2020年湖南省岳阳市汨罗市高考数学一模试卷(理科)(含解析)

绝密★启用前湖南省汨罗市2020届高三教学质量检测试卷（一）数 学命题：汨罗市第一中学高三理科数学备课组本试卷共5页，23道题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

2． 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅 笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4． 考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U=R ，集合2{230}A x x x =--≤|，集合2{log 1}B x x =≤|，则()=B C A UA ．(2,3]B ．φC ．[1,0)(2,3]-D ． [1,0](2,3]-2.已知实数0,0x y >>，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的 A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．在等比数列{}n a 中，若2342,3,4a a a 成等差数列，则公比q 为A ．1B ．2C ．1或12D ．124．如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩依次记为A 1 ，A 2 …A 12 ．如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是 A ．9 B ．10 C ．11D ．125. 若直线()+2=0>0>0ax by a b +、截得圆()()2221=1x y +++的弦长为2，则12a b+的最小值为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．106． 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数的图象大致是7．函数的图像可由函数的图像至少向右平移______个单位长度得到． A ．23πB ．3π C ．2π D ．6π 8．若向量a 与b 的夹角为60o ，(2,0)a =，223a b +=，则b ＝ A. 3 B ．1 C ．4 D ．39．如图，AB 和CD 是圆O 两条互相垂直的直径，分别以OA ,OB ,OC ,OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．B ．C ．D ．10．设函数()f x 的定义域为R ，满足2(1)()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =--.若对任意[,)x m ∈+∞，都有8()9f x ≤，则m 的取值范围是 A ．7[,)6-+∞B ．5[,)3-+∞C ．5[,)4-+∞D ．4[,)3-+∞()21cos 21x xf x x +=-sin 3cos y x x =-sin 3cos y x x =+21π-112π-2π1πABCDO11．SC 是球O 的直径，A 、B 是该球面上两点，AB =30ASC BSC ∠=∠=，棱锥S ABC -的体积为，则球O 的表面积为A.4πB.8πC.16πD.32π12.关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是 （1）2x =是()f x 的极小值点； （2）函数()y f x x =-有且只有1个零点；（3）1()2f x x >恒成立； （4）设函数2()()4g x xf x x =-++，若存在区间1[,][,)2a b ⊂+∞，使()g x 在[,]a b 上的值域是[(2),(2)]k a k b ++，则92ln 2(1,]10k +∈. A ．(1)(2)(3)(4) B ．(1) (2) C ．(2)(4) D ．(1) (2) (4) 二、填空题（本大题共4小题，共20分．把答案填在题中的横线上）13．已知单位向量a 与向量(1,2)=b 方向相同，则向量a 的坐标是___________．14．已知ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若60B =︒，2b =，则sin A 的值为___________． 15．2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额．新的税率表如下：2019年1月1日后个人所得税税率表金和赡养老人等六项专项附加扣除．其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元．某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是___________元． 16．函数(15sin 7)cos y x x =+的最大值是___________．三、解答题（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d 为整数，S 5=35，且a 2，a 3+1，a 6成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设数列{b n }满足b n =11n n a a ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（本小题满分12分）19．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，短轴长为2.（Ⅰ）求椭圆T 的标准方程；（Ⅱ）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 的垂直平分线过定点(1,0)，求实数k 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数()ln (1)f x x a x =--．（1）若函数()f x 的图象与x 轴相切，求实数a 的值； （2）讨论函数()f x 的零点个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22,23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ-=.（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线经过曲线的焦点F 且与曲线相交于两点，设线段的中点为，求FQ 的值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数. （Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若成立，求实数的取值范围.xOy l t x C l C l C C ,A B AB Q 4()1,(0)f x x a x a a=+++->()5f x ≥(1)6f <a。

