文献综述 小波变换(Wavelet Transform)的概念是1984年法国地球 ...

小波变换发展史传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。

在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。

小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。

小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。

1.从傅立叶分析到小波分析1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立分析。

傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反映了“整个”时间范围内信号的“全部”频谱成分，是研究信号的周期现象不可缺少的工具。

建立在傅立叶分析基础上的采样定理和FFT技术奠定了现代数字化技术的理论基础。

尽管傅立叶变换具有很强的频域局域化能力，但是它明显的缺点，那就是无法反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT在时域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。

为了研究信号在局部时间范围内的频谱特征，1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT），但是STFT的窗口宽度是固定的（和频率无关），这使得它无法同时兼顾信号的低频和高频特征，在分析时变信号时也有一定的局限性。

另外，STFT的窗口函数或核函数不能提供一组离散正交基，所以给数值计算带来了不便，这也是导致STFT 没有得到广泛应用的重要原因。

从傅立叶分析演变而来的小波分析的优点恰恰可以弥补傅立叶变换中存在的不足之处。

10.2小波变换的基本原理地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。

近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。

在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。

小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。

1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。

小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。

小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。

不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。

它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。

小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。

因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。

下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。

10.2.1小波分析的基本原理小波函数的数学表达正弦调和波形小波波形。

1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的 小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的 同样方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始 蓬勃发展起来，其中比利时女数学家 I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作 用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor 变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换， 因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平 移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析 （Multiscale Analysis），解决了Fourier变换 不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为 “数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑 式的进展。
简化
正如1807年法国的热学工程师 J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成 三角函数的无穷级数的创新概念未能得到 著名数学家grange，place 以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是， 早在七十年代，A.Calderon表示定理的发 现、Hardy空间的原子分解和无条件基的 深入研究为小波变换的诞生做了理论上的 准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史 上非常类似于现在的小波基；
绪论
小波变换的历史：
小波分析是当前数学中一个迅速发展的新 领域，它同时具有理论深刻和应用十分广 泛的双重意义。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处 理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的， 通过物理的直观和信号处理的实际需要经 验的建立了反演公式，当时未能得到数学 家的认可。
1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任 何时域定位能力。
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧 密地结合在一起地。现在，它已经在科技信 息产业领域取得了令人瞩目的成就。 电子 信息技术是六大高新技术中重要的一个领域， 它的重要方面是图象和信号处理。现今，信 号处理已经成为当代科学技术工作的重要部 分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊 断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精 确地重构（或恢复）。从数学地角度来看， 信号与图象处理可以统一看作是信号处理 （图象可以看作是二维信号），在小波分析 地许多分析的许多应用中，都可以归结为信 号处理问题。

经过近一个学期的学习，我对小波这个概念有了浅显的认识，下面主要从以下几个方面对小波概念展开我的理解。

一：小波变换的由来小波变换的概念是1984年法国地球物理学家J.Morlet 在分析地球物理勘探资料时提出来的。

小波变换的基础是19世纪的傅里叶变化，其后理论物理学家A.Grossman 采用平移和伸缩不变性建立了小波变换的理论体系。

1985年，法国数学家Y.Meyer 第一个构造出具有一定衰减性的光滑小波。

1988年，比利时数学家I.Daubechies 证明了紧支撑正交标准小波基的存在性，使得离散小波分析成为可能。

1989年，比利时数学家S.Mallat 提出了多分辨率分析概念，统一了在此之前的各种构造小波的方法，特别是提出了二进小波变换的快速算法，使得小波变换完全走向实用性。

二：傅里叶变换傅里叶变换是信号处理常用的方法，它架起了时间域和频率域之间的桥梁。

傅里叶变换所用的正弦波e −iωt 是所有线性时不变算子的特征向量，所以傅里叶变换对于线性时不变信号一直处于一种统治地位。

设f(t)∈L 1(R )，连续傅里叶变换定义为：F (ω)=∫e −iωt f (t )dt +∞−∞F (ω)傅里叶逆变换定义为：f (t )=12π∫e iωt F (ω)dω+∞−∞实际应用中，计算机处理信号时要求信号时离散的，并且为有限长。

