2020年海淀区高三一模数学试卷及答案(理科).docx

2020年北京市海淀区高考数学一模试卷1.在复平面内，复数i(2−i)对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|0<x<3}，A∩B={1}，则集合B可以是()A. {1,2}B. {1,3}C. {0,1,2}D. {1,2,3}3.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√5，则b的值为()A. 1B. 2C. 3D. 44.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是()A. b−a<c+aB. c2<abC. cb >caD. |b|c<|a|c5.在(1x−2x)6的展开式中，常数项为()A. −120B. 120C. −160D. 1606.如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动．当圆M滚动到圆M′时，圆M′与直线l相切于点B，点A运动到点A′，线段AB的长度为3π2，则点M′到直线BA′的距离为()A. 1B. √32C. √22D. 127.已知函数f(x)=|x−m|与函数g(x)的图象关于y轴对称．若g(x)在区间(1,2)内单调递减，则m的取值范围为()A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [−2,+∞)D. (−∞,−2]8.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为()A. √5B. 2√2C. 2√3D. √139.若数列{a n}满足a1=2，则“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.形如22n+1(n是非负整数)的数称为费马数，记为F n.数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是()(参考数据：lg2≈0.3010)A. 9B. 10C. 11D. 1211.已知点P(1,2)在抛物线C：y2=2px上，则抛物线C的准线方程为______．12.在等差数列{a n}中，a1=3，a2+a5=16，则数列{a n}的前4项的和为______．13.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|a⃗−b⃗ |，则(a⃗−12b⃗ )⋅b⃗ =______．14.在△ABC中，AB=4√3，∠B=π4，点D在边BC上，∠ADC=2π3，CD=2，则AD=；△ACD的面积为．15.如图，在等边三角形ABC中，AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P 到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：①函数f(x)的最大值为12；②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；③关于x的方程f(x)=kx+3最多有5个实数根．其中，所有正确结论的序号是______．16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB=BB1=2BC=2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．(Ⅰ)求证：C1B⊥平面ABC；(Ⅱ)求二面角A−BC−E的大小．17.已知函数f(x)=2cos2ω1x+sinω2x.(Ⅰ)求f(0)的值；(Ⅱ)从①ω1=1，ω2=2；②ω1=1，ω2=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在[−π2,π6]上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期．18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位：十亿元)．(Ⅰ)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；(Ⅱ)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．19.已知函数f(x)=e x+ax．(Ⅰ)当a=−1时，①求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；②求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)求证：当a∈(−2,0)时，曲线y=f(x)与y=1−lnx有且只有一个交点．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，A1(−a,0)，A2(a,0)，B(0,b)，△A1BA2的面积为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q.求证：△BPQ为等腰三角形．21.已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N∗，使得a2n−1+a2n=ka n对任意的n∈N∗成立，则称数列{a n}具有性质Ψ(k)．(Ⅰ)分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ(2)；(直接写出结论)①a n=1；②a n=2n．(Ⅱ)若数列{a n}满足a n+1≥a n(n=1,2,3,…)，求证：“数列{a n}具有性质Ψ(2)”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；(Ⅲ)已知数列{a n}中a1=1，且a n+1>a n(n=1,2,3,…).若数列{a n}具有性质Ψ(4)，求数列{a n}的通项公式．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数z=i(2−i)=−i2+2i=1+2i，∴复数对应的点的坐标是(1,2)，这个点在第一象限，故选A．2.【答案】B【解析】解：∵A={x|0<x<3}，A∩B={1}，∴集合B可以是{1,3}．故选：B．根据A={x|0<x<3}，A∩B={1}，即可得出集合B可能的情况．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B=1(b>0)的离心率为√5，【解析】解：双曲线x2−y2b2可得√b2+1=√5，解得b=2，1故选：B．利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．4.【答案】D【解析】解：(法1)根据数轴可得c<b<a<0且|c|>|b|>|a|，对于A：因为c<b，a<0，所以c+a<c，b−a>b，则c+a<c<b−a，即c+a< b−a，故A错误；对于B：因为c<b<a<0，|c|>|b|>|a|，所以c2>b2>a2，且b2>ab，所以c2> b2>ab，则c2>ab，故B错误；对于C：因为b<a<0，所以1b >1a，则cb<ca，故C错误；对于D：因为|b|>|a|，且c<0，所以|b|c<|a|c，故D正确，(法2)不妨令c=−5，b=−4，a=−1，则c+a=−6<b−a=−3，故A错误；c2=25>ab=4，故B错误；cb =54<ca=5，故C错误；故选：D．法1：根据数轴得到c<b<a<0且|c|>|b|>|a|，结合不等式基本性质逐一进行判断即可；法2：用特值法带入验证即可．本题考查不等式的相关应用，考查合情推理，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由题意得：T k+1=(−2)k C6k x2k−6，令2k−6=0得k=3，故常数项为T4=(−2)3C63=−160．故选：C．先求出通项，然后令x的指数为零即可．本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据条件可知圆周长=2π，因为BA =32π=34×2π，故可得A’位置如图：∠A′M′B =90°，则△A′M′B 是等腰直角三角形， 则M′到A′M 的距离d =√22r =√22，故选：C ．根据条件可得圆旋转了34个圆，作图可得到△A′M′B 是等腰直角三角形，进而可求得M′到A′M 的距离．本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=|x −m|与函数g(x)的图象关于y 轴对称．若g(x)在区间(1,2)内单调递减， 则f(x)在区间(−2,−1)上递增，而f(x)=|x −m|={x −m,x ≥m −x +m,x <m ，在区间(m,+∞)上为增函数，则有m ≤−2，即m 的取值范围为(−∞,−2]； 故选：D ．根据题意，分析可得f(x)在区间(−2,−1)上递增，将f(x)写成分段函数的形式，分析可得f(x)在区间(m,+∞)上为增函数，据此可得m 的取值范围．本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体， 如图所示：所以最长的棱长AB =√22+22+22=2√3． 故选：C ．首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”，取p=n，r=1，则a n+1=2a n，∴{a n}为等比数列，充分性成立．若{a n}为等比数列，则a p+r=2×q p+r−1，a p a r=22⋅q p+r−2，只有q=2时才能成立，必要性不成立．∴数列{a n}满足a1=2，则“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的充分不必要条件．故选：A．利用等比数列的定义、通项公式即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式，充分必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力．根据所给定义表示出F5≈109.632×109，进而即可判断出其位数．【解答】解：根据题意，F5=225+1=232+1≈232=10lg232=1032lg2≈1032×0.3010= 109.632=100.632×109，因为1<100.632<10，所以F5的位数是10．故选：B．11.【答案】x=−1【解析】解：把点P(1,2)代入抛物线方程有，4=2p，∴p=2，=−1．∴抛物线的准线方程为x=−p2故答案为：x=−1．把点P的坐标代入抛物线的方程可求得p，而准线方程为x=−p2，从而得解．本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题．12.【答案】24【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=3，a2+a5=16，∴2×3+5d=16，解得d=2．则数列{a n}的前4项的和=4×3+4×32×2=24．故答案为：24．利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】0【解析】解：因为非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|a⃗−b⃗ |，∴a⃗2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2⇒a⃗⋅b⃗ =12b⃗ 2；则(a⃗−12b⃗ )⋅b⃗ =a⃗⋅b⃗ −12b⃗ 2=0．故答案为：0．把所给条件平方整理得到a⃗⋅b⃗ =12b⃗ 2；代入数量积即可求解结论．本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．14.【答案】4√22√6【解析】【分析】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目．先根据正弦定理求得AD，进而求得三角形的面积．【解答】 解：如图：因为在△ABC 中，AB =4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD =2，所以：ADsin∠ABD =ABsin∠ADB ⇒AD =4√3×sinπ4sin π3=4√2；S △ACD =12⋅AD ⋅CD ⋅sin∠ADC =12×4√2×2×sin 2π3=2√6；故答案为：4√2，2√6．15.【答案】①②【解析】解：由题可得函数f(x)={3+(x −3)2,0≤x <63+(x −9)2,6≤x <123+(x −15)2,12≤x ≤18，作出图象如图：则当点P 与△ABC 顶点重合时，即x =0，6，12，18时，f(x)取得最大值12，故①正确； 又f(x)=f(18−x)，所以函数f(x)的对称轴为x =9，故②正确；由图象可得，函数f(x)图象与y =kx +3的交点个数最多为6个，故方程最多有6个实根，故③错误． 故答案为：①②．写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析．本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题．16.【答案】(Ⅰ)证明：因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，C 1B ⊂平面BB 1C 1C 所以AB ⊥C 1B .在△BCC 1中，BC =1，BC 1=√3，CC 1=2，所以BC 2+BC 12=CC 12． 所以CB ⊥C 1B .因为AB ∩BC =B ，AB ，BC ⊂平面ABC ， 所以C 1B ⊥平面ABC ．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，AB ⊥C 1B ，BC ⊥C 1B ，AB ⊥BC ， 如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B −xyz ．则B(0,0,0)，E(−12,√3,1)，C(1,0,0)．BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√3,1)． 设平面BCE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即{x =0,−12x +√3y +z =0. 令y =√3则x =0，z =−3， 所以n ⃗ =(0,√3,−3)．又因为平面ABC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 所以cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12． 由题知二面角A −BC −E 为锐角，所以其大小为π3．【解析】(Ⅰ)证明AB ⊥C 1B .CB ⊥C 1B .利用直线与平面垂直的判断定理证明C 1B ⊥平面ABC ．(Ⅱ)以B 为原点建立空间直角坐标系B −xyz.求出平面BCE 的法向量，平面ABC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可，本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由函数f(x)=2cos 2ω1x +sinω2x ，则f(0)=2cos 20+sin0=2；(Ⅱ)选择条件①，则f(x)的一个周期为π；由f(x)=2cos 2x +sin2x=(cos2x +1)+sin2x =√2(√22sin2x +√22cos2x)+1 =√2sin(2x +π4)+1；因为x ∈[−π2,π6]，所以2x +π4∈[−3π4,7π12]；所以−1≤sin(2x +π4)≤1， 所以1−√2≤f(x)≤1+√2； 当2x +π4=−π2，即x =−3π8时，f(x)在[−π2,π6]取得最小值为1−√2． 