函数模型及应用

函数模型及应用研究报告函数模型是指通过对一个或多个自变量的输入，通过一系列数学运算得出一个或多个因变量的输出的数学模型。

函数模型是数学应用中的重要工具，广泛应用于各个领域，包括工程、物理、计算机科学等等。

本文旨在探讨函数模型的应用，并以实际问题为例，研究其在解决实际问题中的应用和效果。

二、函数模型的概述1. 函数模型的定义：函数模型是通过对自变量进行加工运算，得到因变量的数学模型。

函数模型可以是线性的、非线性的、离散的或连续的等等。

2. 函数模型的应用：函数模型广泛应用于各个领域。

在经济领域，函数模型可以用于描述供需关系，预测经济走势。

在物理领域，函数模型可以用于描述运动物体的位移、速度、加速度等等。

在工程领域，函数模型可以用于优化设计、提高生产效率。

在计算机科学领域，函数模型可以用于解决各种算法和计算问题。

三、函数模型在实际问题中的应用1. 函数模型在经济学中的应用：函数模型可以用于描述供需关系。

例如，在市场经济中，供给和需求的关系决定了商品的价格和数量。

通过建立供给和需求的函数模型，可以分析价格对数量的影响，预测未来市场的变化趋势，辅助经济决策。

2. 函数模型在物理学中的应用：函数模型可以用于描述运动物体的位移、速度、加速度等等。

例如，在物体运动的过程中，可以通过建立位移与时间的函数模型，预测物体的运动轨迹；通过建立速度与时间的函数模型，计算物体在不同时间点的速度。

这对于研究物体的运动规律、优化设计等方面都具有重要意义。

3. 函数模型在工程学中的应用：函数模型可以用于优化设计、提高生产效率。

例如，在工程设计中，通过建立输入与输出之间的函数模型，可以确定最优设计参数，提高产品质量和性能；在生产过程中，通过建立生产过程的函数模型，可以分析生产效率和成本之间的关系，优化生产流程。

这对于提高工程效益具有重要作用。

4. 函数模型在计算机科学中的应用：函数模型是计算机科学的基石。

在算法设计与分析中，函数模型可以用于描述算法的时间复杂度、空间复杂度等；在机器学习中，函数模型可以用于构建分类器和回归器，实现数据分析和预测；在图像处理中，函数模型可以用于描述图像的变换和处理。

函数模型及其应用1.几类函数模型2.三种函数模型的性质概念方法微思考请用框图概括解函数应用题的一般步骤. 提示 解函数应用题的步骤题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( × )(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大.( × ) (3)不存在x 0，使0xa <x n 0<log a x 0.( × )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )题组二 教材改编2.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元 答案 D解析 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A 正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B 正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D 错误.3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件. 答案 18解析 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值.4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 . 答案 3解析 设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ， 则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大.5.一枚炮弹被发射后，其升空高度h 与时间t 的函数关系为h ＝130t －5t 2，则该函数的定义域是 . 答案 [0,26]解析 令h ≥0，解得0≤t ≤26，故所求定义域为[0,26]. 题组三 易错自纠6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 . 答案(p ＋1)(q ＋1)－1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝(1＋p )(1＋q )－1.7.已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到 只. 答案 200解析 由题意知100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100， ∴y ＝100log 3(x ＋1).当x ＝8时，y ＝100log 39＝200.题型一 用函数图像刻画变化过程1.高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图像是( )答案 B解析v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.2.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析根据图像所给数据，逐个验证选项.根据图像知，当行驶速度大于40千米/时时，消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对. 思维升华 判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像. (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 题型二 已知函数模型的实际问题例1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 分钟.答案 3.75解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式， 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元答案 D解析设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).当p∈(0,30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000.思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.跟踪训练1(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为元.答案 4.24解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是万元. 答案 2 500解析L(Q)＝40Q－120Q 2－10Q－2 000＝－120Q2＋30Q－2 000＝－120(Q－300)2＋2 500.则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元.题型三构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型例2(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.答案 19解析 由图像可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19. (2)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x －2B.y ＝12(x 2－1)C.y ＝log 2xD.y ＝12log x答案 B解析 由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.命题点2 构造指数函数、对数函数模型例3 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解 (1)设每年降低的百分比为x (0<x <1)， 则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－11012⎛⎫⎪⎝⎭. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 则a (1－x )m ＝22a ，即1012m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭，即m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年. 引申探究若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？ 解 设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 1012n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥3212⎛⎫⎪⎝⎭，即n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年. 命题点3 构造y ＝x ＋ax(a >0)型函数例4 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为.答案 5解析 根据图像求得y ＝－(x －6)2＋11， ∴年平均利润yx＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x ≥10，当且仅当x ＝5时等号成立.∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米.记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝米.答案 2 3解析 由题意可得BC ＝18x －x2(2≤x <6)，∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立.命题点4 构造分段函数模型例5 已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润.解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40， 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104， 所以W max ＝W (32)＝6 104；②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值5 760.综合①②，当年产量为32万只时，W 取最大值6 104万美元.思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.跟踪训练2 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤 次才能达到市场要求.(参考数据：lg2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 答案 8解析 设至少过滤n 次才能达到市场要求， 则2%⎝⎛⎭⎫1－13n ≤0.1%，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120， 所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R (元)与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则当总利润最大时，该门面经营的天数是 . 答案 300解析 由题意，总利润y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－100x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400， 当0≤x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，所以当x ＝300时，y max ＝25 000； 当x >400时，y ＝60 000－100x <20 000.综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元.用数学模型求解实际问题数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量，图形关系中抽象出数学概念，并且用数学符号和术语予以表征.例 (1)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg /mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过 小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时) 答案 4解析 设n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n ≤0.2，即2n ≥15，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.(2)已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为 元. 答案 3 300解析 设利润为y 元，租金定为3 000＋50x (0≤x ≤70，x ∈N )元.则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润.素养提升 例题中通过用字母表示变量，将酒后驾车时间抽象为不等式问题，将租房最大利润抽象为函数的最值问题.1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像正确的是( )答案 A解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A ，C 图像符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.2.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A.6升B.8升C.10升D.12升 答案 B解析 5月1日到5月15日，汽车行驶了35 600－35 000＝600(千米)，实际耗油48升，所以该车每100千米平均耗油量为486＝8(升).3.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( ) A.85元 B.90元 C.95元 D.100元答案 C解析 设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)[400－(x －90)·20]＝－20·[(x －95)2－225]，∴当x ＝95时，y 最大.4.国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( ) A.560万元 B.420万元 C.350万元 D.320万元 答案 D解析 设该公司的年收入为x 万元(x >280)， 则有280×p %＋(x －280)(p ＋2)%x ＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故该公司的年收入为320万元.5.某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A.2017年 B.2018年 C.2019年 D.2020年 答案 D解析 设从2016年起，过了n (n ∈N ＋)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥lg2013lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2 016＝2 020.故选D.6.某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A.13 m 3 B.14 m 3 C.18 m 3D.26 m 3答案 A解析 设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0<x ≤10，10m ＋(x －10)·2m ，x >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.7.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是 小时. 答案 24解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝⎛⎭⎫123·192＝18×192＝24(小时). 8.某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图像，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿 千克.答案1909解析 前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为 m.答案 20解析 设内接矩形另一边长为y m ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)， 所以当x ＝20时，S max ＝400.10.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为 .(用常数a 表示) 答案 14a 2解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2， ∴D ＝at －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋14a 2， ∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值.11.某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202 km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是 h.(车身长度不计) 答案 12解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400 km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ≥12， 当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取“＝”.故这些汽车以2003km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.12.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为 海里/时时，总费用最小. 答案 40解析 设每小时的总费用为y 元， 则y ＝k v 2＋96，又当v ＝10时，k ×102＝6，解得k ＝0.06，所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96， 匀速行驶10海里所用的时间为10v 小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v ≥20.6v ×960v ＝48，当且仅当0.6v ＝960v ， 即v ＝40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/时.13.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a ).这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x ＝ . 答案5－12解析 由题意得x ＝c －ab －a ，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，∵b －c ＝(b －a )－(c －a )， ∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )， 两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0， 解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12. 14.某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解 (1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋105＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元).(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0， 解得0<x <150. 依题意，单套丛书利润 P ＝x －⎝⎛⎭⎫30＋1015－0.1x＝x －100150－x－30，所以P ＝－⎣⎡⎦⎤(150－x )＋100150－x ＋120.因为0<x <150， 所以150－x >0， 则(150－x )＋100150－x≥2(150－x )·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x，即x ＝140时等号成立，此时，P max＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元.15.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )12th⎛⎫⎪⎝⎭，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期.现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要 min. 答案 8解析 由题意知T a ＝21 ℃. 令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃， 得37－21＝(85－21)·1612h⎛⎫⎪⎝⎭，∴h ＝8. 令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·812t ⎛⎫⎪⎝⎭，∴t ＝8. 16.某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服用毒品后y 与t 之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间.解 (1)由题中图像，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1.当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4； 由⎝⎛⎭⎫121－a＝4，得a ＝3. 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.50，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.50或⎩⎪⎨⎪⎧t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.50，解得18≤t ≤4，因此服用毒品后重度躁动状态持续4－18＝318(小时).。

