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小波变换原理
小波变换是一种信号分析方法，它可以将一个信号分解成不同频率和时间的小波基函数的线性组合。
这种分解能够提供关于信号局部特征的信息，并且具有较好的时频局部化性质。
小波变换的基本原理是利用小波基函数对信号进行多尺度分析。
小波基函数是一组函数，它们具有有限时间和频率的特性。
通过对不同尺度的小波基函数进行缩放和平移，可以得到不同频率和时间的基函数。
在小波变换中，通常采用离散小波变换（DWT）进行信号分析。
离散小波变换将信号分解成不同尺度和位置的小波系数，每个小波系数表示信号在相应尺度和位置上的能量。
小波变换的优点之一是可以提供多分辨率的信号分析。
通过对信号进行分解，可以得到不同尺度上的信息，从而揭示信号在局部的频率特征。
这对于处理非平稳信号和突发信号非常有用。
小波变换还具有较好的时频局部化性质。
在时域上，小波基函数具有较短的时域长度，可以更好地描述信号的瞬时特征。
在频域上，小波基函数具有较宽的频带，可以更好地描述信号的频率特征。
小波变换在信号处理、图像处理、模式识别等领域有着广泛的应用。
它可以用于信号去噪、压缩、特征提取等任务，也可以用于图像边缘检测、纹理分析等任务。
总之，小波变换是一种多尺度信号分析方法，通过对信号进行分解，可以提取信号在不同尺度和位置上的特征。
它具有较好的时频局部化性质，可以有效地描述非平稳信号和突发信号的特征。
小波变换完美通俗解读
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠这小波变换！这玩意儿可神奇啦！
你看啊，就好比我们听音乐。
那音乐里有各种不同的声音吧，高音、低音啥的。
小波变换呢，就像是一个超级厉害的音乐分析师，能把这音乐里的各种成分给分得清清楚楚！比如我们平时说话的声音，有高有低，语调也不一样，小波变换就能把这些不同的部分准确地分辨出来。
再想想看，我们看一幅画，上面有各种色彩和线条。
小波变换就像是一个能把这些元素都拆解开来的大师！它可以把画里的细节，什么线条的走向啦，颜色的分布啦，都弄得明明白白。
那这小波变换到底有啥牛的呢？嘿，你想啊，我们在生活中，有时候会遇到很复杂的信息，就像一团乱麻。
而小波变换就能像一把神奇的剪刀，把这团乱麻给理清咯！
比如说医生要看 X 光片，那么多复杂的影像，小波变换就能帮忙找出关键的地方，难道这还不厉害吗？或者是在气象研究中，那么多变幻莫测的气候数据，小波变换就能从中找出规律！你说神不神奇！
“哎呀，那这小波变换也太了不起了吧！”这时候可能有人就问了，“那咱普通人能用它干啥呀？”嘿，用处可大了去了！如果你喜欢摄影，它可以帮你更好地处理照片，让照片更清晰更漂亮。
要是你对声音处理感兴趣，它能让你的音乐听起来更棒！这不就是让我们的生活变得更美好嘛！
总之，小波变换真的是一个超级神奇又超级实用的东西！大家可得好好去了解了解它，说不定就能给你的生活带来意想不到的惊喜呢！别小瞧它哦，它真的超厉害！。
小波变换名词解释
小波变换 (wavelet transform) 是一种时空局部化的数据变换方法，它通过对数据进行多尺度分析，从而实现数据的压缩、重构、滤波、边缘检测等操作。
小波变换的基本概念包括小波函数、小波基、小波变换系数、多分辨率分析等。
其中，小波函数是一种构造小波变换的基础，它可以用来描述信号或图像在不同尺度上的特征。
小波基是小波函数的线性组合，它用来实现小波变换的多尺度分析。
小波变换系数是小波基在数据上的投影，它可以用来描述数据的局部特征。
多分辨率分析是小波变换的一个重要概念，它表示数据在不同尺度上的分析，通过多分辨率分析，小波变换可以实现数据的分辨率增强。
小波变换在信号处理、图像处理、模式识别、数据压缩等领域有着广泛的应用。
图像的小波变换原理
小波变换原理是一种数学变换方法，主要用于图像处理和数据分析。
它通过将图像分解成不同尺度的频率分量，从而可以实现图像的压缩、去噪和特征提取等操作。
小波变换的核心思想是利用一组基函数（小波函数）对原始信号或图像进行分解和重构。
小波函数是一种特殊的函数，具有时域和频域上的局部性，能够有效地捕捉图像的局部特征。
小波变换通常采用多尺度分析的方法，即将原始信号或图像分解为不同频率范围的子信号。
这种分解方法可以通过将原始信号与一组尺度变换和平移的小波函数进行卷积运算来实现。
具体而言，小波变换的过程可以分为两个步骤：分解和重构。
在分解过程中，原始信号或图像通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，得到低频成分和高频成分。
然后，低频成分再次进行下一次的分解，直到达到所需的分解层数。
在重构过程中，将分解得到的低频和高频成分通过滤波和加权求和的方式进行重构，得到原始信号或图像的近似重构。