选择条件②，则f(x)的一个周期为2π； 由f(x)=2cos 2x +sinx=2(1−sin 2x)+sinx=−2(sinx −14)2+178；因为x ∈[−π2,π6]，所以sinx ∈[−1,12]；所以当sinx =−1，即x =−π2时，f(x)在[−π2,π6]取得最小值为−1．【解析】(Ⅰ)由函数f(x)的解析式求出f(0)的值； (Ⅱ)选择条件①时f(x)的一个周期为π，利用三角恒等变换化简f(x)，再求f(x)在[−π2,π6]的最小值． 选择条件②时f(x)的一个周期为2π，化简f(x)，利用三角函数的性质求出f(x)在[−π2,π6]的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)设事件A 为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年， 所以P(A)=910．(Ⅱ)由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X 的所有可能取值为0，1，2．且P(X =0)=C 52C 102=29；P(X =1)=C 51C 51C 102=59；P(X =2)=C 52C 102=29．所以X 的分布列为：故X 的期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1．(Ⅲ)从两个方面可以看出，该公式是比较重视研发的：一、从2010年至2019年，每年的研发投入是逐年增加的(2018年除外)，并且增加的幅度总体上逐渐加大；二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽然2015年往后有些波动，但是总体占比还是较高的．【解析】(Ⅰ)按照古典概型概率计算公式计算即可；(Ⅱ)显然这是一个超几何分布，按照超几何分布的概率计算方法，分别算出随机变量X 取0，1，2时的概率，然后画出分布列，即可求期望；(Ⅲ)结合折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可． 本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法，注意对题意的理解需到位、准确．同时考查学生的数学建模的素养，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)①当a =−1时，f(x)=e x −x ，则 f′(x)=e x −1．所以f′(0)=0． 又f(0)=1，所以曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =1； ②令f′(x)=0，得x =0，此时f′(x)，f(x)随x 的变化如下：可知f(x)min =f(0)=1，函数f(x)的最小值为1． (Ⅱ)证明：由题意可知，x ∈(0,+∞)，令g(x)=e x +ax +lnx −1，则g′(x)=e x +1x +a ， 由(Ⅰ)中可知e x −x ≥1，故 e x ≥1+x ，因为a ∈(−2,0)，则g′(x)=e x +1x+a ≥(x +1)+1x+a ≥2√x ⋅1x+a +1=3+a >0，所以函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增， 因为g(1e)=e 1e +ae−2<e 12−2<0，又因为g(e)=e e +ae >e 2−2e >0， 所以g(x)有唯一的一个零点．即函数y =f(x)与y =1−lnx 有且只有一个交点．【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，函数的零点等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．(Ⅰ)①将a =−1代入，求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即得解； ②求出函数函数f(x)的单调性情况，进而得出最值；(Ⅱ)即证函数g(x)=e x +ax +lnx −1仅有一个零点，利用导数可知函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，结合零点存在性定理即得证．20.【答案】解：(Ⅰ)由题{ca=√32,ab =2,a 2=b 2+c 2.解得{a =2,b =1.所以椭圆方程为x 24+y 2=1．( II)解法1证明：设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1 由{y =k(x −2),y =12x +1.解得点P(4k+22k−1,4k 2k−1)． 由{y =k(x −2),x 24+y 2=1.得(4k +1)x 2−16k 2x +16k 2−4=0， 则2x M =16k 2−44k 2+1．所以x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k4k 2+1．即M(8k 2−24k 2+1,−4k4k 2+1)．k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k ．于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)，直线A 2B 的方程为y =−12x +1．由{y =−14k (x +2)y =−12x +1解得点Q(4k+22k−1,−22k−1)． 于是x P =x Q ，所以PQ ⊥x 轴． 设PQ 中点为N ，则N 点的纵坐标为4k 2k−1+−22k−12=1．故PQ 中点在定直线y =1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|， 所以△BPQ 为等腰三角形． 解法2证明：设M(x 0,y 0)(x 0≠±2,y 0≠±1)则x 02+4y 02=4． 直线A 2M 方程为y =yx 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1．由{y =y0x 0−2(x −2),y =12x +1.解得点P(2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2,4y 02y0−x 0+2)．直线A 1M 方程为y =yx 0+2(x +2)，直线A 2B 方程为y =−12x +1．由{y =yx 0+2(x +2),y =−12x +1.解得点Q(2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2,4y 02y0+x 0+2)．x P −x Q =2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2−2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2=2(x 0+2y 0−2)(2y 0+x 0+2)−2(x 0−2y 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=2[(x 0+2y 0)2−4)−(4−(x 0−2y 0)2](2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=0．于是x P =x Q ，所以PQ ⊥x 轴．y P +y Q =4y 02y0−x 0+2+4y 02y 0+x 0+2=4y 0(4y 0+4)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=4y 0(4y 0+4)(2y 0+2)2−x 02=2．故PQ 中点在定直线y =1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|， 所以△BPQ 为等腰三角形．【解析】(Ⅰ)由题{ca=√32,ab =2,a 2=b 2+c 2.，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．(II)解法1，设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1，通过联立直线与椭圆方程组，求出M 坐标，Q 坐标，推出|BP|=|BQ|，即可证明△BPQ 为等腰三角形．(x−2)，解法2，设M(x0,y0)(x0≠±2,y0≠±1)则x02+4y02=4.直线A2M方程为y=y0x0−2x+1.通过联立直线与椭圆方程组，求出P，Q坐标，转化推出|BP|=直线A1B方程为y=12|BQ|，得到△BPQ为等腰三角形．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】解：(Ⅰ)①数列{a n}具有“性质Ψ(2)”；②数列{a n}不具有“性质Ψ(2)”．(Ⅱ)证明：先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ(2)”时，有a2n−1+a2n=2a n，又因为a n+1≥a n，所以0≤a2n−a n=a n−a2n−1≤0，进而有a n=a2n结合a n+1≥a n有a n=a n+1=⋯=a2n，即“数列{a n}为常数列”；再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，则有a2n−1+a2n=2a1=2a n，即“数列{a n}具有“性质Ψ(2)”．(Ⅲ)首先证明：a n+1−a n≥2．因为{a n}具有“性质Ψ(4)”，所以a2n−1+a2n=4a n．当n=1时，有a2=3a1=3．又因为a2n−1,a2n,a n∈N∗，且a2n>a2n−1，所以有a2n≥2a n+1，a2n−1≤2a n−1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1−1≤2a n+1−2，所以2(a n+1−a n)≥3，结合a n+1,a n∈N∗可得：a n+1−a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1−a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N∗满足：a2k+1−a2k≥3或a2k+2−a2k+1≥3，进而有4(a k+1−a k)=(a2k+2+a2k+1)−(a2k+a2k−1)=(a2k+2−a2k)+(a2k+1−a2k−1)=[(a2k+2−a2k+1)+(a2k+1−a2k)]+[(a2k+1−a2k)+(a2k−a2k−1)]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，所以a k+1−a k≥3依此类推可得：a2−a1≥3，矛盾，所以有a n+1−a n≤2．综上有：a n+1−a n=2，结合a1=1可得a n=2n−1，经验证，该通项公式满足a2n−1+a2n=4a n，所以：a n=2n−1．【解析】(Ⅰ)①②利用已知条件及其定义解验证判断出结论．(Ⅱ)先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ(2)”时，有a2n−1+a2n=2a n，根据a n+1≥a n，可得0≤a2n−a n=a n−a2n−1≤0，进而有a n=a2n，结合a n+1≥a n即可证明结论．再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，容易验证a2n−1+a2n=2a1= 2a n，即可证明．(Ⅲ)首先证明：a n+1−a n≥2.根据{a n}具有“性质Ψ(4)”，可得a2n−1+a2n=4a n.当n=1时，有a2=3a1=3.由a2n−1,a2n,a n∈N∗，且a2n>a2n−1，可得a2n≥2a n+1，a2n−1≤2a n−1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1−1≤2a n+1−2，可得2(a n+1−a n)≥3，可得：a n+1−a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1−a n≤2.假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N∗满足：a2k+1−a2k≥3或a2k+2−a2k+1≥3，进而有4(a k+1−a k)=(a2k+2+ a2k+1)−(a2k+a2k−1)=[(a2k+2−a2k+1)+(a2k+1−a2k)]+[(a2k+1−a2k)+(a2k−a2k−1)]≥12.又因为a k+1−a k∈N∗，可得a k+1−a k≥3，依此类推可得：a2−a1≥3，矛盾．综上有：a n+1−a n=2，结合a1=1可得a n=2n−1，本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2020年北京市海淀区高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．在复平面内，复数i （2﹣i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}，则集合B 可以是（ ） A ．{1，2} B ．{1，3} C ．{0，1，2} D ．{1，2，3}3．已知双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．c b＞caD ．|b |c ＜|a |c5．在（1x−2x ）6的展开式中，常数项为（ ）A ．﹣120B ．120C ．﹣160D ．1606．如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为（ ）A ．1B ．√32C ．√22D ．127．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）A ．√5B ．2√2C ．2√3D ．√139．若数列{a n }满足a 1＝2，则“∀p ，r ∈N *，a p +r ＝a p a r ”是“{a n }为等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．形如22n+1（n 是非负整数）的数称为费马数，记为F n ．数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，那么F 5的位数是（ ）（参考数据：lg 2≈0.3010） A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知点P （1，2）在抛物线C ：y 2＝2px 上，则抛物线C 的准线方程为 ． 12．在等差数列{a n }中，a 1＝3，a 2+a 5＝16，则数列{a n }的前4项的和为 ．13．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，则（a →−12b →）•b →= ．14．在△ABC 中，AB ＝4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD ＝2，则AD ＝ ；△ACD 的面积为 ．15．如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝6．