15 函数模型及其应用知识梳理1．几种常见的函数模型2.三种函数模型性质比较要点整合：理解解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：题型一．函数模型的选择例1.某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，某地区未成年人，从1岁到16岁的年龄x(岁)与身高y(米)的散点图如图，则该关系较适宜的函数模型为( )A．y＝ax＋b B．y＝a＋log b xC．y＝a·b x D．y＝ax2＋b解析：根据散点图可知，较适宜的函数模型为y＝a＋log b x，故选B.[答案] B选择函数模型的基本思想(1)根据数据描绘出散点图；(2)将散点根据趋势“连接”起来，得到大致走势图象；(3)根据图象与常见的基本函数的图象进行联想对比，选择最佳函数模型．但必须注意实际意义与基本图形的平移性相结合．变式1．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1，2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合( )A．y＝ax＋b B．y＝a＋b xC．y＝a·b x D．y＝ax2＋bx＋c解析：选B.根据散点图知，选择y＝a＋b x最适合，故选B.变式2．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t 的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t.利用你选取的函数，求：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__________；(2)最低种植成本是__________元/100kg.解析：∵随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，即Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎨⎧a （60－120）2＋m ＝116，a （100－120）2＋m ＝84，解得⎩⎨⎧a ＝0.01，m ＝80， ∴Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg. 答案：(1)120 (2)80题型二．函数模型的应用例2. 已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[解] (1)在y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)中，令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0.由实际意义和题设条件知x >0，k >0.解以上关于x 的方程得x ＝20k 1＋k 2＝201k＋k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程是10千米．(2)∵a >0，∴炮弹可以击中目标⇔存在k >0，使ka －120(1＋k 2)a 2＝3.2成立⇔关于k的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－20a ）2－4a 2（a 2＋64）≥0，k 1＋k 2＝20a a 2>0，k 1k 2＝a 2＋64a 2>0，解得a ≤6.所以当a 不超过6千米时，炮弹可以击中它．已知函数模型求解实际问题的三个步骤(1)根据已经给出的实际问题的函数模型，分清自变量与函数表达式的实际意义，注意单位名称，并注意相关量之间的关系．(2)根据实际问题的需求，研究函数的单调性、最值等，从而得出实际问题的变化趋势和最优问题．(3)最后回归问题的结论．变式1．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．20小时B ．22小时C ．24小时D ．26小时解析：选C.由已知条件，得192＝e b ，所以b ＝ln 192.又因为48＝e 22k ＋b ＝e 22k ＋ln 192＝192e 22k＝192(e 11k )2，所以e 11k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e33k ＋ln 192＝192e 33k＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.故选C.变式2．某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润与投资金额x (单位：万元)满足：f (x )＝a ln x －bx ＋3(a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，且曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx 在点(1，3)处相切；乙产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，且其图象经过点(4，4)．(1)分别求出甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式；(2)已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资金额均不少于10万元．问怎样分配这40万元，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？(参考数据：ln 10＝2.303，ln 15＝2.708，ln 20＝2.996，ln 25＝3.219，ln 30＝3.401)解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝ax－b ，因为点(1，3)在直线y ＝kx 上，故有k ＝3，又曲线y ＝f (x )与直线y ＝3x 在点(1，3)处相切，故有⎩⎨⎧f ′（1）＝a －b ＝3，f （1）＝－b ＋3＝3，得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝0.则甲产品的利润与投资金额间的函数关系式为f (x )＝3ln x ＋3(x >0)．由题意设乙产品的利润与投资金额间的关系式为：g (x )＝m x ，将点(4，4)代入上式，可得m ＝2，所以乙产品的利润与投资金额间的关系式为g (x )＝2x (x >0)．(2)设甲产品投资x 万元，则乙产品投资(40－x )万元，且x ∈[10，30]， 则公司所得利润为y ＝3ln x ＋3＋240－x ， 故有y ′＝3x－140－x ， 令y ′>0，解得10≤x <15，令y ′<0，解得15<x ≤30，所以x ＝15为函数的极大值点，也是函数的最大值，即当投入甲产品研发资金15万元，投入乙产品研发资金25万元时，公司获得利润最大．最大利润为21.124万元．题型三．建立函数模型解决实际问题例3. 围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x m ，修建此矩形场地围墙的总费用为y 元．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用． [解] (1)如图，设矩形中与旧墙垂直的边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知得xa ＝360，得a ＝360x.所以y ＝225x ＋3602x－360(x >2)．(2)因为x >2，所以225x ＋3602x≥2225×3602＝10 800.所以y ＝225x ＋3602x－360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元．(1)通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口． (2)将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系． (3)在构建数学模型时，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相关的数学模型． 变式1．某商场已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，售价为每件100元时可全部售完，售价每提高1元销量就减少5件，若要获得最大利润，售价应定为每件__________元．解析：设售价提高x 元，获得的利润为y 元，则依题意得y ＝(1 000－5x )×(20＋x )＝－5x 2＋900x ＋20 000 ＝－5(x －90)2＋60 500.∵0<1 000－5x ≤1 000，∴0≤x <200，故当x ＝90时，y max ＝60 500，此时售价为每件190元．答案：190变式2. 据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即t (h)内台风所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t ，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70. 当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s ＝⎩⎨⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈（10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈（20，35].(3)当t ∈[0，10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t∈(10，20]时，s max＝30×20－150＝450<650，当t∈(20，35]时，令－t2＋70t－550＝650，解得t＝30或40(舍去)，即在台风发生30 h后将侵袭到N城．。

