分段函数求导问题的多种解法

关于分段函数导数的计算
郭跃华
【期刊名称】《南通大学学报：教育科学版》
【年(卷),期】1995(000)0Z1
【摘要】在高等数学中计算分段函数导数时,求分段点的导数,一般都是用导数定义去计算。

本文给出一种计算分段函数在分段点的导数的切实可行的方法。

先利用Lagrange中值定理给出下列定理。

定理一:设函数f（x）在区间
[x₀,x₀+H]（H>0）内是连续的,并且当
x>x₀时,f′（x）存在
【总页数】2页(P28-29)
【作者】郭跃华
【作者单位】南通纺织工学院基础部
【正文语种】中文
【中图分类】O174
【相关文献】
1.分段函数导数的计算 [J], 张永明
2.分段函数各段导数与分段点处导数的关系 [J], 吴春秀
3.浅谈分段函数在分段点处导数的计算 [J], 陈文静; 谭艳祥; 彭家睿
4.分段函数在分界点处导数的计算方法解析 [J], 展丙军; 展铭望; 隋殿杰
5.摭谈分段函数在分段点的导数 [J], 张守江
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求分段函数的导数例 求函数的导数2．；3．；4．说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果．求函数的导数例 求下列函数的导数．1．；2．；3．；4．{ EMBED Equation.3 |21x x y +=。

分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数． 解：1．解法一：设，则解法二：2．解法一：设，则解法二：3．解法一：设，则解法二：4．解法一：设，则解法二：说明：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算．学生易犯错误是混淆变量或忘记中间变量对自变量求导．求复合函数的导数例 求下列函数的导数（其中是可导函数）1．；2．1．；2．分析：对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上把握其结构特征，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。

先设出中间变量，再根据复合函数的导数运算法则进行求导运算。

一般地，假设中间变量以直接可对所设变量求导，不需要再次假设，如果所设中间变量可直接求导，就不必再选中间变量。

解：1．解法一：设，则解法二：2．解法一：设，则解法二：说明：理解概念应准确全面，对抽象函数的概念认识不足，显示了一种思维上的惰性，导致判断复合关系不准确，没有起到假设中间变量的作用。

其次应重视与的区别，前者是对中间变量的求导，后者表示对自变量x的求导．。

确定分段函数导数的方法卢刚夫【摘要】对于分段函数的求导,关键是确定分段点处的导数,通常的方法是先计算左、右导数,再根据导数与左、右导数的关系进行判定,较为繁琐.根据拉格朗日中值定理,给出利用左、右极限计算导数的方法,可以较方便地求出分段函数的导数.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2017(037)008【总页数】3页(P86-87,99)【关键词】分段函数;导数;左极限;右极限【作者】卢刚夫【作者单位】山东理工大学数学与统计学院,山东淄博255049【正文语种】中文【中图分类】O172.1;G642.0求分段函数的导数关键是确定该函数在分段点处的导数．通常的方法是根据导数定义计算左、右导数：，，若，则；若，则不存在，计算比较繁琐[1-2]．如何能方便地计算出分段函数分段点处的导数，部分文献对此进行了一定的探究，给出了依不同情形利用不同定理进行计算的方法[3-7]．这在某些情况下对计算进行了简化，但由于需要分多种情形进行讨论，不便于掌握．本文根据拉格朗日中值定理，给出了利用左、右极限计算分段函数导数的方法，方法单一简便，不仅简化了计算，也方便实际运用．定理1 设在点处连续的函数在该点的某去心邻域内可导，若存在，则存在，且；同样，若存在，则．证明设在（）内存在，任取，则函数在区间上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在一点，使得．令，此时也有，于是．同理可证，若存在，则．证毕．定理１给出了一种确定分段函数分段点导数的方法．为说明此方法，设有，其中：分别在上连续，内可导，求．先判定点处的连续性，若不连续，由可导与连续的关系可知，不存在；若连续，则例1 设，求．解当时，，在处，满足定理1条件，又，于是，所以．例2 设，求．解在=处连续，又，，于是．同理可知，．例3 设，函数，判断是否存在．解在点处连续，由于，，因此0）不存在．例4 设，求解不存在，但由例４可以看出，在使用定理１时，如若或有一个不存在，就不能用定理计算，，而要用导数定义去计算，．定理2 设在区间内可导，则在内没有第一类间断点，即对任意，或为的连续点或为的第二类间断点．证明反证法．假设是的第一类间断点，则，都存在．由定理1可知，此时=及=都存在，又因为存在，于是有=，从而是的连续点，与假设矛盾．故不是的第一类间断点，所以或为的连续点或为第二类间断点．证毕．例4中，，而，显然是的第二类间断点．[1] 同济大学数学系．高等数学（上册）[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014：79-80[2] 同济大学数学系．高等数学附册——学习辅导与习题选解[M]．北京：高等教育出版社，2014：52[3] 李卫平．对分段函数可导性的研究[J]．哈尔滨师范大学自然科学学报，2015，31（1）：38-41[4] 张永明．分段函数导数的计算[J]．北京印刷学院学报，1999，7（2）：34-38[5] 林洁．分段函数在分界点处导数的处理方法[J]．内蒙古林学院学报：自然科学版，1997，19（3）：100-104[6] 谭惠新．分段函数分界点处导数存在性研究[J]．安徽工学院学报，1995，14（4）：114-115[7] 沙淑波．分段函数分段点上导数问题的一点注记[J]．昌潍师专学报，2000，19（5）：86-88。