岳阳县一中2020届高三市一模模拟试题(二)数 学(理科)总分:150分 时量:120分钟一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.若复数z 满足(2)55(z i i i +=+为虚数单位),则z 为( )A. 35i +B. 35i -C. 35i -+D. 35i -- 2.已知集合{|2},{|2}x x A x y B y y ====,则A B =I ( )A. [0,)+∞B. (0,)+∞C. RD. ∅3.设某大学的女生体重y (单位:kg )与身高x (单位:cm )具有线性相关关系,根据一组样本数 据(,i x )(1,2,,)i y i n =L ,用最小二乘法建立的回归直线方程为$0.8585.71y x =-,则下列结论中不正确的是( )A. y 与x 具有正的线性相关关系B. 回归直线方程过样本点的中心(,)x yC. 若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重为58.79kg4.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若2019201312018,620192013S S a =--=,则2019S =( ) A. 2019 B. 2018 C. 1 D. 05.已知217()ln ,()(0)22f x xg x x mx m ==++<,直线l 与函数(),()f x g x 的图象都相切,且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ,则m 的值为( )A. 1-B. 3-C. 4-D. 2-6.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点,O E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD交于点F ,若,AC BD ==a b u u u r u u u r ,则AF u u u r等于( )A.1142+a b B. 2133+a b C. 1124+a b D. 1233+a b 7.如图,在正方体ABCD -1111A B C D 中,E 为棱1BB 的中点,用过点 1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为( )8.已知F 为抛物线28y x =的焦点,过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于,A B 两点, 则||FA FB -的值为( )C A B DD 11A. B. 8C. D. 16 9.函数()sin f x x =在区间(0,10)π上可以找到n 个不同的数12,,n x x x L ,使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===L 成立,则n 的最大值等于( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 1110.从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张,将其中一张在验钞机上检验发现是假钞,则这两张都是假钞的概率为( )A.217 B. 215 C. 15 D. 31011.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,以线段12F F 为直径为圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ,若12||||2MF MF b -=,该双曲线的离心率为e ,则2e =( )A. 2B.12C. 32+D. 12.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1,点M 在线段BC 上(点M 异于,B C 两点),点N 为线段1CC 的中点,若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形,则线段BM 的取值范围为( )A. 1(0,]3B. 1(0,]2C. 1[,1)2D. 12[,]23二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中对应题号后横线上.13.若变量,x y 满足约束条件2,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2x y +的最大值为 .14.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”.今共有粮38石,按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”,已知甲分得18石,则“衰分比”为15.若3(ax 的展开式中含2x项的系数为,则22a x dx -⎰的值为 16.函数()2)f x x π≤≤的值域为 .三、解答题:本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题:共60分17.(本小题满分12分)已知(2cos ,1),(,cos )x x y x =+=a b ,且//a b . (Ⅰ)将y 表示成x 的函数()f x ,并求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若9()3,2f B BC BA =⋅=u u u r u u u r,且3a c +=,求边长b .18.(本小题满分12分)如图,平面ABEF ⊥平面ABC ,四边形ABEF 为矩形,,AC BC O =为AB 的中点,OF EC ⊥. (Ⅰ)求证:OE FC ⊥;(Ⅱ)若FC 与平面ABC 所成的角为30o ,求钝二面角F CE B --的余弦值.19.