高三“一模”理科数学试卷分析

黄浦区2024学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷（完卷时间：120分钟 满分：150分）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷上的解答一律无效.2．答卷前,考生务必将姓名,准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚. 3．本试卷共21道试卷．一,填空题（本大题共有12题,满分54分．其中第1～6题每题满分4分,第7～12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．若集合{}1,2A =,{}1,3B =,则A B = ．2．不等式2320x x -+<的解集为3．椭圆22143x y +=的焦距是 .4．若圆柱的底面半径与高均为1,则其侧面积为 ． 5．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的常数项为6．若正数x ,y 满足41x y +=,则xy 的最大值为 ．7．从A 校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高,其中最大值为184cm,最小值152cm,绘制身高频率分布直方图,若组距为3,且第一组下限为151.5,则组数为 ．8．在正四面体ABCD 中,点N 是ABC 的中心,若(),,R DN DA DB BC λμνλμν=++∈,则λμν++= ．9．若()3f x x =,()()(),0,,0,f x xg x f x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩则不等式()g x x <-的解集为 ．10．i 为虚数单位,若复数1z 满足1|1i |z -+,复数2z 满足221i z z =+-,则12z z -的最小值为 ．11．一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片,如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm,8cm AB =,6cm BC =,且AB BC ⊥,则圆心到点B 的距离约为 cm ．（结果精确到0.1cm ）12．设常数b 为整数,数列{}n a 的通项公式为()22n b a n b =++,若12m m m a a a ++++（1m ≥,Z m ∈）的最小值为 7,则b ＝ ．二,选择题（本大题共有4题,满分18分．其中第13-14题每题满分4分,第15-16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得满分,否则一律得零分．13．掷一颗质地均匀的骰子,观察朝上面的点数．设事件E ：点数是奇数,事件F ：点数是偶数,事件G ：点数是3的倍数,事件H ：点数是4．下列每对事件中,不是互斥事件的为（ ） A ．E 与FB ．F 与GC ．E 与HD ．G 与H14．若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A ,B ,C ,D ,则直线AB 与CD 所成角的大小不可能为（ ） A ．30B ．45C ．60D ．9015．设02πx ≤<,满足ππsin sin sin 66x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的x 的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个16．设函数()y f x =在区间I 上有导函数()y f x '=,且()0f x '<在区间I 上恒成立,对任意的x I ∈,有()f x I ∈．对于各项均不相同的数列{}n a ,1a I ∈,()1n n a f a +=,下列结论正确的是（ ） A ．数列{}21n a -与{}2n a 均是严格增数列 B ．数列{}21n a -与{}2n a 均是严格减数列C ．数列{}21n a -与{}2n a 中的一个是严格增数列,另一个是严格减数列D ．数列{}21n a -与{}2n a 均既不是严格增数列也不是严格减数列三,解答题（本大题共有5题,满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1BC 的中点．(1)求证：1⊥BC 平面CDE .(2)求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小． 18．已知()sin f x x =．(1)求函数()π2y f x f x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的最小正周期.(2)求函数23πy f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调减区间．19．A 校高一年级共有学生330名,为了解该校高一年级学生的身高情况,学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生,其中女生32名,男生34名,测量他们的身高．(1)该校高一学生中男,女生各有多少名？(2)若从这66名学生中随机抽取两名,求这两名都是男生的概率.(3)在32名女生身高的数据中,其中一个数据记录有误,错将165cm 记录为156cm,由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm,方差为23.6875,求原始数据的平均数及方差．（平均数结果保留精确值,方差结果精确到0.01）20．双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b -=>>的左,右焦点分别为F c ,0 ,()2,0F c （0c >）,过点1F 的直线l 与Γ右支在x 轴上方交于点A ．(1)若a 点A 的坐标为(3,4),求c 的值.(2)若212AF F F ⊥,且,,a b c 是等比数列,求证：直线l 的斜率为定值.(3)设直线l 与Γ左支的交点为B ,3c =,当且仅当a 满足什么条件时,存在直线l ,使得2||||AB AF =成立．21．函数()y f x =的定义域为D ,在D 上仅有一个极值点0x ,方程()0f x =在D 上仅有两解,分别为1x ,2x ,且102x x x <<．若1202x x x +>,则称函数()y f x =在D 上的极值点左偏移,若1202x x x +<,则称函数()y f x =在D 上的极值点右偏移． (1)设()21f x x =-,R D =,判断函数()y f x =在D 上的极值点是否左偏移或右偏移？(2)设0m >且1m ≠,()32f x x mx x m =--+,()0,D =+∞,求证：函数()y f x =在D 上的极值点右偏移.(3)设R a ∈,()ln f x x ax =-,()0,D =+∞,求证：当10e a -<<时,函数()y f x =在D 上的极值点左偏移．1．{}1,2,3【分析】根据并集的定义运算即可.【详解】因为{}1,2A =,{}1,3B =,所以{}1,2,3A B = . 故答案为: {}1,2,3.2．