函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。

第九节函数模型及其应用考试要求：1．在实际情景中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．2．结合现实情景中的具体问题，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．一、教材概念·结论·性质重现1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)．(2)反比例函数模型：f (x )＝��(k 为常数，k ≠0)．(3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)．(4)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(5)指数型函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)．(6)对数型函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)．(7)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)．(8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋��01．不要忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果的合理性．函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化各有不同值的比较存在一个x 0，当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)幂函数增长比直线增长更快．(×)(2)不存在x0，使��0<�0�<log a x0.(×)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>1)的增长速度．(√) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×) 2．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()A．y＝0.001e x B．y＝1000ln xC．y＝x1000D．y＝1000·2xA解析：在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，排除B，C；指数函数中，底数越大，函数增长速度越快．故选A.3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)B解析：当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)．故选B. 4．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.99 2.01 3.98y－0.990.010.98 2.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2xD解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.5．用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_________．3解析：设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形的面积为y，则y＝x·24−4�＝2x(6－x)＝－2(x－3)22＋18，∴当x＝3时，y最大．考点1利用函数的图象刻画实际问题——基础性1．如图，一个高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()B解析：函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D；开始时，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B.故选B. 2．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是()B解析：由函数图象可判断出该容器的形状不规则，又函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，排除A，C，D.故选B.3．(多选题)(2022·北京东城区模拟)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．给出下列四种说法，其中正确的是()A．图(2)对应的方案是：提高票价，并提高固定成本B．图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本C．图(3)对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变D．图(3)对应的方案是：提高票价，并降低固定成本BC 解析：由题图(1)可设y 关于x 的函数为y ＝kx ＋b ，k ＞0，b ＜0，k 为票价，当k ＝0时，y ＝b ，则－b 为固定成本．由题图(2)知，直线向上平移，k 不变，即票价不变，b 变大，则－b 变小，固定成本减小，故A 错误，B 正确；由题图(3)知，直线与y 轴的交点不变，直线斜率变大，即k 变大，票价提高，b 不变，即－b 不变，固定成本不变，故C 正确，D 错误．4．某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (单位：千克)随时间x (单位：天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．1909解析：前10天满足一次函数关系．设为y ＝kx ＋b .将点(1，10)和点(10，30)的坐标代入函数解析式得10=�+�，30=10�+�，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709.当x ＝6时，y ＝1909.1．解决这类问题一般要根据题意构建函数模型，先建立函数模型，再结合模型选图象，并结合五个幂函数的图象与性质来求解．2．有些题目，如第3题，根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证答案是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点2已知函数模型解决实际问题——综合性汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度．设d 表示停车距离，d 1表示反应距离，d 2表示制动距离，则d ＝d 1＋d 2.如图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图．序号速度(km/h)停车距离14017.025026.536035.747046.058052.769070.7710085.48110101.0由图中数据得到如表的表格，根据表格中的数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型．可选择模型①：d ＝av ＋b ；模型②：d ＝av 2＋bv ；模型③：d ＝av ＋��；模型④：d ＝av 2＋��(其中v 为汽车速度，a ，b 为待定系数)进行拟合．如果根据序号3和序号7两组数据分别求出四个函数模型的解析式，并通过计算120km/h 时的停车距离与实验数据比较，则拟合效果最好的函数模型是()A．d ＝av ＋b B．d ＝av 2＋bv C．d ＝av ＋��D．d ＝av 2＋��B 解析：若选择模型①，则60�+�=35.7，100�+�=85.4，解得a ＝1.2425，b ＝－38.85.故d ＝1.2425v －38.85.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为1.2425×120－38.85＝110.25.若选择模型②，则3600�+60�=35.7，10000�+100�=85.4，解得a ＝0.006475，b ＝0.2065.故d ＝0.006475v 2＋0.2065v .当v ＝120时，停车距离d 的预测值为0.006475×1202＋0.2065×120＝118.02.若选择模型③，则60�+�60=35.7，100�+�100=85.4，解得a ＝0.9996875，b ＝－1456.875.故d ＝0.9996875v －1456.875�.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为0.9996875×120－1456.875120＝107.821875.若选择模型④，则3600�+�60=35.7，10000�+�100=85.4，解得a ＝15.9951960，b ＝379.2857143.故d ＝15.9951960v 2＋379.2857143�.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为15.9951960×1202＋379.2857143120＝120.675.由实验数据可知当v ＝120时，停车距离为118m．模型②的预测值更接近118m，故模型②拟合效果最好．解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．→→→1．某市家庭煤气的使用量x (单位：m 3)和煤气费f (x )(单位：元)满足关系f (x )＝�，0<�≤�，�+��−�，�>�.已知某家庭2021年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费1月份4m 34元2月份25m 314元3月份35m 319元若4月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元A 解析：根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝4，0<�≤5，4−5，�>5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，该企业考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据：年份2018201920202021…投资成本x 35917…年利润y1234…给出以下3个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ≠0)；②y ＝ab x (a ≠0，b ＞0且b ≠1)；③y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．解：(1)将(3，1)，(5，2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)，得1=3�+�，2=5�+�，解得�=12，�=−12，所以y ＝12x －12.当x ＝9时，y ＝4，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y ＝ab x (a ≠0，b ＞0且b ≠1)，得1=��3，2=��5，解得�=24，�=2，所以y ＝24·(2)x＝2�−32当x ＝9时，y ＝29−32＝8，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)，得1=log �3+�，2=log �5+�，解得�=2，�=−1，所以y ＝log 2(x －1)．当x ＝9时，y ＝log 28＝3；当x ＝17时，y ＝log 216＝4.故可用③来描述x ，y 之间的关系．(2)令log 2(x －1)＞6，则x ＞65.因为年利润665＜10%，所以该企业要考虑转型．考点3构造函数模型解决实际问题——应用性考向1二次函数、分段函数模型某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3.因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.所以y＝f(x)＝50�−115，3≤�≤6，�∈�，−3�2+68�−115，6＜�≤20，�∈�.(2)对于y＝50x－115，3≤x≤6，x∈Z，显然当x＝6时，y max＝185.对于y＝－3x2＋68x－115＝－3�−＋8113，6＜x≤20，x∈Z，当x＝11时，y max＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成．如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(1)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年B解析：若2018年是第一年，则第n年科研费为1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n ×0.05>0.19，n >3.8，n ≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2000万元．故选B.(2)基本再生数R 0与世代间隔T 是流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒感染初始阶段，可以用指数模型I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天B 解析：因为R 0＝3.28，T ＝6，R 0＝1＋rT ，所以r ＝3.28−16＝0.38，所以I (t )＝e rt ＝e 0.38t .设在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，则e 0.38�＋�1＝2e 0.38t ，所以e 0.38�1＝2，所以0.38t 1＝ln 2，所以t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8(天)．故选B.(1)要先学会合理选择模型．与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．1．某位股民买入某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．无法判断盈亏情况C．没有盈利也没有亏损D．略有亏损D解析：设买入股票时的价格为m (m >0)元．先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m ×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m <m ，所以该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为略有亏损．故选D.2．某汽车销售公司在A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元C解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x(0≤x≤16且x∈N)辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－110·�−＋110×2124＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．3．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．16解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝a e-8b＝12a.故e-8b＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e－bt＝18a，e－bt＝18＝(e-8b)3＝e-24b，则t＝24，所以再经过16min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．课时质量评价(十四)A组全考点巩固练1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x(分钟)的函数图象为()D解析：y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，排除B.故选D.2．气象学院用32万元购置了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用，第n天的维修保养费为4n＋46(n∈N*)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止，则一共要使用()A．300天B．400天C．600天D．800天B 解析：使用n 天的平均耗资为3202�+2�+48元，当且仅当320000�＝2n 时取得最小值，此时n ＝400.3．(2023·济南月考)某乡村一条污染河道的蓄水量为v 立方米，每天的进出水量为k 立方米．已知污染源以每天r 个单位污染河水，某一时段t (单位：天)，河水污染质量指数m (t )(每立方米河水所含的污染物)满足m (t )＝��+�0−e −���(m 0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)()A．1个月B．3个月C．半年D．1年C 解析：由题意可知，m (t )＝�0e−180�＝0.1m 0，则e −180�＝0.1，即－180t ＝ln 0.1≈－2.30，所以t ≈184，则要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是184天，即半年．故选C.4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元D解析：设毛利润为L (p )元，则由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8300－170p －p 2)(p－20)＝－p 3－150p 2＋11700p －166000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．当p ∈(0，30)时，L ′(p )>0；当p ∈(30，＋∞)时，L ′(p )<0.故L (p )在p ＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L (30)＝23000.5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)8解析：设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%×1−≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.6．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x ，在理想情况下，对折次数n 有下列关系：n ≤23·log 2��(注：lg 2≈0.3)．根据以上信息，一张长为21cm，厚度为0.05mm 的纸最多能对折________次．8解析：由题知n ≤23log 24200＝23log 24+log 21000+log ＝232+3log 210+log 2因为log 210＝1lg 2≈10.3，0<log 22120<1，所以n ≤8＋23log 22120，n 的最大值为8.B 组新高考培优练7．(2022·聊城一模)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm 3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%.当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm 3，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为()(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)A．5B．7C．8D．9C 解析：设该污染物排放前过滤的次数为n (n ∈N *)，由题意1.2×0.8n≥6，两边取以10为底的对数可得lg≥lg 6，即n lg2＋lg 3，所以n ≥lg 2+lg 31−3lg 2.因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，所以lg 2+lg 31−3lg 2≈0.3+0.4771−3×0.3＝7.77，所以n ≥7.77，又n ∈N *，所以n min ＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次．故选C.8．(多选题)(2022·济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们行走的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，则下列结论正确的是()A．当x >1时，甲走在最前面B．当x >1时，乙走在最前面C．当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲CD 解析：甲、乙、丙、丁的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝4，所以A 不正确；当x ＝5时，f 1(5)＝31，f 2(5)＝25，所以B 不正确．根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x ＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，所以C 正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D 正确．9．李冶(1192－1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，有多部数学著作，其中《益古演段》主要研究平面图形问题，求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是________步、________步(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)．2060解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．10．(2023·泰安模拟)某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量y (单位：微克)随着时间x (单位：时)变化的函数关系式近似为y＝≤�≤6，12−�6＜�≤12．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？解：(1)设服用1粒，经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量需不低于4微克，可得0≤�≤6，2�8−�≥4，解得163≤x ≤6.所以163小时后该药能起到有效抗病毒的效果．(2)设经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量需不低于4微克．若0≤x ≤6，药物浓度2�8−�≥4，解得163≤x ≤6.若6＜x ≤12，药物浓度(12－x �−6x 2－20x ＋100≥0，所以6＜x ≤12；若12＜x ≤18，药物浓度12－(x －6)≥4，解得x ≤14，所以12＜x ≤14.综上，x 14，所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为263小时．。