利用小波函数的正交性质，可以保证信号或图像在分解和重构过程中的信息完整性和精确性。
小波变换的优点是可以同时获取时间和频率信息，并且能够有效地处理非平稳信号和图像。
此外，小波变换还具有多尺度分析、高时频局部性和能量集中等特性，使得它在图像处理和数据分析领域得到了广泛的应用。
基于小波变换的人脸识别近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。
小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。
具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。
4.1 小波变换的研究背景法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。
傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。
在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。
定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下：()()dt e t f F t j ωω-⎰∞-∞+= (4-1) 傅立叶变换的逆变换为：()()ωωπωd e F t f t j ⎰+∞∞-=21 (4-2)从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。
可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。
尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。
但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。
15.3 多分辨率分析小波变换：*(,)()()x t CWT a x t dt aττψ∞-∞-=⎰小波反变换: ()(,211,x t x t CWT a dad C a a ψψτττ∞∞-∞-∞-⎛⎫=⎪⎝⎭⎰⎰ 具有变尺度的性质，在不同尺度下对信号进行分析，称为信号的多尺度分析。
小波变换中尺度的变化，将引起时、频域分辨率的变化（时频矩形窗wt D aD a⨯），因此信号的多尺度分析实际上就是信号的多分辨率分析。
即多尺度分析----多分辨率分析 5.3.1 正交多分辨率分析的概念多分辨率分析-----由空间划分来看是多分辨率逼近，最终目的是力求：1）构造一个在频率上高度逼近2()L R 空间的正交基；2）将信号投影到由这些基函数组成的频谱由低到高的正交子空间中。
（或者说就是用某些基函数将信号按照频谱的低到高进行分解描述）。
在一个平方可积空间2()L R 中对于任一信号2()()x t L R ∈ ，可以考虑用分辨率2j -来逼近该信号的问题（2j a =二进尺度，这里j 对应a 简称尺度，02j k ττ=，/2002()()2(2)2j j j jt t k t k a ττψτ----==-） （5-20） 先来看频谱由低到高子空间（正交）的划分问题，再来考虑信号的逼近问题5.3.1.1 空间（正交）的划分问题将空间2()L R 逐级二分， 这样逐级二分的函数分为两类，(1) 令一类函数：(),,1,0,1,j V t j =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 其频谱()j V ω只有在2j ωπ-<的有限区间内部不为零（低通特性），把具有这一性质函数的集合记作 {}j V 。
(2) 令一类函数：(),,1,0,1,j W t j =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅其频谱()j W ω只有在122j j πωπ--+<<的有限区间内部不为零（表现为带通特性），把具有这一性质函数的集合记作{}j W 。
由于小波变换的知识涵盖了调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论，所以没有一定的数学基础很难学好小波变换．但是对于我们工科学生来说，重要的是能利用这门知识来分析所遇到的问题．所以个人认为并不需要去详细学习调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论等数学知识．最重要是的理解小波变换的思想！从这个意义上说付立叶变换这一关必需得过！因为小波变换的基础知识在付立叶变换中均有提及，我觉得这也就是很多小波变换的书都将付立叶分析作为其重要内容的原因．所以我认为学习小波应从＜数字信号处理＞中的付立叶分析开始．当然也可从＜信号与系统＞这本书开始．然后再看杨福生老师的小波变换书．