各向异性弹性力学问题的通解

．２３３
到Ｅ。的对称性，可得
置ｍ一？增＝ｏ，
（１３）
这里的∥；’不全为零。然（１３）与应变能正定性的（２）式矛盾。即证。
引理２设Ｐ（Ｄ）是常系数椭圆型算子，若ｇ∈ｃ４（口），妇是∥中任意有界区域， 则方程户（Ｄ），＝ｇ，存在属于ｃ”（力）的馔－ｒ。其中ｃ”（妇）表示在力中有任意阶连续 导数的函数的集合。
作者在文【ｌ－３冲，用ＬＩｌｒ’ｅ嗍算子方法研究了横观各向同性弹性力学问题的通解，
并在文【２】中说：我们的方法可以推广到一般的各向异性弹性力学问题中去。本文就是 完成这项一般性的推广工作。
二、通解
队位移表示的各向异性弹性力学方程组，可表成如下的算子方程
一Ｈ＝口
（１）
其中ｎ＝Ｑ，，”：，“，）为位移向量，＾＝Ｕ。）为３ｘ３算子矩阵，Ａ＝￡班ｐ，ｏ，，ＥⅢ为弹性
口ｊｔ聃玑＝０
（１１）
将（９ｂ）代人（１１），有
巨Ｊｔ，巩￡仉毒＝ｏ
（１２）
今令辞”＝珥鲁‘，利用恒等式２＾，Ｈ，一（一，）２＝（磊毒）（矶仉），可知，当蝠，参，
点）≠ｏ，（仉，仉，仉）≠ｏ时，那么馏２｛（研乞＋舌仉）不全为零。将，等代人（１２），考虑
２
工
ｌｆ
Ａ
王敏中等：各向异性弹性力学问题的通解
ｓＰｒｉｎｇｃ卜Ｖｅｒｌ ａｇ，１９７２
ＧＥＮＥＲＡＬ ＳｏＬＵＴｌ０Ｎ ｏＦ ＡＮＩＳｏＴＲＯＰＩＣ ＥＬＡＳＴＩＣＩＴＹ
ＷＡＮＧ ＭｉｎｚＩｌｏｎｇ ＷＡＮＧ Ｗｅｉ
（Ｄ。ｐａｒ廿ＩＩ∞ｔ ｏｆＭｃｃｈ柚ｉｃｓ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎ∞ｒｉｎｇ ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｐｃｋｉｎｇ ｕｎｉｖｅｒＳｉ饥Ｂｄｊｉｎ岛１００８７ｌ。ｃｈｉｎａ）
Ｇ＝知）＋南Ｖ｛Ｖ‘７涉（ｎ）】｝
这里宇是Ｎｅｗｔｏｎ位势。应用定理３，还知Ｇ是不唯一的，它可用如下的Ｇ来代替
否＝Ｖ２口＋ｉ≥俨（Ｖ·Ｈ），Ｖ２Ｖ２日＝口
（２７）
而且６也仅仅精确到（２７）有程度。
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２
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． 一．：！！！：
文［２】中的有关横观各向同性弹性力学问题通解的讨论，均可从本文的四个定理推
４ ＬＩｌｒ’ｃ Ａ Ｉ．Ｔｈ眦－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｐｍｂｌｅｍｓ ｉｎ ｔｈｅ廿ｌｅｏｒｙ ｏｆｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ ｉｎ Ｒｕｓｓｉ锄，１９５５；Ｅｎｇｌｉｓｈ缸吐Ｎｅｗ
ｙｏｒｋ：Ｉｎｔｃｒｓｃｉ∞ｃｃ，１９６４
ｅｎＨｂＩｘ且Ｈ蛐ｅｐ ５ Ⅱｙ ｐ ｂ ｅ Ａ Ｈ．Ｋ Ｔ ｅｏｐＭＨ ｃＭ ｃＴ ｅＭⅡＨＨ
ｓｏｌｕｔｉ锄ｏｆ粕ｉ舳唧ｉｃ Ａｂｓｔｒ·ｎ ｌｎ ｍｉｓ ｐ婶盯ｍｅ ｇｅｎｅｒａｌ
ｃｌａｓｔｉｃ时ｉｓ ｇｉｖ∞ｃｏｎ蛐Ⅵｃｔｉｖｅｌｙ，ｓｏ ｉ忸
ｐａｐｅｒ蝴ｄｓ ｓ锄ｃ ｃｏｎｌｐｌｃｔｃｎｅｓｓ ｉｓ ｐｒｏＶｅｄ ａｔ ｔｌｌｃ
ｔｉｍｃ
