2020合肥市高三一模数学试卷及答案(理)

2020年安徽省合肥市高考一模数学理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合M={x|log 2x ＜1}，集合N={x|x 2-1≤0}，则M ∩N=( ) A.{x|1≤x ＜2} B.{x|-1≤x ＜2} C.{x|-1＜x ≤1} D.{x|0＜x ≤1}解析：集合M={x|log 2x ＜1}={x|0＜x ＜2}，集合N={x|x 2-1≤0}={x|-1≤x ≤1}， 则M ∩N={x|0＜x ≤1}. 答案：D.2.已知复数z=21ii+-(i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为( ) A.3322i + B.1322i - C.1322i + D.3322i - 解析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 答案：B.3.要想得到函数y=sin2x+1的图象，只需将函数y=cos2x 的图象( )A.向左平移4π个单位，再向上平移1个单位 B.向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C.向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D.向右平移2π个单位，再向上平移1个单位解析：利用诱导公式化简成同名函数，在平移变换(左加右减，上加下减)即可. 答案：B.4.执行如图的程序框图，则输出的n 为( )A.9B.11C.13D.15解析：算法的功能是求满足11111352017Sn=⋅⋅⋯＜的最大的正整数n+2的值，验证S=1·3·…·13＞2017，从而确定输出的n值. 答案：C.5.已知双曲线24y-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p＞0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p的值为( ) A.1D.4解析：求出双曲线24y-x2=1的两条渐近线方程与抛物线y2=2px(p＞0)的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由△AOB的面积为1列出方程，由此方程求出p的值.答案：B.6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为( )A.4πB.8πC.9πD.36π 解析：由余弦定理化简已知等式可求c 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R 的值，利用圆的面积公式即可计算得解. 答案：C.7.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，p ：A 、B 的体积不相等，q ：A 、B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由p ⇒q ，反之不成立. ∴p 是q 的充分不必要条件. 答案：A.8.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2-y=0)的点的个数的估计值为( )A.5000B.6667C.7500D.7854解析：由题意，阴影部分的面积S=()12310013|213xdx x x ⎛⎰⎫⎪⎝⎭-=-=，正方形的面积为1，利用正方形中随机投掷10000个点，即可得出结论.答案：B.9.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A.72+6πB.72+4πC.48+6πD.48+4π解析：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为为底面的柱体，由柱体表面积公式，可得答案. 答案：A.10.已知(ax+b)6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与-18，则(ax+b)6展开式所有项系数之和为( ) A.-1 B.1 C.32 D.64解析：由题意先求得a 、b 的值，再令x=1求出展开式中所有项的系数和. 答案：D.11.已知函数f(x)=(x 2-2x)sin(x-1)+x+1在[-1，3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M+m=( ) A.4 B.2 C.1 D.0解析：把已知函数解析式变形，可得f(x)=[(x-1)2-1]sin(x-1)+x-1+2，令g(x)=(x-1)2sin(x-1)-sin(x-1)+(x-1)，结合g(2-x)+g(x)=0，可得g(x)关于(1，0)中心对称，则f(x)在[-1，3]上关于(1，2)中心对称，从而求得M+m 的值. 答案：A.12.已知函数f(x)=221012102x x x x x ⎧+⎪⎨-+≥⎪⎩，＜，，方程f 2(x)-af(x)+b=0(b ≠0)有六个不同的实数解，则3a+b 的取值范围是( )A.[6，11]B.[3，11]C.(6，11)D.(3，11)解析：作函数f(x)=221012102x x x x x ⎧+⎪⎨-+≥⎪⎩，＜，的图象，从而利用数形结合知t 2-at+b=0有2个不同的正实数解，且其中一个为1，从而可得-1-a ＞0且-1-a ≠1；从而解得. 答案：D.二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.命题：“∃x ∈R ，x 2-ax+1＜0”的否定为_____.解析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.答案：∀x ∈R ，x 2-ax+1≥0.14.已知a =(1，3)，b =(-2，k)，且(a +2b )∥(3a -b )，则实数k=_____.解析：利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出. 答案：-6.15.已知sin2α-2=2cos2α，则sin 2α+sin2α=_____.解析：利用同角三角函数的基本关系，求得cos α=0 或tan α=2，从而求得要求式子的值. 答案：1或85.16.已知直线y=b 与函数f(x)=2x+3和g(x)=ax+lnx 分别交于A ，B 两点，若|AB|的最小值为2，则a+b=_____.解析：设A(x 1，b)，B(x 2，b)，则2x 1+3=ax 2+lnx 2=b ，表示出x 1，求出|AB|，利用导数，结合最小值也为极小值，可得极值点，求出最小值，解方程可得a=1，进而得到b ，求出a+b. 答案：2.三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4=24，S 7=63. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n =2n a+(-1)n·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(Ⅰ)利用等差数列的求和公式及其通项公式即可得出.(Ⅱ)通过分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出. 答案：(Ⅰ)因为{a n }为等差数列，所以4117143424327627632S a d a d S a d ⎧⎪⎧⎪⇒⇒⎨⨯=+==⨯=⎪⎩+=⎨⎩⎪=a n =2n+1.(Ⅱ)∵b n =2n a+(-1)n ·a n =22n+1+(-1)n ·(2n+1)=2×4n +(-1)n·(2n+1)∴T n =2(41+42+…+4n )+[-3+5-7+9-…+(-1)n(2n+1)]=()8413n -+G n ，当n=2k(k ∈N *)时，G n =2×2n =n ，∴T n =()8413n -+n当n=2k-1(k ∈N *)时，G n =2×12n --(2n+1)=-n-2， ∴T n =()8413n --n-2，∴T n =()()**841238412213()()n n n n k k N n n k k N ⎧-⎪+=∈⎪⎨-⎪--=-∈⎪⎩，，.18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择. 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元.方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元. (Ⅰ)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；(Ⅱ)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 解析：(Ⅰ)利用相互独立事件的概率计算公式即可得出. (Ⅱ)利用数学期望计算公式、二项分布列的性质即可得出. 答案：(Ⅰ)P(X=0)=14117552525+⨯⨯=，P(X=500)=412525⨯=，P(X=1000)=414852525⨯⨯=， 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X 的均值E(X)=500×25+1000×825=520， 若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ～B(3，25)，则E(ξ)=3×25=65， 抽奖所获奖金X 的均值E(X)=E(400ξ)=400E(ξ)=480，故选择方案甲较划算.19.如图所示，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°，AB=AA 1=2A 1B 1=2.(Ⅰ)若M 为CD 中点，求证：AM ⊥平面AA 1B 1B ； (Ⅱ)求直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值.解析：(Ⅰ)推导出AM ⊥CD ，AM ⊥AB ，AM ⊥AA 1，由此能证明AM ⊥平面AA 1B1B .(Ⅱ)分别以AB ，AM ，AA 1为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，利用向量法能求出直线DD 1与平面A 1BD 所成角θ的正弦值. 答案：(Ⅰ)∵四边形为菱形，∠BAD=120°，连结AC ， ∴△ACD 为等边三角形，又∵M 为CD 中点，∴AM ⊥CD ， 由CD ∥AB 得，∴AM ⊥AB ，∵AA 1⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ，∴AM ⊥AA 1， 又∵AB ∩AA 1=A ，∴AM ⊥平面AA 1B 1B解：(Ⅱ)∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°，AB=AA 1=2A 1B 1=2， ∴DM=1，AM=3，∠AMD=∠BAM=90°， 又∵AA 1⊥底面ABCD ，分别以AB ，AM ，AA 1为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A 1(0，0，2)、B(2，0，0)、D(-10)、D 1(-12，2，2)，∴1DD =(12，2)，BD =(-30)，1A B =(2，0，-2)， 设平面A 1BD 的一个法向量n =(x ，y ，z)，则有1·030220·0n BD x y x z n A B ⎧⎧=-+=⎪⎪⇒⇒==⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩，令x=1，则n =(11)，∴直线DD 1与平面A 1BD 所成角θ的正弦值：sin θ=|cos ＜n ，1DD ＞|=11||15n DD n DD ⋅=⋅.20.已知点F 为椭圆E ：2222x y a b+=1(a ＞b ＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线42x y+=1与椭圆E 有且仅有一个交点M. (Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)设直线42x y+=1与y 轴交于P ，过点P 的直线与椭圆E 交于两不同点A ，B ，若λ|PM|2=|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围.解析：(Ⅰ)由题意可得a ，b 与c 的关系，化椭圆方程为222243x y c c+=1，联立直线方程与椭圆方程，由判别式为0求得c ，则椭圆方程可求；(Ⅱ)由(Ⅰ)求得M 坐标，得到|PM|2，当直线l 与x 轴垂直时，直接由λ|PM|2=|PA|·|PB|求得λ值；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=kx+2，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式大于0求得k 的取值范围，再由根与系数的关系，结合λ|PM|2=|PA|·|PB|，把λ用含有k 的表达式表示，则实数λ的取值范围可求.答案：(Ⅰ)由题意，得a=2c ，，则椭圆E 为：222243x y c c+=1，联立22243142y c x x y ++⎧=⎪⎨=⎪⎪⎪⎩，得x 2-2x+4-3c 2=0，∵直线42x y+=1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴△=4-4(4-3c 2)=0，得c 2=1，∴椭圆E 的方程为2243x y +=1； (Ⅱ)由(Ⅰ)得M(1，32)， ∵直线42x y +=1与y 轴交于P(0，2)，∴|PM|2=54， 当直线l与x 轴垂直时，|PA|·， 由λ|PM|2=|PA|·|PB|，得λ=45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=kx+2，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 联立22234120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，得(3+4k 2)x 2+16kx+4=0，依题意得，x 1x 2=2434k+，且△=48(4k 2-1)＞0， ∴|PA||PB|=(1+k 2)x 1x 2=(1+k 2)·2434k +=1+2134k +=54λ，∴λ=45(1+2134k +)， ∵k 2＞14，∴45＜λ＜1，综上所述，λ的取值范围是[45，1).21.已知函数f(x)=e x-12ax 2(x ＞0，e 为自然对数的底数)，f ′(x)是f(x)的导函数. (Ⅰ)当a=2时，求证f(x)＞1；(Ⅱ)是否存在正整数a ，使得f ′(x)≥x 2lnx 对一切x ＞0恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，说明理由.解析：(Ⅰ)求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；(Ⅱ)求出函数的导数，得到a ≤e ，问题转化为证明当a=2时，不等式恒成立，设g(x)=22x e x x--lnx ，根据函数的单调性证明即可.答案：(Ⅰ)证明：当a=2时，f(x)=e x -x 2，则f ′(x)=e x-2x ，令f 1(x)=f ′(x)=e x -2x ，则f ′1(x)=e x-2，令f ′1(x)=0，得x=ln2，故f ′(x)在x=ln2时取得最小值， ∵f ′(ln2)=2-2ln2＞0，∴f(x)在(0，+∞)上为增函数， ∴f(x)＞f(0)=1；(Ⅱ)f ′(x)=e x-ax ，由f ′(x)≥x 2lnx ，得e x -ax ≥x 2lnx 对一切x ＞0恒成立，当x=1时，可得a ≤e ，所以若存在，则正整数a 的值只能取1，2. 下面证明当a=2时，不等式恒成立，设g(x)=22x e x x --lnx ，则g ′(x)=()()()3232221xx x e x x e x x x x---+-=，由(Ⅰ)e x ＞x 2+1≥2x ＞x ，∴e x-x ＞0(x ＞0)，∴当0＜x ＜2时，g ′(x)＜0；当x ＞2时，g ′(x)＞0， 即g(x)在(0，2)上是减函数，在(2，+∞)上是增函数， ∴g(x)≥g(2)=14(e 2-4-4ln2)＞14(2.72-4-4ln2)＞14(3-ln16)＞0， ∴当a=2时，不等式恒成立，所以a 的最大值是2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的方程为sin θcos 2θ=0.(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标.解析：(Ⅰ)利用极坐标与直角坐标互化方法，求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)将112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，代入2=0(1+12t)2=0，求出交点坐标，即可直线l 与曲线C 交点的一个极坐标.答案：(Ⅰ)∵sin θρcos 2θ=0，∴ρsin θρ2cos 2θ=0，即2=0；(Ⅱ)将112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，代入=012t)2=0，即t=0，从而，交点坐标为(1， 所以，交点的一个极坐标为(2，3π).[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x-m|-|x+3m|(m ＞0). (Ⅰ)当m=1时，求不等式f(x)≥1的解集；(Ⅱ)对于任意实数x ，t ，不等式f(x)＜|2+t|+|t-1|恒成立，求m 的取值范围. 解析：(Ⅰ)将m=1的值带入，得到关于x 的不等式组，求出不等式的解集即可； (Ⅱ)问题等价于对任意的实数xf(x)＜[|2+t|+|t-1|]min 恒成立，根据绝对值的性质求出f(x)的最大值以及[|2+t|+|t-1|]min ，求出m 的范围即可.答案：(Ⅰ)f(x)=|x-m|-|x+3m|=422343m x mx m m x m m x m-≥---≤-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＜＜，当m=1时，由22131xx--≥⎧⎨-⎩＜＜或x≤-3，得到x≤-32，∴不等式f(x)≥1的解集为{x|x≤-32 }；(Ⅱ)不等式f(x)＜|2+t|+|t-1|对任意的实数t，x恒成立，等价于对任意的实数xf(x)＜[|2+t|+|t-1|]min恒成立，即[f(x)]max＜[|2+t|+|t-1|]min，∵f(x)=|x-m|-|x+3m|≤|(x-m)-(x+3m)|=4m，|2+t|+|t-1|≥|(2+t)-(t-1)|=3，∴4m＜3又m＞0，所以0＜m＜34.。

安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）第I 卷 （满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1.集合M={x|1<x<4},N={x|2≤x≤3},则M ∩N=A.{x|2≤x<4}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1<x≤3}D.{x|1<x<4}2.复数1+i i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若向量a ,b 为单位向量，|a -2b ,则向量a 与向量b 的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°4.函数y=2sin|2x||1x +在[－π,π]的图象大致为5.在高一入学时，某班班委统计了本班所有同学中考体育成绩的平均分和方差．后来又转学来 一位同学。

若该同学中考体育的绩恰好等于这个班级原来的平均分，则下列说法正确的是A.班级平均分不变，方差变小B.班级平均分不变，方差变大C.班级平均分改变，方差变小D.班级平均分改变，方差变大6.若sin α=13,α=2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,则sin(α-32π)的值为A.- 13B.- 3C. 13D. 37.若直线l :x-2y-15=0经过双曲线M: 2222-x y a b ＝1的一个焦点，且与双曲线M 有且仅有一 个公共点，则双曲线M 的方程为A. 22-520x y =1B. 22-205x y =1C. 22-312x y =1D. 22-123x y 1 8.命题p: ∀x ∈R,e x >2x(e 为自然对数的底数）；命题q: ∃x>1,1nx+1ln x≤2,则下列命题中，真命题是A. ⌝ (p ∨q)B.p ∧qC.p ∧ (⌝q)D.( ⌝p) ∧^q9.若数列{a n }的前n 项积b n =1-27n,则a,的最大值与最小值之和为 A-13 B. 57 C.2 D. 73 10.平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=AA 1=2, ∠BAD=60°,点A 1在平面ABCD 内的射影是AC 与BD 的交点O,则异面直线BD,与AA,所成的角为A.90°B.60°C.45°D.30°11.椭圆E: 2222x y a b+＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆E 上，ΔPF 1F 2的重心为 G.若ΔPF 1F 2的内切圆H 的直径等于121||2F F ,且GH//F 1F 2,则椭圆E 的离心率为 A.B. 23C. 2D. 12 12.若不等式e x -aln(ax-1)+1≥0对∀x ∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立（e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值为A.e+1B.eC.e 2+1D.e 2第II 卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．第16题第一空2分，第二空3分． 把答案填在答题卡上的相应位置。