()1,2【分析】根据二次不等式的求解方法求解即可【详解】因为()()2320210x x x x -+<⇔--<.所以不等式的解集为：{|12}x x <<. 故答案为：()1,2.3．2【详解】分析：由椭圆方程可求a b ，,然后由c =可求c ,进而可求焦距详解：∵椭圆22143x y +=,2a b ∴==，∴122c c ==∴=，. 即答案为2．点睛：本题主要考查了椭圆的性质的简单应用,属基础题4．2π【分析】根据圆柱的侧面积公式直接计算可得. 【详解】由题意,圆柱的侧面积为：2π2πrh S ==. 故答案为：2π5．20【详解】61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为662166C C r r r r rr T x x x ---+==．令620r -=得3r =．所以61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的常数项为36C 20=．6．116【分析】令14x y =-,再结合二次函数的性质求解即可.【详解】因为正数x ,y 满足41x y +=,所以14x y =-. 所以()22111444816xy y y y y y æöç÷=-=-+=--+ç÷èø.所以当18y =时,最大值为116. 故答案为：116. 7．11【分析】根据组距即可求解.【详解】第一组下限为151.5,组距为3,所以151.5310181.5+⨯=. 故第11组的下限为181.5,因此组数为11. 故答案为：11 8．##1【分析】依题意设OA a =,OB b =,OC c =,利用勾股定理即可得到a b c ==,设该正四面体的棱长为√2,求出点的坐标,结合DN DA DB BC λμν=++利用空间向量法计算求解.【详解】因为在正四面体ABCD 中,AB BC CA ==,正四面体ABCD 的顶点A ,B ,C 分别在两两垂直的三条射线,,Ox Oy Oz 上. 设OA a =,OB b =,OC c =.由,,OA OB OC 两两垂直,得222222a b b c c a +=+=+. 所以a b c ==,即OA OB OC ==,所以O ABC -是正三棱锥.设该正四面体的棱长为√2,则1a b c ===,于是A 1,0,0 ,()()()0,1,0,0,0,1,1,1,1B C D .又点N 是ABC 的中心,所以111,,333N ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以()()()222,,,0,1,1,1,0,1,0,1,1333DN DA DB BC ⎛⎫=---=--=--=- ⎪⎝⎭因为DN DA DB BC λμν=++ ,所以()()()222,,0,1,11,0,10,1,1333λμν⎛⎫---=--+--+- ⎪⎝⎭.可得232323μλνλμν⎧-=-⎪⎪⎪-=--⎨⎪⎪-=--+⎪⎩,得231313μνλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩.可得43λμν++=.故答案为：43. 9．()1,0-【分析】先求出分段函数()g x 的解析式,再求不等式()g x x <-的解集. 【详解】0x ≥时,()3g x x =.0x <时,0x ->, ()()33g x x x =-=-.∴()33,0,,0,x x g x x x ⎧≥=⎨-<⎩由()g x x <-得,30x x x ≥⎧⎨<-⎩,①或30x x x <⎧⎨-<-⎩②不等式组①无解.不等式组②的解集为()1,0-综上,不等式()g x x <-的解集为()1,0-. 故答案为：()1,0-.10．2【分析】设111i z a b =+,11,a b ∈R ,222i z a b =+,22,a b ∈R ,由题设易得1z 对应的点()11,a b 的轨迹是以()1,1-为圆心,以r =,2z 对应的点()22,a b 是直线10x y -+=上一点,进而结合圆上一点到直线上一点的距离最值问题求解即可.【详解】设111i z a b =+,11,a b ∈R .则()()111111i i 1i 11i z a b a b -+=+-+=-++.由1|1i |z -+,≤.即()()2211112a b -++≤.则复数1z 对应的点()11,a b 的轨迹是以()1,1-为圆心,以r =. 设222i z a b =+,22,a b ∈R ,则()()222221i=i 1i 11i z a b a b +-++-=++-.由221i z z =+-,=.整理得,2210a b -+=.则复数2z 对应的点()22,a b 是直线10x y -+=上一点. 又()()()1211221212i i i z z a b a b a a b b -=+-+=-+-.所以12z z -=()11,a b 与点()22,a b 之间的距离.因为圆心()1,1-到直线10x y -+=的距离为2d ==.所以12z z -的最小值为22d r -==.. 11．7.3【分析】利用圆的对称性及三角恒等变换,余弦定理计算即可. 【详解】如图所示,设圆心为D ,AC 的中点为E ,则13AD =.由题意易知102AC AE ===. 则54123cos ,cos ,sin ,sin 135135AE AB DAC BAC DAC BAC AD AC ∠==∠==∴∠=∠=.所以()5412356cos cos 13513565BAD DAC BAC ∠=∠-∠=⨯+⨯=. 由余弦定理知2222cos 53.8BD AD AB AD AB BAD =+-⋅⋅∠=. 所以7.3cm BD ≈. 故答案为：7.3.12．6-【分析】根据对称轴n b =-在数轴上的位置分类讨论,结合二次函数的性质研究最值,进而求解.【详解】由题意知Z b ∈.当1b -≤,即1b ≥-时,根据二次函数的性质可知,数列{}n a 在[)1,+∞上单调递增. 此时12m m m a a a ++++的最小值为123a a a ++,故1237a a a ++=-. 可得()212b b ++()222b b +++()2372b b +++=-,化简得229140b b ++=.因为294214310∆=-⨯⨯=-<,所以方程无解,故1b -≤不符合题意. 当2b -≥,即2b ≤-时,根据二次函数的性质可知.12m m m a a a ++++的最小值为11b b b a a a ----+++,故117b b b a a a ----+++=-.即()22117222b b b-++++=-,解得6b =-. 综上所述,6b =-. 故答案为：6- 13．B【分析】根据条件,利用互斥事件的定义,对各个选项逐一分析判断,即可求解.【详解】对于选项A,因为事件E 和事件F 不能同时发生,所以E 与F 互斥,故选项A 错误. 对于选项B,当朝上面的点数为6时,F 与G 同时发生,即F 与G 不是互斥事件,所以选项B 正确.对于选项C,因为事件E 和事件H 不能同时发生,所以E 与H 互斥,故选项C 错误. 对于选项D,因为事件G 和事件H 不能同时发生,所以G 与H 互斥,故选项D 错误. 故选：B. 14．A【分析】由题意作图,根据正方体的几何性质,利用异面直线的夹角的定义,可得答案.