Ｎ０ｎ眦ｉｑｕｃｎｃｓｓ∞ｄ ｍｅ ｓｃｏｐｅ ０ｆ ｎｏｎｕｎｉｑ眦ｎｃ站ｏｆ ｔＩＩｃ ｇｃｎｃｍＩ
（８）
，
引理１算子一是椭圆型的。
证明用反证法。设若不然，如果按（３）定义的算子，，不是椭圆型的，从定义１可
■
知，存在非零的实向量ｆ＝（夤，岛，最），使下述行列式为零，
ｄｅｔ（口№）＝０，
ｑＩ＝置Ｊ★，亭，茧
（９、
既然（９ａ）成立，那么下面的齐次线性代数方程组
口，Ｉ仉＝０，（ｆ＝１，２，３）
ｎ０１
存在非零解（％，玑，吼）．将（１０）的三个方程分别乘以矾，玑和玑，再相加，得
一、引言
随着复合材料的广泛应用，各向异性弹性力学日益受到人们的重视，因为复合材 料的一个显著特点是各向异性。Ｌｅｋｈｎｉｔｓｋｉｉ（１９８１）对各向异性弹性力学作过经典性的研 究。本文主要考虑各向异性弹性力学的通解，横观各向同性弹性力学问题的通解已有 诸多研究，如ＪＩｅｘＨＨ ＬＩＫＨｎ（１９４０）、Ｌｅｋｈｎｎｓｋｉｉ（１９８１）、胡海昌（１９５３）和Ｎｏｗａｃｋｉ（１９５４） 给出的ＬＨＮ解，以及Ｅｌｌｉｏｔｃ（１９４８）和Ｌｏｄｇｅ（１９５５）给出的ＢＬ解。
证明 从（１８），得
嚣（妒‘”一妒‘２’）＝口
（２０）
令＾’是下述方程的解：一＾．＝毋‘“一毋‘”，则
＾＝口＾’
（２１）
即台所求。事实上，从（２１）有
一＾＝＾珊‘＝一＾’＝妒‘”一咖‘２’
，，＾＝肼＾’＝曰（≯‘“一妒‘２’）＝口
证毕。
五、各向同性弹性力学的Ｂ—Ｇ解
按本文的方法，可以导出关于各向同性弹性力学Ｂ０ｕｓｓｉｎｅｓｑ－Ｇａｌｅｒｋｊｎ通解的四个 类似定理。各向同性体的弹性常数为
ｅＨｕＨ ａｎｂＨＭ。ｙｐ ａ ＢＨｅＨＨＨ ｃ
ｎｏ ｃＴｏ月ＨＨｂ蹦Ｈ Ｋ０９由中ＨｕＨｃＨＴ ａＭＨ，Ｔｐｙ且ｂＩ ＪＩｅＨＨＨｒｐ．ＨＨⅡｙ ｃＴｐＨａⅡｂＨ．Ｈ Ｈ—Ｔ ａ，１９３７，
６圆：３ｌ￣３６
６ Ｎｃｕｂｃｒ Ｈ，ＶｏｌｌｓｔｉｉＩｌｄｉ吐ｃｉｓ（ｂｃｗｅｉｓ ｄｅｓ Ｄ代｛ｆＩｌ№ｉｏｎｃｎ卸ｓｄｔ髓ｓ ｄｃｒ ｌｉｎｃａ咒ｎ Ｅｌａｓｔｉｚｉｔ¨ｔｓⅡ亿ｏ＾ｃ，Ｉｎ鲫ｉｅｕ卜
一曰＝删＝∥，
ｆ３）
其中算子一是矩阵一的“行列式”，Ｊ是３×３单位矩阵．我们有 定理ｌ设向量场声满足下述方程
柳＝０
ｒ４、
则
ｎ＝却
ｒ５）
是（】）的解．
证明在（５）两边乘以算子爿，得
爿Ⅳ＝一曰≯＝一妒＝口
ｆ６１
（６）的第二、第三个等号，分别利用了（３）和（４），于是（５）成立．证毕。 ｎｙｐｂｅ。】用算子方法给出了定理１，其后Ｎｅｕｂｅ一６Ｊ，张鸿庆‘”，拜达‘”又作了研究。
Ａｒｃｈｉｖ，１９７２：４ｌ：２３２～２３４
７张鸿庆．弹性力学方程组一般解的统—理论大连工学院学报，１９７９；（３）：２３￣４７
８拜达著，余颖禾译．弹性力学中的几个空问问题南京：东南大学出版社．１９９０
９谢克特著，叶其孝译．偏微分方程的现代方法．北京：科学出版杜，Ｊ９８３
ｌＯ Ｆｉｃｈｃｒａ Ｇ Ｅｘｉｓｔ∞ｃｃ ｔＩｌｅｏｒｃｍｓ ｉｎ ｃｌａｓｔｉｃｉｔｙ Ｉｎ：Ｆｍｇｇｅ Ｓ ｅｄ Ｅｎｃ”ｌｏｐｅｄｉａ ｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，Ｖｏｌ ＶＩ以，Ｂｃｒｌｉｎ：
ｓｏｌｕｎｏｎ ａｒｅ ａｌｓｏ ｐｏｉｎｔｅｄ ｄｕｔ Ｔｈｅ ｍｅｌｌｌｏｄ ｕｓｃｄ ｉｎ（ｈｃ
ｏｕｒ ｐ刖ｉｏｕｓ ｗｏｒｋ舶ｍ订彻ｖｅｒｓｅｌｙ