(本小题满分12分)已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的椭圆G 与x 轴交于A 、C 两点,与y 轴交于B 、D 两点,且A 点的坐标为(—2,0),四边形ABCD 的面积为4. (Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ)过x 轴上一点M (1,0)作一条不垂直于y 轴的直线l ,交椭圆G 于E 、F 点,是否存在直线l ,使得AEF ∆,说明理由.20.(本小题满分12分)岳阳市某县乡村中学教师流失现象非常严重,为了乡村孩子们能接受良好教育,该县教 体局今年要为两所乡村中学招聘储备未来三年的教师,现在每招聘一名教师需要1万元,若 三年后教师严重短缺时再招聘,由于各种因素,则每招聘一名教师需要3万元,已知现在该县 乡村中学无多余教师,为决策应招聘多少名乡村中学教师,该县教体局搜集并整理了其中50表示两所乡村中学过去三年共流失的教师数,n 表示今年这两所乡村中学招聘的教师数.为 保障该县乡村中学孩子们教育不受影响,若未来三年内教师有短缺,则第四年马上招聘短缺 的教师.(Ⅰ)求X 的分布列;(Ⅱ)若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值;(Ⅲ)以两所乡村中学未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据,在15n =与16n =之中选一种,应选用哪种? 21.(本小题满分12分)A C O EB F已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x =-++. (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(Ⅱ)若对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞<,都有2121()()1f x f x x x -≥--恒成立,求a 的取值范围; (Ⅲ)当0a >时,若()f x 在区间[1,]e 上的最小值为2-,求a 的值.(二)选考题:共10分.请考生在第22～23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分) 选修4-4: 坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,点M ,以坐标原点为极点,x 轴为非负半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为cos()4πρθ-=点A 为直线l 与极轴的交点,若以A 点为圆心的圆经过点M . (Ⅰ).求圆A 的直角坐标方程;(Ⅱ).若直线l '的参数方程为1,(,x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),直线l '与圆A 交于,P Q 两点,求||PQ 的值.23.(本小题满分10分) 选修4-5: 不等式选讲已知0x R ∃∈,使|1||2|x x t ---≥成立. (Ⅰ)求满足条件的实数t 的集合T ;(Ⅱ)若1,1,m n >>对t T ∀∈,不等式33log log m n t ⋅≥恒成立,求mn 的最小值.模拟卷(二)参考答案一、选择题 1.B. 2.B. 3.D. 4.D. 5.D. 6.B. 7.C. 8.C. 9.C. 10. A. 11.D. 12. B.二、填空题 13. 53. 14.13. 15.73,3或. 16.11[,]22y ∈-.三、解答题17.【解】(Ⅰ)由//a b 得,22cos cos 0x x x y +-=,…………………………………2分即22cos cos 1cos222sin(2)16y x x x x x x π=+=++=++所以()2sin(2)16f x x π=++,……………………………………………………………4分又22||2T πππω===,所以()f x 的最小正周期为π.……………………………………6分 (Ⅱ)由()3f B =得2sin(2)136B π++=,即sin(2)16B π+=, 又22666B ππππ<+<+,所以262B ππ+=,即6B π=.…………………………………8分又由92BC BA ⋅=u u u r u u u r 知9cos 2ac B =,所以ac =分由余弦定理知22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+,即22(3233b =-⨯+=,所以b =分 18.【解】(Ⅰ) 证明:由平面ABEF ⊥平面ABC且,AC BC O =为AB 中点,所以OC AB ⊥, 所以OC ⊥面ABEF ,故OF OC ⊥,又已知OF EC ⊥OF ⊥面OEC ;也所以OE OF ⊥OE OC ⊥, 且OC OF O =I 所以OE FC ⊥分 (Ⅱ)由平面ABEF ⊥平面ABC 且矩形ABEF 中,AF AB ⊥,ABC ,取EF 的中点D ,连结OD , 易知OD ⊥面ABC ,如图以O 为原点,以OC OB OD 、、分别为x y z 、、轴建立空间坐标系,设1AF =,则2AB=,由FC 与平面ABC 所成的角为30o ,即30ACF ∠=o ,所以2,AC FC OC ===则(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0)F E C B -,从而((0,2,0)CE EF ==-u u u r u u u r,设平面FCE 的法向量为1(,,)x y z =n ,则由110,0CE EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u u ur,得0,20y z y ⎧++=⎪⎨-=⎪⎩,得0y =,令1,x =得z =,故1=n , 同理可得平面BEC的一个法向量为=n ,13=-,即求.…………………………………12分19.【解】(Ⅰ)因为A 点坐标为(2,0)-,故4AC =,又因为四边形ABCD 为菱形,故其面积为14,2AC BD =⨯⨯故2BD =.所以椭圆G 是焦点在x 轴上的椭圆,且长半轴长为2,短半轴长为1.所以椭圆G 的方程为2214x y +=20.