2.3.2 平面与平面垂直的判定一、教材分析在空间平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种超级重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的概念是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点.使学生掌握两个平面彼此垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培育学生的创新精神.二、教学目标1．知识与技术（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面彼此垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.2．进程与方式（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的气宇方式及两个平面垂直的判定定理.3．情态、态度与价值观通过揭露概念的形成、发展和应有和进程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生踊跃思维，培育学生的观察、分析、解决问题能力.三、教学重点与难点教学重点:平面与平面垂直判定.教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角.四、课时安排1课时五、教学设计（一）温习两平面的位置关系：（1）若是两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.（2）若是两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图1.图1（二）导入新课思路1.(情境导入)为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时，为了使水坝牢固耐用必需使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成必然的角度.为此，咱们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角.思路2.(直接导入)前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，如何描述这种转变呢？今天咱们一路来探讨两个平面所成角问题.（三）推动新课、新知探讨、提出问题①二面角的有关概念、画法及表示方式.②二面角的平面角的概念.③两个平面垂直的概念.④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：①二面角的有关概念.二面角的概念：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.二面角常常利用直立式和平卧式两种画法：如图2（教师和学生一路动手）.直立式：平卧式：(1) (2)图2二面角的表示方式：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱之外的半平脸部份）别离取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.图3若是棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.②二面角的平面角的概念.如图4,在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内别离作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.图4再取棱上另一点O′，在α和β内别离作l 的垂线O ′A′和O′B′，则它们组成角∠A′O′B′.因为OA∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB 及∠A′O′B′的两边别离平行且方向相同, 即∠AOB=∠A′O′B′.从上述结论说明了：依照上述方式作出的角的大小，与角的极点在棱上的位置无关. 由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内别离作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角.③直二面角的概念.二面角的大小可以用它的平面角来气宇，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是彼此垂直的.两个平面彼此垂直的概念和平面几何里两条直线彼此垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来概念，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角. 两个平面彼此垂直的概念可表述为：若是两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面彼此垂直. 直二面角的画法：如图5.图5④两个平面垂直的判定定理.若是一个平面通过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面彼此垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB ⇒α⊥β.两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.图6证明如下：已知AB⊥β，AB∩β=B，AB ⊂α. 求证：α⊥β.分析：要证α⊥β,需证α和β组成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.证明：设α∩β=CD，则由AB ⊂α,知AB 、CD 共面. ∵AB⊥β，CD ⊂β,∴AB⊥CD，垂足为点B. 在平面β内过点B 作直线BE⊥CD, 则∠ABE 是二面角αCDβ的平面角.又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角, ∴α⊥β.⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.（四）应用示例思路1例1 如图7,⊙O 在平面α内，AB 是⊙O 的直径，PA⊥α，C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点.图7求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O 所在平面为α,由已知条件，PA⊥α,BC ⊂α,∴PA⊥BC. ∵C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点,AB 是⊙O 的直径, ∴BC⊥AC.又∵PA 与AC 是△PAC 所在平面内的两条相交直线， ∴BC⊥平面PAC.∵BC ⊂平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC. 