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一、《积分变换》课程简介1.课程编号：201000852.课程名称：积分变换3.开课学院：数学课程组4.学时：285.类别：公共必修课6.先修课程：高等数学，复变函数7.课程简介：积分变换是高等院校工科有关专业的一门必修的基础理论课，是许多后继课程的必备基础。
本课程在大学第二个学年的第一学期内组织教学。
通过本课程的学习，要使学生获得：1．傅里叶变换2．拉普拉斯变换3．Z变换4．小波变换四方面的基本概念、基本性质及其基本应用，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
在课程的教学过程中，通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题和逻辑推理能力,基础的运算和自学能力,特别注意培养学生具有较强的综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.8.Course Code: 20100085Name of Course:Integral TransformFaculty: Mathematics Course GroupCredit Hours: 28Classification: Compulsory coursePrerequisite: Advanced Mathematics, Complex FunctionsCourse Outline:Integral Transform is a compulsory basic theory course for undergraduate students who major in engineering. It is a necessary foundation for many subsequent courses.This course will be taught in the first semester of second year.Through the study of this course, the students will learn basic concepts, basic properties, and basic applications under four categories:1. Fourier Transform2. Laplace Transform3. Z Transform4. Wavelet TransformThese are key to understanding the subsequent courses and further study in mathematics.In the process of teaching the course, we will gradually train the students through the use of various teaching methods in abstraction andlogical reasoning ability, basic computing and self-learning ability, giving special attention to the development of a strong ability to analyze and solve problems through the comprehensive application of acquired knowledge.二、《积分变换》课程教学大纲9.1. 课程编号：20100085 5. 先修课程：高等数学,复变函数2. 课程类别：基础数学类,必修 6. 课内总学时：283. 开课学期：第二学年一学期7. 实验/上机学时：04. 适用专业：自动化专业8. 执笔人：安玉冉一．课程教学目的积分变换是高等院校工科有关专业的一门必修的基础理论课，是许多后继课程的必备基础。
第一章图像边缘的定义引言在实际的图像处理问题中，图像的边缘作为图像的一种基本特征，被经常用于到较高层次的特征描述，图像识别。
图像分割，图像增强以及图像压缩等的图像处理和分析中，从而可以对图像进行进一步的分析和理解。
由于信号的奇异点或突变点往往表现为相邻像素点处的灰度值发生了剧烈的变化，我们可以通过相邻像素灰度分布的梯度来反映这种变化。