因此，有了短时傅里叶变换(DFT)。

给定实的或复的离散时间序列f 0, f 1,…, f N−1，设该序列绝对可积，即满足∑|fn |<∞N−1n=0，则序列{f n }的离散傅里叶变换为： X (k )=F (f n )=∑f n N−1n=0e−i 2πk N n 序列{ X (k )}的离散傅里叶逆变换(IDFT)为：f n =1N ∑X (k )N−1k=0e i 2πN n从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把f(t)波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和，这样我们就可以从时域转换到频域实现对信号的分析。

小波变换在现代的科学研究中有着广阔的应用。

作为一种近些年提出的新的数学概念，它的科学研究工具的作用正在被充分发掘。

1 小波变换的提出小波变换（wavelet transform ）是80年代后期发展起来的应用数学分支。

虽然从历史上往上追溯，在此之前已有一些学者零散地进行过一些工作，但在理论上构成较系统的构架则主要是法国数学家Y .Meyer 和地质物理学家J.Morlet 及理论物理学家A.Grossmanr 的贡献。

而把这一理论引入工程应用，特别是信号处理领域，法国学者 I.Daubechies 和 S.Mallat 则起着极为重要的作用。

因此人们有把小波分析的兴起归功于所谓‘法国学派’。

小波变换的含义是：把某一被称为基本小波[也叫母小波（mother wavelet ）]的函数()t ψ作位移τ后，再在不同尺度α下与待分析信号()x t 作内积：*(,)()(),0x t WT x t dt τατϕαα+∞-∞-=>等效的频域变化是：*(,)()()2j x WT x e d ωπατωϕαωωπ+∞+-∞=⎰其中()X t ，()ψω是()x t ()t ϕ的傅里叶变换。

2 小波变换的特点小波变换有以下特点：1、具有多分辨率（multi-resolution ）,也叫多尺度（multi-scale ）的特点，可以由粗及精地逐步观察信号。

2、也可以看成是用基本频率特性为()ψω的带通滤波器在不同尺度α下对信号作滤波。

由于傅里叶变换的尺度特性： 如果()t ψ的傅里叶变换是()ψω，则()t αϕ的傅里叶变换为()αψαω。

因此这组滤波器有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。

注意，α愈大相当于频率愈低。

3、适当地选择基本小波，使()t ϕ在时域上为有限支撑，()ψω在频域上也比较集中，便可以使WT 在时频两域都有表征信号局部特征的能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。

数的分析方法逐步出现。基 函数在频率和位置上都是变化的。“小”。 小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征， 通过平移母小波来获得信号的时间信息。 对母小波的缩放和平移操作是为了计算小 波系数，这些小波系数反映了小波和局部 信号之间的相关程度。



j t
d
da W f (a, b)a,b (t )db a 2 0
1 t b a ,b (t ) ( ) a a
小波系数的意义
Wf (a,b)表示信号与尺度为a小波的相关程 度。小波系数越大，二者越相似。
F ( )


f (t )e
j t
傅立叶变换
F ( )

f (t )e
j t
dt
将信号分解为不同频率的正弦波的叠加
傅立叶变换
架起了时域和频域的桥梁
只有频率分辨率而没有时间分辨率。 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确 定具有这些频率的信号出现在什么时候。
傅立叶变换
如果想要研究函数在区间(a,b)上的性质， 一个很自然的想法就是利用函数 乘f(t)
小波变换简介
傅立叶变换
信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。 1807年，Joseph Fourier 傅立叶变换以在两个方向上都无限伸展的正弦曲 线波作为正交基函数， 提供了有关频率域的信息， 但有关时间的局部化信息却基本丢失。 原因是对于瞬态信号或高度局部化的信号（如边 缘），由于这些成分并不类似于任何一个傅立叶 基函数，它们的变换系数（频谱）不紧凑的，频 谱上呈现出一幅相当混乱的构成 。
1980：Morlet 1970s，在法国石油公司工作的年轻地球物理 学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。 1980s,连续小波变换 (continuous wavelet transform， CWT)。 1986：Y. Meyer 法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出 具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数； 用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(j≥0 的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基， 使小波分析得到发展。