2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x−10≤0}，B={x|3−x≤0}，则A∪B=()A. {x|−2≤x≤3}B. {x|x≥−2}C. {x|3≤x≤5}D. {x|x≥−5}2.已知复数z=2+i2018(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()1+iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览．下图是从2012年到2017年每年参观人数的折线图．根据图中信息，下列结论中正确的是()A. 2013年以来，每年参观总人次逐年递增B. 2014年比2013年增加的参观人次不超过50万C. 2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多D. 2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次超过160万4.若a=log23，b=log32，c=log46，则下列结论正确的是()A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<b<a5.在等差数列{a n}中，若a3+a11=6，则其前13项的和S13的值是()A. 32B. 39C. 46D. 786.执行如图的程序框图，如果输入的x为3，那么输出的结果是()A. 8B. 6C. 1D. −17.函数f(x)=|2x−2|2x+2的图象大致为()A. B.C. D.8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f(x)的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；③f(0)=1；；．其中正确的是()A. ①②③B. ②③④C. ①④⑤D. ②③⑤9.若双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线和圆x2+y2−4x+3=0相切，则该双曲线的离心率为()A. 2√33B. 43C. √2D. 210.某工厂生产某种产品的月产量y和月份x满足关系y=a⋅0.5x+b.现已知该厂1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为()A. 1.75万件B. 1.7万件C. 2万件D. 1.8万件11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别为AD,AA1的中点，则以下说法错误的是()A. 平面EFC截正方体所的截面周长为2√5+3√2B. 存在BB1上一点P使得C1P⊥平面EFCC. 三棱锥B−EFC和D−FB1C体积相等D. 存在BB1上一点P使得AP//平面EFC12.若函数f(x)={ln (x+1)−x,x≥0,2x2+2x,x<0,则函数f(x)的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(−1,k)，若a⃗//b⃗ ，则k等于______ ．14.已知直线y=x−1与抛物线y2=4x交于A，B两点，则弦AB的长为__________．15.有个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有个空座位相邻的不同坐法有_________种.(用数字作答)三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知命题1：设x i，a i=(i=1,2)均为正实数，若x1+x2=1，则a1x1+a2x2≤(√a1+√a2)2；命题2：x i，a i(i=1,2，3)均为正实数，若x1+x2+x3=1，则a1x1+a2x2+a3x3≤(√a1+√a2+√a3)2；由上述两个命题可知，设x i，a i(i=1,2，3，…，n)均为正实数，若(1)，则(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2=a2+√3bc，acosB=bcosA(1)求角A，B，C的大小；(2)若BC边上的中线AM的长为√7，求△ABC的面积．18.已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球，一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出3个球，将3个球对应的分值相加后记为该局得分，计算完得分后将球放回袋中，当出现第n局得n分(n∈N∗)的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．(1)求在一局游戏中得3分的概率；(2)求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E(X)．19.如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD//BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．(1)求AB的长，并证明：AD1⊥B1D；(2)求平面AA1B1与平面ACD1所成角的余弦值．20.已知F1、F2分别是椭圆C：x2+y2=1的左、右焦点．4(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−54，求点P 的坐标；(2)若直线l 与圆O ：x 2+y 2=14相切，交椭圆C 于A 、B 两点，是否存在这样的直线l ，使得OA ⊥OB ？21. 设函数f(x)=lnx −ax 2+ax ，a 为正实数．(1)当a =2时，求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求证：f(1a )≤0；(3)若函数f(x)有且只有1个零点，求a 的值．22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =2t y =12+√3t (t 为参数)，曲线C 1：{x =2sinφy =2(1+cosφ)(φ为参数)． (1)求直线l 及曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C2：θ=π3(ρ∈R)与直线l和曲线C1分别交于异于原点的A，B两点，求|AB|的值．23.若a>0，b>0，且12a+b +1b+1=1，求a+2b的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解法以及并集的运算．可解出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：A={x|−2≤x≤5}，B={x|x≥3}；∴A∪B={x|x≥−2}．故选：B．2.答案：A解析：解：∵z=2+i 20181+i =2+(i4)504⋅i21+i=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12i，∴z=12+12i．∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为：(12,12)，位于第一象限．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得：在A中，2013年以来，2015年参观总人次比2014年参观人次少，故A错误；在B中，2014年比2013年增加的参观人次超过50万，故B错误；在C中，2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多，故C正确；在D 中，2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次不超过160万，故D 错误．故选：C ．由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多．本题考查命题真假的判断，考查折线图的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 4.答案：C解析：a >1，0<b <1，c >1，又a c =log 23log 46=log 2312log 26=2log 63=log 69>1，∴b <c <a ．5.答案：B解析：解：∵等差数列{a n }中，a 3+a 11=6，∴其前13项的和：S 13=132(a 1+a 13)=132×6=39．故选：B ．由等差数列前n 项和公式及通项公式得S 13=132(a 3+a 11)，由此能求出结果．本题考查等差数列的前13项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6.答案：D解析：本题考查了循环结构的程序框图，属于基础题．模拟程序运行即可求解．解：由程序框图知：程序第一次运行x =3−2=1；第二次运行x =1−2=−1，满足x <0，∴执行y =(−1)3=−1．∴输出−1．故选：D ．7.答案：B解析：解：当x=0时，f(0)=2−11+2=13，当x=1时，f(1)=0，故排除A，由于f(x)≥0恒成立，故排除C，当x→+∞时，f(x)→1，故排除D，故选：B．利用函数值的变化趋势判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数值的变化趋势，考查计算能力．8.答案：C解析：解：由图可得：函数函数y=Asin(ωx+ϕ)的最小值−|A|=−2，令A>0，则A=2，又∵T4=7π12−π3，ω>0∴T=π，ω=2，∴y=2sin(2x+ϕ)将(7π12,−2)代入y=2sin(2x+ϕ)得sin(7π6+ϕ)=−1即7π6+ϕ=3π2+2kπ，k∈Z即ϕ=π3+2kπ，k∈Z∴f(x)=2sin(2x+π3 ).∴f(0)=2sinπ3=√3，f(x+π6)=2sin[2(x+π6)+π3]=2sin(2x+2π3).f(π4)=2sin(π2+π3)=1.对称轴为直线x=kπ2+π12，一个对称中心是(5π6,0)，故②③不正确；根据f(x)=2sin(2x+π3)的图象可知，④f(12π11)<f(14π13)正确；由于f(x)=2sin(2x+π3)的图象关于点(5π6,0)中心对称，故⑤f(x)=−f(5π3−x)正确．综上所述，其中正确的是①④⑤．故选C．9.答案：D解析：本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题．根据圆方程，得到圆心坐标C(2,0)，圆x2+y2−4x+3=0与渐近线相切，说明C到渐近线的距离等于半径1，再根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，算出c=2a，即可得出该双曲线的离心率．解：圆x2+y2−4x+3=0可化为(x−2)2+y2=1∴圆心坐标C(2,0)∵双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为ax±by=0，圆x2+y2−4x+3=0与渐近线相切，∴C到渐近线的距离为|2a|√a2+b2=1，即c=2a因此该双曲线的离心率为e=ca=2故选：D10.答案：A解析：本题主要考查了函数模型的应用，属于基础题．将x=1，2分别带入y=a⋅0.5x+b，联立解出a，b的值，再将x=3代入方程即可求出三月份的产量．解析：解：由题意可得{1=0.5a+b1.5=0.25a+b，解得a=−2，b=2，所以y=−2×0.5x+2，将x=3代入y=−2×0.5x+2得，y=1.75，故选A．11.答案：B解析：本题考查了线面的位置关系的判断，考查了体积的运算，属于中档题．由面面垂直的判定定理结合正方体ABCD−A1B1C1D1的结构可得答案．解：若存在BB1上一点P使得平面EFC，由C1P⊂面BB1C1C，故可得平面EFC⊥面BB1C1C，然而面BB1C1C⊥面ABCD，面BB1C1C⊥面AA1B1B，面BB1C1C⊥面A1B1C1D1，面BB1C1C⊥面DCC1D1，故平面EFC不可能和面BB1C1C垂直，故可知不存在BB1上一点P使得平面EFC，故选B12.答案：C解析：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用导数求出函数单调性进而求出函数零点，属于基础题．解：根据函数可做出如下图像：−1，当x≥0时，f(x)=ln(x+1)−x，f′(x)=1x+1令f′(x)=0，得x=0，且f′(x)在x≥0恒小于零，∴f(x)在(0,+∞)单调递减，可知f(x)在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=0，x=0是一个零点；当x<0时，f(x)=2x2+2x，是简单的一元二次方程，令f(x)=0，解得x=−1或x=0(舍去)，综上可知f(x)的零点有x=−1和x=0两个零点，故选C．13.答案：−12解析：解：∵向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(−1,k)，a⃗//b⃗ ，∴2k+1=0，．解得k=−12故答案为：−12根据向量平行列方程解出k．本题考查了向量平行与坐标的关系，属于基础题．14.答案：8解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．解：将直线l：x−y−1=0过(1,0)即抛物线方程y2=4x的焦点坐标，联立直线与抛物线方程，消元y，可得x2−6x+1=0∴x1+x2=6，∴弦AB的长为x1+x2+p=6+2=8．故答案为8．15.答案：480解析：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个座位上，排好后，有5个空档可用，②，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个座位上，有A44=24种情况，排好后，有5个空档可用，②，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，有A52=20种情况，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有24×20=480种；故答案为480．16.答案：x1+x2+x3+⋯+x n=1a1 x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2解析：本题考查归纳推理的应用，属于基础题目．解：由命题①②可归纳为若x1+x2+x3+⋯+x n=1，则a1x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2．故答案为x1+x2+x3+⋯+x n=1；a1x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2．17.答案：解：(1)在△ABC中，∵b2+c2=a2+√3bc，∴b2+c2−a2=√3bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =√32，又A∈(0,π)，∴A=π6．∵acosB=bcosA，∴sinAcosB −sinBcosA =0， 即sin(A −B)=0， ∴A −B =0， ∴B =A =π6． ∴C =π−A −B =2π3．(2)∵A =B ， ∴BC =AC ，设CM =x ，则AC =2x ， 又AM =√7， 在△ACM 中，由余弦定理得：AM 2=CM 2+AC 2−2CM ⋅AC ⋅cos 2π3，∴7=x 2+4x 2−4x 2⋅(−12)，解得x =1． ∴AC =BC =2x =2，∴S △ABC =12AC ⋅BC ⋅sin 2π3=12×2×2×√32=√3．解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．(1)根据余弦定理求出A ，利用正弦定理将边化角得出A ，B 的关系求出B ，利用内角和求出C ； (2)设CM =x ，在△ACM 中，利用余弦定理列方程解出CM ，得出AC ，BC ，代入面积公式计算面积．18.答案：解：(1)设“在一局游戏中得3分”为事件A ，则P(A)=C 21C 21C 11C 53=25．(2)X 的所有可能取值为1，2，3，4，在一局游戏中得2分的概率为C 21C 22+C 22C 11C 53=310，P(X =1)=C 22C 21C 53=15，P(X =2)=45×310=625，P(X =3)=45×(1−310)×25=28125， P(X =4)=45×(1−310)×35=42125， ∴X 的分布列为X 12 3 4P156252812542125∴E(X)=1×15+2×625+3×28125+4×42125=337125．解析：本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题． (1)根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值;(2)由题意知随机变量X 的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值， 求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．19.答案：解：(1)由题意得AB ，AD ，AA 1两两垂直，如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =t ，则A(0,0，0)，B(t,0，0)，B 1(t,0，3)，C(t,1，0)，C 1(t,1，3)，D(0,3，0)，D 1(0,3，3)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1，0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,3，0)， ∵AC ⊥BD ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t 2+3+0=0， 解得t =√3或t =−√3(舍去)，∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，3)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,−3)， ∵AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD 1⊥B 1D . (2)由(1)得AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)， 设n⃗ =(x,y ，z)是平面ACD 1的一个法向量， 则{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0n ⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3y +3z =0，令x =1，得n ⃗ =(1,−√3,√3)， 平面AA 1B 1的法向量m⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=√31×√7=√217． ∴平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角的余弦值为√217．解析：(1)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量能求出AB 的长，并证明AD 1⊥B 1D .(2)求出平面ACD 1的一个法向量和平面AA 1B 1的法向量，利用向量法能求出平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)由椭圆方程为x 24+y 2=1，可知：a =2，b =1，c =√3，∴F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，设P(x,y)，(x,y >0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x,−y)⋅(√3−x,−y)=x 2+y 2−3=−54，又x 24+y 2=1，联立解得：{x =1y =√32,∴P(1,√32)． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).①若l 的斜率不存在时，l ：x =±12，代入椭圆方程得：y 2=1516，容易得出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=14−1516=−1116≠0，此时OA ⊥OB 不成立．②若l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ， 则由已知可得√k 2+1=12，即k 2+1=4m 2．由{y =kx +m x 2+4y 2=4，可得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 则x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1⋅x 2=4(m 2−1)4k 2+1．要OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即x 1⋅x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=km(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1⋅x 2+m 2=0， 即5m 2−4k 2−4=0，又k 2+1=4m 2．∴k 2+1=0，此方程无实解，此时OA ⊥OB 不成立． 综上，不存在这样的直线l ，使得OA ⊥OB ．解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)设P(x,y)，(x,y >0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3=−54，又x 24+y 2=1，联立解出即可得出．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).①若l 的斜率不存在时，l ：x =±12，代入椭圆方程得：y 2=1516，容易得出OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0，此时OA ⊥OB 不成立． ②若l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，则由已知可得√k 2+1=12.直线方程与椭圆方程联立可得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0，要OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1⋅x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=km(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1⋅x 2+m 2=0，把根与系数的关系代入可得5m 2−4k 2−4=0，又k 2+1=4m 2.解出即可判断出结论．21.答案：(1)解：当a =2时，f(x)=lnx −2x 2+2x ，f′(x)=1x −4x +2，∴f′(1)=−1， ∵f(1)=0，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y =−x +1； (2)证明：f(1a )=−lna −1a +1(a >0)， 令g(x)=−lnx −1x +1(x >0)，则g′(x)=1−x x 2，∴0<x <1时，g′(x)>0，函数单调递增；x >1时，g′(x)<0，函数单调递减，∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，∴g(x)≤g(1)=0，∴f(1a)≤0；(3)解：由题意可知，函数f(x)有且只有1个零点为1，则f′(1)=0，即1−2a+a=0∴a=1．解析：(1)求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；(2)构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；(3)由题意可知，函数f(x)有且只有1个零点为(1,0)，则f′(1)=0，即可得出结论．本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)直线l的一般方程为√3x−2y+24=0，直线l的极坐标方程为，曲线C1的标准方程为x2+(y−2)2=4，所以曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ．(2)将θ=π3分别代入和ρ=4sinθ得ρA=16√3，ρB=2√3，所以|AB|=|ρA−ρB|=|16√3−2√3|=14√3．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是中档题．(1)分别化直线与圆的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程；(2)把曲线θ=π3分别代入直线l和曲线C1的极坐标方程，求出A，B的极径，得|AB|=|ρA−ρB|= |16√3−2√3|=14√3．23.答案：解：设a+2b=t，则a=t−2b，因为a>0，b>0，12a+b +1b+1=1，所以12(t−2b)+b +1b+1=1，即12t−3b +1b+1=1，所以12t−3b =1−1b+1=bb+1.从而2t−3b=b+1b =1+1b，即2t=3b+1b +1⩾2√3b×1b+1=2√3+1，当且仅当b=√33时取等号，所以t⩾2√3+12.故a+2b的最小值为2√3+12．解析：本题主要考查了利用基本不等式求最值，为中档题．设a+2b=t，则a=t−2b，代入12a+b +1b+1=1，得到2t=3b+1b+1，利用基本不等式进行求解即可．。

合肥市高三第一次教学质量检测理数试题—附答案合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) (考试时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷 (60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则( ). A. B. C. D.2.设复数满足(为虚数单位)，在复平面内对应的点为(，)，则( ). A. B. C. D. 3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自xx年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是xx-xx年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( ).A.这五年，xx年出口额最少B.这五年，出口总额比进口总额多C.这五年，出口增速前四年逐年下降D.这五年，xx年进口增速最快4.下列不等关系，正确的是( ). A. B. C. D. 5.已知等差数列的前项和为，，，则的值等于( ). A.21 B.1 C.-42 D.0 6.若执行右图的程序框图，则输出的值等于( ). A.2 B.3 C.4 D.5 7.函数的图象大致为( ). 8.若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是( ). A.的图象关于对称 B.在上有2个零点 C.在区间上单调递减 D.在上的值域为 9.已知双曲线()的左右焦点分别为，圆与双曲线的渐近线相切，是圆与双曲线的一个交点.若，则双曲线的离心率等于( ). A. B.2 C. D. 10.射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( ). (注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001) A. B. C. D. 11.已知正方体，过对角线作平面交棱于点E，交棱于点F，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；③平面与平面不可能垂直；④四边形的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为( ). A.①④B.②③C. ①②④D. ①②③④ 12.已知函数，则函数的零点个数为( ) (是自然对数的底数). A.6 B.5 C.4 D.3 第Ⅱ卷 (90分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.已知向量(1，1)，，且∥，则的值等于 . 14.直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，弦的长为16，则直线的倾斜角等于 . 15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传 ___新时代 ___社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有种. 16.已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切(，且)，则球的体积等于，球的表面积等于 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分) 在中，内角所对的边分别为，若，. (1)求；(2)若边的中线长为，求的面积. 18.(本小题满分12分) “大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数 40 40 20 该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)：(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X 的分布列与数学期望. 19.(本小题满分12分) 如图，已知三棱柱中，平面平面，，. (1)证明：；(2)设，，求二面角的余弦值. 20.(本小题满分12分) 设椭圆()的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论. 21.(本小题满分12分) 已知函数(为自然对数的底数). (1)求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；(2)设方程()有两个实数根，，求证：. 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为. (1)求曲线的直角坐标方程；(2)设曲线与直线交于点，点的坐标为(3，1)，求. 23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()，不等式的解集为. (1)求的值；(2)若，，，且，求的最大值. 合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.-2 14.或 15.72 16.，(第一空2分，第二空3分) 三、解答题：大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分12分) 解：(1)在中，，且，∴，∴，又∵，∴. ∵是三角形的内角，∴. ………………………………5分 (2)在中，，由余弦定理得，∴，∵，∴. 在中，，，，∴的面积. ………………………………12分 18.(本小题满分12分) (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：. ………………………………5分 (2)可能取值为0，1，2，3. 则，，，，∴的分布列为 0 1 2 3 ∴. ……………………………12分或解：∵随机变量服从，∴. ……………………………12分19.(本小题满分12分) (1)连结. ∵，四边形为菱形，∴. ∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面. 又∵，∴平面，∴. ∵，∴平面，而平面，∴. …………………………5分 (2)取的中点为，连结. ∵，四边形为菱形，，∴，. 又∵，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设，，，，∴(0，0，0)，(1，0，)，(2，0，0)，(0，1，0)，(-1，1，). 由(1)知，平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则，∴. ∵，，∴. 令，得，即 . ∴，∴二面角的余弦值为. ……………………………12分 20.(本小题满分12分) (1)设椭圆的半焦距为.由椭圆的离心率为知，. 设圆的半径为，则，∴，解得，∴，∴椭圆的方程为. ……………………………5分 (2)∵关于原点对称，，∴. 设，. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由直线和椭圆方程联立得，即，∴. ∵，，∴，∴，，∴圆的圆心O到直线的距离为，∴直线与圆相切. 当直线的斜率不存在时，依题意得，. 由得，∴，结合得，∴直线到原点O的距离都是，∴直线与圆也相切. 同理可得，直线与圆也相切. ∴直线、与圆相切. …………………………12分 21.(本小题满分12分) (1)由，得，∴函数的零点. ，，. 曲线在处的切线方程为. ，，∴曲线在处的切线方程为.………………………5分 (2). 当时，；当时，. ∴的单调递增区间为，单调递减区间为. 由(1)知，当或时，；当时，. 下面证明：当时，. 当时， . 易知，在上单调递增，而，∴对恒成立，∴当时，. 由得.记. 不妨设，则，∴. 要证，只要证，即证. 又∵，∴只要证，即. ∵，即证. 令. 当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数. ∴，∴，∴. (12)分 22.(本小题满分10分) (1)曲线的方程，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为：. …………………………5分 (2)把直线代入曲线得，得，. ∵，设为方程的两个实数根，则，，∴为异号，又∵点(3，1)在直线上，∴. …………………………10分 23.(本小题满分10分) 解：(1)∵，∴的解集为，∴，解得，即. …………………………5分 (2)∵，∴. 又∵，，，∴，当且仅当，结合解得，，时，等号成立，∴的最大值为32. …………………………10分模板,内容仅供参考。

