2017-2018届上海市高考模拟数学试卷及答案

2017-2018学年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设集合A={x||x|＜2，x∈R}，B={x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B=．2．已知i为虚数单位，复数z满足=i，则|z|= ．3．设a＞0且a≠1，若函数f（x）=a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是．4．计算：= ．5．在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2=0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．6．已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ= ．7．定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为．9．已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为．10．在（x2+）6（k为实常数）的展开式中，x3项的系数等于160，则k= ．11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．12．已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=n2+3n（n∈N+），则= ．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为．14．对于函数f（x）=，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．“sinα=0”是“cosα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16．下列正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l217．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．18．已知直线l：y=2x+b与函数y=的图象交于A，B两点，记△OAB的面积为S（O为坐标原点），则函数S=f（b）是（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减三、解答题（共5小题，满分60分）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点；（1）求证：AC⊥平面BCC1B1；（2）求异面直线B1D与AC所成角的大小．20．已知函数f （x ）=sin2x+cos2x ﹣1（x ∈R ）；（1）写出函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若f （B ）=0， =，且a+c=4，试求b 的值．21．定义在D 上的函数f （x ），若满足：对任意x ∈D ，存在常数M ＞0，都有|f （x ）|≤M 成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，其中M 称为函数f （x ）的上界：（1）设f （x ）=，判断f （x ）在上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f （x ）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g （x ）=1+a•（）x +（）x 在 ．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：A={x||x|＜2，x ∈R}={x|﹣2＜x ＜2}， B={x|x 2﹣4x+3≥0，x ∈R}={x|x≥3或x≤1}， 则A∩B={x|﹣2＜x≤1}， 故答案为：（﹣2，1]．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足=i ，则|z|= 1 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设出z=a+bi ，得到1﹣a ﹣bi=﹣b+（a+1）i ，根据系数相等得到关于a ，b 的方程组，解出a ，b 的值，求出z ，从而求出z 的模．【解答】解：设z=a+bi ，则==i ，∴1﹣a ﹣bi=﹣b+（a+1）i ，∴，解得，故z=﹣i，|z|=1，故答案为：1．3．设a＞0且a≠1，若函数f（x）=a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（3，1）．【考点】反函数．【分析】由于函数f（x）=a x﹣1+2经过定点（1，3），再利用反函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=a x﹣1+2经过定点（1，3），∴函数f（x）的反函数的图象经过定点P（3，1），故答案为：（3，1）．4．计算：= ．【考点】极限及其运算．【分析】先利用排列组合公式，将原式化简成的形式，再求极限．【解答】解：===．故答案为：．5．在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2=0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．【考点】用定积分求简单几何体的体积．【分析】由题意此几何体的体积可以看作是：V=，求出积分即得所求体积．【解答】解：由题意可知：V=，∴V=π（y3﹣），=．故答案为．6．已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知等式化简可得sinθ（2cosθ+1）=0，结合范围θ∈（，π），解得cosθ=﹣，利用同角三角函数基本关系式可求tanθ，利用二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值．【解答】解：∵sin2θ+sinθ=0，⇒2sinθcosθ+sinθ=0，⇒sinθ（2cosθ+1）=0，∵θ∈（，π），sinθ≠0，∴2cosθ+1=0，解得：cosθ=﹣，∴tanθ=﹣=﹣，∴tan2θ==．故答案为：．7．定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件判断函数的单调性和函数的零点，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：当x≥0时，由f（x）=2x﹣4=0得x=2，且当x≥0时，函数f（x）为增函数，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（x）≤0等价为f（|x|）≤f（2），即|x|≤2，即﹣2≤x≤2，即不等式的解集为，故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为y2=4x ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到抛物线方程．【解答】解：∵点A（1，1），依题意我们容易求得直线的方程为x+y﹣1=0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p=2，从而得到抛物线C的方程为：y2=4x．故答案为：y2=4x．9．已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为﹣6 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，﹣2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（﹣2，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣2）﹣2=﹣6．故答案为：﹣6．10．在（x2+）6（k为实常数）的展开式中，x3项的系数等于160，则k= 2 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1=k r x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r．即可得出．【解答】解：T r+1=（x2）6﹣r=k r x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3．∴T4=x3，∴20k3=160，解得k=2．故答案为：2．11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有取法，其中以这三点为顶点的三角形的面积S=的三角形共有24个，由此能求出结果．【解答】解：从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有取法，其中以这三点为顶点的三角形的面积S=的三角形如图中的△ABC，这类三角形共有24个∴P（S=）==．故答案为：．12．已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=n2+3n（n∈N+），则= 2n2+6n ．【考点】数列的求和．【分析】通过a1+a2+…+a n=n2+3n与a1+a2+…+a n﹣1=（n﹣1）2+3（n﹣1）作差，进而计算可知a n=2（n+1），分别利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：∵a1+a2+…+a n=n2+3n，∴当n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1=（n﹣1）2+3（n﹣1），两式相减得：a n=（n2+3n）﹣=2（n+1），又∵a1=1+3=4满足上式，∴a n=2（n+1），=4+4n，∴=4n+4•=2n2+6n，故答案为：2n2+6n．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30} ．