【知识要点】分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：1122()()()()n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈⎧⎪∈⎪=⎨∈⎪⎪∈⎩，不要写成1122()()()()n n ny f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈⎧⎪=∈⎪=⎨∈⎪⎪=∈⎩.注意分段函数的每一段的自变量的取值范围的交集为空集，并集为函数的定义域D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】题型一 分段函数的解析式问题解题方法 一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.【例1】已知函数)(x f 对实数R x ∈满足)1()1(,0)()(+=-=-+x f x f x f x f ，若当[)1,0∈x 时，21)23(),1,0()(-=≠>+=f a a b a x f x .（1）求[]1,1-∈x 时，)(x f 的解析式；（2）求方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数.（2） )()2()1()1(,0)()(x f x f x f x f x f x f =+∴+=-=-+ )(x f ∴是奇函数，且以2为周期.方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数也就是函数x y x f y 4log )(==和的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2，所以方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数为2.【点评】（1）本题的第一问，根据题意要把[1,1]-分成三个部分，即(1,0),1,(0,1)x x x ∈-=±∈,再一段一段地求. 在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等. (2)本题第2问解的个数，一般利用数形结合解答.【检测1】已知定义在R 上的函数()()22f x x =-.（Ⅰ）若不等式()()223f x t f x +-<+对一切[]0,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围； （Ⅱ）设()()g x x f x =，求函数()g x 在[]0,(0)m m >上的最大值()m ϕ的表达式．题型二 分段函数的求值解题方法先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并. 学.科.网【例2】已知函数()()22log 3,2{21,2x x x f x x ---<=-≥ ，若()21f a -= ，则()f a = （ ）A. 2-B. 0C. 2D. 9【解析】当22a -< 即0a >时， ()()211log 3211,22a a a ---=⇒+==- （舍）； 当22a -≥ 即0a ≤时， ()2222111log 42a a f a ---=⇒=-⇒=-=- ，故选A.【点评】（1）要计算(2)f a -的值，就要看自变量2a -在分段函数的哪一段，但是由于无法确定，所以要就2222a a -<-≥和分类讨论. （2）分类讨论时，注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.当0a >时 ，解得12a =-，要舍去.【例3】【2017山东，文9】设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【点评】（1）要化简()()1f a f a =+，必须要讨论a 的范围，要分1a ≥和01a <<讨论.当1a ≥时，可以解方程2(1)2(11)a a -=+-，得方程没有解.也可以直接由2(1)y x =-单调性得到()()1f a f a ≠+.【检测2】已知函数210()0xx f x xx -⎧-≤⎪=>,若0[()]1f f x =，则0x = ．题型三 分段函数解不等式解题方法先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.【例3】已知函数则的解集为（ ）A.B.C.D.【点评】（1）本题中()f x 的自变量x 不确定它在函数的哪一段，所以要分类讨论. (2)当20x -<<时，计算()f x -要注意确定x -的范围，02x <-<，所以求()f x -要代入第一段的解析式.数学思维一定要注意逻辑和严谨. (3)分类讨论时，一定要注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.【检测3】已知函数()()()22log 2,02,{2,20,x x f x f x x --+≤<=---<<则()2f x ≤的解集为__________．【检测4】【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【例4】判断函数⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f 的奇偶性 【解析】由题得函数的定义域关于原点对称.设0,x <2()f x x x =+,则0x ->，222()()()()f x x x x x x x f x -=---=--=-+=- 设0,x >2()f x x x =-+则0x -<，222()()()()f x x x x x x x f x -=--=-=--+=- 所以函数()f x 是奇函数.【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论. （2）注意，当0x <时，求()f x -要代入下面的解析式，因为0x ->,不是还代入上面一段的解析式.