沪科数学八上《 三角形中的边角关系》同课异构教案 (5)

13．1 三角形中的边角关系第2课时三角形中角的关系教学目标1．理解和掌握三角形按照内角的度数的分类；2．通过操作活动，探究并掌握三角形内角和性质，并能应用三角形内角和性质解决一些简单的实际问题；3．经历观察、操作、想象、推理、交流，发展推理能力和有条理的表达能力．在操作中进行自觉思考，积累数学探索的经验．教学重点通过操作活动，探究并掌握三角形内角和性质，并能应用三角形内角和性质解决一些简单的实际问题教学难点经历观察、操作、想象、推理、交流，发展推理能力和有条理的表达能力．在操作中进行自觉思考，积累数学探索的经验、教学过程一、情境导入同学们手中有直角三角板，请再画一个内角中不含90°的三角形．三角形若按角来分类，分为哪几类？二、合作探究探究点一：三角形按角分类下列说法中，正确的有( )①锐角三角形中最大的角一定小于90度；②所有的等边三角形都是锐角三角形；③所有的等腰三角形都是锐角三角形；④直角三角形一定不是等腰三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：根据三角形按角分类的标准，准确把握各题的关键字眼，对它们做出判断：①最大角小于90°，即三个角都为锐角，满足锐角三角形的条件，故正确；②等边三角形的三个角都为60°，所以它是锐角三角形，故正确；③对于顶角是钝角或直角的等腰三角形，不满足题设条件，故错误；④直角三角形可能是等腰三角形，三角板中就有一个是等腰直角三角形，故错误．故选B.方法总结：熟悉三角形按边、角分类的特点，在分类时，要先确定分类标准，不要搞混淆它们，出现错解．探究点二：三角形的内角和【类型一】根据三角形内角和求角的度数如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝63°，DE∥AB，则∠DEC等于( )A．63°B．62°C．55°D．118°解析：在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝63°，根据三角形的内角和定理，即可求得∠A 的度数，又由DE∥AB，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠DEC的度数．故答案为B.方法总结：此题比较简单，解题的关键是掌握“两直线平行，同位角相等”的应用．【类型二】根据三个角之间的关系求各个角在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A＋∠B大12°，求△ABC各角度数．解析：首先用代数式表示出每一个角，然后利用三角形内角和为180°，列出方程求解．解：设∠B＝x°，则∠A＝2x°，∠C＝(x＋2x＋12)°，据题意得，x＋2x＋x＋2x＋12＝180，解得x＝28，∴∠B＝28°，∠A＝56°，∠C＝96°.方法总结：借助方程思想解几何问题是一种常用的数学方法．注意列方程时，等式中不能带单位．【类型三】判断三角形的形状一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．无法判定解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是x，2x，3x，根据三角形的内角和为180°，得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．故选A.方法总结：在解决有关比例问题时，通常先设比例系数，然后列方程求解．课堂小结三角形按角分类三角形的内角和1.根据三角形内角和求角的度数2.根据三个角之间的关系求各个角3.判断三角形的形状。