【解】(Ⅰ)依题依题每所中学流失教师数6,7,8,9的概率分别为510105，，，, 又X 的所有可能取值为12,13,14,15,16,17,18,19,且两所中学教师流失是相互独立事件,于是由事件的相互独立性知211133(12)(,(13)252551025P X P X =====⨯⋅=; 222313211313(14)(2,(15)2(2()1051010051050P X P X ==+⋅⋅===+=;233121313(16)(2,(17)21010510010525P X P X ==+⋅⋅===⋅⋅=,211(18)()525P X ===. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当14n =时,(14)0.52525100100P X ≤=++=<;当15n =时,371363(15)0.510050100P X ≤=+=>,所以n 的最小值为15.…………………7分 (Ⅲ)设ξ表示两所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用,①当15n =时,可知15X ≤时,15ξ=;16X =时,18ξ=;17X =时,21ξ=; 18X =时,24ξ=;于是ξ的分布列为于是1()1518212416.711001002525100E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅==;②当16n =时,同理可得ξ分布列为:于是2()16192216.6252525100E ξ=⋅+⋅+⋅==;由于12()()E E ξξ>,故应选16n =.……………………………………………………12分21.【解】(Ⅰ)当1a =时,211()ln 2,()22f x x x x f x x x'=+-=+-所以3(1)0,(1)2k f f '===-,所以切线方程为32y =-..…………………………………3分(Ⅱ)由对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞<,都有2121()()1f x f x x x -≥--恒成立 等价于21121122()()()()f x f x x x f x x f x x -≥-⇔+≤+,等价于21()()ln 2g x f x x ax ax x =+=-+在(0,)+∞上递增(()g x 不可能为常量函数)则211()0ax ax g x ax a x x-+'=-+=≥在(0,)+∞恒成立,于是210ax ax -+≥对(0,)+∞恒成立, ①当0a =时,10≥显然成立;②当0a ≠时,由二次函数图象知,有0a >,又102x =>对,所以只须240a a ∆=-≤,得04a <≤;综上①②得04a ≤≤..………………………………………………………………………7分(Ⅲ)由21()ln (1)2f x x ax a x =+-+的定义域为(0,)+∞,又21(1)1(1)(1)()(1),0,0ax a x ax x f x ax a x a x x x-++--'=+-+==>>,令()0f x '=时,得1211,x x a==;①当1a =时,2(1)()0x f x x-'=≥,则()f x 在定义域上递增,所以min 1()(1)122f x f a ==--=-,得2a =,舍去;②当1a >时,则11a <,可知当1x >时,()0f x '>,则()f x 递增,同理①可得2a =,符合;③当01a <<时,11a >;当11x a <<,()0f x '<,()f x 递减,当1x a>时,()0f x '>,()f x 递增,1)当1e a ≥,即10a e<≤时,()f x 在[1,]e 上最小值21()1(1)12f e ae a e =+-+=-,解得26202ea e e-=<-,舍去; 2)当11e a <<,即11a e<<时,()f x 在[1,]e 上最小值为11()ln 122f a a a =---=-,即1ln 12a a +=,令2211121()ln ,()222a h a a h a a a a a -'=+=-=, 易知当112a e <<时,()0h a '<,()h a 递减,当112a <<时,()0,()h a h a '>递增;所以1()max{(),(1)}h a h h e ≤.又11()11,(1)122e h h e =-+<=<,所以()1h a <恒成立.所以1ln 12a a +=在1(,1)e上无解. 综上①②③知,2a =为所求. ………………………………………………………………12分22.【解】(Ⅰ)由直线l :cos()4πρθ-=,cos sin 2ρθρθ+= 代入得:20l x y +-=,令0y =时,得(2,0)A ,易知圆A 的半径为2r AM ==,也即22:(2)4A x y -+=e .(Ⅱ)设直线l '与A e 交点,P Q 对参数分别为12,t t ,则由t 的几何意义知12||||PQ t t =-,也即||PQ 而将l '方程代入A e 中有230t -=,0∆>恒成立,故12123t t t t +==-,代入上式得||PQ ==即求.23.【解】(Ⅰ)由绝对值三角不等式||1||2|||(1)(2)|1x x x x ---≤---=, 当(1)(2)0x x --≥,即1,x ≤或2x ≥时取等号,得1|1||2|1x x -≤---≤,依题0x R ∃∈,使|1||2|x x t ---≥成立,则只需1t ≤,即有{|1}T t t =≤.………………5分 (Ⅱ)由t T ∀∈,不等式33log log m n t ⋅≥恒成立,则33log log 1m n ⋅≥, 而1,1,m n >>则33log 0,log 0m n >>,于是由2233333log log log log log ()24m n mnm n +⋅≤=,得2333log log log mn m n ≥4⋅≥4⨯1, 得3log 2mn ≥,即9mn ≥,当且仅当33log log m n =,且33log log 1m n ⋅=时取等号,于是得3m n ==时,mn 有最小值9. ……………………………………………………10分。