【考点】集合的表示法；计数原理的应用．【分析】甲最终的得分为27分，可得：甲答对了10道题目中的9道，由于甲和乙都解答了所有的试题，甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．由于他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，即可得出分数．如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题，则乙也一定答错，即可得出．【解答】解：∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道，∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．∵甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可得30分或27分．如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题，则乙也一定答错，此时乙可得24分．综上可得：乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30}．故答案为：{24，27，30}．14．对于函数f（x）=，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a的值为﹣4 ．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的定义域与值域相同，故可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，故比较二区间的端点得出参数满足的方程解方程求参数即可．【解答】解：若a＞0，由于ax2+bx≥0，即x（ax+b）≥0，∴对于正数b，f（x）的定义域为：D=（﹣∞，﹣]∪．由于此时max=f（﹣）=，故函数的值域 A=．由题意，有﹣=，由于b＞0，所以a=﹣4．故答案为：﹣4．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．“sinα=0”是“cosα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由sinα=0可得α=kπ（k∈Z），即可判断出结论．【解答】解：sinα=0可得α=kπ（k∈Z），∴cosα=±1，反之成立，∴“sinα=0”是“cosα=1”的必要不充分条件．故选：B16．下列正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据各选项条件举出反例．【解答】解：对于A，若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1与l2可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误．对于B，若直线l与平面α相交于O点，在交点两侧各取A，B两点使得OA=OB，则A，B到平面α的距离相等，但直线l与α不平行，故B错误．对于C，当直线l⊂α或l∥α时，直线l与平面α所成的角为0，当l⊥α时，直线l与平面α所成的角为，故C错误．对于D，由定理“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知D正确．故选：D．17．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：由题意可得•=0，可得|+|==，（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos＜（+，＞=0，即为||=cos＜+，＞，当cos＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．18．已知直线l：y=2x+b与函数y=的图象交于A，B两点，记△OAB的面积为S（O为坐标原点），则函数S=f（b）是（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据条件求出AB的长度以及O到AB的距离，从而求出三角形OAB的面积函数，根据函数的表达式即可得到结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由2x+b=，即2x2+bx﹣1=0，则，则|AB|=，圆心到直线2x﹣y+b=0的距离d=，∴△OAB的面积S==，∴S=f（b）=，则函数f（b）为偶函数，当b＞0时，y=和都为增函数，∴当b＞0时，f（b）=为增函数．故选：B．三、解答题（共5小题，满分60分）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点；（1）求证：AC⊥平面BCC1B1；（2）求异面直线B1D与AC所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知推导出AC⊥BC，CC1⊥AC，由此能证明AC⊥平面BCC1B1．（2）以C为原点，直线CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1D与AC所成角的大小．【解答】证明：（1）∵底面△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，∴AC⊥BC，∵CC1⊥平面A1B1C1，∴CC1⊥AC，∵CC1∩BC=C，∴AC⊥平面BCC1B1．解：（2）以C为原点，直线CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1），=（2，﹣2，﹣1），=（﹣2，0，0），设异面直线B1D与AC所成角为θ，则cosθ===．∴．∴异面直线B1D与AC所成角的大小为arccos．20．已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣1（x∈R）；（1）写出函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0， =，且a+c=4，试求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用两角和的正弦化简，由周期公式求得周期，再由相位在正弦函数的增区间内求得x的范围求得f（x）单调递增区间；（2）把f（B）=0代入函数解析式，求得B，展开数量积=，求得ac的值，结合a+c=4，利用余弦定理求得b的值．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+cos2x﹣1=．∴T=；由，得．∴函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z；（2）由f（B）==0，得．∴或，k∈Z．∵B是三角形内角，∴B=．而=ac•cosB=，∴ac=3．又a+c=4，∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=16﹣2×3=10．∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=7．则b=．21．定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界：（1）设f（x）=，判断f（x）在上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f（x）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）=1+a•（）x+（）x在上是增函数；从而可得|f（x）|≤1，从而求得；（2）由题意知﹣3≤1+a•（）x+（）x≤3在上是增函数；故f（﹣）≤f（x）≤f（）；即﹣1≤f（x）≤，故|f（x）|≤1，故f（x）是有界函数；故f（x）的所有上界的值的集合是．22．设椭圆Г：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B 到F的距离等于焦距：（1）求椭圆Г的标准方程；（2）设C、D是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P是椭圆Г上任意一点，若，求证：m2+n2为定值；（3）过点F的直线l与椭圆Г交于不同的两点M、N，且满足于△BFM与△BFN的面积的比值为2，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆Г的标准方程．（2）求出C（2，），D（﹣2，），设P（x0，y0），则，由已知=，得=1，由此能证明m2+n2=为定值．（3）=2等价于=2，设l：y=k（x﹣1），由，得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0，由此利用韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆Г：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，∴，解得a=2，b=，∴椭圆Г的标准方程为．证明：（2）∵C、D是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，∴C（2，），D（﹣2，），设P（x0，y0），则，由已知=，得，∴=1，∴m2+n2=为定值．解：（3）=2等价于=2，当直线l的斜率不存在时， =1，不合题意，故直线l的斜率存在，设l：y=k（x﹣1），由，消去x，得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，由=2，得=﹣2，则，，∴3+4k2=8，k=，∴直线l的方程为y=．23．已知数列{a n}、{b n}满足：a，a n+b n=1，b；（1）求b1、b2、b3、b4；（2）求证：数列{}是等差数列，并求{b n}的通项公式；（3）设S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1，若不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；数列递推式．【分析】（1）通过已知条件代入计算即得结论；（2）通过两边同时减1并取倒数，利用a n+b n=1化简可知数列{}是等差数列，进而计算可得结论；（3）通过（2）可知b n=，进而裂项可知a n a n+1=﹣，并项相加可知S n=，进而问题转化为求的最小值，计算即得结论．【解答】（1）解：依题意，b1=1﹣a1=1﹣=，b2===，a2=1﹣b2=1﹣=，==，a3=1﹣b3=1﹣=，==；（2）证明：∵，a n+b n=1，∴b n+1﹣1=﹣1=﹣1=，两边同时取倒数，得： ==﹣1=﹣1=﹣1=﹣1，∴数列{}是等差数列，又∵==﹣4，∴=﹣4﹣（n﹣1）=﹣（n+3），∴数列{b n}的通项公式b n=1﹣=；（3）解：由（2）可知b n=，∴a n=1﹣b n=，a n a n+1==﹣，∴S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1=﹣+﹣+…+﹣=﹣=，∵不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，∴不等式4a•＜对任意n∈N*恒成立，∴a＜=1+，∵随着n的增大而减小，且=0，∴a≤1．2016年6月24日。

