2015届高考数学(文)第一轮复习达标课时跟踪检测：7-5 直线、平面垂直的判定及其性质含答案

第5讲直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )．A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B2．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析由面面垂直的判定定理，知m⊥β⇒α⊥β.答案 B3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是( )．A．PA＝PB＝PCB．PA⊥BC，PB⊥ACC．点P到△ABC三边所在直线的距离相等D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等解析条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件，故选B.答案 B4.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )．A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．答案 A5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )．A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β解析与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A错；对B，存在n∥α情况，故B错；对D，存在α∥β情况，故D错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C.答案 C6．如图(a)，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图(b)所示，那么，在四面体A－EFH中必有( )．A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面解析折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH，∴AH⊥面HEF.答案 A二、填空题7.如图，拿一X矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．解析折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直．答案垂直8．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．解析由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确；因为l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，所以l，m平行、相交、异面都有可能，故②错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判定定理可知③正确；因为l⊥α，l⊥m⇒m⊂α或m∥α，又m⊂β，所以α，β可能平行或相交，故④错误．答案①③9．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．解析 如图所示．∵PA ⊥PC 、PA ⊥PB ，PC ∩PB ＝P ，∴PA ⊥平面PBC .又∵BC ⊂平面PBC ，∴PA ⊥BC .同理PB ⊥AC 、PC ⊥AB .但AB 不一定垂直于BC .答案 3个10.如图，PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的正投影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________．解析 由题意知PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC .又AC ⊥BC ，PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC .∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB ，AF ⊥BC .又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF .∴PB ⊥EF .故①②③正确．答案 ①②③三、解答题11．已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是直角三角形，∠C ＝90°，点B 1在底面上射影D 落在BC 上．(1)求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；(2)若AB 1⊥BC 1，且∠B 1BC ＝60°，求证：A 1C ∥平面AB 1D .解析 (1)∵B 1D ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴B 1D ⊥AC .又∵BC ⊥AC ，B 1D ∩BC ＝D ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C .(2) ⎭⎪⎬⎪⎫AB 1⊥BC 1AC ⊥BC 1AB 1与AC 相交 ≠⇒⎭⎪⎬⎪⎫BC 1⊥平面AB 1C B 1C ⊂平面AB 1C ⇒BC 1⊥B 1C ， ∴四边形BB 1C 1C 为菱形，∵∠B 1BC ＝60°，B 1D ⊥BC 于D ，∴D 为BC 的中点．连接A 1B ，与AB 1交于点E ，在三角形A 1BC 中，DE ∥A 1C ，∴A 1C ∥平面AB 1D .12．如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DB ＝BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点．(1)求证：B 1D 1∥平面A 1BD ；(2)求证：MD ⊥AC ；(3)试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .(1)证明 由直四棱柱，得BB 1∥DD 1，又∵BB 1＝DD 1，∴BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD .而BD ⊂平面A 1BD ，B 1D 1⊄平面A 1BD ，∴B 1D 1∥平面A 1BD .(2)证明 ∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴BB 1⊥AC .又∵BD ⊥AC ，且BD ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1D .而MD ⊂平面BB 1D ，∴MD ⊥AC .(3)解 当点M 为棱BB 1的中点时，平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1，连接NN 1交DC 1于O ，连接OM ，如图所示．∵N 是DC 的中点，BD ＝BC ，∴BN ⊥DC .又∵DC 是平面ABCD 与平面DCC 1D 1的交线，而平面ABCD ⊥平面DCC 1D 1，∴BN ⊥平面DCC 1D 1.又可证得O 是NN 1的中点，∴BM ∥ON 且BM ＝ON ，即BMON 是平行四边形．∴BN ∥OM .∴OM ⊥平面CC 1D 1D .∵OM ⊂平面DMC 1，∴平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .13．如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)若N 是BC 的中点，证明：AN ∥平面CME ；(2)证明：平面BDE ⊥平面BCD .(3)求三棱锥D －BCE 的体积．(1)证明 连接MN ，则MN ∥CD ，AE ∥CD ，又MN ＝AE ＝12CD ，∴四边形ANME 为平行四边形， ∴AN ∥EM .∵AN ⊄平面CME ，EM ⊂平面CME ， ∴AN ∥平面CME .(2)证明 ∵AC ＝AB ，N 是BC 的中点，AN ⊥BC ， 又平面ABC ⊥平面BCD ，∴AN ⊥平面BCD .由(1)，知AN ∥EM ，∴EM ⊥平面BCD .又EM ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD .(3)解 V D －BCE ＝V E －BCD ＝13S △BCD ·|EM |＝13×22×42×2＝83.14．如图，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1綉BB 1，AB ＝AC ＝AA 1＝22BC ，B 1C 1綉12BC .(1)求证：A 1B 1⊥平面AA 1C ；(2)若D 是BC 的中点，求证：B 1D ∥平面A 1C 1C .(3)若BC ＝2，求几何体ABC －A 1B 1C 1的体积．(1)证明 ∵AB ＝AC ＝22BC ，AB 2＋AC 2＝BC 2，∴AB ⊥AC ，又AA 1⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥AB ，AA 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面AA 1C ，又∵AA 1綉BB 1，∴四边形ABB 1A 1为平行四边形． ∴A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)证明 ∵B 1C 1綉12BC ，且D 是BC 的中点，∴CD 綉C 1B 1，∴四边形C 1CDB 1为平行四边形， ∴B 1D ∥C 1C ，B 1D ⊄平面A 1C 1C 且C 1C ⊂平面A 1C 1C ， ∴B 1D ∥平面A 1C 1C .(3)解 连接AD ，DC 1，V ＝V 三棱柱A 1B 1C 1－ABD ＋V 四棱锥C －AA 1C 1D1 2×1×1×2＋13×(2×1)×1＝526.＝。

【与名师对话】2015高考数学一轮复习 7.5 直线、平面垂直的判定与性质课时作业理（含解析）新人教A版一、选择题1．(2013·潍坊模拟)已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件解析：l⊥α，α∥β则l⊥β，又m∥β，所以l⊥m；l⊥α，l⊥m则m⊂α或m∥α，又m∥β，所以α∥β或α与β相交，所以“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件，选A.答案：A2．(2013·汕头质量测评)设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( )A．当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥αB．当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥βC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c解析：b⊂α且α⊥β，若α∩β＝l，b⊥l，则b⊥β，所以b⊂α，若α⊥β，则b⊥β，不正确，选C.答案：C3．(2013·广东省华附、省实、广雅、深中四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为( )A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β解析：由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此平行于平面β，因此A正确，B不正确．根据面面垂直的性质定理知，选项C、D正确．答案：B4．