根据这一特点，人们提出了多种边缘检测算子：Roberts算子Prewitt算子Laplace算子等。
经典的边缘检测方法是构造出像素灰度级阶跃变化敏感的微分算子。
这些算子毫无例外地对噪声较为敏感。
由于原始图像往往含有噪声、而边缘和噪声在空间域表现为灰度有大的起落，在频域则反映为同是主频分量，这就给真正的边缘检测到来困难。
于是发展了多尺度分析的边缘检测方法。
小波分析与多尺度分析有着密切的联系，而且在小波变换这一统一理论框架下，可以更深刻地研究多尺度分析的边缘检测方法，Mallat S提出了一小波变换多尺度分析为基础的局部极大模方法进行边缘检测。
小波变换有良好的时频局部转化及多尺度分析能力，因此比其他的边缘检测方法更实用和准确。
小波边缘检测算子的基本思想是取小波函数作为平滑函数的一阶导数或二阶导数。
利用信号的小波变换的模值在信号突变点处取局部极大值或过零点的性质来提取信号的边缘点。
常用的小波算子有Marr 算子Canny算子和Mallat算子等。
§1.1信号边缘特征人类的视觉研究表明，信号知觉不是信号各部分简单的相加，而是各部分有机组成的。
人类的信号识别（这里讨论二维信号即图像）具有以下几个特点：边缘与纹理背景的对比鲜明时,图像知觉比较稳定；图像在空间上比较接近的部分容易形成一个整体；在一个按一定顺序组成的图像中，如果有新的成份加入，则这些新的成份容易被看作是原来图像的继续；在视觉的初级阶段，视觉系统首先会把图像边缘与纹理背景分离出来，然后才能知觉到图像的细节，辨认出图像的轮廓，也就是说，首先识别的是图像的大轮廓；知觉的过程中并不只是被动地接受外界刺激，同时也主动地认识外界事物，复杂图像的识别需要人的先验知识作指导；图像的空间位置、方向角度影响知觉的效果。
第五章 小波变换 Wavelet Transform小波理论是20世纪80年代后期发展起来的一门新兴应用数学分支，在法国学者莫列特（J.morlet ）马莱特（S.Mallat ）杜比垂丝（I.Daubechies ）努力下，小波理论及其在工程中的应用迅猛发展，打破了积分变换领域长期以来付氏变换一统天下的格局，开创了一个划时代的局面。
小波变换被认为是信号分析工具和方法上的重大突破。
由于小波变换可看成是傅氏变换的发展，所以与傅氏变换一样具有极广的应用面。
目前，在通信、图像、语言、地震、雷达、声纳、机械振动分析、信号检测、特征提取、故障诊断、滤波、数据压缩等多方面都得到了应用。
小波变换的应用研究正方兴未艾。
小波变换之所以有如此好的局面，源于它具有的多分辨特性——多尺度特征，可以把小波变换看成是一组品质因数相同具有良好选频特性的带通滤波器，通过适当地选择尺度因子和平移因子和基本小波，可以得到一个伸缩窗使得小波变换在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力——称为数学显微镜本章不对小波变换进行完整的数学讲述。
只从信号处理的角度对小波变换的基本理论和方法作一简单的介绍。
突出其定性的概念，建立起对小波的一点概念和兴趣，为今后的应用研究打下基础。
主要讲：连续小波变换、多分辨分析、Mallat 算法、小波包分析。
5.1 傅立叶变换到小波变换5.1.1傅立叶变换的局限性傅立叶变换： ()()j t x j x t e dt ωω∞--∞=⎰ （5-1） ()()12j t x t x e d ωωωπ∞-∞=⎰ （5-2）一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式1.揭示了时间函数与频谱函数之间的内在联系（时域 频域）2.反映了信号在“整个”时间范围内的“全部”频谱成分。
注解：(1)积分区间都是无穷的，所以傅氏变换是对无穷区间函数的分析。
注解：(2)用傅氏变换的方法是提取信号频谱时，需要利用信号的全部时域信号。
第9章K-Means 聚类、辨别分析9.1理解聚类分析餐饮企业经常会碰到这样的问题：1）如何通过餐饮客户消费行为的测量，进一步评判餐饮客户的价值和对餐饮客户进行细分，找到有价值的客户群和需关注的客户群2）如何合理对菜品进行分析，以便区分哪些菜品畅销毛利又高，哪些菜品滞销毛利又低餐饮企业遇到的这些问题，可以通过聚类分析解决。
9.1.1常用聚类分析算法与分类不同，聚类分析是在没有给定划分类别的情况下，根据数据相似度进行样本分组的一种方法。
与分类模型需要使用有类标记样本构成的训练数据不同，聚类模型可以建立在无类标记的数据上，是一种非监督的学习算法。