个人觉得他的书最能为工科学生所接受．２信号的分解付立叶级数将周期信号分解为了一个个倍频分量的叠加，基函数是正交的，也就是通常所说的标准正交基．通过分解我们就能将特定的频率成分提取出来而实现特定的各种需要，如滤波，消噪等．付立叶变换则将倍频谱转换为了连续谱，其意义差不多．小波变换也是一种信号分解思想：只不过它是将信号分解为一个个频带信号的叠加．其中的低频部分作为信号的近似，高频部分作为信号的细节．所谓的细节部分就是一组组小波分量的叠加，也就是常说的小波级数．３小波变换的时频分析思想付立叶变换将信号从时域变换到了频域，从整体上看待信号所包含的频率成分．对于某个局部时间点或时间段上信号的频谱分析就无能为力了，对于我们从事信号的奇异性检测的人来说，付立叶变换就失去了意义（包括加窗付立叶变换）．因为我们要找的是信号的奇异点（时域方面）和奇异点处所包含的频带（频域方面）也就是说需要一种时频分析方法．当然能有纯时域的分析方法更好！（据说数学形态学能达到这种效果）．小波变换之所以可以检测信号的奇异点，正在于它的＂小＂．因为用小的波去近似奇异信号要比正弦波要好的多．４小波变换的实质小波变换的公式有内积形式和卷积形式，两种形式的实质都是一样的．它要求的就是一个个小波分量的系数也就是＂权＂．其直观意义就是首先用一个时窗最窄，频窗最宽的小波作为尺子去一步步地＂量＂信号，也就是去比较信号与小波的相似程度．信号局部与小波越相似，则小波变换的值越大，否则越小！当一步比较完成后，再将尺子拉长一倍，又去一步步地比较，从而得出一组组数据．如此这般循环，最后得出的就是信号的小波分解（小波级数）．当然这只是一种粗略的解释．５连续小波变换，二进小波变换与离散小波变换的关系当尺度及位移均作连续变化时，可以理解必将产生一大堆数据，作实际应用时并不需要这么多的数据，因此就产生了离散的思想．将尺度作二进离散就得到二进小波变换，同时也将信号的频带作了二进离散．当觉得二进离散数据量仍显大时，同时将位移也作离散就得到了离散小波变换！6 MALLAT算法的意义想必大家都注意到，小波变换是以内积或卷积的形式实现的，这给数值计算带来了不利之处，因为用计算机作数值积分其计算量大．MALLAT算法则解决了这一问题，它不涉及小波的具体形式，只是对系数进行操作！其计算也就是用高通及低通滤波系数与小波系数作卷积．因为作信号处理时，我们往往并不关心小皮的具体形式，更为关心小波系数．需提出的是该算法仅适用于正交小波如果小波不是正交的（如Ｂ样条小波）则算法失效！７小波变换的模极大值及其意义对于我们搞信号奇异性检测的人来说，小波变换最重要的应用就是用模极大值定值奇异点．我觉得模极大值可以从两个方面去理解：第一，从直观角度，上文已说明小波变换的实质就是一种度量波形相似程度的方法．信号与小波越相似，则小波系数越大．这也就可理解为出现了小波变换的模极大值．因为当信号出现奇异点时，或是间断点，或是一阶导数不连续点，其在各个尺度下都将必然出现大的小波系数．从而可以定位奇异点！第二个方面从小波的取法来看，当小波取为光滑函数一阶导数或二阶导数时，从公式可以推导出小波变换将出现模极大值点或是过零点．也就是很多书上说的模极大值检测和零交叉检测．这些可以查书看！我只谈谈连续小波变换，对于离散的也有同样的argument。
小波变换 opencv（原创实用版）目录1.小波变换概述2.OpenCV 简介3.OpenCV 中的小波变换实现4.小波变换在图像处理中的应用5.总结正文1.小波变换概述小波变换是一种信号处理技术，它具有多尺度分析、局部特性和方向特性等优点。
小波变换能够将时间和空间上的局部信息提取出来，对于图像处理、信号处理、语音处理等领域有着广泛的应用。
2.OpenCV 简介OpenCV（Open Source Computer Vision Library）是一个开源的计算机视觉库，它包含了大量的图像处理、视频分析和计算机视觉方面的算法。
OpenCV 提供了丰富的函数和接口，使得开发者可以方便地实现各种图像处理和计算机视觉任务。
3.OpenCV 中的小波变换实现在 OpenCV 中，小波变换的实现主要依赖于 wavelet 模块。
该模块提供了一系列的小波变换相关函数，包括小波分解、小波重构、小波系数提取等。
用户可以根据需要选择不同的小波基函数和分解层数来实现不同的小波变换。
4.小波变换在图像处理中的应用小波变换在图像处理中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：（1）图像去噪：通过小波分解，可以将图像中的噪声抑制在较低的频率层，从而实现图像的去噪。
（2）图像压缩：小波变换可以将图像的能量集中在少数几个频率层，因此可以利用较少的系数来表示图像，实现图像的压缩。
（3）图像特征提取：小波变换可以提取图像的局部特征，这些特征可以用于图像的分类、识别和匹配等任务。
（4）图像增强：通过对小波系数的调整，可以实现图像的增强和滤波等操作。
