)知，()()() abc a1b1c18+++，∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ，由题意得33(1)8x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64． 【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．11．阅读下面的例题， 范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0． 【答案】x 1=4，x 2=﹣5． 【解析】 【分析】分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可． 【详解】当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5， 故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．12．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ．40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5，∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．13．关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m 2=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x 1，x 2，且|x 1|=|x 2|﹣2，求m 的值及方程的根．【答案】（1）证明见解析；（2）x 1=﹣，x 2=﹣1或【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b 2﹣4ac 的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a，表示出两根的关系，得到x 1，x 2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣35）2+365，∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1•x2=ca=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣x2=﹣1，若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1，x214．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元．（1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元？（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调a%出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了a%，且储备排骨的销量占总销量的57，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了128a%，求a 的值．【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a=35.【解析】【分析】（1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x元，则每千克的利润为10-x元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，11月的进货价为： 340602?元/千克设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克 则(10020)(10)1000x x +-=，解得10x =，25x =因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元.（2）根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭g g g g g g 解得135a =,20a =(舍去)所以a =35.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.15．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。

一元二次方程培优专题复习只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A 、()()12132+=+x x B 、02112=-+x xC 、02=++c bx ax D 、1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx xm m是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值： ；⑵写出关于x 的一元一次方程： 。

★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。

★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm ，较长的这段就为（40﹣x ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm 2建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为mcm ，较长的这段就为（40﹣m ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm 2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．试题解析：设其中一段的长度为cm ，两个正方形面积之和为cm 2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm 和28cm的两段；（2）两正方形面积之和为48时，，，∵， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm 2，李明的说法正确．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．2．解下列方程： （1）x 2﹣3x=1． （2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)1231331322x x ==;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可； （2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0 ∴．∴12313313,22x x +-==．（2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--3．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点. （1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点， ∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根． ∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0． 解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0． 则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1， ∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去）， ∴k=﹣14．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（）【答案】124x x 23==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（） 解得124x x 23==-，5．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 【答案】x=15或x=1 【解析】 【分析】设321xy x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】解：设321xy x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3,∴3121x x =--或3321xx =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．6．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=21m+,2t=m,最终解出关于t和m的方程组即可.【详解】(1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4，∵无论m为何值时m2≥0，∴m2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程的另一个根为t，()220x m x m-++=根据题意得2+t=21m+,2t=m，解得t=0，所以m=0，即m的值为0，方程的另一个根为0.【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t，用根于系数关系列出方程组，在求解.7．（问题）如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？（探究）探究一：（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2=232⨯=3条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3．（2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6．（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______． 探究二：（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2=232⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+．（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． （6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．探究三：（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++．（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．（结论）如图①，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．（应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．（拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．【答案】探究一：（3）()a a12+；探究二：（5）3a（a+1）；（6）()()ab a1b14++；探究三：（8）()()3ab a1b12++；【结论】：①()()()abc a1b1c18+++；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：探究一、（3）棱AB上共有()a a12+线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×1×1=()a a12+，故答案为() a a12+；探究二：（5）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×6×1=3a （a+1），故答案为3a （a+1）； （6）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×1=()()ab a 1b 14++，故答案为()()ab a 1b 14++；探究三：（8）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有6条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×6=()()3ab a 1b 12++，故答案为()()3ab a 1b 12++；(结论)棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有()c c 12+条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×()b b 12+×()c c 12+=()()()abc a 1b 1c 18+++，故答案为()()()abc a 1b 1c 18+++；(应用)由(结论)知，()()()abc a 1b 1c 18+++，∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ，由题意得33(1)8x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64．【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．8．设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，（1）若x 12+x 22=6，求m 值；（2）令T=121211mx mx x x +--，求T 的取值范围． 【答案】（1）m=5172-；（2）0＜T≤4且T≠2． 【解析】 【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m ＜1，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）把x 12+x 22=6化为（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，代入解方程求得m 的值，根据﹣1≤m ＜1对方程的解进行取舍；（2）把T 化简为2﹣2m ，结合﹣1≤m ＜1且m≠0即可求T 得取值范围. 【详解】∵方程由两个不相等的实数根， 所以△=[2（m ﹣2）]2﹣4（m 2﹣3m+3） =﹣4m+4＞0，所以m ＜1，又∵m 是不小于﹣1的实数， ∴﹣1≤m ＜1∴x 1+x 2=﹣2（m ﹣2）=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3； （1）∵x 12+x 22=6， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，即（4﹣2m ）2﹣2（m 2﹣3m+3）=6 整理，得m 2﹣5m+2=0 解得m=；∵﹣1≤m ＜1 所以m=． （2）T=+=====2﹣2m．∵﹣1≤m＜1且m≠0所以0＜2﹣2m≤4且m≠0即0＜T≤4且T≠2．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．9．关于x的一元二次方程．（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）-1.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根. (2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗的最小值.【详解】(1)证明：依题意，得．，∴．∴方程总有两个实数根．由．可化为：得，∵方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴的最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.10．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值. 【答案】（1）详见解析；（2）p=±1. 【解析】 【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把2212123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0， x 2﹣5x+6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2， ∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0， ∴1+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，∵2212123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2， ∴52=5（6﹣p 2）， ∴p=±1．考点：根的判别式；根与系数的关系．。