函数模型在实际生活中的应用函数应用题涉及的题型比较多，下面谈谈函数模型在实际生活中的应用：一、一次函数模型例1 假如你计划买一部手机，而你的朋友给你推荐手机消费有三种可供选择，如下表：从经济角度考虑，哪一种手机卡更为合适？分析：这道题目的背景是消费问题，用表格的形式给出了已知条件，其中存在的数学等量关系为：月消费金额=月租费+每分钟通话费×月通话时间，从而建立月通话时间与月消费金额之间的一次函数关系式．解：设月通话总时间为x 分钟，则三种手机卡的月消费金额分别:连通卡：36.012+=y （)0≥x神州卡：x y 6.0=)0(≥x都市卡：x y 2.024+=)0(≥x 由 ⎩⎨⎧=+=x y x y 6.036.012 解得： ⎩⎨⎧==3050y x 由 ⎩⎨⎧+==x y x y 2.0246.0 解得： ⎩⎨⎧==3660y x 由 ⎩⎨⎧+=+=x y x y 36.0122.024 解得：⎩⎨⎧==3975y x 由图可知：①当500<≤x 时，选用神州行卡；② 当50=x 时，选用神州行卡或连通卡更为经济合适；③ 当7550<<x 时，选用连通卡更为经济合适；④ 当75=x 时，选用都市卡或连通卡；⑤ 当75>x 时选用都市卡更为经济合适．评注：在求解该问题时要注意找出其中数学量之间的关系，从而建立一定的函数关系式来求解．二、分段函数模型例2：某旅行社组团去风景旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到每张降为450元为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．（1）写出飞机票的价格关于人数的函数；（2）每团人数为多少时，旅行设可获得最大利润？分析：注意价格与人数之间的关系，从而确定函数的解析式．解：（1）设旅行团人数为x 人，由题得075x <≤飞机票价格为y 元，则90090010(30)y x ⎧=⎨--⎩0303075x x <≤<≤即900120010y x ⎧=⎨-⎩0303075x x <≤<≤ （2）设旅行社获利S 元则90015000(120010)15000x S x x -⎧=⎨--⎩0303075x x <≤<≤ 即29001500010(60)21000x S x -⎧=⎨--+⎩0303075x x <≤<≤故当60x =时，旅行设可获得最大利润． 评注：在对分段函数进行求最值时，一定要注意分析自变量的范围．三、二次函数模型二次函数是出现的比较多的函数模型，求解此类问题常常通过对其单调区间的讨论来求解．例3：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（I ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)； （II ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天）分析：这是一个分段函数与二次函数相结合的应用题，可以根据函数图象写出解析式，从而利用二次函数来确定函数的最值问题．解：（1）由图可得市场售价与时间的函数关系为： f （t ）＝⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000,300t t t t 由图2可得种植成本与时间的函数关系为：g （t ）＝2001（t －150）2＋100，0≤t ≤300． （2）设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）＝f （t ）－g （t ），即h （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,217521200122t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得h （t ）＝－2001（t －50）2＋100，所以，当t ＝50时，h （t ）取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理得h （t ）＝－2001（t －350）2＋100， 所以，当t ＝300时，h （t ）取得区间（200，300］上的最大值87.5．综上，由100＞87．5可知，h （t ）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．评注：求本题的最值时一定要注意先求出每一定义域中每一段上的最值，然后来加以比较．四、函数()xb ax x f +=()0,>b a 模型 这类函数的模型常常是通过均值定理或者函数的单调性求最值，此时要注意等号能否取到．例4：甲、乙两地相距120千米，汽车从甲地以速度v （千米／时）匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米／时.已知汽车每小时的运输成本（单位:元）由可变部分和固定部分组成：固定部分为64元；可变部分与速度 v 的平方成正比，比例系数为0.01. (1)求汽车每小时的运输成本w(元)(2)把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数，并指出函数的定义域；(3)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：本题可以先根据题意写出全程的运输成本，观察函数式的特点可以知道结合基本不等式来求解． 解：（（1）分析可以得到6401.02+=v w ； (2)全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数关系式是：vv y 120)6401.0(2⋅+=，其中函数的定义域是]100,0(∈v ； (3)整理函数有)6401.0(120120)6401.0(2vv v v y +⋅=⋅+=, 根据基本不等式， 1926401.02120)6401.0(120=⋅⋅≥+⋅=v v v v y ， 当且仅当]100,0(806401.0∈==v vv 即时，取等号成立， 故汽车应以80千米／时的速度行驶，全程运输成本最小为192元．评注：对基本不等式的应用要注意“一正二定三相等”的特点．当然，涉及函数的应用问题还有很多，关键是确定用哪种类型的函数．。