聚类的输入是一组未被标记的样本，聚类根据数据自身的距离或相似度将他们划分为若干组，划分的原则是组内样本最小化而组间（外部）距离最大化，如错误!未找到引用源。
所示。
图9-1 聚类分析建模原理常用聚类方法见错误!未找到引用源。
表9-1常用聚类方法类别包括的主要算法常用聚类算法见错误!未找到引用源。
2。
表9-2常用聚类分析算法9.1.2K-Means聚类算法K-Means算法是典型的基于距离的非层次聚类算法，在最小化误差函数的基础上将数据划分为预定的类数K，采用距离作为相似性的评价指标，即认为两个对象的距离越近，其相似度就越大。
1.算法过程1）从N个样本数据中随机选取K个对象作为初始的聚类中心；2）分别计算每个样本到各个聚类中心的距离，将对象分配到距离最近的聚类中；3）所有对象分配完成后，重新计算K个聚类的中心；4）与前一次计算得到的K个聚类中心比较，如果聚类中心发生变化，转2)，否则转5)；5）当质心不发生变化时停止并输出聚类结果。
聚类的结果可能依赖于初始聚类中心的随机选择，可能使得结果严重偏离全局最优分类。
实践中，为了得到较好的结果，通常以不同的初始聚类中心，多次运行K-Means算法。
在所有对象分配完成后，重新计算K个聚类的中心时，对于连续数据，聚类中心取该簇的均值，但是当样本的某些属性是分类变量时，均值可能无定义，可以使用K-众数方法。
数字信号处理教案第一章：数字信号处理概述1.1 数字信号处理的概念介绍数字信号处理的定义和特点解释信号的分类和数字信号的优势1.2 数字信号处理的发展历程回顾数字信号处理的发展历程和重要里程碑介绍数字信号处理的重要人物和贡献1.3 数字信号处理的应用领域概述数字信号处理在通信、音频、图像等领域的应用举例说明数字信号处理在实际应用中的重要性第二章：离散时间信号处理基础2.1 离散时间信号的概念介绍离散时间信号的定义和特点解释离散时间信号与连续时间信号的关系2.2 离散时间信号的运算介绍离散时间信号的基本运算包括翻转、平移、求和等给出离散时间信号运算的示例和应用2.3 离散时间系统的特性介绍离散时间系统的概念和特性解释离散时间系统的因果性和稳定性第三章：数字滤波器的基本概念3.1 数字滤波器的定义和作用介绍数字滤波器的定义和其在信号处理中的作用解释数字滤波器与模拟滤波器的区别3.2 数字滤波器的类型介绍不同类型的数字滤波器包括FIR、IIR、IIR 转换滤波器等分析各种类型数字滤波器的特点和应用场景3.3 数字滤波器的设计方法介绍数字滤波器的设计方法包括窗函数法、插值法等给出数字滤波器设计的示例和步骤第四章：离散傅里叶变换（DFT）4.1 离散傅里叶变换的定义和原理介绍离散傅里叶变换的定义和原理解释离散傅里叶变换与连续傅里叶变换的关系4.2 离散傅里叶变换的性质介绍离散傅里叶变换的性质包括周期性、对称性等给出离散傅里叶变换性质的证明和示例4.3 离散傅里叶变换的应用概述离散傅里叶变换在信号处理中的应用包括频谱分析、信号合成等举例说明离散傅里叶变换在实际应用中的重要性第五章：快速傅里叶变换（FFT）5.1 快速傅里叶变换的定义和原理介绍快速傅里叶变换的定义和原理解释快速傅里叶变换与离散傅里叶变换的关系5.2 快速傅里叶变换的算法介绍快速傅里叶变换的常用算法包括蝶形算法、Cooley-Tukey算法等给出快速傅里叶变换算法的示例和实现步骤5.3 快速傅里叶变换的应用概述快速傅里叶变换在信号处理中的应用包括频谱分析、信号合成等举例说明快速傅里叶变换在实际应用中的重要性第六章：数字信号处理中的采样与恢复6.1 采样定理介绍采样定理的定义和重要性解释采样定理在信号处理中的应用6.2 信号的采样与恢复介绍信号采样与恢复的基本概念解释理想采样器和实际采样器的工作原理6.3 信号的重建与插值介绍信号重建和插值的方法解释插值算法的原理和应用第七章：数字信号处理中的离散余弦变换（DCT）7.1 离散余弦变换的定义和原理介绍离散余弦变换的定义和原理解释离散余弦变换与离散傅里叶变换的关系7.2 离散余弦变换的应用概述离散余弦变换在信号处理中的应用包括图像压缩、信号分析等举例说明离散余弦变换在实际应用中的重要性7.3 离散余弦变换的快速算法介绍离散余弦变换的快速算法包括8x8 DCT算法等给出离散余弦变换快速算法的示例和实现步骤第八章：数字信号处理中的小波变换8.1 小波变换的定义和原理介绍小波变换的定义和原理解释小波变换与离散傅里叶变换的关系8.2 