13.1 三角形中的边角关系第1课时三角形中的边角关系(一)教学目标【知识与技能】1.认识三角形,理解三角形的边角关系.2.知道三角形的高、中线、角平分线等概念,并能作出三角形的一边上的高.3.理解等腰三角形及其相关概念.【过程与方法】1.经历三角形边长的数量关系的探索过程,理解三角形的三边关系.2.掌握判断三条线段能否构成一个三角形的方法,并运用此方法解决有关问题.【情感、态度与价值观】1.带领学生探究三角形的边角关系问题,引起学生的好奇心,激发学生的求知欲.2.帮助学生树立几何知识源于生活并服务于生活的意识.重点难点【重点】理解并掌握三角形的三边关系.【难点】已知三条线段能构成三角形,求表示线段长度的代数式中字母的取值范围.教学过程一、创设情境,导入新知教师多媒体出示:教师把事先收集的与三角形有关的生活图片运用多媒体播放,让学生对三角形有一个感性认识,如图所示.教师活动:通过播放图片,引导学生认识三角形,并提出:图(b)中能找出几个三角形,这些三角形具有怎样的特性?学生活动:回顾小学学过的三角形,与同桌交流,找出图(b)中的三角形.教师归纳:由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形.教师多媒体出示:师:你能指出这个三角形的顶点有几个吗?分别是什么?生:这个三角形的顶点有三个,分别是A、B、C.师:这个三角形的边呢?生:边有三条,分别是AB、BC和CA.师:对.我们把这个三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”.三角形的三边有时用它所对角的相应小写字母表示.如边AB对着∠C,记作c;边BC对着∠A,记作a;边CA对着∠B,记作b.也就是说,一边可用两个大写字母或一个小写字母表示,角可用“∠”加上一个大写字母表示.师:按边分类时,你知道的都有哪些三角形?生:等边三角形.师:等边三角形是三条边都相等的三角形.如果不是三条边都相等,比如两条边相等,这类三角形叫什么三角形呢?生:等腰三角形.师:对,等边三角形是等腰三角形的特例.如果三条边都不相等呢?学生思考.师:我们把这类三角形叫做不等边三角形.教师多媒体出示:教师板书:三角形(按边分)师:在等腰三角形中,你能区分哪条边是腰,哪条边是底吗?生:相等的两边叫做腰,第三边叫做底边.师:对.我们现在再来认识一下顶角和底角.两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角.二、共同探究,获取新知师:请大家任意画出一个三角形,用刻度尺测量一下,并说说任意两边之和与第三边的关系.学生操作.生:任意两边之和大于第三边.师:对,你有没有其他的方法来证明三角形的任意两边之各大于第三边呢?生:由所有两点之间的连线中线段最短得到.教师板书:三角形中任何两边的和大于第三边.师:对.根据不等式的性质,我们能得到三角形中任意两边的差小于第三边.(教师板书)如果三条线段要构成一个三角形,它们就要满足这两个条件,但是在实际计算中,需要验证六个不等式都成立吗?学生思考,讨论.师:不等式a+b>c,你把a移到不等式的右边,这个不等式如何表示?生:b>c-a.师:对,也就是c-a<b,由此你能得到什么启示?学生思考.生甲:同样的道理,由两个三角形两边之和大于第三边,可以得到两个三角形两边之差小于第三边.生乙:我们只要验证“三角形中任何两边的和大于第三边”和“三角形中任何两边的差小于第三边”,因为第二个条件由第一个得到,所以我们只要满足第一个条件即可.下面请大家看一个例题.教师多媒体出示:【例】等腰三角形中,周长为18cm.(1)如果腰长是底边长的2倍,求各边长;(2)如果一边长为4cm,求另外两边长.师:请同学们思考后回答.生:设等腰三角形的底边长为xcm,则腰长为2xcm,根据题意,得x+2x+2x=18,解方程得x的值,即底边长,然后求出腰长.师:当已知一边长为4cm,但并未指明它是腰还是底时,应该怎么求另外两边的长呢?生:要分4cm是腰长和底边长两种情况来讨论.师:对.还要注意对得到的三条线段能否构成一个三角形进行讨论.教师找两名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.解:(1)设等腰三角形的底边长为 xcm,则腰长为2xcm.根据题意,得x+2x+2x=18.解方程,得x=3.6.所以三角形的三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.(2)若底边长为4cm,设腰长为xcm,则有2x+4=18.解方程,得x=7.若一条腰长为4cm,设底边长为xcm,则有2×4+x=18.解方程,得x=10.因为4+4<10,所以,以4cm为一腰不能构成三角形.所以,三角形的另外两边长都是7cm.三、练习新知师:请同学们判断用下列长度的三条线段能否组成一个三角形.(1)1cm、2cm、3cm;(2)2cm、3cm、4cm;(3)4cm、5cm、6cm;(4)5cm、6cm、10cm.教师找四名同学回答,然后集体订正.师:同学们可以总结出判断三条线段能否构成一个三角形的简便方法吗?以题(2)为例,根据三角形任意两边的和大于第三边,我们要作几个判断?生:三个.师:哪三个?生:2+3>4,2+4>3,3+4>2.师:你能不能用一个判断的结果得到这三条线段能否构成三角形?生:……师:2+4一定大于3,3+4一定大于2,因为长度为4的这一条边长已经大于3了,同样的长度为3或4的一条边长已经大于2了.生:只要看最长的一边是否小于其他两边之和.师:很好.四、课堂小结师:今天我们又学习了什么内容?生:我们学习了三角形的分类,等腰三角形的底边和腰,三角形三边的关系等.教师补充完善.教学反思通过本节课的学习,使学生认识到不是任意的三条线段都能构成三角形,并让学生知道怎样判断三条线段是否能构成三角形.在判断三条线段能否构成三角形时,我们不对任意两边之和是否大于第三边、任意两边之差是否小于第三边一一验证,因为后面的式子可由前面的变形得到.事实上,只要看最长的一边是否小于其他两边之和即可,因为当这个条件成立时,其他的两边之和大于第三边的式子也成立.通过这些方法的探讨使学生养成积极思考、简化计算的习惯.第2课时三角形中的边角关系(二)教学目标【知识与技能】1.掌握三角形的内角和定理.2.能应用三角形的内角和定理解决一些简单的实际问题.【过程与方法】经历实验探究,得出三角形的内角和定理.【情感、态度与价值观】1.通过带领学生探究三角形的角的数量关系,引起学生的好奇心,激发学生的求知欲.2.发展学生的合情推理能力,使学生养成独立思考的习惯.重点难点【重点】三角形的内角和定理.【难点】三角形内角和定理的证明过程.教学过程一、创设情境,导入新知师:上节课我们把三角形按边来分类,并研究了三角形三边之间的关系,同学们还记得三角形的三边之间是什么关系吗?生:记得.三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.师:对.那么如果按角来分类呢?生:分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.师:你能说说它们分别是怎样定义的吗?生:能.三角形中,三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形,有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.师:在介绍等腰三角形时,我们对它的边进行了区分,分为腰和底边.直角三角形中,我们怎么对它的边长加以区分呢?生:直角三角形中夹直角的两边叫做直角边,直角相对的边叫做斜边.师:对.我们分别给它们取一个名字,这样以后就容易指出了.直角三角形可以写成“Rt △ABC”,我们把不是直角三角形的归为一类,称为斜三角形,所以斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形.二、共同探究,获取新知师:我们再回忆一下,在一个三角形中三个内角之间有什么关系?生:三角形的三个内角和是180°.师:你还记得在小学时,我们是怎样知道这个关系的吗?生:用折叠和剪拼的方法得到的.师:好.请同学们拿出一张纸,画出一个三角形,并将它剪下来.学生交流讨论后操作.师:将纸片三角形的一角折向其对边,使顶点落在对边上,折线与对边平行,然后把另外两角相向对折,使其顶点与已折角的顶点嵌合.学生操作.教师多媒体出示:师:这样我们就得到了什么结论?生:三角形的内角和是180°.教师多媒体出示:师:现在请同学们自己用剪拼的方法证明一下,看你们能不能得到这样的结果.学生操作.生:能得到同样的结论:三角形的内角和是180°.师:很好!你们还有什么方法来证明这个结论吗?生:用量角器量.师:对,你们在纸上画出一个三角形,然后用量角器量它的三个内角,看它们有什么关系?学生操作后回答.师:同学们思考一下一个三角形中最多有几个钝角?学生计论后回答:一个.师:你是怎样得出的结论?生:因为一个三角形的内角和是180°,钝角是大于90°的角,若有两个钝角,三个内角的和就超过180°了,所以至多有一个钝角.师:最多有几个直角呢?生:一个.师:为什么呢?生:与钝角情况类似,若有两个直角,它们的和就已经是180°了,再加上第三个角的度数,内角和就超过180°了.师:你分析得很好!三、巩固练习,加深理解教师多媒体出示:【例】已知:如图所示,△ABC中,BD⊥AC,垂足为D,∠ABD=54°,∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数.师:怎么求∠A的大小?把它看作哪个三角形的内角求?生:∠A是△ABD的内角,因为BD⊥AC,所以∠BDA=90°,∠ABD的度数已知,所以用三角形的内角和定理就可以求出∠A的大小.师:很好!∠C的度数怎么求呢?把它作为哪个三角形的内角来求呢?生:可以放在△ABC中求,也可以放在△DBC中求.师:对.当∠C作为△ABC的内角时怎么求呢?生:∠A+∠ABD+∠DBC+∠C=180°,所以∠C=180°-∠A-(∠ABD+∠DBC),然后把各个角的度数代入即可.师:当∠C作为△DBC的内角时怎么求呢?生:因为BD⊥AC,所以∠BDC=90°,∠BDC+∠DBC+∠C=180°,所以∠C=180°-∠BDC-∠DBC,然后把各角的度数代入即可.教师板书计算过程.解:由于BD⊥AC,(已知)所以∠ADB=∠CDB=90°.在△ABD中,∠A+∠ABD+∠ADB=180°,(三角形的三个内角和等于180°)∠ABD=54°,∠ADB=90°,(已知)∠A=180°-∠ABD-∠ADB=180°-54°-90°=36°.在△ABC中,∠C=180°-∠A-(∠ABD+∠DBC)=180°-36°-(54°+18°)=72°.四、课堂小结师:我们今天学习了什么内容?学生回答,教师补充完善.师:你还有什么疑问吗?学生提问,教师解答.教学反思本节课学生通过自主探索、合作交流、认真探究,从而证明出三角形的内角和等于180°,并按照“探究性学习方式”的三个层次要素设计学生的学习过程:“回忆旧知、引入新知”,“分析交流、探索规律”,“学以致用、提高能力”,使整节课既有规律性又有艺术性.教学过程中,不浪费任何一个促使学生动手操作、实践获得真知的机会,以师生互动、生生互动使学生主动自觉地发现结果,找到方法,培养学生的操作、观察,分析能力和思维的全面性.第3课时三角形中的边角关系(三)教学目标【知识与技能】1.了解并掌握三角形的高、中线和角平分线的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的高、中线与角平分线.2.通过作图了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.【过程与方法】经历探究三角形的高、角平分线、中线的过程,掌握其应用方法,发展空间观念.【情感、态度与价值观】1.经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线与角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯.2.发展学生合情推理的能力,提高学生学习数学的兴趣,形成合作交流的意识.重点难点【重点】三角形的三条高、中线和角平分线的画法.【难点】钝角三角形三条高的画法.教学过程一、创设情境,导入新知师:我们在上节课把三角形按角进行了分类,我请几个同学回答一下什么是锐角三角形、什么是直角三角形、什么是钝角三角形.生甲:在三角形中,三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.生乙:在三角形中,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.生丙:在三角形中,有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.师:很好!我们上节课学习了一个重要的定理,大家还记得吗?生:记得.三角形三个内角的和等于180°.师:很好!这节课我们继续学习三角形的有关知识.二、共同探究,获取新知师:三角形中三条边、三个角是它的六个基本元素,除此之外,同学们通过预习,知道它还有什么元素吗?生:角平分线.师:什么是角平分线呢?生:三角形中,一个角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.师:还有什么元素?生:中线.师:什么是中线呢?生:三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.师:还有什么元素呢?生:高.师:什么是高呢?生:从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高.学生熟记定义.师:你能根据这些线的定义作出这些线吗?生:能.师:现在请大家画一个三角形,并作出各个角的平分线.学生操作,教师巡视.教师在黑板上演示画一个角的平分线.∠1=∠2,BD是∠ABC的平分线.师:现在请大家重新画一个三角形,并作出这个三角形的三条中线.学生操作,教师巡视.教师在黑板上演示画一条中线.BD=DC,AD是BC边上的中线.师:现在请大家重新画一个三角形,并作出这个三角形的三条高.学生操作,教师巡视.教师在黑板上演示画三种类型的三角形的一条高线.锐角三角形BC边上的高直角三角形BC边上的高钝角三角形BC边上的高师:你能用折叠的方法作出一个角的平分线吗?学生思考,交流.生:能.师:你是怎样做的?生:先作出一个三角形,把它裁剪下来,我折叠要平分的这个角使它的两边重合,这样得到的折痕与这个角的对边有一个交点,连接这个角的顶点与这个交点得到的线段就是这个三角形的角平分线.师:你太聪明了.大家现在都知道怎么作的吗?生:知道.师:那么请同学们动手做一做.学生操作.师:你能用折叠的方法作出三角形的一条中线吗?学生思考,交流.生:能.师:你是怎么做的?生:要作出三角形一边上的中线,我折叠这条边,使其两端点重合,折痕与这条边的交点,就是这条边的中点.连接这条边所对角的顶点与这个中点,所得的线段就是这条边上的中线.师:现在请大家动手作出中线.学生操作.师:你能用折叠的方法作出三角形一边上的高吗?学生讨论.生:过这边所对角的顶点折叠三角形,使这条边的两段重合,这样就得到了三角形的高.师:很好,请大家动手做一做.学生操作,教师巡视指导.三、作图练习,理解定义师:三角形的角平分线的定义给出了角平分线的作法,请同学们在纸上画出一个三角形,并根据角平分线的定义,画出三个角的平分线.学生操作,教师巡视指导.师:请同学们再画出一个三角形,然后根据中线的定义,作出中线.学生操作,教师巡视指导.师:请同学们完成教材上“操作”的第1题.学生操作,教师巡视指导,最后集体订正.师:直角三角形的高中,有两条和边重合;钝角三角形的高中,有两条在三角形的外部.请同学们观察一下,你们作出的三条角平分线、三条中线和三条高,它们有什么特点?生甲:三条角平分线交于一点.生乙:三条中线交于一点.生丙:三条高交于一点.师:很好!之前学过的说明三角形意义的语句、本节中说明三角形角平分线意义的语句:“不在同一直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形”,“三角形中,一个角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线”,分别是三角形、三角形角平分线的定义.七年级时我们也学过一些定义,如“整数和分数统称为有理数”是有理数的定义.前两个定义揭示了对象的特征性质,后一个定义明确了所指对象的范围.给出定义,就是在于明确研究对象是什么.四、课堂小结师:本节课我们学习了什么内容?生:我们学习了三角形的角平分线、中线和高的定义以及画法.师:对,我们由作图过程知道了三角形的三条角平分线、三条中线和三条高是交于一点的.教学反思本节课通过让学生自己动手作图,作出三角形三个角的平分线、三条中线和三条高,让学生深刻理解它们的定义.通过画图和观察图形让学生自己去发现同一三角形的这些线是交于一点的,培养他们观察、总结的能力.通过实际动手得到的结论,他们的印象会更深刻,理解更透彻.这节课所讲授的三种线段中的两种,即三角形的角平分线和高线都是建立在以往旧知识的基础上的,学生对这两种线段已经有了一定的认识,学习起来更容易.强调三角形中的三种线是“线段”,而不是以往的“射线”.。