上海市徐汇区2017-2018 学年高考数学二模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56 分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，不然一律得0分．1．（ 4 分）已知会集 A=，会集 B={y|y=x 2， x∈A} ，则 A ∩B= ．2．（ 4 分）若复数 z=1﹣ 2i（ i 为虚数单位），则=．3．（ 4 分）已知直线l 的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为．4．（ 4 分）某中学采纳系统抽样的方法从该校2014-2015 学年高一年级全体800 名学生中抽取50 名学生进行体能测试．现将800名学生从 1 到 800 进行编号，求得间隔数k==16．若从1～ 16 中随机抽取 1 个数的结果是抽到了 7，则在编号为 33～ 48 的这 16 个学生中抽取的一名学生其编号应当是．5．（ 4 分）在△ ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为a， b， c，若 a=，则△ ABC 的面积为．x﹣1（log2 5）的解为．6．（ 4 分）设函数 f （x） =log 2（ 2 +1），则不等式2f（ x）≤f7．（ 4 分）直线 y=x 与曲线 C：（θ为参数，π≤θ≤2）的交点坐标是．8．（ 4 分）甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6 和 0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为．9．（ 4 分）矩阵中每一行都构成公比为 2 的等比数列，第i 列各元素之和为S i，则=．10．（ 4 分）以以下图：在直三棱柱 ABC ﹣ A 1B 1C1中， AB ⊥BC ，AB=BC=BB 1，则平面 A1B1C 与平面 ABC 所成的二面角的大小为．11．（ 4 分）履行以以下图的程序框图，输出的结果为a，二项式的睁开式中x3项的系数为，则常数m= ．12．（ 4 分）设 f （ x）是定义域为 R 的奇函数， g（ x）是定义域为 R 的偶函数，若函数 f （ x）+g （ x）的值域为 [1， 3），则函数 f（ x）﹣ g（ x）的值域为．13．（ 4 分）△ABC 所在平面上一点P 满足，若△ ABP的面积为 6，则△ ABC 的面积为．14．（ 4 分）关于曲线 C 所在平面上的定点 P0，若存在以点P0为极点的角α，使得α≥∠ AP 0B 关于曲线 C 上的任意两个不一样的点 A ，B 恒建立，则称角α为曲线 C 相关于点 P0的“界角”，并称此中最小的“界角”为曲线C相关于点P0的“确界角”．曲线 C：y=相关于坐标原点O 的“确界角”的大小是．二．选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，不然一律得 0 分．15．（ 5 分）以下不等式中，与不等式≥0 同解的是（）A ． （ x3）（ 2 x ） ≥0 B ． （ x 3）（ 2 x ）＞ 0 C ． ≥0 D ．≥016．（ 5 分） M 、N 两个随机事件，假如 M 、 N 互斥事件，那么（） A ． 是必然事件B ．M ∪ N 是必然事件C ．与 必定 互斥事件D ．与 必定不 互斥事件17．（ 5 分）在极坐 系中，与曲 ρ=cos θ+1 关于直 θ= （ ρ∈R ） 称的曲 的极坐 方程是（） A ． ρ=sin （+θ）+1 B ． ρ=sin （θ）+1 C ． ρ=sin （ +θ） +1 D ． ρ=sin （ θ） +1218．（ 5 分）已知函数f （ x ） =x ?sinx ，各 均不相等的数列{x n } 足 |x i |≤（ i=1 ， 2，3， ⋯，*n ）．令 F （ n ） =（x 1+x 2+⋯+x n ） ?[f （ x 1） +f （ x 2）+⋯f （ x n ） ]（ n ∈N ）． 出以下三个：（ 2）若数列 {x n } 的通 公式， F （ 2k ）＞ 0 k ∈N *恒建立；（ 3）若数列 {x n } 是等差数列， F （n ） ≥0 n ∈N *恒建立．此中真的序号是（）A ． （ 1）（2）B ． （ 1）（ 3）C ． （ 2）（ 3）D ．（ 1）（ 2）（3）三．解答 （本大 分 74 分）本大 共有 5 ，解答以下各 必 在答 相 号的 定地域内写出必需的步 ．19．（ 12 分）如 ，在 Rt △AOB 中，∠ OAB= ，斜 AB=4 ，D 是 AB 的中点． 将 Rt △ AOB以直角AO 旋 一周获得一个 ，点C 底面 周上的一点，且∠BOC=．（ 1）求 的全面 ； （ 2）求异面直AO 与 CD 所成角的大小．（ 果用反三角函数 表示）20．（ 14 分）一个随机 量 ξ的概率分布律以下：ξ x 1 x 2Pcos2Asin （ B+C ）此中 A ， B ， C 角三角形 ABC 的三个内角．（ 1）求 A 的 ；（ 2）若 x 1=cosB ，x 2=sinC ，求数学希望 E ξ的取 范 ．21．（ 14 分）用 管 接而成的花 构件如右 所示， 它的外框是一个等腰梯形 PQRS ，内部是一段抛物 和一根横梁．抛物 的 点与梯形上底中点是 接点 O ，梯形的腰 靠在抛 物 上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物 以及横梁的 接点A ，B ，抛物 与梯形下底的两个 接点 C ， D ．已知梯形的高是 40 厘米， C 、 D 两点 的距离 40 厘米．（ 1）求横梁 AB 的 度； （ 2）求梯形外框的用料 度．（注： 管的粗 等要素忽视不 ， 算 果精确到1 厘米．）22．（ 16 分）已知函数f （ x ） =， g （ x ） = ．（ 1）求函数 h （x ） =f （ x ） +2g （ x ）的零点；（ 2）若直 l ：ax+by+c=0 （ a ，b ，c 常数） 与 f （ x ）的 象交于不一样的两点的 象交于不一样的两点 C 、 D ，求 ： |AC|=|BD| ；A 、B ，与g （ x ）（ 3）求函数F （ x ） =[f （ x ） ] 2n [g （ x ） ] 2n （ n ∈N *）的最小 ．23．（ 18 分） 于一 向量（ n ∈N *），令，假如存在（ p ∈{1 ，2，3⋯，n} ），使得 ||，那么称是 向量 的 “h 向量 ”．（ 1）=（n ， x+n ）（n ∈N *），若是向量的 “h 向量 ”，求 数 x 的取 范 ；（ 2）若（ n ∈N *），向量能否存在 “h 向量 ”？ 出你的 并 明原由；（ 3）已知均是向量的 “h 向量 ”，此中 =（ sinx ，cosx ）， =（ 2cosx ，2sinx ）． 在平面直角坐 系中有一点列Q 1，Q 2，Q 3，⋯，Q n 足： Q 1 坐 原点，Q 2 为 的地点向量的终点，且Q 2k+1 与 Q 2k 关于点 Q 1 对称， Q 2k+2 与 Q 2k+1（ k ∈N *）关于点Q 2 对称，求 | |的最小值．上海市徐汇区 2015 届高考数学二模试卷（理科）参照答案与试题分析一．填空题（本大题满分 56 分）本大题共有14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果，每个空格填对得 4 分，不然一律得0 分．1．（ 4 分）已知会集 A=，会集 B={y|y=x2， x ∈A} ，则 A ∩B={1} ．考点 ： 交集及其运算． 专题 ： 会集． 分析： 把 A 中元素代入 B 中求出 y 的值，确立出B ，找出 A 与 B 的交集即可．解答：解：∵ A={1 ， 2， } ， B={y|y=x 2，x ∈A} ，∴ B={ ，1， 4}，则 A ∩B={1} ， 故答案为： {1}评论： 此题观察了交集及其运算，娴熟掌握交集的定义是解此题的要点．2．（ 4 分）若复数 z=1﹣ 2i （ i 为虚数单位） ，则 =6﹣ 2i ．考点 ： 复数的基本看法；复数代数形式的乘除运算． 专题 ： 计算题．分析： 把复数 z=1﹣ 2i 及它的共轭复数代入，将其化简为 a+bi （ a ， b ∈R ）的形式，即可．解答： 解：观察复数基本运算=（ 1﹣ 2i ）（ 1+2i ）+1﹣ 2i=6 ﹣ 2i ．故答案为： 6﹣ 2i ．评论：此题观察复数的基本看法，复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（ 4 分）已知直线 l 的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为 ．考点 ： 直线的斜率． 专题 ： 直线与圆．分析： 设直线的方向向量为 =（ a ， b ），直线的倾斜角为 α．利用 =0，即可得出．解答：解：设直线的方向向量为 =（ a ， b ），直线的倾斜角为 α．则=a ﹣b=0，∴ =tan α，∴ α= ，故答案为：．评论： 此题观察了直线的方向向量与法向量、向量垂直与数目积的关系，观察了计算能力，属于基础题．4．