动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f （x ），给出下列三个结论：①函数f （x ）的最大值为12；②函数f （x ）的图象的对称轴方程为x ＝9； ③关于x 的方程f （x ）＝kx +3最多有5个实数根． 其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣E的大小．17．已知函数f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f（x）在[−π2，π6]上的最小值，并直接写出函数f（x）的一个周期．18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．19．已知函数f（x）＝e x+ax．（Ⅰ）当a＝﹣1时，①求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；②求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：当a∈（﹣2，0）时，曲线y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．20．已知椭圆C：x2a+y2b=1（a＞b＞0）的离心率为√32，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（0，b），△A1BA2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q．求证：△BPQ为等腰三角形．21．已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N*，使得a2n﹣1+a2n＝ka n对任意的n∈N*成立，则称数列{a n}具有性质Ψ（k）．（Ⅰ）分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）①a n＝1；②a n＝2n．（Ⅱ）若数列{a n}满足a n+1≥a n（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}具有性质Ψ（2）”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{a n}中a1＝1，且a n+1＞a n（n＝1，2，3，…）．若数列{a n}具有性质Ψ（4），求数列{a n}的通项公式．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数i （2﹣i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限． 解：∵复数z ＝i （2﹣i ）＝﹣i 2+2i ＝1+2i ∴复数对应的点的坐标是（1，2） 这个点在第一象限， 故选：A ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．2．已知集合A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}，则集合B 可以是（ ） A ．{1，2}B ．{1，3}C ．{0，1，2}D ．{1，2，3}【分析】根据A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}，即可得出集合B 可能的情况． 解：∵A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}， ∴集合B 可以是{1，3}． 故选：B ．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 3．已知双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b 即可． 解：双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，可得√b 2+11=√5，解得b ＝2，故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．4．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．cb＞caD ．|b |c ＜|a |c【分析】法1：根据数轴得到c ＜b ＜a ＜0且|c |＞|b |＞|a |，结合不等式基本性质逐一进行判断即可；法2：用特值法带入验证即可．解：（法1）根据数轴可得c ＜b ＜a ＜0且|c |＞|b |＞|a |，对于A ：因为c ＜b ，a ＜0，所以c +a ＜c ，b ﹣a ＞b ，则c +a ＜c ＜b ﹣a ，即c +a ＜b ﹣a ，故A 错误；对于B ：因为c ＜b ＜a ＜0，|c |＞|b |＞|a |，所以c 2＞b 2＞a 2，且b 2＞ab ，所以c 2＞b 2＞ab ，则c 2＞ab ，故B 错误；对于C ：因为b ＜a ＜0，所以1b＞1a，则cb＜ca，故C 错误；对于D ：因为|b |＞|a |，且c ＜0，所以|b |c ＜|a |c ，故D 正确， （法2）不妨令c ＝﹣5，b ＝﹣4，a ＝﹣1，则c +a ＝﹣6＜b ﹣a ＝﹣3，故A 错误；c 2＝25＞ab ＝4，故B 错误；cb =54＜c a=5，故C错误； 故选：D ．【点评】本题考查不等式的相关应用，考查合情推理，属于中档题． 5．在（1x −2x ）6的展开式中，常数项为（ ）A ．﹣120B ．120C ．﹣160D ．160【分析】先求出通项，然后令x 的指数为零即可．解：由题意得：T k+1=(−2)k C 6k x2k ﹣6， 令2k ﹣6＝0得k ＝3，故常数项为T 4=(−2)3C 63=−160． 故选：C ．【点评】本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题． 6．如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为（ ）A ．1B ．√32C ．√22D ．12【分析】根据条件可得圆旋转了34个圆，作图可得到△A 'M 'B 是等腰直角三角形，进而可求得M '到A 'M 的距离．解：根据条件可知圆周长＝2π，因为BA =32π=34×2π，故可得A ’位置如图：∠A 'M 'B ＝90°，则△A 'M 'B 是等腰直角三角形，则M '到A 'M 的距离d =√22r =√22，故选：C ．【点评】本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题．7．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]【分析】根据题意，分析可得f （x ）在区间（﹣2，﹣1）上递增，将f （x ）写成分段函数的形式，分析可得f （x ）在区间（m ，+∞）上为增函数，据此可得m 的取值范围． 解：根据题意，函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则f （x ）在区间（﹣2，﹣1）上递增，而f （x ）＝|x ﹣m |={x −m ，x ≥m−x +m ，x ＜m ，在区间（m ，+∞）上为增函数，则有m ≤﹣2，即m 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； 故选：D ．【点评】本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（）A．√5B．2√2C．2√3D．√13【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长．解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以最长的棱长AB=√22+22+22=2√3．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．若数列{a n}满足a1＝2，则“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”是“{a n}为等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论．解：“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”，取p＝n，r＝1，则a n+1＝2a n，∴{a n}为等比数列．反之不成立．{a n}为等比数列，则a p+r＝2×q p+r﹣1，a p a r＝22•q p+r﹣2，只有q＝2时才能成立．∴数列{a n}满足a1＝2，则“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”是“{a n}为等比数列”的充分不必要条件．．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．形如22n+1（n是非负整数）的数称为费马数，记为F n．数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是（）（参考数据：lg2≈0.3010）A．9B．10C．11D．12【分析】根据所给定义表示出F5＝109.632×109，进而即可判断出其位数．解：根据题意，F5=225+1＝232+1≈232=10lg232=1032lg2≈1032×0.3010＝109.632＝100.632×109，因为1＜100.632＜10，所以F5的位数是10．故选：B．【点评】本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，则抛物线C的准线方程为x＝﹣1．【分析】把点P的坐标代入抛物线的方程可求得p，而准线方程为x=−p2，从而得解．解：把点P（1，2）代入抛物线方程有，4＝2p，∴p＝2，∴抛物线的准线方程为x=−p2=−1．故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题．12．在等差数列{a n}中，a1＝3，a2+a5＝16，则数列{a n}的前4项的和为24．【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝3，a2+a5＝16，∴2×3+5d＝16，解得d＝2．则数列{a n}的前4项的和＝4×3+4×32×2＝24．故答案为：24．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，则（a →−12b →）•b →= 0 ．【分析】把所给条件平方整理得到a →•b →=12b →2；代入数量积即可求解结论．解：因为非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，∴a →2=a →2−2a →•b →+b →2⇒a →•b →=12b →2；则（a →−12b →）•b →=a →⋅b →−12b →2=0． 故答案为：0．【点评】本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．14．在△ABC 中，AB ＝4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD ＝2，则AD ＝ 4√2 ；△ACD 的面积为 2√6 ．【分析】先根据正弦定理求得AD ，进而求得三角形的面积． 解：如图；因为在△ABC 中，AB ＝4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD ＝2， 所以：ADsin∠ABD =ABsin∠ADB⇒AD =4√3×sin π4sin π3=4√2； S △ACD =12•AD •CD •sin ∠ADC =12×4√2×2×sin 2π3=2√6； 故答案为：4√2，2√6．【点评】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目．15．如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝6．动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f （x ），给出下列三个结论：①函数f （x ）的最大值为12；②函数f （x ）的图象的对称轴方程为x ＝9； ③关于x 的方程f （x ）＝kx +3最多有5个实数根． 其中，所有正确结论的序号是 ①② ．【分析】写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析解：由题可得函数f （x ）={3+(x −3)2，0≤x ＜63+(x −9)2，6≤x ＜123+(x −15)2，12≤x ≤18，作出图象如图：则当点P 与△ABC 顶点重合时，即x ＝0，6，12，18时，f （x ）取得最大值12，故①正确；又f （x ）＝f （18﹣x ），所以函数f （x ）的对称轴为x ＝9，故②正确；由图象可得，函数f （x ）图象与y ＝kx +3的交点个数为6个，故方程有6个实根，故③错误．故答案为：①②．【点评】本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，AB ＝BB 1＝2BC ＝2，BC 1=√3，点E 为A 1C 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A ﹣BC ﹣E 的大小．【分析】（Ⅰ）证明AB ⊥C 1B ．CB ⊥C 1B ．利用直线与平面垂直的判断定理证明C 1B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）以B 为原点建立空间直角坐标系B ﹣xyz ．求出平面BCE 的法向量，平面ABC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可， 【解答】（Ⅰ）证明：因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，C 1B ⊂平面BB 1C 1C 所以AB ⊥C 1B ．在△BCC 1中，BC ＝1，BC 1=√3，CC 1＝2，所以BC 2+BC 12=CC 12．所以CB ⊥C 1B ．因为AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABC ， 所以C 1B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB ⊥C 1B ，BC ⊥C 1B ，AB ⊥BC ， 如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B ﹣xyz ．则B （0，0，0），E(−12，√3，1)，C （1，0，0）.BC →=(1，0，0)，BE →=(−12，√3，1)． 设平面BCE 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅BC →=0n →⋅BE →=0， 即{x =0，−12x +√3y +z =0. 令y =√3则x ＝0，z ＝﹣3， 所以n →=(0，√3，−3)．又因为平面ABC 的法向量为m →=（0，1，0），所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12．由题知二面角A ﹣BC ﹣E 为锐角，所以其大小为π3．