江苏省海头高级中学2016-2017学年高中数学必修四学案：1-3-3函数y=Asinwx+Φ的图象第2课时 精品

1.3.4 三角函数的应用1．三角函数模型的应用(1)三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)的最大值为A ，最小值是－A ，周期是2π|ω|，频率为|ω|2π. (3)三角函数模型的三种应用模式：一是给定具有周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；二是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数解析式(函数模型)，再解决其他问题；三是收集一组实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．预习交流在建模过程中，散点图的作用是什么？ 提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误．2．应用三角函数模型解实际问题的步骤第一步：阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景；在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步：根据所给模型，列出函数关系式，根据已知条件和数量关系，建立函数关系式；在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果． 第四步：再将所得结论转译成实际问题的解答．一、三角函数在物理学中的应用表示电流I 与时间t 的关系式I ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，如图所示．(1)根据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)I ＝A sin(ωt ＋φ)中的t 在任意一段1100秒的时间内都能使I 同时取到最大值|A |和最小值－|A |，那么正整数ω的最小值为多少？思路分析：(1)由一个周期内的图象可确定图象的五个关键点，据此可求出解析式．(2)画图分析得：要使任意一段1100秒的时间内I 能同时取到最大值和最小值，需要满足周期T ≤1100. 解：(1)由图可知：A ＝300，周期T ＝160－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＝150.∴ω＝2πT＝100π，此时所求函数的解析式为I ＝300sin(100πt ＋φ)．以点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300，0为“五点法”作图的第一关键点则有100π×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＋φ＝0，∴φ＝π3. 得函数解析式为I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3. (2)由题意知周期T ≤1100，即2πω≤1100⇒ω≥200π⇒ω≥628.3.由于ω为正整数，故ω的最小值为629.如图所示的是弹簧挂着小球做上下运动，时间t (s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h (cm)之间的函数关系式是h ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4，t ∈[0，＋∞)．(1)以t 为横坐标，h 为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)小球开始振动时的位置在哪里？(3)小球最高点、最低点的位置及各自到平衡位置的距离分别是多少？ (4)小球经过多长时间往复振动一次？解：(1)用“五点法”作出图象．如图所示．(2)当t ＝0时，h ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π4＝2sin π4＝2， 即小球开始振动时的位置为(0，2)．(3)当t ＝π8时，h ＝2；当t ＝5π8时，h ＝－2.即最高点的位置为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2，最低点的位置为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8，－2.最高点与最低点各自到平衡位置的距离均为2 cm.(4)∵T ＝2πω＝2π2＝π≈3.14，即每经过3.14 s 小球往复振动一次．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流随时间变化规律等问题中，此类问题中要弄清振幅、频率、周期、初相的定义和表示方法． 二、三角函数在日常生活中的应用如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面的距离为0.8 m ,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面的距离是h .(1)求h 与θ间的函数关系式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？思路分析：由题意得h 与θ的三角函数关系，再由此函数关系得h 与t 的解析式．最后由三角函数的性质求t 的值．解：(1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t .∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30.∴缆车第一次到达最高点时用的最少时间是30 s.如图为一半径是3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系式y ＝A sin (ωx ＋φ)＋2，则ω，A 的值分别为__________．答案：2π15，3 解析：易知水轮的角速度ω＝2π×460＝2π15，A ＝3.面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能．这个过程并不神秘，比如本例题，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程，在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．1．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g lt ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于__________．答案：g4π2解析：因为周期T ＝1＝2πg l，所以g l ＝2π，则l ＝g 4π2. 2．设钟摆每经过1.8秒便回到原来的位置．如图，当钟摆达到最高位置M 时开始计时，经过1分钟后，请你估计钟摆在铅垂线的__________边(填“左”或“右”)．答案：右解析：∵钟摆的周期为1.8秒，60＝1.8×33＋0.6，∴钟摆在铅垂线的右边．3．下图是游乐场中的摩天轮上的某个座舱在旋转过程中离地面高度情况的一部分，则下列判断中正确的有__________(填序号)．①该座舱的运动周期是π； ②该座舱的振幅是2；③该座舱在π10s 时达到最高点；④该座舱在7π20s 时离地面最近．答案：①④解析：T 4＝7π20－π10＝π4，∴T ＝π，①正确；该座舱的振幅是1，②错误；该座舱在π10s时没有到达最高点，③错误；显然④正确．4．将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速运动，观察后轮气针的运动规律．若轮胎以ω rad/s 的角速度做圆周运动，P 0是气针的初始位置，气针到原点O 的距离为r cm ，求气针的位置P 的纵坐标关于时间t 的函数关系式，并求出气针的运动周期，当φ＝π6，r ＝ω＝1时，作出其函数图象．解：易知函数关系式为y ＝r sin(ωt ＋φ)，因此T ＝2πω.当φ＝π6，r ＝ω＝1时，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋π6.其图象是将y ＝sin t 的图象向左平移π6得到的．。

