小波变换/qq_20823641/article/details/51829981小波，一个神奇的波，可长可短可胖可瘦（伸缩平移），当去学习小波的时候，第一个首先要做的就是回顾傅立叶变换（又回来了，唉），因为他们都是频率变换的方法，而傅立叶变换是最入门的，也是最先了解的，通过傅立叶变换，了解缺点，改进，慢慢的就成了小波变换。
主要的关键的方向是傅立叶变换、短时傅立叶变换，小波变换等，第二代小波的什么的就不说了，太多了没太多意义。
当然，其中会看到很多的名词，例如，内积，基，归一化正交，投影，Hilbert空间，多分辨率，父小波，母小波，这些不同的名词也是学习小波路上的标志牌，所以在刚学习小波变换的时候，看着三个方向和标志牌，可以顺利的走下去，当然路上的美景要自己去欣赏（这里的美景就是定义和推导了）。
因为内容太多，不是很重要的地方我都注释为（查定义）一堆文字的就是理论（可以大体一看不用立刻就懂），同时最下面也给了几个网址辅助学习。
一、基傅立叶变换和小波变换，都会听到分解和重构，其中这个就是根本，因为他们的变化都是将信号看成由若干个东西组成的，而且这些东西能够处理还原成比原来更好的信号。
那怎么分解呢？那就需要一个分解的量，也就是常说的基，基的了解可以类比向量，向量空间的一个向量可以分解在x，y方向，同时在各个方向定义单位向量e1、e2，这样任意一个向量都可以表示为a=xe1+ye2，这个是二维空间的基，而对于傅立叶变换的基是不同频率的正弦曲线，所以傅立叶变换是把信号波分解成不同频率的正弦波的叠加和，而对于小波变换就是把一个信号分解成一系列的小波，这里时候，也许就会问，小波变换的小波是什么啊，定义中就是告诉我们小波，因为这个小波实在是太多，一个是种类多，还有就是同一种小波还可以尺度变换，但是小波在整个时间范围的幅度平均值是0，具有有限的持续时间和突变的频率和振幅，可以是不规则，也可以是不对称,很明显正弦波就不是小波，什么的是呢，看下面几个图就是当有了基，以后有什么用呢?下面看一个傅立叶变换的实例：对于一个信号的表达式为x=sin(2*pi*t)+0.5*sin(2*pi*5*t);这里可以看到是他的基就是sin函数，频率是1和5，下面看看图形的表示，是不是感受了到了频域变换给人的一目了然。
基具有非冗余性，即使基不是正交的，有相关性，但若去掉其中任何一个，则不成为基，这一点也叫完备性；基的表示有唯一性，即给定一族基对一个函数的表达是唯一的；一般情况下基非正交，也称为为exact frame（Resize basis），这个时候要表示信号可以将基正交化成唯一的正交基（对偶为其自身）；也可以求其对偶框架（dual frame），其对应了小波变换中的双正交情形！信号可以依框架分解，然后用对偶框架重构。
若在基集里添加一些新的向量，并随意调整空间位置，则有可能成为框架。
把函数与基或框架作内积，也可以说成是一种函数空间到系数空间的变换。
若某种变换后的能量（内积的平方和度量）仍然有一个大于0的上下界，才可以成为框架，由于框架的冗余性，所以系数的表达也不具有唯一性。
若上下界相等，则为紧框架，且界表示冗余度。
若上下界相等为且为1，称为pasval identity frame，此时不一定为正交基（想象把一组正交基中某一个拆成两个同方向的基之和，则pasval identity仍然成立），此时若加上基的长度均为一的条件，则框架退化为正交基。
可能你会问我们用基来表示信号就行了啊，为什么还要框架呢？其实很多信号表示方法不能构成基，却能构成框架，如短时傅立叶变换中如要求窗函数满足基条件，则可推出该函数有很差的时频局部化性质（事实上退化为了傅立叶变换。
二、内积在Hilbert空间(查定义)里看到这个东西，用来刻画两个向量的夹角，当内积为0时，两个向量正交，若g为Hilbert空间里的正交基的时候，内积为f向基上的正交投影；（Hilbert空间是一个很直观的空间，我一直都理解为欧氏空间去理解定义在其上的东西，L^2（平方可积，查定义）和l^2同样为Hilbert空间。
下面这个公式是基本，经过变形后会用在推导中：如果两个向量的内积为0 ，就说他们是正交的。
如果一个向量序列相互对偶正交，并且长度都为1，那么就说他们是正交归一化的。
对于,存在L2(R)上一组标准正交基gi(t),i=1,2,3….,使得L2（R）上任意一个函数f（t）都可以由L2(R)上的一个规范正交基gi(t)进行线性组合表示出来三、傅立叶的缺点先列举出来缺点，然后再说明：（1） Fourier分析不能刻画时间域上信号的局部特性（2） Fourier分析对突变和非平稳信号的效果不好，没有时频分析傅立叶变换傅立叶变换将函数投影到三角波上，将函数分解成了不同频率的三角波，这不能不说是一个伟大的发现，但是在大量的应用中，傅立叶变换的局限性却日趋明显，事实上在光滑平稳信号的表示中，傅立叶基已经达到了近似最优表示，但是日常生活中的信号却并不是一直光滑的，而且奇异是平凡的，傅立叶在奇异点的表现就着实让人不爽，从对方波的傅立叶逼近就可以看出来，用了大量不同频率的三角波去逼近其系数衰减程度相当缓慢，而且会产生Gibbs效应。
其内在的原因是其基为全局性基，没有局部化能力，以至局部一个小小的摆动也会影响全局的系数。
实际应用中很需要时频局部化，傅立叶显然缺乏此能力了。
即使如此，由于其鲜明的物理意义和快速计算，在很多场合仍然应用广泛。
傅立叶变换在从连续到离散的情形是值得借鉴与学习的，大家都知道，时间周期对应频域离散，时间离散对应频域周期，时间离散周期对应频域离散周期，DFT其实是将离散信号做周期延拓然后做傅立叶变换再截取一个周期，反变换同样如此，所以DFT用的是块基的概念，这样如果信号两端的信号连接后不再光滑（即使两边都光滑），同样会在边界上产生大幅值系数（边界效应），延伸到图像中就是块效应。