(2013·泉州质检)已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βC ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥βD ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β解析：m ⊥α，m ⊥n ，那么n ⊂α或n ∥α，①当n ⊂α时，若n ⊥β，则α⊥β，②当n ∥α时，则平面α内存在一条直线l ∥n ，若n ⊥β，则l ⊥β，所以有α⊥β，综合可知，m ⊥α，n ⊥β且m ⊥n ，则α⊥β正确，选A.答案：A5．(2013·山东卷)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：设三棱柱的高为h ，则34×(3)2×h ＝94，解得h ＝ 3.设三棱柱中底面ABC 的中心为Q ，则PQ ＝3，AQ ＝23×32×3＝1.在Rt △APQ 中，∠PAQ 即为直线PA 与平面ABC所成的角，且tan ∠PAQ ＝3，所以∠PAQ ＝π3.答案：B6．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l解析：由于m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m ，n ，又直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，则交线平行于l ，故选D.答案：D 二、填空题7．已知直线l ，m ，n ，平面α，m ⊂α，n ⊂α，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)解析：若l ⊥α，则l 垂直于平面α内的任意直线，若l ⊥m 且l ⊥n ，但若l ⊥m 且l ⊥n ，不能得出l ⊥α.答案：充分不必要8．(2013·常州市高三教学期末调研测试)给出下列命题：①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为________．解析：根据定理和一些常用结论得：①、③、④正确．②中没有强调两条直线一定相交，否则就不一定平行．答案：①③④9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是AD，DD1，D1A1，A1A，AB 的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件________时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件________时，就有MN∥平面B1D1C.解析：可证A1C1⊥平面EGM，故当N在EG上时，MN⊥A1C.可证平面MEH∥平面B1CD1，故当N在EH上时，MN∥平面B1D1C.答案：点N在EG上点N在EH上三、解答题10．(2013·常州市高三期末调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝2AD＝2，CD＝3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M，N分别是PA，PB的中点．(1)求证：MN∥平面PCD；(2)求证：四边形MNCD是直角梯形；(3)求证：DN⊥平面PCB.证明：(1)因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB.因为CD∥AB，所以MN∥CD.又CD⊂平面PCD，MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD.(2)因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD，又因为PD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PD，又AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD.因为MD⊂平面PAD，所以CD⊥MD，所以四边形MNCD是直角梯形．(3)因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD＝60°.在Rt△PDA中，AD＝2，PD＝6，PA＝22，MD＝ 2.在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝3，CD＝3，CN＝MD2＋CD－MN2＝6，从而DN2＋CN2＝CD2，所以DN⊥CN.在Rt△PDB中，PD＝DB＝6，N是PB的中点，则DN⊥PB.又因为PB∩CN＝N，所以DN⊥平面PCB.11．(2013·襄阳市调研统一测试)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)求证：BN ⊥平面C 1B 1N ；(2)设M 为AB 中点，在BC 边上找一点P ，使MP ∥平面CNB 1，并求BPPC的值．解：(1)证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形∴四边形BB 1C 1C 是矩形，AB ⊥BC ，AB ⊥BB 1，BC ⊥BB 1， 由三视图中的数据知：AB ＝BC ＝4，BB 1＝C 1C ＝8，AN ＝4， ∵AB ⊥BC ，BC ⊥BB 1，∴BC ⊥平面ANBB 1， ∵B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1⊥平面ANBB 1， 因此B 1C 1⊥BN .在直角梯形B 1BAN 中，过N 作NE ∥AB 交BB 1于E ， 则B 1E ＝BB 1－AN ＝4故△NEB 1是等腰直角三角形， ∠B 1NE ＝45°，又AB ＝4，AN ＝4，∴∠ANB ＝45°， 因此∠BNB 1＝90°，即BN ⊥B 1N 又B 1N ∩B 1C 1＝B 1，∴BN ⊥平面C 1B 1N .(2)过M 作MR ∥BB 1，交NB 1于R ，则MR ＝8＋42＝6，过P 作PQ ∥BB 1，交CB 1于Q ，则PQ ∥MR ， 设PC ＝a ，则PQ BB 1＝PC BC ，∴PQ 8＝a4，即PQ ＝2a ， 由PQ ＝MR 得：2a ＝6，∴a ＝3，此时，四边形PMRQ 是平行四边形，∴MP ∥RQ ， ∵RQ ⊂平面CNB 1，MP ⊄平面CNB 1， ∴MP ∥平面CNB 1，BP PC ＝4－33＝13.12．(2013·河北唐山一中第二次月考)在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC ＝AD ＝CD ＝DE ＝2，AB ＝1.(1)请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明这一事实； (2)求直线EC 与平面ABED 所成角的正弦值． 解：如图，(1)由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥ED ， 设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点， 连接FH ，则FH 綊12ED ，FH 綊AB ，∴四边形ABFH 是平行四边形，∴BF ∥AH ，BF ⊄平面ACD ，AH ⊂平面ACD ，∴BF ∥平面ACD ；(2)取AD 中点G ，连接CG 、EG ，则CG ⊥AD ， 又平面ABED ⊥平面ACD ，∴CG ⊥平面ABED ， ∴∠CEG 即为直线CE 与平面ABED 所成的角， 设为α，则在Rt △CEG 中，有sin α＝CG CE ＝322＝64.[热点预测]13．(2013·江西省高三联考)如图，△ABC 中，BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5，点P 在平面ABC 射影为AB 的中点D ，O 是线段CD 的中点，∠APC ＝60°(1)判断PC 与AB 是否垂直(不需说明理由)； (2)求PD 与平面PBC 所成角的正切值；(3)在PB 上是否存在点E ，使OE ∥平面PAC .若存在，求出PE 的长，若不存在，说明理由．解：(1)不垂直(2)由题意知：PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，OD ＝DB ＝52，取BC 的中点Q ，连接PQ 、DQ ，则BC⊥DQ ，BC ⊥PQ ，∴BC ⊥面PDQ ，∴面PDQ ⊥面PBC ，∴D 在面PBC 上的射影落在PQ 上，则PD 与平面PBC 所成角即为∠QPD ，由于PD ＝392，DQ ＝2，PD ⊥DQ ，故所求角的正切值为43939. (3)过O 作OM ∥AB 交AC 于M ，在平面PAB 内平面直线AB ，使之交PB 于E ，交PA 于N ，并使OM ＝EN ，此时MOEN 为平行四边形，易知OE ∥平面PAC .由于OM 是△CAD 的中位线，∴PE ∶PB ＝NE ∶AB ＝MO ∶AB ＝1∶4.又△ABC 是直角三角形，CD 是斜边上的中线，PD ⊥平面ABC ，有△PAD ≌△PCD ≌△PBD∴PA ＝PC ＝PB ，由于∠APC ＝60°，△PAC 为正三角形，所以PB ＝PC ＝AC ＝4， ∴PE ＝14PB ＝1，即在线段PB 上存在点E ，当PE ＝1时，OE ∥平面PAC .。

课时提升作业四十三直线、平面垂直的判定及其性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.关于直线l,m及平面α,β,下列命题中正确的是()A.若l∥α,α∩β=m,则l∥mB.若l∥α,m∥α,则l∥mC.若l⊥α,l∥β,则α⊥βD.若l∥α,m⊥l,则m⊥α【解析】选C.A中,l与m可能平行,异面,B中,l与m可能平行、相交、异面,故A,B错;D中,m 与α也可能平行,斜交,故D错;C中,由l∥β知,平面β中存在直线n∥l,则由l⊥α,可得n⊥α,由面面垂直的判定定理知α⊥β,故C正确.2.(2016·临沂模拟)设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则a⊥b的一个充分条件是()A.a⊥c,b⊥cB.α⊥β,a⊂α,b⊂βC.a⊥α,b∥αD.a⊥α,b⊥α【解析】选C.对于选项C,在平面α内存在m∥b,因为a⊥α,所以a⊥m,故a⊥b;A,B选项中,直线a,b可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D选项中一定推出a∥b.3.(2016·聊城模拟)在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是()【解析】选A.A选项中,因为CD⊥平面AMB,所以CD⊥AB,B选项中,AB与CD成60°角;C 选项中,AB与CD成45°角;D选项中,AB与CD夹角的正切值为.4.(2016·泰安模拟)已知ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,下列判断中正确的是()A.AB⊥PCB.AC⊥平面PBDC.BC⊥平面PABD.平面PBC⊥平面PDC【解析】选C.由题意画出几何体的图形,如图,显然AB⊥PC不正确;AC不垂直PO,所以AC⊥平面PBD不正确;BC⊥AB,PA⊥平面ABCD,PA⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB正确.5.如图,在正四面体P-ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC【解析】选D.因BC∥DF,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,A成立;易证BC ⊥平面PAE,BC∥DF,所以结论B,C均成立;点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,点E是AC的中点,则下列命题中正确的是(填序号).①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABC⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.【解析】由AB=CB,AD=CD,点E为AC中点,知AC⊥DE,AC⊥BE,又因为DE∩BE=E,从而AC⊥平面BDE,故③正确.答案:③7.