（ 4 分）某中学采纳系统抽样的方法从该校 2014-2015 学年高一年级全体 800 名学生中抽取 50 名学生进行体能测试． 现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号， 求得间隔数 k==16．若从1～ 16 中随机抽取 1 个数的结果是抽到了 7，则在编号为 33～ 48 的这 16 个学生中抽取的一名学生其编号应当是39．考点 ： 系统抽样方法． 专题 ： 概率与统计．分析： 依据系统抽样的定义进行求解．解答：解：∵样本间隔 k=16 ，若从 1～ 16 中随机抽取 1 个数的结果是抽到了7，∴抽取的号码数为 7+16x ，当 x=2 时， 7+16×2=39 ， 即在编号为 33～48 的这 16 个学生中抽取的一名学生其编号应当 39，故答案为： 39评论： 此题主要观察系统抽样的应用，比较基础．5．（ 4 分）在 △ ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 a= ，则△ ABC 的面积为．考点 ： 正弦定理． 专题 ： 解三角形． 分析： 利用余弦定理可得 b ，再利用三角形面积计算公式即可得出．解答：解：∵ a=，∴ a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，∴ 3=4+b 2﹣ 4b ×，化为 b 2﹣ 2b+1=0，解得 b=1．∴ S △ABC ===．故答案为：．评论： 此题观察了余弦定理、三角形面积计算公式，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．x ﹣1（log 2 5）的解为（﹣ ∞， 0] ．6．（ 4 分）设函数 f （x ） =log 2（ 2 +1），则不等式 2f （ x ） ≤f 考点 ： 指、对数不等式的解法．专题 ： 函数的性质及应用．分析：先依据函数的定义域求出x 的范围，而后代入分析式，解对数不等式，转变为指数不等式进行求解，即可求出 x 的取值范围解答：解： f ﹣ 1x（ x ）=log 2（ 2 ﹣ 1），x ∈（ 0，+∞）．由 2f （ x ） ≤f ﹣1（log 25），2log 2（ 2x+1 ）≤log 2（﹣ 1） =log 24，∴ log 2（ 2x+1）≤1∴ 0＜ 2x +1≤2，∴ 0＜ 2x≤1，? x ≤0； 综上， x ≤0；故答案为：（﹣ ∞， 0]．评论： 此题主要观察了反函数的求解，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时观察转变与划归的思想，计算能力，属于中档题7．（ 4 分）直线 y=x 与曲线 C ：（ θ为参数， π≤θ≤2）的交点坐标是．考点 ： 参数方程化成一般方程． 专题 ： 坐标系和参数方程．分析： 此题由曲线 C 的参数方程消去参数后，获得其一般方程，再用双方程联列方程组，获得交点坐标，即此题结论．解题时要注意纵坐标的取值范围．解答：解：由曲线 C ：（θ为参数， π≤θ≤2），获得：（y ≤0）．由，获得，∵ y ≤0，∴，∴．∴直y=x与曲C：（θ 参数，π≤θ≤2）的交点坐是．故答案：．点：本考了将曲的参数方程化一般方程，本度不大，属于基．8．（ 4 分）甲、乙两人各行一次射，假两人中目的概率分是0.6 和 0.7，且射果相互独立，甲、乙至多一人中目的概率0.58．考点：相互独立事件的概率乘法公式．：算；概率与．分析：依据意可得两人能否中目是相互独立的，利用相互独立事件的概率乘法公式可得答案．解答：解：由意可得：两人能否中目是相互独立的，因两人中目的概率分是0.6 和 0.7，所以两人都中目的概率：0.6×0.7=0.42 ，所以甲、乙至多一人中目的概率：1 0.42=0.58 ．故答案： 0.58 ．点：本主要考相互独立事件的定与相互独立事件的概率乘法公式的用，此属于基，只要学生知心的算即可获得全分．9．（ 4 分）矩中每一行都构成公比 2 的等比数列，第i 列各元素之和S i，=．考点：数列的极限；数列的乞降．：算；等差数列与等比数列．分析：i ﹣ 1（1+2+ ⋯+n）=i ﹣1，再求极限即可．先求出 S i =2?2解答：解：∵矩中每一行都构成公比 2 的等比数列，第i 列各元素之和S i，∴ S i=2i﹣1（ 1+2+ ⋯+n） =?2i﹣1，∴==．故答案：．点：本考数列的极限与乞降，考学生的算能力，正确乞降是关．10．（ 4 分）如所示：在直三棱柱ABC A 1B 1C1中， AB ⊥BC ，AB=BC=BB 1，平面 A 1B1C与平面 ABC 所成的二面角的大小．考点：二面角的平面角及求法．：空角．分析：通意易得直三棱柱ABC A1B 1C1即正方体的一半，直接得出答案．解答：解：依据意，易得直三棱柱ABC A 1B1C1即正方体的一半，∴所求即平面 A 1B1C 与平面 A 1B1C1所成的二面角，即∠C1B 1C，又∵△ B 1C1C 等腰直角三角形，∴∠C1B1C= ，故答案：．点：本考二面角的求法，“直三棱柱 ABC A 1 1 1 即正方体的一半”是解决本B C的关，属于中档．11．（ 4 分）行如所示的程序框，出的果 a，二式的睁开式中x 3的系数，常数 m= ．考点 ： 程序框图．专题 ： 算法和程序框图；二项式定理． 分析：依据程序求出 a 的值，而后利用二项式定理的内容即可获得结论．解答：解：当 i=1 ，满足条件t ＜ 2014， a==﹣ 1， i=2 ，当 i=2 ，满足条件t ＜ 2014， a== ， i=3 ，当 i=3 ，满足条件t ＜ 2014， a==2， i=4 ，当 i=4 ，满足条件t ＜ 2014， a==﹣ 1， i=5 ，∴ s 的取值具备周期性，周期数为3，∴当 i=2014 ，不满足条件 i ＜ 2014 ，∴当 i=2013 时， a=2，二项式的睁开式的通项公式为 （2 4 ﹣ k）x ） ?（k?x ，由 8﹣ =3，解得： k=2= m ∴当 k=2 时 x 3项的系数是m=1，可解得： m= ．故答案为： ．评论： 此题主要观察程序框图的应用，以及二项式定理的应用，综合性较强．12．（ 4 分）设 f （ x ）是定义域为 R 的奇函数， g （ x ）是定义域为 R 的偶函数，若函数 f （ x ）+g （ x ）的值域为 [1， 3），则函数 f （ x ）﹣ g （ x ）的值域为（﹣ 3，﹣ 1] ．考点 ： 奇偶性与单调性的综合；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数奇偶性的性质． 专题 ： 函数的性质及应用．分析： 依据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行判断即可．解答：解：∵ f （ x ）是定义域为 R 的奇函数， g （ x ）是定义域为R 的偶函数，∴﹣ [f （ x ）﹣ g （ x ） ]=﹣ f （ x ）+g （ x ） =f （﹣ x ） +g （﹣ x ），∵函数 f （ x） +g（ x）的值域为 [1， 3），∴1≤f（﹣ x） +g （﹣ x）＜ 3，即 1≤﹣[f （ x）﹣ g（ x） ] ＜ 3，则﹣ 3＜f （x）﹣ g（x）≤﹣ 1，即函数 f （ x）﹣ g（ x）的值域为（﹣3，﹣ 1]，故答案为：（﹣ 3，﹣ 1]评论：此题主要观察函数值域的求解，依据函数奇偶性的性质进行转变是解决此题的要点．13．（ 4 分）△ABC 所在平面上一点P 满足，若△ ABP的面积为 6，则△ ABC 的面积为12．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由已知中P 是△ABC 所在平面内一点，且满足，我们依据向量加法的三角形法规可得m =2 ， C 到直线 AB 的距离等于 P 到直线 AB 的距离的 2 倍，故 S△ABC =2S△ABP，联合已知中△ABP 的面积为6，即可获得答案．解答：解：取 AC 的中点 O，则，∵，∴m =2 ，∴C 到直线 AB 的距离等于 P 到直线 AB 的距离的 2 倍，故 S△ABC=2S△ABP=12 ．故答案为： 12．评论：此题观察的知识点是向量的加减法及其几何意义，此中依据m =2，获得S△ABC =2S△ABP，是解答此题的要点．14．（ 4 分）关于曲线 C 所在平面上的定点 P0，若存在以点P0为极点的角α，使得α≥∠ AP 0B 关于曲线 C 上的任意两个不一样的点 A ，B 恒建立，则称角α为曲线 C 相关于点 P0的“界角”，并称此中最小的“界角”为曲线C相关于点P0的“确界角”．曲线 C：y=相关于坐标原点O 的“确界角”的大小是．考点：曲线与方程．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：画出函数（f x）的图象，过点 O 作出两条直线与曲线无穷凑近，x≥0 时，曲线 y=与直线 y=k 1x 无穷凑近，考虑渐近线，求出22（ x k1=1； x＜ 0 时，曲线可化为 x +（y﹣ 2） =1＜ 0），圆心到直线的距离为=1，故 k2=﹣，再由两直线的夹角公式即可获得所求的“确界角”．解答：解：画出函数 f（ x）的图象，过点 O 作出两条直线与曲线无穷凑近，设它们的方程分别为 y=k 1x， y=k 2x，当 x≥0 时，曲线 y=与直线 y=k 1x 无穷凑近，即为双曲线的渐近线，故k1=1；当 x＜ 0 时，曲线可化为22=1，故 k2= x +（ y﹣ 2） =1（ x＜ 0），圆心到直线的距离为﹣，由两直线的夹角公式得，tanθ=||=2+ ，故曲线 C 相关于点 O 的“确界角”为．故答案为：．评论：此题观察新定义“确界角”及应用，观察直线与圆的地点关系，属于中档题．双曲线的性质：渐近线，二．选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，不然一律得 0 分．15．（ 5 分）以下不等式中，与不等式≥0 同解的是（）A ．（ x﹣ 3）（ 2﹣ x）≥0B ．（x﹣3）（2﹣x）＞0C．≥0 D ．≥0考点：其余不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：将不等式进行等价变形进行比较即可．解答：解：不等式≥0等价为，即≥0，应选： D．评论：此题主要观察分式不等式的求解和变形，比较基础．16．（ 5 分）设 M 、N 为两个随机事件，假如M 、 N 为互斥事件，那么（）A ．是必然事件B．M∪ N 是必然事件C．与必定为互斥事件D．