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,52．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（ ）A ．6i >，7SS =B ．6i 7S S =C ．6i >，7S S =D ．6i ，7S S =3．设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]5,3-B ．[]2,3C ．[)2,+∞D ．(],3-∞4．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x+6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ） A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]5．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．106．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12B ．21C ．24D ．368．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3B ．13-C ．12-D ．1-10．已知函数()3sin ,f x x a x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（ ） A ．2B ．2-C ．1a +D ．1a -11．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ） 235 2.236≈≈≈） A ．22个B ．24个C ．26个D ．28个12．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．74B ．32C ．2D ．54二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年湖南省岳阳市汩罗市第三中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A解析：对于“”“”；反之不一定成立，因此“”是“”的充分而不必要条件．2. 若函数，且，，的最小值是，则的单调递增区间是（）A．B．C．D．参考答案：A3. 一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为(A) 96 (B) 136(C) 152 (D) 192参考答案：C略4. 若，则的值为( )A. B. C.D.参考答案：B略5. ．甲、乙、丙、丁、戊五人出差，分别住在、、、、号房间，现已知：（）甲与乙不是邻居；（）乙的房号比丁小；（）丙住的房是双数；（）甲的房号比戊大．根据上述条件，丁住的房号是（）．A．号B．号C．号D．号参考答案：B解：根据题意可知，、、、、号房间分别住的是乙、戊、丁、丙、甲，故丁住的房号是．故选．6. 在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A. B.C. D.参考答案：C略7. 已知条件：在区间上单调递增，条件：，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A试题分析：因为条件：在区间上单调递增，所以；所以是的充分不必要条件.考点：充分、必要条件的判断.8. 设集合，，为虚数单位，R，则为（）A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]参考答案：9. 下列四个结论中不正确的是（）A．若x＞0，则x＞sinx恒成立B．命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的否命题为“若x﹣sinx≠0，则x≠0”C．“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件D．命题“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0＜0”参考答案：D【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A构造函数y=x﹣sinx，利用导数判断y是单调增函数，从而判断A正确；B根据命题“若p则q”的否命题为“若￢p则￢q”，判断正误即可；C分别判断充分性和必要性是否成立即可；D根据全称命题的否定是特称命题，判断正误即可．【解答】解：对于A，令y=x﹣sinx，求出导数y′=1﹣sinx≥0，∴y是单调增函数，∴x＞0时，x＞sinx恒成立，A正确；对于B，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的否命题为“若x﹣sinx≠0，则x≠0”，B正确；对于C，“命题p∧q为真”，则命题p为真，q也为真，∴“命题p∨q为真”，充分性成立，“命题p∨q为真”则命题p、q一真一假或同为真，则“命题p∧q为真”不一定成立，即必要性不成立；∴是充分不必要条件，C正确；对于D，命题“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，∴D错误．故选：D．10.从存有号码为1,2，…,10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是( )A 0.53，B 0.5，C 47，D 0.37。

岳阳县一中2020届高三市一模模拟试题(二)数 学(理科)总分:150分 时量:120分钟一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.若复数z 满足(2)55(z i i i +=+为虚数单位),则z 为( )A. 35i +B. 35i -C. 35i -+D. 35i -- 2.已知集合{|2},{|2}x x A x y B y y ====,则A B =I ( )A. [0,)+∞B. (0,)+∞C. RD. ∅3.设某大学的女生体重y (单位:kg )与身高x (单位:cm )具有线性相关关系,根据一组样本数 据(,i x )(1,2,,)i y i n =L ,用最小二乘法建立的回归直线方程为$0.8585.71y x =-,则下列结论中不正确的是( )A. y 与x 具有正的线性相关关系B. 回归直线方程过样本点的中心(,)x yC. 若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重为58.79kg4.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若2019201312018,620192013S S a =--=,则2019S =( ) A. 2019 B. 2018 C. 1 D. 05.