在多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2AB,F为棱CE上异于点C、E的动点,则下列说法正确的有.①直线DE与平面ABF平行;②当F为CE的中点时,BF⊥平面CDE;③存在点F使得直线BF与AC平行;④存在点F使得DF⊥BC.【解析】①因为AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,所以DE∥AB,而DE⊄平面ABF,AB⊂平面ABF,所以直线DE与平面ABF平行,正确;②当F为CE的中点时,取CD的中点M,连接AM,MF,则MF DE,又AB DE,所以AB MF,所以四边形ABFM是平行四边形,BF∥AM.而AM⊥CD,DE⊥AM,CD∩DE=D,所以AM⊥平面CDE.所以BF⊥平面CDE,因此正确;③点C是平面ABF外的一点,因此BF与AC为异面直线,不可能平行,不正确;④由②可得:当F为CE的中点时,BF⊥DF,DF⊥CE,BF∩CE=F,所以DF⊥平面BCE,所以存在点F使得DF⊥BC,正确.综上可得:①②④正确.答案:①②④8.(2016·泉州模拟)点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列命题:①三棱锥A-D1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是.【解析】连接BD交AC于点O,连接DC1交D1C于点O1,连接OO1,则OO1∥BC1,所以BC1∥平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,所以三棱锥P-AD1C的体积不变.又因为=,所以①正确.因为平面A1C1B∥平面AD1C,A1P⊂平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,②正确.由于当点P在B点时,DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1,故③不正确;由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,所以DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,④正确.答案:①②④三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别为BB1,AC的中点.(1)求证:BF∥平面A1EC.(2)求证:平面A1EC⊥平面ACC1A1.【证明】(1)连接AC1交A1C于点O,连接OE,OF,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,所以OA=OC1,又因为点F为AC中点,所以OF∥CC1且OF=CC1,因为点E为BB1中点,所以BE∥CC1且BE=CC1,所以BE∥OF且BE=OF,所以四边形BEOF是平行四边形,所以BF∥OE,又因为BF⊄平面A1EC,OE⊂平面A1EC,所以BF∥平面A1EC.(2)由(1)知BF∥OE,因为AB=CB,点F为AC中点,所以BF⊥AC,所以OE⊥AC.又因为AA1⊥底面ABC,而BF⊂底面ABC,所以AA1⊥BF.由BF∥OE,得OE⊥AA1,而AA1,AC⊂平面ACC1A1,且AA1∩AC=A,所以OE⊥平面ACC1A1.因为OE⊂平面A1EC,所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.10.(2015·四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由).(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论.(3)证明:DF⊥平面BEG.【解析】(1)由展开图可知,F在B的上方,G在C的上方,H在D的上方,如图(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下:连接AH,AC,CH,BE,BG,EG,因为四边形BEHC和四边形ABGH为平行四边形,所以BE∥CH,BG∥AH,又因为BE,BG⊂平面BEG,且CH,AH⊄平面BEG,所以CH∥平面BEG,AH∥平面BEG.又因为CH,AH⊂平面ACH,且CH∩AH=H,所以平面BEG∥平面ACH.(3)连接DF,HF,CF,交点如图,取DH,DC中点分别为J,K,连接EJ,JG,JM,KB,KN,KG,因为J,M,K,N分别为DH,HF,DC,FC的中点,所以DF∥JM∥KN.设正方体棱长为2a,则EJ=GJ=BK=GK=a,所以三角形JEG,KBG为等腰三角形,所以JM⊥EG,KN⊥BG,那么DF⊥EG,DF⊥BG.又因为EG,BG⊂平面BEG,且EG∩BG=G,所以DF⊥平面BEG.【加固训练】(2016·秦皇岛模拟)如图所示,△ABC和△BCE是边长为2的正三角形,且平面ABC⊥平面BCE,AD⊥平面ABC,AD=2,(1)证明:DE⊥BC.(2)求三棱锥D-ABE的体积.【解析】(1)取BC的中点F,连接AF,EF,BD,DF,因为△BCE是正三角形,所以EF⊥BC,又因为平面ABC⊥平面BCE,且交线为BC,所以EF⊥平面ABC,又因为AD⊥平面ABC,所以AD∥EF,所以D,A,F,E共面,又易知在正三角形ABC中,AF⊥BC,AF∩EF=F,所以BC⊥平面DAFE,又因为DE⊂平面DAFE,故DE⊥BC.(2)由(1)知EF∥AD,所以V D-ABE=V E-DAB=V F-DAB=V D-ABF,而S△ABF=BF·AF=.所以V D-ABF=S△ABF·AD=1,即V D-ABE=1.(20分钟40分)1.(5分)(2016·枣庄模拟)如图,在斜三棱柱ABC-AB1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部【解析】选A.连接AC1,因为BC1⊥AC,BA⊥AC,BA∩BC1=B,所以AC⊥平面ABC1,所以平面ABC⊥平面ABC1,因为平面ABC∩平面ABC1=AB,所以C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.2.(5分)(2016·滨州模拟)如图,在正四棱锥S-ABCD中,E是BC的中点,P点在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE⊥AC,则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是()【解析】选A.取CD的中点F,连接EF,BD,则AC⊥EF,又因为点S在平面ABCD内的射影在BD上,且AC⊥BD,所以AC⊥SB,取SC的中点Q, 连接EQ,FQ,则EQ∥SB,所以AC⊥EQ,又因为AC⊥EF,EQ∩EF=E,所以AC⊥平面EQF,因此点P在FQ上移动时总有AC⊥EP.3.(5分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=时,CF⊥平面B1DF.【解析】因为B1D⊥平面A1ACC1,所以CF⊥B1D,所以为了使CF⊥平面B1DF,只要使CF⊥DF,设AF=x,则CD2=DF2+FC2,所以x2-3ax+2a2=0,所以x=a或x=2a.答案:a或2a4.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF.(2)平面BDE⊥平面ABC.【证明】(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以PA∥DE,又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,所以PA∥平面DEF.(2)由(1)知PA∥DE,又因为PA⊥AC,所以DE⊥AC,又因为F是AB的中点,E是AC的中点,所以DE=PA=3,EF=BC=4,又因为DF=5,所以DE2+EF2=DF2,所以DE⊥EF,因为EF,AC是平面ABC内两条相交直线,所以DE⊥平面ABC,又因为DE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.5.(13分)(2016·聊城模拟)如图,AB为圆O的直径,E是圆O上不同于A,B的动点,四边形ABCD为矩形,且AB=2,AD=1,平面ABCD⊥平面ABE.(1)求证:BE⊥平面DAE.(2)当点E在的什么位置时,四棱锥E-ABCD的体积为.【解析】(1)因为四边形ABCD为矩形,所以DA⊥AB,又因为平面ABCD⊥平面ABE,且平面ABCD∩平面ABE=AB,所以DA⊥平面ABE,而BE⊂平面ABE,所以DA⊥BE,又因为AB为圆O的直径,E是圆O上不同于A,B的动点,所以AE⊥BE,因为DA∩AE=A,所以BE⊥平面DAE.(2)因为平面ABCD⊥平面ABE,过点E作EH⊥AB交AB于点H,则EH⊥平面ABCD,在Rt△BAE中,记∠BAE=α,因为AB=2,所以AE=2cosα,HE=AE·sinα=2cosαsinα=sin2α,所以V E-ABCD=S矩形ABCD×HE=×2×1×sin2α=sin2α.由已知V E-ABCD=,所以sin2α=,即sin2α=,因为0<α<,所以2α=,即α=或2α=,即α=.于是点E在满足∠EAB=或∠EAB=时,四棱锥E-ABCD的体积为.。

课时跟踪检测（四十三）直线、平面垂直的判定及其性质（一）普通高中适用作业A级一一基础小题练熟练快1 .设a,卩为两个不同的平面，直线I ? a ,则“ I丄卩”是“ a丄卩”成立的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件解析：选A依题意，由I丄卩，I ? a可以推出a丄卩；反过来，由a丄卩，I ? a 不能推出I丄卩.因此“ I丄卩”是“ a丄卩”成立的充分不必要条件，故选 A.2. 设a为平面，a, b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A.若a//a, b//a，贝U a// b B .若a 丄a, a// b,贝U b丄aC.若a丄a, a丄b,贝U b/ a D .若a/a, a丄b,贝U b丄a解析：选B若a// a , b// a，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a丄a , a 丄b,贝y b// a或b? a,故C错误；若a//a, a丄b,贝U b / a或b? a或b与a相交，故D错误.3. （2018 •广州一模）设m n是两条不同的直线， a ,卩是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若n? 3 , a丄卩，贝y mL aB. 若ml a , n/ n, n // 3 ,贝U a 丄3C. 若ml n, n? a , n? 3,贝U a丄3D. 若 a / 3 , m? a , n? 3 ,贝U m/ n解析：选B A中m与a的位置关系不能确定，故A错误；T mL a , m〃n,：n 丄a,又n// 3 ,「・a丄3，故B正确；若ml n, m? a , n? 3 ,则a与3的位置关系不确定，故C错误；若a// 3，m? a , n? 3，则m与n平行或异面，故D错误.选B.4.（2018 •天津模拟）设I是直线，a , 3是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若I // a , I // 3 ,则 a / 3 B .若I // a , I 丄 3 ,贝a 丄3C.若 a L 3 ，I 丄a,贝U I // 3 D .若 a 丄3，I 〃a,则I 丄3解析：选B对于A,若I // a , I // 3 ,贝U a // 3或a与3相交，故A错；易知B 正确；对于C,若a L 3 , I丄a,贝U I //3或I? 3,故C错；对于D,若a丄3 , I // a , 则I与3的位置关系不确定，故D 错.选B.5. 如图，在三棱锥D-ABC中，若AB= CB AD= CD E是AC的中点，则下列命题中正确的是（）/ '■*、A. 平面ABC平面ABDB. 平面ABD平面BCDC. 平面ABC平面BDE且平面ACD_平面BDED. 