2022-2023学年安徽省合肥市高三第一次教学质量检测数学试题（一模）1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为.( )A. B. C. D.2. 设集合，，则( )A. B.C. D.3. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据.经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响.已知国外某地新冠病毒感染率为，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为，若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为( )A. B. C. D.4. 将函数图象上各点横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位得到曲线若曲线C的图象关于y轴对称，则的值为( )A. B. C. D.5. 已知，，则p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知线段PQ的中点为等边三角形ABC的顶点A，且，当PQ绕点A转动时，的取值范围是( )A. B. C. D.7. 抛物线的焦点为F，曲线交抛物线E于A，B两点，则的面积为( )A. 4B. 6C.D. 88. 已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为s，则s的面积为( )A. B. C. D.9. 已知，函数的图象可能是.( )A. B.C. D.10. 已知数列满足若，都有成立，则整数的值可能是( )A. B. C. 0 D. 111. 已知圆锥是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点的母线长为，高为若P，Q 为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是( )A. 三角形SPQ面积的最大值为B. 三棱锥体积的最大值C. 四面体SOPQ外接球表面积的最小值为D. 直线SP与平面SOQ所成角的余弦值的最小值为12. 已知函数是偶函数，且当时，，则下列说法正确的是( )A. 是奇函数B. 在区间上有且只有一个零点C. 在上单调递增D. 区间上有且只有一个极值点13. 函数在点处的切线与直线平行，则实数__________.14. 二项式展开式中，的系数是__________.15. 已知AB为圆的一条弦，M为线段AB的中点.若为坐标原点，则实数m的取值范围是__________.16.已知双曲线的左右焦点分别为，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与y轴交于Q点.若，则双曲线E的离心率的取值范围为__________.17.已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，求数列的通项公式求证：18. 如图，正方体的棱长为4，点M为棱的中点，P，Q分别为棱BB，上的点，且，PQ交于点求证：平面求多面体BDMPQ的体积.19. 已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且若，求A的大小;当取得最大值时，试判断的形状.20. 已知曲线，对曲线C上的任意点做压缩变换，得到点求点所在的曲线E的方程;设过点的直线l交曲线E于A，B两点，试判断以AB为直径的圆与直线的位置关系，并写出分析过程.21. 研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病发生或恶化.某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天昼夜温差47891412新增就诊人数位参考数据：，已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为，求的值;已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为时，该校新增患感冒的学生数结果保留整数参考公式：，22. 已知函数讨论函数的单调性;若关于x的方程有两个实数解，求a的最大整数值.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念，属于较易题．由题意，利用复数运算法则得到z，根据复数的概念，即可得结果．【解答】解：由题意知，的虚部为故选2.【答案】B【解析】【分析】本题考查补集运算，属于较易题.，由补集运算即可求解.【解答】解：，则故选3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查条件概率的概念与计算，属于较易题.结合条件概率计算公式求解即可.【解答】解：设国外某地新冠病毒感染为事件A，则，标本检出阳性为事件B，则，因为，所以该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为故选4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查正弦型函数的图象变换，以及正弦型函数的奇偶性，属于较易题.根据题意求出平移后曲线C的解析式，再利用曲线C关于y轴对称解答即可.【解答】解：由题意得，曲线C的解析式为，曲线C的图象关于y轴对称，，，解得，，又，故选5.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分、必要、充要条件的判断，以及利用对数函数的单调性解不等式，属于较易题.设，判断函数的奇偶性和单调性，然后根据定义法判断p与q的关系可得.【解答】解：设，定义域为，则，函数是奇函数，由复合函数的单调性知在上单调递增，由奇函数的性质知函数在R上是增函数，①若，有，从而，即，，故p是q的充分条件；②若，即，，即，故p是q的必要条件;综上所述，p是q的充要条件.故选6.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量的数量积的概念及其运算，以及向量的加减与数乘混合运算，属于中档题.利用向量的线性运算用向量表示，，再通过向量数量积的运算即可确定的取值范围.【解答】解：由题意得，，，，，故选7.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与抛物线位置关系及应用，抛物线中的面积问题，属于中档题．根据题意可知，曲线l当时，；当时，，二者分别与抛物线联立，可求出点A、点B的坐标，则及直线AB的方程可求，继而可求点F到直线AB的距离，则可求的面积.【解答】解：由题意可知，抛物线E：的焦点F的坐标为，曲线，当时，，当时，，当时，与抛物线方程联立并消y，化简得，解得或舍去，则A点横坐标为，点纵坐标为，点坐标为，同理可得，当时，与抛物线方程联立并消y，可求得B点横坐标为，则B点纵坐标为，点坐标为，则，可得直线AB的方程为，即，点到直线AB的距离为，，的面积故选8.【答案】C【解析】【分析】本题考查空间几何体的截面问题，以及线面垂直的性质，属于较难题.取AC的中点O，则O是正方形ABCD的中心，连接MO，取的中点G，连接NG，DG，过M作，交DC于H，利用面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质得平面MOH就是平面，在平面内，以D为坐标原点，DC，所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，利用向量的数量积与向量的垂直关系得，再利用面面平行的性质得和，最后利用平面几何知识，计算得结论.【解答】解：如图取AC的中点O，则O是正方形ABCD的中心，连接MO，因为M是侧面的中心，易得，又因为N是侧面的中心，所以N是的中点，而在正方体中，，所以，所以，取的中点G，连接NG，DG，在平面内，过M作，交DC于H，交于E，交的延长线于S，因为N是的中点，G是的中点，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，因为，DG、平面DNG，所以平面DNG，因为平面DNG，所以，因为，MO、平面MOH，所以平面MOH，即平面MOH就是平面，延长HO，分别交AB，DA的延长线于Q，T，连接ST，分别交，于P，F，因此五边形QHEFP是平面截正方体所得的截面，因为正方体的棱长为4，所以正方形的边长为4，在平面内，以D为坐标原点，DC，所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系如下图：则，，，设，则，，因为，所以，解得，即，而，因此，所以，即，解得，在图1中，因为四边形ABCD也是边长为4的正方形，O为AC的中点，所以，因此，因为平面平面，平面分别交平面ABCD，平面于FE，TH，所以，且，同理可得，且，在中，因为，，所以，因此，所以五边形QHEFP面积故选9.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，属于较易题.分、和三种情况由排除法可得结论.【解答】解：当时，，此时函数为一条射线，且函数在上为增函数，B选项符合；当时，函数在上为增函数，在上为减函数，所以函数在上为增函数，此时函数在上只有一个零点，A选项符合；当时，时，函数的增长速度远小于函数的增长速度，所以时，函数一定为减函数，选项C符合，D不符合.故选10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查利用函数的单调性解不等式，数列的单调性，属于中档题．根据题意求出，问题转化为，恒成立，对n分奇数、偶数讨论即得结论．【解答】解：，，两式相减得，，都有成立，，恒成立，即，恒成立，当时，恒成立，即恒成立，，，当时，恒成立，即，，，综上所述，，整数的值可能是0或故选11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查棱锥的体积，球的切、接问题，以及直线与平面所成的角，属于中档题.由圆锥SO的结构特征，求出底面圆半径r，再对照选项，逐一判断即可.【解答】解：由题意，底面圆O半径，对于选项A，如图，当P，Q位于直径端点时，，从而，即，故存在PQ使得，此时三角形PSQ面积最大，，故A错误;对于选项B，因为，当时，三棱锥体积的最大，，故B正确;对于选项C，当P，Q趋于重合时，的外接圆半径趋近于1，故四面体SOPQ外接球的半径R趋近于，此时四面体SOPQ外接球表面积S趋近于，故C错误;对于选项D，设直线SP与平面SOQ所成角的为，设d为P到平面SOQ的距离，故，其中当时，d取最大值2，此时取最大值，此时取最小值，故D正确.故选12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的零点，利用导数判断已知函数的单调性，利用导数求已知函数的极值或极值点，以及判断或证明函数的奇偶性，是较难题.由已知根据对称性判断奇偶性可判断利用导数结合复合函数的性质判断函数在上单调性、极值、零点即可判断CD，再结合函数的对称性、周期性即可判断【解答】解：函数为偶函数，函数的图象关于对称，则，又，，函数是奇函数，故A正确;，，函数是周期为4的周期函数，当时，，，令，则，，，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，又在上单调递减，故根据复合函数单调性可得在上单调递增，在上单调递减，又，，，故在上存在唯一的使得，故当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，故在上有且只有一个极值点，故D正确;又，故，即，故在上单调递增，故C正确;，，，故存在唯一的，使得，即在上有唯一零点，由关于对称，故在上有且只有2个零点，又周期为4，故在上有且只有2个零点，故B错误.故选13.【答案】5【解析】【分析】本题考查已知斜率求参数，导数的几何意义，两条直线平行与斜率的关系，属于较易题.求出导函数，运用切线与直线平行，即可求a的值．【解答】解：，，曲线在处的切线与直线平行，故其斜率相等且为，，解得故答案为：14.【答案】15【解析】【分析】本题考查二项式指定项的系数与二项式系数，属于较易题.利用乘法分配律和二项式展开式的通项公式，求得的系数即可.【解答】解：展开式的通项为，当时，解得，当时，解得，不符合题意，当时，解得，在的展开式中，含项的系数是由的含x 项的系数加上含项的系数，展开式中含项的系数是故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系的判断及求参，属于较难题.由题意可得，进而可得存在AB为圆C的一条弦，使得，可得，求解即可.【解答】解：圆的圆心坐标为，半径为，为线段AB的中点，，又，，，存在AB为圆C的一条弦，使得，，则，此时，当OA、OB与圆相切时，有最大值，则，解得，则实数m的取值范围是故答案为：16.【答案】【解析】【分析】本题考查求双曲线的离心率，属于较难题.设，，根据，可得，根据P、Q、三点共线可得，由斜率公式列式可求，再根据题意可得，解不等式即可求解.【解答】解：如图，设，，则，，，，，即，①又、Q、三点共线，，即，②由①②可得，为双曲线右支上一点，，，，，解得，即双曲线E的离心率的取值范围为故答案为17.【答案】解：设等差数列的公差为d，，，，，，解得或舍去，，；证明：，，故【解析】本题考查裂项相消法求和，以及等差数列的通项公式，属于中档题.求出首项和公差，由等差数列的通项公式即可求解;利用放缩法和裂项相消法求和即可求证.18.【答案】解：证明：，正方体的棱长为4，，又，，，≌，，即点N为线段的中点，取BC的中点为E，连接AE、NE，，且，为棱的中点，，，且，四边形AMNE为平行四边形，，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD；连接DP，设多面体BDMPQ的体积为V，【解析】本题考查线面平行的判定，简单组合体的表面积与体积，属于中档题.取BC的中点为E，连接AE、NE，通过求证，由线面平行的判定定理即可求证;利用即可求解.19.【答案】解：，即，，，即，当时，，又，解得；由知，，，，当且仅当，即当，时，等号成立，的最大值为，又，的最大值为，此时，，为直角三角形.【解析】本题考查利用余弦定理解三角形，两角和与差的正切公式，以及由基本不等式求最值，属于中档题.利用正、余弦定理化简已知式子，得出，即可求出结果；由，利用基本不等式求出的最大值以及取得最大值时，角C的值，即可求出结果.20.【答案】解：由，得，代入，得，曲线E的方程为；当直线l的斜率存在时，设，由消去y，整理得，设，，则，以AB为直径的圆的圆心横坐标为，又，以AB为直径的圆的半径为，则圆心到直线的距离为，，即，以AB为直径的圆与直线相离，当直线l的斜率不存在时，易知以AB为直径的圆的半径为，圆的方程是，该圆与直线相离，综上所述，以AB为直径的圆与直线相离.【解析】本题考查直线与圆的位置关系的判断及求参，椭圆的弦长，以及椭圆的标准方程，属于较难题.由得，代入即可求解;当直线l的斜率存在时，设，联立椭圆方程，利用根与系数的关系和弦长公式求出，求出以AB为直径的圆的半径R和圆心到直线的距离d，比较后即可作出判断;当直线l的斜率不存在时，求出圆的方程，可判断出直线与圆的位置关系.21.【答案】解：由题意得，，，解得；，，，，，，又，解得，，，当时，，可以估计，昼夜温差为时，该校新增患感冒的学生数为33人.【解析】本题考查古典概型及其计算，回归直线方程，以及用回归直线方程对总体进行估计，属于较难题.利用，即求解即可;由题意求出和，可得回归直线方程，再令即可求预测值.22.【答案】解：，，，，①当，即时，恒成立，此时，在上单调递减；②当，即时，由，解得，由，解得，由，解得，或，此时，在和上单调递减，在上单调递增；③当，即时，由，解得或舍，由，解得，由，解得，此时，在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；令，则，，由知，当时，在上单调递减，在上至多有一个零点，不符合题意舍去，是整数，，当时，由知在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，，若在上有两个零点，则有，，令，则，，则，在上单调递增，又，，存在唯一的，使得，当时，，此时，若，则，，令，则在上单调递增，又，，当时，，此时，，，当时，成立，的最大整数值为【解析】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究函数的零点，属于较难题．求出原函数的导函数，，根据分类讨论，由导函数的符号可得原函数的单调性即可；令，通过导数研究函数单调性及零点，即可求得结果.。

安徽省合肥市2020届高三第一次教学质量检测（数学理）doc高中数学 数学试题〔理科〕〔考试时刻：120分钟总分值：150分〕本卷须知：1．选择题用答题卡的考生，答第1卷前，务必将自己的姓名、准考证号、试题科目用2B 铅笔涂写在答题卡上。

2．选择题用答题卡的考生，在答第I 卷时，每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷和答题卷的选择题栏中；不用答题卡的考生，在答第I 卷时，每题选出答案后，填在答题卷相应的选择题栏上。

3．答第二卷时，考生务必将自己的学校、姓名、考点、准考证号填在答题卷相应的位置；答题时，请用0.5毫米的黑色签字笔直截了当答在答题卷上，不要在试题卷上答题。

4．考试终止，监考人将答题卷和答题卡一并收回，第I 、Ⅱ卷不收回。

第一卷〔总分值50分〕一、选择题〔本大题共l0题，每题5分，共50分；在每题给出的4个选项中，只有一是符合题目要求的〕 1．复数5(3)2iZ i i=-+-在复平面内的对应点位于 〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．集合2{1,0,4},A N =-≤∈集合B={x|x -2x-30,x }， 全集为U ，那么图中阴影部分表示的集合是〔 〕 A ．{4} B ．{4，—1} C ．{4，5} D ．{—1，0} 3．以下命题：①,x ∀∈R 不等式2243x x x +>-成立; ②假设2log log 22x x +≥ ，那么x>1; ③命题〝00,c ca b c a b>><>若且则〞的逆否命题；④假设命题p: 2,11x x ∀∈+≥R ，命题q ：2,210x x x ∃∈--≤R ，那么命题p q ∧⌝是真命题.其中真命题只有〔 〕A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④4．假如执行如图的程序框图，那么输出的值是〔 〕A ．2018B ．—1C ．12D ．25．从四棱锥S —ABCD 的八条棱中任取两条，其中抽到两条棱成异面直线的概率为〔 〕A ．17B ．12 C ．27D ．476．某一几何体的正视图与侧视图如图，那么在以下图形中，能够是该几何体的俯视图的图形有 〔 〕 A ．①②③⑤ B ．②③④⑤ C ．①②④⑤D ．①②③④ 7．函数2ln 2(0)()21(0)x x x x f x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩的零点个数是〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．38．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆221(2)x y=-+都相切，那么双曲线C 的离心率是 〕A ．632或B ．23或C ．2323或 D ．23632或 9．如图，△ABC 中，AD=2DB ，AE=3EC ，CD 与BE交于F ，设,,,(,)AB a AC b AF xa yb x y ===+则 为 〔 〕 A ．11(,)32B ．11(,)43C ．33(,)77D ．29(,)52010．函数321()232x f x ax bx c =+++的两个极值分不为1212(),(),,f x f x x x 若分不在区间〔0，1〕与〔1，2〕内，那么21b a --的取值范畴是 〔 〕A ．〔一1，一14〕B ．〔—∞，14〕∪〔1，+∞〕C ．〔1,14〕 D ．〔2,24〕第二卷〔总分值100分〕二、填空题〔本大题共5题，每题5分，共25分；把答案填在题中横线上〕 11．在20171(2)x x x-+-的展形式中含项的系数是 。