5.总结小波变换是一种重要的信号处理技术，它在 OpenCV 中有着广泛的应用。
小波变换原理小波变换（WaveletTransform，简称WT）是一种用于数字信号处理的实用技术，它是在1980年代由Yves Meyer等人提出的。
它是一种基于振动信号的就地分析方法，它允许将一个信号分解成多个不同尺度上的分量，该分量描述了信号的不同特性。
小波变换的基本概念是将源信号分解成低频与高频成分的线性变换，也就是将源信号分解为几个子信号，这几个子信号的能量衰减速度明显不同，从而减少了信号的复杂性，使信号的处理变得更容易。
波变换的正变换（Analysis）逆变换（Synthesis）的原理基本类似于傅立叶变换，在经过变换后，信号可以通过多维度，从而更加清晰地表示它的特性。
小波变换由一组小波函数组成，这些小波函数是根据条件确定的，由一系列称为基带小波函数的可以拓展组合而成。
小波函数具有多种特性，它们可以有不同的时频特性，它们可以有不同的宽度和峰值，从而允许不同的尺度和信号特性。
此外，小波变换也可以用来实现数字信号的时域处理和频域处理，从而可以提取信号的实时特征，增强仅在部分局部中存在的细节信息，从而更好地提取和处理信号。
小波变换可以用于图像处理、语音信号处理，以及不同类型的数据压缩。
近些年，小波变换得到了越来越多的应用，已经成为了许多研究的重要基础。
例如，在脑电信号分析中，小波变换可以用来发现脑电记录的一些有趣的特征；在图像处理中，小波变换可以用来估计传输的损失；在语音信号处理中，小波变换可以用来消除噪声等等。
小波变换有许多优势，如抗噪性强，它可以控制噪声影响，保持信号的质量。
另外，它可以节约计算时间，具有快速计算的特性，而且可以实现多维特征提取，可以节省存储空间，具有很高的算法效率。
总之，小波变换是一种非常有用的信号处理技术，它的出现推动了信号处理领域的发展，为许多应用领域带来了许多优点，具有广泛的应用前景。
傅里叶变换小波变换通俗解释
傅里叶变换和小波变换是数字信号处理中常用的两种技术，它们可以用来分析和处理信号的频率和时间特征。
傅里叶变换是一种将信号从时间域转换到频率域的方法。
它通过将信号分解成一系列不同频率的正弦波和余弦波的叠加，来揭示信号的频率成分。
傅里叶变换的结果是一个频率谱，它表示了信号在不同频率上的能量分布。
小波变换是一种时频分析方法，它可以同时分析信号的时间和频率特征。
小波变换通过将信号分解成一系列不同尺度和位置的小波函数的叠加，来揭示信号的时频特征。
小波变换的结果是一个时频图，它表示了信号在不同时间和频率上的能量分布。
简单来说，傅里叶变换和小波变换都是将信号分解成一系列基本函数的叠加，以揭示信号的频率和时间特征。
傅里叶变换主要关注信号的频率特征，而小波变换则同时关注信号的时间和频率特征。
小波变换原理与应用小波变换是一种在时频领域中分析信号的方法，它能够同时提供时间和频率信息。
小波变换的原理基于信号的时频局部性质，通过对信号进行分解和重构，可以获得不同频率范围的子信号。
小波变换的原理可以通过数学公式进行表达。
对于一个连续时间信号x(t)，小波变换可以表示为：W(a,b) = ∫x(t)ψ*(t-a)e^(-jωb)dt其中，ψ(t)为小波函数，a和b为尺度参数，ω为频率。
小波变换实际上是在对信号进行多尺度分解的过程中，对每个尺度上的小波函数与信号进行内积计算。
通过这种方法，可以得到信号在不同尺度和频率下的变化情况。
小波变换有许多应用，下面介绍其中几个常见的应用：1.信号处理：小波变换在信号处理领域中有广泛应用。
通过对信号进行小波变换，可以得到信号在不同频率范围的分量，有助于对信号的特征进行分析和提取。
例如，在音频处理中，可以将语音信号进行小波变换，以提取出不同频率范围的声音特征。
2.图像处理：小波变换在图像处理中也有重要应用。
图像可以看作是一个二维信号，对图像进行小波变换可以将其分解成不同频率范围的子图像。
这种分解可以用于图像压缩、图像增强、图像分割等应用领域。
3.数据压缩：小波变换在数据压缩中起到了重要作用。
通过将信号进行小波变换并选择适当的系数进行编码，可以实现对信号的有效压缩。
小波变换在压缩中的优势在于可以提供更好的时频局部性分析，从而实现更好的压缩效果。
4.模式识别：小波变换在模式识别中也有广泛应用。
通过对信号进行小波变换，可以得到信号在不同频率范围的分量，从而能够更好地捕捉信号的特征。
这些特征可以用于模式识别任务，如人脸识别、指纹识别等。
在实际应用中，小波变换还可以与其他方法结合使用，以提高信号处理的效果。
例如，将小波变换与神经网络结合使用，可以实现更高效的图像识别和分析。
同时，小波变换也有许多不同的变体和扩展，如离散小波变换、连续小波变换等，可以根据具体的应用需求选择合适的方法。
小波变换和motion信号处理（一）这是《小波变换和motion信号处理》系列的第一篇，基础普及。
第二篇我准备写深入小波的东西，第三篇讲解应用。