【检测5】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时22)(+=x xx f . （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性（不必证明）；（3） 若对任意的t R ∈，不等式0)2()3(22≤++-t t f t k f 恒成立，求k 的取值范围.【例5】若函数62()3log 2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩(01)a a >≠且的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 .【点评】（1）分段函数求最值（值域），方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.（2）本题既可以用方法一，也可以利用数形结合分析解答. （3）对于对数函数log a y x =，如果没有说明a 与1的大小关系，一般要分类讨论.【检测6】设()()2,014,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+++⎪⎩，＞若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( ) A. []2,3- B. []2,0- C. []1,3 D. []0,3【检测7】已知函数()()222log 23,1{1,1x ax a x f x x x -+≥=-<的值域为R ，则常数a 的取值范围是（ )A. ][()1123-，，B. ][()12-∞+∞，，C. ()[)1123-，，D. (,0]-∞{}[)123，题型六 分段函数单调性解题方法 方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.【例6】若()()3,1{log ,1a a x a x f x x x --<=> 是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）.A. ()1,+∞B. 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. (),3-∞D. ()1,3【点评】（1）函数是一个分段函数是增函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是增函数；条件二：左边一段的最大值必须小于等于右边一段的最小值. 函数是一个分段函数是减函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是减函数；条件二：左边一段的最小值必须大于等于右边一段的最大值. （3）一个分段函数是增函数，不能理解为只需每一段是增函数. 这是一个必要不充分条件.【检测8】已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是 （ ）A ．()1,2B ．(][),12,-∞+∞C ．[]1,2D ．()(),12,-∞+∞题型七 分段函数零点问题解题方法方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.【例7】已知函数()21,0,{log ,0,x x f x x x +≤=>则函数()()1y ff x =+的所有零点构成的集合为__________．【点评】（1）分段函数的零点问题，一般有三种方法，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. （2）本题由于函数()()1y f f x =+的图像不方便作出，所以选择解方程的方法解答. （3）在函数()()1y f f x =+中，由于没有确定x 的取值范围，所以要分类讨论.【例8】已知函数()()22,191,1x x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，若函数()()g x f x k =-仅有一个零点，则k 的取值范围是________.【解析】函数()()22,1{91,1x xf x x x x >=-≤ ，若函数()()g x f x k =- 仅有一个零点，即()f x k = ，只有一个解，在平面直角坐标系中画出， ()y f x =的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，()4,0,23k ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭ ，故答案为()4,0,23⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【点评】（1）直接画()()g x f x k =-的图像比较困难，所以可以利用方程+图像的方法. 分离参数得到()f x k =，再画图数形结合分析. 学.科.网【例9】已知函数关于的方程，有不同的实数解，则的取值范围是（ ）A. B.C. D.【解析】【点评】本题考查了类二次方程实数根的相关问题，以及数形结合思想方法的体现，这种嵌入式的方程形式也是高考考查的热点，这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后都能求实根，得到和，然后再根据导数判断函数的单调性和极值等性质，画出函数的图象，若直线和函数的交点个数得到参数的取值范围.【检测9】已知函数()()1114{(1)x x f x lnx x +≤=>，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（ ）（注： e 为自然对数的底数）A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第15讲：分段函数中常见题型解法参考答案【反馈检测1答案】（Ⅰ）11t -<<（Ⅱ）()222,011,1122,12m m m m m m m m ϕ⎧-+<≤⎪⎪=<≤+⎨⎪->+⎪⎩方法二：不等式恒成立等价于恒成立 .即等价于对一切恒成立，即恒成立，得恒成立， 当时，，，因此，实数t 的取值范围是11t -<<．【反馈检测2答案】或1【反馈检测2详细解析】当时，，则，即 ；当时，，则，即。