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题． 17．已知函数f （x ）＝2cos 2ω1x +sin ω2x ． （Ⅰ）求f （0）的值；（Ⅱ）从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f （x ）在[−π2，π6]上的最小值，并直接写出函数f （x ）的一个周期．【分析】（Ⅰ）由函数f （x ）的解析式求出f （0）的值； （Ⅱ）选择条件①时f （x ）的一个周期为π，利用三角恒等变换化简f （x ），再求f （x ）在[−π2，π6]的最小值． 选择条件②时f （x ）的一个周期为2π，化简f （x ），利用三角函数的性质求出f （x ）在[−π2，π6]的最小值． 解：（Ⅰ）由函数f （x ）＝2cos 2ω1x +sin ω2x ， 则f （0）＝2cos 20+sin0＝2；（Ⅱ）选择条件①，则f （x ）的一个周期为π； 由f （x ）＝2cos 2x +sin2x ＝（cos2x +1）+sin2x=√2(√22sin2x +√22cos2x)+1=√2sin(2x +π4)+1；因为x ∈[−π2，π6]，所以2x +π4∈[−3π4，7π12]；所以−1≤sin(2x+π4)≤1，所以1−√2≤f(x)≤1+√2；当2x+π4=−π2，即x=−3π8时，f（x）在[−π2，π6]取得最小值为1−√2．选择条件②，则f（x）的一个周期为2π；由f（x）＝2cos2x+sin x＝2（1﹣sin2x）+sin x=−2(sinx−14)2+178；因为x∈[−π2，π6]，所以sinx∈[−1，12]；所以当sin x＝﹣1，即x=−π2时，f（x）在[−π2，π6]取得最小值为﹣1．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题．18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．【分析】（Ⅰ）按照古典概型概率计算公式计算即可；（Ⅱ）显然这是一个超几何分布，按照超几何分布的概率计算方法，分别算出随机变量X取0，1，2时的概率，然后画出分布列，即可求期望；（Ⅲ）结合折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可．解：（Ⅰ）设事件A为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，所以P(A)=9 10．（Ⅱ）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X 的所有可能取值为0，1，2．且P(X=0)=C52C102=29；P(X=1)=C51C51C102=59；P(X=2)=C52C102=29．所以X的分布列为：X012P295929故X的期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1．（Ⅲ）从两个方面可以看出，该公式是比较重视研发的：一、从2010年至2019年，每年的研发投入是逐年增加的（2018年除外），并且增加的幅度总体上逐渐加大；二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽然2015年往后有些波动，但是总体占比还是较高的．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法，注意对题意的理解需到位、准确．同时考查学生的数学建模的素养，属于中档题．19．已知函数f（x）＝e x+ax．（Ⅰ）当a＝﹣1时，①求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；②求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：当a∈（﹣2，0）时，曲线y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．【分析】（Ⅰ）①将a＝﹣1带入，求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即得解；②求出函数函数f（x）的单调性情况，进而得出最值；（Ⅱ）即证函数g（x）＝e x+ax+lnx﹣1仅有一个零点，利用导数可知函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，结合零点存在性定理即得证．解：（Ⅰ）①当a＝﹣1时，f（x）＝e x﹣x，则f'（x）＝e x﹣1．所以f'（0）＝0．又f（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；②令f'（x）＝0，得x＝0，此时f'（x），f（x）随x的变化如下：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗可知f（x）min＝f（0）＝1，函数f（x）的最小值为1．（Ⅱ）证明：由题意可知，x∈（0，+∞），令g（x）＝e x+ax+lnx﹣1，则g′(x)=e x+1x+a，由（Ⅰ）中可知e x﹣x≥1，故e x≥1+x，因为a∈（﹣2，0），则g′(x)=e x+1x+a≥(x+1)+1x+a≥2√x⋅1x+a+1=3+a＞0，所以函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，因为g(1e )=e1e+ae−2＜e12−2＜0，又因为g（e）＝e e+ae＞e2﹣2e＞0，所以g（x）有唯一的一个零点．即函数y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．【点评】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，函数的零点等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题． 20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），B（0，b ），△A 1BA 2的面积为2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线A 1B 与直线A 2M 交于点P ，直线A 1M 与直线A 2B 交于点Q ．求证：△BPQ 为等腰三角形． 【分析】（Ⅰ）由题{ ca =√32，ab =2，a 2=b 2+c 2.，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．（ II ）解法1，设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1，通过联立直线与椭圆方程组，求出M 坐标，Q 坐标，推出|BP |＝|BQ |，即可证明△BPQ 为等腰三角形．解法2，设M （x 0，y 0）（x 0≠±2，y 0≠±1）则x 02+4y 02=4．直线A 2M 方程为y =y0x 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1．通过联立直线与椭圆方程组，求出P ，Q 坐标，转化推出|BP |＝|BQ |，得到△BPQ 为等腰三角形． 解：（Ⅰ）由题{ ca =√32，ab =2，a 2=b 2+c 2. 解得{a =2，b =1.所以椭圆方程为x 24+y 2=1．（ II ）解法1证明：设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1 由{y =k(x −2)，y =12x +1.解得点P(4k+22k−1，4k 2k−1)． 由{y =k(x −2)，x 24+y 2=1.得（4k +1）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣4＝0，则2x M =16k 2−44k 2+1．所以x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k4k 2+1．即M(8k 2−24k 2+1，−4k 4k 2+1).k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k ．于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)，直线A 2B 的方程为y =−12x +1． 由{y =−14k (x +2)y =−12x +1解得点Q(4k+22k−1，−22k−1)． 于是x P ＝x Q ，所以PQ ⊥x 轴． 设PQ 中点为N ，则N点的纵坐标为4k 2k−1+−22k−12=1．故PQ 中点在定直线y ＝1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP |＝|BQ |， 所以△BPQ 为等腰三角形． 解法2证明：设M （x 0，y 0）（x 0≠±2，y 0≠±1）则x 02+4y 02=4．直线A 2M 方程为y =yx 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1．由{y =y0x 0−2(x −2)，y =12x +1.解得点P(2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2，4y2y 0−x 0+2)． 直线A 1M 方程为y =yx 0+2(x +2)，直线A 2B 方程为y =−12x +1． 由{y =yx 0+2(x +2)，y =−12x +1.解得点Q(2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2，4y02y 0+x 0+2).x P −x Q =2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2−2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2=2(x 0+2y 0−2)(2y 0+x 0+2)−2(x 0−2y 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=2[(x 0+2y 0)2−4)−(4−(x 0−2y 0)2](2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=0．于是x P ＝x Q ，所以PQ ⊥x轴.y P +y Q =4y 02y 0−x 0+2+4y2y 0+x 0+2=4y0(4y0+4)(2y0−x0+2)(2y0+x0+2)=4y0(4y0+4)(2y0+2)2−x02=2．故PQ中点在定直线y＝1上．从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以|BP|＝|BQ|，所以△BPQ为等腰三角形．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21．已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈一、选择题*，使得a2n﹣1+a2n ＝ka n对任意的n∈N*成立，则称数列{a n}具有性质Ψ（k）．（Ⅰ）分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）①a n＝1；②a n＝2n．（Ⅱ）若数列{a n}满足a n+1≥a n（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}具有性质Ψ（2）”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{a n}中a1＝1，且a n+1＞a n（n＝1，2，3，…）．若数列{a n}具有性质Ψ（4），求数列{a n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）①②利用已知条件及其定义解验证判断出结论．（Ⅱ）先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2a n，根据a n+1≥a n，可得0≤a2n﹣a n＝a n﹣a2n﹣1≤0，进而有a n＝a2n，结合a n+1≥a n即可证明结论．再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，容易验证a2n﹣1+a2n＝2a1＝2a n，即可证明．（Ⅲ）首先证明：a n+1﹣a n≥2．根据{a n}具有“性质Ψ（4）”，可得a2n﹣1+a2n＝4a n．当n＝1时，有a2＝3a1＝3．由a2n−1，a2n，a n∈N∗，且a2n＞a2n﹣1，可得a2n≥2a n+1，a2n ﹣1≤2a n﹣1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2a n+1﹣2，可得2（a n+1﹣a n）≥3，可得：a n+1﹣a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1﹣a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，进而有4（a k+1﹣a k）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k ﹣1）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，可得a k+1﹣a k≥3，依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾．综上有：a n+1﹣a n＝2，结合a1＝1可得a n＝2n﹣1，解：（Ⅰ）①数列{a n}具有“性质Ψ（2）”；②数列{a n}不具有“性质Ψ（2）”．（Ⅱ）证明：先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2a n，又因为a n+1≥a n，所以0≤a2n﹣a n＝a n﹣a2n﹣1≤0，进而有a n＝a2n结合a n+1≥a n有a n＝a n+1＝…＝a2n，即“数列{a n}为常数列”；再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，则有a2n﹣1+a2n＝2a1＝2a n，即“数列{a n}具有“性质Ψ（2）”．（Ⅲ）首先证明：a n+1﹣a n≥2．因为{a n}具有“性质Ψ（4）”，所以a2n﹣1+a2n＝4a n．当n＝1时，有a2＝3a1＝3．又因为a2n−1，a2n，a n∈N∗，且a2n＞a2n﹣1，所以有a2n≥2a n+1，a2n﹣1≤2a n﹣1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2a n+1﹣2，所以2（a n+1﹣a n）≥3，结合a n+1，a n∈N∗可得：a n+1﹣a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1﹣a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，进而有4（a k+1﹣a k）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k﹣1）＝（a2k+2﹣a2k）+（a2k+1﹣a2k﹣1）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，所以a k+1﹣a k≥3依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾，所以有a n+1﹣a n≤2．综上有：a n+1﹣a n＝2，结合a1＝1可得a n＝2n﹣1，经验证，该通项公式满足a2n﹣1+a2n＝4a n，所以：a n＝2n﹣1．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

