函数模型的应用

函数模型及应用研究报告函数模型是指通过对一个或多个自变量的输入，通过一系列数学运算得出一个或多个因变量的输出的数学模型。

函数模型是数学应用中的重要工具，广泛应用于各个领域，包括工程、物理、计算机科学等等。

本文旨在探讨函数模型的应用，并以实际问题为例，研究其在解决实际问题中的应用和效果。

二、函数模型的概述1. 函数模型的定义：函数模型是通过对自变量进行加工运算，得到因变量的数学模型。

函数模型可以是线性的、非线性的、离散的或连续的等等。

2. 函数模型的应用：函数模型广泛应用于各个领域。

在经济领域，函数模型可以用于描述供需关系，预测经济走势。

在物理领域，函数模型可以用于描述运动物体的位移、速度、加速度等等。

在工程领域，函数模型可以用于优化设计、提高生产效率。

在计算机科学领域，函数模型可以用于解决各种算法和计算问题。

三、函数模型在实际问题中的应用1. 函数模型在经济学中的应用：函数模型可以用于描述供需关系。

例如，在市场经济中，供给和需求的关系决定了商品的价格和数量。

通过建立供给和需求的函数模型，可以分析价格对数量的影响，预测未来市场的变化趋势，辅助经济决策。

2. 函数模型在物理学中的应用：函数模型可以用于描述运动物体的位移、速度、加速度等等。

例如，在物体运动的过程中，可以通过建立位移与时间的函数模型，预测物体的运动轨迹；通过建立速度与时间的函数模型，计算物体在不同时间点的速度。

这对于研究物体的运动规律、优化设计等方面都具有重要意义。

3. 函数模型在工程学中的应用：函数模型可以用于优化设计、提高生产效率。

例如，在工程设计中，通过建立输入与输出之间的函数模型，可以确定最优设计参数，提高产品质量和性能；在生产过程中，通过建立生产过程的函数模型，可以分析生产效率和成本之间的关系，优化生产流程。

这对于提高工程效益具有重要作用。

4. 函数模型在计算机科学中的应用：函数模型是计算机科学的基石。

在算法设计与分析中，函数模型可以用于描述算法的时间复杂度、空间复杂度等；在机器学习中，函数模型可以用于构建分类器和回归器，实现数据分析和预测；在图像处理中，函数模型可以用于描述图像的变换和处理。