已知217()ln ,()(0)22f x xg x x mx m ==++<,直线l 与函数(),()f x g x 的图象都相切,且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ,则m 的值为( )A. 1-B. 3-C. 4-D. 2-6.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点,O E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD交于点F ,若,AC BD ==a b u u u r u u u r ,则AF u u u r等于( )A.1142+a b B. 2133+a b C. 1124+a b D. 1233+a b 7.如图,在正方体ABCD -1111A B C D 中,E 为棱1BB 的中点,用过点 1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为( )8.已知F 为抛物线28y x =的焦点,过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于,A B 两点, 则||FA FB -的值为( )C A B DD 11A. B. 8C. D. 16 9.函数()sin f x x =在区间(0,10)π上可以找到n 个不同的数12,,n x x x L ,使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===L 成立,则n 的最大值等于( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 1110.从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张,将其中一张在验钞机上检验发现是假钞,则这两张都是假钞的概率为( )A.217 B. 215 C. 15 D. 31011.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,以线段12F F 为直径为圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ,若12||||2MF MF b -=,该双曲线的离心率为e ,则2e =( )A. 2B.12C. 32+D. 12.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1,点M 在线段BC 上(点M 异于,B C 两点),点N 为线段1CC 的中点,若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形,则线段BM 的取值范围为( )A. 1(0,]3B. 1(0,]2C. 1[,1)2D. 12[,]23二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中对应题号后横线上.13.若变量,x y 满足约束条件2,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2x y +的最大值为 .14.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”.今共有粮38石,按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”,已知甲分得18石,则“衰分比”为15.若3(ax 的展开式中含2x项的系数为,则22a x dx -⎰的值为 16.函数()2)f x x π≤≤的值域为 .三、解答题:本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题:共60分17.(本小题满分12分)已知(2cos ,1),(,cos )x x y x =+=a b ,且//a b . (Ⅰ)将y 表示成x 的函数()f x ,并求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若9()3,2f B BC BA =⋅=u u u r u u u r,且3a c +=,求边长b .18.(本小题满分12分)如图,平面ABEF ⊥平面ABC ,四边形ABEF 为矩形,,AC BC O =为AB 的中点,OF EC ⊥. (Ⅰ)求证:OE FC ⊥;(Ⅱ)若FC 与平面ABC 所成的角为30o ,求钝二面角F CE B --的余弦值.19.(本小题满分12分)已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的椭圆G 与x 轴交于A 、C 两点,与y 轴交于B 、D 两点,且A 点的坐标为(—2,0),四边形ABCD 的面积为4. (Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ)过x 轴上一点M (1,0)作一条不垂直于y 轴的直线l ,交椭圆G 于E 、F 点,是否存在直线l ,使得AEF ∆,说明理由.20.(本小题满分12分)岳阳市某县乡村中学教师流失现象非常严重,为了乡村孩子们能接受良好教育,该县教 体局今年要为两所乡村中学招聘储备未来三年的教师,现在每招聘一名教师需要1万元,若 三年后教师严重短缺时再招聘,由于各种因素,则每招聘一名教师需要3万元,已知现在该县 乡村中学无多余教师,为决策应招聘多少名乡村中学教师,该县教体局搜集并整理了其中50表示两所乡村中学过去三年共流失的教师数,n 表示今年这两所乡村中学招聘的教师数.为 保障该县乡村中学孩子们教育不受影响,若未来三年内教师有短缺,则第四年马上招聘短缺 的教师.(Ⅰ)求X 的分布列;(Ⅱ)若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值;(Ⅲ)以两所乡村中学未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据,在15n =与16n =之中选一种,应选用哪种? 21.(本小题满分12分)A C O EB F已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x =-++. (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(Ⅱ)若对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞<,都有2121()()1f x f x x x -≥--恒成立,求a 的取值范围; (Ⅲ)当0a >时,若()f x 在区间[1,]e 上的最小值为2-,求a 的值.