2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知zi=2−i，则复数z的虚部为()A. −iB. 2C. −2iD. −22.设集合，B={2,3}，则A∪B=()A. {−1,0，1，2，3}B. {1,2，3}C. [−1,2]D. [−1,3]3.执行如图所示的程序框图，则输出的i=()A. 4B. 5C. 6D. 74.设S n为等差数列{a n}的前n项和，且4+a5=a6+a4，则S9=()A. 72B. 36C. 18D. 95.“a=−2”是“函数f(x)=|x−a|在区间[−2,+∞)上为单调递增函数”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.下图为国家统计局发布的2014～2018年国内生产总值条形图．则下列说法错误的是()A. 2014年的增长率最高B. 从2014年到2018年生产总值逐年增长C. 2015年的增长率比上一年的增长率低一些D. 2018年在上一年生产总值基础上增加的数量大于2017年在上一年生产总值基础上增加的数量7.对于直线m，n与平面α，下列推理正确的是()A. m//n，n⊂α⇒m//αB. m⊥n，n⊂α⇒m⊥αC. m//α，n⊂α⇒m//nD. m⊥α，n⊂α⇒m⊥n−2x)9的展开式中，常数项是()8.在(√xA. C93B. −C93C. 8C93D. −8C939.如图是某几何体的三视图，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则该几何体的体积为()A. 4√3 B. 4 C. 4√3 D. 8√3310. 某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖．规定每位顾客有3次抽奖机会，但中奖1次就停止抽奖．假设每次抽奖相互独立，则顾客中奖的概率是( ) A. 427 B. 13 C. 59 D. 1927 11. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，若双曲线上存在点M 满足|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 3C. √6D. √3 12. 若函数有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是( )A. a >1B. −1<a <0C. a <1D. 0<a <1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足约束条件{x +y ⩾2,2x +y ⩽4,4x −y ⩾−1,则z =y+2x+2的取值范围是________．14. 已知向量a ⃗ =(−1,3)，b ⃗ =(3,t)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|2a ⃗ +b ⃗ |=______．15. 在锐角△ABC 中，BC =1，B =2A ，则AC 的取值范围为_______．16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A i (2i ,i+(−1)i ⋅i 2)(i ∈N ∗)，记△A 2i−1A 2i A 2i+1的面积为S i ，则∑S i =n i=1________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知函数f(x)=sinxcosx +cos 2x.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)在区间[−3π8,m]上单调递增，求实数m 的最大值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且AB⊥BC，AD//BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．(1)求证：DE⊥平面PBC；(2)求二面角A−PD−E的余弦值．19.为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：cm)，其频率分布直方图如图所示(1)求该植物样本高度的平均数x−和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)假设该植物的高度Z服从正态分布N(μ,a2)，其中μ近似为平均数x−，a2近似为样本方差s2，利用该正态分布求P(64.5<Z<96)附：√110≈10.5，若Z～N(μ,a2)，则P(μ−ɛ<Z<μ+ɛ)=0.6826，P(μ−2ɛ<Z<μ+2ɛ)=0.9544．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，若圆x 2+y 2=a 2被直线x −y −√2=0截得的弦长为2(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知点A 、B 为动直线y =k(x −1)，k ≠0与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点M ，使得MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值？若存在，试求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=x 2e −ax ，其中a >0，e 是自然对数的底数，e =2.71828…．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)求f(x)在[1,2]上的最大值．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：{x=2+2cosθy=2sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α(ρ>0)．(1)将圆C的参数方程化为极坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,√3)，射线l与圆C交于点B不同于点O)，求△OAB面积的最大值．23.已知函数f(x)=|x−2|+|3x+a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)≥5；(2)若存在x0满足f(x0)+2|x0−2|<3，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由zi=2−i得z=2−ii =2i−1=−1−2i，则复数z的虚部为−2，故选：D．根据复数的运算法则进行化简，结合虚部的定义进行求解即可．本题主要考查复数的概念的应用，结合复数的运算法则是解决本题的关键．2.答案：B解析：【分析】本题考查并集的求法，考查并集、不等式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合，B={2,3}，∴A∪B={1,2，3}．故选B．3.答案：D解析：【分析】本题考查循环结构的程序框图，根据框图，模拟运行求解即可．【解答】解：由框图，第一次循环，a=4，i=3，第二次循环，a=43=64，i=5，第三次循环，a=45=1024，i=7，第四次循环，a=47>1024，此时退出循环，所以输出的i的值为7．故选D．4.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(a1+a9)，能求出结果．推导出4+a5=2a5，从而a5=4，再由S9=92【解答】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，且4+a5=a6+a4，∴4+a5=2a5，解得a5=4，∴S9=9(a1+a9)=9a5=36．2故选B．5.答案：A解析：解：要使函数f(x)=|x−a|在区间[−2,+∞)上为单调递增函数，则a≤−2，∴“a=−2”是“函数f(x)=|x−a|在区间[−2,+∞)上为单调递增函数”的充分不必要条件．故选：A．结合函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用绝对值函数的性质是解决本题的关键．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查统计中条形图的应用，属于基础题．根据图表逐项判断即可．【解答】解：由国家统计局发布的2014～2018年国内生产总值条形图，A选项，2014年的增长率最高，正确；B选项，从2014年到2018年生产总值逐年增长，正确；C选项，2015年的增长率比上一年的增长率低一些，正确；D选项，2018年在上一年生产总值基础上增加的数量为900309−820754=79555，小于2017年在上一年生产总值基础上增加的数量820754−740061=80693，不正确．故选D．7.答案：D解析：【分析】本题考查命题真假的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．在A中，m//α或m⊂α；在B中，m与α相交、平行或m⊂α；在C中，m与n平行或异面；在D 中，由线面垂直的性质定理得m⊥n．【解答】解：在A中，m//n，n⊂α⇒m//α或m⊂α，故A错误；在B中，m⊥n，n⊂α⇒m与α相交、平行或m⊂α，故B错误；在C中，m//α，n⊂α⇒m与n平行或异面，故C错误；在D中，m⊥α，n⊂α，由线面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确．故选D．8.答案：D解析：【分析】本题考查二项展开式通项公式的应用，属于基础题目．利用二项展开式的通项公式得出即可．【解答】解：(√x −2x)9的展开式的通项公式为Tk+1=C9k(√x)9−k(−2x)k=(−2)k C9k x3k−92，由3k−9=0可得k=3，∴(√x−2x)9的展开式的常数项为(−2)3C93=−8C93．故选D．9.答案：C解析：【分析】本题考查三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，属于基础题．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：底面为边长为2的正三角形，高为4的三棱柱，故：V =12⋅2⋅2⋅√32⋅4=4√3， 故选C ．10.答案：D解析：【分析】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，属于基础题．由相互独立事件的概率公式即可求解．【解答】解：顾客抽奖一次中奖的概率为26=13，顾客第一次就中奖的概率P 1=13，顾客第二次就中奖的概率P 2=23×13=29，顾客第三次就中奖的概率P 3=23×23×13=427，∴顾客中奖的概率是P =13+29+427=1927．故选D ． 11.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查双曲线的离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，考查运算能力，属于中档题．过点M 作x 轴的垂线，利用双曲线的定义、方程和焦点三角形的性质以及勾股定理求解．【解答】解：过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，因为|MO|=|MF 2|，则A 为OF 2的中点，所以|AF 2|=c 2，|AF 1|=3c 2． 设|MF 2|=m ，则|MF 1|=2m ．在Rt △MAF 1中，|MA|2=4m 2−94c 2．在Rt △MAF 2中，|MA|2=m 2−c 24， 则4m 2−94c 2=m 2−c 24，即3m 2=2c 2．因为|MF 1|−|MF 2|=2a ，则m =2a ，所以3×(2a)2=2c 2，即c 2=6a 2，所以e =c a =√6．故选C ． 12.答案：D解析：【分析】本题考查利用导数研究函数的极值，是基础题．求导，根据原函数有两个极值点，则导函数在定义域内有两个异号零点，结合二次函数的性质可列关于a 的不等式组，即可得解．【解答】解：f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=x −2+=， 若函数f(x)有两个不同的极值点，则g(x)=x 2−2x +a 在(0,+∞)由2个不同的实数根，∵g(x)为二次函数，对称轴为x =1>0，∴{Δ=4−4a >0g(0)>0，解得：0<a <1， 故选D ．13.答案：[12,2]解析：【分析】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题．由线性约束条件可以作出可行域，再由目标函数的几何意义，即可行域内的动点与定点P(−2,−2)连线的斜率求解．【解答】解：作出不等式组满足约束条件的区域(阴影部分)如图所示，而z=y+2x+2表示区域内的点与定点P(−2,−2)连线的斜率的取值，数形结合可知，当过点P的直线过点A时，斜率最小，当过点P的直线过点B时，斜率最大，由{x+y=2,2x+y=4⇒{x=2,y=0,,所以A(2,0)，由{2x+y=4,4x−y=−1⇒{x=12,y=3,所以B(12,3)，所以z min=k AP=0+22+2=12，z max=k BP=3+212+2=2，所以z的取值范围是[12,2]．14.答案：5√2解析：解：∵向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(3,t)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =−3+3t=0，解得t=1，∴b⃗ =(3,1)，2a⃗+b⃗ =(1,7)，|2a⃗+b⃗ |=√1+49=5√2．故答案为：5√2．由向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(3,t)，a⃗⊥b⃗ ，求出t=1，从而b⃗ =(3,1)，2a⃗+b⃗ =(1,7)，由此能求出|2a⃗+b⃗ |.本题考查向量的模的求法，考查向量垂直、向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.答案：(√2,√3)解析：【分析】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．利用正弦定理及BC =1，B =2A 得到AC =2cosA ，然后根据锐角三角形以及B =2A ，求解A 的范围即可．【解答】由正弦定理：BC sinA =AC sinB ，∴BC sinA =AC sin2A =AC 2sinAcosA ，∴AC =2cosA ．∵A +B +C =π，∴3A +C =π，C =π−3A ，∴{ 0<A <π2,0<2A <π2,0<π−3A <π2,∴π6<A <π4, ∴√22<cos A <√32，又AC =2cosA ，∴√2<AC <√3．故答案为(√2,√3)．16.答案：(2n −23)⋅4n +23解析：【分析】本题考查数列的应用，根据已知条件求出面积S i 的通项公式，利用错位相减法求和即可．【解答】解：∵A 2i−1(22i−1,0)，A 2i (22i ,2i)，A 2i+1(22i+1,0)，∴S i =12(22i+1−22i−1)×2i =3i ·22i−1，∴∑S i n i=1=3×1×21+3×2×23+...+3×n ×22n−1， 4∑S i n i=1=3×1×23+3×2×25+...+3×(n −1)×22n−1+3×n ×22n+1， 两式相减得，−3∑S i n i=1=3×21+3×23+...+3×22n−1−3×n ×22n+1， 即−∑S i n i=1=21+23+...+22n−1−n ×22n+1=2(4n −1)4−1−2n ×4n =(23−2n)×4n −23， ∴∑S i n i=1=(2n −23)⋅4n +23． 故答案为(2n −23)⋅4n +23． 17.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=sinxcosx +cos 2x ，=12sin2x +1+cos2x 2， =√22sin(2x +π4)+12，所以：函数的最小正周期为T =2π2=π． (Ⅱ)由于：f(x)=√22sin(2x +π4)+12，令：−π2+2kπ≤2x +π4≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得：−3π8+kπ≤x ≤kπ+π8(k ∈Z)， 当k =0时，−3π8≤x ≤π8， f(x)在区间[−3π8,m]上单调递增， 故：[−3π8,m]⊂[−3π8,π8]， 所以：m 的最大值为π8．解析：(Ⅰ)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的函数的关系式，进一步利用整体思想和函数的区间的子集关系求出结果． 1题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.答案：(Ⅰ)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，且AB ⊥BC ，AD//BC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AD ⊥AB ，以点A 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设PA =AB =BC =2AD =2，则P(0,0，2)，D(1,0，0)，B(0,2，0)，C(2,2，0)，E(1,1，1)，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，−2)， ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴DE ⊥PB ，DE ⊥PC ，∵PB ∩PC =P ，∴DE ⊥平面PBC ；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知平面PAD 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(0,2，0)．设平面PCD 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则 ∵PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−2)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，−2)， ∴{x −2z =02x +2y −2z =0， ∴取n ⃗ =(2,−1,1)，∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√6⋅2=−√66．解析：(Ⅰ)以点A 为坐标原点，建立坐标系，证明DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可证明DE ⊥平面PBC ；(Ⅱ)求出平面PAD 的一个法向量、平面PCD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A −PD −E 的余弦值．本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解二面角的大小，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．19.答案：解：(1)根据频率分布直方图，得；该植物样本高度的平均数是x =55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05=75，方差是s 2=(55−75)2×0.1+(65−75)2×0.2+(75−75)2×0.35+(85−75)2×0.3+(95−75)2×0.05=110；(2)由(1)知，Z ～N(75,110)，从而P(64.5<Z <75)=12×P(75−10.5<Z <75+10.5)=12×0.6826=0.3413，P(75<Z <96)=12×P(75−2×10.5<Z <75+2×10.5) =12×0.9544=0.4772；∴P(64.5<Z <96)=P(64.5<Z <75)+P(75<Z <96)=0.3413+0.4772=0.8185．解析：(1)根据频率分布直方图，求出数据的平均数与方差；(2)根据正态分布的概率特征，计算出P(64.5<Z <96)的值．本题考查了利用频率分布直方图求数据的平均数与方差的应用问题，也考查了正态分布的应用问题，是基础题目．20.答案：解：(I)圆x 2+y 2=a 2的圆心(0,0)到直线x −y −√2=0的距离d =√2|√2=1，∴2=2√a 2−12，解得a 2=2，又c a =√22，a 2=b 2+c 2， 联立解得：a 2=2，c =1=b ． ∴椭圆C 的标准方程为：x 22+y 2=1．(II)假设在x 轴上存在定点M(m,0)，使得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =k(x −1)x 22+y 2=1，化为：(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， 则x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1⋅x 2=2k 2−21+2k 2．MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,y 1)⋅(x 2−m,y 2)=(x 1−m)(x 2−m)+y 1y 2=(x 1−m)(x 2−m)+k 2(x 1−1)(x 2−1)=(1+k 2)x 1⋅x 2−(m +k 2)(x 1+x 2)+m 2+k 2=(1+k 2)⋅2k 2−21+2k 2−(m +k 2)4k 21+2k 2+m 2+k 2 =k 2(2m 2−4m+1)+m 2−22k 2+1，令2m 2−4m +1=2(m 2−2)，解得m =54．因此在x 轴上存在定点M(54,0)，使得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值−716．解析：(I)求出圆x 2+y 2=a 2的圆心(0,0)到直线x −y −√2=0的距离d ，利用2=2√a 2−d 2，解得a 2，又c a =√22，a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出． (II)假设在x 轴上存在定点M(m,0)，使得MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线方程与椭圆方程联立化为：(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k 2(2m 2−4m+1)+m 2−22k 2+1，令2m 2−4m +1=2(m 2−2)，解得m 即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、定值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：(Ⅰ)f ′(x)=e −ax (−ax 2+2x)，令f ′(x)>0，∵e −ax >0，∴−ax 2+2x >0，解得0<x <2a ；令f ′(x)<0，∴−ax 2+2x <0，解得x <0或x >2a ，∴f(x)在(−∞,0)和(2a ,+∞)内是减函数，在(0,2a )内是增函数．(Ⅱ)①当0<2a ≤1，即a ≥2时，f(x)在[1,2]内是减函数，∴f(x)max =f(1)=e −a ；②当1<2a <2，即1<a <2时，f(x)在[1,2a )内是增函数，在(2a ,2]内是减函数，∴f(x)max =f(2a )=4a −2e −2； ③当2a ≥2，即0<a ≤1时，f(x)在[1,2]内是增函数，∴f(x)max =f(2)=4e −2a ．综上所述，当0<a ≤1时，f(x)在[1,2]上的最大值为4e −2a ；当1<a <2时，f(x)在[1,2]上的最大值为4a −2e −2；当a ≥2时，f(x)在[1,2]上的最大值为e −a ．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想，属于中档题． (Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)通过讨论a 的范围，结合函数的单调性求出f(x)的最大值即可．22.答案：解：(1)∵圆C 的参数方程为：{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数)，∴圆C 的普通方程为(x −2)2+y 2=4，即x 2+y 2−4x =0，∴圆C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．(2)∵射线l 的极坐标方程为θ=α，(ρ>0).射线l 与圆C 交于点B(不同于点O)，∴|OB|=4cosα，α≠π2，∵点A 的直角坐标为(1,√3)，∴|OA|=√1+3=2，S △OAB=12×|OA|×|OB|×sin(60°−α) =12×2×4cosα×sin(60°−α) =4cosα(√3cosα−1sinα) =2√3cos 2α−2sinαcosα=√3(1+cos2α)−sin2α=2sin(60°−2α)+√3=−2sin(2α−60°)+√3，∴当2α−60°=−90°，即α=−15°时，△OAB 面积取最大值S =2+√3．解析：(1)圆C 的参数方程消去参数，能求出圆C 的普通方程，由此能求出圆C 的极坐标方程．(2)求出|OB|=4cosα，α≠π2，|OA|=2，当α=−15°时，能求出△OAB 面积的最大值．本题考查圆的极坐标坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 23.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=|x −2|+|3x +1|，①当x ≥2时，不等式等价于x −2+3x +1≥5，解得x ≥32，即x ≥2；②当−13<x <2时，不等式等价于2−x +3x +1≥5，解得x ≥1，即1≤x <2；③当x ≤−13时，不等式等价于2−x −3x −1≥5，解得x ≤−1，即x ≤−1．综上所述，原不等式的解集为{x|x ≤−1或x ≥1}；(2)由f(x 0)+2|x 0−2|<3，即3|x0−2|+|3x0+a|<3，得|3x0−6|+|3x0+a|<3，又|3x0−6|+|3x0+a|≥|(3x0−6)−(3x0+a)|=|6+a|，∴(f(x0)+2|x0−2|)min<3，即|a+6|<3，解得−9<a<−3．解析：本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．(1)分3种情况去绝对值解不等式，再求并集；(2)原不等式等价于|3x0−6|+|3x0+a|<3有解，即左边的最小值小于3，用绝对值不等式的性质可求得最小值．。