********************************************************* **********************海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案2020.春1. A2. B3. B4. D5. C6. C7. D8. C9. A 10. B二、填空题:本大题共5小题, 每小题5分，共25分.11. x = -\12. 24：13. 0；一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.14. 4^2; 2^6；15. (1) (2)三、解答题：本大题共6小题，共85分.16.(共14 分)(1).AB丄平面88CCC】Bu平面BB.C.C ,AB 1 C\B又4BC _ &BG为三棱柱AB = BB、= 2BC = 2 " -----------------BB]=2 = CC[,BC = 1BC\=8 E.•.在A5CG中，SC2 + C,52 = CC,2B:.C}B 1BC•; BCn」B = B y圣BC c WiABC,AB c \^ABC ./C X B1 平面"C⑵C X B丄平面如C:.QB1BC又v AB丄平面B8CCAB LBC, AB LBC,•••以8为空间直角坐标系原点，昭为x轴，BQ為轴，时为:轴建系如图8(0,0,0), C(l,0,0),C,(0,也0), E( - }右,1)而=(—?M,1)网= (1,0,0)设平面BCB^］法向量为〃 =(x, y,z).・.n丄BE.n丄BC n • BE=0,n BC=0******************x + >/3y + z = 0x = 0/. x = 0令= 则:=-3 H =(0,A/3,-3)BC,丄平^ABC17.(共14 分) 解：(I) /(O) = 2 cos 0 + sin 0 = 2 ；(II)当取①口1 =1,勿2 = 2时f(x)-2 cos2 x + sin 2x =sin2x + cos2x + l = V2sin(2x + ^-)+l,••当2当=号时，即一等/(叽宀(-等)=7T = 7V当取②＜y, = L 口2=1时，/(x) = 2 cos2 x + sin x = —2 sin2 x + sin x + 2。

2020年北京市海淀区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知复数z=−1+i，z是z的共轭复数，在复平面内，z所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|x2−4x<0}，B={−1,3，7}，则A∩B=()A. {−1}B. {3}C. {3,7}D. {−1,7}3.若a>1，则双曲线x2−y2=1的离心率的取值范围是()a2A. (√2,+∞)B. (√2,2)C. (1,√2)D. (1,2)4.下列叙述正确的是()A. 若|a|=a，则a>0B. 若a≠b，则|a|≠|b|C. 若|a|=|b|，则a=bD. 若a=−b，则|a|=|b|+1)5展开式中的常数项为()5.(x−1xA. 1B. 11C. −19D. 516.A为圆O：x2+y2=1上的点，B为直线l：x+y−2=0上的点，则线段AB长度的最小值为()A. √2B. 2C. √2−1D. 17.若函数f(x)=log2(x2−2ax+3)在区间(−∞,1]内单调递减，则a的取值范围是()A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. [1,2)D. [1,2]8.某多面体的三视图如图所示，则该多面体中的最长棱的棱长为()A. 2B. 2√2C. √5D. 39.已知数列{a n}为等比数列，则“a1<a2<a3”是“数列{a n}单调递增”的A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林⋅梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p−1(p是质数)”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22−1=3，23−1=7，25−1=31，27−1=127，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数．已知第10个梅森数为289−1，则第10个梅森数的位数为(参考数据：lg2≈0.301)()A. 25B. 29C. 27D. 28二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知抛物线y2=−2px过点M(−2,2)，则p=____，准线方程是____.12.在等差数列{a n}中，a3+a5+2a10=4，则此数列的前13项的和等于______ ．13.已知向量a⃗=(−2,1),b⃗ =(1,0)，则|2a⃗−3b⃗ |=______ ．14.已知，在△ABC中B=π，b=2，S▵ABC的最大值为________．315.若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)且x∈[−1,1]时，f(x)=|x|，则方程f(x)=log3|x|的根的个数是_______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，且AB⊥AC．(1)求证：AC⊥BB1；(2)若AB=AC=A1B=2，M为B1C1的中点，求二面角M−AB−A1的余弦值．17.已知函数f(x)=2√3sinxcosx+2cos2x−1(x∈R)]上的最大值和最小值；(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0,π2(Ⅱ)若f(x0)=65，x0∈[π4,π2]，求cos2x0的值．18.面对美国的科技打压，《人民日报》评论指出：与其坐而“联想”，不如奋起“华为”。

是否n =n +1开 始n =1n >9结束输出S输入11主视图1俯视图2海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 函数()f x =A.[0,)+∞B.[1,)+∞C.(,0]-∞D.(,1]-∞2. 某程序的框图如图所示，若输入的i z =（其中i 为虚数单位），则输出 的S 值为A.1-B.1C.i -D.i3. 若,x y 满足 +20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则12z x y=+的最大值为A.52B.3C.72D.44. 某三棱椎的三视图如图所示，则其体积为 C. D.5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在极坐标系中，圆1:2cos C ρθ=与圆2:2sin C ρθ=相交于,A B 两点， 则AB = A.1 D.27. 已知函数sin(),0,()cos(), 0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能．．成立的是 A. ππ,44a b ==- B. 2ππ,36a b == C. ππ,36a b == D. 5π2π,63a b ==8. 某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如右表所示. 若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确．．的是 A. 甲只能承担第四项工作 B. 乙不能承担第二项工作 C. 丙可以不承担第三项工作 D. 丁可以承担第三项工作二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知向量(1,),(,9),t t ==a b 若a b P ，则__.t = 10. 在等比数列{}n a 中，22a =，且131154a a +=，则13a a +的值为___. 11. 在三个数1231, 2, log 22-中，最小的数是__.12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线l 的倾斜角为π3，则C 的离心率为__;若C 的一个焦点到l 的距离为2,则C 的方程为__.13. 如图,在 在三角形三条边上的6个不同的圆内填上数字1,2,3其中的一个.(i) 当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有___种； (ii) 当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有__种.14. 已知函数()f x ，对于给定的实数t ，若存在0,0a b >>，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得 |()()|2f x f t -≤，则记a b +的最大值为()H t . （i ） 当()2f x x =时，(0)H =___；（ii ）当2()f x x =且[1,2]t ∈时，函数()H t 的值域为___.DABC三、解答题共6小题，共80分。

2020年北京市海淀区高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．在复平面内，复数i （2﹣i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}，则集合B 可以是（ ） A ．{1，2} B ．{1，3}C ．{0，1，2}D ．{1，2，3}3．已知双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．cb＞caD ．|b |c ＜|a |c5．在（1x−2x ）6的展开式中，常数项为（ ）A ．﹣120B ．120C ．﹣160D ．1606．如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为（ ）A ．1B ．√32C ．√22D ．127．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）A ．√5B ．2√2C ．2√3D ．√139．若数列{a n }满足a 1＝2，则“∀p ，r ∈N *，a p +r ＝a p a r ”是“{a n }为等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．形如22n+1（n 是非负整数）的数称为费马数，记为F n ．数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，那么F 5的位数是（ ）（参考数据：lg 2≈0.3010） A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知点P （1，2）在抛物线C ：y 2＝2px 上，则抛物线C 的准线方程为 ． 12．在等差数列{a n }中，a 1＝3，a 2+a 5＝16，则数列{a n }的前4项的和为 ．13．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，则（a →−12b →）•b →= ．14．在△ABC 中，AB ＝4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD ＝2，则AD ＝ ；△ACD 的面积为 ．15．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6．动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f（x），给出下列三个结论：①函数f（x）的最大值为12；②函数f（x）的图象的对称轴方程为x＝9；③关于x的方程f（x）＝kx+3最多有5个实数根．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣E的大小．17．已知函数f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f（x）在[−π2，π6]上的最小值，并直接写出函数f（x）的一个周期．18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．19．已知函数f（x）＝e x+ax．（Ⅰ）当a＝﹣1时，①求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；②求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：当a∈（﹣2，0）时，曲线y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（0，b），△A1BA2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q．求证：△BPQ为等腰三角形．21．已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N*，使得a2n﹣1+a2n＝ka n对任意的n∈N*成立，则称数列{a n}具有性质Ψ（k）．（Ⅰ）分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）①a n＝1；②a n＝2n．（Ⅱ）若数列{a n}满足a n+1≥a n（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}具有性质Ψ（2）”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{a n}中a1＝1，且a n+1＞a n（n＝1，2，3，…）．若数列{a n}具有性质Ψ（4），求数列{a n}的通项公式．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．解：∵复数z＝i（2﹣i）＝﹣i2+2i＝1+2i∴复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选：A．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．2．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，A∩B＝{1}，则集合B可以是（）A．{1，2}B．{1，3}C．{0，1，2}D．{1，2，3}【分析】根据A＝{x|0＜x＜3}，A∩B＝{1}，即可得出集合B可能的情况．解：∵A＝{x|0＜x＜3}，A∩B＝{1}，∴集合B可以是{1，3}．故选：B．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3．已知双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b 即可． 解：双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，可得√b 2+11=√5，解得b ＝2，故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题． 