记得我还在大四的时候，在申请出国和保研中犹豫了好一阵，骨子里的保守最后让我选择了先保研。
当然后来也退学了，不过这是后话。
当时保研就要找老板，实验室，自己运气还不错，进了一个在本校很牛逼的实验室干活路。
我们实验室主要是搞图像的，实力在全国也是很强的，进去后和师兄师姐聊，大家都在搞什么小波变换，H264之类的。
当时的我心思都不在这方面，尽搞什么操作系统移植，ARM+FPGA这些东西了。
对小波变换的认识也就停留在神秘的“图像视频压缩算法之王”上面。
后来我才发现，在别的很广泛的领域中，小波也逐渐开始流行。
比如话说很早以前，我们接触的信号频域处理基本都是傅立叶和拉普拉斯的天下。
但这些年，小波在信号分析中的逐渐兴盛和普及。
这让人不得不感到好奇，是什么特性让它在图象压缩，信号处理这些关键应用中更得到信赖呢？说实话，我还在国内的时候，就开始好奇这个问题了，于是放狗搜，放毒搜，找遍了中文讲小波变换的科普文章，发现没几个讲得清楚的，当时好奇心没那么重，也不是搞这个研究的，懒得找英文大部头论文了，于是作罢。
后来来了这边，有些项目要用信号处理，不得已接触到一些小波变换的东西，才开始硬着头皮看。
看了一些材料，听了一些课，才发现，还是那个老生常谈的论调：国外的技术资料和国内真TNND不是一个档次的。
同样的事情，别人说得很清楚，连我这种并不聪明的人也看得懂; 国内的材料则绕来绕去讲得一塌糊涂，除了少数天才没几个人能在短时间掌握的。
牢骚就不继续发挥了。
在这个系列文章里，我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。
如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。
考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。
小波变换的通俗理解嘿，朋友们，咱们今天来聊聊一个听起来高大上的数学名词——小波变换。
别紧张，咱们不用把它想得太复杂，就当作是一次有趣的数学探险吧！咱们平时看电影、听音乐，都离不开信号处理。
傅里叶变换这个名字你们可能听说过，它就像一把神奇的钥匙，能把信号从时间的世界带到频率的世界。
但傅里叶变换有个缺点，就是它只能告诉我们信号里有哪些频率，却说不出这些频率具体出现在什么时候。
这有点像你只知道一部电影有哪些角色，却不知道他们在哪个时间段出场一样。
为了解决这个问题，科学家们就想出了小波变换这个妙招。
小波变换就像是给信号戴上了一副“变焦眼镜”，既能看清信号的整体面貌，又能捕捉到每一个细节的瞬间。
它就像是一个能伸缩、能平移的“时间-频率”窗口，让我们可以随时调整视野，看到信号在不同时间和频率上的表现。
小波变换的神奇之处在于，它不仅能覆盖整个频域，还能根据不同的频率调整时间分辨率。
在低频段，它用高频率分辨率和低时间分辨率来看清信号的“大模样”；在高频段，它又用低频率分辨率和高时间分辨率来捕捉信号的“小动作”。
这种“变焦”特性，让小波变换在处理非平稳信号时特别有用，比如生物电信号、股票市场的波动等等。
而且啊，小波变换还有很多不同的小波基函数可以选择，就像我们平时选衣服一样，可以根据不同的需求和喜好来挑选。
这些小波基函数各有特色，有的紧凑、有的平滑，有的对称、有的不对称，真是五花八门，应有尽有。
当然啦，小波变换也不是万能的，它也有自己的局限性和挑战。
比如计算复杂度高、小波基选择难、边界效应等问题，都需要我们在实际应用中仔细考虑和解决。
但总的来说，小波变换还是一种非常强大和有趣的数学工具，它让我们能更深入地理解和处理信号，就像打开了一个全新的世界大门。
怎么样，听了我的介绍，你们是不是也对小波变换产生了兴趣呢？那就让我们一起继续探索吧！。
1 小波变换简要回顾小波变换是调和分析（包括函数空间、广义函数、傅里叶分析和抽象调和分析等）这一重要学科大半个世纪以来的工作结晶；小波变换又是计算机应用、信号处理、图像分析、非线性科学和工程技术近几年来在方法上的重大突破。
1从小波变换的发展过程来说，大致可分成三个阶段。
（1）孤立应用时期（1985年以前）（2）国际性研究热潮和统一构造时期（1986—1992）（3）全面应用时期（1992—）23（1）孤立应用时期1910年Harr 提出Harr 正交基1938年Paley-Littlewood 的按二进制频率成分分组1965年Calderon 的再生核公式1981年对Harr 系的改进1984/5年A Grossmann ，J Morlet展开的伸缩平移系按一个函数ψ{}Zk j j j kb x a a ∈−−−,2/)(ψ4（2）国际性研究热潮和统一构造时期1986年Meyer 构造出了具有一定衰减性质的光滑函数1988年I Daubechies)(x ψ{}构成使得Z k j k j x ∈,,)(ψ的规范正交基)(2R L Communication on Pure and Applied Math.