运筹学-第六章 图论1

d<u,v> + d<v,w> ≥ d<u,w> 《定义》：在简单有向图中,若图中任何一 定义》 对结点间,至少有一点到另一结点是可达 的，则称此图是单侧连通的；如果两结 点均是互相可达的，则称是强连通的。 如果在图中略去边的方向,将它看成无向 图后，图是连通的，则称此图为弱连通 的. 强连通⇒单侧连通⇒弱连通
(10)闭路（自回路）： 闭路（自回路）：图中起始且终止于同一结 闭路 ）： 点的边 (闭路的箭头方向是没有意义的 )例：
(11)多重边（平行边）： 多重边（平行边）：二个结点之间 多重边 ）： 方向相同的二条（多条）边 例：
多重图，非多重 《定义》：含有多重边的图称为多重图 定义》 多重图 图称为线图 线图。 线图 简单图： 简单图。 简单图：无自回路的线图称为简单图。由定义可 简单图 见，简单图是没有自回路和多重边的图。 例：
图论不断发展，它在解决运筹学，网络理 论，信息论，控制论，博奕论以及计算 机科学等各个领域的问题时，显示出越 来越大的效果。 对于这样一门应用广泛的学科，其包含的 内容是丰富的，本篇我们只准备介绍基 本的概念和定理，为今后有关学科及课 程的学习和研究提供方便。 第七章 图论
§1图的基本概念
1.基本名词和定义 1.基本名词和定义 定义》 《定义》一个图G是一个三元组<V(G),E(G), ΦG>, 其中V(G)为有限非空结点（或叫顶点）集合, E(G)是边的集合， ΦG是从边集E到结点偶对集 合上的函数。 (1). V(G) ={V1,V2,…,Vn}为有限非空集合, Vi称为结点,简称V是点集。 (2). E(G)={e1,…,em}为有限的边集合,ei称为边。 。 每个边ei都有V中的结点对与之相对应,称E为边集。 。 即每条边是连结V中的某两个点的。

(4) 重复第3步，一直到t点得到标号为止。 例3 求从v1到v7的最短路
v2
5 2 7 6
v5
3 1 2 6
v1
2 7
v4
v7
解：
5
v3
v2
0 2 7 7
4
v6
v5
6 1 2 6 3
(1)
v1
2
v4
v7
v3
4
v6
(2)
L1 p min d12 , d13 min 5, 2 2 L13
• 若两个点之间的边多于一条，称为具有多重边；
• 对无环、无多重边的图称为简单图。 次、奇点、偶点、孤立点、悬挂点 • 与某一个点vi 相关联的边的数目称为次(也称度)，记d(vi)；

次为奇数的点称为奇点；次为偶数的点称为偶点；
次为0的点称为孤立点；次为1的点称为悬挂点。
多重边 v1 e'13 v3 e13
( vi , v j )
3-1 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法 算法的思想：如果P是从vs到vt的最短路，vi是P上的一个 点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。 设dij为图中两相邻点i与j的距离，若不相邻，dij=0；Lsi为点 s到i的最短距离, 求s点到t点最短距离。 算法的步骤：
v4
v7
v3
2
4
v6 6
(5) L1 p min L12 d 25 , L12 d 24 , L13 d 34 , L16 d 64 , L16 d 65 , L16 d 67 min 5 7, 5 2, 2 7, 6 2,6 1,6 6 7 L14 L15

一、树的概念及性质 例：已知有五个城市，要在它们之间架设电话线，要 求任何两个城市都可以互相通话（允许通过其它城市） ，并且电话线的根数最少。
v2
v3
v1
v5
v4
9
1.树的定义 ：连通且不含圈的无向图称为树。 次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点，树的边称 为树枝。
v2 v4 v2 v1 v4
d1 j = min( d1i wij )
i
设任一点vi到任一点 vj都有一条弧，如果（vi, vj）不是弧，则添 22 加弧（vi, vj），令wij=+∞
迭代过程：
①初始条件： t=1,d1j(1)=w1j (j=1,2,…,n) ，如果 v1 与 vj间 无边，其最短路长记为+∞ ②t=2,3,…
3
悬挂边：悬挂点的关联边
定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数 的两倍，即
Σd(v)=2q vV
定理2：任一图中，奇点的个数为偶数。
给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k1)，则称为一条联结vi1和vik的链，记为(vi1,vi2,…,vik)， 称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。
2．最小支撑树（最小树）
具有最小权的支撑树称为最小支撑树。
13
3．求最小支撑树的方法
（1）避圈法 在图中选一条权数最小的边，在以后的每步中，总从未被选 取的边中选一条权数最小的边，并使之与已选取的边不构成圈（ 权数相同时，任选一条），直到选够n-1条边为止。
3
2
4 1 5

e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则