【详解】①由题意作图如下：由图易知OCD 为等腰直角三角形,则直线AB 与CD 的夹角为45 . ②由题意作图如下：由图易知OCD 为等边三角形,则直线AB 与CD 的夹角为60 . ③由题意作图如下：由图易知OA AB ⊥,因为//CB OA ,则直线AB 与CD 的夹角为90 . 而不管怎么找顶点,都无法得到直线AB 与CD 所成角为30 . 故选：A. 15．C【分析】利用正弦的和角公式及辅助角公式结合三角函数的图象与性质计算即可.【详解】由ππsin sin sin 66x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭11cos 022x x +-=.()102x θ-+=,其中πsin 0,2θθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.()12x θ-+=,即()sin x θ-=不妨令()()sin f x x θ=-,因为02πx ≤<,所以[),2πx θθθ-∈--. 易知0x =时,()sinθ-=,即0x =满足题意.又()()sin f x x θ=-的周期为2πT =,且()1,0-.所以在区间[),2πθθ--上还有一个根,如图所示.故选：C 16．C【分析】由条件易知函数y f x 在I 上严格递减,构造2222121()()n n n n a a f a f a ++--=-,因数列{}n a 的各项均不相同,由2121,n n a a +-的大小比较,利用函数单调性可得222,n n a a +的大小关系,即得结论.【详解】依题意,因f x 0在区间I 上恒成立,则函数y f x 在I 上严格递减. 由2222121()()n n n n a a f a f a ++--=-,*N n ∈,因数列{}n a 的各项均不相同,且1a I ∈.若2121n n a a +->,则2121()()n n f a f a +-<,即222+<n n a a ,即此时数列{}21n a -严格递增,数列{}2n a 严格递减.若2121n n a a +-<,则2121()()n n f a f a +->,即222n n a a +>,即此时数列{}21n a -严格递减,数列{}2n a 严格递增.综上所述,数列{}21n a -与{}2n a 中的一个是严格增数列,另一个是严格减数列. 故选：C.【点睛】思路点睛：本题主要考查利用函数单调性判断数列的单调性的应用,属于难题. 解题思路在于根据选项信息,考虑数列中连续偶数项的差,通过对应的连续奇数项的大小比较,借助于函数单调性得出偶数项的大小关系. 17．(1)证明见解析(2)arctan5【分析】（1）连接1B C ,结合正方体的性质易得1EC BC ⊥,1DC BC ⊥,进而求证即可. （2）过E 作EF BC ⊥,交BC 于F ,连接DF ,易得EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角,进而结合直角三角形中正切的定义求解即可.【详解】（1）证明：连接1B C ,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1BC 的中点. 所以E 是1B C 的中点,且11B C BC ⊥,即1EC BC ⊥. 因为DC ⊥平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B . 所以1DC BC ⊥.又DC EC C = ,,DC EC ⊂平面CDE . 所以1⊥BC 平面CDE .（2）过E 作EF BC ⊥,交BC 于F ,连接DF .在正方体1111ABCD A B C D -中,1CC ⊥平面ABCD ,1//EF CC . 所以⊥EF 平面ABCD .又DF ⊂平面ABCD ,所以EF DF ⊥.所以EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角.由题意,设12CC CB CD a ===,则112EF CC a ==.12CF CB a ==,所以DF =.所以在Rt DEF △,tan5EF EDF DF ∠===.故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是18．(1)π(2)ππ122⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【分析】（1）先得函数解析式,再利用二倍角公式变形,结合正弦型函数的周期公式求解即可. （2）由定义域得π23x +的取值范围,根据正弦函数的单调性列不等式,求解即可. 【详解】（1）由()sin f x x =,得ππsin cos 22f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则函数()π2y f x f x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭1sin cos sin 22x x x =⋅=.故最小正周期为2ππ2=. （2）由()sin f x x =,得3π23πsin 2y f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.由π02x ≤≤,得ππ4π2333x ≤+≤. 令ππ4π2233x ≤+≤,解得ππ122x ≤≤. 故单调减区间为ππ122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.19．(1)男,女生各有170,160名 (2)1765(3)23.33【分析】（1）根据抽样比即可计算出男女生人数. （2）利用古典概型计算公式可得结果.（3）根据方差定义,利用方差的计算公式进行整体代换即可计算出结果. 【详解】（1）根据题意可知,抽样比为5:1. 所以该校高一学生中男生有345170⨯=名. 女生有325160⨯=名.（2）从这66名学生中随机抽取两名共有266C 种.两名都是男生的抽法共有234C 种.所以这两名都是男生的概率为234266C 17C 65P ==（3）根据题意可设正确的31个数据为1231,,,x x x ⋅⋅⋅. 易知31115632161i i x =+=⨯∑,可得3114996i i x ==∑.所以原始数据平均值为3111165161.2812532i i x =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑.由方差定义可得()()31221116115616123.687532i i x =⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦∑.因此()313131222111161216131161733i ii i i i x x x ===-=-⨯+⨯=∑∑∑,可得31312211216131161733805894ii i i xx ===⨯-⨯+=∑∑.原始数据的方差为()()312211161.28125165161.2812532i i x =⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦∑31312221112161.2812531161.28125 3.7187532i i i i x x ==⎡⎤=-⨯+⨯+⎢⎥⎣⎦∑∑ 1746.4687523.3332≈⨯≈ 即原始数据的方差为23.33. 20．