，1988, 41:909~996Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets 1989年S Mallat 1991年C K Chui ，J Z Wang 1992年I Daubechies 《Ten Lectures on Wavelets 》（3）全面应用时期1992年，《IEEE Transaction on Information Theory 》1993年，《Applied and Computational Harmonic Analysis》1993年，《IEEE Transaction on Signal Processing 》网络、软件、图书…52 小波变换与傅里叶变换1809年，J. Fourier（法）给出Fourier离散变换其想法是：用简单的函数表示复杂的周期函数1822年，——《热的解析理论》，提出Fourier变换1946年，D.Gabor引入窗口Fourier变换1965年，Cooley-Tukey（美）提出快速Fourier变换67D ．Gabor 变换或称为窗口傅里叶变换是Gaussian 函数，称为“窗口函数”.定义为的中的任何函数或信号FT t f R L )()(2∫−=Rt i dt e t f f ωω)()(ˆ∫−−=R t i a f dte b t g tf b G ωω)()(),(a t a e a tg 4/221)(−=π其中小波变换的定义∫∗−=R f dt ab t t f a b a W ))(1),(ψ>=<ψ,f。
小波变换的基本原理嘿呀，宝子，今天咱来唠唠小波变换这个超有趣的东西。
小波变换呢，就像是一个超级神奇的魔法工具。
你可以把它想象成一个特别聪明的小侦探，专门去探究信号里面的小秘密。
比如说，你听到一段音乐，这里面有高音有低音，有长音有短音，这些声音信号看起来乱乱的，但是小波变换就能像把这些声音信号拆成一个个小零件一样，仔细地研究每个零件是啥样的。
一般来说，我们平常接触到的信号啊，就像是一团乱麻。
传统的方法去看这个信号，就有点像只看这个乱麻的整体，很难发现里面细致的结构。
可是小波变换就不一样啦。
它有自己独特的小波函数，这个小波函数就像一把特制的梳子。
这把梳子的齿儿大小啊、形状啊都是可以根据要分析的信号来调整的。
那这个小波函数怎么工作呢？它就像在信号这个大仓库里，这里翻翻，那里找找。
它会在信号的不同地方进行“扫描”。
比如说，在信号开始的地方，它用一种方式去和信号匹配，看看能发现啥。
然后再到信号中间，又换一种方式去匹配。
这就好比你找东西，在房间的角落用小镊子找小物件，在大柜子里就用大钩子找大物件一样。
而且啊，小波变换特别擅长发现信号里面那些突然变化的地方。
就像你看一幅画，画里突然有个特别鲜艳的颜色在一堆暗淡颜色里冒出来，小波变换就能很快地找到这个特别的地方。
它能把信号里那些隐藏的信息，像宝藏一样挖掘出来。
你知道吗？在图像领域，小波变换也超级厉害。
一张图片看起来就是一个整体的画面，但是里面有很多不同的细节啊，有颜色深的地方，颜色浅的地方，有边缘的地方。
小波变换就像一个超级细心的画家，把这幅画一层一层地剥开，先看大的轮廓，再看小的细节。
它把图像分解成不同的频率成分，就像把一幅画分成了背景、主体、小装饰这样不同的层次。
在工程领域，小波变换也有大用场。
比如说检测机器的故障。
机器运行的时候，会发出各种各样的声音信号或者振动信号。
正常的时候，这些信号有一定的规律，一旦机器出故障了，信号就会发生变化。
小波变换就像一个超级灵敏的听诊器，能听出这个信号里不正常的地方，然后告诉工程师，这个机器这里出问题啦。
这是《小波变换和motion信号处理》系列的第二篇，深入小波。
第一篇我进行了基础知识的铺垫，第三篇主要讲解应用。
在上一篇中讲到，每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个father wavelet，就是scaling function。
而该小波的basis函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。
缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。
还讲到，小波系统有很多种，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。
小波展开的近似形式是这样：其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。
和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。
我们还讲了一般小波变换的三个特点，就是小波级数是二维的，能定位时域和频域，计算很快。