三角函数模型的简单应用
一、引言
三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。

本文将介
绍三角函数模型在实际问题中的简单应用，包括振动、音乐、天文等方面。

二、振动模型
振动是物理学中常见的现象，三角函数模型可以很好地描述振动的特性。

例如，在弹簧振子中，物体在平衡位置附近偏离并摆动，可以用正弦
函数描述振动的过程。

振动的周期、频率和振幅等因素可以通过三角函数
进行计算和预测。

三、音乐模型
音乐是艺术与科学的结合，三角函数模型在音乐中也有着重要的应用。

音乐的基本要素包括音高、音长和音色等。

三角函数可以帮助我们理解和
创建不同音调的声音，例如正弦函数可以生成纯音，而复杂的乐曲可以通
过多个三角函数的叠加来表示。

四、天文模型
三角函数模型在天文学中也扮演着重要的角色。

例如，我们可以使用
正弦函数来描述地球公转和自转的运动规律。

通过对三角函数模型的运用，我们可以计算出日出、日落以及季节变化等现象，并预测天文事件的发生
时间和位置。

五、结论
三角函数模型的简单应用涵盖了振动、音乐和天文等多个领域。

通过
对三角函数的理解和运用，我们可以更好地理解和解释各种现象，并进行
相关问题的计算和预测。

在实际应用中，对三角函数模型的灵活运用将有
助于我们解决各类问题。

专题3.4函数的应用1．一次函数模型的应用一次函数模型：f (x )=kx +b (k ,b 为常数，k ≠0).一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.2．二次函数模型的应用二次函数模型：f (x )=+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0).二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型.3．幂函数模型的应用幂函数模型应用的求解策略(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.4．分段函数模型的应用由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.5．“对勾”函数模型的应用对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y =ax +(a >0,b >0)，当x >0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运一、单选题1．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B ()22,12222,1x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ．2．设函数()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．()1,+∞C ．[)1,+∞D ．(),1-∞【答案】D 因为()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时，()2xf x -=显然单调递减；当0x >时，()2f x x =-也是单调递减；且()002101f ==-=，即函数图像连续不断，所以()f x 在其定义域上单调递减，由()()12f x f x +<可得12x x +>，解得1x <.故选：D.3．根据表格中的数据，可以断定方程(2)0( 2.72)x e x e -+=≈的一个根所在的区间是（）x －10123ex 0.371 2.727.4020.12x ＋212345A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)【答案】C【解析】设函数()(2)0x f x e x =-+=，(1)0.3710,(0)120,(1) 2.7230f f f -=-<=-<=-<，(2)7.4040f =->，∴(1)(2)0f f <，又()(2)x f x e x =-+在区间(1，2)连续，∴函数()f x 在区间(1，2)存在零点，∴方程根所在的区间为(1，2)，故选：C.4．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩,若实数(0,1)m ∈,则函数()()g x f x m =-的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】令()()0g x f x m =-=，得()f x m =，根据分段函数()f x 的解析式，做出函数()f x 的图象，如下图所示，因为(0,1)m ∈，由图象可得出函数()()g x f x m =-的零点个数为3个，故选：D.5．某地一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：h ）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则()C t 与t 之间的函数图像大致是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题图看出，0=t 时，()0C t =，排除B ；在[]0,4上，()C t 不断增大，在[]4,8上，()C t 先是一个定值，然后增大，在[]812，上，()C t 不断增大，在[]1220，上，()C t 是个定值，在[]20,24上，()C t 不断增大，故选D.6．甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车快．若每人离开甲地的距离S与所用时间t的函数用图象表示，则甲、乙对应的图象分别是A．甲是(1)，乙是(2)B．甲是(1)，乙是(4)C．甲是(3)，乙是(2)D．甲是(3)，乙是(4)【答案】B【解析】由甲先骑自行车后跑步，故图象斜率先大后小，则甲图象为(1)或(3)，由乙先跑步后骑自行车，故图象斜率先小后大，则乙图象为(2)或(4)，又甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中y随x的变化比乙后一半路程y随x的变化要快，所以甲为(1)，乙为(4)．故选：B．7．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A，B两件商品，则应付款是A．413.7元B．513.7元C．546.6元D．548.7元【答案】C【解析】依题意可得，因为168200<，所以购买A商品没有优惠，则A商品的价格为168元．当购买价值500元的物品时实际付款为5000.9450423⨯=>，所以购买B商品享受了9折优惠，则B商品的原价为4234700.9=元．若一次性购买两件商品则付款总额为168+470=638元，则应付款(638500)0.75000.9546.6-⨯+⨯=元，故选C8．给下图的容器甲注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系：（）．A ．B ．B ．C ．D ．【答案】B 试题分析：容器下端较窄，上端较宽，当均匀的注入水时，刚开始的一段时间高度变化较大，随时时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化不太明显，四个图像中只有B 项符合特点二、解答题9．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价()P x （元/套）与时间x （被调查的一个月内的第x 天）的函数关系近似满足()1kP x x=+（k 为正常数）．该商品的日销售量()Q x （个）与时间x （天）部分数据如下表所示：x 10202530()Q x 110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k 的值；(2)给出两种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入()f x （130x ≤≤，*N x ∈）（元）的最小值．