2．9 函数模型及其应用1．函数的实际应用2.函数建模(1)函数模型应用的两个方面： ①利用已知函数模型解决问题；②建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测． (2)应用函数模型解决问题的基本过程：、、、.自查自纠1．(1)f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) (2)增 增 增 快 慢 y x 2．审题 建模 解模 还原(教材改编题)下列函数中，随x (x ＞0)的增大，y 的增长速度越来越快，并会超过其他三个的是( ) A ．y ＝e x B ．y ＝100ln x C ．y ＝x 100 D ．y ＝2x 解：“指数爆炸”，又e ＞2.故选A .(2016·湖北天门模拟)某部门为实现当地菜价稳定，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )解：运输效率(单位时间的运输量)逐步提高，即对应曲线上的点的切线斜率逐渐增大，只有B 项符合要求．故选B .注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升解：因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 600－35 000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升．故选B .要制作一个容积为16 m 3，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．解：设长方体底面矩形的长、宽分别为x ，y ，则y ＝16x，所以容器的总造价为z ＝2(x ＋y )×1×10＋20xy ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋20×16，由基本不等式得，z ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋20×16≥40x ·16x ＋320＝480，当且仅当x ＝y ＝4，即底面是边长为4的正方形时，总造价最低．故填480.(2015·四川)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．解：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b ，48＝e 22k ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b ，12＝e 11k，于是当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24(小时)．故填24.类型一 幂型函数模型为了保护环境，发展低碳经济，某单位在当地科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为400元．则该单位每月能否获利？ 解：设该单位每月获利为S 元， 则S ＝400x －y＝400x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋600x －80 000＝－12(x －600)2＋100 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最小值80 000. 故该单位每月能获利．【点拨】①列函数关系式时，注意自变量的取值范围；②求最值这里运用了配方法，通常换元法、导数法、均值不等式法也是解这类题比较常用的方法．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( ) A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台 解：设利润为f (x )万元，则 f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000(0＜x ＜240，x ∈N *)． 令f (x )≥0，得x ≥150，所以生产者不亏本时的最低产量是150台． 故选C .类型二 指数型函数模型一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到2017年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到2017年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)从2017年起，还能砍伐多少年？ 解：(1)设每年降低的百分比为x (0＜x ＜1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝⎛⎭⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ，即⎝⎛⎭⎫12m 10＝⎝⎛⎭⎫1212，即m 10＝12，解得m ＝5. 故到2017年为止，该森林已砍伐了5年． (3)设从2017年起还能砍伐n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n .令2a 2(1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24，所以⎝⎛⎭⎫12n 10≥⎝⎛⎭⎫1232，解得n ≤15.故从2017年起还能砍伐15年．【点拨】此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型y ＝N (1＋p )x (其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型y ＝a (1＋x )n (其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．已知某工厂生产某种产品的月产量y (单位：万件)与月份x 之间满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该产品1月、2月的产量分别为1万件、1.5万件，则该产品3月份的产量为________万件．解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧0.5a ＋b ＝1，（0.5）2a ＋b ＝1.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，故当x ＝3时，y ＝－2×0.53＋2＝1.75.故填1.75. 类型三 对数型函数模型有一片树林现在的木材储蓄量为7 100 m 3，要力争使木材储蓄量20年后翻两番，即达到28 400 m 3，则平均每年木材储蓄量的增长率是________．(参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，lg5≈0.699 0，100.03≈1.072) 解：设增长率为x ，由题意得28 400＝7 100(1＋x )20，所以(1＋x )20＝4，即20lg(1＋x )＝2lg2，lg(1＋x )≈0.030 10，所以1＋x ≈1.072，得x ≈0.072＝7.2%.故填7.2%. 【点拨】(1)善于利用已知条件，根据问题的实际意义列出方程(组)、不等式(组)等来解决问题．(2)解题过程中注意合理地使用对数式的运算法则进行运算．(2017·广州模拟)则对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝ln xD ．y ＝log 2x解：根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入各选项计算，可以排除B ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D .类型四 分段函数模型某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系可用图①中的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系可用图②中的抛物线段表示．(1)写出图①表示的市场售价与上市时间的函数关系P ＝f (t )，写出图②表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/公斤，时间单位：天)解：(1)由题图①可得市场售价与时间的函数关系为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200＜t ≤300.由题图②可得种植成本与上市时间的函数关系为g (t )＝1200(t －150)2＋100，0≤t ≤300. (2)设上市时间为t 的西红柿纯收益为h (t )，则由题意得h (t )＝f (t )－g (t )，即h (t )＝⎩⎨⎧－t 2200＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－t 2200＋72t －1 0252，200＜t ≤300，当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )＝－1200(t －50)2＋100，所以，当t ＝50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得h (t )＝－1200(t －350)2＋100，所以，当t ＝300时，h (t )取得区间(200，300]上的最大值87.5.由100>87.5可知，h (t )在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿纯收益最大．【点拨】(1)实际问题的情况是复杂的，许多实际问题要使用分段函数模型求解．(2)解分段函数模型要注意定义域区间的分界点．(3)含有参数的实际应用题要注意分类讨论．(2017·河南省实验中学期中)国庆节期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元． (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解：(1)设旅游团人数为x 人，由题得0＜x ≤75，飞机票价格为y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－10（x －30），30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社获利S 元， 则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，x （1 200－10x ）－15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－10（x －60）2＋21 000，30＜x ≤75. 因为S ＝900x －15 000在区间(0，30]上为单调增函数， 故当x ＝30时，S 取最大值12 000元，又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30，75]上，当x ＝60时，取得最大值21 000. 故每团人数为60人时，旅行社可获得最大利润．1．解函数应用问题的步骤(1)审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握，因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础．(2)建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式(也叫目标函数)，将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型．(3)解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型或目标函数)予以解答，求得结果．(4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题．以上过程可以用示意图表示为：模拟函数的过程可以用下面框图表示：2．函数模型的选择解题过程中选用哪种函数模型，要根据题目具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．一般来说：如果实际问题的增长特点为直线上升，则选择直线模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(指数爆炸)，则选择指数型函数模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度越来越慢，则选择对数型函数模型；如果实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式表示，则选择分段函数模型等．另外，常见的出租车计费问题、税收问题、商品销售等问题，通常用分段函数模型；面积问题、利润问题、产量问题常选择幂型函数模型，特别是二次函数模型；而对于利率、细胞分裂、物质衰变，则常选择指数型函数模型．1．(2015·湖北模拟)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x(x∈R，x≥0)年可增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为()解：由题意可得y＝(1＋10.4%)x.故选D.2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲、乙两车的速度曲线分别为v甲和v 乙，如图所示，那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面解：由图象可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0，0～t 1与t 轴所围成的图形面积大，则在t 0，t 1时刻，甲车均在乙车前面．故选A .3．(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10 解：因为5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，所以f (t )＝a ·⎝⎛⎭⎫12t5， 因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝⎛⎭⎫12k 5＝14a ，即⎝⎛⎭⎫12k 5＝14， 所以k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.故选A .4．(2016·辽宁五校联考)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 秒内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人( )A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为14米D ．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为7米解：已知s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7.当t ＝6时，d 取得最小值7.故选D .5．(2015·北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解：对于A 选项，从图中可以看出当乙的行驶速度不小于40 km/h 时燃油效率大于5 km/L ，A 错误．对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少，B 错．对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，C 错．对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，D 正确．故选D .6．某地兴修水利要挖一条渠道，渠道的横截面为等腰梯形，如图所示，腰与水平线的夹角为60°，要求横截面的周长(实线部分)为定值m ，则流量(横截面的面积)最大时，渠深h ＝( )A.14mB.13mC.34mD.36m 解：由题知，等腰梯形的腰为233h ，周长为m ，下底为m －433h ，上底为m －433h ＋233h ＝m －233h ，得等腰梯形的面积S ＝12⎝⎛⎭⎫2m －633h h ＝－3h 2＋mh ＝－3⎝⎛⎭⎫h －3m 62＋312m 2⎝⎛⎭⎫0＜h ＜34m ，当h ＝36m 时，S max ＝312m 2，此时流量最大．故选D .7．某公司租地建仓库，已知仓库每月的占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________km 处．解：设仓库建在离车站x km 处，y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，根据给出的初始数据可得k 1＝20，k 2＝45，则两项费用之和y＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立．故填5. 8．(2016·北京朝阳区二模)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，再经过________ min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解：依题意有a ·e －b ×8＝12a ，所以b ＝ln28，所以y ＝a ·e -ln28·t .若容器中只有开始时的八分之一，则有a ·e -ln28·t ＝18a .解得t ＝24，所以经过的时间为24－8＝16 min.故填16.9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热屋，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2（6x ＋10）·8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．10．(2017·山东实验中学月考)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资债券类产品为20－x 万元，则投资股票类产品为x 万元．依题意得y ＝f (20－x )＋g (x )＝20－x 8＋12x ＝－x ＋4x ＋208(0≤x ≤20)．所以x ＝2，即x ＝4时，收益最大，y max ＝3万元．故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元．11．(2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．