基于小波变换的人脸识别近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。

小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。

具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。

4.1 小波变换的研究背景法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。

傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。

在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。

定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下：()()dt e t f F t j ωω-⎰∞-∞+= (4-1) 傅立叶变换的逆变换为：()()ωωπωd e F t f t j ⎰+∞∞-=21 (4-2)从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。

可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。

尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。

但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。

小波变换的理论基础及应用专业班级电气工程学院姓名学号任课教师日期目录一、小波分析的发展历史和前景 (1)二、小波变换的理论基础 (2)2.1连续小波变换 (2)2.2离散小波变换 (3)2.3二进小波变换 (4)2.4多分辨分析与二尺度方程 (4)2.4.1 多分辨分析 (5)2.4.2 二尺度方程 (6)2.5MALLAT算法 (6)2.5.1 Mallat算法的综述 (7)2.5.2 Mallat分解算法 (7)2.5.3 Mallat合成算法 (8)2.6小波基和小波函数的选取 (9)2.6.1 小波基选择的标准 (9)2.6.2 小波基选择的五要素 (9)三、小波变换的应用 (10)3.1图像、信号压缩 (10)3.2小波降噪 (10)3.3小波在信号处理中的应用 (11)3.4小波变换在故障诊断中的应用 (11)3.5小波变换在边界检测中的应用 (11)3.6小波变换的结合应用——小波网络等 (12)参考文献 (12)小波变换的理论基础及应用一、小波分析的发展历史和前景1984年,法国地球物理学家Morlet在分析地震波的局部特性时首次采用了小波变换。

随后，理论物理学家 Grossman 对 Morlet 的这种信号按一个确定函数的伸缩，平移系展开的可行性进行了研究，这无疑为小波分析的形成开了先河。

由于其在时频两域都具有表征信号局部特征的能力和多分辨率分析的特点,因此被誉为“数学显微镜”。

小波变换的基本思想是将原始信号通过伸缩和平移后,分解为一系列具有不同空间分辨率、不同频率特性和方向特性的子带信号,这些子带信号具有良好的时域、频域等局部特征。

这些特征可用来表示原始信号的局部特征,进而实现对信号时间、频率的局部化分析,从而克服了傅里叶分析在处理非平稳信号和复杂图像时所存在的局限性。

随着小波理论的日趋成熟，人们对小波变换的实际应用越来越重视,它已广泛地应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、模式识别、机器视觉、机械故障诊断与监控以及数字电视等科技领域。

JPEG2000 主要有以下特点
高压缩率 JPEG2000压缩性能比JPEG提高了30%～50%，也就是说 ，在同样的图像质量下，JPEG2000可以使图像文件的 大小比JPEG图像文件小30%～50%。同时，使用 JPEG2000的系统稳定性好，运行平稳，抗干扰性好， 易于操作。
同时支持有损和无损压缩 JPEG只支持有损压缩，而JPEG2000能支持无损压缩。 在实际应用中，诸如卫星遥感图像、医学图像、文物 照片等重要的图像都非常适合于采用JPEG2000压缩。
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离散小波变换分析图
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用滤波器执行离散小波变换
执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器， 该 方法是Mallat于1988年提出的，称为Mallat算法。 这种方法实际上是一种信号分解的方法， 在数字 信号处理中常称为双通道子带编码。
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• 用滤波器执行离散小波变换的概念如下图。
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小波分析
信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的 相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信 息，但时间方面的局部化信息却根本丧失。
与傅立叶变换不同，小波变换通过平移母小波 (mother wavelet)可获得信号的时间信息，而通 过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信号 的频率特性。对母小波的缩放和平移操作是为 了计算小波的系数，这些系数代表小波和局部 信号之间的相互关系
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小波介绍-小波简史1
1909 年哈尔(Alfred Haar)发现了小波，并命名为哈尔 小波(Haar wavelets)，他最早发现和使用了小波。
20 世纪70 年代，当时在法国石油公司工作的年轻的 地球物理学家Jean Morlet 提出了小波变换WT(wavelet transform)的概念。

