海淀区高三年级第二学期期中练习
数学（理科）
2020.04
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合 A = { x x > 1}， B = { x x < m}，且 A U B = R ，那么m的值可以是（ A） - 1（B）0（C）1（D）2
（2）在等比数列{ a n}中，a1= 8，a4= a3a5，则a7 =
（A）1
（B）
1
（C）
1
（D）
1
16842
3
（ 3）在极坐标系中，过点(2,) 且平行于极轴的直线的极坐标方程是
2
（A）sin= - 2（B）cos= - 2
（C）sin= 2（D）cos= 2
（4）已知向量a=(1，x)，b=( - 1，x)，若 2a b 与 b
垂直，则 a
（） 2（）3
A B
（C）2（ D） 4
（ 5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A）4（B）5
（C）6（D）7
（6）从甲、乙等 5 个人中选出 3 人排成一列，则甲不在排头的排法种数是
（A）12（ B） 24
（C）36（ D） 48
开始
n=5， k=0
n为偶数
是否
n
n
n 3n 1 2
k=k+1
否
n=1
是
输出 k
结束
（ 7）已知函数 f ( x)
x 2 ax, x
1,
若 x 1 , x 2 R ,x 1 x 2 ，使得 f ( x 1 )
ax 1, x 1,
实数 a 的取值范围是
（A ） a < 2
（B ） a> 2
（C ） - 2 < a < 2
（D ） a > 2 或 a < - 2
（ 8）在正方体 ABCD - A' B 'C ' D '中，若点 P （异于点 B ）
A
是棱上一点，则满足 BP 与 AC ' 所成的角为 45°的点 P 的个
B
数为
（A ）0
（B ）3 A'
（C ）4
（D ）6
B'
f ( x 2 ) 成立，则
D C
D'
C'
二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分，把答案填在题中横线上 .
（ 9）复数
a+ 2i
在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数 a = .
1- i
（ 10）过双曲线
x 2 -
y 2
= 1的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方
9 16
程是 .
（ 11）若 tan = 1
，则 cos(2 + ) =
.
2
（ 12）设某商品的需求函数为 Q = 100 - 5P ，其中 Q, P 分别表示需求量和价格，如 果商品需求弹性
EQ
大于 1（其中
EQ
= -
Q '
P ， Q ' 是 Q 的导数），则商品价格 P 的
EP
EP
Q
取值范围是 .
（ 13）如图，以 ABC 的边 AB 为直径的半圆交 AC 于点
C D
E
A
F
B
D ，交 BC 于点
E ， E
F ^ AB 于点 F ， AF = 3BF ， BE = 2EC = 2 ，那么DCDE =，CD =.
ì
1,x ? Q,
?
（ 14）已知函数 f (x) = í?则
（ⅰ） f ( f ( x)) =；
（ⅱ）给出下列三个命题：
①函数 f (x)是偶函数；
②存在 x i ? R (i 1,2,3) ，使得以点 (x i , f (x i ))( i = 1,2,3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形；
③存在 x i ? R (i 1,2,3, 4) ，使得以点 ( x i , f ( x i ))( i = 1,2,3, 4) 为顶点的四边形为菱形.其中，所有真命题的序号是.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分 13 分）
在ABC 中，角A，B， C 的对边分别为 a, b, c ，且A，B， C 成等差数列.（Ⅰ）若 b =13 ， a = 3 ，求 c 的值；
（Ⅱ）设 t sin Asin C ，求t的最大值.
P
(16)（本小题满分 14 分）
在四棱锥 P - ABCD 中， AB // CD ，
AB ^ AD ，AB = 4, AD = 22, CD = 2 ，PA^平面
ABCD ， PA = 4 .
（Ⅰ）设平面 PAB I 平面 PCD m ，求证：CD // m；（Ⅱ）求证： BD平面PAC；
A
D
C
B
（Ⅲ）设点 Q 为线段PB上一点，且直线 QC 与平面PAC所成角的正弦值为3
，求3
PQ
的值．
PB
(17)（本小题满分 13 分）
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数
据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100] ，样本数据分组为 [0,20) ， [20,40) ， [40,60) ， [60,80) ， [80,100] .
（Ⅰ）求直方图中x
的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校 600 名新生中有多少名学生可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的新生中任选4 名学生，这4 名学生中上学所需时间少于 20 分钟的人数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望 .（以直方图中新生上学所需时间
频率 /组距
0.025
x
0.0065
0.003
O20 4060 80 100时间
少于20 分钟的频率作为每名学生上学所需时间少
于 20 分钟的概率）
(18) （本小题满分 13 分）
已知函数 f ( x) e kx ( x2x 1 ) ( k 0) .
k
（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数 k ，使得函数 f ( x) 的极大值等于 3e 2？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 .
(19)（本小题满分 13 分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1 ( 1,0) ，
P 为椭圆G的上顶点，且PF1O 45 .
l
y
l2 1
（Ⅰ）求椭圆 G 的标准方程；A D
O x
B
C