小波变换的应用概述小波变换在信号处理中的应用包括图像去噪、信号分析等举例说明小波变换在实际应用中的重要性8.3 小波变换的快速算法介绍小波变换的快速算法包括Mallat算法等给出小波变换快速算法的示例和实现步骤第九章：数字信号处理中的自适应滤波器9.1 自适应滤波器的定义和原理介绍自适应滤波器的定义和原理解释自适应滤波器在信号处理中的应用9.2 自适应滤波器的设计方法介绍自适应滤波器的设计方法包括最小均方误差法等给出自适应滤波器设计的示例和步骤9.3 自适应滤波器的应用概述自适应滤波器在信号处理中的应用包括噪声抑制、信号分离等举例说明自适应滤波器在实际应用中的重要性第十章：数字信号处理的综合应用10.1 数字信号处理在通信系统中的应用介绍数字信号处理在通信系统中的应用包括调制解调、信道编码等分析数字信号处理在通信系统中的重要性10.2 数字信号处理在音频处理中的应用介绍数字信号处理在音频处理中的应用包括声音合成、音频压缩等分析数字信号处理在音频处理中的重要性10.3 数字信号处理在图像处理中的应用介绍数字信号处理在图像处理中的应用包括图像滤波、图像增强等分析数字信号处理在图像处理中的重要性10.4 数字信号处理在其他领域的应用概述数字信号处理在其他领域的应用包括生物医学信号处理、地震信号处理等分析数字信号处理在其他领域中的重要性重点和难点解析重点环节1：数字信号处理的概念和特点数字信号处理是对模拟信号进行数字化的处理和分析数字信号处理具有可重复性、精确度高、易于存储和传输等特点需要关注数字信号处理与模拟信号处理的区别和优势重点环节2：数字信号处理的发展历程和应用领域数字信号处理经历了从早期研究到现代应用的发展过程数字信号处理在通信、音频、图像等领域有广泛的应用需要关注数字信号处理的重要人物和里程碑事件重点环节3：离散时间信号处理基础离散时间信号是数字信号处理的基础需要关注离散时间信号的定义、特点和运算方法理解离散时间信号与连续时间信号的关系重点环节4：数字滤波器的基本概念和类型数字滤波器是数字信号处理的核心组件需要关注数字滤波器的定义、类型和设计方法理解不同类型数字滤波器的特点和应用场景重点环节5：离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换是数字信号处理中的重要工具需要关注离散傅里叶变换的定义、性质和应用理解离散傅里叶变换与连续傅里叶变换的关系重点环节6：快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是离散傅里叶变换的优化算法需要关注快速傅里叶变换的定义、算法和应用理解快速傅里叶变换与离散傅里叶变换的关系重点环节7：数字信号处理中的采样与恢复采样与恢复是数字信号处理的关键环节需要关注采样定理的重要性、信号的采样与恢复方法理解插值算法的原理和应用重点环节8：数字信号处理中的离散余弦变换（DCT）离散余弦变换是数字信号处理中的另一种重要变换需要关注离散余弦变换的定义、应用和快速算法理解离散余弦变换与离散傅里叶变换的关系重点环节9：数字信号处理中的小波变换小波变换是数字信号处理的另一种重要变换需要关注小波变换的定义、应用和快速算法理解小波变换与离散傅里叶变换的关系重点环节10：数字信号处理中的自适应滤波器自适应滤波器是数字信号处理中的高级应用需要关注自适应滤波器的定义、设计方法和应用领域理解自适应滤波器在信号处理中的重要性本教案涵盖了数字信号处理的基本概念、发展历程、离散时间信号处理、数字滤波器、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换、采样与恢复、离散余弦变换、小波变换、自适应滤波器等多个重点环节。
第9章 小波变换基础9.1 小波变换的定义给定一个基本函数)(t ψ，令 )(1)(,a b t at b a -=ψψ （9.1.1）式中b a ,均为常数，且0>a 。
显然，)(,t b a ψ是基本函数)(t ψ先作移位再作伸缩以后得到的。
若b a ,不断地变化，我们可得到一族函数)(,t b a ψ。
给定平方可积的信号)(t x ，即)()(2R L t x ∈，则)(t x 的小波变换（Wavelet Transform ，WT ）定义为dt a b t t x a b a WT x )()(1),(-=⎰*ψ〉〈==⎰*)(),()()(,,t t x dt t t x b a b a ψψ （9.1.2） 式中b a ,和t 均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT ）。