1、图像处理中正交变换的目的是什么？答：1、使图像处理问题简化2、有利于图像特征提取3、有助于从概念上增强对图像信息的理解图形变换主要用于哪些方面？答：图像变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。

二维傅立叶变换有哪些性质？答：周期性、线性、可分离性、比例性质、位移性质、对称性质、共轭对称性、差分、积分、卷积、能量。

二维傅立叶变换的可分离性有何意义？答：分离性表明：二维离散傅立叶变换和反变换可用两组一维离散傅立叶变换和反变换来完成。

2、阅读有关小波变换的文献两篇（文献综述）高广春，熊凯等.自适应小波变换更新滤波器的优化研究[J].电路与系统学报.2011.16(3):81-86自适应和非线性小波变换能比传统小波变换以更稀疏的方式表示一幅图像。

随着JPEG2000图像标准中采用基于提升格式的小波变换，该种小波变换方法就越来越吸引研究者们的注意。

基于提升格式小波变换可以灵活构造线性和非线性滤波器。

最近，许多基于提升格式的自适应和非线性小波变换结构被提出。

基于提升格式的小波变换被称为第二代小波变换，该种结构提供了一种灵活构造非线性小波分解和重构的方法。

在先选定预测滤波器的基础上，对于给定信号，如何选取最优的滤波器系数，该论文根据最小均方误差准则，提出了优化的小波更新滤波器的设计方案。

并以来自MIT/BIH数据库样本100心电图信号为测试信号，设计了优化的更新小波变换滤波器，仿真过程证明了小波变换后的低频系数具有较好的能量集中特性，并可在信号重建过程中获得较好的线性近似，通过与其他不同结构的小波变换进行比较，验证了优化的小波更新滤波器的性能。

龚瑞昆.离散小波变换在传感器故障诊断中的应用[J].仪器仪表学报.2001.22(4):237-239近年来小波分析由于具有变时域和变频域特性而备受关注，它可以代替传统的傅立叶分析广泛地应用于故障诊断中。

小波网络由于可以逼近任意函数而广泛的应用于系统辨识中。

1 a
(
t a
)
x (t ) ——平方可积函数。
式中 a 0 是尺度因子， 反映位移，其值 可正可负。式中不但t是连续的 ，而且和a 和 也是连续变量，因此称为连续的小波 变换。
（2）频域变换
W Tx ( a , ) a 2

X ( ) ( a ) e
*
j
d
因此对数据实现高保真、大压缩比的 压缩非常必要。数据压缩主要包含无失真 压缩和有失真压缩两大类。无失真压缩是 指图像数据经压缩后可以完全地得到恢复， 复原后的图像和原始图像一致。而有失真 的压缩是指经过压缩后的图像数据在保持 原图像特征的前提下，不可避免地要丢失 一部分不重要的图像原始信息。目前基于 小波变换的图像压缩方法已经逐步取代基 于离散余弦或者其他子代编码技术，而成 为新的图像压缩国际标准的首选方法。
时才能由小波变换 WTx ( a , )
反演源函数 x (t ) 。此时可 得：
x (t )
1 c


da a
0
2


WTx ( a , ) a (t ) d
（4）几种常见的小波
i Morlet小波 ii Marr小波 iii DOG（difference of gaussian）小波 iv Harr小波
如果 ( ) 是幅频特性比较集中的带通函数， 则小波变换便具有表征待分析信号 X ( ) 频 域上局部性质的能力。
（3）反变换
一个有用的算法必须有其反变换，也就是 算法可将一种信号做变换，也可将其变换 回原信号，这样才可称得上是一种成功的 算法。 当
c