与必定不为互斥事件考点：互斥事件与对峙事件；随机事件．专题：概率与统计．分析：有 M 、 N 是互斥事件，作出相应的表示图，即可得．解答：解：由于 M 、 N 为互斥事件，如图：，无论哪一种状况，是必然事件．应选 A．评论：此题观察借助表示图判断事件间的关系，观察互斥事件的定义，属于基础题17．（ 5 分）在极坐标系中，与曲线ρ=cosθ+1关于直线θ=（ρ∈R）对称的曲线的极坐标方程是（）A ．ρ=sin（+θ）+1 B．ρ=sin（﹣θ）+1 C．ρ=sin（+θ） +1 D ．ρ=sin（﹣θ）+1考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：第一步：将对称轴方程化为直角坐标方程；第二步：在已知曲线ρ=cosθ+1 上任取一点，并化为直角坐标；第三步：求 点关于 称 称的点，并化 极坐 形式；第四步：将此极坐 逐一代入四个 中 即可达到目的． 解答：解：由 θ=，得tan θ=，即，得 称 方程．在方程 ρ=cos θ+1 中，取 θ=，，由，得点（， 1）的直角坐 （0， 1），点（0， 1）且与直垂直的直 的直角坐 方程，从而此两直 的交点坐 ，由中点公式，得点（0， 1）关于直称的点，其极坐 （ρ0，θ0）， ，取 ，又，得点 ，此点必在曲ρ=cos θ+1 关于直 θ= （ ρ∈R ） 称的曲 上，在四个 中，只有 C 中的方程 足．故 ： C ．点 ： 本 考 了极坐 与直角坐 之 的相互 化，及 称 的 理， 点是点关于直 称的点的求法，求解 擅长运用中点公式及两直 相互垂直的充要条件．18．（ 5 分）已知函数2 ni（ i=1 ， 2，3， ⋯，f （ x ） =x ?sinx ，各 均不相等的数列 {x } 足 |x |≤*n ）．令 F （ n ） =（x 1+x 2+⋯+x n ） ?[f （ x 1） +f （ x 2）+⋯f （ x n ） ]（ n ∈N ）． 出以下三个：（ 2）若数列 {x n } 的通 公式， F （ 2k ）＞ 0 k ∈N *恒建立；（ 3）若数列 {x n } 是等差数列， F （n ） ≥0 n ∈N *恒建立．此中真的序号是（）A ． （ 1）（2）B ． （ 1）（ 3）C ． （ 2）（ 3）D ．（ 1）（ 2）（3）考点 ： 的真假判断与 用．：等差数列与等比数列；不等式的解法及 用．分析：由 意， f （x ）=x 2s inx 是奇函数，只要考 0＜x ≤1 的性 ，此 y=x2，y=sinx 都是增函数，得 f （ x ）=x 2sinx 在[0，1] 上是增函数；即x 1+x 2≠0 ，（ x 1+x 2）（f （x 1） +f （ x 2））＞ 0；于（ 1），取≤x 1= x 3 ， x 2=0，即可判断；于（ 2），运用等比数列的乞降公式和性 ，即可判断；于（ 3），运用等差数列的乞降公式和性 ， 合函数f （x ）的 性，即可判断．2解答： 解：由 意得 f （ x ）=x sinx 是奇函数，当 0＜ x ≤ ， y=x 2， y=sinx 都是增函数， ∴ f （ x ） =x 2sinx 在[0 ， ] 上 增，∴ f （ x ） =x 2sinx 在[， ] 上是增函数；若 x 1+x 2＜ 0， x 1＜ x 2，∴ f （x 1）＜ f （ x 2），即 f （ x 1）＜ f （ x 2），∴ f （ x 1） +f （ x 2）＜ 0；同理若 x 1+x 2＞ 0，可得 f （ x 1）+f （x 2）＞ 0； ∴ x 1+x 2≠0 ，（ x 1+x 2）（ f （ x 1）+f （ x 2））＞ 0．于（ 1），取≤x 1=x 3， x 2=0， F （ 3） =（ x 1+x 2+x 3） ?[f （x 1） +f （ x 2） +f （ x 3） ] =0，所以（ 1）正确；于（ 2），∵ ，∴ x 1+x 2+⋯+x n = ＜ 0，又 f （ 2k 1） +f （ 2k ）= + =＜ 0，∴ F （ 2k ）＞ 0 k ∈N *恒建立，故（ 2）正确；于（ 3），如 x 1+x 2+⋯+x n =0， F （ n ） =0 ，若数列 {x n } 是等差数列，x 1+x 2+⋯+x n ＞ 0， x 1+x n ＞0，f （ x 1）＞ f （ x n ），可得 x 2+x n ﹣ 1＞ 0，⋯，f （ x 2）＞ f （ x n ﹣1），⋯相加即可获得 F （ n ）＞ 0，同理 x 1+x 2+⋯+x n ＜ 0，即有 f （ x 1）+f （ x 2）+⋯f （ x n ）＜ 0，即 F （ n ）＞ 0，（ 3）正确．故D ．点 ： 本 通 真假的判断，考 了新定 的函数的性 以及 用 ，函数的 性与奇偶性 ，等差与等比数列的性 与 用 ，是 合 ．三．解答 （本大 分 74 分）本大 共有 5 ，解答以下各 必 在答 相 号的 定地域内写出必需的步 ．19．（ 12 分）如 ，在 Rt △AOB 中，∠ OAB= ，斜 AB=4 ，D 是 AB 的中点． 将 Rt △ AOB以直角AO 旋 一周获得一个 ，点C 底面 周上的一点，且∠BOC=．（ 1）求 的全面 ；（2）求异面直 AO 与 CD 所成角的大小．（果用反三角函数表示）考点：异面直及其所成的角；棱柱、棱、棱台的面和表面．：空地点关系与距离．分析：（ 1）求出底面半径，的面S 侧，而后求解的全面．（ 2） D 作 DM ∥ AO 交 BO 于 M， CM ，明∠ CDM 异面直 AO 与 CD 所成角，在Rt△ CDM 中，求解异面直 AO 与 CD 所成角的大小．解答：解：（ 1） Rt△ AOB 中， OB=2即底面半径 2的面S 侧=πrl=8 π⋯.4’故的全面S 全 =S 侧 +S 底 =8π+4π=12 π⋯.6’（2） D 作 DM∥AO 交 BO 于 M， CM∠ CDM 异面直AO 与 CD 所成角⋯.8’∵AO ⊥平面 OBC ∴ DM ⊥平面 OBC ∴ DM ⊥ MC在 Rt△ AOB 中，∴，∵D 是 AB 的中点∴ M 是 OB 的中点，∴OM=1 ∴．在 Rt△ CDM中，，⋯.10’∴，即异面直 AO 与 CD 所成角的大小⋯.12’点：本考异面直所成角的求法，几何体的全面的求法，考空想象能力以及算能力．20．（ 14 分）一个随机量ξ的概率分布律以下：ξx1x2P cos2A sin（ B+C ）此中 A ， B， C 角三角形ABC 的三个内角．（1）求 A 的；（2）若 x1=cosB ，x2=sinC ，求数学希望 Eξ的取范．考点：失散型随机量的希望与方差．：概率与．分析：（ 1）通概率和1，利用三角形的内角和化求解即可．（ 2）利用（ 1）的果求出B+C ，表示出的范，而后求解希望的范．解答：解：（ 1）由 cos2A+sin（ B+C ） =1，⋯2’12⋯4’2sin A+sinA=1又 A 角，得⋯6’（ 2）由得，，即⋯8’⋯9’==，⋯11’由△ ABC 角三角形，得，得⋯14’点：本考概率的用，希望的求法，概率与三角函数相合，目新，是好．21．（ 14 分）用管接而成的花构件如右所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS，内部是一段抛物和一根横梁．抛物的点与梯形上底中点是接点O，梯形的腰靠在抛物上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物以及横梁的接点 A ，B，抛物与梯形下底的两个接点C， D ．已知梯形的高是40 厘米， C、 D 两点的距离40 厘米．（1）求横梁 AB 的度；（2）求梯形外框的用料度．（注：管的粗等要素忽视不，算果精确到1 厘米．）考点：直与曲的关系．：曲的定、性与方程．分析：（ 1）以 O 原点，梯形的上底所在直x ，建立直角坐系，梯形下底与y交于点2（ p＜ 0），利用 D，求出 p，获得抛物方程，即可求M ，抛物的方程： x =2py解横梁 AB 的度．（2）明梯形腰的中点是梯形的腰与抛物独一的公共点，立在与抛物方程，通相切关系，求出直的斜率，而后求解制作梯形外框的用料度．解答：解：（ 1）如，以O 原点，梯形的上底所在直x ，建立直角坐系，2梯形下底与y 交于点M ，抛物的方程：x =2py（ p＜ 0），2由意 D ，得 p= 5，x = 10y⋯3’，取，即，答：横梁AB 的度28cm．⋯6’（ 2）由意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物独一的公共点⋯7’，，即⋯10’得，梯形周．答：制作梯形外框的用料度141cm⋯14’点：本考抛物方程的用，直与抛物的地点关系的用，考分析解决的能力．22．（ 16 分）已知函数 f （ x） =， g（ x） =．（ 1）求函数h（x） =f （ x） +2g（ x）的零点；（ 2）若直 l ：ax+by+c=0 （ a，b，c 常数）与 f（ x）的象交于不一样的两点A、B，与g（ x）的象交于不一样的两点C、 D，求： |AC|=|BD| ；（ 3）求函数F（ x） =[f （ x） ] 2n[g（ x） ]2n（ n∈N*）的最小．考点 ： 函数与方程的 合运用；函数的最 及其几何意 ． ： 函数的性 及 用；二 式定理． 分析：（ 1）求出 H （ x ）的分析式，令H （x ） =0 ，解方程即可获得零点；（ 2） 出 A ， B ，C ， D 的坐 ， 立直 方程和 f （ x ）、 g （ x ）消去 y ，运用 达定理和中点坐 公式，即可得 ；（ 3）运用二 式定理睁开和合并，再由基本不等式 合二 式系数的性 ，即可求得最小 1．解答：解：（ 1）由 意可得，即有函数 h （ x ）的零点；（ 2） 明：A （ x 1 ，y 1），B （ x 2， y 2），C （ x 3， y 3），D （ x 4，y 4），，同原由， ，AB 中点与 CD 中点重合，即 |AC|=|BD| ；（ 3）由 意可得==[（ x2n ﹣ 2 2﹣ 2n2n ﹣66﹣ 2n（ x6﹣2n2n ﹣ 6（ x2﹣2n 2n+x）+（ x+x）+⋯++x）++x﹣2 ） ]=2n ﹣ 1?2?2=1，当且 当 x= ±1 ，等号建立．所以函数 F （ x ）的最小 1．点 ：本 考 函数的性 和运用，主要考 函数的零点和最 的求法，注意运用函数和方程的思想，以及二 式定理和基本不等式的运用：求最 ，属于中档 和易 ．23．（ 18 分） 于一 向量（ n ∈N *），令，假如存在 （ p ∈{1 ，2，3⋯，n} ），使得 ||，那么称是 向量 的 “h 向量 ”．