(1)5 (2)证明见解析 (3)(1,3)a ∈【分析】（1）将a 值和点坐标代入双曲线方程求出b 值,即可求得c 值.（2）设直线:()l y k x c =+,与双曲线方程联立消元y ,得关于x 的方程,依题方程有解为c ,代入整理方程后,借助于2b ac =,可推得214k =,即得证.（3）利用双曲线定义化简2||||AB AF =得到1||2BF a =,2||4BF a =,设12F BF θ∠=,利用余弦定理求出cos θ的值,结合图形和题意,确定其范围,即得关于a 的不等式,解之即得. 【详解】（1）依题意,将a =,3,4x y ==代入2222Γ:1x y a b-=中.解得220b =,则5c ==. （2）依题意知,可设直线:()l y k x c =+,代入2222:1Γ-=x ya b中.整理得：22222222222()20b a k x a ck x a c k a b ----=（*）. 如图,因212AF F F ⊥,故点A 的横坐标为c 恰是方程（*）的解. 则222222222222()20b a k c a c k a c k a b ----=. 整理得：222222240b c a c k a b --=,即22244a c k b =.因,,a b c 是等比数列,则2b ac =,代入此式,可得222224a c k a c =,即得214k =.因过点1F 的直线l 与Γ右支在x 轴上方交于点A ,故得12k =,即直线l 的斜率为定值. （3）如图,因点A 在双曲线右支上,则12||||2AF AF a -=,即21||||2AF AF a =-. 故由2||||AB AF =可得11||||||2AF AB BF a -==.又因点B 直线l 与Γ左支的交点,故21||||2BF BF a -=,则2||4BF a =.在12BF F △中,设12F BF θ∠=,由余弦定理,2222224164203659cos 2241644a a c a a a a aθ+--===-⨯⨯.依题意,0πθ<<,故1cos 1θ-<<,即2591144a -<-<.去分母得2224594a a a -<-<,解得219a <<.因0a >,故当且仅当a 满足(1,3)a ∈时,存在直线l ,使得2||||AB AF =成立.【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用,属于难题. 解题的关键在于对双曲线定义的理解掌握,在处理2||||AB AF =相关的焦半径问题时,要有转化思想,结合图形和定义,将其化简为常量或最值问题,即可解决. 21．(1)函数()y f x =在D 上的极值点不偏移 (2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）先求()0f x =的根及()21f x x =-的极值点,再根据题设定义,即可求解.（2）先求()0f x =的根,对()f x 求导,得到()2321f x x mx '=--,通过计算得到1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭,再利用二次函数的性质,即可求解.（3）设()0f x =的两个零点为12,x x ,根据条件得到10210e x x x a<<<=<,再构造函数222()()()ln ln()()g x f x f x x ax x a x a a a =--=---+-,利用函数的单调性,得到()122()f x f x a->,即可求解. 【详解】（1）由()210f x x =-=,得到21x =,所以121,1x x =-=.又()2f x x '=,由()20f x x '==,得到0x =,又当0x <时,()20f x x '=<,当0x >时,()20f x x '=>.所以()21f x x =-只有一个极值点,且极值点为00x =,此时1202x x x +=. 所以函数()y f x =在D 上的极值点不偏移.（2）因为()322()()()(1)(1)f x x mx x m x x m x m x m x x =--+=---=--+, 0m >且1m ≠,()0,D =+∞.由()0f x =,得到121,x x m ==或12,1x m x ==,则1210x x m +=+>.又()2321f x x mx '=--,24120m ∆=+>,则()23210f x x mx '=--=有两根.不妨设为12,t t ,且12t t <,又1212210,033m t t t t +=>=-<,所以120t t <<.又()20,x t ∈时,()0f x '<,()2,x t ∈+∞时,()0f x '>,所以函数()y f x =在D 上只有一个极值点0x ,且02x t =.又222121111111321(1)022224244x x m m m f f m m m m ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'==--=-+-=--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以12202x x t x +<=,故函数()y f x =在D 上的极值点右偏移. （3）由题知,()1f x a x '=-,令()10f x a x '=-=,得到1x a=. 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<, 所以1x a =是()ln f x x ax =-的极值点.且()f x 在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.又011()()ln 10f x f a a ==->,0x →时,()f x →-∞,x →+∞时,()f x →-∞,(e)ln e e 1e 0f a a =-=->.则()0f x =有两个零点,不妨设为12,x x ,且12x x <,所以10210e x x x a<<<=<,12()()f x f x =. 令2222()()()ln ln()()(0)g x f x f x x ax x a x x a a a a =--=---+-<<.则21211()022a x a g x a a x x x x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+-=>⎛⎫-- ⎪⎝⎭在20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立. 所以2()()()g x f x f x a =--在区间20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.所以()11(g g x a >,即()()1121220()()f x f x f x f x a a >--=--.故()122()f x f x a ->,又1020211,x x x x a a a->=>=.故122x x a -<,得到1212x x a +<,即1202x x x +<. 所以当10e a -<<时,函数()y f x =在D 上的极值点左偏移．【点睛】方法点睛：本题第三问考查极值点偏移问题,解决极值点偏移的主要方法有： 1.构造对称函数. 2.比值换元. 3.对数平均不等式.。