(二)选考题:共10分.请考生在第22～23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分) 选修4-4: 坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,点M ,以坐标原点为极点,x 轴为非负半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为cos()4πρθ-=点A 为直线l 与极轴的交点,若以A 点为圆心的圆经过点M . (Ⅰ).求圆A 的直角坐标方程;(Ⅱ).若直线l '的参数方程为1,(,x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),直线l '与圆A 交于,P Q 两点,求||PQ 的值.23.(本小题满分10分) 选修4-5: 不等式选讲已知0x R ∃∈,使|1||2|x x t ---≥成立. (Ⅰ)求满足条件的实数t 的集合T ;(Ⅱ)若1,1,m n >>对t T ∀∈,不等式33log log m n t ⋅≥恒成立,求mn 的最小值.模拟卷(二)参考答案一、选择题 1.B. 2.B. 3.D. 4.D. 5.D. 6.B. 7.C. 8.C. 9.C. 10. A. 11.D. 12. B.二、填空题 13. 53. 14.13. 15.73,3或. 16.11[,]22y ∈-.三、解答题17.【解】(Ⅰ)由//a b 得,22cos cos 0x x x y +-=,…………………………………2分即22cos cos 1cos222sin(2)16y x x x x x x π=+=++=++所以()2sin(2)16f x x π=++,……………………………………………………………4分又22||2T πππω===,所以()f x 的最小正周期为π.……………………………………6分 (Ⅱ)由()3f B =得2sin(2)136B π++=,即sin(2)16B π+=, 又22666B ππππ<+<+,所以262B ππ+=,即6B π=.…………………………………8分又由92BC BA ⋅=u u u r u u u r知9cos 2ac B =,所以ac =分由余弦定理知22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+,即22(3233b =-⨯+=,所以b =分 18.【解】(Ⅰ) 证明:由平面ABEF ⊥平面ABC且,AC BC O =为AB 中点,所以OC AB ⊥, 所以OC ⊥面ABEF ,故OF OC ⊥,又已知OF EC ⊥OF ⊥面OEC ;也所以OE OF ⊥OE OC ⊥, 且OC OF O =I 所以面所以OE FC ⊥分 (Ⅱ)由平面ABEF ⊥平面ABC 且矩形ABEF 中,AF AB ⊥,ABC ,取EF 的中点D ,连结OD , 易知OD ⊥面ABC ,如图以O 为原点,以OC OB OD 、、分别为x y z 、、轴建立空间坐标系,设1AF =,则2AB=,由FC 与平面ABC 所成的角为30o ,即30ACF ∠=o ,所以2,AC FC OC ===则(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0)F E C B -,从而((0,2,0)CE EF ==-u u u r u u u r,设平面FCE 的法向量为1(,,)x y z =n ,则由110,0CE EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u u ur ,得0,20y z y ⎧++=⎪⎨-=⎪⎩,得0y =,令1,x =得z =,故1=n , 同理可得平面BEC 的一个法向量为2=n ,3=-,即求.…………………………………12分19.【解】(Ⅰ)因为A 点坐标为(2,0)-,故4AC =,又因为四边形ABCD 为菱形,故其面积为14,2AC BD =⨯⨯故2BD =.所以椭圆G 是焦点在x 轴上的椭圆,且长半轴长为2,短半轴长为1.所以椭圆G 的方程为2214x y +=20.【解】(Ⅰ)依题依题每所中学流失教师数6,7,8,9的概率分别为510105，，，, 又X 的所有可能取值为12,13,14,15,16,17,18,19,且两所中学教师流失是相互独立事件,于是由事件的相互独立性知211133(12)(,(13)252551025P X P X =====⨯⋅=; 222313211313(14)(2,(15)2(2()1051010051050P X P X ==+⋅⋅===+=;233121313(16)(2,(17)21010510010525P X P X ==+⋅⋅===⋅⋅=,211(18)()525P X ===.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当14n =时,132137(14)0.52525100100P X ≤=++=<; 当15n =时,371363(15)0.510050100P X ≤=+=>,所以n 的最小值为15.…………………7分(Ⅲ)设ξ表示两所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用,①当15n =时,可知15X ≤时,15ξ=;16X =时,18ξ=;17X =时,21ξ=;时,;于是的分布列为于是1()1518212416.711001002525100E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅==;②当16n =时,同理可得分布列为:于是2()16192216.6252525100E ξ=⋅+⋅+⋅==;由于12()()E E ξξ>,故应选16n =.……………………………………………………12分21.【解】(Ⅰ)当1a =时,211()ln 2,()22f x x x x f x x x'=+-=+-所以3(1)0,(1)2k f f '===-,所以切线方程为32y =-..