平面ABCL平面ACD且平面ACD_平面BDE解析：选C 因为AB= CB且E是AC的中点，所以BE! AC同理，DEI AC由于DEH BE=E,于是ACL平面BDE因为AC?平面ABC所以平面ABCL平面BDE又AC?平面ACD所以平面ACD_平面BDE故选C.6.（2018 •广州模拟）如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD^正方形，E, F分别为PA PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF//平面PBC④平面BCEL平面PAD其中正确结论的个数是（）A. 1C. 3解析：选B画出该几何体，如图所示，①因为E, F分别是PAPD的中点，所以EF// AD所以EF/ BC直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；③ 由E, F分别是PA PD的中点，可知EF/ AD所以EF/ BC因为EF?平面PBC BC?平面PBC所以直线EF/平面PBC故③正确；④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCEL平面PAD故④不正确•所以正确结论的个数是 2.7.如图，已知/ BAC= 90°，PC L平面ABC则在△ ABC △ PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_________________ ;与AP垂直的直线有解析：••• PC L平面ABC••• PC垂直于直线AB BC AC••• ABL AC，AB丄PC A8 PC= C,• ABL平面PAC又AF?平面PAC• ABLAP,与AP垂直的直线是AB答案：AB BC, ACAB&若a ,卩是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为①若mLa,则在②若mLa,则在③若m?a,则在④若m?a,则在解析: :对于①，若内一定不存在与m平行的直线;内一定存在无数条直线与m垂直;内不一定存在与m垂直的直线;内一定存在与m垂直的直线.mL a ,如果a ,卩互相垂直，则在平面卩内存在与m平行的直线,故①错误；对于②，若mi a ,则m垂直于平面a内的所有直线，故在平面卩内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；对于③④，若n? a ,则在平面卩内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确.答案：②④9.在直三棱柱ABGABC中，平面a与棱AB AC, AC, AB分别交于点E, F, G H且直线AA//平面a .有下列三个命题：①四边形EFG是平行四边形；②平面 a // 平面BCCB;③平面a丄平面BCFE其中正确命题的序号是____________解析：如图所示，因为AA //平面a ,平面a门平面AABB= EH所以AA/ EH同理AA/ GF,所以EH// GF又ABGA B C是直三棱柱，易知EH= GF= AA,所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面 a //平面BBCQ,由平面a门平面A B i C i = GH平面BCCB门平面A i B C = BC , 知GH/ B i C i ,而GH/ B C不一定成立，故②错误；由AA丄平面BCFE结合AA / EH知EHL平面BCFE又EH?平面a ,所以平面a丄平面BCFE故③正确.答案：①③1 0.（20 1直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论:①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直;②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直;③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是AEL BD 解析：①假设AC与BD垂直，过点A作AEL BD于E,连接CE则ACL BD ? BDAE n AC= A 丄平面AEC BDL CE而在平面BCD中 , EC与BD不垂直，故假设不成立，①错误.②假设AE L CD T A吐AD ADH CD= D,••• ABL 平面 ACD••• ABLAC 由 AB <BC 可知，存在这样的等腰直角三角形， 使ABL CD 故假设成立，②正确. ③假设AD L BC•/ DC L BC • BC L 平面 ADC• BC L AC 即厶ABC 为直角三角形，且 AB 为斜边, 而A 扌BC 故矛盾，假设不成立，③错误. 答案：②B 级一一中档题目练通抓牢ABGABC 中，/ BAC= 90°, BC L AC 贝U C 在)B.直线BC 上C. 直线AC 上D. A ABC 内 部解析：选 A 连接 AC （图略），由AC L AB ACL BC , ABA BC = B 得 ACL 平面 ABC vAC ?平面ABC 二平面ABC L 平面 ABC • C 在平面ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上.2.如图所示，在四边形 ABCD 中 , AD// BC AD= AB / BCD= 45°, / BAD= 90° .将厶ADE 沿 BD 折起，使平面 ABDL 平面BCD 构成三棱锥 A BCD 则在三棱锥 A BCD 中,下列结论正确的是（）ABCD 中 , AD// BC AD= AB / BCD= 45°, / BAD= 90° ,BD L CD又平面ABDL 平面BCD 且平面 ABD A 平面BCD= BD 故CDL 平面ABD 贝U CDL AB又 AD L AB AD A CD= D, AD ?平面 ADC CD ?平面 ADC 故 ABL 平面 ADC 又AB ?平面ABC •平面ADCL 平面ABC1.如图，在斜三棱柱 底面ABC 上的射影H 必在（A.直线AB 上A.平面 ABDL 平面 ABC B .平面ADCL 平面BDC C.平面 ABC L 平面BDCD .平面ADCL 平面 ABC解析：选D •••在四边形3.如图，在直二棱柱ABC - ABC中，侧棱长为2, AC= BC= 1，/ ACB=90°, D是AB的中点，F是BB上的动点，AB, DF交于点E要使AB丄平面CDF贝熾段BF的长为（）1A.2C.2解析：选 A 设BF= x，因为AB丄平面CDF DF?平面CDF,所以AB丄DF.由已知可得AB =护,1设Rt△ AAB斜边AB上的高为h,贝U D吕尹又2X ,-'2= h ；22+—2一2，所以h=孚，Dm#.在Rt△ DBE 中，BE=寸¥ 2—芈2=罟.由面积相等得普x2+卑2=乌彳，解得x=2.4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD且底面各边都要填写一个你认为是正确的条件即可）相等，M是PC上的一动点，当点M满足 _____ 时，平面MB L平面PCD只解析：连接AC则AC L BD•/ PAL底面ABCD 二PA! BD又PA O AC= A,「. BD丄平面PAC••• BDL PC•••当DML PC或BM L PC时，即有PC丄平面MBD而PC?平面PCD•平面MB!平面PCD答案：DM L PC（或BM L PC5. （2018 •兰州实战考试）a ,卩是两平面，AB CD是两条线段，已知 a O卩=EF, ABL a于B, CDL a于D,若增加一个条件，就能得出BDL EF.现有下列条件：① ACL卩；②AC与a ,卩所成的角相等；③ AC与CD在卩内的射影在同一条直线上；④ AC// EF其中能成为增加条件的序号是___________ .解析：由题意得，AB// CD • A, B, C, D四点共面.①中，••• AC L 3 , EF? 3 , • AC L EF,又T ABL a , EF? a ,••• ABL EF,T ABH AC= A,A EF丄平面ABCD又••• BD?平面ABCD：BD L EF,故①正确；②不能得到BD L EF,故②错误；ABC L 卩，又AE L a , AB③中，由AC与CD在卩内的射影在同一条直线上可知平面平面ABCD二平面ABC丄a . •平面ABC丄a ,平面ABC L卩，a H卩=EF, • EF丄平面ABCD又BD?平面ABCD •- BD L EF,故③正确；④中，由①知，若BD L EF,则EFL平面ABCD则EFL AC故④错误，故填①③答案：①③6. (2017 •全国卷I )如图，在四棱锥P-ABCD中 , AB// CD且/ BAF^Z CD2 90°.(1) 证明：平面PABL平面PAD(2) 若PA= PD= AB= DC Z APD= 90°,且四棱锥R ABCD勺体8积为3,求该四棱锥的侧面积.解：⑴证明：由Z BAP=Z CDP= 90° ,得ABL AP CDL PD因为AB// CD所以AB± PD又APH PD= P,所以ABL平面PAD又A田平面PAB所以平面PABL平面PAD⑵如图所示,在平面PAD内作PEL AD垂足为E由(1)知，AB L平面PAD故ABL PE可得PEL平面ABCD设AB= x,则由已知可得AD= ：2X , PE=~22X.故四棱锥P-ABCD勺体积1 1 3V P-ABCD= A D・ PE= 3X3.1 8由题设得3X3= 3,故X = 2.3 3从而PA= PD= AB= DC= 2 , AD= BC= 2 2 , PB= PC= 2_：2.可得四棱锥P-ABC啲侧面积为2P A- PD^ 2P A- AB^ ^PD- DO *BC sin 60 ° = 6+ 2：3.7. (2017 •山东高考)由四棱柱 ABCDAiBCD 截去三棱锥 C -BCD 后得到的几何体如图⑵设M 是OD 的中点，证明：平面 AEML 平面BCD.因为ABCDA i B i CD 是四棱柱,所以 AO // OC A i O = OC因此四边形AOCC 为平行四边形，所以 AO// OC,因为OC ?平面BCD, AC ?平面BCD ,所以A i O//平面BCD .⑵ 因为E, M 分别为AD OD 的中点,所以EM/ AO因为AOL BD,所以EM L BD又AE 丄平面 ABCD BD ?平面ABCD所以A i E L BD因为 B i D // BD ,所以 EM L B i D , A i E L B i D ,又 A i E ?平面 A i EM EM ?平面 A i EM A i E H EM= E ,所以B i D 丄平面A EM又B i D ?平面B CD ,所以平面A i EM L 平面B CD .C 级一一重难题目自主选做i .(20 i 8 •湖北七市(州)联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵 ABMDCP 与刍童ABCDA i B i C D所示.四边形 ABC ［为正方形, E 为AD 的中点, AE 丄平面ABCD(1)证明: AO//平面O 为AC 与 BD 的交点,证明：(1)取BD 的中点1 d_________的组合体中，AB= AD AB = AD.台体体积公式：V= g S'+{§飞+ S)h,其中S', S分别为台体上、下底面的面积，h为台体的高.⑴证明：直线BC L平面MAC(2)若AB= 1, AD = 2, MA=73,三棱锥A-ABD的体积V'= 辔,求该组合体的体积.解：⑴ 证明：由题意可知ABMDCP是底面为直角三角形的直棱柱，•••AC L平面MAB ••• AD丄MA又MA_ AB ADn AB- A, AD?平面ABCD AB?平面ABCD•MAL平面ABCD •- MAL BD又AB= AD •四边形ABC西正方形，• BD L AC又MA C AC=代 MA 平面MAC AC?平面MAC•BC丄平面MAC⑵设刍童ABCDABCD的高为h ,则三棱锥A-ABD的体积V'= 3x l x 2X 2X h=3 2• h= ;3 ,故该组合体的体积V= l x i x .：3X 1+ 3x（12+ 22+，讦X22）x .'3 = ¥ + 号=卫討.2.如图，已知三棱柱ABCA' B' C'的侧棱垂直于底面，AB= AC,/ BAC= 90°，点M N分别为A B和B C'的中点.(1) 证明：MN/平面AA C C;(2) 设AB=入AA ,当入为何值时，CNL平面A MN试证明你的结论.解：(1)证明：如图，取A B'的中点E,连接ME NE因为M, N分别为A B和B C的中点，所以NE/ A C , ME // AA'.又A ' C' ?平面AA C' C, AA' ?平面AA C C,所以M曰平面AA C C, NE//平面AA' C C,又因为M C NE=E,所以平面MN/平面AA' C' C,因为MN平面MNE所以M/平面AA C' C⑵连接BN设AA = a,贝U AB=入AA'=入a,由题意知BC=®a, CN k BN^、J a2+ ?入2a2,因为三棱柱ABCA' B' C的侧棱垂直于底面，所以平面A B C丄平面BB' C C.因为AB= AC,点N是B C的中点，所以A B = A C , A N丄B C ,所以A NX平面BB C C,所以CNL A N要使CNL平面A MN只需CNL BN即可，所以CN+ BN= BC,即卩2 a2+1 入2a2= 2 入2a2, 解得入=2，故当入=,2时，CNL平面A MN。