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目录第一章 三角函数1。

1。

1 任意角 ..........................................................................................1 1。

1。

2 弧度角 ..........................................................................................5 1.2。

1 任意角的三角函数（1） ........................................................................8 1。

2。

1 任意角的三角函数(2) ........................................................................12 1.2.2 同角三角函数的关系(1） .....................................................................15 1。

2。

2 同角三角函数的关系（2） .....................................................................17 1.2。

2016-2017学年高中数学第1章三角函数章末分层突破学案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第1章三角函数章末分层突破学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第1章三角函数章末分层突破[自我校对]①正角、负角和零角②弧长③扇形面积④正弦⑤余弦⑥正切任意角的三角函数概念(1）任意角和弧度制．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．(2)任意角的三角函数．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．（1)已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0),则2sin α＋cos α的值是________．(2）函数y＝sin x＋错误!的定义域是________．【精彩点拨】(1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负．（2)利用三角函数线求解．【规范解答】(1)r＝|OP｜＝错误!＝5|m|.当m>0时,sin α＝错误!＝错误!＝错误!，cos α＝错误!＝错误!＝－错误!，∴2sin α＋cos α＝错误!.当m〈0时，sin α＝错误!＝错误!＝－错误!,cos α＝错误!＝错误!＝错误!，∴2sin α＋cos α＝－错误!。

故2sin α＋cos α的值是错误!或－错误!.(2)由错误!得错误!如图,结合三角函数线知:错误!解得2kπ≤x≤2kπ＋错误!(k∈Z)，∴函数的定义域为错误!.【答案】（1)错误!或－错误!（2）错误![再练一题]1．若θ是第四象限角，试判断sin（cos θ)·cos(sin θ)的符号．【解】∵θ为第四象限角，∴0＜cos θ＜1＜错误!，－错误!＜－1＜sin θ＜0。

（3）讨论：如何由图观察得到三角函数的各系数？ 如何确定初相？
例 1 (学生自学)一半径为 3cm 的水轮如图 1-3-22 所示， 水轮圆心O 距离水面 2cm，已知水轮每分钟转动 4 圈，
如果当水轮上点 P 从水中浮现时（图中 P0 点）开始计算时间．
（1）将点 P 距离水面的高度 z(cm) 表示为时间t(s) 的函数； （2）点 P 第一次到达最高点大约要多长时间？
高中数学 必修4
1.3.4 三角函数的应
求函数的解析式
（1）
函数
y

1 2
sin
x的图象上每一点横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移
2 个单位,得到函数g(x)的图象，试求g(x)的解析式.
（2） 函数 yA sin (x ),(A 0 , 0 ,|| 2)的最小值是2，其图象最高点与最 低点横坐标差是3，且图象过点(0,1)，求函数解析式.
（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，
并给出在整点时的近似数值.
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4 米，安全条例 规定至少要有 1.5 米的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时 能进入港口？在港口能呆多久？
小结： 三角函数知识在解决实际问题中有着十分广泛的应用，待定系数法是三角函数中
例 2 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐， 一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情况下，船在涨潮时驶进 航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港
口在某季节每天几个时刻的水深. 时 0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00 间 水 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 深