三角形中的边角关系教案沪科版（精美教案）
《三角形中的边角关系》第一课时教学案例
一、内容分析：
三角形是最简单的多边形，是研究其他图形的基础。

本节课是在学生已学过了一些三角形的基础上，进一步系统的研究它的概念、分类、性质和应用。

二、学情分析：
虽然学生已在小学阶段及日常生活中了解了不少有关三角形的知识，但却偏重于感性认识，且缺乏系统化。

故教学时应从学生熟悉的事物入手，创设情境，调动学生的学习积极性，积极进行观察、操作、猜想、验证，主动探究解决问题。

三、教学目标：
、了解三角形的概念，会对三角形按边的关系进行分类，并会用符号语言表示三角形；
、理解三角形中三边之间的关系，并运用它解决一些简单的问题；
、经历观察、猜想、操作、实验、验证等数学活动，感受数学活动中的创造性，体验探究的乐趣。

四、教学中的重、难点及处理：
、重点：理解三角形三边之间的关系，了解三角形的分类思想。

、难点：探究三角形三边之间的关系。

、处理：结合多媒体课件，揭示图形特点，通过观察、操作、合作交流，结合“两点之间，线段最短”原理，验证猜想。

五、教学准备：
、教师准备：制作多媒体课件。

、学生准备：笔、刻度尺。

七、教学设计说明：。

第13章三角形中的边角关系、命题与证明【教学目标】1、理解三角形及其内角、外角、边、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。

2、会证明三角形中任意两边之和大于第三边。

探索并证明三角形内角和定理及三角形外角性质。

3、通过具体实例，了解定义、命题、基本事实、定理、推论的意义。

会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。

会识别两个互逆命题。

知道原命题成立其逆命题不一定成立。

4、知道证明的意义和必要性。

知道证明要合乎逻辑，会综合法证明的格式，打好形式化证明的基础。

5、了解反例的作用。

知道利用反例可以判断一个命题是错误的。

【重、难点】1、重点：三角形的边角关系，及区分一个命题的题设和结论，综合法证明一个几何命题的方法和步骤。

2、难点：简单反例的构造；一个几何命题综合法证明思路的分析和证明过程的规范表述。

【教学过程】一、内容整理：（多媒体展示）二、主要知识回顾：1、三角形中的边角关系：⑴ 三角形中，任一边＿＿其余两边和，＿＿其余两边差。

⑵ 三角形三内角和等于＿＿＿＿。

2、用自己的语言叙述命题、基本事实和定理的意义。

3、命题有真假之分。

要说明一个命题是假命题，只要＿＿＿就可以了；而要说明一个命题是真命题，必须＿＿＿＿＿＿＿＿。

4、用自己的语言说说证明的基本步骤。

5、由三角形内角和定理可以推出三角形外角与内角的关系：⑴ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

三、三角形三边之间的关系（1）知识点分析三角形的三边关系是中考的常见考点。

它的应用主要体现在以下几方面：⑴ 判断已知长度的三条线段能否构成三角形或已知三角形的两边长求第三边长的取值范围。

⑵ 应用三角形三边关系进行不等关系的推理。

（2）例题讲解例1：下列各组数据可能是一个三角形的边长的是【】A、1，2，4B、4，5，9C、4，6，8D、5，5，11【点评】本题主要考查三角形的三边关系定理：三角形中任意两边的和大于第三边。

14.1三角形中的边角关系教学目标：知识目标：理解三角形的有关概念，掌握三角形三边的关系。

能力目标：通过观察、操作、讨论等活动，培养学生的动手实践能力和语言表达能力。

情感目标：让学生在自主参与、合作交流的活动中,体验成功的喜悦，树立自信，激发学习数学的兴趣。

教学重、难点：教学重点：三角形三边关系的探究和归纳。

教学难点：三角形三边关系的应用。

教学过程：Ⅰ.回顾与思考1.如何表示线段？2.如何表示一个角？Ⅱ.创设现实情景，引入新课问题：看下列实物中，有你熟悉的图形吗？（出示投影：一些含有三角形的建筑物）Ⅲ.讲授新课在小学数学中我们学习了有关三角形的一些初步知识，现在大家观察下面的屋顶框架图，并回答以下问题：观察下面的屋顶框架图.图5－1（1）你能从图5－1中找出4个不同的三角形吗？与同伴交流各自找的三角形.(请同学们在纸上画出该图形然后来找，请一个同学上黑板指出三角形)根据指出的三角形回答下列问题：1.这些三角形有什么共同的特点？（结合小学对三角形的认识回答）2.什么叫做三角形？（通过视频了解三角形定义）（刚才找到的三角形能说清楚吗？可能同桌的两位或前后能指着说，隔一行或隔一排就恐怕不行，你说的是这个，他说的是那个，容易混淆，那么怎样就可以表示清楚呢？3．如何表示三角形？4．三角形的边可以怎么表示？5．如果我说三角形有三要素,你能猜出是哪三要素吗?（通过视频了解三角形的基本元素）练一练:(三角形定义三角形的表示方法)研究三角形的三条边是否相等，有多少种可能的情况？（通过视频掌握三角形按边的分类）1．三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形，如图3-9．2．有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角，如图3-10．3．三条边都相等的三角形叫做等边三角形．议一议(1) 元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。