2020届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--<，{}210B x x =->，则AB =（ ）A ．()1，-+∞ B ．1 12⎛⎫⎪⎝⎭， C ．1 22⎛⎫⎪⎝⎭， D ．1 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 【答案】A【解析】确定出集合,A B 中的元素后，由并集定义计算． 【详解】由题意{|12}a x x =-<<，1{|}2B x x =>，∴{|1}A B x x =>-．故选：A. 【点睛】本题考查集合的并集运算，确定集合中的元素是解题关键．2．设复数z 满足1i z z -=-（i 为虚数单位），z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则（ ） A ．y x =- B ．y x =C ．()()22111x y -+-=D ．()()22111x y +++=【答案】B【解析】设(,)z x yi x y R =+∈，代入已知等式化简即可． 【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，∵1i z z -=-，∴1x yi x yi i +-=+-， 即2222(1)(1)x y x y -+=+-，化简得y x =．故选：B. 【点睛】本题考查复数模的运算，直接代入复数的代数形式由模的定义化简即得．也可由模的几何意义求解．3．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.下图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图.下列描述错误的是（）A．这五年，2013年出口额最少B．这五年，出口总额比进口总额多C．这五年，出口增速前四年逐年下降D．这五年，2017年进口增速最快【答案】C【解析】对于选项A：观察五个灰色的条形图的高低即可判断;对于选项B:观察五组条形图,对比每组灰色条形图与黑色条形图的高低及高低悬殊程度即可判断;对于选项C：从图中知,红色的折线图是先上升后下降即可判断;对于选项D：观察这五年所对的蓝色折线图的高低即可判断;【详解】对于选项A：观察五个灰色的条形图,可得2013年所对的灰色条形图高度最低,所以这五年，2013年出口额最少.故选项A正确;对于选项B:观察五组条形图可得,2013年出口额比进口额稍低,但2014年—2017年都是出口额高于进口额,并且2015年和2016年都是出口额明显高于进口额，故这五年，出口总额比进口总额多.故选项B正确;对于选项C：从图中可知,红色的折线图是先上升后下降,即2013年到2014年出口增速是上升的.故选项C错误;对于选项D：从图中可知,蓝色的折线图2017年是最高的,即2017年进口增速最快.故选项D正确;故选: C【点睛】本题主要考查统计条形图和折线图的应用;解题的关键是从条形图看出口金额和进口金额,从折线图看出口增速和进口增速;属于基础题. 4．下列不等关系，正确的是（ ） A ．234log 3log 4log 5<< B ．243log 3log 5log 4>> C ．243log 3log 5log 4<< D ．234log 3log 4log 5>>【答案】D【解析】比较log (1)n n +与(1)log (2)n n ++的大小，2,n n ≥∈N ， 【详解】 设2,n n ≥∈N ，log (1)n n +(1)log (2)n n +-+2lg(1)lg(2)lg (1)lg lg(2)lg lg(1)lg lg(1)n n n n n n n n n +++-+=-=++，因为222222lg ln(2)11lg lg(2)()lg (2)lg (21)lg (1)244n n n n n n n n n +++<=+<++=+，所以log (1)n n +(1)log (2)n n +-+0>，即log (1)n n +(1)log (2)n n +>+（2,n n ≥∈N ）． 所以234log 3log 4log 5>>． 故选：D ． 【点睛】本题考查比较对数的大小，本题通过证明数列{log (1)}n n +是递减数列得出结论． 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =-，47329a a +=，则7S 的值等于（ ） A ．21 B ．1C ．-42D ．0【答案】D【解析】用等差数列的基本量法计算． 【详解】设数列公差为d ，则47111232(3)3(6)5249a a a d a d a d +=+++=+=，因为13a =-，所以1d =，717677(3)21102S a d ⨯=+=⨯-+⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，解题方法是基本量法，即求出首项1a 和公差d ，然后直接计算．6．若执行下图的程序框图，则输出i 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】依次写出每次循环得到的,,x y i 的值,当3,64,86i x y ===时,不满足条件x y >,退出循环，输出i 的值为即可.【详解】第一次循环:8,2x y ==，满足x y >，继续循环; 第二次循环:1,16,6i x y ===，满足x y >，继续循环; 第三次循环:2,32,22,i x y ===满足x y >，继续循环;第四次循环:3,64,86i x y ===，不满足x y >，跳出循环，输出3i =. 故选: B 【点睛】本题主要考查程序框图中当型循环,循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累乘等,在循环结构框图中要特别注意条件的应用；属于基础题. 7．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】本题采用排除法: 由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭排除选项D ； 根据特殊值502f π⎛⎫>⎪⎝⎭排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数()f x = 22cos x xy x x--=-,则5522522522f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭;即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选项D 排除; 对于选项C ：因为55225220522f ππππ--⎛⎫=> ⎪⎝⎭,故选项C 排除;对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除;故选项:A 【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题. 8．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移116π个单位得到的图象对应的函数为()g x ，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 的图象关于12x π=-对称B ．()g x 在[]0π，上有2个零点C ．()g x 在区间5 36ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 D ．()g x 在 02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】求出()g x 的解析式，并整理后，根据正弦函数性质判断． 【详解】由题意1111()sin 2()sin(2)sin(2)633g x x x x πππ=-=-=+， 1()sin()12632g πππ-=-+=不是函数的最值，12x π=-不是对称轴，A 错；由()sin(2)03g x x π=+=，2()3x k k Z ππ+=∈，26k x ππ=-，其中5,36ππ是[0,]π上的零点，B 正确； 由3222232k x k πππππ+≤+≤+得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，因此()g x 在7(,)312ππ是递减，在75(,)126ππ上递增，C 错；[,0]2x π∈-时，22[,]333x πππ+∈-，()[g x ∈-，D 错． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查三角函数的性质．掌握正弦函数性质是解题关键．9．已知双曲线C ：22221x y a b-=（00a b >>，）的左右焦点分别为12F F ，，圆2F 与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆2F 与双曲线C 的一个交点.若12=0F M F M ⋅，则双曲线C 的离心率等于（ ） A．B ．2CD【答案】A【解析】求出焦点到渐近线的距离，2MF ，由双曲线定义得1MF ，再由12=0F M F M ⋅可建立,,a b c 的关系，从而求得离心率． 【详解】由题意2(,0)F c ，一条渐近线为by x a =，即0bx ay -=，所以2MF r b ===， M 在双曲线右支上，则1222MF MF a b a =+=+，又12=0F M F M ⋅，则12MF MF ⊥，所以222(2)4b b a c ++=，2222444b ab a c ++=，又222b c a =-，所以242ab b =，2a b =，22224a b c a ==-，225c a =，ce a== 故选：D ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等式．本题利用相切，利用双曲线定义，表示出焦半径，由数量积得垂直从而建立,,a b c 的等式．解法易得，属于中档题．10．射线测厚技术原理公式为0tI I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110 B ．0.112C ．0.114D ．0.116【答案】C【解析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C 【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题. 11．已知正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形1BFD E 一定是平行四边形； ③平面α与平面1DBB 不可能垂直； ④四边形1BFD E 的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为（ ） A ．①④ B ．②③C ．①②④D ．①②③④【答案】C【解析】根据正方体的性质对每个命题进行判断．结合排除法可选正确结论． 【详解】截面上方几何体分割成四棱锥四棱锥111D A EFC -，四棱锥11B A EFC -，三棱锥111B A BC -，截面下方几何体对称的也是三个棱锥，对应体积相等（特殊位置截面更容易得此结论），①正确，排除B ；由正方体相对两个面平行，根据面面平行的性质定理知四边形1BFD E 的两组对边平行，从而是平行四边形，②正确，排除A ；当E 是1AA 中点，F 是1CC 中点，这时可证EF ⊥平面11BB D D （先证//EF AC ），从而平面α与平面1DBB 垂直，③错误，排除D ， 只有C 可选了．事实上，四边形1BFD E 即有最大值也有最小值．E 与A （或1A ）重合时面积最大，E是1AA 中点时，面积最小．设AE x =，正方体棱长为1，01x ≤≤，21BE x =+，2211(1)22D E x x x =+-=-+，13BD =，在1BED ∆中，2222111221cos 2122D E BE BD x xBED D E BE x x x +--∠==⋅+⋅-+，所以2222112222()222sin 1cos 1(1)(22)(1)(22)x x x x BED BED x x x x x x --+∠=-∠=-=+-++-+，所以1211sin 222BED F S BE D E BED x x =⋅∠=-+2132()22x =-+，所以0x =或1时，1BED F S 取得最大值2．④正确． 故选：C ．【点睛】本题考查正方体的截面的性质．解题关键是由截面表示出相应的量与相应的关系．如果空间想象能力丰富，结论易得，由正方体对称性，①正确，从运动角度考虑，当E 从A 运动到1A 时，截面面积发生变化，这是一个有限的连续过程，其中必有最大值和最小值．④正确，②③易于从面线面关系说明．12．已知函数() 01ln 0x x e x f x xe x x x -⎧-≤=⎨--->⎩，，，则函数()()()()F x f f x ef x =-的零点个数为（ ）（e 是自然对数的底数） A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】B【解析】利用导数研究函数()f x 的性质，如单调性，函数值的变化趋势和，函数的极值．再研究方程()0f t et -=的解的个数，即直线y et =与函数()y f t =的公共点的的取值，从而利用函数()f x 的性质求得()F x 零点个数． 【详解】0x ≤时，()x f x e -=-是增函数，(0)1f =-，0x >时，()1ln x f x xe x x =---，11()(1)1(1)()x x f x x e x e x x'=+--=+-，显然10x +>，由1xe x=，作出xy e =和1(0)y x x=>的图象，如图，x y e =是增函数，1y x =在0x >是减函数它们有一个交点，设交点横坐标为0x ，易得0011x e x =>，001x <<， 在00x x <<时，1xe x <，()0f x '<，0x x >时，1xe x>，()0f x '>， 所以()f x 在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，0()f x 是()f x 的极小值，也是在0x >时的最小值．001x e x =，001x x e =，0001ln ln x x x ==-，即00ln 0x x +=，00000()1ln 0x f x x e x x =---=，0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞．作出()f x 的大致图象，作直线y ex =，如图，0x >时y ex =与()f x 的图象有两个交点，即()0f x ex -=有两个解12,t t ，120,0t t >>．0x <时，()x f x e -=-，()x f x e '-=，由11()xf x e e -'==得1x =-，而1x =-时，(1)y e e =⨯-=-，(1)f e -=-，所以直线y ex =与()x f x e -=-在(1,)e --处相切．即0x ≤时方程()0f x ex -=有一个解e -．()(())()0F x f f x ef x =-=，令()t f x =，则()()0F x f t et =-=，由上讨论知方程()0f t et -=有三个解：12,,e t t -(120,0t t >>)而()f x e =-有一个解，1()f x t =和2()f x t =都有两个解，所以()0F x =有5个解， 即函数()F x 有5个零点． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的零点个数问题，通过换元法问题转化为()0f t et -=的解及()f x t =的解，为此利用导数研究函数()f x 的性质，研究直线y ex =与函数()y f x =的公共点问题．研究()f x 的图象与直线y t =的公共点个数．本题考查了学生的转化与化归思想．运算求解能力．二、填空题13．已知向量a =（1，1），() 2b m =-，，且a ∥()2a b +，则m 的值等于__________.【解析】计算2a b +，由向量共线的坐标运算可者m ． 【详解】由题意2(12,3)a b m +=+-，因为a ∥()2a b +，所以123m +=-，解得2m =-． 故答案为：2-． 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题．14．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________. 【答案】3π或23π【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k ．【详解】 由题意6p，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以21226(2)k x x k ++=，所以12616AB x x =++=，21226(2)10k x x k++==，k = 所以直线AB 的倾斜角为3π或23π． 故答案为：3π或23π． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式． 【答案】72 【解析】【详解】由题意224372A A =．故答案为：72．本题考查排列的综合应用．解题时确定分步完成本事件．插入法是解本题的关键． 16．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________.164n π- 【解析】由正四面体的内切球的半径是高的14可求得1O 的半径，得其体积，把底面向上平移，平移到与内切球相切，这个平面以上的部分仍然是正四面体，而第二个球就是这个正四面体的内切球，此球半径是第一个球半径的一半，依次类推可得第n 个球． 【详解】如图，AO 是三棱锥A BCD -的高，O 是BCD ∆的外心，设BC a =，则OB =，3AO a ==， 1O 是三棱锥A BCD -的外接球和内切球的球心，1O 在AO 上，设外接球半径为R ，内切球半径为1r ，则由22211O B OO BO =+得222))R a R =+-，R R =，所以11r AO AO AO R =-=-==， 114r AO =，1333144()3312216O V r a a πππ====，过AO 中点作与底面BCD 平行的平面与三条棱,,AB AC AD 交于点111,,B C D ，则平面111B C D 与球1O 相切，由题意球2O 是三棱锥111A B C D -的内切球，注意到三棱锥111A B C D -的棱长是三棱锥A BCD -棱长的12，所以有其内切球半径2112r r =，同理球n O 的半径为n r ，则{}n r 是仅比为12的等比数列，所以111()2n n r r -=⨯，即1616()1222n n n r a -=⨯=， 2216644(24n n nn S r πππ-==⨯=． 6π；164n π-． 【点睛】本题考查三四面体的内切球问题，掌握正四面体的性质是解题关键．实质上正四面体的高是h ，其外接㼀半径是34h ，内切球半径是14h ．三、解答题17．在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2a =，cos cos 2cos 0a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若BC 边的中线AM 5ABC ∆的面积. 【答案】（1）34B π=（2）1 【解析】（1）由正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式可求得cos B ，得B 角；（2）在ABM ∆中应用余弦定理求得AB c =，再用三角形面积公式求得面积． 【详解】解：（1）在ABC ∆中，sin sin sin a b cA B C==，且cos cos cos 0a C c A B +=， ∴sin cos sin cos cos 0A C C A B B +=，∴()sin()cos sin cos sin 10A C B B B B B B B +==⋅=，又∵sin 0B ≠，∴cos B =∵B 是三角形的内角，∴34B π=.（2）在ABM ∆中，314BM AM B AB c π====，，， 由余弦定理得()2222cos AM c BM c BM B =+-⋅⋅，∴2512(2c c =+-⨯-．即240c -=，(0c c -+=,∵0c >，∴c =在ABC ∆中，2a =，c =34B π=，∴ABC ∆的面积113sin 21224S ac B π==⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式．解三角形是时，要注意已知条件，根据条件确定选用正弦定理还是余弦定理是解题关键．18．“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望.【答案】（1）18125 （2）分布列见解析，65EX = 【解析】（1）统计数据说明学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15，它们相互独立，两种类型都有学校选择则分为两类：两所学校选“科技体验游”，一所学校选“自然风光游”或者一所学校选“科技体验游”，两所学校选“自然风光游”，由此可计算概率；（2）X 可能取值为0，1，2，3.，依次计算出概率可得概率分布列，由期望公式可计算期望． 【详解】（1）依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15， ∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：2222332112185555125P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）X 可能取值为0，1，2，3.则()30332705125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3332835125P XC ⎛⎫===⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为∴2754368601231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查用样本估计总体，考查相互独立事件同时发生的概率，考查随机变量的概率分布列与期望．掌握相互独立事件同时发生的概率是解题关键．19．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，1AA AC =，AC BC ⊥.（1）证明：1A C ⊥1AB ；（2）设2AC CB =，160A AC ∠=，求二面角11C AB B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）34-【解析】（1）连结1AC .由菱形得对角线垂直，再由已知及面面垂直的性质定理得线面垂直BC ⊥平面11AAC C ，11B C ⊥平面11AAC C ，从而111B C AC ⊥，于是证得线面垂直后再得线线垂直；（2）取11A C 的中点为M ，连结CM ，证得CM 与,CA CB 都垂直后，以C 为原点，CA CB CM ，，为正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，则法向量夹角得二面角，注意要判断二面角是锐角还是钝角． 【详解】 （1）连结1AC .∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，∴11A C AC ⊥. ∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面11AAC C . 又∵11//BC B C ，∴11B C ⊥平面11AAC C ，∴111B C AC ⊥. ∵1111AC B C C ⋂=，∴1A C ⊥平面11AB C ，而1AB ⊂平面11AB C ， ∴1A C ⊥1AB（2）取11A C 的中点为M ，连结CM .∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，160A AC ∠=，∴11CM AC ⊥，CM AC ⊥. 又由（1）知CM BC ⊥，以C 为原点，CACB CM ，，为正方向建立空间直角坐标系，如图.设1CB =，22AC CB ==，1AA AC =，160A AC ∠=，∴C （0，0，0），1A （1，0），A （2，0，0），B （0，1，0），1B （-1，1. 由（1）知，平面11C AB的一个法向量为(110CA =，. 设平面1ABB 的法向量为()n x y z =，，，则1 n AB n AB ⊥⊥，，∴10n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩. ∵()2 1 0AB =-，，，(13 1AB =-，，∴2030x y x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩.令1x =，得23y z ==，，即12n ⎛= ⎝，. ∴1112cos 2CA n CA n CA n⋅<>===⋅⨯，∴二面角11C AB B --的余弦值为-【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角．立体几何中证明垂直时，线线垂直，线面垂直，面面垂直常常是相互转化，判定定理与性质定理要灵活应用．在有垂直的情况下常常建立空间直角坐标系，用向量法求空间角．20．设椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的左右顶点为12A A ，，上下顶点为12B B ，，菱形1122A B A B 的内切圆C '，椭圆的离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设M N ，是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P 满足PM PN =，试判断直线PM PN ，与圆C '的位置关系，并证明你的结论.【答案】（1）22163x y += （2）直线PM 、PN 与圆C '相切，证明见解析 【解析】（1）由离心率得a =，用两种方法表示出菱形1122A B A B 的面积可求得,b a ，得椭圆方程；（2）设()11M x y ，，()22P x y ，.当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，用韦达定理得1212,x x x x +，利用OP OM ⊥，即12120x x y y +=得,k m 的关系，求出圆心C '到直线PM 的距离可得直线与圆的位置关系．直线PM 的斜率不存在时，直接计算可得，由对称性PN 的结论也可得． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c .知，b c a =，. 设圆C '的半径为r，则r ab ，2=，解得b =∴a =∴椭圆C 的方程为22163x y +=（2）∵M N ，关于原点对称，PM PN =，∴OP MN ⊥. 设()11M x y ，，()22P x y ，.当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+.由直线和椭圆方程联立得()2226x kx m ++=，即()222124260k x kmx m +++-=，∴12221224212621km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. ∵()11OM x y =，，()22OP x y =，，∴()()12121212OM OP x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()()22222121222264112121m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()222322021m k k --==+， ∴22220m k --=，2222m k =+， ∴圆C '的圆心O 到直线PM 的距离为221m r k ==+，∴直线PM 与圆C '相切.当直线PM 的斜率不存在时，依题意得()11,N x y --，()11,P x y -. 由PM PN=得1122x y =，∴2211x y =，结合2211163x y +=得212x =，∴直线PM 到原点O 的距离都是2， ∴直线PM 与圆C '也相切. 同理可得，直线PN 与圆C '也相切. ∴直线PM 、PN 与圆C '相切【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题，考查直线与圆的位置关系．直线与椭圆相交，一般采取设而不求思想，即设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，设直线方程y kx m =+，由直线方程与椭圆方程联立，消元后用韦达定理得1212,x x x x +，把这个结论代入其他条件求解．21．已知函数()21x x f x e-=（e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的零点0x ，以及曲线()y f x =在0x x =处的切线方程；（2）设方程()f x m =（0m >）有两个实数根1x ，2x ，求证：121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）01x =±，()21y x e=-- （2）证明见解析 【解析】（1）由()0f x =求得函数零点，由导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导函数研究出函数的单调性，只有在11x -<<时，()0f x >，因此12,(1,1)x x ∈-，考查（1）中切线，先证明()2(1)f x e x <+（11x -<<），只要构造函数()112x x g x e +-=+在[]1 1x ∈-，上单调递增，易得证，方程2(1)m e x =+的解为112m x e'=-，11x x '<（不妨设12x x <，则12111x x -<<<），要证不等式变形为证明2112122m x m e e ⎛⎫⎛⎫--≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证21x m ≤-，由2221x x m e -=，222211x x x e -≤-，构造函数，结合导数知识可证．【详解】（1）由()210x x f x e-==，得1x =±，∴函数的零点是±1. ()221x x x f x e --'=，()12f e '-=，()10f -=.曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()21y e x =+.()21f e '=-，()10f =，∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()21y x e =-- （2）()221xx x f x e --'=.当(() 112 x ∈-∞++∞，，时，()0f x '>；当(1x ∈时，()0f x '<.∴()f x 的单调递增区间为(() 1 1-∞+∞，，，单调递减区间为(1. 由（1）知，当1x <-或1x >时，()0f x <；当11x -<<时，()0f x >.下面证明：当()1 1x ∈-，时，()()21e x f x +>. 当()1 1x ∈-，时， ()()()21112121002x x x x e x f x e x e e+--+>⇔++>⇔+>. 易知，()112x x g x e +-=+在[]1 1x ∈-，上单调递增， 而()10g -=， ∴()()10g x g >-=对()1 1x ∀∈-，恒成立， ∴当()1 1x ∈-，时，()()21e x f x +>. 由()21y e x y m ⎧=+⎨=⎩得12m x e =-.记112m x e'=-.不妨设12x x <，则12111x x -<<<， ∴121221212m x x x x x x x e ⎛⎫''-<-=-=-- ⎪⎝⎭. 要证121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭，只要证2112122m x m e e ⎛⎫⎛⎫--≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证21x m ≤-. 又∵2221x x m e -=，∴只要证222211x x x e -≤-，即()()()222110x x e x -⋅-+≤.∵()21x ∈，即证()2210x e x -+≥. 令()()()11x x x e x x e ϕϕ'=-+=-，.当()1 0x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ为单调递减函数；当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ为单调递增函数.∴()()00x ϕϕ≥=，∴()2210x e x -+≥， ∴121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的零点，考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式．本题中不等式的证明中对根12,x x 的处理采取了两种不同的方法，设12x x <，由函数知识得12111x x -<<<<，1x 利用y m =与切线2(1)y e x =+的交点横坐标1x '＝12m e -放缩为证明21(1)2122m x m e e ⎛⎫--<-+ ⎪⎝⎭，2x 直接用y m =与()f x m =的解来表示，再结合函数知识获得证明，转化与化归思想在这里得到进一步的体现．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为31x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为4cos 6sin ρθθ=+. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于点M N ，，点A 的坐标为（3，1），求AM AN +.【答案】（1）()()222313x y -+-=（2）【解析】()1利用极坐标与直角坐标的互化公式:222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===即可求解;()2联立直线l 的方程和曲线C 的方程,整理化简得到关于t 的一元二次方程,由题知点A 在直线l 上,利用参数方程中参数的几何意义及一元二次方程中的韦达定理即可求出AM AN +的值.【详解】()1因为曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+，∴24cos 6sin ρρθρθ=+，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==∴2246x y x y +=+，化简得,曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=. （2）把直线3:1x l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C得22121322t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，280t --=.∵(2320∆=-+>，所以方程280t --=有两个不等实根，设12t t ，为方程的两个实数根，由韦达定理可得,12t t +=128t t =-，∴12t t ，为异号，又∵点A （3，1）在直线l 上，由参数方程中参数的几何意义可得,1212AM AN t t t t +=+=-=.所以AM AN +=【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程中参数的几何意义等知识，考查学生的运算能力、推理论证能力；其中正确掌握参数方程中参数的几何意义是求解本题的关键;属于中档题. 23．已知函数()2f x x m x =--+（m R ∈），不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. （1）求m 的值；（2）若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值.【答案】（1）6m =（2）32【解析】()1利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于m 的方程,求出m 的值即可;()2由()1知6m =可得,212a b c ++=，利用三个正数的基本不等式a b c ++≥,构造和是定值即可求出()()()113a b c ++-的最大值.【详解】（1）∵()2f x x m x =--+，()2222f x x m x ∴-=----+，所以不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，, 即为不等式20x m x ---≥的解集为(] 4-∞，， ∴2x m x --≥的解集为(] 4-∞，, 即不等式()222x m x --≥的解集为(] 4-∞，， 化简可得,不等式()()2220m m x ++-≥的解集为(] 4-∞，， 所以242m +=,即6m =. （2）∵6m =，∴212a b c ++=.又∵0a >，0b >，3c >，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-= ()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-,212a b c ++=等号成立,即3a =，1b =，7c =时，等号成立，∴()()()113a b c ++-的最大值为32.【点睛】 本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式a b c ++≥的灵活运用;其中利用212a b c ++=构造出和为定值即()()()1223a b c ++-+-为定值是求解本题的关键;基本不等式a b +≥的条件:一正二定三相等是本题的易错点;属于中档题.。