ｉｓｏｔｎ叩ｉｃ ｅｌ笛ｔｉｃ崎ｔｏ卸ｉｓ０仃‘）ｐｉｃ ｃｌａｓｔｉｃｉｔｙ．
Ｋ吖ｗｏｒｄｓ 柚ｉｓｄ响ｐｉｃ ｃｌ咐ｉｃｉ妙，ｇｅ眦ｍｌ∞】ｕｔｉ伽，ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅ锚，ｎｏｎｕｎｉｑ眦ｎｃｓｓ
出。ｌ司此各向同性弹性力学问题通解和横观各向同性弹性力学问题通解的完备性和不
唯一ｌ生等研究，都是本文的特殊Ｊ晴形。
参考文献
ｌ王炜、徐新生，王敏中．横观各向同性弹性弹性体轴对称问题的通解及其完备性．中国科学，Ａ 辑，１９９４：２４（６）：５８６０９８
２ Ｗａｌｌｇ Ｍ Ｚ，Ｗ∞ｇ Ｗ Ｃ０ｍｐｌｃｔｃｎｃｓｓ ａｎｄ ｎｏｎｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｇｃｎｅｒａｌ ｓｏｌｕｎｏｎｓ Ｏｆ ｔｒａｎｓｖｃｒｓｅｌｙ ｉｓＯｔｍｐｉｃ
妒＝月旷
（１４）
即合所求。事实上，从（１４），有
却＝删妒＝群＝“
（１５）
上面用到了（３）和（１４）。（１５）指出由（１４）给出的妒，把Ｈ表成了（５）的形式。此外，有
，ｆ≯＝Ａ，缈＝■Ⅱ＝口
（１６）
在导出上式时，用到了算子矩阵４和算子∥的可交换性，妒的定义，ｎ为弹性力学问
题的解等。（１６）指出由（１４）所定义的毋满足方程（４）。证毕。 定理３在（５）中，将妒换为
下面关于解（５）的完备性和不唯一性的定理均属于本文作者。先证几个引理。
三、若干引理
在三维欧氏空间Ｆ３（ｘ。，屯，墨）中，考虑如下齐ｍ阶常系数偏微分算子
，（三））＝∑Ｇ”爿爿诺
（７）
Ｉｔｉ÷ｔ＝ｏ
定义１常系数齐ｍ阶偏微分算子尸（Ｄ）称为椭圆型的，若当ｆ；ｏ时，
Ｐ（ｆ）＝∑Ｇ”茸｛ｆ等，ｏ，ｆ＝（卣，彘，茧）ｅＥ３ 】＋ｉ畸ｌ－
各向异性弹性力学问题的通解
作者： 作者单位： 被引用次数：
王敏中， 王炜 北京大学力学与工程科学系(北京) 1次
本文链接：/Conference_107535.aspx
引理３方程（１）的任一解Ｈ都属于ｃ。∞）。
上面两个引理，分别参见谢克特［９，第４３页】和Ｆｊｃｈｅｒａ【“。
四、完备性和不唯一性
定理２对于（１）的任一解Ｈ，总存在满足方程（４）的向量场币，使得Ⅱ可表成（５）的 形式。
证明我们作一构造性的证明。由于算子∥是椭圆型的，按引理２和引理３，对 给定的脚，设矿是下述方程的解：一矿＝‘ｒ，令
Ｅ。Ｊ ｋ。＝Ａ６。ｉ６Ｉ，＋ｐ嫡。ｔ６ｉ，＋６．，６ｉ ｋ１
Ｑ∞
其中４，为Ｋｍｎｅｃｋｅｒ记号，五和∥为Ｌａ｜Ｉｌ∈常数。从（２２）可得算子矩阵■的元素为
＾ｉｔ＝Ｅ。ＪＩ≯ｉ５。＝耻８ｉ ａｉ ６。ｔ＋ｔ丸七∞８．ａｔ
㈣
从（２３）不难算出矩阵４的伴随矩阵丑，其元素为，
ｒ
Ｔ
］
Ｅｔ２芦（２＋２卢’ＩＶ２４ｔ—ｊ万兰面Ｅ反１Ｖ２
≯＝一＋４＾ ，，ｒ＾＝ｏ，
（１７）
则（４）（５）依然成立。
证明从（１７）’有
Ｂ牵＝Ｂ母＋Ｂ＾ｈ＝Ｂ母＋一＾；Ｂ牵
脚＝椰＋删＝删
从上两式可知（４Ｘ５）成立。证毕。
定理４如果Ⅱ有两种表示
ｎ＝聊‘’’（ｆ＝１，２）
（】８）
则存在＾，使
西‘”一币‘２）＝Ａ＾ 一＾＝口
（１９）
２３４
力学与工程一杜庆华院士八十寿展庆贺史集
（２４）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
这里Ｖ２＝矛，扩。，而爿的行列式为