13．1 三角形中的边角关系第1课时三角形中边的关系1．结合具体的实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素．2．会用符号、字母表示三角形，并了解按边的相等关系对三角形进行分类．3．理解三角形任何两边之和大于第三边的性质，并会初步运用这一性质来解决问题．重点三角形的三边关系．难点三角形的三边关系．一、创设情境，导入新课教师出示一个用硬纸板剪好的三角形，并提出问题：小学中我们已经认识了三角形，那么你能不能给三角形下一个完整的定义？教师出示教具，提出问题．让学生观察教具，然后给出三角形的定义．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形．【教学说明】通过小学知识，引入新的知识，温故而知新．通过教具观察，引起学生的注意，引发学生的学习兴趣．二、合作交流，探究新知1．探究三角形的有关概念(1)三角形的顶点及符号表示方法．(2)三角形的内角．(3)三角形的边．教师继续利用教具向学生直接指明相关的概念．学生注意记忆相关的概念．然后教师出示另外剪好的三角形，各顶点字母与原来不同，然后通过新三角形让学生巩固刚才的有关概念．【教学说明】直截了当地向学生指明相关的概念，之后借助练习巩固．2．探究三角形的分类问题1：小学中已经学过，如何将三角形进行分类？问题2：如何将三角形按边分类？教师提出问题，学生举手回答．教师提示，分类的标准是什么？教师进一步提出新的问题，并进一步讲解，等边三角形，等腰三角形的有关概念．然后给出三角形的按边分类方法：三角形⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形之后师生共同归纳三角形的分类方法．按不同的标准分类，可以有不同的分法．【教学说明】在三角形的分类学习过程中，让学生体会分类的思想，即：统一标准，不重不漏．3．探究三角形的三边关系探究：画出一个△ABC ，假设有一只小虫要从B 点出发，沿三角形的边爬到C ，它有几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？教师提出问题，学生先画图然后进行讨论，并思考问题，然后教师指定学生回答问题． (1)小虫从B 出发沿三角形的边爬到C 有如下几条路线． a ．从B →C b ．从B →A →C(2)从B →C 路线短．然后教师进一步提出问题：这条路径为什么是最短的？ 学生举手回答：“两点之间，线段最短．” 然后师生共同归纳得出： AC ＋BC ＞AB ， AB ＋AC ＞BC ， AB ＋BC ＞AC ，即：三角形的两边之和大于第三边． 教师出示教材P68例1.分析：第(2)问有一边长为4 cm ，是什么意思，哪一边的长度是4 cm? 师生共同完成分析以后，教师给出规范的解答过程．【教学说明】借助旧的知识，解决新的问题，从学生的探究入手，得出三角形的三边之间的关系．问题的解题思路，一方面涉及方程思想的运用，另一方面涉及分类讨论的思想，故教师的讲解与点拨是必要，也是必需的．逐步向学生渗透数学中的思想方法，教给学生解决问题的技能是教学过程中更应该关注的问题．三、运用新知，深化理解例1 如图所示，图中三角形的个数共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个分析：根据三角形的定义进行判断．只要数出BC 上有几条线段即可．很明显BC 上有3条线段，所以有三个三角形．【归纳总结】在比较复杂的图形中寻找三角形的方法：可以按照一定顺序寻找，即先固定一个顶点，变换另两个顶点，做到不重复、不遗漏．例2 设M 表示直角三角形，N 表示等腰三角形，P 表示等边三角形，Q 表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是( )A BC D分析：根据它们的概念，有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角且有两条边相等的三角形是等腰直角三角形，故选A.【归纳总结】此题考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系．例3 若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，化简|a －b －c |＋|b －c －a |＋|c ＋a －b |.分析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a －b －c ＜0，b －c －a ＜0，c ＋a －b ＞0.∴|a －b －c |＋|b －c －a |＋|c ＋a －b |＝b ＋c －a ＋c ＋a －b ＋c ＋a －b ＝3c ＋a －b .【归纳总结】绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．四、课堂练习，巩固提高 1．教材P69练习第1，2题．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容． 五、反思小结，梳理新知三角形中边的关系⎩⎪⎨⎪⎧三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形；三角形按边分类⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形（包括等边三角形）三角形的三边关系：三角形中任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边.六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容． 2．教材P73习题13.1第1题．第2课时 三角形中角的关系理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理判定三角形的形状以及解决一些简单的实际问题．重点三角形内角和定理． 难点三角形内角和定理的推理过程．一、创设情境，导入新课我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？教师提出问题，引发学生思考．【教学说明】通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到，测量的方法只能进行有限次的验证，并不能对所有的三角形进行验证，所以必须寻找一种能说明所有三角形的内角和是180°的方法．为后面的证明作准备．二、合作交流，探究新知 探究一 三角形的分类通过学生的讨论、交流，使学生体验分类方法的原则，不重不漏，标准统一，在学习过程中进一步培养学生的独立学习能力，并培养学生的归纳概括能力．问题：前面我们学过三角形按边分类的方法，那么按角分类，如何将三角形进行分类呢？ 教师提出问题，学生举手回答．教师提示：分类的标准是什么？ 学生回答：按角分类，师生共同概括得出： 三角形按角的大小可分为：三角形—⎣⎢⎡直角三角形斜三角形—⎣⎢⎡锐角三角形钝角三角形探究二1．在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码．图① 图②2．让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处(如上图)，用量角器量出∠BCD 的度数，可得到∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°.3．把∠B 和∠C 剪下按下图拼在一起，用量角器量一量∠MAN 的度数，会得到什么结果？图③教师在学生完成后，提出问题：在图②中直线CM与AB是什么关系？在图③中直线MN与BC是什么关系？你能从中找到三角形内角和定理的证明方法吗？【教学说明】通过动手操作，使学生从中体验数学学习的乐趣，并在教师的引导下，从动手操作中发现三角形内角和定理的证明方法．通过问题引导，使学生在操作中发现三角形内角和定理的证明方法．三角形内角和定理的证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.已知，△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.教师引导学生从上面的操作中得到证明三角形内角和定理的方法，然后规范地写出证明过程．注意向学生提示辅助线要用虚线．这一过程中教师应当注意，必须要写出规范的证明过程．教师可以采取示范一个，练习一个的方式．用如上图的方法进行教师示范，用如下图的方法让学生进行练习．想一想，还有没有其他的方法？(利用同旁内角互补)【教学说明】使学生从对三角形内角和的感性认识上升到理性认识，由于学生刚刚开始接触证明，所以教师必须要有规范的示范，通过讲练结合，使学生逐步掌握推理的方法步骤．巩固应用C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？教师利用投影出示例题，学生先读题，弄懂题意，然后师生共同分析解题．和上边的定理证明过程一样，教师也要给出完整的解答过程，在本问题的分析过程中，教师应当着重于思路的讲解，在角的求值问题中，常常利用平行线进行转化，利用内角和定理来具体求值．要将这里的思想方法逐步向学生渗透．之后教师可进一步向学生提问：“还有没有其他的方法来解决．”本题的难点是要让学生观察到直线AD与BE的关系．进而转化为与平行线有关的问题解决．【教学说明】通过例题，要让学生体会三角形内角和定理在角的求值问题中的应用，注意向学生分析解决问题的思路和方法．逐步向学生渗透数学中的思想方法，这里体现了数学中的转化思想．这一点一定要让学生体会．三、运用新知，深化理解例1 如图，在△ABC 中，∠B ＝55°，∠C ＝63°，DE ∥AB ，则∠DEC 等于( )A ．63°B ．62°C ．55°D ．118°分析：在△ABC 中，∠B ＝55°，∠C ＝63°，根据三角形的内角和定理，即可求得∠A 的度数，又由DE ∥AB ，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠DEC 的度数．故答案为B.【归纳总结】此题比较简单，解题的关键是掌握“两直线平行，同位角相等”的应用． 例2 一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 分析：设这个三角形的三个内角的度数分别是x ，2x ，3x ，根据三角形的内角和为180°，得x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．【归纳总结】在解决此类问题时，通常先设比例系数，然后列方程求解． 补充练习：(1)三角形中最大的角是70°，那么这个三角形是锐角三角形．( ) (2)一个三角形中最多只有一个钝角或直角．( ) (3)一个等腰三角形一定是锐角三角形．( ) (4)一个三角形最少有一个角不大于60°.( ) 四、课堂练习，巩固提高 1．教材P71练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容． 五、反思小结，梳理新知三角形中角的关系⎩⎪⎨⎪⎧按角分类：三角形⎩⎪⎨⎪⎧直角三角形斜三角形⎩⎪⎨⎪⎧锐角三角形钝角三角形三角形的内角和等于180°六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容． 2．教材P74习题13.1第2，3题．第3课时三角形中几条重要线段1．掌握三角形的高、中线、角平分线的定义中体现出来的性质．2．会画三角形的高、中线、角平分线．重点了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线．难点1．三角形的角平分线与角平分线的区别，三角形的高与垂线的区别．2．钝角三角形高的画法．3．不同的三角形三条高的位置关系．一、创设情境，导入新课我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高．三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线值得我们研究．二、合作交流，探究新知探究一探究高的概念及画法问题1：如何求三角形的面积？问题2：什么是三角形的高，怎样画三角形的高？教师首先提出问题1，学生举手回答，然后教师进一步提出问题2，引入本节课的第一个概念．从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．如图，AD是△ABC的BC边上的高线．想一想，一个三角形有几条高？然后教师要求学生动手画三个不同的三角形，即锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，之后要求学生作出它们的高．然后同学间进行交流．【教学说明】通过三角形的面积自然引入高的概念，然后步步紧扣，提出如何画高的问题．过程显得自然，紧凑．指出直角三角形的高与画钝角三角形的高是难点，通过学生的动手操作，交流探讨．使学生掌握高的画法，尤其是钝角三角形的高的画法．观察：每一个三角形的三条高有什么位置关系？三条高交于一点．教师提出问题：各种三角形的高都分别交于一点吗？学生讨论，交流，然后归纳结果．【教学说明】通过学生的观察，发现三角形的三条高交于一点，培养学生的观察发现能力．从中体验数学的研究方法．练习：教材P72“操作”第1题．学生独立观察，然后交流，归纳．【教学说明】边讲边练，提高课堂效率．探究二探究三角形的中线与角平分线的概念及画法1．三角形的中线及其画法．2．三角形的角平分线及其画法．教师指出三角形中线的定义及角平分线的定义．然后仿照三角形的高的教学过程，安排学生画一画，并相应地提出类似的问题．【教学说明】将三角形的中线，角平分线与高类比来学习，有助于提高学生对这三个概念的认识与掌握．便于学生理解概念，掌握性质．学生动手操作，然后交流，探讨，师生共同归纳总结．三角形的三条中线都在三角形的内部，且它们交于一点，这个交点就是三角形的重心．三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且它们交于一点．三角形的三条高线不一定在三角形的内部，它们也相交于一点．三角形的高、中线、角平分线都是线段．【教学说明】通过归纳总结，认识高、中线、角平分线间的相同与不同之处．思考：如图，AD是△ABC的BC上的中线．△ABD和△ADC的面积有何关系，为什么？教师布置，学生练习，学生独立完成练习，然后举手回答．教师利用投影出示思考题，学生进行讨论后，再进行归纳．【归纳总结】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．思考：高和角平分线是否也有这样的性质呢？【教学说明】通过练习，使学生在图形中认识中线和角平分线的定义，并从中认识相关线段、角之间的关系．拓展学生对中线的认识．三、运用新知，深化理解例1 如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于点E，点F为AB上一点，CF⊥AD于点H，下面判断正确的有( )①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH为△ACD中边AD上的高．A．1个B．2个C．3个D．0个分析：由∠1＝∠2知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，所以①错；同理BE 经过△ABD中边AD的中点G，但BE不是△ABD中的线段，故②不正确；由于CH⊥AD于点H，故CH是△ACD中边AD上的高，故③正确．答案为A.【归纳总结】判断三角形的中线和角平分线时，一定要注意它们都是线段，且都在三角形内部．三角形的高是垂线段，可在三角形的内部、外部或与三角形的一条边重合．例2 如图所示，AD ，AE 是△ABC 的高和角平分线，∠B ＝36°，∠C ＝76°，求∠DAE 的度数．分析：由三角形内角和定理可求得∠BAC 的度数，在Rt △ADC 中，可求得∠DAC 的度数，AE 是△ABC 的角平分线，有∠EAC ＝12∠BAC ，故∠DAE ＝∠EAC －∠DAC .解：∵∠B ＝36°，∠C ＝76°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝68°，∵AE 是△ABC 的角平分线，∴∠EAC ＝12∠BAC ＝34°.∵AD 是高，∠C ＝76°，∴∠DAC ＝90°－∠C ＝14°，∴∠DAE ＝∠EAC －∠DAC ＝34°－14°＝20°.【归纳总结】利用三角形的内角和、角平分线、高的相关性质进行简单计算，注意图形中的角的数量关系．例3 如图，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF 和△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF 和S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF ＝______．分析：∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝12AC ，∵S △ABC ＝12，∴S △ABD ＝12S △ABC ＝12×12＝6.∵EC ＝2BE ，S △ABC ＝12，∴S △ABE ＝13S △ABC ＝13×12＝4.∵S △ABD －S △ABE ＝(S △ADF ＋S △ABF )－(S △ABF＋S △BEF )＝S △ADF －S △BEF ，即S △ADF －S △BEF ＝S △ABD －S △ABE ＝6－4＝2.【归纳总结】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．四、课堂练习，巩固提高 1．教材P73练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容． 五、反思小结，梳理新知三角形中几条重要线段⎩⎪⎨⎪⎧角平分线：平分内角且与三角形对边相交的线段；中线：三角形的顶点与对边中点的连线；高：三角形的顶点向对边所作的垂线段.六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容． 2．教材P74习题13.1 第4～7题．。