4．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．cb＞caD ．|b |c ＜|a |c【分析】法1：根据数轴得到c ＜b ＜a ＜0且|c |＞|b |＞|a |，结合不等式基本性质逐一进行判断即可；法2：用特值法带入验证即可．解：（法1）根据数轴可得c ＜b ＜a ＜0且|c |＞|b |＞|a |，对于A ：因为c ＜b ，a ＜0，所以c +a ＜c ，b ﹣a ＞b ，则c +a ＜c ＜b ﹣a ，即c +a ＜b ﹣a ，故A 错误；对于B ：因为c ＜b ＜a ＜0，|c |＞|b |＞|a |，所以c 2＞b 2＞a 2，且b 2＞ab ，所以c 2＞b 2＞ab ，则c 2＞ab ，故B 错误；对于C ：因为b ＜a ＜0，所以1b＞1a，则cb＜ca，故C 错误；对于D ：因为|b |＞|a |，且c ＜0，所以|b |c ＜|a |c ，故D 正确，（法2）不妨令c ＝﹣5，b ＝﹣4，a ＝﹣1，则c +a ＝﹣6＜b ﹣a ＝﹣3，故A 错误；c 2＝25＞ab ＝4，故B 错误；cb =54＜c a=5，故C错误； 故选：D ．【点评】本题考查不等式的相关应用，考查合情推理，属于中档题． 5．在（1x −2x ）6的展开式中，常数项为（ ）A ．﹣120B ．120C ．﹣160D ．160【分析】先求出通项，然后令x 的指数为零即可．解：由题意得：T k+1=(−2)k C 6k x2k ﹣6， 令2k ﹣6＝0得k ＝3，故常数项为T 4=(−2)3C 63=−160． 故选：C ．【点评】本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题． 6．如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为（ ）A ．1B ．√32C ．√22D ．12【分析】根据条件可得圆旋转了34个圆，作图可得到△A 'M 'B 是等腰直角三角形，进而可求得M '到A 'M 的距离．解：根据条件可知圆周长＝2π，因为BA =32π=34×2π，故可得A ’位置如图：∠A 'M 'B ＝90°，则△A 'M 'B 是等腰直角三角形，则M '到A 'M 的距离d =√22r =√22，故选：C ．【点评】本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题．7．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]【分析】根据题意，分析可得f （x ）在区间（﹣2，﹣1）上递增，将f （x ）写成分段函数的形式，分析可得f （x ）在区间（m ，+∞）上为增函数，据此可得m 的取值范围． 解：根据题意，函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则f （x ）在区间（﹣2，﹣1）上递增，而f （x ）＝|x ﹣m |={x −m ，x ≥m−x +m ，x ＜m ，在区间（m ，+∞）上为增函数，则有m ≤﹣2，即m 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； 故选：D ．【点评】本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题． 8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）A．√5B．2√2C．2√3D．√13【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长．解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以最长的棱长AB=√22+22+22=2√3．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．若数列{a n}满足a1＝2，则“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”是“{a n}为等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论．解：“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”，取p＝n，r＝1，则a n+1＝2a n，∴{a n}为等比数列．反之不成立．{a n}为等比数列，则a p+r＝2×q p+r﹣1，a p a r＝22•q p+r﹣2，只有q＝2时才能成立．∴数列{a n}满足a1＝2，则“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”是“{a n}为等比数列”的充分不必要条件．．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．形如22n+1（n是非负整数）的数称为费马数，记为F n．数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是（）（参考数据：lg2≈0.3010）A．9B．10C．11D．12【分析】根据所给定义表示出F5＝109.632×109，进而即可判断出其位数．解：根据题意，F5=225+1＝232+1≈232=10lg232=1032lg2≈1032×0.3010＝109.632＝100.632×109，因为1＜100.632＜10，所以F5的位数是10．故选：B．【点评】本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，则抛物线C的准线方程为x＝﹣1．【分析】把点P 的坐标代入抛物线的方程可求得p ，而准线方程为x =−p2，从而得解． 解：把点P （1，2）代入抛物线方程有，4＝2p ，∴p ＝2， ∴抛物线的准线方程为x =−p2=−1． 故答案为：x ＝﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题． 12．在等差数列{a n }中，a 1＝3，a 2+a 5＝16，则数列{a n }的前4项的和为 24 ． 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出． 解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝3，a 2+a 5＝16， ∴2×3+5d ＝16，解得d ＝2．则数列{a n }的前4项的和＝4×3+4×32×2＝24． 故答案为：24．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，则（a →−12b →）•b →= 0 ．【分析】把所给条件平方整理得到a →•b →=12b →2；代入数量积即可求解结论．解：因为非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，∴a →2=a →2−2a →•b →+b →2⇒a →•b →=12b →2；则（a →−12b →）•b →=a →⋅b →−12b →2=0．故答案为：0．【点评】本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．14．在△ABC中，AB＝4√3，∠B=π4，点D在边BC上，∠ADC=2π3，CD＝2，则AD＝4√2；△ACD的面积为2√6．【分析】先根据正弦定理求得AD，进而求得三角形的面积．解：如图；因为在△ABC中，AB＝4√3，∠B=π4，点D在边BC上，∠ADC=2π3，CD＝2，所以：ADsin∠ABD =ABsin∠ADB⇒AD=4√3×sinπ4sinπ3=4√2；S△ACD=12•AD•CD•sin∠ADC=12×4√2×2×sin2π3=2√6；故答案为：4√2，2√6．【点评】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目．15．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6．动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f（x），给出下列三个结论：①函数f（x）的最大值为12；②函数f（x）的图象的对称轴方程为x＝9；③关于x的方程f（x）＝kx+3最多有5个实数根．其中，所有正确结论的序号是①②．【分析】写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析解：由题可得函数f （x ）={3+(x −3)2，0≤x ＜63+(x −9)2，6≤x ＜123+(x −15)2，12≤x ≤18，作出图象如图：则当点P 与△ABC 顶点重合时，即x ＝0，6，12，18时，f （x ）取得最大值12，故①正确；又f （x ）＝f （18﹣x ），所以函数f （x ）的对称轴为x ＝9，故②正确；由图象可得，函数f （x ）图象与y ＝kx +3的交点个数为6个，故方程有6个实根，故③错误．故答案为：①②．【点评】本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，AB ＝BB 1＝2BC ＝2，BC 1=√3，点E 为A 1C 1的中点．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣E的大小．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥C1B．CB⊥C1B．利用直线与平面垂直的判断定理证明C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz．求出平面BCE的法向量，平面ABC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可，【解答】（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB1C1C，C1B⊂平面BB1C1C所以AB⊥C1B．在△BCC1中，BC＝1，BC1=√3，CC1＝2，所以BC2+BC12=CC12．所以CB⊥C1B．因为AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB⊥C1B，BC⊥C1B，AB⊥BC，如图，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz．则B（0，0，0），E(−12，√3，1)，C（1，0，0）.BC→=(1，0，0)，BE→=(−12，√3，1)．设平面BCE的法向量为n→=（x，y，z），则{n →⋅BC →=0n →⋅BE →=0， 即{x =0，−12x +√3y +z =0. 令y =√3则x ＝0，z ＝﹣3， 所以n →=(0，√3，−3)．又因为平面ABC 的法向量为m →=（0，1，0），所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12．由题知二面角A ﹣BC ﹣E 为锐角，所以其大小为π3．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题． 17．已知函数f （x ）＝2cos 2ω1x +sin ω2x ． （Ⅰ）求f （0）的值；（Ⅱ）从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f （x ）在[−π2，π6]上的最小值，并直接写出函数f （x ）的一个周期．【分析】（Ⅰ）由函数f （x ）的解析式求出f （0）的值； （Ⅱ）选择条件①时f （x ）的一个周期为π，利用三角恒等变换化简f（x），再求f（x）在[−π2，π6]的最小值．选择条件②时f（x）的一个周期为2π，化简f（x），利用三角函数的性质求出f（x）在[−π2，π6]的最小值．解：（Ⅰ）由函数f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x，则f（0）＝2cos20+sin0＝2；（Ⅱ）选择条件①，则f（x）的一个周期为π；由f（x）＝2cos2x+sin2x＝（cos2x+1）+sin2x=√2(√22sin2x+√22cos2x)+1=√2sin(2x+π4)+1；因为x∈[−π2，π6]，所以2x+π4∈[−3π4，7π12]；所以−1≤sin(2x+π4)≤1，所以1−√2≤f(x)≤1+√2；当2x+π4=−π2，即x=−3π8时，f（x）在[−π2，π6]取得最小值为1−√2．选择条件②，则f（x）的一个周期为2π；由f（x）＝2cos2x+sin x＝2（1﹣sin2x）+sin x=−2(sinx−14)2+178；因为x∈[−π2，π6]，所以sinx∈[−1，12]；所以当sin x＝﹣1，即x=−π2时，f（x）在[−π2，π6]取得最小值为﹣1．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题．18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．【分析】（Ⅰ）按照古典概型概率计算公式计算即可；（Ⅱ）显然这是一个超几何分布，按照超几何分布的概率计算方法，分别算出随机变量X取0，1，2时的概率，然后画出分布列，即可求期望；（Ⅲ）结合折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可．解：（Ⅰ）设事件A为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，所以P(A)=9 10．（Ⅱ）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X 的所有可能取值为0，1，2．且P(X=0)=C52C102=29；P(X=1)=C51C51C102=59；P(X=2)=C52C102=29．所以X的分布列为：X012P295929故X的期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1．（Ⅲ）从两个方面可以看出，该公式是比较重视研发的：一、从2010年至2019年，每年的研发投入是逐年增加的（2018年除外），并且增加的幅度总体上逐渐加大；二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽然2015年往后有些波动，但是总体占比还是较高的．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法，注意对题意的理解需到位、准确．同时考查学生的数学建模的素养，属于中档题．19．已知函数f（x）＝e x+ax．（Ⅰ）当a＝﹣1时，①求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；②求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：当a∈（﹣2，0）时，曲线y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．【分析】（Ⅰ）①将a＝﹣1带入，求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即得解；②求出函数函数f（x）的单调性情况，进而得出最值；（Ⅱ）即证函数g（x）＝e x+ax+lnx﹣1仅有一个零点，利用导数可知函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，结合零点存在性定理即得证．