2020年安徽省合肥市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则M不可能为A. B. C. D.3.已知，，，则A. B. C. D.4.2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的．若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是A. 小明B. 小红C. 小金D. 小金或小明5.函数在上的图象大致为A. B.C. D.6.为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A、B、C三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有A. 24B. 36C. 48D. 647.已知向量，，若，则与夹角的余弦值为A. B. C. D.8.框图与程序是解决数学问题的重要手段．实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决．例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，，，，，，，则图中空白框中应填入A. ，B. ，C. ，D. ，9.记等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则A. B. C. D.10.己知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点，在椭圆C上，其中，，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为A. B. C. D.11.关于函数，有下述三个结论：函数的一个周期为；函数在上单调递增；函数的值域为其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.12.已知四棱锥中，四边形ABCD为等腰梯形，，，是等边三角形，且，若点P在四棱锥的外接球面上运动，记点P到平面ABCD的距离为d，若平面平面ABCD，则d的最大值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______．14.设为数列的前n项和，若，则______．15.由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为m，中位数为n，则______．16.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l是双曲线C过第一、三象限的渐近线，记直线l的倾斜角为，直线：，，垂足为M，若M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，设．求tan A的值；若，且，求a的值．18.如图所示，在三棱柱中，为等边三角形，，，平面，D是线段上靠近的三等分点．求证：；求直线OD与平面所成角的正弦值．19.记抛物线C：的焦点为F，点D，E在抛物线C上，且直线DE的斜率为1，当直线DE过点F时，．求抛物线C的方程；若，直线DO与EG交于点H，，求直线HI的斜率．20.已知函数．当时，求证：；若函数，求证：函数存在极小值．21.为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在A市与B市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为2m，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为．现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如表所示：A市居民B市居民喜欢杨树300200喜欢木棉树250250是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有X个路口种植杨树，求X的分布列以及数学期望；在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为M，求证：．附：k22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；若直线l：与曲线、曲线在第一象限交于P，Q两点，且，点M 的坐标为，求的面积．23.已知，，．求证：；若，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，依题意，，故故选：C．先分别求出集合M，N，由此能求出．本题考查一元二次不等式的解法、集合的运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想．2.答案：C解析：解：设，由，得．．只有选项C对应的点代入方程不成立．故选：C．设，代入，求出其轨迹，再把选项代入检验即可．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：B解析：解：依题意，，所以，故选：B．本题考查指数函数的性质，对数函数的性质，比较大小，属于基础题．利用指数函数和对数函数的性质，即可求解．4.答案：B解析：解：假若”鸿福齐天”是小明做的，则小明说法正确，假设“国富民强”是小红做的，则小红说法也正确，故不合题意；假设“国富民强”小金做的，则小金说法也正确，故不合题意假若”鸿福齐天”是小红做的，则小明的说法错误，若小明做的“国富民强”，小金做的“兴国之路”，则小红说法正确，小金说法错误，故合题意；若小明做的“兴国之路”，小金做的“国富民强”，则小红说法错误，小金说法正确，故合题意；假若”鸿福齐天”是小金做的，则小金的说法正确，假若小明做的“国富民强”，小红做的“兴国之路”，则小明说法也错误，小红说法也正确，故不合题意；假若小明做的“兴国之路”，小红做的“国富民强”，则小明说法也错误，小红说法也正确，故不合题意；综上所述则“鸿福齐天”的制作者是小红，故选：B．分别假设”鸿福齐天”是三个人的一个人做的，再判断他们的说法是否正确，即可得到结论．本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查命题的真假判断及应用，是中档题．5.答案：A解析：解：根据题意，函数，则有，故函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除C；而，排除B，，排除D．故选：A．根据题意，分析可得为偶函数，其图象关于y轴对称，排除C，再利用特殊值分析、的值，排除B、D，由排除法分析可得答案．本题考查函数图象的分析，注意分析函数的奇偶性以及特殊值，属于基础题．6.答案：B解析：解：根据题意，分2步进行分析：先将5人分成3组，要求甲乙在同一组，若甲乙两人一组，将其他三人分成2组即可，有种分组方法，若甲乙两人与另外一人在同一组，有种分组方法，则有种分组方法；将分好的三组全排列，对应A、B、C三个贫困县，有种情况，则有种不同的派遣方案．故选：B．根据题意，分2步进行分析：先将5人分成3组，要求甲乙在同一组，将分好的三组全排列，对应A、B、C三个贫困县，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．7.答案：B解析：解：向量，，若，依题意，，而，即，解得，则．故选：B．利用向量坐标运算法则求出，再由向量垂直求出，由此能求出与夹角的余弦值．本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，是基础题．8.答案：A解析：解：程序框图是为了计算7个数的方差，即输出的，观察可知．故选：A．由题意知该程序的作用是求样本，，，的方差，模拟程序的运行，即可得解．本题考查方差的求法，以及程序的运行结果，考查运算能力，属于基础题．9.答案：D解析：解：由题，等差数列的公差为d，前n项和为，设该数列首项为，，解得选项A和选项B错误；，所以选项C错误；，所以选项D正确．故选：D．直接由题意列式，求得首项和公差，再依次判断选项正确与否即可．本题考查了等差数列的通项公式和前n项和，是基础题．10.答案：C解析：解：设，，由，，知，因为P，Q在椭圆C上，，所以四边形为矩形，；由，可得，由椭圆的定义可得，，平方相减可得，由得；令，令所以即，所以，所以，所以，解得；故选：C．设，，由，可得四边形为矩形，可得，再由，转化m，n的关系，由题意的定义可得a，c与m，n的关系，可得设参数t，注意t的范围，进而可得离心率的范围．考查椭圆的性质，椭圆上的点到左右焦点的距离之和为2a，再由矩形可得到焦点的距离的平方和为，换元注意辅助元的范围及题意可得a，c的关系，属于中档题．11.答案：C解析：解：因为，故错误；当时，，故，可知函数在上单调递增，故正确；函数的值域等价于函数的值域，易知故当时，，故正确．综上所述，正确；故选：C．利用函数的周期性的定义判断；利用函数的单调性判断；求解函数的值域判断，即可得到结果．本题考查三角函数的性质，考查推理论证能力以及分类讨论思想．12.答案：A解析：解：依题意，，取BC的中点E，则E是等腰梯形ABCD外接圆的圆心，F是的外心，作平面ABCD，平面SAB，则O是人锥的外接球的球心，且，，设四棱锥的外接球半径为R，则，则，当四棱锥的体积最大时，．故选：A．依题意，，取BC的中点E，作平面ABCD，平面SAB，则O是人锥的外接球的球心，且，，设四棱锥的外接球半径为R ，则，，由此当四棱锥的体积最大时，能求出当d的最大值．本题考查点到平面的距离最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．13.答案：解析：解：依题意，，，则，解得．故答案为：．先求出的导数，然后利用切点处的导数值等于切线的斜率列方程，解出m即可．本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力以及转化思想．14.答案：解析：解：当时，，即；当时，，，两式相减可得，即，即，故数列是以为首项，为公比的等比数列，故．利用公式，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求出．本题考查数列的前n项和与通项公式的关系，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．15.答案：360解析：解：第一块小矩形的面积，第二块小矩形的面积，故，而，故．第一块小矩形的面积，第二块小矩形的面积，求出n，再由频率分布直方图求出平均数m，由此能求出．本题考查频率分布直方图、样本的数字特征，考查运算求解能力以及数形结合思想．16.答案：解析：解：如图，设，，则，即，与联立，解得，，则，故，设M的坐标为，则，．即，代入双曲线的方程可得，解得．故答案为：．由题意画出图形，求解三角形把M的坐标用含有a，b，c的代数式表示，代入双曲线方程整理，即可求得双曲线C的离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17.答案：解：由正弦定理，得，即，得，而，又，解得，故．因为，则，因为，故，故，解得，故，则．解析：由正弦定理可得，再利用余弦定理可求出cos A，再求出sin A，从而求出tan A的值；对已知式子应用正弦定理角化边，结合三角形面积公式，求得，，再利用余弦定理即可求出a的值．本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．18.答案：证明：，，得四边形为菱形，而平面，故．，，≌，故A，即四边形为正方形，故AB；解：依题意，，．在正方形中，，故以O为原点，，OA，OC所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的平面直角坐标系．不妨设，则0，，，，，，又，．，．设平面的法向量为，由，令，则，，于是；又，设直线OD与平面所成角为，则，直线OD与平面所成角的正弦值为．解析：由，得，得四边形为菱形，再由平面，证得，即四边形为正方形，可得；以O为原点，，OA，OC所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，分别求出平面的一个法向量与的纵坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线OD与平面所成角的正弦值．本题考查空间线面的位置关系、线面成角，考查空间想象能力以及数形结合思想，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.答案：解：由抛物线的方程可得焦点，准线方程为，由题意可得直线DE的方程为：，设，，直线与抛物线联立，整理可得，所以，，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以，由题意可得，解得，所以抛物线的方程为：；由可得G在抛物线上，设直线DE的方程为，设，，由，可得I为DE的中点，联立直线DE与抛物线的方程：，整理可得，，，所以I的纵坐标为1，直线OD的方程为，即，所以直线GE的方程为：，即，由可得，即H的纵坐标，及直线轴所以直线HI的斜率为0．解析：由题意可得直线DE的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出弦长，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离可得p的值，进而求出抛物线的方程；设D，E的坐标，由，可得I是DE的中点，将直线DE的方程代入抛物线的方程，可得两根之和，可得I的纵坐标，求出直线OD，EG的方程，两个方程联立求出交点H的坐标，可得直线HI的斜率．本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的方程，属于中档题．20.答案：证明：依题意，，因为，且，故，故函数在上单调递减，故．依题意，，，令，则；而，可知当时，，故函数在上单调递增，故当时，；当时，函数单调递增，而，又，故，使得，故，使得，即函数单调递增，即单调递增；故当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，函数有极小值．解析：求导可知，由此函数在上单调递减，进而得证；，求导，再令，可知导函数在上单调递增，且，使得，进而得到函数在上单调递减，在上单调递增，由此求得函数的极小值．本题考查利用导数研究函数的性质，考查推理论证能力以及函数与方程思想，属于中档题．21.答案：解：本次实验中，，故没有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性．依题意，X的可能取值为0，1，2，3，4，故，，，X01234P故．证明：，要证，即证；首先证明：对任意m，，，有．证明：因为，所以．设2m个路口中有个路口种植杨树，当1，时，，因为，所以，于是．当时，，同上可得．当时，，设，当时，，显然，当即时，，当即时，，即；，因此，即．综上，，即．解析：求出k，即可判断是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性．判断X的可能取值为0，1，2，3，4，求出概率，得到分布列，然后求解期望利用分析法，要证，即证；对任意m，，，有推出设2m个路口中有个路口种植杨树，当1，时，当时，当时，转化求解推出结果即可．本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及期望、排列组合，考查运算求解能力以及必然与或然思想．是难题．22.答案：解：依题意，曲线即，故，即因为，故，即，即．将，代入，得，将，代入，得，由，得即，解得则，又，故，．故的面积．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．利用三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：证明：，，．，．，，，，又，，，当且仅当时，等号成立，．解析：根据可知，从而证明成立；根据条件可知，然后利用基本不等式可进一步得到．本题考查了利用作差法和综合法证明不等式，基本不等式，考查了转化思想，属中档题．。

见微知著，闻弦歌而知雅意2019-2020届备考安徽省合肥市2019届高三第一次模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11212i i +++（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．35 B ．35i C ．35- D ．35i - 2.若集合{|12}A x x =<<，{|,}B x x b b R =>∈，则A B ⊆的一个充分不必要条件是（ ）A ．2b ≥B ．12b <≤C ．1b ≤D ．1b <3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．4x =，22s < B ．4x =，22s > C ．4x >，22s < D ．4x >，22s >4.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）A ．2213632x y +=B ．22198x y +=C ．22195x y += D ．2211612x y += 5.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为（ ）A ．4B ．2C ．12D ．146.已知变量x ，y 满足约束条件40221x y x y --≤⎧⎪-≤<⎨⎪≤⎩，若2z x y =-，则z 的取值范围是（ ）A ．[5,6)-B ．[5,6]-C ．(2,9)D ．[5,9]-7.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．18 B ．14 C ．316 D ．38。