《三角形中的边角关系》教学设计教学目标：（一）知识与技能1、了解三角形的概念，会对三角形按边的关系进行分类，并会用符号语言表示三角形。

2、理解三角形中三边之间的关系，并运用它解决一些简单的问题。

（二）过程与方法1、经历观察、猜想、操作、实验、验证等数学活动，感受数学活动充满着探索性和创造性，体验探究的乐趣。

2、通过对三角形三边关系的发展及应用培养学生的分类讨论思想和方程思想。

（三）情感态度价值观1、感知数学与生活的密切联系，体会生活中的数学美、图形美。

2、激发学生的勇于探究精神，让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值。

教学重点：理解三角形三边之间的关系并能灵活应用。

教学难点：探究三角形三边之间的关系。

设计理念：结合多媒体课件，揭示图形特点，通过观察、操作、合作交流，结合“两点之间，线段最短”原理，验证猜想。

教学方法：情境导入法、实验比较法教学准备：1、教师准备：制作多媒体课件。

2、学生准备：小木棒、刻度尺。

教学过程：一、创设情境，引入新课问题：看下列实物中，有你熟悉的图形吗？（出示投影：一些含有三角形的建筑物）教师叙述：我们在日常生活中几乎随处可见三角形，它简单、有趣，也十分有用。

三角形可以帮助我们更好地认识周围的世界，可以帮助我们解决很多实际问题……从这一节课开始我们将学习三角形。

（设计说明：数学来源于生活，感受生活中的数学美，培养学生善于观察生活，洞悉生活中数学常识的能力。

）二、合作交流，初探新知活动一：师生动手任意画一三角形并通过刚才看过的图形中的三角形，讨论它们有什么共同点呢？引出三角形的定义。

教师总结三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。

活动二：请同学们对照提纲阅读教科书第67页◆阅读提纲：1、会用几何符号表示一个三角形。

2、知道三角形的顶点、角、边等概念，并会用几何符号表示。

3、会把三角形按边进行分类，知道每类三角形的特征。

第1篇教学目标：1. 知识与技能：理解三角形中边角关系的基本概念，掌握三角形内角和定理，能够运用定理解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、实验、推理等方法，引导学生主动探究三角形边角关系，培养分析问题和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：培养学生严谨的科学态度，激发学生对数学的兴趣。

教学重点：1. 三角形内角和定理；2. 三角形边角关系。

教学难点：1. 三角形内角和定理的证明；2. 应用三角形边角关系解决实际问题。

教学准备：1. 多媒体课件；2. 三角形模型；3. 练习题。

教学过程：一、导入1. 引导学生回顾平面几何中的基本概念，如点、线、面等；2. 提出问题：三角形有哪些基本性质？二、新课讲授1. 三角形的定义：由三条线段首尾相连所围成的图形。

2. 三角形的分类：根据边长分类：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形；根据角度分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

3. 三角形内角和定理：三角形内角和等于180°。

4. 三角形边角关系：（1）三角形内角和定理的证明：通过观察、实验、推理等方法，引导学生主动探究三角形内角和定理的证明。

（2）应用三角形边角关系解决实际问题：举例说明三角形边角关系在实际生活中的应用，如测量未知角度、计算面积等。

三、课堂练习1. 完成多媒体课件中的练习题；2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调三角形内角和定理及边角关系的重要性；2. 布置课后作业，巩固所学知识。

五、板书设计1. 三角形的定义2. 三角形的分类3. 三角形内角和定理4. 三角形边角关系教学反思：1. 本节课通过观察、实验、推理等方法，引导学生主动探究三角形边角关系，培养了学生的分析问题和解决问题的能力；2. 在新课讲授过程中，注重理论与实践相结合，提高了学生的学习兴趣；3. 课后作业的布置有助于巩固所学知识，提高学生的数学素养。

第2篇课时：2课时年级：八年级教材：《几何》教学目标：1. 知识与技能：理解三角形内角和定理，掌握三角形外角定理，能够运用定理解决实际问题。

13．1 三角形中的边角关系第1课时三角形中边的关系教学目标1．了解三角形及相关概念，能正确识别和表示三角形；2．会根据边是否相等对三角形进行分类；3．掌握三角形三边关系，会判断已知三条线段能否构成三角形，会求三角形第三边的取值范围．教学重点掌握三角形三边关系，会判断已知三条线段能否构成三角形教学难点会求三角形第三边的取值范围教学过程一、情境导入三角形是一种最常见的几何图形，如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志等等，处处都有三角形的形象．那么什么叫做三角形呢？二、合作探究探究点一：三角形的识别如图所示，图中三角形的个数共有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：根据三角形的定义进行判断．只要数出BC上有几条线段即可．很明显BC上有3条线段，所以有三个三角形，选C.方法总结：在比较复杂的图形中寻找三角形的方法：可以按照一定顺序寻找，即先固定一个顶点，变换另两个顶点，做到不重复、不遗漏．探究点二：三角形的分类设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是( )解析：根据它们的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角且有两条边相等的三角形是等腰直角三角形．故选A.方法总结：考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系．探究点三：三角形三边关系【类型一】判断已知线段能否构成三角形下列各组长度的线段能构成三角形的是( )A．1.5cm，3.9cm，2.3cmB．3.5cm，7.1cm，3.6cmC．6cm，1cm，6cmD．4cm，10cm，4cm解析：A中，1.5＋2.3＝3.8＜3.9，不能构成三角形；B中，3.5＋3.6＝7.1，不能构成三角形；C中，6＋1＞6，6－1＜6，能构成三角形；D中，4＋4＝8＜10，不能构成三角形．故选C.方法总结：判断三条线段能否组成三角形的简便方法是看较短的两条线段的长度是否大于最长的线段的长度．【类型二】求三角形第三边的取值范围已知三角形的三边长分别是2，2x－3，6，则x的取值范围是________．解析：∵三角形的两边长分别为2和6，∴第三边边长2x－3的取值范围是：6－2＜2x －3＜6＋2，即3.5＜x＜5.5.方法总结：根据三角形三边关系定理可知：已知两边之差＜第三边长＜已知两边之和，确定第三边的取值范围，再结合题干中的其他条件排除不合要求的其他值．【类型三】三角形的三边关系与等腰三角形已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长是________．解析：由等腰三角形两边长为3、5，分别从等腰三角形的腰长为3或5去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形．①若等腰三角形的腰长为3，底边长为5，∵3＋3＝6＞5，∴能组成三角形，∴它的周长是：3＋3＋5＝11；②若等腰三角形的腰长为5，底边长为3，∵5＋3＝8＞5，∴能组成三角形，∴它的周长是：5＋5＋3＝13.综上所述，它的周长是11或13.易错提醒：要求等腰三角形的周长，要先确定等腰三角形的腰和底．先分两种情况讨论能否构成三角形，再进行计算．【类型四】三角形三边关系与绝对值的综合若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．课堂小结⎩⎪⎨⎪⎧三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形.三角形按边分类⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形（包括等边三角形）三角形的三边关系：三角形中任何两边的和 大于第三边，任何两边的差小于第三边.。