一、试题整体特点2023年全国高三数学一模试卷在贯彻党的教育方针、落实立德树人根本任务的基础上，深入挖掘数学学科的育人价值，全面贯彻“四基”，培养“四能”，促进学生数学学科核心素养的形成和发展。

试卷加大开放题的创新力度，突出理性思维，考查关键能力，发挥了选拔功能。

试题倡导理论联系实际，利用真实问题情境，体现数学思想方法在解决实际问题中的价值和作用，考查考生利用数学工具解决实际问题的能力。

试卷结构和高考的模拟试卷基本保持一致，主要体现在大纲理念、试卷结构、题目数量以及题型等方面。

二、试题分析1. 试题难度适中，注重基础知识的考查。

试卷难度先后呈现合理，注重基础知识的考查，使学生在面对新高考时能够更好地应对。

2. 试题结构稳定，题型多样。

试卷结构基本保持稳定，解答题题型与顺序基本保持稳定，分别是立体几何、解三角形、概率统计、解析几何、导数、数列。

同时，试题注重考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，题型多样。

3. 试题注重考查数学思想方法。

试卷强调知识之间的内在联系，引导学生形成学科知识系统，强调对通性通法的深入理解和综合运用，促进学生将知识和方法内化为自身的知识结构。

4. 试题突出数学应用价值。

试题倡导理论联系实际、学以致用，关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果，设计真实问题情境，体现数学的应用价值。