合肥市高三第三次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2i1iz =+(i 为虚数单位)，则z = A.3 B.2 C.3 D.22.已知集合{}220A x R x x =∈-≥，{}2210B x R x x =∈--=，则()C R A B =IA.∅B.12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C.{}1D.1 12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，3.已知椭圆2222:1y x E a b+=(0a b >>)经过点A()5 0，，()0 3B ，，则椭圆E 的离心率为 A.23B.5C.49 D.594.已知111 2 3 23α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，，若()f x x α=为奇函数，且在()0 +∞，上单调递增，则实数α的值是 A.-1，3B.13，3C.-1，13，3D.13，12，35.若l m ，为两条不同的直线，α为平面，且l α⊥，则“//m α”是“m l ⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知()()*12nx n N -∈展开式中3x 的系数为80-，则展开式中所有项的二项式系数之和为A.64B.32C.1D.1-7.已知非零实数a b ，满足a a b b >，则下列不等式一定成立的是A.33a b >B.22a b >C.11a b < D.1122log log a b < 8.运行如图所示的程序框图，若输出的s 值为10-，则判断框内的条件应该是A.3?k <B.4?k <C.5?k <D.6?k <9.若正项等比数列{}n a 满足()2*12n n n a a n N +=∈，则65a a -的值是A.2B.162-C.2D.16210.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有A.24B.48C.96D.12011.我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为A.125B.40C.16123+D.16125+ 12.已知函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，函数()2(1)2g x x a x =-+-有零点34x x ，，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是A.924⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B.9 04⎛⎫- ⎪⎝⎭， C.(-2，0)D.()1 +∞，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡相应的位置.(13)若实数x y ，满足条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值为.(14)已知()23 0OA =u u r ，，()0 2OB =uu u r ，，AC t AB t R =∈u u u r u u u r，，当OC uuu r 最小时，t =. (15)在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，.若45A =o ，2sin sin 2sin b B c C a A -=，且ABC ∆的面积等于3，则b =.(16)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，若数列{}n S n +也是公差为d 的等差数列，则=n a .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)已知函数()13sin cos cos 223f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 图象的对称轴方程； (Ⅱ)将函数()f x 图象向右平移4π个单位，所得图象对应的函数为()g x .当0 2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()g x 的值域.(18)(本小题满分12分)2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(Ⅰ)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、女学生各选取了多少人？(ⅱ)若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.(19)(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，DE P 12AC ，AD=BD=1.(Ⅰ)求AB 的长；(Ⅱ)已知24AC ≤≤，求点E 到平面BCD 的距离的最大值.(20)(本小题满分12分)已知抛物线2:2C y px =(0p >)的焦点为F ，以抛物线上一动点M 为圆心的圆经过点F.若圆M 的面积最小值为π.EDCBA(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)当点M 的横坐标为1且位于第一象限时，过M 作抛物线的两条弦MA MB ，，且满足AMF BMF ∠=∠.若直线AB 恰好与圆M 相切，求直线AB 的方程.(21)(本小题满分12分)已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ，(e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求实数a 的取值范围； (Ⅱ)求证：()()122f x f x +>.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，圆C 的方程为()()22215x y -+-=.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求直线l 及圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与圆C 交于AB ，两点，求cos AOB ∠的值.(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-+-． (Ⅰ)解不等式()1f x x ≤+；(Ⅱ)设函数()f x 的最小值为c ，实数a b ，满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +≥++.合肥市高三第三次教学质量检测数学试题 (理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)4 (14)34(15)3 (16)1na=-或1524na n=-三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)(Ⅰ)()11cos cos22cos2234f x x x x x xπ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭1sin226xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.令262x k k Zπππ-=+∈，，解得32kxππ=+.∴函数()f x图象的对称轴方程为32kx k Zππ=+∈，. …………………………5分(Ⅱ)易知()12sin223g x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.∵02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴222333xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，∴2sin213xπ⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，∴()121sin2232g x xπ⎡⎛⎫=-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，即当02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()g x的值域为12⎡-⎢⎣⎦. …………………………12分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)因为()22120602020207.5 6.63580408040K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关. ………………………5分(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生31294⨯=人，女生11234⨯=人，所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人. ………………………8分(ⅱ)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3.()()302193933312128410801220220C C C CP X P XC C======，，()()1203939333121227123220220C C C C P X P X C C ======，， ∴X 的分布列是：X 0 1 23 P84220108220 272201220∴()84108271301232202202202204E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD. 又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD ，从而DE⊥BD .注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE ，于是，BD⊥AD . 而AD=BD=1，∴2AB =. ………………………5分(Ⅱ)∵AD=BD，取AB 的中点为O ，∴DO⊥AB . 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO⊥平面ABC.过O 作直线OY∥AC，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.记2AC a =，则12a ≤≤，22 0 0 0 0A B ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 22 2 00 0 C a D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，20E a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()2 2 0BC a =-，，u u u r ，22 0 BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，u u u r . 令平面BCD 的一个法向量为()n x y z =，，r.由00BC n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r 得220220x ay x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩.令2x =，得12 2n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，r . 又∵()0 0DE a =-，，u u u r ，∴点E 到平面BCD 的距离2||14DE n d n a⋅==+u u u r rr . ∵12a ≤≤，∴当2a =时，d 取得最大值，max 217=144d =+.………………………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)由抛物线的性质知，当圆心M 位于抛物线的顶点时，圆M 的面积最小，此时圆的半径为2p OF =，∴24P ππ=，解得2p =. ……………………4分(Ⅱ)依题意得，点M 的坐标为(1，2)，圆M 的半径为2.由F (1，0)知，MF x ⊥轴.由AMF BMF ∠=∠知，弦MA ，MB 所在直线的倾斜角互补，∴0MA MB k k +=. 设MA k k =(0k ≠)，则直线MA 的方程为()12y k x =-+，∴()121x y k=-+， 代入抛物线的方程得，()21421y y k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴24840y y k k -+-=，∴4422A A y y k k+==-，. 将k 换成k -，得42B y k=--， ∴22441444A B A B AB A B A B A B y y y y k x x y y y y --=====--+--.设直线AB 的方程为y x m =-+，即0x y m +-=. 由直线AB 与圆M2=，解得3m =±经检验3m =+3m =+.∴所求直线AB的方程为3y x =-+-. ……………………12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵()212x f x e x ax =--，∴()x f x e x a '=--. 设()x g x e x a =--，则()1x g x e '=-. 令()10x g x e '=-=，解得0x =.∴当() 0x ∈-∞，时，()0g x '<；当()0x ∈+∞，时，()0g x '>. ∴()()min 01g x g a ==-.当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，∴函数()f x 单调递增，没有极值点；当1a >时，()010g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞. ∴当1a >时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点12x x ，. 不妨设12x x <，则120x x <<.∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为()1 +∞，. …………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，12x x ，为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在() 0-∞，上单调递减. 下面先证120x x <-<，只需证()()210g x g x -<=.∵()2220x g x e x a =--=，得22x a e x =-，∴()2222222x x x g x e x a e e x ---=+-=-+.设()2x x h x e e x -=-+，0x >，则()120x xh x e e'=--+<，∴()h x 在()0 +∞，上单调递减， ∴()()00h x h <=，∴()()220h x g x =-<，∴120x x <-<. ∵函数()f x 在()1 0x ，上也单调递减，∴()()12f x f x >-. ∴要证()()122f x f x +>，只需证()()222f x f x -+>，即证222220x x e e x -+-->.设函数()()220x x k x e e x x -=+--∈+∞，，，则()2x x k x e e x -'=--. 设()()2x x x k x e e x ϕ-'==--，则()20x x x e e ϕ-'=+->， ∴()x ϕ在()0+∞，上单调递增，∴()()00x ϕϕ>=，即()0k x '>. ∴()k x 在()0+∞，上单调递增，∴()()00k x k >=. ∴当()0x ∈+∞，时，220x x e e x -+-->，则222220x x e e x -+-->，∴()()222f x f x -+>，∴()()122f x f x +>. ………………………12分(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程(Ⅰ)由直线l的参数方程11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得，其普通方程为2y x =+， ∴直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+. 又∵圆C 的方程为()()22215x y -+-=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得4cos 2sin ρθθ=+，∴圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+. ……………………5分 (Ⅱ)将直线l ：sin cos 2ρθρθ=+，与圆C ：4cos 2sin ρθθ=+联立，得()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=， 整理得2sin cos 3cos θθθ=，∴tan 32πθθ==，或.不妨记点A 对应的极角为2π，点B 对应的极角为θ，且tan =3θ.于是，cos cos sin 2AOB πθθ⎛⎫∠=-== ⎪⎝⎭. ……………………10分(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(Ⅰ)()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+. (1)当1x <时，不等式可化为4211x x x -≤+≥，. 又∵1x <，∴x ∈∅；(2)当13x ≤≤时，不等式可化为211x x ≤+≥，. 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.(3)当3x >时，不等式可化为2415x x x -≤+≤，. 又∵3x >，∴35x <≤.综上所得，13x ≤≤，或35x <≤，即15x ≤≤.∴原不等式的解集为[]1 5，. …………………5分 (Ⅱ)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴2c =，即2a b +=.令11a m b n +=+=，，则11m n >>，，114a m b n m n =-=-+=，，， ()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 原不等式得证. …………………10分。