第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系 (1)第1课时三角形中边的关系 (1)第2课时三角形中角的关系 (4)第3课时三角形中几条重要线段 (6)13.2 命题与证明 (10)第1课时命题 (10)第2课时证明 (14)第3课时三角形内角和定理及推论 (17)第13章三角形中的边角关系、命题与证明 (20)13.1 三角形中的边角关系第1课时三角形中边的关系【知识与技能】了解三角形的概念，掌握三角形三边关系.【过程与方法】经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵.【情感与态度】让学生养成有条理地思考的习惯以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值.【教学重点】重点是了解三角形的分类，弄清三角形三边关系.【教学难点】难点是对两边之差小于第三边的领悟.一、创设情境，探究新知1.投影图片，把事先收集的与三角形有关系的生活图片运用投影仪播放，让学生对三角形有一个感性认识.如下图：【教学说明】通过播放图片，引导学生认识三角形，并提出图中能找出的几个三角形具有什么样的特性.教师引导学生进行讨论.【归纳结论】由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形.2.给出一个三角形，如图，并标上字母，引导学生体会用符号来表示一个三角形的方法，认识三角形的基本元素：边、角、顶点等.【教学说明】在这个过程中，教师要让学生学会运用大小写字母来表示三角形的边与角，如图的三角形可记作△ABC，三边可记作AB、AC、CA；三个角可记作∠A、∠B、∠C，或可用三个字母表示为∠BAC、∠ABC、∠ACB.注意：表示边时要用两个大写字母，或一个小写字母.注意小写字母标注的规律：通常顶点大写字母所对的边就是这个顶点的小写字母.3.教师给出不同类型的三角形，引导学生从边和角两种角度观察、分类.（1）从边的角度来分类有：不等边三角形等腰三角形（包括等边三角形）【教学说明】对于等腰三角形来说，相等的两边称为腰，第三边称为底边.两腰所夹的角称为顶角，腰与底边的夹角称为底角；而等边三角形的三边都相等，它是等腰三角形的特例.（2）从角的角度来分类有：锐角三角形（三个内角均为小于90°的角）直角三角形（有一个内角是90°）钝角三角形（有一个内角大于90°）二、联系实际，合作探究【问题1】国庆节的晚上，小明从甲地到乙地后再往丙地走，并到达丙地，小红从甲地直接到丙地，如图所示，请你谈谈小明和小红谁走的路程长，依据是什么？学生活动：发现小红走的路程短，小明走的路程长.依据是：两点之间线段最短.【问题2】在一个三角形中，任意两边的长度之和与第三边的长度之间有着怎样的关系呢？教师在黑板上画出按角分类的三个三角形，请三位同学量出三边的长度，再进行比较.（1）三角形任意两边之和大于第三边.（2）三角形任意两边之差小于第三边.三、范例学习，应用所学例1（课本68页例1）等腰三角形中，它的周长是18 cm.（1）如果腰长是底边长的2倍，求各边长.（2）如果一边长为4 cm，求另两边长.例2有两根长度分别为8 m和5 m的钢管，再用一根长度为3 m的钢管能将它们焊接成一个三角形钢架吗？为什么？长度为4 m呢？长度为2 m呢？四、随堂练习，巩固深化1.如图，图中共有___个三角形，它们分别是__________.图中以AC为边的三角形是___________________2.下列线段能构成三角形的是（）A.2，2，4B.3，4，5C.1，2，3D.2，3，63.已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A.5B.10C.11D.124.若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为____（只需填一个整数）5.若三角形三边长满足（a-b）2+|a-c|=0，则△ABC的形状是_________.6.若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为_______cm.【参考答案】1.6 △ABC、△ACD、△ADE、△ABD、△ACE、△ABE △ABC、△ACD、△ACE2.B3.B4.4（答案不唯一）5.等边三角形6.35五、师生互动，课堂小结1.由学生进行归纳总结.2.教师提示：（1）三角形分类中，可以按边和角进行分类，可分成三类.（2）判定三条线段能否构成三角形，只须用较小两边相加与第三边进行比较.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.1.课本第69页练习1、2、3.2.完成练习册中的相应作业.本堂课的设计主要是从学生的角度出发，思路为：创设情景——激发学习欲望——联系实际——鼓励学生动手、观察、猜想——鼓励学生大胆发表自己的想法.通过学习使学生了解三角形的概念，掌握三角形三边关系.经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵，让学生养成有条理的思考的习惯以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值.第2课时三角形中角的关系【知识与技能】理解三角形三个内角等于180°的推导过程，会应用三角形内角和定理解决实际问题.【过程与方法】经历观察、思考、互动的过程，提高合情推理的能力，发展条理化的思维意识.【情感与态度】让学生养成有条理地思考的习惯以及说理有据的意识，体会三角形角的关系在现实生活中的实际价值.【教学重点】重点是应用三角形内角和定理.【教学难点】难点是对三角形内角和定理的认识.一、创设情境，探究新知动手操作：1.剪出一块三角形，并将这个三角形三个角剪下拼接在一起，形成平角.2.试一试，有几种不同的方法.3.评析：在探究的过程中，引入了几何学中的“辅助线”，这里必须说明辅助线的作用以及表达辅助线的书写文字.【归纳结论】三角形的内角和等于180°.二、范例学习,应用所学例1（课本70页例2）已知：如图，BD是△ABC的高，∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数.例2已知：B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求从C处看A、B两处的视角∠ACB的度数.注意：学生先独立画出图形.三、随堂练习,巩固深化1.在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形2.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为_______度.3.如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=35°，∠AOB=75°，则∠C=_____度.【参考答案】1.D 2.75 3.70四、师生互动，课堂小结互动复习：1.本节课推导三角形内角和定理，运用了哪些方法？2.对于几何问题中的辅助线的添法，你有什么看法？1.课本第71页练习1、2、3、42.完成练习册中的相应作业.让学生亲自动手，通过量、剪、拼等活动发现、证实三角形内角和是180°，并会应用这一知识解决生活中简单的实际问题；让学生在动手获取知识的过程中，培养学生的创新意识、探索精神和实践能力.并通过动手操作把三角形内角和转化为平角的探究活动，向学生渗透“转化”的数学思想，使学生体验成功的喜悦，激发学生主动学习数学的兴趣.第3课时三角形中几条重要线段【知识与技能】领会三角形中的高、角平分线、中线的知识，会应用它们解决实际问题.【过程与方法】经历探究三角形中的高、角平分线、中线的过程，掌握其应用方法，培养空间观念.【情感与态度】在互动交流中形成几何推理意识，感悟几何学逻辑推理的价值.【教学重点】重点是应用三角形中的高、角平分线、中线的概念.【教学难点】难点是画钝角三角形的高线.一、创设情境，探究新知1.动手操作.问题：过三角形ABC三个顶点分别作它们对边的垂线.【教学说明】在黑板上画出锐角、直角、钝角三角形各一个，要求学生在练习本上画图，并请一些同学上讲台“演示”.教师提问：三角形中的三条垂线是否能交在一点？导入高的定义：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段,叫做三角形的高线，也叫做三角形的高.2.动手折叠.教师要求：请同学们用折纸的方法得到三角形的高.注意：钝角三角形的三条高的交点在三角形外面，直角三角形三条高的交点在三角形直角的顶点上，锐角三角形三条高的交点在三角形内部.二、操作感知，形成概念【合作交流1】交流内容：折纸，感悟三角形角的平分线.交流方法：用剪刀剪出一块任意三角形，然后对折一个内角.引出三角形的角平分线定义：在三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.学生活动：在折纸讨论的基础上，认识角平分线定义，发现三角形三条角平分线交于一点，且交点在三角形内部.【合作交流2】交流内容：画三角形的中线.画图方法：（1）画一个锐角三角形，一个直角三角形，一个钝角三角形.（2）寻找出三边的中点.（用刻度尺）（3）把顶点与它们对边的中点连接.学生活动：动手画图，发现画出来的三条线段交于一点.引出中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线.三角形三条中线的交点是三角形的重心.教师提问：要取三角形一边的中点，除了用刻度尺来确定，还有别的方法吗？三、随堂练习，巩固深化1.不一定在三角形内部的线段是（）A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.三角形的中位线2.小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）3.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC=________.4.如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D.则图中共有____个直角三角形.5.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线.（1）若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠ABD的度数；（2）在△BED中作BD边上的高EM；（3）在（1）的条件下，若△ABC的面积为40，求△ADC的面积. 【参考答案】1.C 2.C 3.40° 4.35.解：（1）∵∠BED=40°，∠BAD=25°，∴∠ABE=∠BED-∠BAD=40°-25°=15°，∵BE为△ABD的角平分线，∴∠ABD=2∠ABE=2×15°=30°.（2）BD边上的高EM如图所示.四、师生互动，课堂小结1.今天学习了哪些概念？2.三角形“三线”如何区别？它们的交点是否都在三角形内部？1.课本第73页练习1、2、3.2.补充：如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=40°，∠C=60°，求∠BAD和∠DAE的度数.3.完成练习册中相应的作业.本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循从感性到理性的渐进认识规律，体现了知识的发生过程，体现了数学学习的必然性.教学先从学生折纸开始，让学生体验三角形中线、角平分线的存在及其性质，而后通过尺规作图，加深学生对中线、角平分线的认识，增加了数学学习的兴趣.在讲三角形高的过程中，学生也想用折纸折出三角形高，结果碰到困难(钝角三角形)，使新、旧知识大碰撞，加速知识同化.在探究三角形稳定性时，课堂出现很多三角形结构，并让同学解释，使学生认识到数学来源于生活同时也服务于生活的真谛，增强学生学习数学的热情，整堂课都以学生操作、探究、合作贯穿始终，培养学生动手、合作、概括的能力.13.2 命题与证明第1课时命题【知识与技能】了解命题的概念，会判定一个命题的真假.【过程与方法】经历探究命题以及结构的过程，体会命题的内涵.【情感与态度】培养学生严谨的推理和论证意识，感悟几何思想的应用价值.【教学重点】重点是认识命题的内涵和结构.【教学难点】难点是区别命题的题设和结论.一、创设情境，探究新知1.问题引入有一根比地球赤道长1m的铜线将我们生活的地球赤道绕一圈.想一想，铜线与地球赤道之间的空隙有多大（假设地球是球形的）？能放进一个苹果吗？2.阅读课文教师提问：前面一节课中，我们探索三角形内角和等于180°时，大家采用剪、拼的手法，将一个三角形的三个角拼在一起，成为一个平角，只是接近180°的某个值，但不是准确的180°.教师引导：研究几何图形，从观察和实验得到的认识，有时会有误差，难以使人确信其结果一定正确.