⼤学⾼等数学：第⼆章第五讲三种分段函数求导法,再也不担⼼了上节课我们学习了⼏类复合函数的求导法：幂指数函数求导法，反函数求导法，参数⽅程确定的函数求导法，隐函数求导法，变限积分求导法，⽽今天我们所讲的⽽是关于分段函数的求导法，为什么要把分段函数单独列⼀节给⼤家讲解呢？因为分段函数它本⾝因为定义域不同的关系，需要把各⾃定义域区间内所对应的导数求出来，从⽽进⾏分类讨论，⽽⼩编也整理了关于分段函数求导的三种我们常见的题型，可以这么说，这三种分段函数求导法的题型，包含了从⼤学⾼等数学乃⾄考研数⼀（数⼆、数三）所考察关于分段函数的所有类型。

有⼀类函数，它们在定义域的不同区间上有不同的表达式，我们常常通俗地称这类函数为分段函数.常见的有这⾥称x=xo为分解点（或连接点）.在求分段函数的导数时，先⽤求导法则及基本公式，求出各分段区间内初等函数的导数，然后对分段函数的各分界点（或连接点）⽤可导定义进⾏讨论，如果某分界点不连续，当然不可导。

因此，讨论分段函数求导法的关键点是如何求出分界点处的导数，常⽤以下三种⽅法。

（⼀）按定义求分界点处的导数或左右导数定义上写的很清楚，如果左右区间对应的导数存在且相等，记为l，则f‘（xo）=l.当然对于区间x≠0及x=0同样适⽤。

解：这个题⽬要求f（x）在点x=0处的导数，典型的按照定义求在x=0处的导数。

f'(0)=limf(x)-f(0)/x=lim(1+x)^1/x-e/x=elim1/e(1+x)^1/x-1/x=elim1/xln(1+x)-1/x=elimln(1+x)-x/x^2=elim1/(1+x)-1/2x=-e/2这⾥⾯所⽤到了等价⽆穷⼩替换（e^[xln(1+x)-1]-1---------1/xln(1+x)-1)（⼆）按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数解:因为x≥1，f(x)=π/4+(x-1)/2;lxl≤1,f(x)=arctanx;x≤-1,f(x)=-π/4+(x+1)/2。

分段函数分段点处的导数的求法作者：支天红来源：《中国科技博览》2013年第03期摘要：分段函数是指在自变量的不同取值范围内解析式不同的函数。

对于分段函数的非分段点求导就是通常的初等函数求导，因此讨论分段函数求导法的关键是如何求分段点处的导数。

一种通行的做法是用导数的定义求导数，但满足一定条件也可求导函数在分段点处的极限值，或先求出分段点两侧的导函数再把分段点代入等两种简化的方法。

关键词：分段函数分段点导数【中图分类号】O172.11.引言分段函数是指在自变量的不同取值范围内解析式不同的函数，常见的有，，这里称为分段点（也称分界点或连接点）。

对于分段函数的非分段点求导就是通常的初等函数求导，因此讨论分段函数求导法的关键是如何求分段点处的导数。

本文将对此展开讨论。

2.求分段点处导数的方法2.1一种通行的方法——按导数的定义求导数对于型分段函数函数，若极限存在，则；对于（其中为某常数，与在处无定义）型分段函数，类似地，也可按定义求，：，，若上述极限存在且相等，记为，则。

例1 设，求。

（当时，）。

2.1简化的方法方法一：求导函数在分段点处的极限值。

定理：设在的空心邻域内可导，且在处连续，若存在极限，则。

证明：按定义证明。

在与之间使用拉格朗日中值定理，得，其中在与之间，注意到时，必有，于是因此有。

例2 设，已求得（），求。

解：因为，故在连续，又，因此。

方法二按求导法则分别求分段点处的左右导数。

定理2 设，为常数，若，又，则。

证明：在的条件下，可改写成于是有，，又，则，因此存在且。

例3 设，求与。

解：因为，所以，，因此，，。

3.结束语按照简化的方法求分段点处的导数，省去了求极限的麻烦，被许多学习者甚至相当一部分讲授者广泛使用，甚至忽略了其使用的条件。

例4 设，则在处（）A．左导数存在，但右导数不存在；B．左、右导数都存在；C．左、右导数都不存在；D．左导数不存在，但右导数存在错解：因为，，所以选B。

事实上该函数在的右端根本不连续，故其右导数不可能存在。

分段函数在分段点处求导法
刘冠军
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】1990(000)0Z1
【摘要】对分段函数在分段点处的导数的求法有两种不同意见,一种意见是必须用导数定义求,否则即使答案对也不能认为是正确的;另一种意见认为在一定条件下可以不用导数
【总页数】2页(P121-122)
【作者】刘冠军
【作者单位】山东财政学院
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.一类分段函数在分段点处的可导性及连续性 [J], 杨子兰;杨惠娟;
2.关于求分段函数在分段点处导数的几种解法剖析 [J], 刘浩荣
3.求分段函数在分段点处导数的方法探析 [J], 韩滢
4.求分段函数在分段点处导数的一种有效方法 [J], 范晓兰
5.浅谈分段函数在分段点处导数的计算 [J], 陈文静; 谭艳祥; 彭家睿
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