§8.4直线、平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法.②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.②垂直于同一个平面的两条直线平行.③垂直于同一条直线的两平面平行.2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α. (×)(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直. (√)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b. (√)(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α. (×)(5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β. (√)2.(2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB.若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥nC.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案 D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确.3.设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是()A.a⊥c，b⊥cB.α⊥β，a⊂α，b⊂βC.a⊥α，b∥αD.a⊥α，b⊥α答案 C解析对于选项C，在平面α内作c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b.4.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直答案 C解析在题图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.5.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________________________.答案可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.思维启迪第(1)问通过DC⊥平面P AC证明；也可通过AE⊥平面PCD得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直.证明(1)在四棱锥P—ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.思维升华(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S 是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2013·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点.求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.思维启迪(1)平面P AD⊥底面ABCD，可由面面垂直的性质证P A⊥底面ABCD；(2)由BE∥AD可得线面平行；(3)证明直线CD⊥平面BEF.证明(1)∵平面P AD∩平面ABCD＝AD.又平面P AD⊥平面ABCD，且P A⊥AD.∴P A⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.(3)∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，则P A⊥CD，∴CD⊥平面P AD，从而CD⊥PD，又E、F分别为CD、CP的中点，∴EF∥PD，故CD⊥EF.由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.∴平面BEF⊥底面PCD.思维升华(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.(2012·江西)如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积.(1)证明因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形.由GD＝5，DE＝4，得GE＝GD2－DE2＝3.由GC ＝42，CF ＝4，得FG ＝GC 2－CF 2＝4，所以EF ＝5.在△EFG 中，有EF 2＝GE 2＋FG 2， 所以EG ⊥GF .又因为CF ⊥EF ，CF ⊥FG ，所以CF ⊥平面EFG . 所以CF ⊥EG ，所以EG ⊥平面CFG .又EG ⊂平面DEG ，所以平面DEG ⊥平面CFG .(2)解 如图，在平面EGF 中， 过点G 作GH ⊥EF 于点H ， 则GH ＝EG ·GF EF ＝125.因为平面CDEF ⊥平面EFG ， 所以GH ⊥平面CDEF ，所以V 多面体CDEFG ＝13S 矩形CDEF ·GH ＝16.题型三 直线、平面垂直的综合应用例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5. (1)设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积.思维启迪 (1)因为两平面垂直与M 点位置无关，所以在平面MBD 内 一定有一条直线垂直于平面P AD ，考虑证明BD ⊥平面P AD . (2)四棱锥底面为一梯形，高为P 到面ABCD 的距离. (1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ， BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面P AD .又BD ⊂面MBD ，∴面MBD ⊥面P AD . (2)解 过P 作PO ⊥AD ， ∵面P AD ⊥面ABCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高. 又△P AD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ， ∴四边形ABCD 为梯形.在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高. ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.思维升华 垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.(2013·江西)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3. (1)证明：BE ⊥平面BB1C 1C ； (2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离.(1)证明 过B 作CD 的垂线交CD 于F ，则 BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2. 在Rt △BFE 中，BE ＝ 3. 在Rt △CFB 中，BC ＝ 6.在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2，故BE ⊥BC . 由BB 1⊥平面ABCD 得BE ⊥BB 1， 所以BE ⊥平面BB 1C 1C .(2)解 三棱锥E －A 1B 1C 1的体积V ＝13AA 1·S △A 1B 1C 1＝ 2.在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1＝A 1D 21＋D 1C 21＝3 2.同理，EC 1＝EC 2＋CC 21＝32，A 1E ＝A 1A 2＋AD 2＋DE 2＝2 3.故E C A S 11∆＝3 5.设点B 1到平面A 1C 1E 的距离为d ， 则三棱锥B 1－A 1C 1E 的体积 V ＝13·d ·E C A S 11∆＝5d ，从而5d ＝2，d ＝105. .立体几何证明问题中的转化思想典例：(12分)如图所示，M ，N ，K 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB ，CD ，C 1D 1的中点.求证：(1)AN ∥平面A 1MK ； (2)平面A 1B 1C ⊥平面A 1MK .思维启迪 (1)要证线面平行，需证线线平行.(2)要证面面垂直，需证 线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直. 规范解答证明 (1)如图所示，连接NK . 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∵四边形AA 1D 1D ，DD 1C 1C 都为正方形，∴AA 1∥DD 1，AA 1＝DD 1，C 1D 1∥CD ，C 1D 1＝CD .[2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形.[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.∴四边形AA1KN为平行四边形.∴AN∥A1K.[4分]∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.[6分](2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K.∴四边形BC1KM为平行四边形.∴MK∥BC1.[8分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.[10分]∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]温馨提醒(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.方法与技巧1.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α；(2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n⇒l ⊥α；(3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. 2.证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； (4)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . 3.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 4.