因此，就得在观察的基础上有依据地说明理由.也就是说，要判断数学命题的真假，需要进行必要的逻辑推理.二、情境合一，继续探究1.教师引入：在日常生活中，大家经常要遇到下面的表达语言.例如：（1）福州市是福建省的省会.（2）3+7＜11.（3）邻补角互补.（4）有共同顶点的两个角是对顶角.（5）对顶角相等.（6）上海是在湖北.请同学们观察，判断上述语言是否正确？【归纳结论】在逻辑学中，凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.2.教师提问：下列句子都是命题吗？哪些是命题？（1）今天下雨了.（2）画一条直线.（3）我回家.（4）两直线平行，同位角相等.（5）以A为圆心，2 cm为半径画圆.3.每个命题都有题设、结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果……那么……”的形式.有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”、“那么”.如命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以写成“对顶角相等”.以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p,那么q”,或者说成“若p,则q”，其中p是这个命题的条件（题设），q是这个命题的结论.三、辨析应用,发展思维1.课堂演练：下列各命题的题设是什么？结论是什么？（1）若x＜0，则|x|=+x.（2）如果两个角是同位角，那么它们相等.（3）只含有一个未知数且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.（4）形状和大小相同的两个三角形面积相等.2.教师提问：在演练题中，哪些命题是真命题，哪些命题是假命题？四、拓展延伸，互动交流1.观察交流：（1）两直线平行，同旁内角互补.（2）同旁内角互补，两直线平行.（3）对顶角相等.（4）相等的两个角是对顶角.2.教师提问：（1）上述四个语句是命题吗？是真命题吗？（2）它们的题设、结论分别是什么？（3）1和2与3和4之间，你发现了什么？3.学生活动4.教师引入：把一个命题的题设与结论互换，便可以得到一个新的命题，我们称这样的两个命题为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.教师提问：如果原命题是真命题，那么它的逆命题是否也一定是真命题呢？说明一个命题是假命题只需要举出一个反例（符合命题条件，但不满足命题结论的例子，叫做反例）即可.例1指出下列命题的条件和结论：（1）两条直线都平行于同一条直线，这两条直线互相平行；（2）如果∠A=∠B,那么∠A的补角与∠B的补角相等.【解】（1）“两条直线都平行于同一条直线”是条件，“两条直线互相平行”是结论.（2）“∠A=∠B”是条件，“∠A与∠B的补角相等”是结论.例2写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例.（1）内错角相等，两直线平行；（2）如果a=0,那么ab=0.【解】（1）逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题.(2)逆命题是“如果ab=0,那么a=0”,是假命题.反例，当a=1,b=0时，ab=0.五、随堂练习，巩固深化1.下列命题错误的是（）A.所有的实数都可用数轴上的点表示B.等角的补角相等C.无理数包括正无理数，0，负无理数D.两点之间，线段最短2.已知命题A：任何偶数都是8的整数倍.在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（）A.2kB.15C.24D.423.命题“对顶角相等”的题设是_____________________________，结论是_______________________.【参考答案】1.C 2. D3.两个角是对顶角这两个角相等六、师生互动，课堂小结1.今天学习了哪些概念？2.举例说明真假命题的判断.3.举例说明互逆命题.1.课本第77页练习1、2、3.2.完成练习册中的相应练习.通过本节课学习了解命题的概念，会判定一个命题的真假，经历探究命题以及结构的过程，体会命题的内涵，培养学生严谨的推理和论证意识，感悟几何思想的应用价值.第2课时证明【知识与技能】了解公理、定理、证明的内涵，会进行简单的推理.【过程与方法】经历探索证明的过程，弄清证明的基本方法以及书写格式，体会演绎推理的意义.【情感与态度】培养严谨的推理能力和表述能力，感受证明的几何价值.【教学重点】重点是掌握推理方法.【教学难点】难点是培养演绎推理意识.一、创设情境，引入新课1.定义引入：在数学研究中，首先要确定数学的研究对象，例如，我们研究方程时，要明确什么是方程，在数学上称之为“定义”.2.公理引入：在日常生活、实践中大家常常把公认的并且长期检验所取得的真命题，把它们作为论证其它命题的根据，这样的最原始的真命题我们称之为公理.3.素材提供：（1）如果两个角有公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角称为对顶角.（2）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.（3）两点确定一条直线.（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.4.定理引入：有些命题，如“对顶角相等”，“三角形的内角和等于180°”，“等角的补角相等”等，它们的正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判定其它命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.5.证明引入：前面我们议到的话题：并不是所有命题都正确，只有经过演绎推理来论证，我们把这种推理的过程叫做证明.二、范例学习，应用所学例1（课本78页例3）已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.求证：a∥b.【证明】∵∠1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（对顶角相等）∴∠2=∠3（等式性质）∴a∥b（同位角相等，两直线平行）可见，证明是由条件（已知）出发，经过一步一步的推理，最后推出结论（求证）的过程.证明中的每一步推理都要有根据，不能想当然.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的定理.例2（课本79页例4）已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°,OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.求证：OE⊥OF.【证明】∵OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,（已知）∴OE⊥OF.（垂直的定义）【教学说明】通过例题体会证明的过程，感悟证明要有理有据，不能凭空想象.三、随堂练习，巩固深化课本第78~79页练习.四、师生互动，课堂小结提问：1.定义、命题、公理的概念是如何确定的？有何异同点？2.什么叫证明？3.如何进行推理以及表达？你有什么想法.4.你是否总结出了证明的常规思路？证明是由条件（已知）出发，经过一步一步的推理，最后推出结论（求证）的过程.证明中的每一步推理都要有根据，不能想当然.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的定理.1.课本第80页练习.2.完成练习册中相应的作业.采用创设情境、范例学习使学生了解公理、定理、证明的内涵，会进行简单的推理，经历探索证明的过程，弄清证明的基本方法以及书写格式，体会演绎推理的意义，培养严谨的推理能力和表述能力，感受证明的几何价值.第3课时三角形内角和定理及推论【知识与技能】应用几何推理、证明解决几何问题.【过程与方法】经历探索推理的论证过程，感受几何中逻辑推理的内涵，培养符号化语言.【情感与态度】培养严谨的证明意识，提高思维能力，体会几何学的实际价值.【教学重点】重点是学会应用理性推理的方法.【教学难点】难点是形成演绎推理的思路.一、回顾迁移，严谨论证自主学习：阅读课本第80~81页.【教学说明】组织学生用五分钟时间阅读、理解课本第80页证明“三角形内角和等于180°”的知识.教师让学生小组合作，回顾交流，完善证明“三角形内角和等于180°”的方法以及表达格式，总结辅助线的作法.辅助线引入：为了计算和证明的需要，在原来图形上添加（画）线，叫做辅助线，辅助线常常画成虚线.新知探究：证明“三角形的内角和等于180°”.已知：△ABC,如图.求证：∠A+∠B+∠C=180°.【分析】以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角，这不是证明，但它却给我们以启发.现在我们通过作图来实现这种转化，给出证明.【证明】如图，延长BC到点D，以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B.则CE∥BA.（同位角相等，两直线平行）∴∠A=∠1.（两直线平行，内错角相等）∵B,C,D在同一条直线上，（所作）∴∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.【归纳结论】证明命题式证明题的基本步骤：1.分清命题的条件和结论，根据条件画出图形，在图形上标出有关字母与符号；2.结合图形，写出已知，求证；3.分析因果关系，找出证明途径；4.有条理地写出证明过程.教师提问：直角三角形中的两个锐角之间有着怎样的关系？请用几何语言证明.由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论.推论1：直角三角形的两个锐角互余.已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°.求证：∠A+∠B=90°.【证明】在△ABC中∵∠C=90°（已知）∴∠A+∠B=180°－90°=90°(三角形内角和等于180°)推论2:有两个角互余的三角形是直角三角形.二、范例学习，应用所学例1证明：对顶角相等.已知：如图所示，直线AB、CD相交于O，∠AOC与∠DOB是对顶角.求证：∠AOC=∠DOB.【证明】∵∠AOC+∠AOD=180°∠AOD+∠DOB=180°∴∠AOC=∠DOB（同角的补角相等）例2如图所示，∠1与∠2互为补角，∠3=∠B，试判断∠C与∠AED的大小关系，并证明.【解】∠C=∠AED.理由如下：∵∠1与∠2互为补角，而∠1与∠5也互为补角，∴∠5=∠2.∴BD∥EF.∴∠3=∠4,而∠3=∠B,∴∠4=∠B,∴DE∥BC,∴∠C=∠AED.【教学说明】通过例题发现三角形内角的各个定理及其推论.三、合作交流，探索思路1.已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC∥DF，BC∥EF.2.根据命题的题设和结论，画出图形并写出已知、求证.（1）等角的余角相等.（2）两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直.四、随堂练习，巩固深化1.课本第81~82页练习1、2.2.完成练习册中相应作业.五、师生互动，课堂小结1.提问：（1）什么是证明？（2）证明命题的步骤有哪些?（3）书写格式有什么特点？2.证明命题式证明题的基本步骤：（1）分清命题的条件和结论，根据条件画出图形，在图形上标出有关字母与符号；（2）结合图形，写出已知，求证；（3）分析因果关系，找出证明途径；（4）有条理地写出证明过程.1.课本第84~85页习题13.2的5、6、7、8.2.完成练习册中相应作业.本节采用“回顾迁移，严谨论证——范例学习，应用所学——合作交流，探索思路”几个环节使学生能应用几何推理、证明解决几何问题，经历探索推理的论证过程，感受几何中逻辑推理的内涵，培养符号化语言，培养严谨的证明意识，提高思维能力，体会几何学的实际意义.第13章三角形中的边角关系、命题与证明【知识与技能】1.理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念；2.掌握三角形的三边间的关系；3.会利用三角形的内角和定理及外角公式计算角度.4.掌握证明命题的一般步骤.【过程与方法】理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念；掌握三角形的三边间的关系；会利用三角形的内角和定理及外角公式计算角度.掌握证明命题的一般步骤，经历知识的形成过程，增强学生的逻辑思维能力.【情感与态度】培养合作交流、探索求实的思想.。