【答案】(1)1k =(2)选择②，()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈）(3)121元【解析】(1)因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以(10)(10)111012110k P Q ⎛⎫⋅=+⋅= ⎪⎝⎭，解得1k =；(2)由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②:()|25|Q x a x b=-+代入数据可得：11010251202025a b a b ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得1a =-，125b =，所以()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈）(3)由（2）可得，()**100,125,N 12525150,2530,N x x x Q x x x x x ⎧+≤<∈=--=⎨-≤≤∈⎩，所以，()()()**10010125,N 150149,2530,N x x x xf x P x Q x x x x x ⎧++≤<∈⎪⎪=⋅=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩，所以当125x ≤<，*N x ∈时，100()101f x x x=++在区间[1,10]上单调递减，在区间[10,25)上单调递增，所以当10x =时，()f x 有最小值，且为121；当2530x ≤≤，*N x ∈时，150()149f x x x=+-为单调递减函数，所以当30x =时，()f x 有最小值，且为124，综上，当10x =时，()f x 有最小值，且为121元，所以该商品的日销售收入最小值为121元．10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)()()f x xv x =可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒【答案】(1)()60,020,()1200,202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【解析】当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x ≤≤时，设()v x ax b =+，由已知得2000,2060,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故函数()v x 的表达式为()60,020,()1200,202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2)依题意并由(1)可得()260,020,()1200,202003x x f x x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩，当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20＝1200；当20200x <≤时，()21()100100003f x x ⎡⎤=---⎣⎦，∴当100x =时，()f x 在区间(20，200]上取得最大值1000033333≈，∵3333＞1200，∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．11．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y =161,04815,4102x xx x ⎧-≤≤⎪⎪-⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值.(精确到0.11.4)【答案】(1)8天(2)1.6【解析】(1)解：∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-≤⎩＜，则当04x ≤≤时，由64448x-≥-，解得0x ≥，∴此时04x ≤≤．当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，∴此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．(2)解：设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，浓度()()()1161625114428614a g x x a x a x x =-+-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=-+-----⎝⎭⎣⎦，∵[]1448x -∈，，而14a ≤≤，∴8[]4,，故当且仅当14x -=时，y有最小值为4a -．令44a -≥，解得244a -≤，∴y a的最小值为24 1.6-．12．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益()f x 与投资额x 成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2.(1)分别写出两种产品的年收益()f x 和()g x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】(1)()()108f x x x =≥，())0g x x =≥(2)投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元，收益最大为3万元【解析】(1)依题意：可设()()10f x k x x =≥，())0g x k x =≥，∵()1118f k ==，()2112g k ==，∴()()108f x x x =≥，())0g x x =≥.(2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为()20x -万元，年收益为y 万元，依题意得：()()20y f x g x =+-，即)0208x y x =+≤≤，令t =则220x t =-，0,t ⎡∈⎣，则22082t t y -=+，0,t ⎡∈⎣()21238t =--+，所以当2t =，即16x =万元时，收益最大，max 3y =万元.13．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x （[]0,10x ∈）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭（万件），其中k 为工厂工人的复工率（[]0.5,1k ∈），A 公司生产t 万件防护服还需投入成本20950x t ++（万元）．(1)将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数（政府补贴x 万元计入公司收入）；(2)当复工率0.8k =时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．【答案】(1)3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈(2)当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元【解析】(1)由题意得()802095030820y x t x t t x =+-+-=--1236030682018082044k k x k x x x ⎛⎫=---=--- ⎪++⎝⎭，即3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈.(2)由0.8k =，得288288144820812444y x x x x =---=--+++，因()28828888432248326444x x x x +=++-≥⨯-=++，当且仅当2x =时取等号，所以6412460y ≤-+=.故当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元.14．已知函数()()21322m f x m m x -=-+是幂函数.(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性,并证明你的结论.【答案】(1)()2f x x -=;(2)函数()f x 为偶函数;(3)()f x 在()0,∞+上单调递减,证明见解析.（1）因为函数()()21322m f x m m x -=-+是幂函数，则2221m m -+=，解得1m =，故()2f x x -=．（2）函数()2f x x -=为偶函数．证明如下：由（1）知()2f x x -=，其定义域为{}0x x ≠关于原点对称，因为对于定义域内的任意x ，都有()()()()222211f x x x f x xx ---=-====-，故函数()2f x x -=为偶函数．（3）()f x 在()0,∞+上单调递减．证明如下：在()0,∞+上任取1x ，2x ，不妨设120x x <<，则()()221212221211f x f x x xx x ---=-=-()()2221212122221212x x x x x x x x x x -+-===，()12,0,x x ∈+∞且12x x <，222121120,0,0x x x x x x ∴-<+>>，()()12f x f x >()f x ∴在()0,∞+上单调递减.。