转化思想：垂直关系的转化线线垂直性质线面垂直性质面面垂直在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决. 失误与防范1.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.性质判定2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是() A.l∥m，l⊥α B.l⊥m，l⊥αC.l⊥m，l∥αD.l∥m，l∥α答案 C解析设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.2.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A.P A＝PB>PCB.P A＝PB<PCC.P A＝PB＝PCD.P A≠PB≠PC答案 C解析∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故P A＝PB＝PC.3.在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是()A.α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γB.l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mC.α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则l∥nD.α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β答案 D解析对于A，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D是假命题.综上所述，选D.4.正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于()A.A′C′B.BDC.A′D′D.AA′答案 B解析连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.5. 如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点.现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长，其中正确的是()A.①②B.①②③C.①D.②③答案 B解析对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确.二、填空题6.已知P为△ABC所在平面外一点，且P A、PB、PC两两垂直，则下列命题：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________.答案 3解析如图所示.∵P A⊥PC、P A⊥PB，PC∩PB＝P，∴P A⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴P A⊥BC.同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.7.在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________.答案①②解析如图，∵P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，∴AC∥平面PDE.故①②正确.8．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)答案②④解析若m⊥α，α∥β，则m⊥β.三、解答题9.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形.(1)求证：平面DEC⊥平面BDE；(2)求点A到平面BDE的距离.(1)证明因为四边形ABCD为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝3，所以BD ＝13，又因为BC ＝7，CD ＝6，所以根据勾股定理可得BD ⊥CD ，因为BE ＝7，DE ＝6，同理可得BD ⊥DE .因为DE ∩CD ＝D ，DE ⊂平面DEC ，CD ⊂平面DEC ，所以BD ⊥平面DEC .因为BD ⊂平面BDE ，所以平面DEC ⊥平面BDE .(2)解 如图，取CD 的中点O ，连接OE ，因为△DCE 是边长为6的正三角形，所以EO ⊥CD ，EO ＝33，易知EO ⊥平面ABCD ，则V E －ABD ＝13×12×2×3×33＝33， 又因为直角三角形BDE 的面积为12×6×13＝313， 设点A 到平面BDE 的距离为h ，则由V E －ABD ＝V A －BDE ，得13×313h ＝33，所以h ＝33913， 所以点A 到平面BDE 的距离为33913. 10.(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点.求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；(2)直线A 1F ∥平面ADE .证明 (1)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1.因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1，所以CC 1⊥A 1F .又因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1，所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD .又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE .B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则 ( )A.β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B.β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直C.β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直D.β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直答案 C解析 如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a 平行，则有m 与之垂直.但却不一定在β内有与m 平行的直线，只有当α⊥β时才存在.2.(2012·江苏)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________ cm 3.答案 6解析 连接AC 交BD 于O ，在长方体中，∵AB ＝AD ＝3，∴BD ＝32且AC ⊥BD .又∵BB 1⊥底面ABCD ，∴BB 1⊥AC .又DB ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AO 为四棱锥A －BB 1D 1D 的高且AO ＝12BD ＝322.∵D D BB S 11矩形＝BD ×BB 1＝32×2＝62，∴VA －BB 1D 1D ＝13D D BB S 11矩形·AO ＝13×62×322＝6(cm 3).3.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).答案①④解析由P A⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得P A⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，P A∩AB＝A，得AE⊥平面P AB，又PB⊂平面P AB，∴AE⊥PB，①正确；∵平面P AD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC∥平面P AD，∴直线BC∥平面P AE也不成立，③错；在Rt△P AD中，P A＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确.4.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边三角形ADB以AB为轴转动.(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.解(1)取AB的中点E，连接DE，CE.∵△ADB是等边三角形，∴DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，∵平面ADB∩平面ABC＝AB，∴DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD，∴C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又∵AC＝BC，∴AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，∴AB⊥平面CDE.由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.5.如图1所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图2所示.(1)求证：BD⊥平面POA；(2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的体积.(1)证明因为菱形ABCD的对角线互相垂直，所以BD⊥AC.所以BD⊥AO.因为EF⊥AC，所以PO⊥EF.因为平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO⊂平面PEF，所以PO⊥平面ABFED.因为BD⊂平面ABFED，所以PO⊥BD.因为AO∩PO＝O，所以BD⊥平面POA.(2)解设AO∩BD＝H.因为∠DAB＝60°，所以△BDC 为等边三角形.故BD ＝4，HB ＝2，HC ＝2 3.设PO ＝x ，则OH ＝23－x ，OA ＝43－x .连接PH ，OB ，由OH ⊥BD ，得OB 2＝(23－x )2＋22. 又由(1)知PO ⊥平面BFED ，则PO ⊥OB .所以PB ＝OB 2＋OP 2＝(23－x )2＋22＋x 2 ＝2(x －3)2＋10.当x ＝3时，PB min ＝10，此时PO ＝3＝OH ，所以V 四棱锥P －BDEF ＝13×S 梯形BDEF ×PO ＝13×(34×42－34×22)×3＝3.。