5. 试题注重考查学生的创新能力。

试卷加大开放题的创新力度，突出理性思维，考查关键能力，发挥了选拔功能。

三、备考建议1. 复习时注重基础知识的学习。

在复习过程中，要注重对基础知识的学习，尤其是对基础概念、基本方法和基本技能的掌握。

2. 加强数学思想方法的训练。

要注重培养学生的数学思维，提高学生的数学素养，使学生在面对问题时能够灵活运用数学思想方法。

3. 注重数学应用能力的培养。

在复习过程中，要关注数学与实际生活的联系，提高学生的数学应用能力。

4. 加强模拟试题的练习。

通过模拟试题的练习，可以让学生熟悉高考题型，提高解题速度和准确率。

A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用定义求解作答.
【详解】抛物线C： 的焦点 ，准线方程 ，
显然点A的横坐标为2，由抛物线定义得： ，所以 .
故选：B6.执行如图所来自的程序框图，若输入 ，则输出s＝（）
A. B. C. D.
【答案】A
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得 ，进而结合双曲线的性质和已知条件得 ， ， ，再根据 ， ， 得 ，进而根据离心率公式求解即可.
【详解】解：如图，设直线 为双曲线 的两条渐近线，
则直线 的方程分别为 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，直线 的方程分别为 ，即 ，
所以 到直线 的距离为 ，
所以， 的实数解有 个，
所以，函数 零点的个数是 个.
故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.已知数列 的前n项之积为 ．
（1）求数列 的通项公式；
A.11.1米B.10.1米C.11.11米D.11米
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前n项和公式计算作答.
【详解】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列 ， ，公比 ， ，
所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离 .
故选：C
5.设F为抛物线C： 的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（）
【小问1详解】