13.1.三角形中的边角关系1.三角形中边的关系教学目标：知识目标：理解三角形的有关概念，掌握三角形三边的关系。

能力目标：通过观察、操作、讨论等活动，培养学生的动手实践能力和语言表达能力。

情感目标：让学生在自主参与、合作交流的活动中，体验成功的喜悦，树立自信，激发学习数学的兴趣教学重、难点教学重点：三角形三边关系的探究和归纳教学难点：三角形三边关系的应用教学过程：一、复习旧知，引入新课1.如何表示线段？2.如何表示一个角？3.小学学过三角形，你能画出三角形吗？你会表示三角形吗？今天我们来共同学习三角形的有关知识二、讲授新知：三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形如图：点A、 B、 C叫做三角形的 __________ A 线段AB、AC、BC叫做三角形的 __________ .∠ A、∠ B、∠ C叫做三角形的_________c b三角形的边：线段AB、AC、BC分别表示为c、b、aB a C三角形用符号“Δ”表示，如图顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”读作“三角形ABC”三角形按边的关系分类不等边三角形等腰三角形等边三角形（三边互不相等）（有两边相等）（三边都相等）不等边三角形等腰三角形（等边三角形是等腰三角形的特例，又叫正三角形）等腰三角形各部分的名称三角形顶角腰腰底边底角底角注意：腰、底边、顶角、底角等是相对于等腰三角形来说的，一般的三角形则不存在这些概念。

议一议一天，小丑鱼和它的朋友在海里游玩，碰到了凶恶的鲨鱼NICK ，小丑 鱼和它的朋友为了逃到安全地带，有两条路可以选择，它们将选择哪条路？如果没有危险，为了尽快回家，该选择那条路？为什么？B理论验证:“两点之间的所有连线中，线段最短” AC+CB>AB同理可得：AB+BC>AC, AB+AC>BC三角形的三边关系：1、 三角形中任何两边的和大于第三边2、 三角形中任何两边的差小于第三边对应练习： ① A②①下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，4，8；（2）5，6，11；（3）5，6，10②有四根木条，长度分别是12cm、10cm、8cm、4cm，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是______个。

环节时间学生自学事宜教师引导事宜第二次自学围绕重点自学5分钟个人自学P69（1）操作：在2cm、3cm、4cm、5cm、6cm的纸棒中，任选三条，能否拼成三角形？将能拼成三角形的三根纸棒长度记下来。

（2）三角形的三边之间有什么大小关系？（3）为什么会有这样的关系？小组交流教师巡视指导第二次自学讨论自学未解5分钟课堂生成预设：三边关系的根据点拨自学得失3分钟三角形三边关系的实际应用巩固自学成果16分钟练一练：(1)下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？①1cm、2cm、3cm；②2cm、3cm、4cm；③4cm、6cm、5cm；④10cm、6cm、5cm。

例2：已知等腰三角形的周长是18cm，有一边长是4cm，求另两边的长。

思考：一根木棒长为9cm，另一根木棒长为3cm，那么用长度为5cm的木棒能和它们拼成三角形吗？长度为11cm的木棒呢？若能拼成三角形，则第三条边应在什么范围呢？请用所学的数学知识解释：为什么经常有行人斜穿马路而不走人行横道？小结：本节课的收获和体会，还有什么疑问？布置作业：必做题：1、第70页练习第3题2、第74页习题14.1第1题3、《全品作业本》43页选作题：《全品作业本》44页学生回答，教师根据学生回答情况适时评价板书设计14.1三角形的边角关系由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

记作：△ABC三角形中任何两边的和大于第三边三角形中任何两边的差小于第三边教后反思。

中学教师资格证试讲14.1三角形中的边角关系（第一课时）姓名：黄慧学校：池州学院一、教学目标：知识目标：理解三角形的有关概念，掌握三角形三边的关系能力目标：通过观察、操作、讨论等活动，培养动手实践能力情感目标：让学生在自主参与树立自信，激发学习数学的兴趣二、教学重点：三角形三边关系的探究和归纳。

三、教学难点：三角形三边关系的应用。

四、教学过程：(讲授新课)1、提出问题探讨：大家都认识姚明，姚明身高2.26m，腿长1.28m,有人说姚明一步能跨3m，那这句话到底对不对呢？那要解决这个问题就要用到一个新的课题，就是三角形三边的关系三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形1）按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形分别阐述定义：（可以让同学先分组讨论）不等边三角形：三边都相等的三角形等腰三角形：有两条边相等的三角形等边三角形：三边都相等的三角形让同学们自己的作业本上随机画一个三角形，然后用刻度尺量三边长度，然后发现什么规律？（找同学起立回答）总结：1：三角形中任何两边之和大于第三边2：三角形中任何两边之差都小于第三边回顾前面提出的问题，姚明腿长1.28m，所以一步最多跨2.56m,不可能一步跨出三米的练习：现有2cm、4cm、7cm、9cm的火柴棒，任取其中三根组成一个三角形，可以组成几个三角形？（1个）2）按角分:⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形分别阐述定义：（可以让同学先分组讨论）锐角三角形：三个角都是锐角的三角形直角三角形：有一个角是直角的三角形钝角三角形：有一个角是钝角的三角形提问：三角形三个内角之间有什么关系呢？（可以让同学们用量角器测量，或者将三角形三角剪下拼接）结论：三角形的三个内角和为180º提问:如果我说三角形有三要素,你能总结出是哪三要素吗?）(边、角、顶点)2、课堂小结:1.三角形的概念2.三角形的三要素3、三角形按边、角分类4、三角形三边之间的关系3、布置作业习题:P73页的课后习题友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！。

14.2三角形全等的判定5（HL ）使用说明与学法指导1.课前完成自主学习，牢记基础知识，掌握基本题型，时间不超过15分钟.2.组内探究、合作学习完成《课内探究》不超过20分钟.3.小组长在课上合作探究环节要在组内起引领示范作用，控制讨论节奏.4.人人参与，合作学习，人人都有收获，人人都有进步. 一、教材分析 （一）学习目标1.经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2.知道直角三角形全等的条件，并能加以应用. （二）学习重点和难点:学习重点: 掌握判定直角三角形全等的条件学习难点: 探究出“HL ”以及它们的应用方法: 启发诱导法 二、自主学习: 阅读P105—106页回答下列问题:1.判定两个三角形全等的方法: 、 、 、 、2.如图，Rt △ABC 中，直角边是 、 ， 斜边是3.如图，AB ⊥BE 于C ，DE ⊥BE 于E ，（1）若∠A=∠D ，AB=DE ， 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法） （2）若∠A=∠D ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（3）若AB=DE ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（4）若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或 “不全等” ）根据 （用简写法）4.如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？ (1)动手试一试. 已知: Rt △ABC求作: Rt △'''A B C ， 使'C =90°，''A B =AB, ''B C =BC 作法:(2) 把△'''A B C 剪下来放到△ABC 上，观察△'''A B C 与△ABC 是否能够完全重合？DCBA(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形 （可以简写成“ ”或“ ”） (4)用数学语言表述上面的判定方法 在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中,∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ” 练一练，感悟新知:1.如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）2.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）A 、两条直角边对应相等B 、斜边和一锐角对应相等C 、斜边和一条直角边对应相等D 、两个锐角对应相等3.如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ， AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由 解: AB ∥CD理由如下:∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义） ∵BE=CF ， ∴BF=CE在Rt △ 和Rt △ 中 ∵⎩⎨⎧==_______________________________∴ ≌ （ ） ∴ = （ ） ∴ （内错角相等，两直线平行） 4.如图，AC=AD ，∠C ，∠D 是直角，你能说明BC 与BD 相等吗？ABCA 1B 1C 1三、 课内探究 活动一 合作探究已知: 如图，CD ＝BA ，DF ⊥BC ，AE ⊥BC ，CE ＝BF. 求证: DF ＝AE.活动二 学以致用如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？活动三 本节课小结（我的收获） （1）知识方面:（2）学习方法方面四、课后训练1.如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，（1）若AC//DB ，且AC=DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据 （2）若AC//DB ，且AE=BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据 （3）若AE=BF ，且CE=DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据 （4）若AC=BD ，AE=BF ，CE=DF. 则△ACE ≌△BDF ，根据 （5） 若AC=BD ，CE=DF （或AE=BF ），则△ACE ≌△BDF ，根据 2.判断题:（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.（ ）ABCD EF（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等.（）（3）两直角边对应相等的两个直角三角形全等.（）（4）两边对应相等的两个直角三角形全等..（）（5）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等.（）3.如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，若要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来.五、拓展延伸如图1，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB=CD,AF=CE,BD 交AC于M点. （1）求证: MB=MD,ME=MF;(2)当E、F两点移动至不垂直时，其余条件不变，上述结论是否成立？若成立，给予证明.本资源的初衷，是希望通过网络分享，能够为广大读者提供更好的服务，为您水平的提高提供坚强的动力和保证。