第七章§5：直线、平面垂直的判定及其性质(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°2．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在平面，那么A ．PA ＝PB>PCB ．PA ＝PB<PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β5．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点，G 为棱A1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF的距离为A ． 3B ．22 C ．23 D ．55二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．设P 是60°的二面角α－l －β内的一点，PA ⊥平面α，PB ⊥平面β，A ，B 分别为垂足，PA ＝2，PB ＝4，则AB 的长是______．7．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ④若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n. 其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)________．8．如图，矩形ABCD 的边AB ＝a ，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2，现有数据：①a ＝12；②a ＝1；③a ＝3；④a ＝4，当BC 边上存在点Q ，使PQ ⊥QD 时，可以取________(填上正确的序号)．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，平面CDE 是等边三角形，棱EF 12BC.(1)证明：FO ∥平面CDE ；(2)设BC ＝3CD ，证明：EO ⊥平面CDF.10．（本小题满分18分，（1）小问5分，（2）小问6分，（3）小问7分）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.(1)求证：AE ⊥BE ；(2)求三棱锥D －AEC 的体积；(3)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE.参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：因AD ∥BC ，所以∠B 1CB 就是异面直线AD 与B 1C 所成的角．又因在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，△B 1BC 是等腰直角三角形，所以∠B 1CB ＝45°.即异面直线AD 与CB 1所成的角为45°，D 项中结论错误，故选D 项．答案：D2．解析：∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC.选C 项．答案：C3．解析：根据面面垂直的判定定理知②对．由若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一平面知④对． 答案：D4．解析：如图所示：AB ∥l ∥m ；AC ⊥l ，m ∥l ⇒AC ⊥m ；AB ∥l ⇒AB ∥β，故选D 项．答案：D5．解析：由题意知A 1B 1∥平面D 1EF ，所以G 到面D 1EF 的距离，即A 1到面D 1EF 的距离． ∵平面A 1D 1E ⊥平面D 1EF ，∴A 1到D 1E 的距离即为A 1到面D 1EF 的距离，1×121＋(12)2＝55.故选D 项． 答案：D 二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：如图，可设直线l 与平面PAB 相交于C ，由PA ⊥面α，知PA ⊥l ，由PB ⊥面β，知PB ⊥l ，∴l ⊥平面PAB ，∴l ⊥AC ，l ⊥BC ，因此∠ACB 是二面角α－l －β的平面角，故∠ACB ＝60°，由P ，A ，B ，C 四点共面可得，∠APB ＝120°，故由余弦定理知：AB ＝27.答案：277．解析：②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β或α，β相交，所以②错误．③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β或α，β相交，所以③错误．故填①④.答案：①④8．解析：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥DQ.连结AQ.由PQ ⊥QD 得AQ ⊥QD ，∴Rt △ABQ ∽Rt △QCD ，令BQ ＝x ，则a 2－x ＝x a ，即x 2－2x ＋a 2＝0，又方程有正根，∴0＜a ≤1.答案：①②三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）证明：(1)取CD 中点M ，连结OM.在矩形ABCD 中，OM 12BC ，又EF 12BC ，则EF OM ，连结EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形，∴FO ∥EM ，又∵FO ⊄平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ，∴FO ∥平面CDE.(2)连结FM ，由(1)和已知条件，在等边△CDE 中，CM ＝DM ，EM ⊥CD 且EM ＝32CD ＝12BC ＝EF ，因此平行四边形EFOM 为菱形，从而EO ⊥FM ，∵CD ⊥OM ，CD ⊥EM ，OM ∩EM ＝M ，∴CD ⊥平面EOM ，从而CD ⊥EO.而FM ∩CD ＝M ，所以EO ⊥平面CDF.10.（本小题满分18分，（1）小问5分，（2）小问6分，（3）小问7分）解：(1)证明：∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC. ∵BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF.∵BC ∩BF ＝B ，且BC ，BF ⊂平面BCE ，∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE.(2)∵AE ⊥BE ，∴AB ＝AE 2＋BE 2＝22，S △ADC ＝12·AD·DC ＝12·BC·AB ＝12×2×22＝22， V D －AEC ＝V E －ADC ＝13×22×2＝43. (3)在三角形ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在三角形BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE. ∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∴MG ∥平面ADE ，同理，GN ∥平面ADE ，∴平面MGN ∥平面ADE.又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE.∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．。

［课时跟踪检测］［基础达标］1. （2017届青岛模拟）设a，b是两条不同的直线，a B是两个不同的平面，则能得出a丄b的是（）A. a 丄a, b // B, a丄BB. a 丄a, b 丄B, a // BC. a? a, b丄B, a // BD. a? a, b // B, a丄B解析：对于C项,由b丄B, all B可得b丄a又a? a得a丄b,故选C.答案：C2. （2016年浙江卷）已知互相垂直的平面a, B交于直线I ,若直线m , n满足m //a, n 丄B,则（）A. m / I B . m // nC. n丄ID. m±n解析：T aA B= I ,「• I? B丄B,n 丄I.答案：C3. （2017届南昌模拟）已知m , n为异面直线,m丄平面a, n丄平面B直线I满足I 丄m , I 丄n , l?a, l?B,则（）A. all B且I / aB. a 丄B且I 丄BC. a与B相交,且交线垂直于ID. a与B相交,且交线平行于I解析：由于m , n为异面直线，m丄平面a, n丄平面B,则平面a与平面B 必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m , n ,又直线I满足I丄m , I丄n,则交线平行于I.答案：D4. （2018届遵义模拟）设I , m , n表示三条直线,a, B, 丫表示三个平面,则下列命题中不成立的是（）A .若m? a, n?a , m// n ,贝U n//aB. 若aX Y a〃B,贝U B丄丫C. 若m? B, n是I在B内的射影，若m丄I ,则m丄nD.若CL L B, aA A m, I丄m,则l丄B解析：在A中由线面平行的判定定理得n// a在B中由面面垂直的判定得B丄Y在C中由线面垂直得m l n；在D中，I与B相交、平行或I? B,故D错误.答案：D5. （2017年全国卷川）在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A. A1E 丄DC1 B . A1E 丄BDC. A1E丄BC1 D . A1E丄AC解析：连B1C, BC1, A1D，由题意得BC1丄B1C,••• A1B1 丄平面B1BCC1，且BC1?平面B1BCC1,：A1B1 丄BC1.••• A1B1A BQ= B1,・・.BC1 丄平面A1DCB1,••• A1E?平面A1DCB1,••• A1E 丄BC1.故选C.答案：C6. （2017届安徽合肥一模）如图，已知四边形ABCD为正方形，PD丄平面A .过BD且与PC平行的平面交PA于M点，贝U M为PA的中点B. 过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，贝U N为PB的中点C. 过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，贝U H为PC的中点D.过P, B, C的平面与平面PAD的交线为直线I，则I // AD解析：设AC A BD = O,因为四边形ABCD是正方形，所以O是AC的中点，因为过BD且与PC平行的平面交PA于点M，所以OM // PC,所以M是FA的中点，故A正确；设N为PB的中点，连接AN.因为PA与AB不一定相等，所以AN与PB不一定垂直，所以过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N不一定是PB中点，故B项错误；因为四边形ABCD为正方形，PD丄平面ABCD 且PD = AB，所以PA= AC，PD= DC,所以过AD且与PC垂直的平面交PC于点H，则H为PC的中点，故C正确；因为AD // BC，所以BC//平面PAD.又平面PAD A平面PCB= I，所以I // BC，所以I // AD，故D正确.故选B.答案：B7. （2018届江淮名校期中）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD丄平面PCD.A. MD 丄MBB. MD 丄PCC. AB丄ADD. M是棱PC的中点解析：•••在四棱锥P-ABCD中，FA丄底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，••• BD丄PA，BD丄AC，••• FA P AC = A，A BD 丄平面FAC，••• BD 丄PC，•••当DM丄PC（或BM丄PC）时,即有PC丄平面MBD，而PC?平面PCD，•平面MBD丄平面PCD.则应补充的一个条件可以是（答案：B8. （2017届宝鸡质检）对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB= AC, BD = CD，贝U BC丄AD;②若AB= CD, AC= BD，贝U BC丄AD;③若AB丄AC, BD丄CD，贝U BC丄AD;④若AB丄CD，AC丄BD，贝U BC丄AD.其中为真命题的是（）A •①②B •②③C •②④D •①④解析：①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB = AC? AM丄BC，同理DM丄BC? BC丄平面AMD，而AD?平面AMD，故BC丄AD.④设A在平面BCD内的射影为O,连接BO，CO，DO,由AB丄CD? BO丄CD，由AC丄BD ? CO丄BD? O BCD 的垂心？ DO 丄BC? AD 丄BC.答案：D9•如图所示，在直四棱柱ABCD —A i B i C i D i中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________ 时，有A1C丄B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）•解析：若A£丄B1D1，由四棱柱ABCD —A1B1C1D1为直四棱柱，AA1丄B1D1, 易得B1D1丄平面AA1C1C，则A1C1丄B1D1.答案：A1C1丄B1D110. （2017届河南四校调研）四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA丄底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有_______________ 对解析：因为AD丄AB, AD丄PA且PA G AB = A,可得AD丄平面PAB.