2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|x2−x−2<0}，B＝{x|2x−1>0}，则A∪B＝（）A.(−1, +∞)B.(12,1) C.(12,2) D.(12,+∞)2.设复数z满足|z−1|＝|z−i|（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为(x, y)，则（）A.y＝−xB.y＝xC.(x−1)2+(y−1)2＝1D.(x+1)2+(y+1)2＝13.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”建设成果显著．如图是2013−2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是（）A.这五年，2013年出口额最少B.这五年，2013年出口总额比进口总额少C.这五年，出口增速前四年逐年增加D.这五年，2017年进口增速最快4.下列不等关系，正确的是（）A.log23<log34<log45B.log23>log45>log34C.log23<log45<log34D.log23>log34>log455.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝−3，2a4+3a7＝9，则S7的值等于（）A.21B.1C.−42D.06.若执行图的程序框图，则输出i的值为（）A.2B.3C.4D.5 7.函数y =2x −2−x |x|−cosx 的图象大致为（ ）A. B.C. D.8.若函数f(x)＝sin2x 的图象向右平移11π6个单位得到的图象对应的函数为g(x)，则下列说法正确的是（ ）A.g(x)的图象关于x =−π12对称B.g(x)在[0, π]上有2个零点C.g(x)在区间(π3,5π6)上单调递减 D.g(x)在[−π2,0]上的值域为[−√32,0] 9.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，圆F 2与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆F 2与双曲线C 的一个交点．若F 1M →⋅F 2M →=0，则双曲线C 的离心率等于（ ）A.√5B.2C.√3D.√210.射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）\A.0.110B.0.112C.0.114D.0.11611.已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，则： ①平面α分正方体所得两部分的体积相等；②四边形BFD 1E 一定是平行四边形；③平面α与平面DBB 1不可能垂直；④四边形BFD 1E 的面积有最大值．其中所有正确结论的序号为（ ）A.①④B.②③C.①②④D.①②③④12.已知函数f(x)={−e −x ,x ≤0xe x −x −1−lnx,x >0，则函数F(x)＝f （f(x)）−ef(x)的零点个数为（ ）（e 是自然对数的底数）．A.6B.5C.4D.3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.已知向量a →=(1, 1)，b →=(m,−2)，且a → // (a →+2b →)，则m 的值等于________．14.直线l 经过抛物线C:y 2＝12x 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于_______．15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有________种．16.已知三棱锥A −BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A −BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A −BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A −BCD 的三个面和球O n−1都相切(n≥2，且n∈N∗)，则球O1的体积等于________，球O n的表面积等于________．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，acosC+ccosA+√2bcosB=0．(1)求B；(2)若BC边的中线AM长为√5，求△ABC的面积．18.“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．19.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC．（1）证明：A1C⊥AB1；（2）设AC＝2CB，∠A1AC＝60∘，求二面角C1−AB1−B的余弦值．20.设椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)的左右顶点为A1，A2，上下顶点为B1，B2，菱形A1B1A2B2的内切圆C′的半径为√2，椭圆的离心率为√22．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P满足|PM|＝|PN|，试判断直线PM，PN 与圆C′的位置关系，并证明你的结论．21.已知函数f(x)=1−x 2e x（e为自然对数的底数）．（1）求函数f(x)的零点x0，以及曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程；（2）设方程f(x)＝m(m>0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1−x2|<2−m(1+12e)．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程21.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3−√22t，y=1+√22t（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ=4cosθ+6sinθ．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为(3, 1)，求|AM|+|AN|．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲22.已知函数f(x)＝|x−m|−|x+2|(m∈R)，不等式f(x−2)≥0的解集为(−∞, 4]．（1）求m的值；（2）若a>0，b>0，c>3，且a+2b+c＝2m，求(a+1)(b+1)(c−3)的最大值．2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|x2−x−2<0}，B＝{x|2x−1>0}，则A∪B＝（）A.(−1, +∞)B.(12,1) C.(12,2) D.(12,+∞)【解答】∵A={x|−1<x<2},B={x|x>12}，∴A∪B＝(−1, +∞)．2.设复数z满足|z−1|＝|z−i|（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为(x, y)，则（）A.y＝−xB.y＝xC.(x−1)2+(y−1)2＝1D.(x+1)2+(y+1)2＝1【解答】由z在复平面内对应的点为(x, y)，且|z−1|＝|z−i|，得|x−1+yi|＝|x+(y−1)i|，∴√(x2+y2=√x2+(y−1)2，整理得：y＝x．3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”建设成果显著．如图是2013−2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是（）A.这五年，2013年出口额最少B.这五年，2013年出口总额比进口总额少C.这五年，出口增速前四年逐年增加D.这五年，2017年进口增速最快【解答】对于A，2013出口额最少，故A对；对于B，2013年出口额少于进口额，故B对；对于C，2013−2014出口速率在增加，故C错；对于D，根据蓝色线斜率可知，2017年进口速度最快，故D对．4.下列不等关系，正确的是（）A.log23<log34<log45B.log23>log45>log34C.log23<log45<log34D.log23>log34>log45【解答】∵log23−log34=lg3lg2−lg4lg3=lg23−lg2lg4lg2lg3>lg23−(lg2+lg42)2lg2lg3>lg23−(12lg9)2lg2lg3=0，∴log23>log34，同理log34>log45，∴log23>log34>log45．5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝−3，2a4+3a7＝9，则S7的值等于（）A.21B.1C.−42D.0【解答】等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝−3，2a4+3a7＝9，∴2(−3+3d)+3(−3+6d)＝9，解得d＝1，∴S7＝7×(−3)+7×62d=0．6.若执行图的程序框图，则输出i的值为（）A.2B.3C.4D.5【解答】 模拟程序的运行，可得x ＝4，y ＝1，i ＝0x ＝8，y ＝1+1＝2满足条件x >y ，执行循环体，i ＝1，x ＝16，y ＝2+4＝6满足条件x >y ，执行循环体，i ＝2，x ＝32，y ＝6+16＝22满足条件x >y ，执行循环体，i ＝3，x ＝64，y ＝22+64＝86此时，不满足条件x >y ，退出循环，输出i 的值为3．7.函数y =2x −2−x |x|−cosx 的图象大致为（ ） A. B.C.D.【解答】 f(−x)=2−x −2x |−x|−cos(−x)=−2x −2−x |x|−cosx =−f(x)，即函数f(x)在定义域上为奇函数，故排除D ；又f(0)=0,f(1)=2−2−11−cos1>0，故排除B 、C ．8.若函数f(x)＝sin2x 的图象向右平移11π6个单位得到的图象对应的函数为g(x)，则下列说法正确的是（ ）A.g(x)的图象关于x =−π12对称B.g(x)在[0, π]上有2个零点C.g(x)在区间(π3,5π6)上单调递减D.g(x)在[−π2,0]上的值域为[−√32,0] 【解答】 函数f(x)＝sin2x 的图象向右平移11π6个单位得到的图象对应的函数为g(x)＝sin[2(x −11π6)]＝sin(2x −11π3)＝sin(2x +π3)，所以对于选项A ：当x =−π12时，g(x)≠±1，故A 错误．对于选项B ：当2x +π3=kπ(k ∈Z)，整理得x =kπ2−π6，(k ∈Z)，当k ＝1时，x =π3，当k ＝2时，x =5π6时，函数g(x)＝0，故选项B 正确．对于选项C:x ∈(π3,5π6)，所以2x +π3∈(π,2π)，故函数在该区间内有增有减，故错误． 对于选项D:x ∈[−π2,0]，所以2x +π3∈[−2π3,π3]，所以函数g(x)的值域为[−1, √32]，故错误． 故选：B ．9.已知双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，圆F 2与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆F 2与双曲线C 的一个交点．若F 1M →⋅F 2M →=0，则双曲线C 的离心率等于（ ）A.√5B.2C.√3D.√2 【解答】双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，渐近线方程为bx −ay ＝0，bx +ay ＝0，可得F 2与双曲线C 的渐近线的距离为d =√22=b ， 可得圆F 2的方程为(x −c)2+y 2＝b 2，①若F 1M →⋅F 2M →=0，即有M(x, y)的方程为x 2+y 2＝c 2，②联立方程①②可得x =2c 2−b 22c，y 2=4b 2c 2−b 44c ， 代入双曲线的方程即为b 2⋅4c 4−4b 2c 2+b 44c a 2⋅4b 2c 2−b 44c =a 2b 2， 化简可得b 2＝4a 2，则e =c a =√1+b 2a =√5，10.射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）A.0.110B.0.112C.0.114D.0.116【解答】由题意可得，12=1×e−7.6×0.8μ，∴−ln2＝−7.6×0.8μ，即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114．∴这种射线的吸收系数为0.114．11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等；②四边形BFD1E一定是平行四边形；③平面α与平面DBB1不可能垂直；④四边形BFD1E的面积有最大值．其中所有正确结论的序号为（）A.①④B.②③C.①②④D.①②③④【解答】如图则：对于①：由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，故①正确；对于②：因为平面ABB1A1 // CC1D1D，平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BF，平面BFD1E∩平面CC1D1D ＝D1E，∴BF // D1E，同理可证：D1F // BE，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故②正确；对于③：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB1D，又因为EF⊂平面BFD1E，所以平面BFD′E⊥平面BB′D，故③不正确；对于④：当F与A重合，当E与C1重合时，BFD1E的面积有最大值，故④正确．正确的是①②④，12.已知函数f(x)={−e−x,x≤0xe x−x−1−lnx,x>0，则函数F(x)＝f（f(x)）−ef(x)的零点个数为（）（e是自然对数的底数）．A.6B.5C.4D.3【解答】f2′(x)=e x+xe x−1−1x =(x+1)(e x−1x)，设g(x)=e x−1x(x>0)，由当x→0+时，g(x)→−∞，g(1)＝e−1>0，且函数g(x)在(0, +∞)上单增，故函数g(x)存在唯一零点x0∈(0, 1)，使得g(x0)＝0，即e x0−1x0=0，则x0e x0=1,lnx0+x0=0，故当x ∈(0, x 0)时，g(x)<0，f 2′(x)<0，f 2(x)单减；当x ∈(x 0, +∞)时，g(x)>0，f 2′(x)>0，f 2(x)单增，故f 2(x)min =f 2(x 0)=x 0e x 0−x 0−1−lnx 0=0，故f 2(x)≥0(1)令t ＝f(x)，F(t)＝f(t)−et ＝0， 当t ≤0时，−e −t −et ＝0，解得t ＝−1，此时易知f(x)＝t ＝−1有一个解（2）当t >0时，te t −t −1−lnt −et ＝0，即te t −t −1−lnt ＝et ，作函数f 2(t)与函数y ＝et 如下图所示，由图可知，函数f 2(t)与函数y ＝et 有两个交点，设这两个交点为t 1，t 2，且t 1>0，t 2>0， 而由图观察易知，f(x)＝t 1，f(x)＝t 2均有两个交点，故此时共有四个解（3）综上，函数F(x)＝f （f(x)）−ef(x)的零点个数为5． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.已知向量a →=(1, 1)，b →=(m,−2)，且a → // (a →+2b →)，则m 的值等于________． 【解答】根据题意，向量a →=(1, 1)，b →=(m,−2)， 则a →+2b →=(1+2m, −3)，若a → // (a →+2b →)，则有1+2m ＝−3，解可得：m ＝−2；14.直线l 经过抛物线C:y 2＝12x 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于________π3或2π3． 【解答】直线l 经过抛物线C:y 2＝12x 的焦点F(3, 0)，斜率为k ，直线方程为：y ＝k(x −3)， 且与抛物线C 交于A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)两点，可得k 2(x −3)2＝12x ， 即k 2x 2−(6k 2+12)x +9k 2＝0，可得x 1+x 2=6k 2+12k ，弦AB 的长为16，6k 2+12k +6＝16，解得k ＝±√3．所以，直线的倾斜角为：π3或2π3．15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有________种． 【解答】根据题意，分2步进行分析：①，在4个视频中任选2个进行学习，有C 42＝6种情况，②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，有A 44＝24种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况有A 22A 33＝12种情况，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有6×12＝72种；16.已知三棱锥A −BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A −BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A −BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A −BCD 的三个面和球O n−1都相切(n ≥2，且n ∈N ∗)，则球O 1的体积等于________√6π，球O n 的表面积等于________6π4． 【解答】如图，设球O 1半径为r 1，…，球O n 的半径为r n ，E 为CD 中点，球O 1与平面ACD 、BCD 切于F 、G ，球O 2与平面ACD 切于H ，作截面ABE ，设正四面体A −BCD 的棱长为a 1√36a=√63a−r √32a ，解得r 1=√612a ， √63a−2r −r √63a−r 1=r2r 1，解得r 2=√624a ， 把a ＝6代入的r 1=√62，r 2=√64， 由平面几何知识可得数列{r n }是以r 1=√62为首项，公比为12的等比数列， 所以r n =√62(12)n−1，故球O 1的体积=43πr 13=43π(√62)3=√6π；球O n 的表面积＝4πr n 2＝4π×[√62(12)n−1]2=6π4，三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2，acosC +ccosA +√2bcosB =0． (1)求B ；(2)若BC边的中线AM长为√5，求△ABC的面积．【解答】解：(1)在△ABC中，asinA =bsinB=csinC，且acosC+ccosA+√2bcosB=0，∴sinAcosC+sinCcosA+√2sinBcosB=0，∴sinB⋅(1+√2cosB)=0，又∵sinB≠0，∴cosB=−√22．∵B是三角形的内角，∴B=3π4；(2)在△ABM中，BM=1,AM=√5,B=3π4,AB=c，由余弦定理得AM2=c2+(BM)2−2c⋅BM⋅cosB，∴c2+√2c−4=0，∵c>0，∴c=√2．在△ABC中，a=2，c=√2，B=3π4，∴△ABC的面积S=12acsinB=1．18.“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．【解答】依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15， ∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：P =C 32(25)2(15)+C 32(15)2(25)=18125．X 可能取值为0，1，2，3．则P(X =0)=C 30(35)3=27125， P(X =1)=C 31(25)(35)2=54125， P(X =2)=C 32(25)2(35)=36125， P(X =3)=C 33(25)3=8125，∴X 的分布列为：∴EX =0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65． 或∵随机变量X 服从XB(3,25)，∴EX =np =3×25=65．19.如图，已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，AA 1＝AC ，AC ⊥BC ．（1）证明：A 1C ⊥AB 1；（2）设AC ＝2CB ，∠A 1AC ＝60∘，求二面角C 1−AB 1−B 的余弦值． 【解答】 证明：连结AC 1．∵AA 1＝AC ，四边形AA 1C 1C 为菱形，∴A 1C ⊥AC 1．∵平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面AA 1C 1C ．又∵BC // B 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，∴B 1C 1⊥A 1C ． ∵AC 1∩B 1C 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，而AB 1⊂平面AB 1C 1， ∴A 1C ⊥AB 1．取A 1C 1的中点为M ，连结CM ．∵AA 1＝AC ，四边形AA 1C 1C 为菱形，∠A 1AC ＝60∘，∴CM ⊥A 1C 1，CM ⊥AC ． 又∵CM ⊥BC ，以C 为原点，CA ，CB ，CM 为正方向建立空间直角坐标系，如图． 设CB ＝1，AC ＝2CB ＝2，AA 1＝AC ，∠A 1AC ＝60∘，∴C(0, 0, 0)，A 1(1, 0, √3)，A(2, 0, 0)，B(0, 1, 0)，B 1(−1, 1, √3)． 由（1）知，平面C 1AB 1的一个法向量为CA 1→=(1,0,√3)．设平面ABB 1的法向量为n →=(x,y,z)，则n →⋅AB →=0并且n →⋅AB 1→=0， ∴{−2x +y =0−3x +y +√3z =0．令x ＝1，得y =2,z =√3，即n →=(1,2,√3)．∴cos <CA 1→,n →>=CA 1→⋅n→|CA 1→||n →|=2×√163=√34， ∴二面角C 1−AB 1−B 的余弦值为：−√34．20.设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点为A 1，A 2，上下顶点为B 1，B 2，菱形A 1B 1A 2B 2的内切圆C ′的半径为√2，椭圆的离心率为√22． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P 满足|PM|＝|PN|，试判断直线PM ，PN 与圆C ′的位置关系，并证明你的结论． 【解答】设椭圆的半焦距为c ．由椭圆的离心率为√22知，b =c,a =√2b ． 设圆C ′的半径为r ，则r ⋅√a 2+b 2=ab ， ∴√2⋅√3b =√2b 2，解得b =√3，∴a =√6， ∴椭圆C 的方程为x 26+y 23=1．∵M ，N 关于原点对称，|PM|＝|PN|，∴OP ⊥MN ． 设M(x 1, y 1)，P(x 2, y 2)．当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y ＝kx +m ．由直线和椭圆方程联立得x 2+2(kx +m)2＝6，即(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6＝0， ∴{x 1+x 2=−4km2k 2+1x 1x 2=2m 2−62k 2+1． ∵OM →=(x 1, y 1)，OP →=(x 2, y 2)，∴OM →⋅OP →=x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=(1+k 2)⋅2m 2−62k 2+1+km ⋅−4km2k 2+1+m 2 =3(m 2−2k 2−2)2k 2+1=0，∴m 2−2k 2−2＝0，m 2＝2k 2+2， ∴圆C ′的圆心O 到直线PM 的距离为√k 2+1=√2=r ，∴直线PM 与圆C ′相切．当直线PM 的斜率不存在时，依题意得N(−x 1, −y 1)，P(x 1, −y 1)．由|PM|＝|PN|得|2x 1|＝|2y 1|，∴x 12=y 12，结合x 126+y 123=1得x 12=2，∴直线PM 到原点O 的距离都是√2， ∴直线PM 与圆C ′也相切． 同理可得，直线PN 与圆C ′也相切． ∴直线PM 、PN 与圆C ′相切．21.已知函数f(x)=1−x 2e x（e 为自然对数的底数）．（1）求函数f(x)的零点x0，以及曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程；（2）设方程f(x)＝m(m>0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1−x2|<2−m(1+12e)．【解答】由f(x)=1−x 2e x=0，得x＝±1，∴函数的零点x0＝±1，f′(x)=x2−2x−1e x，f′(−1)＝2e，f(−1)＝0．曲线y＝f(x)在x＝−1处的切线方程为y＝2e(x+1)，f′(1)=−2e，f(1)＝0，∴曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y=−2e(x−1)；证明：f′(x)=x2−2x−1e x，当x∈(−∞,1−√2)∪(1+√2,+∞)时，f′(x)>0；当x∈(1−√2,1+√2)时，f′(x)<0．∴f(x)的单调递增区间为(−∞,1−√2),(1+√2,+∞)，单调递减区间为(1−√2,1+√2)．由（1）知，当x<−1或x>1时，f(x)<0；当−1<x<1时，f(x)>0．下面证明：当x∈(−1, 1)时，2e(x+1)>f(x)．当x∈(−1, 1)时，2e(x+1)>f(x)⇔2e(x+1)+x 2−1e x>0⇔e x+1+x−12>0．易知，g(x)=e x+1+x−12在x∈[−1, 1]上单调递增，而g(−1)＝0，∴g(x)>g(−1)＝0对∀x∈(−1, 1)恒成立，∴当x∈(−1, 1)时，2e(x+1)>f(x)．由{y=2e(x+1)y=m得x=m2e−1．记x′1=m2e−1．不妨设x1<x2，则−1<x1<1−√2<x2<1，∴|x1−x2|<|x′1−x2|=x2−x′1=x2−(m2e−1)．要证|x1−x2|<2−m(1+12e )，只要证x2−(m2e−1)≤2−m(1+12e)，即证x2≤1−m．又∵m=1−x22e x2，∴只要证x2≤1−1−x22e x2，即(x2−1)⋅(e x2−(x2+1))≤0．∵x2∈(1−√2,1)，即证e x2−(x2+1)≥0．令φ(x)＝e x−(x+1)，φ′(x)＝e x−1．当x∈(1−√2,0)时，φ′(x)<0，φ(x)为单调递减函数；当x∈(0, 1)时，φ′(x)>0，φ(x)为单调递增函数．∴φ(x)≥φ(0)＝0，∴e x2−(x2+1)≥0，∴|x1−x2|<2−m(1+12e)．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3−√22t，y=1+√22t（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ=4cosθ+6sinθ．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为(3, 1)，求|AM|+|AN|．【解答】解：(1)曲线C的方程ρ=4cosθ+6sinθ，∴ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ，∴x2+y2=4x+6y，即曲线C的直角坐标方程为：(x−2)2+(y−3)2=13．(2)把直线l:{x=3−√22t，y=1+√22t代入曲线C得(1−√22t)2+(−2+√22)t2=13，整理得，t2−3√2t−8=0．∵Δ=(−3√2)2+32>0，设t1，t2为方程的两个实数根，则t1+t2=3√2，t1t2=−8，∴t1，t2为异号，又∵点A(3, 1)在直线l上，∴|AM|+|AN|=|t1|+|t2|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=√50=5√2．（本小题满分0分）选修4-5：不等式选讲23.已知函数f(x)＝|x−m|−|x+2|(m∈R)，不等式f(x−2)≥0的解集为(−∞, 4]．（1）求m的值；（2）若a>0，b>0，c>3，且a+2b+c＝2m，求(a+1)(b+1)(c−3)的最大值．【解答】∵f(x)＝|x−m|−|x+2|，∴f(x−2)＝|x−m−2|−|x|≥0的解集为(−∞, 4]，∴|x−m−2|≥|x|，解得m+2＝8，即m＝6．∵m＝6，∴a+2b+c＝12．又∵a>0，b>0，c>3，∴(a+1)(b+1)(c−3)=(a+1)(2b+2)(c−3)2≤12[(a+1)+(2b+2)+(c−3)3]3=12(a+2b+c3)3=12(123)3=32，当且仅当a+1＝2b+2＝c−3，结合a+2b+c＝12解得a＝3，b＝1，c＝7时，等号成立，∴(a+1)(b+1)(c−3)的最大值为32．。

参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2023?合肥一模）已知复数z=3+4i，表示复数z的共轭复数，则，=（）A．考点：专题：分析：解答：复数求模．数系的扩充和复数．菁优网权版所有B5．C．D6．首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，写出复数的共轭复数，求出共轭复数的模长．解：复数z=3+4i，=3﹣4i，=，=，﹣4﹣3i，=故选：B．==5．=﹣4﹣3i，点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数的共轭复数，考查复数求模长，实际上一个复数和它的共轭复数模长相等，本题是一个基础题．2．（5分）（2023?合肥一模）设集合S={0，a}，T={x∈Z，x＜2}，则“a=1”是“S?T”的（）A充分不必要B必要不充分．条件C充分必要条．件考点：专题：分析：解答：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网权版所有2．条件D既不充分也．不必要条件简易逻辑．求出集合T，根据集合元素关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解：T={x∈Z，x＜2}={﹣1，0，1}，当a=1时，S={0，1}，满足S?T．若S?T，则a=1或a=﹣1，∴“a=1”是“S?T”的充分不必要条件．故选：A．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用集合元素和集合之间的关系是解决本题的关键．2点评：3．（5分）（2023?合肥一模）过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得+b（a、b∈R），则以下说法正确的是（）A点P（a，b）一定在单位圆内．B点P（a，b）一定在单位圆上．-9-C点P（a，b）一定在单位圆外． D当且仅当ab=0时，点P（a，b）在单位圆上．考点：专题：分析：解答：平面向量的基本定理及其意义．菁优网权版所有平面向量及应用．根据点P到圆心O的距离判断点P与圆的位置关系．解：易知，∵∴，==1 ，=，= =1 ∴OP=又圆的半为1 ∴点P一定在单位圆上故选：B 点评：4．（5分）（2023?合肥一模）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两本题主要考察了向量的求模运算，以及点与圆的位置关系的判断，属于中档题．点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A．考点：专题：分析：解答：解：不妨设A（c，y0），代入双曲线∵线段AB的长度恰等于焦距，∴， =1，可得y0=±．双曲线的简单性质．计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．菁优网权版所有B． C． D．先求出AB的长，进而可得，从而可求双曲线的离心率．∴c2﹣a2=ac，∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=．故选：A．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）（2023?合肥一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A18+2．考点：专题：分析：由三视图求面积、体积．菁优网权版所有B24+2．C24+4．D36+4．空间位置关系与距离．根据三视图判断几何体是直四棱柱，且四棱柱的底面为等腰梯形，棱柱的高为2，底面梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为2，利用勾股定理求出腰为公式计算．=，代入棱柱的表面积解答：解：由三视图知几何体是直四棱柱，且四棱柱的底面为等腰梯形，棱柱的高为2，底面梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为2，腰为∴几何体的表面积S=（2+4+2）×2+2××2=24+4．=，点评：故选：C．本题考查了由三视图求几何体的表面积，判断三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键． 6．（5分）（2023?合肥一模）已知函数f（x）=，f（﹣x）） B（x，﹣f（x）） C A（x，（．．．﹣sinx，﹣，﹣x，﹣f）） +sinx，则一定在函数y=f（x）图象上的点是（） D（．（+x，﹣f﹣x））（x﹣考点：专题：分析：解答：函数的图象．函数的性质及应用．在函数y=f（x）图象上的点只需把点的坐标代入方程，满足表达式即可．菁优网权版所有解：对于A，f（﹣x）=，确；对于B，﹣f（x）=﹣，对于C，﹣f（x﹣=﹣，+sin（﹣sin（﹣x），﹣，+sin（﹣x），=，+sinx，﹣，﹣sinx，≠f （x），∴A不正﹣sinx，+，+sinx，≠f（x），∴B不正确；），+，+sin（x﹣）， +sin（﹣x），=f（﹣x），）=﹣，﹣sin（x﹣﹣x），+，﹣sin（﹣x），=，﹣sin（﹣x），﹣，∴C正确；对于D，﹣f（x﹣）=﹣，﹣sin（x﹣），+，+sin（x﹣）， - 11 -=﹣，≠f（+sin（﹣x），+，﹣sin（﹣x），=，﹣sin（﹣x），﹣，+sin（﹣x），=f（﹣x）+x），∴D不正确；故选：C．点评：本题考查函数的定义，函数的图象的应用，考查计算能力．7．（5分）（2023?合肥一模）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A5．考点：专题：分析：解答：程序框图．算法和程序框图．根据框图的流程依次计算运行的结果，直到满足条件n＞117时，确定输出i的值．菁优网权版所有B6．C7．D8．解：由程序框图知：程序第一次运行n=12﹣4=8，i=1+1=2；第二次运行n=4×8+1=33，i=2+1=3；第三次运行n=33﹣4=29，i=3+1=4；第四次运行n=4×29+1=117，i=4+1=5；第五次运行n=117﹣4=113，i=5+1=6；第六次运行n=113×4+1=452，i=6+1=7．此时满足条件n＞117，输出i=7．故选：C．本题考查了选择结果与循环结构相结合的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．点评：8．（5分）（2023?许昌三模）在△ABC中，已知2acosB=c，sinAsinB（2﹣cosC）=sin2+，则△ABC为（） A等边三角形． C锐角非等边B等腰直角三．角形D钝角三角形-12-。