函数模型的应用
函数模型作为一种新兴的数学技术，已经在许多不同领域发挥着重要作用。

它
不仅在科学研究和工程设计中得到了广泛的应用，而且在生活娱乐中也发挥了重要作用。

首先，函数模型可以用来设计游戏。

函数模型可以模拟游戏中的各种情况，例
如游戏中的角色，地形，物体等，以及它们之间的相互作用。

这样，游戏开发者就可以根据函数模型设计出更加复杂，更有趣的游戏，从而提高游戏的娱乐性。

此外，函数模型还可以用来设计虚拟现实系统。

虚拟现实系统是一种仿真系统，可以模拟真实环境，例如建筑、景观等。

通过函数模型，可以模拟虚拟现实系统中的各种物体，以及它们之间的相互作用。

这样，虚拟现实系统就可以更加逼真，更有趣，从而为人们带来更多的娱乐。

最后，函数模型还可以用来设计智能家居系统。

智能家居系统是一种自动控制
系统，可以控制家庭电器，例如电视、灯光等。

通过函数模型，可以模拟智能家居系统中的各种设备，以及它们之间的相互作用。

这样，智能家居系统就可以更加智能化，更加便捷，从而为人们带来更多的娱乐。

总之，函数模型在生活娱乐中也发挥了重要作用。

它可以用来设计游戏、虚拟
现实系统和智能家居系统，从而为人们带来更多的娱乐。

指数函数模型的生活中的例子
指数函数模型在生活中有许多应用，以下是一些常见的例子：
1.指数增长模型：人口增长是一个经常被描述为指数增长的
例子。

随着时间的推移，人口数量以指数形式增加。

这意
味着每个时间段的增长量都与当前的总人口数量成正比，
而不是与固定值相等。

类似的情况还可以用于描述病毒传
播、社交媒体用户数量等。

2.化学反应速率：在化学反应中，一些反应的速率可以用指
数函数模型来描述。

例如，放射性衰变是一个常见的指数
过程。

放射性元素的衰变速率与其当前的数量成正比，因
此可以用指数函数来建模。

3.衰减过程：指数函数模型也可以用于描述衰减过程。

例如，
放置在室外的热液体将以指数形式冷却。

温度的变化量与
当前的温度差成正比，因此可以用指数函数来描述冷却过
程。

4.资产贬值：一些资产，如汽车、电子设备等，在使用过程
中会贬值。

资产值的减少可以用指数函数模型来描述，其
中资产价值每年以固定比例减少。

5.金融利率：指数函数模型在金融领域也有应用，例如利率
的复利计算。

在复利计算中，投资本金和利率成指数关系，可以利用指数函数模型来计算投资的增长。

这些只是一些常见的例子，指数函数模型在现实生活中的应用
非常广泛，可以涵盖许多不同的领域。

一次函数模型及应用一次函数模型是指含有一次幂的函数，可以用以下形式表示：y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。

一次函数又称为线性函数，其与直线的关系密切。

一次函数模型广泛应用于实际生活中各个领域，下面将以几个具体的实际例子来说明一次函数模型的应用。

第一个例子是汽车的油耗问题。

假设某辆汽车在行驶时，每小时的平均油耗为k 升，初始油量为b升。

那么在x小时后，油量为y升的关系可以用一次函数模型来表示：y = -kx + b。

其中负号表示油量在不断减少。

这个模型可以帮助我们预测在车速不变的情况下，汽车在行驶x小时后的剩余油量。

通过测量汽车不同车速下的油耗数据，可以确定k的值，并通过初始油量来确定b的值。

在实际生活中，这个模型可以帮助我们合理安排加油时间，避免油量不足造成的困扰。

第二个例子是商品价格的变化。

假设某商品的价格在每个月都以恒定的速度上涨，每月涨价k元。

初始价格为b元。

那么在x个月后，商品价格为y元的关系可以用一次函数模型来表示：y = kx + b。

通过测量商品连续几个月的变价趋势，可以确定k的值，并通过初始价格来确定b的值。

这个模型可以用来预测未来几个月内商品价格的变化情况，帮助消费者做出购买决策。

第三个例子是人口增长问题。

假设某地区的人口在每年都以固定比例的速度增长，每年增长k人。

初始人口数量为b人。

那么在x年后，人口数量为y人的关系可以用一次函数模型来表示：y = kx + b。

通过观察人口连续几年的增长情况，我们可以确定k的值，并通过初始人口数量来确定b的值。

这个模型可以用来预测未来几年内人口的增长趋势，对于城市规划和社会发展具有重要意义。

以上三个例子只是一次函数模型在实际应用中的几个常见例子，实际上一次函数模型在各个领域都有广泛的应用。

在经济学中，一次函数模型被用来研究需求和供应的关系，分析市场价格的变化。

在物理学中，一次函数模型被用来描述物体的速度、加速度和位移之间的关系。