但我们并没有深入讲解，比如，如何理解这个二维？它是如何同时定位频域和时域的？在这一篇文章里，我们就来讨论一下这些特性背后的原理。
首先，我们一直都在讲小波展开的近似形式。
那什么是完整形式呢？之前讲到，小波basis的形成，是基于基本的小波函数，也就是母小波来做缩放和平移的。
但是，母小波并非唯一的原始基。
在构建小波基函数集合的时候，通常还要用到一个函数叫尺度函数，scaling function，人们通常都称其为父小波。
它和母小波一样，也是归一化了，而且它还需要满足一个性质，就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交：另外，为了方便处理，父小波和母小波也需要是正交的。
可以说，完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。
其中是母小波，是父小波。
需要提醒一点的是，这个正交纯粹是为了小波分析的方便而引入的特性，并不是说小波变换的基就一定必须是正交的。
但大部分小波变换的基确实是正交的，所以本文就直接默认正交为小波变换的主要性质之一了。
引入这个父小波呢，主要是为了方便做多解析度分析（multiresolution analysis, MRA）。
说到这里，你的问题可能会井喷了：好好的为什么出来一个父小波呢？这个scaling function是拿来干嘛的？它背后的物理意义是什么？wavelet function背后的物理意义又是什么？这个多解析度分析又是什么呢？不急，下面，我们围绕一个例子来巩固一下前面的知识，同时再引出新的特性。
假设我们有这样一个信号：该信号长度为8，是离散的一维信号。
我们要考虑的，就是如何用小波将其展开。
为了方便讲解，我们考虑最简单的一种小波，哈尔小波。
下面是它的一种母小波：那如何构建基于这个母小波的基呢？刚才提到了，要缩放，要平移。
我们先试试缩放，那就是ψ(2n)：但这样的话，它与自己的内积就不是1了，不符合小波基orthonormal的要求，所以我们要在前面加一个系数根号二，这样我们就得到了另一个哈尔小波的basis function：同理，我们可以一直这样推广下去做scale，得到4n，8n，…….下的basis function。
当然在这个例子里，我们信号长度就是8，所以做到4n就够了。
但推广来说，就是这种scaling对母小波的作用为，这是归一化后的表示形式。
平移的话也很简单，我们可以对母小波进行平移，也可以对scale之后的basis function进行平移。
比如对上一幅图中的basis function进行平移，就成了看得出来，平移后的basis function和母小波以及仅仅scale过的小波，都是正交的，附合小波basis的特点。
如果我们用ψ(n)来表示这个mother wavelet，那么这些orthonormal basis函数可以写成：这里的k是可以看成时域的参数，因为它控制着小波基时域的转移，而j是频域的参数，因为它决定了小波基的频率特性。
看到这里，你应该会感觉很熟悉，因为这里的平移和变换本质和刚才对scaling function的平移变换是一模一样的。
这样，我们就有了针对此信号space的哈尔小波basis组合：图1可以看出，我们用到了三层频率尺度的小波函数，每往下一层，小波的数量都是上面一层的两倍。
在图中，每一个小波基函数的表达形式都写在了波形的下面。
等等，你可能已经发现了，有问题。
这里为什么多了个没有函数表达式的波形呢？这货明显不是wavelet function阿。
没错，它是之前提到的scaling function，也就是父小波。
然后你可能就会问，为啥这个凭空插了一个scaling function出来呢？明明目标信号已经可以用纯的小波基组合表示了。
是，确实是，就算不包括scaling function，这些小波函数本身也组成了正交归一基，但如果仅限于此的话，小波变换也就没那么神奇的功效了。
引入这个scaling function，才能引入我们提到的多解析度分析的理论，而小波变换的强大，就体现在这个多解析度上。
那在这里，我们怎么用这个多解析度呢？这个哈尔小波basis组合是怎么通过多解析度推导出来的呢？话说在数学定义中，有一种空间叫Lebesgue空间，对于信号处理非常重要，可以用L^p(R)表示，指的是由p次可积函数所组成的函数空间。
我们在小波变换中要研究的信号都是属于L^2(R)空间的，这个空间是R上的所有处处平方可积的可测函数的集合，这样就等于对信号提出了一个限制，就是信号能量必须是有限的，否则它就不可积了。
小波变换的定义都是基于但不限于L^2(R)中的信号的。
这玩意的特性要具体解释起来太数学了，牵涉到太多泛函知识，我就不在这里详述了。
而且老实说我也没能力完全讲清楚，毕竟不是学这个的，有兴趣可以参考wiki。