当对信号做对称周期延拓后再做傅立叶变换得到的正弦系数全部为0，也就是任何对称函数可以写成余弦的线性组合，同样按照离散的思路构造得到的是离散块余弦基，即DCT变换，虽然DCT可以通过对称后周期延拓再变换减少了边界效应（两边信号接上了，但不一定平滑），但任不能消除块效应，尤其是图像变换中人为将图像分成8*8处理后块效应更加明显。
但是DCT很好的能量聚集效应让人惊奇，加之快速计算方法使它替代DFT成为图像的压缩的标准了很长时间（JPEG）。
上面一堆文字也许看的有点蒙，还是用图来说明第一个就是傅立叶变换是整个时域，所以没有局部特征，这个也是他的基函数决定的看图，同时如果在时域张有了突变，那么在频域就需要大量的三角波去拟合，这也是傅立叶变换性质决定的。
第二个就是面对非平稳信号，傅立叶变换可以看到由哪些频域组成，但是不知道各成分对应的时刻是什么，也就是没有时频分析，看不出来信号频域随着时间变换的情况，反过来说就是，一个的频图对应好几个时域图，不知道是哪个，这个在实际应用中就不好了，看图做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。
尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。
可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。
它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。
因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。
然而平稳信号大多是人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。
上图所示的是一个正常人的事件相关电位。
对于这样的非平稳信号，只知道包含哪些频率成分是不够的，我们还想知道各个成分出现的时间。
知道信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。
三、短时傅立叶变换（Short-time Fourier Transform,STFT）有了缺点就要改进了，这里就出来了短时傅立叶变换，也叫加窗傅立叶变换，顾名思义，就是因为傅立叶变换的时域太长了，所以要弄短一点，这样就有了局部性。
定义：把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。
”这就是短时傅里叶变换。
下面就是示意图时域上分成一段一段做FFT，不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗！可能理解这一点最好的方式是举例子。
首先，因为我们的变换是对时间和频率的函数（不像傅立叶变换，仅仅是对频率的函数），它是二维的（如果加上幅度则是三维）。
以下图所示的非平稳信号为例：在这个信号中，在不同时刻有四个频率分量。
0-250ms内信号的频率为300Hz，其余每个250ms的间隔的信号频率分别为200Hz，100Hz和50Hz。
很明显，这是一个非平稳信号，让我们看一看它的短时傅立叶变换：用这样的方法，可以得到一个信号的时频图了：图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分，还能看到出现的时间。
两排峰是对称的，所以大家只用看一排就行了。
看着貌似解决了问题，好像有了局部性，但是这个名字叫做加窗傅立叶变换，那么这个窗要多大了呢？窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。
窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。
e（这里插一句，这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。
类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置，我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。
这也是一对不可兼得的矛盾体。
我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在，我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。
所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。
）上图对同一个信号（4个频率成分）采用不同宽度的窗做STFT，结果如右图。
用窄窗，时频图在时间轴上分辨率很高，几个峰基本成矩形，而用宽窗则变成了绵延的矮山。
但是频率轴上，窄窗明显不如下边两个宽窗精确。
所以窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低，宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。
对于时变的非稳态信号，高频适合小窗口，低频适合大窗口。
然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。
四、小波变换真是千呼万唤才出来了，终于看见小波了啊。
这里先引入小波，回顾一下基，然后再看看小波的优点，其实就是上面傅立叶缺点的解决。
对于加窗傅立叶变换让人头疼的就是窗口的大小问题，如果我们让窗口的大小可以改变，不就完美了吗？答案是肯定的，小波就是基于这个思路，但是不同的是。
STFT是给信号加窗，分段做FFT；而小波变换并没有采用窗的思想，更没有做傅里叶变换。
小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。