天津市部分区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩（∁R B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．（0，1）2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值为（）A．﹣1B．0C．1D．23．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．4B．6C．8D．104．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=，b=6，sinA﹣2sinC=0，则a=（）A．3B．2C．4D．125．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：f（x）=存在最大值和最小值，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（）A．=1B．=1C．=1D．=17．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣3）D．（0，﹣3）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数=ai，则a+b=．10．（﹣）7的展开式中，x﹣1的系数是．（用数字填写答案）11．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为．13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点，当弦长|AB|最短时，直线l的普通方程为．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数x满足f（log|x+1|）＜f（﹣1），则x的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知函数f（x）=sin（x﹣）cosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅰ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．某校高三年级准备举行一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如表所示：班级高三（1）高三（2）高三（3）人数334（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生不属于同一班级的概率；（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X为来自高三（1）班的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD=，PD=BC=CD=AD，AP⊥CD．（Ⅰ）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅰ）若点Q在线段PA上，且BQ与平面ABCD所成角为，求CQ的长．18．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅰ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n 项和T n．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅰ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅰ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．天津市部分区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩（∁R B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．（0，1）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合A和B，从而得到C R A，由此能求出集合A∩（∁R B）．【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤3，x∈N}={1，2，3}，B={x|y=}={x|x≤﹣3或x≥3}，∴C R A={x|﹣3＜x＜3}，集合A∩（∁R B）={1，2}．故选：A．2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，3），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z．由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为0．故选：B．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．4B．6C．8D．10【考点】程序框图．【分析】利用循环结构可知道需要循环4次，根据条件求出i的值即可．【解答】解：第一次循环，s=﹣2＜5，s=﹣1，i=2，第二次循环，s=﹣1＜7，s=1，i=4，第三次循环，s=1＜9，s=5，i=6，第四次循环，s=5＜11，s=13，i=8，第五次循环，s=13≥13，此时输出i=8，故选：C．4．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=，b=6，sinA﹣2sinC=0，则a=（）A．3B．2C．4D．12【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得：c=，进而利用余弦定理即可求得a的值．【解答】解：∵sinA﹣2sinC=0，∴由正弦定理可得：c=，∵B=，b=6，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：62=a2+（a）2﹣2a，整理可得：a=4，或﹣4（舍去）．故选：C．5．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：f（x）=存在最大值和最小值，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式，求出关于p的x的范围，根据函数的性质求出关于q的x的范围，根据集合的包含关系判断充分必要条件即可．【解答】解：由x2﹣4x+3≤0，解得：1≤x≤3，故命题p：1≤x≤3；f（x）==x+，x＞0时，f（x）有最小值2，x＜0时，f（x）有最大值﹣2，故命题q：x≠0，故命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A．6．已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（）A．=1B．=1C．=1D．=1【考点】圆锥曲线的综合．【分析】确定抛物线y2=20x的焦点坐标、双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程，利用抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，求出b，a，即可求出双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为bx+ay=0，∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，∴=4，即b=4，∵c=5，∴a=3，∴双曲线方程为：=1．故选：D．7．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则A（0，0），B（1，0），C（﹣1，），O（0，），M（0，），=（1，﹣），=（﹣1，）=﹣1﹣=﹣．故选：D．8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣3）D．（0，﹣3）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，判断x≤0，与x＞0交点的情况，列出关于a的不等式，解之可得答案．【解答】解：g（x）=f（x）+2x﹣a=，函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣a﹣1，最多两个零点，如上图，要满足题意，函数y=2x+2x是增函数，x≤0一定与x相交，过（0，1），g（x）=2x+2x﹣a，与x轴相交，1﹣a≥0，可得a≤1．还需保证x＞0时，抛物线与x轴由两个交点，可得：﹣a﹣1＞0，△=4（a+1）2﹣4（1﹣a）＞0，解得a＜﹣3，综合可得a＜﹣3，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数=ai，则a+b=4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，再根据两个复数相等的充要条件求得a、b的值，可得a+b的值．【解答】解：=ai，则===ai，∴2﹣b=0，2+b=2a，∴b=2，a=2，∴a+b=4，故答案为：410．（﹣）7的展开式中，x﹣1的系数是﹣280．（用数字填写答案）【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于﹣1，求出r的值，即可求得x﹣1的系数．=•（﹣2）r•，令【解答】解：∵（﹣）7的展开式的通项公式为T r+1=﹣1，求得r=3，可得x﹣1的系数为•（﹣8）=﹣280，故答案为：﹣280．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三棱锥的三视图知，该三棱锥是底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥，结合图中数据，求出它的体积．【解答】解：根据三棱锥的三视图知，该三棱锥是底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥，结合图中数据，计算三棱锥的体积为V=××2×2×3=2．故答案为：2．12．直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为1．【考点】定积分．【分析】先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为1，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】1解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0，曲线y=4x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫01（4x﹣4x3）dx，而∫01（4x﹣4x3）dx=（2x2﹣x4）|01=2×1﹣1=1∴曲边梯形的面积是1，故答案为：1．13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点，当弦长|AB|最短时，直线l的普通方程为x+y﹣4=0．【考点】直线的参数方程．【分析】普通方程为y﹣1=a（x﹣3），过定点P（3，1），当弦长|AB|最短时，CP⊥AB，求出CP的斜率，可得AB的斜率，即可得出结论．