总之你记住，小波变换研究中所使用的信号基本都是平方可积的信号，但其应用不限于这种信号，就行了。
对L^2(R)空间做MRA是在干嘛呢？就是说，在L^2(R)空间中，我们可以找出一个嵌套的空间序列，并有下列性质：(i)(ii)(iii)(iv)(v) 有这样一个方程, 是的orthonormal basis。
我来简单解释一下这些性质。
这个V_j都是L^2(R)空间中的子空间，然后他们是由小到大的，交集是{0}，因为这是最小的子空间，并集就是L空间。
是不是有点难以理解？没关系，看看下面这个图就清楚了：这个图是圈圈套圈圈，最里面的圈是V0，之后分别是V1，V2，V3，V4 。
那他们有趣的性质就是，假如有一个函数f(t)他属于一个某空间，那你将其在时域上平移，它还是属于这个空间。
但如果你对它频域的放大或缩小，它就会相应移到下一个或者上一个空间了。
同时我们还知道，你要形容每一个空间的话，都需要有对应的orthonormal basis，这是必然的，那对于V0来讲，它的orthonormal basis就是这一系列函数是什么呢？是的时域变换，而且我们刚才也说了，时域上平移，是不会跳出这个空间的。
这样，我们就可以说，由这一系列basis所定义的L^2(R)子空间V0被这些basis所span，表示成：k从负无穷到正无穷。
上面的bar表示这是一个闭包空间，也就是说这样，我们就定义了基本的V0这个子空间。
刚才说了，这个子空间的基都是对的整数时域变换，这里我们称为scaling function，所以换个说法，就是说这里整个子空间V0，由scaling function和其时域变换的兄弟们span。
当然，如果这个scaling function只是用来代表一个子空间的，那它的地位也就不会这么重要了。
刚才我们提到，这个嵌套空间序列有一个性质，。
这就是这个函数，如果你对它频域的放大或缩小，它就会相应移到下一个或者上一个空间了。
这个性质就有意思了，它代表什么呢？对于任何一个包含V0的更上一层的空间来讲，他们的基都可以通过对scaling function做频域的scale后再做时域上的整数变换得到！推广开来就是说，当我们有这也就意味着，对于任何属于V_j空间的函数f(t)，都可以表示为：到这里，我们就明白这些个子空间和那个凭空冒出来的scaling function的作用了。
scaling的构建这些不同的子空间的基础，当j越大的时候，每一次你对频率变换后的scaling function所做的时域上的整数平移幅度会越小，这样在这个j子空间里面得到的f(t)表示粒度会很细，细节展现很多。
反之亦然。
通俗点说，就是对scaling function的变换平移给你不同的子空间，而不同的子空间给你不同的分辨率，这样你就可以用不同的分辨率去看目标信号。
下面就是时候看看什么是MRA equation了，这是更加有趣，也是更加核心的地方。
通过刚才的讲解，V0属于V1，那scaling function是在V0中的，自然也在V1中了。
我们把他写成V1的基的线性组合，那就是其中的h(n)是scaling function的系数，也叫做scaling filter或者scaling vector，可以是实数，也可以是虚数。
根号2是为了维持norm为1的。
看，在这个公式里，我们就把属于V0的函数用V1的基表示出来了。
同理，我们可以循环如此，把属于V0的在V2, V3, …, Vn中表示出来。
这些方程就是MRA equation，也叫refinement equation，它是scaling function理论的基础，也是小波分析的基础之一。
好，稍微总结一下。
到现在，已经讲了关于scaling function的基本理论知识，知道了信号空间可以分为不同精细度的子空间，这些子空间的basis集合就是scaling function或者频率变换之后的scaling function，如下图所示：上图就是四个子空间的basis集合的展览。
通过前面的讨论，我们还知道，一开始的scaling function可以通过更精细的子空间的scaling function（它们都是对应子空间的basis）来构建。
比如对于更加finer的scale：图2依此类推。
实际上，对于任何scale和translate过的scaling function，都可以用更加精细的scale层面上的scaling function构建出来。
然后，我们有各种scale下的scaling function了，该看看它们分别所对应的嵌套的空间序列了。
先看看V0，自然就是以基本的scaling function为基础去span 出来的：这个不新鲜，刚才就讲过了。
这个子空间代表什么样的信号？常量信号。
道理很简单，这个scaling function在整个信号长度上，没有任何变化。
继续往下看：这个相比V0更加finer的子空间，代表着这样一种信号，它从1-4是常量，从5-8是另一个常量。