解：（Ⅰ）①当a＝﹣1时，f（x）＝e x﹣x，则f'（x）＝e x﹣1．所以f'（0）＝0．又f（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；②令f'（x）＝0，得x＝0，此时f'（x），f（x）随x的变化如下：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗可知f（x）min＝f（0）＝1，函数f（x）的最小值为1．（Ⅱ）证明：由题意可知，x∈（0，+∞），令g（x）＝e x+ax+lnx﹣1，则g′(x)=e x+1x+a，由（Ⅰ）中可知e x﹣x≥1，故e x≥1+x，因为a∈（﹣2，0），则g′(x)=e x+1x+a≥(x+1)+1x+a≥2√x⋅1x+a+1=3+a＞0，所以函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，因为g(1e )=e1e+ae−2＜e12−2＜0，又因为g（e）＝e e+ae＞e2﹣2e＞0，所以g（x）有唯一的一个零点．即函数y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．【点评】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，函数的零点等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（0，b），△A1BA2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q．求证：△BPQ为等腰三角形．【分析】（Ⅰ）由题{ca=√32，ab=2，a2=b2+c2.，求出a，b，即可得到椭圆方程．（II）解法1，设直线A2M方程为y=k(x−2)(k≠0且k≠±12)，直线A1B方程为y=12x+1，通过联立直线与椭圆方程组，求出M坐标，Q坐标，推出|BP|＝|BQ|，即可证明△BPQ为等腰三角形．解法2，设M（x0，y0）（x0≠±2，y0≠±1）则x02+4y02=4．直线A2M方程为y=y0x0−2(x−2)，直线A1B方程为y=12x+1．通过联立直线与椭圆方程组，求出P，Q坐标，转化推出|BP |＝|BQ |，得到△BPQ 为等腰三角形．解：（Ⅰ）由题{ c a =√32，ab =2，a 2=b 2+c 2.解得{a =2，b =1.所以椭圆方程为x 24+y 2=1．（ II ）解法1证明：设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1 由{y =k(x −2)，y =12x +1.解得点P(4k+22k−1，4k 2k−1)． 由{y =k(x −2)，x 24+y 2=1.得（4k +1）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣4＝0， 则2x M =16k 2−44k 2+1． 所以x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k 4k 2+1． 即M(8k 2−24k 2+1，−4k4k 2+1).k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k ．于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)，直线A 2B 的方程为y =−12x +1． 由{y =−14k (x +2)y =−12x +1解得点Q(4k+22k−1，−22k−1)． 于是x P ＝x Q ，所以PQ ⊥x 轴．设PQ 中点为N ，则N 点的纵坐标为4k 2k−1+−22k−12=1．故PQ 中点在定直线y ＝1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP |＝|BQ |，所以△BPQ 为等腰三角形．解法2证明：设M （x 0，y 0）（x 0≠±2，y 0≠±1）则x 02+4y 02=4．直线A 2M 方程为y =y 0x 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1． 由{y =y 0x 0−2(x −2)，y =12x +1.解得点P(2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2，4y02y 0−x 0+2)． 直线A 1M 方程为y =y 0x 0+2(x +2)，直线A 2B 方程为y =−12x +1． 由{y =y 0x 0+2(x +2)，y =−12x +1. 解得点Q(2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2，4y 02y 0+x 0+2).x P −x Q =2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2−2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2=2(x 0+2y 0−2)(2y 0+x 0+2)−2(x 0−2y 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=2[(x 0+2y 0)2−4)−(4−(x 0−2y 0)2](2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=0． 于是x P ＝x Q ，所以PQ ⊥x 轴.y P +y Q =4y 02y 0−x 0+2+4y02y 0+x 0+2=4y 0(4y 0+4)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=4y 0(4y 0+4)(2y 0+2)2−x 02=2． 故PQ 中点在定直线y ＝1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP |＝|BQ |，所以△BPQ 为等腰三角形．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21．已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈一、选择题*，使得a2n﹣1+a2n ＝ka n对任意的n∈N*成立，则称数列{a n}具有性质Ψ（k）．（Ⅰ）分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）①a n＝1；②a n＝2n．（Ⅱ）若数列{a n}满足a n+1≥a n（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}具有性质Ψ（2）”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{a n}中a1＝1，且a n+1＞a n（n＝1，2，3，…）．若数列{a n}具有性质Ψ（4），求数列{a n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）①②利用已知条件及其定义解验证判断出结论．（Ⅱ）先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2a n，根据a n+1≥a n，可得0≤a2n﹣a n＝a n﹣a2n﹣1≤0，进而有a n＝a2n，结合a n+1≥a n即可证明结论．再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，容易验证a2n﹣1+a2n＝2a1＝2a n，即可证明．（Ⅲ）首先证明：a n+1﹣a n≥2．根据{a n}具有“性质Ψ（4）”，可得a2n﹣1+a2n＝4a n．当n＝1时，有a2＝3a1＝3．由a2n−1，a2n，a n∈N∗，且a2n＞a2n﹣1，可得a2n≥2a n+1，a2n≤2a n﹣1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2a n+1﹣2，可得2（a n+1﹣a n）≥3，可得：a n+1﹣1﹣a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1﹣a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，进而有4（a k+1﹣a k）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．又因为a k+1−a k∈﹣1N∗，可得a k+1﹣a k≥3，依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾．综上有：a n+1﹣a n＝2，结合a1＝1可得a n＝2n﹣1，解：（Ⅰ）①数列{a n}具有“性质Ψ（2）”；②数列{a n}不具有“性质Ψ（2）”．（Ⅱ）证明：先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2a n，又因为a n+1≥a n，所以0≤a2n﹣a n＝a n﹣a2n﹣1≤0，进而有a n＝a2n结合a n+1≥a n有a n＝a n+1＝…＝a2n，即“数列{a n}为常数列”；再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，则有a2n﹣1+a2n＝2a1＝2a n，即“数列{a n}具有“性质Ψ（2）”．（Ⅲ）首先证明：a n+1﹣a n≥2．因为{a n}具有“性质Ψ（4）”，所以a2n﹣1+a2n＝4a n．当n＝1时，有a2＝3a1＝3．又因为a2n−1，a2n，a n∈N∗，且a2n＞a2n﹣1，所以有a2n≥2a n+1，a2n﹣1≤2a n﹣1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2a n+1﹣2，所以2（a n+1﹣a n）≥3，结合a n+1，a n∈N∗可得：a n+1﹣a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1﹣a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，进而有4（a k+1﹣a k）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k﹣1）＝（a2k+2﹣a2k）+（a2k+1﹣a2k﹣1）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，所以a k+1﹣a k≥3依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾，所以有a n+1﹣a n≤2．综上有：a n+1﹣a n＝2，结合a1＝1可得a n＝2n﹣1，经验证，该通项公式满足a2n﹣1+a2n＝4a n，所以：a n＝2n﹣1．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2020年北京市海淀区高三一模数学考试逐题解析2020.5本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第I卷（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

-对应的点位于1.在复平面内,复数i(2i)（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】A【解析】本题考查复数的运算.2-=-+=+i(2i)i2i12i对应点(1,2)在第一象限内.故选A.2.已知集合{|03},{1}=<<=,则集合B可以是A x x A B（A）{1,2}（B）{1,3}（C）{0,1,2}（D）{1,2,3}【答案】B【解析】本题考查集合运算.选项A:{1,2}A B =选项B:{1}A B =选项C:{1,2}AB = 选项D:{1,2}AB =故选B.3. 已知双曲线2221(0)y x b b -=>则b 的值为 （A ）1（B ）2 （C ）3（D ）4【答案】B 【解析】本题考查双曲线的离心率. 由2221y x b-=,可知1a =c e a ======解得24b =∵0b >∴2b =故选B.4. 已知实数,,a b c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是（A ）b a c a -<+ （B ）2c ab <（C ）c c b a >（D ）||||b c a c < 【答案】D 【解析】本题考查不等式的性质.由图可知,0,c b a <<<且||||||c b a >>选项A:∵,0,c b a <<∴,.c a c b a b +<->∴.c a c b b a +<<<-∴c a b a +<-,故A 项错误;选项B:∵0,c b a <<<∴222c b a >>,且2b ab >∴22c b ab >>∴2c ab >,故选项B 错误;选项C:∵0,b a <<∴11b a> ∴c c b a<,故选项C 错误; 选项D:∵||||b a >且0c <∴||||b c a c ⋅<⋅,故选项D 正确.5. 在61(2)x x-的展开式中,常数项为（A ）120-（B ）120 （C ）160- （D ）160【答案】C 【解析】本题考查二项式定理. 6261661()(2)(2)r r r r r r r T C x C x x--+=⋅⋅-=⋅-⋅, 其中常数项需满足260r -=,即3r =,3346(2)20(8)160T C =⋅-=⨯-=-.故选C.6. 如图,半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ,圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚到圆M '时,圆M '与直线l 相切于点B ,点A 运动到点A ',线段AB 的长度为3π2,则点M '到直线BA '的距离为（A ）1（B ）32 （C ）22（D ）12 【答案】C【解析】本题考查直线与圆.由题可知3π2AB =,且圆M 的周长为2π, 所以由圆M 到圆M '的过程中沿着直线l 旋转了34圈,所以点A '的位置如图所示,此时A BM ''为等腰直角三角形,所以M '到直线BA '的距离为22. 故选C.7. 已知函数()||f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称.若()g x 在区间(1,2)内单调递减,则m 的取值范围为（A ）[1,)-+∞（B ）(,1]-∞- （C ）[2,)-+∞ （D ）(,2]-∞- 【答案】D【解析】本题考查函数单调性.因为函数()||f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称,所以函数()||g x x m =+.由解析式可知函数()g x 在区间(,)m -∞-单调递减,若函数()g x 在区间(1,2)单调递减,则(1,2)(,)m ⊆-∞-,即2m -≥,解得2m ≤-.故选D.8. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为（A ）5 （B ）22（C ）23（D ）13【答案】C【解析】本题考查三视图.四棱锥的直观图如图所示:由图可知,该四棱锥中最长棱的棱长为22222223PA =++=.故选C.9. 若数列{}n a 满足12a =,则“*,,p r p r p r a a a +∀∈=N ”是“{}n a 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】本题考查等比数列.充分条件:因为数列{}n a 中,12a =,并且对于*,,p r p r p r a a a +∀∈=N 都成立,所以1,1p r ≥≥,即2113124134,8,16,a a a a a a a a a =⋅==⋅==⋅= 所以{}n a 各项均不为0.令1r =,则112p r p p p a a a a a ++==⋅=,即12p p a a +=,所以{}n a 为以12a =为首项,公比2q =的等比数列,所以充分条件成立;必要条件:若{}n a 为等比数列,则公比q 可以为1.当1q =时,1112p r p r a a q a +-+=⋅==,1112p p a a q a -=⋅==,1112r r a a q a -=⋅==, 此时42p r p r a a a +=≠=,所以必要条件不成立.所以“*,,p r p r p r a a a +∀∈=N ”是“{}n a 为等比数列”的充分而不必要条件, 故选A.10. 形如221n +（n 是非负整数）的数称为费马数,记为n F .数学家费马根据01234,,,,F F F F F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出5F 不是质数,那么5F 的位数是（参考数据:lg 20.3010≈）（A ）9（B ）10 （C ）11 （D ）12 【答案】B【解析】本题考查指对数运算.由题知,53223232lg232lg2320.30109.6320.6329521212101010101010F ⨯=+=+≈==≈==⨯ 因为0.63211010<<,所以5F 的位数是10.故选B.第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。