（ 1）=（n ， x+n ）（n ∈N *），若是向量的 “h 向量 ”，求 数 x 的取 范 ；（ 2）若（ n ∈N *），向量能否存在 “h 向量 ”？出你的 并 明原由；（ 3）已知均是向量的 “h 向量 ”，此中=（ sinx ，cosx ），=（ 2cosx ，2sinx ）． 在平面直角坐 系中有一点列Q 1，Q 2，Q 3，⋯，Q n 足： Q 1 坐 原点，Q 2的地点向量的 点，且Q 2k+1 与 Q 2k 关于点 Q 1 称， Q 2k+2 与 Q 2k+1（ k ∈N *）关于点Q 2 称，求 | |的最小 ．考点 ： 数列与向量的 合． ： 平面向量及 用．分析：（ 1）通 “h 向量 ”的定 直接 算即可；（ 2）通 “h 向量 ”的定 ， n 分奇偶数 即可；（ 3）通 算可得，、 Q n （ x n ， y n ），依 意 算可得 =，利用基本不等式可得≥1 当且 当（ t ∈Z ） 等号建立，故 ．解答：解：（ 1）由 意，得：，，解得： 2≤x ≤0；（ 2） ：是向量 的 “h 向量 ”．原由以下：，，当 n 奇数 ，，∴ ，故= ，即 ；上海市徐汇区20172018学年高考数学二模试卷理科Word版含解析当 n 为偶数时，，故=，即；综合得：是向量组的“h 向量”；（ 3）由题意，得：，，即，即，同理，，三式相加并化简，得：，即，，所以，设，由得：，设 Q（ x，y ），则依题意得：，n n n得（ x2k+2， y2k+2）=2[ （x2， y2）﹣（ x1， y1）]+（ x2k， y2k）故（ x2k+2， y2k+2）=2k[ （ x2， y2）﹣（ x1， y1） ] +（ x2， y2）（ x2k+1， y2k+1）=﹣ 2k[ （ x2，y2）﹣（ x1， y1） ]+（ x2， y2），所以，当且仅当（ t∈Z）时等号建立，故．评论：此题观察新定义，向量模的计算，等比数列的乞降，二倍角公式，基本不等式，注意解题方法的累积，属于中档题．。

2017-2018学年上海市浦东新区高考数学三模试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．抛物线的准线方程为______．2．计算：=______．3．已知||=2， |=3，且、的夹角为，则|3﹣2|=______．4．在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=______．5．关于x方程=0的解为______．6．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则由a的值构成的集合为______．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=______．8．某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为______．（结果用数值表示）9．已知，则目标函数z=20x+10y的最大值为______．10．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的．已知AB=1，A1A=C1C=D，D1B与底面ABCD所成的角为，则这个多面体的体积为______．11．直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，则k的取值范围______．12．已知函数f（x）=，若对于正数k n（n∈N*），关于x 的函数g（x）=f（x）﹣k n x的零点个数恰好为2n+1个，则（k12+k22+k32+…+k n2）=______．13．函数f（x）=3|x+5|﹣2|x+3|，数列a1，a2，…，a n…，满足a n=f（a n），n∈N*，若要+1使a1，a2，…a n，…成等差数列．则a1的取值范围______．14．设集合P={1，2，…，6}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：______．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．若a、b∈R，则“a＜b＜0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．设P为双曲线﹣y2=1（a＞0）的上一点，∠F1PF2=，（F1、F2为左、右焦点），则△F1PF2的面积等于（）A．B．C．D．17．若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（）A．B．2 C．4 D．18．设{a n}是公比为q（q≠1）的无穷等比数列，若{a n}中任意两项之积仍是该数列中的项，则称{a n}为“封闭等比数列”．给出以下命题：（1）a1=3，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（2）a1=，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（3）若{a n}，{b n}都是“封闭等比数列”，则{a n•b n}，{a n+b n}也都是“封闭等比数列”；（4）不存在{a n}，使{a n}和{a n2}都是“封闭等比数列”；以上正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，证明：EF∥平面PAC；（2）求三棱锥E﹣PAD的体积．20．如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．21．已知函数f（x）=ax2﹣+1，g（x）=x+．（1）f（x）＞0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．22．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E： +y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．（1）设椭圆E与椭圆F： +=1是“相似椭圆”，求常数s的值；（2）设椭圆G： +y2=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G只有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G只有一个公共点，求|k1k2|的值；（3）已知椭圆E与椭圆H： +=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y1），且椭圆E上的点M（x0，y2）（y1y2＞0）求证：AM⊥BC．23．已知无穷数列{a n}满足a n=p•a n+（n∈N*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．+1（1）若p=，q=2，且a3=，求a1的值；（2）若a1=5，p•q=0，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若a1=2，q=1，求证：当p∈（，）时，数列{a n}是单调递减数列．2016年上海市浦东新区高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．抛物线的准线方程为y=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．【解答】解：由，得x2=﹣4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y==1．故答案为：y=1．2．计算：=1．【考点】极限及其运算．【分析】先由组合数计算公式，把转化为，进而简化为，由此能求出结果．【解答】解：===1．故答案为：1．3．已知||=2， |=3，且、的夹角为，则|3﹣2|=6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的公式进行求解即可．【解答】解：∵||=2， |=3，且、的夹角为，∴•=||||cos=2×=3，则|3﹣2|2=9||2﹣12•+4||2=9×4﹣12×3+4×9=36﹣36+36=36，则|3﹣2|=6，故答案为：6．4．在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】求出复数z+1，然后求解复数的模．【解答】解：在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=|﹣2+i+1|=|﹣1+i|==．故答案为：．5．关于x方程=0的解为x=或x=，k∈Z．【考点】三角函数中的恒等变换应用；二阶矩阵．【分析】由已知可得sin2x=．求出2x的值，则原方程的解可求．【解答】解：由=0，得4sinxcosx﹣1=0，即sin2x=．∴2x=或x=，则x=或x=，k∈Z．故答案为：x=或x=，k∈Z．6．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则由a的值构成的集合为{﹣1，0， } ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】先化简集合A，利用B⊆A，求出a的取值，注意要分类讨论．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x﹣3=0}={﹣1，3}，∴若B⊆A，则若a=0，即B=∅时，满足条件B⊆A．若a≠0，则B={x|ax﹣1=0}={}，要使B⊆A，则=﹣1或=3，解得a=﹣1，或a=．综上a=0或a=﹣1或a=，∴由a的值构成的集合为{﹣1，0， }．故答案为：{﹣1，0， }．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出等差数列的首项，由=3得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式可得．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则，由=3，得，即d=4a1，∴=．故答案为：．8．某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为．（结果用数值表示）【考点】等可能事件的概率．