变式训练如图8，把等腰Rt△ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD=AC ，图8（1）求证：平面ABD⊥平面ABC ； （2）求二面角CBDA 的余弦值. （1）证明：由题设,知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC ，O 为垂足，则OA=OB=OC. ∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中点. ∴O∈AB ，即O ∈平面ABD. ∴OD ⊂平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC.（2）解:取BD 的中点E ，连接CE 、OE 、OC, ∵△BCD 为正三角形，∴CE⊥BD.又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE⊥BD. ∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角. 同（1）可证OC⊥平面ABD.∴OC⊥OE.∴△COE 为直角三角形. 设BC=a ，则CE=a 23，OE=a 21，∴cos∠OEC=33=CE OE .点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.例2 如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤角的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m 时人升高了多少？（精准到0.1 m ）图9解：取CD 上一点E ，设C E=10 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F ，并连接FG,则FG⊥AB,即∠EFG 就是河堤斜面与水平面ABG 所成二面角的平面角, ∠EFG=60°,由此,得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×2352321=⨯≈（m ）. 答：沿直道行走到10 m 时人升高约4.3 m.变式训练已知二面角αABβ等于45°，CD ⊂α，D ∈AB ，∠CDB=45°.求CD 与平面β所成的角.解：如图10，作CO⊥β交β于点O ，连接DO ，则∠CDO 为DC 与β所成的角.图10过点O 作OE⊥AB 于E ，连接CE ，则CE⊥AB. ∴∠CEO 为二面角αABβ的平面角， 即∠CEO=45°. 设CD=a,则CE=a 22,∵CO⊥OE，OC=OE ， ∴CO=a 21.∵CO⊥DO,∴sin∠CDO=21=CD CO . ∴∠CDO=30°,即DC 与β成30°角.点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常常利用的方式是：在一个半平面α内找一点C ，作另一个半平面β的垂线，垂足为O,然后通过垂足O 作棱AB 的垂线，垂足为E,连接AE,则∠CEO 为二面角α-AB-β的平面角.这一进程要求学生熟记.思路2例1 如图11，ABCD 是菱形，PA⊥平面ABCD ，PA=AD=2，∠BAD=60°.图11（1）求证：平面PBD⊥平面PAC ； （2）求点A 到平面PBD 的距离； （3）求二面角APBD 的余弦值.（1）证明：设AC 与BD 交于点O ，连接PO, ∵底面ABCD 是菱形,∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD,BD ⊂平面ABCD,∴的PA⊥BD. 又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.又∵BD ⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.(2)解：作AE⊥PO 于点E,∵平面PBD⊥平面PAC,∴AE⊥平面PBD. ∴AE 为点A 到平面PBD 的距离.在△PAO 中,PA=2,AO=2·cos30°=3,∠PAO=90°, ∵PO=722=+AO PA ,∴AE=7212732==•PO AO PA .∴点A 到平面PBD 的距离为7212. 3）解：作AF⊥PB 于点F,连接EF, ∵AE⊥平面PBD,∴AE⊥PB. ∴PB⊥平面AEF,PB⊥EF.∴∠AFE 为二面角APBD 的平面角. 在Rt△AEF 中,AE=7212,AF=2, ∴sin∠AFE=742=AF AE ,cos∠AFE=77)742(12=-. ∴二面角APBD 的余弦值为77. 变式训练如图12，PA⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 别离是AB 、PC 的中点.（1）求证：MN∥平面PAD ； （2）求证：MN⊥CD；（3）若二面角PDCA=45°，求证：MN⊥平面PDC.图12 图13证明：如图13所示,（1）取PD 的中点Q ，连接AQ 、NQ,则QN21DC,AM 21DC, ∴QN AM.∴四边形AMNQ 是平行四边形.∴MN∥AQ.又∵MN ⊄平面PAD,AQ ⊂平面PAD,∴MN∥平面PAD. （2）∵PA⊥平面ABCD ，∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD. 又∵AQ ⊂平面PAD,∴CD⊥AQ. 又∵AQ∥MN,∴MN⊥CD.（3）由（2）知，CD⊥平面PAD, ∴CD⊥AD,CD⊥PD.∴∠PDA 是二面角PDCA 的平面角.∴∠PDA=45°. 又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD. 又∵MN∥AQ,∴MN⊥CD.又∵MN⊥PD,∴MN⊥平面PDC.例2 如图14,已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA 1，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点.图14（1）求证：直线MF∥平面ABCD ； （2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；（3）求平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小. （1）证明：延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连接AN. ∵F 是BB 1的中点，∴F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点. 又M 是线段AC 1的中点，故MF∥AN. 又∵MF ⊄平面ABCD,AN ⊂平面ABCD, ∴MF∥平面ABCD.（2）证明：连接BD ，由直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1,可知AA 1⊥平面ABCD, 又∵BD ⊂平面ABCD ，∴A 1A⊥BD. ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC⊥BD. 又∵AC∩A 1A=A,AC 、A 1A ⊂平面ACC 1A 1,∴BD⊥平面ACC 1A 1.在四边形DANB 中，DA∥BN 且DA=BN ， ∴四边形DANB 为平行四边形. 故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC 1A 1. 又∵NA ⊂平面AFC 1,∴平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.（3）解：由（2）,知BD⊥平面ACC 1A 1，又AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴BD⊥AC 1. ∵BD∥NA，∴AC 1⊥NA.又由BD⊥AC,可知NA⊥AC，∴∠C 1AC 就是平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角. 在Rt△C 1AC 中，tan∠C 1AC=311=CA C C ，故∠C 1AC =30°. ∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°.变式训练 如图15所示，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD ，且AB=2，SC=SD=2.图15（1）求证：平面SAD⊥平面SBC ；（2）设BC=x ，BD 与平面SBC 所成的角为α，求sinα的取值范围. （1）证明：在△SDC 中，∵SC=SD=2，CD=AB=2,∴∠DSC=90°,即DS⊥SC.∵底面ABCD 是矩形,∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD,∴BC⊥面SDC. ∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC.∵DS ⊂平面SAD,∴平面SAD⊥平面SBC.（2）解：由（1）,知DS⊥平面SBC,∴SB 是DB 在平面SBC 上的射影. ∴∠DBS 就是BD 与平面SBC 所成的角，即∠DBS=α. 那么sinα=DBDS. ∵BC=x,CD=2⇒DB=24x +,∴sinα=242x+.由0＜x ＜+∞,得0＜sinα＜22.（五）知能训练讲义本节练习.（六）拓展提升如图16，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N 是PB 中点，过A 、D 、N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点.图16（1）求证：EN∥平面PCD ；（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN ；（3）求平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的正切值. (1)证明：∵AD∥BC,B C ⊂面PBC,AD ⊄面PBC, ∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN, ∴AD∥MN.∴MN∥BC. ∴点M 为PC 的中点.∴MN21BC. 又E 为AD 的中点，∴四边形DENM 为平行四边形. ∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.（2）证明：连接PE 、BE,∵四边形ABCD 为边长为2的菱形，且∠BAD=60°, ∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD,∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB. 又∵PA=AB 且N 为PB 的中点, ∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN. ∴平面PBC⊥平面ADMN.（3）解：作EF⊥AB，连接PF ，∵PE⊥平面ABCD,∴AB⊥PF. ∴∠PFE 就是平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的平面角. 又在Rt△AEB 中，BE=3，AE=1，AB=2,∴EF=23. 又∵PE=3,∴tan∠PFE=233=EFPE=2,即平面PAB 与平面ABCD 所成的二面角的正切值为2.（七）课堂小结知识总结：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方式总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.（八）作业讲义习题2.3 A组一、二、3.。
人教A 版必修第二册§8.6.3 平面与平面垂直教学设计一、教学内容分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修必修第二册第八章《立体几何初步》第六节《空间直线、平面的垂直》，主要为两个平面互相垂直的定义、两个平面互相垂直的判定定理，是一节新授课。
平面与平面的垂直关系是“立体几何初步”章节中的又一个重点，是继直线、平面的平行关系，直线与平面的垂直关系之后的迁移与拓展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现。
这一节的学习对理顺“立体几何初步”章节的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用。
平面与平面垂直是平面与平面相交的特殊情况，生活中平面与平面垂直的例子大量存在，引导学生观察、发现大量实例，通过类比直线、平面平行关系的判定以及直线与平面垂直的判定，提出“平面与平面垂直判”判定的猜想，选择“如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直”等典型猜想进行说理。
本节课中，几何直观、空间想象、合情推理和论证推理的结合有助于学生数学核心素养的培养。
二、教学目标与核心素养课程目标学科素养1.通过实例，学生运用类比的思想，独立探索空间中两个平面互相垂直的定义方法，体会定义一个数学对象的基本思想；2.熟悉线线垂直、线面垂直的转化；3.通过运用所学定理的过程，达到巩固理解所学知识的目标，提高学生类比化归能力，培养学生降低空间维数的转化与化归1.数学抽象、直观想象：平面与平面垂直的定义；2.逻辑推理：用定理证明垂直关系；三、学情分析经过前面的学习，学生有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，能较准确地使用图形和数学语言表述几何对象的位置关系；已了解“平行关系”的性质和判定方法，以及直线与直线、直线与平面“垂直关系”的性质和判定方法；已基本掌握解决空间问题的一般方法—平面化，具备学习本节课所需的知识。
然而，学生的能力发展正处于由形象思维向抽象思维转折的阶段，但更注重形象思维，对两个平面的垂直关系还停留在感性的认识阶段，没有上升到理论。