( )

d
随着小波理论的日趋成熟，人们对小波变换的 实际应用越来越重视，它已广泛地应用于信号处理、 图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、 CT成像、彩色复印、流体湍流、模式识别、机械 故障诊断与监控以及数字电视等科技领域。在上述 的应用中，都可以归结为信号处理问题。在实际的 应用中，绝大部分信号是非稳定的，而特别使用于 非稳定信号的工具就是小波分析。

第10章 小波变换与JPEG 2000编码之小波变换虽然基于DCT 的JPEG 标准的压缩效果已经很不错，但在较高压缩比时会出现明显的马赛克现象，且不能渐进传输。

为了适应网络发展的需要，JPEG 于2000年底推出了采用DWT (Discrete Wavelet Transform 离散小波变换)的JPEG 2000标准。

小波变换是1980年代中期发展起来的一种时频分析方法，比DCT 这样的傅立叶变换的性能更优越，被广泛应用于调和分析、语音处理、图像分割、石油勘探和雷达探测等等方面，也被应用于音频、图像和视频的压缩编码。

本章先介绍小波变换的来龙去脉，然后分别介绍连续小波变换、离散小波变换、Haar 小波变换和整数小波变换，最后介绍JPEG 2000的编码算法和标准。

10.1 小波变换小波变换(wavelet transform)是傅立叶变换的发展，中间经历了窗口傅立叶变换。

原始数据一般是时间或空间信号，在时空上有最大分辨率。

时空信号经傅立叶变换后得到频率信号，在频域上有最大分辨率，但其本身并不包含时空定位信息。

窗口傅立叶变换通过对时空信号进行分段或分块进行时空-频谱分析，但由于其窗口的大小是固定的，不适用于频率波动大的非平稳信号。

而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口大小，是一种自适应的时频分析方法，具有多分辨分析功能。

本节先讨论小波变换与（窗口）傅立叶变换的关系，然后依次介绍连续小波变换、离散小波变换、Haar 小波变换和第二代小波变换（整数小波变换）。

10.1.1 傅立叶变换与小波变换傅立叶变换(Fourier transform)是法国科学家Joseph Fourier 发表于1822年的他在用无穷三角级数求解热传导偏微分方程时所提出的一种数学方法，它可将时空信号变换成频率信号。

鉴于傅立叶变换不含时空定位信息，（1971年的诺贝尔物理学奖获得者）匈牙利人Dennis Gabor 于1946年提出窗口傅立叶变换（window Fourier transform ）。

从时频分析方法发展的角度出发（对比每种方法的优缺点），简述了小波变换的发展历史。

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。

幸运的是，1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。

与Fourier变换、窗口Fourier变换相比，它是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展，势必取代傅立叶分析的位置。

1．小波分析的3个特点：小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。

有利于分析确定时间发生的现象。

（傅里叶变换只具有频率分析的性质）小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。

信号长度为M时，Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：2. 小波基表示发生的时间和频率：傅里叶变换（Fourier）基小波基时间采样基“时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较4.信号的时频分析：信号时频分析的重要性：时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。

信号的时域和频域之间具有紧密的联系。

信号时频分析的主要方法：3. 傅里叶变换（一）傅里叶变换伟大贡献及其局限性：傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。