【分析】根据题意，首先计算从2名男生和4名女生中选出4人数目，再分析选出的4人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2名男生和4名女生中选出4人，有C64=15种取法，其中全部为女生的有C44=1种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4名志愿者中，男、女生都有的情况有15﹣1=14种，则其概率为；故答案为．9．已知，则目标函数z=20x+10y的最大值为100．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求得目标函数的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图（图中实点），化目标函数z=20x+10y为y=﹣2x+，由图可知，当直线y=﹣2x+过点A（5，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为100．故答案为：100．10．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的．已知AB=1，A1A=C1C=D，D1B与底面ABCD所成的角为，则这个多面体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，连接BD，BD1，可得∠，在底面正方形中，由AB=1，求得BD=，在Rt△D1DB中，解直角三角形求得DD1，求出直角梯形ADD1A1的面积，然后由棱锥的体积公式求得答案．【解答】解：如图，连接BD，BD1，则∠，在底面正方形中，由AB=1，得BD=，在Rt△D1DB中，由BD=，∠，求得，∴A1A=C1C=D=，则，∴多面体的体积为V=．故答案为：．11．直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，则k的取值范围{0}∪[，+∞）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】联立方程组消元，令方程无解或只有一解得出k的范围．【解答】解：把y=kx+1代入y2=2x得k2x2+（2k﹣2）x+1=0，（1）若k=0，则﹣2x+1=0，方程只有一解，故直线y=kx+1与抛物线y2=2x只有一个公共点，符合题意．（2）若k≠0，△=（2k﹣2）2﹣4k2=4﹣8k．∵直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，∴△=4﹣8k≤0，解得k．∴k或k=0．故答案为：{0}∪[，+∞）．12．已知函数f（x）=，若对于正数k n（n∈N*），关于x的函数g（x）=f（x）﹣k n x的零点个数恰好为2n+1个，则（k12+k22+k32+…+k n2）=．【考点】函数的图象；函数零点的判定定理；极限及其运算．【分析】画出函数f（x）=的图象，若g（x）=0，则f（x﹣2）=k n x，数形结合可得圆心（2n+1，0）到直线y=k n x的距离为1，进而得到答案．【解答】解：当0≤x＜2时，（x﹣1）2+y2=1，（y≥0）其图形是以（1，0）点为圆心以1为半径的上半圆，当x≥2时，函数f（x）=f（x﹣2）表示函数的周期为2，故函数f（x）=的图象如下：若g（x）=0，则f（x﹣2）=k n x，由于g（x）的零点个数为2n+1则直线y=k n x与第n+1个半圆相切，圆心（2n+1，0）到直线y=k n x的距离为1，即有k12+k22+k32+…+k n2=．∴（k12+k22+k32+…+k n2）=，故答案为：=f（a n），n∈N*，若要13．函数f（x）=3|x+5|﹣2|x+3|，数列a1，a2，…，a n…，满足a n+1使a1，a2，…a n，…成等差数列．则a1的取值范围{﹣9}∪[﹣3，+∞）．【考点】数列与函数的综合．【分析】由绝对值的意义可得f（x）的分段函数式，求得对任意n∈N*，a n﹣a n≥1．{a n}+1为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣3，再对a1讨论，①当a1＜﹣5时，②若﹣5≤a1＜﹣3，③若a1≥﹣3，结合函数式和等差数列的通项，即可得到结论．【解答】解：当x≥﹣3时，f（x）=3x+15﹣2x﹣6=x+9；当﹣5≤x＜﹣3时，f（x）=3x+15+2x+6=5x+21；当x＜﹣5时，f（x）=﹣3x﹣15+2x+6=﹣x﹣9．﹣a n=9；当a n≥﹣3时，a n+1﹣a n=4a n+21≥4×（﹣5）+21=1；当﹣5≤a n＜﹣3时，a n+1﹣a n=﹣2a n﹣9＞﹣2×（﹣5）﹣9=1．当a n＜﹣5时，a n+1∴对任意n∈N*，a n﹣a n≥1．+1即a n≥a n，即{a n}为无穷递增数列．+1又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣3，=f（a n）=a n+9，由于{a n}为等差数列，从而a n+1因此公差d=9．①当a1＜﹣5时，则a2=f（a1）=﹣a1﹣9，又a2=a1+d=a1+9，故﹣a1﹣9=a1+9，即a1=﹣9，从而a2=0，当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2=0＞﹣3，=f（a n）=a n+9，而a2=a1+9，故当a1=﹣9时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；∴a n+1②若﹣5≤a1＜﹣3，则a2=f（a1）=5a1+21，又a2=a1+d=a1+9，∴5a1+21=a1+9，得a1=﹣3，应舍去；=f（a n）=a n+9，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．③若a1≥﹣3，则由a n≥a1得到a n+1综上可知：a1的取值范围为{﹣9}∪[﹣3，+∞）．故答案为：{﹣9}∪[﹣3，+∞）．14．设集合P={1，2，…，6}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：129．【考点】子集与真子集．【分析】设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，B中必不含元素1，2，…，k；元素k+1，k+2，…，k可在B 中，但不能都不在B中．由此能求出a n，当n=6时，代值计算即可．【解答】解：设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k ﹣1，可在A 中，故A 的个数为：C k ﹣10+C k ﹣11+C k ﹣12+…+C k ﹣1k ﹣1=2k ﹣1， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中， 故B 的个数为：C n ﹣k 1+C n ﹣k 2+…+C n ﹣k n ﹣k =2n ﹣k ﹣1，从而集合对（A ，B ）的个数为2k ﹣1•（2n ﹣k ﹣1）=2n ﹣1﹣2k ﹣1，∴a n =（2n ﹣1﹣2k ﹣1）=（n ﹣1）•2n ﹣1﹣=（n ﹣2）•2n ﹣1+1．当n=6时，a 6=（6﹣2）×25+1=129 故答案为：129．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分. 15．若a 、b ∈R ，则“a ＜b ＜0”是“a 2＞b 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．【分析】利用不等式的性质判断出“a ＜b ＜0”则有“a 2＞b 2”，通过举反例得到“a 2＞b 2”成立推不出“a ＜b ＜0”成立，利用充要条件的有关定义得到结论． 【解答】解：若“a ＜b ＜0”则有“a 2＞b 2”反之则不成立，例如a=﹣2，b=1满足“a 2＞b 2”但不满足“a ＜b ＜0” ∴“a ＜b ＜0”是“a 2＞b 2”的充分不必要条件， 故选A ．16．设P 为双曲线﹣y 2=1（a ＞0）的上一点，∠F 1PF 2=，（F 1、F 2为左、右焦点），则△F 1PF 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先利用双曲线的定义，得|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，利用余弦定理求出|PF 1|•|PF 2|的值，结合三角形的面积公式即可求出△F 1PF 2的面积．【解答】解：∵双曲线方程﹣y 2=1（a ＞0），∴b=1，不妨设P 是双曲线的右支上的一个点，则由双曲线的定义，得|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，∵，∠F 1PF 2=，∴4c 2=|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1|•|PF 2|cos =|PF 1|2+|PF 2|2+|PF 1|•|PF 2|=（|PF 1|﹣|PF 2|）2+3|PF 1|•|PF 2|，即4c2=4a2+3|PF1|•|PF2|，即3|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2=4b2=4，则|PF1|•|PF2|=，∴=|PF1|•|PF2|sin=××=，故选：C．17．若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（）A．B．2 C．4 D．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出圆锥的母线和底面半径，设截面在圆锥底面的轨迹AB=a，（0＜a≤2r），用a 表示出截面的面积，利用基本不等式求出截面的面积最大值．【解答】解：圆锥的母线长l=2，设圆锥的底面半径为r，则2πr=2×=．∴r=．设截面在圆锥底面的轨迹AB=a（0＜a≤）．则截面等腰三角形的高h==．∴截面面积S===≤=2．当且仅当即a=2时取等号．故选：B．18．设{a n}是公比为q（q≠1）的无穷等比数列，若{a n}中任意两项之积仍是该数列中的项，则称{a n}为“封闭等比数列”．