(2015·山东德州模拟)某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润与投资金额x (单位：万元)满足：f (x )＝a ln x －bx ＋3(a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，且曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx 在点(1，3)处相切；乙产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，且其图象经过点(4，4)． (1)分别求甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式；(2)已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资金额均不少于10万元．问怎样分配这40万元，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？(参考数据：ln10＝2.303，ln15＝2.708，ln20＝2.996，ln25＝3.219，ln30＝3.401)解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝ax－b ，因为点(1，3)在直线y ＝kx 上，故有k ＝3，又曲线y ＝f (x )与直线y ＝3x 在点(1，3)处相切，故有⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝a －b ＝3，f （1）＝－b ＋3＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝0.则甲产品的利润与投资金额间的函数关系式为f (x )＝3ln x ＋3(x >0)．由题意得乙产品投资金额与利润的关系式为：g (x )＝m x ，将点(4，4)代入上式，可得m ＝2，所以乙产品的利润与投资金额间的关系式为g (x )＝2x (x >0)．(2)设甲产品投资x 万元，则乙产品投资(40－x )万元，且x ∈[10，30]，则公司所得利润为y ＝3ln x ＋3＋240－x ，故有y ′＝3x －140－x ，令y ′＞0，解得10≤x ＜15，令y ′＜0，解得15＜x ≤30，所以x ＝15为函数的极大值点，也是函数的最大值点．y max ＝3ln15＋3＋240－15＝3×2.708＋13＝21.124万元．所以当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司获得最大利润为21.124万元．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x )＝2x －1log 3x的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫12，1D.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，＋∞)解：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＞0，log 3x ≠0，得x ≥12且x ≠1.故选D .2．下列函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是( ) A ．y ＝2 019x B ．y ＝sin xC ．y ＝tan xD ．y ＝ln x 解：只有y ＝ln x 合要求．故选D .3．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，14，则α－k ＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 解：k ＝1，⎝⎛⎭⎫12α＝14⇒α＝2，所以α－k ＝1. 故选B .4．函数y ＝－x 2＋x ＋2的值域是( )A ．[0，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，32 C ．[0，2] D.⎣⎡⎦⎤0，32 解：由－x 2＋x ＋2≥0⇒x ∈[－1，2]，而－12×（－1）＝12∈[－1，2]．当x ＝12时，y ＝94.所以y ∈⎣⎡⎦⎤0，32.故选D .5．(2017·昆明模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，log 3x ，x ＞0，设a ＝log 123，则f (f (a ))＝( )A.12B ．2C ．3D ．－2 解：－1＜a ＝log 123＜0，则f (f (a ))＝f (3)＝log 33＝12.故选A .6．(2015·西安模拟)已知a ＝313，b ＝log 1312，c ＝log 123，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c解：因为a ＝313>1，b ＝log 112＝log 32∈(0，1)，c ＝log 13<0，所以a >b >c .故选A .7．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为()解：先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．故选C .8．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0，2)单调递增 B ．f (x )在(0，2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解：由题意知，f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，A ，B ，D 错误．故选C .9．(2015·湖南模拟)若函数y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则满足不等式f (x )≥12的x 的取值范围为( ) A ．(－1，1) B ．[－1，1] C ．(－∞，1] D ．[－1，＋∞)解：因为函数y ＝f (x )为偶函数，所以当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12－x＝2x .由f (x )≥12得⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x≥12，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧2x ≥12，x ＜0，解得－1≤x ≤1.故选B .10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(0，3]C ．(0，2)D ．(0，2] 解：因为f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，2a >0，（a －3）×1＋5≥2a1，解得0<a ≤2.故选D .11．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )是定义在R 上以2为周期的奇函数，当x ∈(0，1)时，有f (x )＝ln 11－x ，则函数f (x )在x ∈(3，4)时是一个( )A ．增函数且f (x )＜0B ．增函数且f (x )＞0C ．减函数且f (x )＜0D ．减函数且f (x )＞0解：当x ∈(0，1)时，f (x )＝ln 11－x 是增函数且f (x )＞0，又f (x )是奇函数，则当x ∈(－1，0)时，f (x )是增函数且f (x )＜0，因为f (x )的周期为2，所以当x ∈(3，4)时，f (x )是增函数且f (x )＜0.故选A .12．(2015·湖南模拟)已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞)B.⎣⎡⎭⎫14，1∪(1，4]C.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，2]D.⎝⎛⎦⎤0，14∪[4，＋∞) 解：将f (x )<12化为x 2－12<a x ，利用数形结合，分a >1和0<a <1两种情况求解．结合图象得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －1≥12或⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a ≥12.解得1<a ≤2或12≤a <1.故选C .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，9－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312的值是________． 解：f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2.因为log 312<0，所以f ⎝⎛⎭⎫log 312＝31log 29-+1＝4＋1＝5，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝2＋5＝7.故填7.14．(教材改编题)已知函数f (x )＝x 2－kx －8在[1，4]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．解：k 2≤1或k2≥4，得k ≤2或k ≥8.故填(－∞，2]∪[8，＋∞)．15．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解：函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m >0，即m <14.若a >1，则函数f (x )在[－1，2]上的最小值为1a＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m <14矛盾；当0<a <1时，函数f (x )在[－1，2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116<14.所以a ＝14.故填14.16．(2017·洛阳模拟)已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2，16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为________．解：因为x ∈[2，16]，所以f (x )＝log 2x ∈[1，4]，即m ∈[1，4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x－2)＋(x －2)2＞0恒成立，设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在[1，4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （4）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋（x －2）2＞0，4（x －2）＋（x －2）2＞0，解得x ＜－2或x ＞2.故填(－∞，－2)∪(2，＋∞)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)作出下列函数的图象： (1)y ＝sin|x |；(2)y ＝x ＋2x ＋3.解：(1)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，其图象关于y 轴对称，故作出其图象如图所示．(2)y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，该函数图象可由函数y ＝－1x 向左平移3个单位再向上平移1个单位得到，故作出其图象如图所示．18．(12分)已知y ＝f (x )是二次函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫－32－x 对x ∈R 恒成立，f ⎝⎛⎭⎫－32＝49，方程f (x )＝0的两实根之差的绝对值等于7.求此二次函数的解析式．解：由x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫－32－x 知，f (x )的对称轴为x ＝－32.又f ⎝⎛⎭⎫－32＝49，则二次函数f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，49， 故设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49(a ≠0)．解法一：设方程f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49＝0的两根为x 1，x 2， x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝94＋49a，则|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝－49×4a＝7，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49， 即f (x )＝－4x 2－12x ＋40.解法二：设f (x )＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，由两实根之差的绝对值为7得x 1＝－32－72＝－5，x 2＝－32＋72＝2，将x 1或x 2代入f (x )＝0得a ＝－4.从而得到f (x )＝－4x 2－12x ＋40.19．(12分) 设函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，19≤x ≤9.(1)若m ＝log 3x ，求m 的取值范围；(2)求f (x )的最值，并给出取最值时对应的x 的值．解：(1)因为19≤x ≤9，m ＝log 3x 为增函数，所以－2≤log 3x ≤2，即m 的取值范围是[－2，2]． (2)由m ＝log 3x 得：f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x ) ＝(2＋log 3x )·(1＋log 3x )＝(2＋m )·(1＋m )＝⎝⎛⎭⎫m ＋322－14， 又因为－2≤m ≤2，所以当m ＝log 3x ＝－32，即x ＝39时f (x )取得最小值－14，当m ＝log 3x ＝2，即x ＝9时f (x )取得最大值12.20．(12分) 已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫a －1x 2－⎝⎛⎭⎫a －1x 1 ＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2，h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－1x 1x 2. 因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1，所以2－1x 1x 2>0，所以h (x 1)<h (x 2)，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]．21．(12分)(2016·郑州模拟)已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律：θ＝m ·2t ＋21－t(t ≥0，并且m ＞0)．(1)如果m ＝2，求经过多少分钟，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．解：(1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，亦即m ·2t ＋22t ≥2⇔m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立． 令12t ＝x ，则0＜x ≤1，不等式化为m ≥2(x －x 2)， 由于x －x 2≤14⎝⎛⎭⎫当x ＝12，即t ＝1时取等号，所以m ≥12. 因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.另解：由m ·2t ＋22t ≥22m ≥2求解．22．(12分) (2015·广东)设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2＋|x －a |－a (a －1)． (1)若f (0)≤1，求a 的取值范围； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4x 在区间(0，＋∞)上的零点个数．解：(1)f (0)＝a 2＋|a |－a (a －1)＝|a |＋a . 当a ≤0时，f (0)＝0≤1；当a >0时，f (0)＝2a ，令2a ≤1，解得0<a ≤12.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. (2)函数f (x )的定义域为R .由已知得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（2a ＋1）x ＋2a ，x ≤a ，x 2－（2a －1）x ，x ＞a ，则f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －（2a ＋1），x ≤a ，2x －（2a －1），x ＞a .当x ≤a 时，f ′(x )＝2x －(2a ＋1)＝2(x －a )－1<0， 所以f (x )在区间(－∞，a ]上单调递减；当x >a 时，f ′(x )＝2x －(2a －1)＝2(x －a )＋1>0，所以f (x )在区间(a ，＋∞)上单调递增．(3)令h (x )＝f (x )＋4x(x ＞0)，由(2)得，h (x )＝⎩⎨⎧x 2－（2a ＋1）x ＋2a ＋4x，0＜x ≤a ，x 2－（2a －1）x ＋4x ，x ＞a ，则h ′(x )＝⎩⎨⎧2x －（2a ＋1）－4x2，0＜x ≤a ，2x －（2a －1）－4x2，x ＞a ，当0＜x ≤a 时，h ′(x )＝2x －(2a ＋1)－4x 2＝2(x －a )－1－4x 2<0，所以h (x )在区间(0，a ]上单调递减；当x >a 时，因为a ≥2，所以x >2，即0<4x2<1，所以h ′(x )＝2(x －a )＋⎝⎛⎭⎫1－4x 2>0， 所以h (x )在区间(a ，＋∞)上单调递增．因为h (1)＝4>0，h (2a )＝2a ＋2a >0，①若a ＝2，则h (a )＝－a 2＋a ＋4a＝－4＋2＋2＝0，此时h (x )在(0，＋∞)上有唯一一个零点；②若a >2，则h (a )＝－a 2＋a ＋4a ＝－a 3－a 2－4a ＝－a 2（a －1）－4a ＜0，此时h (x )在区间(0，a )上和(a ，＋∞)上各有一个零点，共两个零点． 综上，当a ＝2时，f (x )＋4x在区间(0，＋∞)上有一个零点；当a >2时，f (x )＋4x在区间(0，＋∞)上有两个零点．。