北京市海淀区2020届高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知复数z=−1+i，z是z的共轭复数，在复平面内，z所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|x2−4x<0}，B={−1,3，7}，则A∩B=()A. {−1}B. {3}C. {3,7}D. {−1,7}3.若a>1，则双曲线x2a2−y2=1的离心率的取值范围是()A. (√2,+∞)B. (√2,2)C. (1,√2)D. (1,2)4.下列叙述正确的是()A. 若|a|=a，则a>0B. 若a≠b，则|a|≠|b|C. 若|a|=|b|，则a=bD. 若a=−b，则|a|=|b|5.在(x2−1√x3)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为()．A. 7B. −7C. −28D. 286.已知直线l：y=k(x+4)与圆(x+2)2+y2=4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线3x−4y−6=0的距离的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 57.若函数f(x)=log2(x2−2ax+3)在区间(−∞,1]内单调递减，则a的取值范围是()A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. [1,2)D. [1,2]8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的最长的棱长为()A. 2√2B. 3√2C. √5D. 39.在等比数列{a n}中，已知a1+a2=−32,a4+a5=12，则数列是()A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列10.已知a n=log n+1(n+2)(n∈N∗)，观察下列算式：a1⋅a2=log23⋅log34=lg3lg2⋅lg4lg3=2；a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5⋅a6=log23⋅log34⋯⋯log78=lg3lg2⋅lg4lg3⋯lg8lg7=3；若a1⋅a2⋅a3⋯a m=2016(m∈N∗)，则m的值为()A. 22016+2B. 22016C. 22016−2D. 22016−4二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.抛物线y2=4x的准线方程为__________．12.在等差数列{a n}中，a3+a5+2a10=4，则此数列的前13项的和等于______ ．13.已知|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =2，则向量(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =______．14.已知，在△ABC中B=π3，b=2，S▵ABC的最大值为________．15.已知函数y=f(x)的周期为2，当x∈[0,2]时，f(x)=(x−1)2，如果g(x)=f(x)−log5|x−1|，则方程g(x)=0的所有根之和为__________．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC,PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角A−BE−C的正弦值．17.已知函数f(x)=2cos2ωx−1+2√3cosωxsinωx(0<ω<1)，x=π3是f(x)图象的一条对称轴．(1)试求ω的值;(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到，若g(2α+π3)=65,α∈(0,π2),求sinα的值．18.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A,B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n(n∈N∗)个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415．(1)求n值；(2)若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；(3)若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列．19.已知函数f(x)=x−sinx．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线方程；(Ⅱ)求证：当x∈(0,π2)时，0<f(x)<16x3．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．21.已知数列{a n}满足：na1+(n−1)a2+⋯+2a n−1+a n=2n．(1)求{a n}的通项公式；(2)是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使a p，a q，a r成等差数列，若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．利用共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：复数z=−1+i，z=−1−i，∴z所对应的点(−1,−1)位于第三象限．故选：C．2.答案：B解析：本题考查交集的运算，属于基础题．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A={x|x2−4x<0}={x|0<x<4}，B={−1,3，7}，∴A∩B={3}．故选：B．3.答案：C解析：本题考查双曲线的简单性质，利用双曲线方程，求出c，然后求解双曲线的离心率的取值范围即可．解：若a>1，则双曲线x2a2−y2=1的离心率为：ca=√1+a2a=√1+1a2∈(1,√2).故选C．4.答案：D解析：解：若|a|=a，则a≥0，故A错误；若a=−b≠0时，a≠b，但|a|=|b|，故B错误；若|a|=|b|，则a=b或a=−b，故C错误；若a=−b，则|a|=|b|，故D正确；故选：D根据绝对值的定义和性质，逐一分析四个答案的正误，可得答案．本题以命题的真假判断为载体考查了绝对值的定义和性质，难度不大，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查二项式系数的性质、利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n ；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数为0求出常数项． 解：依题意，n2+1=5， ∴n =8．二项式为(x2−1√x 3)8，其展开式的通项T k+1=(−1)k (12)8−k C 8k x 8−4k3 令8−4k 3=0解得k =6故常数项为C 86(x2)2(−1√x3)6=7．故选A ．6.答案：C解析：解：直线l ：y =k(x +4)过定点(−4,0)，不妨记A(−4,0)， 设M(x 0,y 0)，B(x 1,y 1)，则{x 1=2x 0+4y 1=2y 0，代入(x +2)2+y 2=4， 可得(x 0+3)2+y 02=1．∴M 的轨迹是以(−3,0)为圆心，1为半径的圆，则M 到直线3x −4y −6=0的距离的最大值为|−3×3−6|5+1=4．故选：C ．本题主要考查了与圆有关的轨迹问题，点到直线的距离公式，是中档题．由题意画出图形，利用待定系数法求出M 的轨迹，结合点到直线的距离公式得答案．7.答案：C解析：解：设t =g(t)=x 2−2ax +3，则函数y =log 2t 为增函数， 若函数f(x)=log 2(x 2−2ax +3)在区间(−∞,1]内单调递减， 则等价为g(t)=x 2−2ax +3在区间(−∞,1]内单调递减且g(1)>0， 即{−−2a2=a ≥1g(1)=1−2a +3>0， 即{a ≥1a <2，解得1≤a <2， 故a 的取值范围是[1,2)， 故选：C利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．8.答案：D解析：本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积，判断直观图是解题的关键，属于中档题． 首先由三视图还原几何体，利用三视图的数据求解几何体的最长棱长即可． 解：三视图表示的几何体为三棱锥D −ABC ，是正方体的一部分，易知正方体的棱长为：2，则此几何体的最长的棱长为：BD =√CD 2+BC 2=√4+4+1=3． 故选D ．9.答案：C解析：解：由已知得公比q 满足：q 3=a 4+a5a 1+a 2=−8，所以q =−2，而a 1+a 2=−a 1=−32，所以a 1=32， 故数列{a n }是摆动数列， 故选：C ．由已知得公比q满足：q3=a4+a5a1+a2=−8，解得q，即可得出结论．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查归纳推理的问题，解题时要注意对数性质的合理运用，是中档题．由已知得lg(m+2)=lg22016，由此能求出m．解：∵a n=log n+1(n+2)(n∈N∗)，∴a1⋅a2⋅…⋅a m=log23⋅log34⋅log45·…⋅log(m+1)(m+2)=lg3lg2⋅lg4lg3⋅lg5lg4·…⋅lg(m+2)lg(m+1)=lg(m+2)lg2，即lg(m+2)lg2=2 016，lg(m+2)=lg22016，解得m=22016−2．故选C．11.答案：x=−1解析：本题考查了抛物线的性质及几何意义．利用抛物线的准线方程得结论.解：由抛物线y2=4x，得p=2，所以准线方程为x=−1．故答案为x=−1．12.答案：13解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a5+2a10=4，∴a3+(a3+2d)+2(a3+7d)=4，∴4(a3+4d)=4，即a7=a3+4d=1，∴数列的前13项的和S13=13(a1+a13)2=13×2a72=13a7=13故答案为：13．由已知数据和通项公式可得a7=1，再由求和公式和性质可得S13=13a7，代值计算可得．本题考查等差数列的性质和求和公式，求出a7=1是解决问题的关键，属基础题．13.答案：3。

2020届海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案
数
学 2020春
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.
注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面11BB C C ，1C B ⊂平面11BB C C
所以1AB C B ⊥.
在△1BCC 中，1BC =,1BC =12CC =,
所以22211BC BC CC +=.
所以1CB C B ⊥. 因为AB BC B =I , ,AB BC ⊂平面ABC ，。

2020北京海淀高三一模数学 2020春本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 在复平面内，复数i(2−i)对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 己知集合A={x|0<x<3},A∩B={1}，则集合B可以是A. {1,2}B. {1,3}C. {0,1,2}D. {1,2,3}3. 已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√5，则b的值为A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是A. b−a<c+aB. c2<abC. cb >caD. |b|c<|a|c5. 在(1x−2x)6的展开式中，常数项为A. −120B. 120C. −160D. 1606. 如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动，当圆M滚动到圆M’时，圆M’与直线l相切于点B，点A运动到点A’，线段AB的长度为3π2，则点M’到直线BA’的距离为A. 1B. √32C. √22D. 127. 已知函数f(x)=|x−m|与函数g(x)的图象关于y轴对称，若g(x)在区间(1,2)内单调递减，则m的取值范围为A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [−2,+∞)D. (−∞,−2]8. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为A. √5B. 2√2C. 2√3D. √139. 若数列{a n}满足a1=2,则“∀p,r∈N∗,a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 形如22n+1（n是非负整数）的数称为费马数，记为F n.数学家费马根据F0,F1,F2,F3,F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是（参考数据：lg2≈0.3010）A. 9B. 10C. 11D. 12第二部分（非选择题共110份）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。