…………………………………3分(Ⅱ)由对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞<,都有2121()()1f x f x x x -≥--恒成立 等价于21121122()()()()f x f x x x f x x f x x -≥-⇔+≤+,等价于21()()ln 2g x f x x ax ax x =+=-+在(0,)+∞上递增(()g x 不可能为常量函数)则211()0ax ax g x ax a x x-+'=-+=≥在(0,)+∞恒成立,于是210ax ax -+≥对(0,)+∞恒成立, ①当0a =时,10≥显然成立;②当0a ≠时,由二次函数图象知,有0a >,又102x =>对,所以只须240a a ∆=-≤,得04a <≤;综上①②得04a ≤≤..………………………………………………………………………7分(Ⅲ)由21()ln (1)2f x x ax a x =+-+的定义域为(0,)+∞,又21(1)1(1)(1)()(1),0,0ax a x ax x f x ax a x a x x x-++--'=+-+==>>,令()0f x '=时,得1211,x x a==; ①当1a =时,2(1)()0x f x x-'=≥,则()f x 在定义域上递增,所以min 1()(1)122f x f a ==--=-,得2a =,舍去;②当1a >时,则11a <,可知当1x >时,()0f x '>,则()f x 递增,同理①可得2a =,符合;③当01a <<时,11a >;当11x a <<,()0f x '<,()f x 递减,当1x a>时,()0f x '>,()f x 递增,1)当1e a ≥,即10a e<≤时,()f x 在[1,]e 上最小值21()1(1)12f e ae a e =+-+=-,解得26202ea e e -=<-,舍去;2)当11e a <<,即11a e<<时,()f x 在[1,]e 上最小值为11()ln 122f a a a =---=-,即1ln 12a a +=,令2211121()ln ,()222a h a a h a a a a a -'=+=-=, 易知当112a e <<时,()0h a '<,()h a 递减,当112a <<时,()0,()h a h a '>递增;所以1()max{(),(1)}h a h h e ≤.又11()11,(1)122e h h e =-+<=<,所以()1h a <恒成立.所以1ln 12a a +=在1(,1)e上无解. 综上①②③知,2a =为所求. ………………………………………………………………12分22.【解】(Ⅰ)由直线l :cos()4πρθ-=,cos sin 2ρθρθ+= 代入得:20l x y +-=,令0y =时,得(2,0)A ,易知圆A 的半径为2r AM ==,也即22:(2)4A x y -+=e .(Ⅱ)设直线l '与A e 交点,P Q 对参数分别为12,t t ,则由t 的几何意义知12||||PQ t t =-,也即||PQ 而将l '方程代入A e 中有230t -=,0∆>恒成立,故12123t t t t +==-,代入上式得||PQ ==即求.23.【解】(Ⅰ)由绝对值三角不等式||1||2|||(1)(2)|1x x x x ---≤---=, 当(1)(2)0x x --≥,即1,x ≤或2x ≥时取等号,得1|1||2|1x x -≤---≤,依题0x R ∃∈,使|1||2|x x t ---≥成立,则只需1t ≤,即有{|1}T t t =≤.………………5分 (Ⅱ)由t T ∀∈,不等式33log log m n t ⋅≥恒成立,则33log log 1m n ⋅≥, 而1,1,m n >>则33log 0,log 0m n >>,于是由2233333log log log log log ()24m n mnm n +⋅≤=,得2333log log log mn m n ≥4⋅≥4⨯1, 得3log 2mn ≥,即9mn ≥,当且仅当33log log m n =,且33log log 1m n ⋅=时取等号,于是得3m n ==时,mn 有最小值9. ……………………………………………………10分。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+g 为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】 B【解析】 z = i ·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B 选B2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法 【答案】 D 【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。

选D3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于 A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 【答案】 D【解析】 3=A 223=sinA sinB 3 = sinB 2sinA :得b 3=2asinB 由ππ⇒<⇒⋅⋅A ， 选D4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2B ．0C ．53D ．52【答案】 C【解析】 区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点最大时，35)32,31(=u 选C5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】 B【解析】 二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为x=2，g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2 选B6. 已知,a b 是单位向量，0a b =g .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦， B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦， C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦， 【答案】 A 【解析】向量之差的向量与即一个模为单位c 2.1|c -)b a (||b a -c |,2|b a |向量，是b ,a =+=-=+∴Θ的模为1，可以在单位圆中解得12||1-2+≤≤c 。