1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同常用结论“对勾”函数的性质形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a)和(a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．(2)当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比直线增长更快．()(2)不存在x0，使a x0<x n0<log a x0.()(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a (a >1)的增长速度．( )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)对三种函数增长速度的理解不深致错； (2)建立函数模型出错；(3)分段函数模型的分并把握不准．1．已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 ( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>f (x )>h (x )C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )解析：选B ．由图象知，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g (x )>f (x )>h (x )．故选B ．2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如表，则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D ．根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．3．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数x (km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100.答案：y ＝⎩⎨⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100利用函数图象刻画实际问题(师生共研)(2020·高考北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W ＝f (t )，用－f （b ）－f （a ）b －a的大小评价在[]a ，b 这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t 1，t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2.t 3]这三段时间中，在[0，t 1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________． 【解析】 设y ＝－f （b ）－f （a ）b －a，由已知条件可得甲、乙两个企业在[t 1，t 2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为－f （t 2）－f （t 1）t 2－t 1，由题图易知y 甲>y 乙，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，所以①对；由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示，所以②对；在t3时刻，由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以③对；由计算式－f（b）－f（a）b－a可知，甲企业在[0，t1]这段时间内污水治理能力最弱，所以④错．【答案】①②③正确理解题目所给的信息，并把信息翻译成数学问题是解决本题的第一个关键；理解一段时间内企业污水治理能力的强弱的计算式，并把这个计算式与函数图象在某点处切线的斜率联系起来是正确解决本题的第二个关键．1．(2020·河南信阳质量检测)如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2，3所示．根据图象判断下列说法正确的是()①图2的建议为减少运营成本；②图2的建议可能是提高票价；③图3的建议为减少运营成本；④图3的建议可能是提高票价．A．①④B．②④C．①③D．②③解析：选A．根据题意和题图2知，两条直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出变少了，说明此建议是降低成本而保持票价不变．由题图3知，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，也就是票价提高了，说明此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得①④正确，②③错误．故选A．2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 kmB．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗10 L汽油D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：选D．对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1 L汽油的行驶路程可大于5 km，所以A错误，对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1 h的路程为80 km，消耗8 L汽油，所以C错误，对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．已知函数模型解决实际问题(师生共研)(1)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lgx1×10－13.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()A ．1倍B ．10倍C ．100倍D ．1 000倍(2)(2020·陇西咸阳二模)为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y (mg/m 3)与时间t (h)的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0<t <12，1kt ，t ≥12(如图所示)，实验表明，当药物释放量y <0.75(mg/m 3)时对人体无害．求：①k ＝________；②为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．【解析】 (1)设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为x 1 W/m 2，x 2 W/m 2，根据题意得d (x 1)＝9lg x 11×10－13＝63，解得x 1＝10－6， d (x 2)＝9lg x 21×10－13＝54， 解得x 2＝10－7，所以x 1x 2＝10，所以老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，故选B ．(2)①由题图可知，当t ＝12时，y ＝1，即1k ×12＝1⇒k ＝2.②由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧t ≥12，12t <0.75，解得t >23，故为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过23×60＝40(分钟)人方可进入房间．【答案】 (1)B (2)2 40求解所给函数模型解决实际问题的关键点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．(2020·河南安阳模拟)5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋S N .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN 从1 000提升至2 000，则C 大约增加了( )A ．10 %B ．30 %C ．50 %D ．100 %解析：选A ．将信噪比SN 从 1 000提升至 2 000，C 大约增加了W log 2（1＋2 000）－W log 2（1＋1 000）W log 2（1＋1 000）＝log 22 001－log 21 001log 21 001≈10.967－9.9679.967≈10 %，故选A ．构建函数模型解决实际问题(多维探究) 角度一 构造一次函数、二次函数模型(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg.(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个．为了赚得最大利润，每个售价应定为______元．【解析】 (1)由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19.(2)设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]．所以当x ＝95时，y 最大． 【答案】 (1)19 (2)95角度二 构建指数函数、对数函数模型某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2021年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2023年 B ．2024年 C ．2025年D ．2026年【解析】 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2021年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2025年投入的研发资金开始超过200万元，故选C ．【答案】 C角度三构建函数y＝ax＋bx(a＞0，b＞0)模型某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【解】设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元．因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．从而有y＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝300x＋3x＋357≥417，当且仅当300x ＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．角度四构建分段函数模型某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解】(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3，因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x 2＋68x －115＞0， 有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z .所以y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115（3≤x ≤6，x ∈Z ），－3x 2＋68x －115（6＜x ≤20，x ∈Z ）.(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下两点：①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值．(2)指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化．1．(2020·四川绵阳模拟)2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：1 290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为( )A ．20B ．30C ．35D ．40解析：选B ．设两个旅游团队的人数分别为a ，b 且a ，b ∈N *，不妨令a ≥b ，因为1 290不能被13整除，所以a ＋b ≥51.若51≤a ＋b ≤100，则11(a ＋b )＝990，得a ＋b ＝90，①由分别购票共需支付门票费为1 290元可知，11a ＋13b ＝1 290，② 联立①②解得b ＝150，a ＝－60，不符合题意； 若a ＋b >100，则9(a ＋b )＝990，得a ＋b ＝110，③由分别购票共需支付门票费为1 290元可知，1≤b ≤50，51≤a ≤100， 得11a ＋13b ＝1 290，④联立③④解得a ＝70，b ＝40. 所以这两个旅游团队的人数之差为70－40＝30.故选B ．2．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤______次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解析：设至少过滤n 次才能达到市场要求， 则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8. 答案：83．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地，第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设f (n )表示前n 年的纯利润，则从第________年开始盈利．[f (n )＝前n 年的总收入—前n 年的总费用支出—投资额]解析：由题意知f (n )＝26n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤8n ＋n （n －1）2×2－60＝－n 2＋19n －60. 令f (n )>0，即－n 2＋19n －60>0，解得4<n <15， 所以从第5年开始盈利． 答案：5高考新声音2 美育为魂，陶养身心“美”是景与情的交融，以美育人，让学生懂得爱、爱美，提高学生审美和人文素养，以美育为背景的考题，多以提高学生审美和人文素养为题材，常以图、文并用的方式表现，意在考查逻辑推理和数学运算等核心素养．(2019·高考全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12(5－12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm【解析】 26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，故其身高可能是175 cm，故选B．【答案】 B本题涉及了“黄金比”和“断臂维纳斯”，并渗透了估值思想．以往高考试题中往往选择中国古代《九章算术》中的数学文化题，这一网红题选择大家熟悉的黄金分割为背景，通过设置真实情景，引导学生从“解题”到“解决问题”能力的培养，使学生能够灵活运用所学知识分析问题和解决问题．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆的周长和面积同时平分的图象对应的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；②函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)可以是某个圆的“优美函数”；③函数y＝1＋sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y＝2x＋1可以同时是无数个圆的“优美函数”；⑤函数y＝f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形．