在小波的数学理论基础研究方面
• 针对具体实际问题，如何构造选择最优小波基 及框架的系统方法一直是人们关注的问题之 一． • 仿真和实验对小波分析是重要的，且取得了丰 硕的成果．如何让仿真和实验结果走出实验室， 向人们提供具有实用价值的小波分析技术，开 发以小波作为工具的高水平分析软件将吸引更 多学者来进行研究． • 小波应用的范围虽广, 但真正取得极佳效果的领 域并不多,人们也正在挖掘有前景的应用领域.
小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均具有很好的局部化
特征，它能够提供目标信号各个频率子段的频率信息。这种信息对 于信号分类是非常有用的。
小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个信号可由小波系 数来刻画。
小波的基本概念——什么是小波
小波是什么？ 小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时间范围内变化， 并且平均值为0。这种定性的描述意味着小波具有两种性质:A、具有有限 的持续时间和突变的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。
•语音信号处理的目的是得到一些语音参数以便高效地传输或存储. •利用小波分析可以提取语音信号的一些参数, 并对语音信号进行处理. •小波理论应用在语音处理方面的主要内容包括: 清浊音分割;基音检测; 去噪、重建与数据压缩等几个方面. •小波应用于语音信号提取、语音合成、语音增加、波形编码已取得了 很好的效果.
信号奇异性检测
信号中的奇异点及不规则的突变部分经常带有比较重要的信息，它是信 号的重要特征之一。比如，在故障诊断中，故障通常表现为输出信号的突 变，因而对突变点的检测在故障诊断中有着重要的意义。由于傅里叶交换 将信号变换成纯频域中的信号，而使它不具有时间分辨的能力，故对信号 在时域中的突变点根本无法检测出来。而小波变换具有良好的空间局部化 性质，利用小波变换对信号的奇异性及奇异性位置和奇异度的大小都有比 较准确的判断。 小波分析检测信号突变点的一般方法是：对信号进行多尺度分析， 在信号出现突变时，其小波变换后的系数具有模量极大值，因而可以通 过对模量极大值点的检测来确定故障发生的时间点。

R R
1 2
t b )dt a
可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a和伸 缩因子b的函数
20
3.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
FT
信号
连续正弦波或余弦波
傅立叶分解过程
CWT
信号
不同尺度和平移因子的小波
小波分解过程
21
3.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
伸缩因子对小波的作用
2.小波变换与傅里叶变换的比较
（1）克服第一个不足：小波系数不仅像傅立叶系 数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频 率指标j， 在不同时刻 k，小波系数也是不同的。 （2）克服第二个不足：由于小波函数具有紧支撑 的性质即某一区间外为零。这样在求各频率水平不同 时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息。 从而克服了上面所述的第二个不足。 （3）克服第三个不足：通过与加窗傅立叶变换的 “时间—频率窗”的相似分析，可得到小波变换的 “时间—频率窗”的笛卡儿积。小波变换的“时间--频 率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号 时变宽。这正是时间--频率分析所希望的。根据小波变 换的 “时间—频率窗” 的宽度可变的特点，为了克服 上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频 8 信息，问题就迎刃而解了。
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3.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
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3.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
小波逆变换 如果小波函数满足“容许”条件，那么连续小波变换 的逆变换是存在的
1 x(t ) C
1 C

0



CWTf (a, b) a ,b (t )
1 波变换与傅里叶变换的比较
小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的， 但小波分析与傅里叶分析存在着极大的不同，与 Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的 局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸 缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细 化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。 小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信 号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。

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STFT无能为力了! STFT无能为力了! 不能构成正交基 不能构成正交基,给数值计算带来不便. 正交基,
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小波信号隆重登场
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登场原因: (1)继承和发展了STFT的局部化思想. )继承和发展了STFT的局部化思想. (2)克服了窗口大小不随频率变化,缺 乏离散正交基的缺点.
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正交基的解释
若一物体可用颜色和大小表示,我们称颜色和 若一物体可用颜色和大小表示,我们称颜色和 大小为特征基,构成此物体特征描述空间. 大小为特征基,构成此物体特征描述空间. 大小和颜色是互不相干的 大小和颜色是互不相干的2种描述,我们称其 为正交. 正交. 同时若这些基能够完全表示所有物体,我们称 同时若这些基能够完全表示所有物体,我们称 其为完备特征基. 其为完备特征基. 因为特征基表现了物体特征,因而可以用更简 因为特征基表现了物体特征,因而可以用更简 洁的描述表示物体.
t
f (t)=ψ (4t);scale =0.25
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基本小波函数ψ()的缩放和平移操作
小波的延迟或超前.在数学上, (2) 平移.小波的延迟或超前.在数学上,函数f(t)延 迟k的表达式为f(t-k),
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小波的平移操作 (a) 小波函数ψ(t); (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
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典型的地震记录
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实际采集的地震信号
它们的频域特性都随时间而变化.分析它需要提取某 一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息
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