给出以下命题：（1）a1=3，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（2）a1=，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（3）若{a n}，{b n}都是“封闭等比数列”，则{a n•b n}，{a n+b n}也都是“封闭等比数列”；（4）不存在{a n}，使{a n}和{a n2}都是“封闭等比数列”；以上正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1）求出，由a1•a2∉{a n}，知（1）错误；（2）由，推导出命题（2）正确；（3）不是“封闭等比数列”；（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”．【解答】解：（1）∵{a n}是a1=3，q=2的等比数列，∴，由题意得a1•a2=3×6=18∉{a n}，故命题（1）错误；（2）∵，∴，故命题（2）正确；（3）若都为“封闭等比数列”，则不是“封闭等比数列”，故命题（3）错误；（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”，故命题（4）错误．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，证明：EF∥平面PAC；（2）求三棱锥E﹣PAD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC、EF，证明EF∥PC，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAC，（2）求出对面三角形EAD的面积，利用等体积法转化求解几何体的体积即可．【解答】解：（1）证明：连结AC、EF∵点E、F分别是边BC、PB的中点∴EF∥PC…．又EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC…∴当点E是BC的中点时，EF∥平面PAC…（2）∵PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形．∴，…∴…20．如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用三角形面积公式，基本不等式可得，即可得解．（2）利用已知及余弦定理可得PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=（x﹣100）2+30000，根据二次函数的图象和性质即可解得线段|PQ|最小值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）因为：AP=x，AQ=y且x+y=200，…2分所以：．…4分当且仅当x=y=100时，等号成立．所以：当x=y=100米时，平方米．…6分（2）因为：PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy…8分=x2+2+x=x2﹣200x+40000=（x﹣100）2+30000．…10分所以：当x=100米，线段米，此时，y=100米．…12分答：（1）当AP=AQ=100米时，游客体验活动区APQ的面积最大为平方米．（2）当AP=AQ=100米时，线段|PQ|最小为．…14分．21．已知函数f（x）=ax2﹣+1，g（x）=x+．（1）f（x）＞0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）把不等式f（x）＞0恒成立转化为ax2﹣+1＞0恒成立，分离参数a后得到a，求出不等式右边在[1，2）上的最大值得答案；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，等价于f（x）min≥g（x）min在区间[1，2]上成立，利用单调性求出f（x）的最小值，再分段求出g（x）的最小值，列关于a的不等式组求得答案．【解答】解：（1）f（x）＞0⇔ax2﹣+1＞0⇒a在x∈[1，2）上恒成立，∵x∈[1，2），∴x2∈[1，4），∈[，），则∈[﹣2，），∴a，则a的取值范围是[）；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，等价于f（x）min≥g（x）min在区间[1，2]上成立，当a＞0时，函数f（x）在[1，2]上单调递增，∴，，故①，或②或③．解①得，a∈∅；解②得，a∈∅；解③得1≤a≤4．综上，a的取值范围为[1，4]．22．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E： +y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．（1）设椭圆E与椭圆F： +=1是“相似椭圆”，求常数s的值；（2）设椭圆G： +y2=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G只有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G只有一个公共点，求|k1k2|的值；（3）已知椭圆E与椭圆H： +=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y1），且椭圆E上的点M（x0，y2）（y1y2＞0）求证：AM⊥BC．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用新定义，通过s＞2，0＜s＜2，分别求出s即可．（2）求出l1、l2的方程分别为、y=k2x+1，分别与椭圆方程联立，利用判别式为0，求出|k1|，|k2|，然后推出|k1k2|=．（3）写出椭圆E，椭圆H的方程，求出k AM，k BC，推出向量乘积为﹣1，即可证明AM⊥BC．【解答】（1）解：显然椭圆E的方程为=1，由椭圆E与F相似易得：当s＞2时⇒s=4；…2分当0＜s＜2时⇒s=1，…4分所以s=4或1…4分（2）证明：易得所以l1、l2的方程分别为、y=k2x+1依题意联立：⇒（1+2k12）x2+4k12x+4k12﹣2λ=0又直线l1与椭圆G相切则△1=0（又0＜λ＜1），即|k1|=…6分依题意再联立：⇒（1+2k22）x2+4k2x+2﹣2λ=0又直线l2与椭圆G相切则△2=0（又0＜λ＜1），即|k2|=…8分故|k1k2|=．…10分（3）解：显然椭圆E：=1，椭圆H：=1．…11分由椭圆H上的任意一点C（x0，y1）于是=1…12分椭圆E上的点M（x0，y2），即2=1又y1y2＞0，则y1=2y2…13分又，则k AM=，k BC=…15分又=﹣1所以AM⊥BC…16分．23．已知无穷数列{a n}满足a n=p•a n+（n∈N*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．+1（1）若p=，q=2，且a3=，求a1的值；（2）若a1=5，p•q=0，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若a1=2，q=1，求证：当p∈（，）时，数列{a n}是单调递减数列．【考点】数列递推式．【分析】（1）令n=2、1依次代入递推公式列出方程，求出a2、a1的值；（2）根据条件分两种情况：当p=0，q≠0时由数列的递推公式对n分奇数和偶数求出S n；当p≠0，q=0时由数列的递推公式可知是等比数列，根据等比数列的前n项和公式求出S n；（3）由题意求出数列的递推公式，由p的范围先比较a1与a2，令n取n﹣1列出式子后，﹣a n”的符号，即两式相减化简后利用基本不等式求出a n的范围，根据p的范围判断出“a n+1可证明结论．=p•a n+，∴a3=p•a2+，【解答】解：（1）由题意知，a n+1∵p=，q=2，且a3=，∴，解得，…2分当时，同理求得a1=1或4；当时，无解，所以，a1=1或4 …4分（2）若p=0，q≠0，，∴，…5分所以当n为奇数时，；…6分当n为偶数时，，所以…7分=p•a n，…8分若p≠0，q=0时，a n+1所以…10分证明：（3）由题意知，当时，可得①…12分由和，两式相减得，…14分因为成立，则有a n•a n﹣1＞4p当时，，即②…16分由①②可知，当a n＜a n﹣1时，恒有a n+1＜a n…17分对于任意的自然数n，a n+1＜a n恒成立．…18分．2016年9月28日。

x y 0 2 x y 2 y 0 x y m 10. 设变量 x 、 y 满足条件 ，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数 m 的
取值范围是__________.
x 1 M y | y , x R 2 ， 设集合
2
1.
f ( x)
2. 若函数 若函数 f ( x)
1 x 2m 1 是奇函数，则实数 m ________.
2 x 3 的反函数为 g ( x) ，则函数 g ( x) 的零点为________.
3. 4.
书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这
五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为 _______（结果用数值表示）. 5. 在锐角三角形 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若
(b 2 c 2 a 2 ) tan A bc ，则角 A 的大小为________.
_________（结果用最简分数表示）.
8.
2 t 2 x 2 y 2 t 4 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），椭圆
x cos 1 y sin C 的参数方程为 2 （ 为参数），则直线 l 与椭圆 C 的公共点坐标为__________.
( x3
6. 7. 若
1 n ) x 2 的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为_________.
某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可
获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为