其中正确的命题是________．(填序号)解析：①对于任意一个圆O，其对称轴有无数条，所以其“优美函数”有无数个，①正确；②函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)的定义域为R，值域为[0，＋∞)，其图象关于y轴对称，且在x轴及其上方，故不可以是某个圆的“优美函数”，②错误；③根据y＝sin x的图象可知函数y＝1＋sin x的图象可以将圆的周长和面积平分，又y＝1＋sin x的图象可以延伸，所以可以同时是无数个圆的“优美函数”，③正确；④函数y ＝2x ＋1的图象只要过圆心，就可以同时是无数个圆的“优美函数”，④正确；⑤错误，有些中心对称图形对应的函数不一定是圆的“优美函数”，比如“双曲线”，故答案为①③④.答案：①③④[A 级 基础练]1．(2020·江西南昌模拟)衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制订员工的奖励方案：在经济利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y (单位：万元)随经营利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中，符合该要求的是( )(参考数据：1.015100≈4.432，lg 11≈1.041) A ．y ＝0.04x B ．y ＝1.015x －1 C ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 19－1D ．y ＝log 11(3x －10)解析：选D ．对于函数y ＝0.04x ，当x ＝100时，y ＝4>3，不符合题意；对于函数y ＝1.015x －1，当x ＝100时，y ≈3.432>3，不符合题意；对于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 19－1，不满足在x ∈(6，100]上单调递增，不符合题意；对于函数y ＝log 11(3x －10)，满足在x ∈(6，100]上是增函数，且y ≤log 11(3×100－10)＝log 11290<log 111 331＝3，画出y ＝15x 与y ＝log 11(3x －10)的图象如图所示，符合题意，故选D ．2．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q (x )(单位：百件)关于每件衣服的利润x (单位：元)的函数解析式为q (x )＝⎩⎨⎧1 260x ＋1，0<x ≤20，90－35x ，20<x ≤180，则当该服装厂所获效益最大时，x ＝( )A ．20B ．60C ．80D ．40解析：选C ．设该服装厂所获效益为f (x )元， 则f (x )＝100xq (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0<x ≤20，100x （90－35x ），20<x ≤180.当0<x ≤20时，f (x )＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1， f (x )在区间(0，20]上单调递增， 所以当x ＝20时，f (x )有最大值120 000. 当20<x ≤180时，f (x )＝9 000x －3005·x x ， 则f ′(x )＝9 000－4505·x ，令f ′(x )＝0，得x ＝80，当20<x <80时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当80≤x ≤180时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，所以当x ＝80时，f (x )有极大值，也是最大值，为240 000.故选C ． 3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D ．设进价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.故选D ．4．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式(n 是素数)的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24 423－1，第19个梅森素数为Q ＝24 253－1，则下列各数中与PQ 最接近的数为(参考数据：lg 2≈0.3)( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．1059解析：选B ．由题知P Q ＝24 423－124 253－1≈2170.令2170＝k ，则lg 2170＝lg k ，所以170lg2＝lg k ．又lg 2≈0.3，所以51＝lg k ，即k ＝1051，所以与PQ 最接近的数为1051.故选B ．5．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，且该图表示的函数模型为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋13，0≤x <2，90e －0.5x ＋14，x ≥2，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln 15≈2.71，ln 30≈3.40)( )车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类型 阈值(mg/100 mL) 饮酒后驾车 ≥20，<80 醉酒后驾车≥80A ．5 hB ．6 hC ．7 hD ．8 h解析：选B ．由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e －0.5x ＋14<20，解得x ＞5.42，取整数，故为6个小时．故选B ．6．(2020·辽宁辽南协作校一模)考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5 730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系可以表示为________．解析：依题意可设y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，当x ＝5 730时，y ＝12，即有12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 5 730a ，解得a＝15 730，故答案为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x5 730.答案：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x5 7307．(2020·安徽滁州定远4月模拟)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝ P 0e －kt ，如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．解析：由题意可知，(1－0.1)P 0 ＝P 0e －5k ，即0.9＝e －5k ，故－5k ＝ln 0.9，又(1－0.19)P 0＝P 0e －kt ，即0.81＝e －kt ，所以－kt ＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k ，所以t ＝10.答案：108．为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图记录了样本树的生长时间t (年)与树高y (米)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y ＝2t －a ；②y ＝a ＋log 2t ；③y ＝12t ＋a ；④y ＝t ＋a 中(其中a 为正的常实数)，拟合生长年数与树高的关系最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米．解析：由散点图的走势，知模型①不合适．曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，73，则后三个模型的解析式分别为②y ＝13＋log 2t ；③y ＝12t ＋13；④y ＝t ＋13，易知拟合最好的是②.将t ＝8代入②得8年后的树高为103米．答案：② 1039．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？ (3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解：(1)当声强为10－6W/m 2时， 由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫10－610－12＝10lg 106＝60(分贝)． (2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12＝0.所以I 10－12＝1，即I ＝10－12W/m 2，则常人能听到的最低声强为10－12W/m 2. (3)当声强为5×10－7W/m 2时，声强级Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5×10－710－12＝10lg(5×105)＝50＋10lg 5， 因为50＋10lg 5＞50，所以这两位同学会影响其他同学休息．10．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套丛书的供货价格为30＋105＝32(元)，所以书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x ＞0，x ＞0，解得0＜x ＜150.依题意，设单套丛书的利润为P ，则P ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋1015－0.1x ＝x －100150－x －30，＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（150－x ）＋100150－x ＋120. 因为0＜x ＜150，所以150－x ＞0，则(150－x )＋100150－x≥2（150－x ）·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x，即x ＝140时等号成立， 此时，P max ＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．[B 级 综合练]11.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y (℃)与时间t (min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y (℃)与时间t (min)近似满足的函数关系式为y ＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a10＋b (a ，b为常数)．通常这种热饮在40 ℃时口感最佳．某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为( )A ．35 minB ．30 minC ．25 minD ．20 min解析：选C ．由题意知，当0≤t ≤5时，函数图象是一条线段；当t ≥5时，函数的解析式为y ＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a10＋b .将点(5，100)和点(15，60)代入解析式可得⎩⎨⎧100＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫125－a10＋b ，60＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫1215－a10＋b ，解得a ＝5，b ＝20，故函数的解析式为y ＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －510＋20，t≥5.令y ＝40，解得t ＝25，所以最少需要的时间为25 min.故选C ．12．(2020·安徽淮北一中第五次月考)华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每1 6人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要检测的次数为()A．3 B．4C．6 D．7解析：选B．先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了1次检测．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了2次检测．继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了3次检测．选认定的这组的2人中一人进行样本检查，若为阴性则认定是另一个人；若为阳性则认定为此人，此时进行了4次检测．所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．故选B．13．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(12)mt(c，m为常数)．(1)mc的值为________；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm 为正常，则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少需排气________分钟．解析：(1)由题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧64＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫124m ，32＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫128m ，两式相除，解得⎩⎨⎧c ＝128，m ＝14， 则mc ＝128×14＝32.(2)由题意可列不等式128⎝ ⎛⎭⎪⎫1214t ≤0.5， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1214t ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128，即14t ≥8，解得t ≥32. 故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态． 答案：(1)32 (2)3214．某旅游景点预计2021年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似为p (x )＝12x (x ＋1)·(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧35－2x ，x ∈N *，且1≤x ≤6，160x，x ∈N * 且7≤x ≤12. (1)写出2021年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)试问2021年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？解：(1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12x (x －1)(41－2x )＝－3x 2＋40x ，经验证x ＝1时也满足此式．所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x (x ∈N *)个月的旅游消费总额为。