同理可得BC丄平面PAB、AB丄平面FAD、CD丄平面FAD，由面面垂直的判定定理可得，平面FAD丄平面PAB,平面PBC丄平面PAB,平面PCD丄平面PAD,平面FAB丄平面ABCD，平面PAD丄平面ABCD，共有5对.答案：511. （2017届泉州模拟）点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC i上运动，给出下列命题：①三棱锥A- D1PC的体积不变；②A1P //平面ACD1；③DB丄BC1；④平面PDB1丄平面ACD1.其中正确的命题序号是 __________ .解析：对于①，VA-D1PC = VP-AD1C，点P到平面AD1C的距离，即为BC1与平面AD1C的距离为定值，故正确；对于②，因为平面A1C1B //平面AD1C，所以A1P //平面AD1C，故正确；对于③，DB与BC1成60°角，故错误；对于④，由于B1D丄平面ACD1，所以平面B1DP丄平面ACD1，故正确.答案：①②④12. （2017年北京卷）如图，在三棱锥P-ABC中，PA丄AB，PA丄BC，AB丄BC，PA=AB= BC = 2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.（1）求证：PA丄BD ；（2）求证：平面BDE丄平面PAC；⑶当PA//平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积.解：⑴证明：因为PA丄AB，PA丄BC，所以PA丄平面ABC.又因为BD?平面ABC，所以PA丄BD.(2) 证明：因为AB= BC, D为AC的中点，所以BD丄AC.由(1)知，PA丄BD，所以BD丄平面PAC.所以平面BDE丄平面PAC.(3) 因为PA//平面BDE，平面PAC A平面BDE = DE, 所以PA / DE.1因为D为AC的中点，所以DE = 1，BD = DC = , 2.由(1)知，PA丄平面ABC，所以DE丄平面ABC.1 1所以三棱锥E-BCD的体积V= -BD DC DE =-.6 3［能力提升］1. (2017届浙江丽水一模)在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB丄CD 的是()A. AB 丄BC 且AB丄BDB. AD 丄BC 且AC丄BDC. AC = AD 且BC= BDD. AC丄BC 且AD 丄BD解析：对于A选项，：AB丄BD，AB丄BC，BD A BC= B，••• AB丄平面BCD.v CD?平面BCD，二AB丄CD.故A满足；对于B选项，设A在平面BCD的射影为0,则AO丄平面BCD.v AD 丄BC，AC 丄BD，•••O BCD的垂心，连接BO，贝U BO丄CD,又AO丄CD，AO A BO = O’：CD 丄平面ABO.v AB?平面ABO，：AB 丄CD.故B 满足；A对于C选项，取CD中点G,连接BG, AG.••• AC = AD 且BC= BD,•••CD 丄BG, CD 丄AG.••• BG A AG = G,.・. CD 丄平面ABG.••• AB?平面ABG,：AB丄CD, 故C满足，D不满足要求，故选D.答案：D2. 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是/ ABC为直角的等腰直角三角形，AC= 2a,BB i = 3a, D是A i C i的中点，点F在线段AA i 上,当AF = ______________ 时，CF丄平面B i DF.解析：因为B i D丄平面A i ACC i，所以CF丄B i D，所以为了使CF丄平面B i DF , 只要使CF丄DF,设AF = x,贝U CD2= DF2+ FC2,所以x2—3ax+ 2a2= 0,所以x= a 或x= 2a.答案：a或2a3. ___________________________________________________________ 如图，在长方形ABCD中，AB= 2, BC= i, E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将△ AFD沿AF折起，使平面ABD丄平面ABC.在平面ABD内过点D作DK丄AB, K为垂足.设AK = t，则t的取值范围是 _______________________________ .解析：由题意可知，DK丄平面ABCF, 故DK丄AK, DK丄FK，故有AD2—AK2= DK2= DF2—FK2.在矩形ABCD 中，AB= 2, BC= i, AK = t，设EF = x(0v x v i)，则有AD=BC = 1, DF = 1+ x , FK = .12+ x —1+ 1 2 ,二12 —12= (1+ x)2 — [12+ (x — t + 1)2], 11整理得 t = , O v x v 1,故3V t v 1.x +1 2答案：2, 14. （2017届吉林东北师大附中联考）如图所示的几何体由一个直三棱柱 ADE —BCF 和一个正四棱锥⑴证明：平面PAD 丄平面ABFE ;（2）求正四棱锥P — ABCD 的高h ,使得该四棱锥的体积是三棱锥 P — ABF 体积的4倍.解：（1）证明：直三棱柱 ADE — BCF 中，AB 丄平面ADE. 因为AD?平面ADE ，所以AB 丄AD.又AD 丄AF , AF P AB = A ,所以AD 丄平面ABFE. 又AD?平面FAD ，所以平面 PAD 丄平面ABFE.(2)由题意得，P 到平面ABF 的距离d = 1,1 1 12 所以 V p -ABF =§S S BF d = 3X q X 2X 2X 1 = 3,1 1 8所以 V P -ABCD = 3S 正方形 ABCD h =3X 2X 2X h = 4V P -ABF = 3, 5. （2017届黑龙江大庆质检）如图，已知三棱锥A — BPC, AP 丄PC, AC 丄BC , M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△ PMB 为正三角形.（1）求证：BC 丄平面APC ;⑵若BC = 3, AB = 10,求点B 到平面DCM 的距离.所以h = 2.AE = AD =2.解：⑴证明：如图,•••△ PMB 为正三角形，且 D 为PB 的中点，二MD 丄PB.又••• M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，••• MD // AP ，A AP I PB.又已知 AP I PC ，PB A PC = P ，••• AP 丄平面 PBC ，A AP I BC.又••• AC 丄 BC ，AC A AP =A ，A BC 丄平面 APC.(2)记点B 到平面MDC 的距离为h ，则有 V M -BCD = V B -MDC .T AB = 10，— MB = PB = 5， 又 BC = 3，BC 丄 PC ，—PC = 4,心 PBC 中, CD = 2P B = 5,又••• MD 丄DC ，253=詈,—h =甲所以点B 到平面DCM 的距离为¥又MD5,3 ~2~，1V M -BCD = 3MD S ^BDC =5,3 2V B -MDCBDC =4PC BC = 3. 1 —S ^ MDC = 2MD DC =。

课时跟踪检测（四十一）直线、平面垂直的判定与性质1．(厦门期末)若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A．若α⊥β,m⊥β,则m∥αB．若m∥α,n⊥m,则n⊥αC．若m∥α,n∥α,m⊂β,n⊂β,则α∥βD．若m∥β,m⊂α,α∩β＝n,则m∥n解析：选D 选项A中,m与α的关系是m∥α或m⊂α,故A不正确；选项B中,n与α之间的关系是n⊥α或n与α相交但不垂直或n∥α,故B不正确；选项C中,α与β的关系是α∥β或α与β相交,故C不正确；选项D中,由线面平行的性质可得命题正确．故选D。

2．(广西五市联考)若α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列命题正确的是( )A．若α∩β＝m,n⊂α,m⊥n,则α⊥βB．若α⊥β,α∩β＝m,α∩γ＝n,则m⊥nC．若m不垂直于平面α,则m不可能垂直于平面α内的无数条直线D．若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β解析：选D 对于选项A,直线n是否垂直于平面β未知,所以α不一定垂直β,选项A错误；对于选项B,由条件只能推出直线m与n共面,不能推出m⊥n,选项B错误；对于选项C,命题“若m不垂直于平面α,则m不可能垂直于平面α内的无数条直线”的逆否命题是“若直线m垂直于平面α内的无数条直线,则m垂直平面α”,这不符合线面垂直的判定定理,选项C错误；对于选项D,因为n⊥β,m∥n,所以m⊥β,又m⊥α,所以α∥β,选项D正确．故选D。

3．(南昌调研)如图,四棱锥P­ABCD中,△PAB与△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,AC⊥BD,则下列结论不一定成立的是( )A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD解析：选B 对于选项A,取PB的中点O,连接AO,CO。

∵在四棱锥P­ABCD中,△PAB与△PBC是正三角形,∴AO⊥PB,CO⊥PB,∵AO∩CO＝O,∴PB⊥平面AOC,∵AC⊂平面AOC,∴PB⊥AC,故选项A正确；对于选项B,设AC与BD交于点M,易知M为AC的中点,若PD⊥平面ABCD,则PD⊥BD,由已知条件知点D满足AC⊥BD且位于BM的延长线上,∴点D的位置不确定,∴PD与BD不一定垂直,∴PD⊥平面ABCD不一定成立,故选项B不正确；对于选项C,∵AC⊥PB,AC⊥BD,PB∩BD＝B,∴AC⊥平面PBD,∵PD⊂平面PBD,∴AC⊥PD,故选项C正确；对于选项D,∵AC⊥平面PBD,AC⊂平面ABCD,∴平面PBD⊥平面ABCD,故选项D正确．故选B。

1. [2012·安徽高考]设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.答案：A2. [2013·广东高考]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：选项A中，m与n还可能平行或异面，故不正确；选项B中，m与n还可能异面，故不正确；选项C中，α与β还可能平行或相交，故不正确；选项D中，∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α.又n∥β，∴α⊥β.故选D.答案：D3. [2014·深圳调研]如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是( )A. 平面ABC⊥平面ABDB. 平面ABD⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED. 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.答案：C4. [2013·北京高考]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有( )A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个解析：过P作平面A1B1C1D1、ABCD的垂线分别交D1B1、DB于E、F点，易知P也是EF的三等分点，设正方体的棱长为a，则PA1＝PC1＝a；PD1＝233a；PB＝33a；PB1＝63a，PA＝PC＝63a；PD＝a.故有4个不同的值．故选B.答案：B5. [2014·南通调研]设α，β是空间内两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．解析：将①③④作为条件，可结合长方体进行证明，即从长方体的一个顶点出发的两条棱与其对面垂直，这两个对面互相垂直，故①③④⇒②；对于②③④⇒①，可仿照前面的例子说明．答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)。