【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y﹣1=a（x﹣3），过定点P（3，1）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为（x﹣2）2+y2=4，当弦长|AB|最短时，CP⊥AB，∵k CP==1，k AB=﹣1∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0，故答案为：x+y﹣4=0．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数x满足f（log|x+1|）＜f（﹣1），则x的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用函数是偶函数得到不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等价为f （|log2|x+1||）＜f（1），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等价为f（|log2|x+1||）＜f（1），即|log2|x+1||＜1∴﹣1＜log2|x+1|＜1，解得x的取值范围是．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知函数f（x）=sin（x﹣）cosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅰ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用和与差公式打开，根据二倍角公式和辅助角公式化解为y=Asin （ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，（Ⅰ）当x∈[，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可求出f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）==，∴函数f（x）的最小正周期．（Ⅰ）由（Ⅰ）知，∵，∴，∴，故当时，函数f（x）的最大值为．当时，函数f（x）的最小值为．16．某校高三年级准备举行一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如表所示：班级高三（1）高三（2）高三（3）人数334（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生不属于同一班级的概率；（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X为来自高三（1）班的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）从10名学生随机选出2名的方法数为，选出2人中不属于同一班级的方法数为，由此能求出这2名学生不属于同一班级的概率．（Ⅰ）X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从10名学生随机选出2名的方法数为，选出2人中不属于同一班级的方法数为…设2名学生不属于同一班级的事件为A所以．…（Ⅰ）X可能的取值为0，1，2，3，，，，．…所以X的分布列为X0123P所以．…17．如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD=，PD=BC=CD=AD，AP⊥CD．（Ⅰ）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅰ）若点Q在线段PA上，且BQ与平面ABCD所成角为，求CQ的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF，CF，证明BE∥CF即可；（Ⅰ）（方法一）以P为坐标原点，PD，PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可；（方法二）以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可；（Ⅰ）建系同（II）利用向量求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：取PD的中点F，连接EF，CF∵E，F分别是PA，PD的中点，∴EF∥AD且；…∵，BC∥AD，∴EF∥BC且EF=BC；∴BE∥CF．…又BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，∴BE∥平面PCD．…（Ⅰ）（方法一）以P为坐标原点，PD，PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=1，则，，．…设平面PAB的一个法向量为n=（x，y，z），则从而令x=2，得n=（2，0，﹣1）．…同理可求平面ABD的一个法向量为．…．平面ABD和平面ABC为同一个平面，所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．…（方法二）以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=1，则，C（0，0，1），B （1，0，1），，…设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），则，，令，得x=z=1，即．…易求平面ABC的一个法向量为．…．所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．…（Ⅰ）（方法一）建系同（II）（方法一），设Q（0，x，0），由（II）知平面ABCD的一个法向量为，；…若BQ与平面ABCD所成的角为，则==sin解得，所以Q（0，，0），，．…（方法二）建系同（II）（方法二），设，则，，由（II）知平面ABCD的一个法向量为．…若BQ与平面ABCD所成的角为，则．解得，则，从而…18．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅰ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+1+a n﹣1=2a n，可得{a n}为等差数列．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1），lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1），作差可得b n=，（n≥2）．c n==，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+1+a n﹣1=2a n，所以{a n}为等差数列．由a6=11，前9项和为81，得a1+5d=11，d=81，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1）…①，lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1）…②①﹣②，得，∴b n=，（n≥2）．b1=3满足上式，因此b n=，（n≥2）．c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=+…++，又2T n=+…+，以上两式作差，得T n=+2﹣，，因此，T n=﹣．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅰ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意，得，然后求解离心率即可．（Ⅰ）由（Ⅰ）得a=2c，则b2=3c2．将代入椭圆方程，解得c=1．求出椭圆方程，直线OM的方程为．当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理求出AB的中点，推出﹣，且m≠0，利用弦长公式以及三角形的面积，推出结果即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，得，…则，结合b2=a2﹣c2，得，即2c2﹣3ac+a2=0，…亦即2e2﹣3e+1=0，结合0＜e＜1，解得．所以椭圆C的离心率为．…（Ⅰ）由（Ⅰ）得a=2c，则b2=3c2．将代入椭圆方程，解得c=1．所以椭圆方程为．…易得直线OM的方程为．当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与联立消y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，所以△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…由，得AB的中点，因为N在直线上，所以，解得k=﹣．…所以△=48（12﹣m2）＞0，得﹣，且m≠0，|AB|=|x2﹣x1|= = =．又原点O到直线l的距离d=，…所以．当且仅当12﹣m2=m2，m=时等号成立，符合﹣，且m≠0．所以△OAB面积的最大值为：．…20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅰ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围判断函数的单调性即可；（Ⅰ）根据函数的极值的个数求出a的范围，求出4f（x1）﹣2f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x2+x﹣lnx，f′（x）=﹣x+1﹣，则f（1）=，f'（1）=﹣1，所以所求切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即2x+2y﹣3=0．（Ⅰ）由f（x）=﹣x2+ax﹣lnx，得f′（x）=﹣x+a﹣=﹣．令g（x）=x2﹣ax+1，则f′（x）=﹣，①当△=a2﹣4＜0，即﹣2＜a＜2时，g（x）＞0恒成立，则f′（x）＜0，所以f）x）在（0，+∞）上是减函数．②当△=0，即a=±2时，g（x）=x2±2x+1=（x±1）2≥0，则f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．③当△=a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2．（i）当a＜﹣2时，g（x）=x2﹣ax+1是开口向上且过点（0，1）的抛物线，对称轴方程为x=（＜﹣1），则g（x）＞0恒成立，从而f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．（ii）当a＞2时，g（x）是开口向上且过点（0，1）的抛物线，对称轴方程为x=（＞1），则函数g（x）有两个零点：，列表如下：x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）减函数极小值增函数极大值减函数综上，当a≤2时，f（x）的减区间是（0，+∞）；当a＞2时，f（x）的增区间是，减区间是，．（Ⅰ）证明：根据（Ⅰ），当a＞2时，f（x）有两个极值点x1，x2，（x1＜x2），则x1，x2是方程g（x）=0的两个根，从而．由韦达定理，得x1x2=1，x1+x2=a．又a﹣2＞0，所以0＜x1＜1＜x2====．令，h（t）=﹣t+3lnt+2，（t＞1），则．当1＜t＜2时，h'（t）＞0；当t＞2时，h′（t）＜0，则h（t）在（1，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数，从而h（t）max=h（2）=3ln2+1，于是4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．4月10日。