如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从∞-到∞+。
信号)(t x 的小波变换),(b a WT x 是a 和b 的函数，b 是时移，a 是尺度因子。
)(t ψ又称为基本小波，或母小波。
)(,t b a ψ是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。
这样，（9.1.2）式的WT 又可解释为信号)(t x 和一族小波基的内积。
母小波可以是实函数，也可以是复函数。
若)(t x 是实信号，)(t ψ也是实的，则),(b a WT x 也是实的，反之，),(b a WT x 为复函数。
在（9.1.1）式中，b 的作用是确定对)(t x 分析的时间位置，也即时间中心。
尺度因子a 的作用是把基本小波)(t ψ作伸缩。
我们在1.1节中已指出，由)(t ψ变成)(atψ，当1>a 时，若a 越大，则)(atψ的时域支撑范围（即时域宽度）较之)(t ψ变得越大，反之，当1<a时，a 越小，则)(at ψ的宽度越窄。
这样，a 和b 联合越来确定了对)(t x 分析的中心位置及分析的时间宽度，如图9.1.1所示。
图9.1.1 基本小波的伸缩及参数a 和b 对分析范围的控制 (a)基本小波，（b ）0>b ，1=a ,(c)b 不变，2=a , (d)分析范围这样，（9.1.2）式的WT 可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对)(t x 作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。
（9.1.1）式中的因子a1是为了保证在不同的尺度a 时，)(,t b a ψ始终能和母函数)(t ψ有着相同的能量，即dt abt a dt t b a 22,)(1)(⎰⎰-=ψψ令t abt '=-，则t ad dt '=，这样，上式的积分即等于dt t 2)(⎰ψ。
令)(t x 的傅里叶变换为)(ΩX ，)(t ψ的傅里叶变换为)(Ωψ，由傅里叶变换的性质，2=ttta)(,t b a ψ的傅里叶变换为：)(1)(,a b t at b a -=ψψ ⇔ b j b a e a a Ω-Ωψ=Ωψ)()(, （9.1.3）由Parsevals 定理，（9.1.2）式可重新表为： >ΩψΩ<=)(),(21),(,b a x X b a WT π ⎰∞+∞-Ω*ΩΩψΩ=d e a X a b j )()(2π（9.1.4）此式即为小波变换的频域表达式。
9.2 小波变换的特点下面，我们从小波变换的恒Q 性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的对比来讨论小波变换的特点，以帮助我们对小波变换有更深入的理解。
比较（9.1.2）和（9.1.4）式对小波变换的两个定义可以看出，如果)(,t b a ψ在时域是有限支撑的，那么它和)(t x 作内积后将保证),(b a WT x 在时域也是有限支撑的，从而实现我们所希望的时域定位功能，也即使),(b a WT x 反映的是)(t x 在b 附近的性质。
同样，若)(,Ωψb a 具有带通性质，即)(,Ωψb a 围绕着中心频率是有限支撑的，那么)(,Ωψb a 和)(ΩX 作内积后也将反映)(ΩX 在中心频率处的局部性质，从而实现好的频率定位性质。
显然，这些性能正是我们所希望的。
问题是如何找到这样的母小波)(t ψ，使其在时域和频域都是有限支撑的。
有关小波的种类及小波设计的问题，我们将在后续章节中详细讨论。
由1.3节可知，若)(t ψ的时间中心是0t ，时宽是t ∆，)(Ωψ的频率中心是0Ω，带宽是Ω∆，那么)(a tψ的时间中心仍是0t ，但时宽变成t a ∆，)(at ψ的频谱)(Ωψa a 的频率中心变为a 0/Ω，带宽变成a /Ω∆。
这样，)(at ψ的时宽－带宽积仍是Ω∆∆t ，与a 无关。
这一方面说明小波变换的时－频关系也受到不定原理的制约，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波变换的一个性质，也即恒Q 性质。
定义0Q Ω∆=Ω/=带宽/中心频率 (9.1.5) 为母小波)(t ψ的品质因数，对)(at ψ，其带宽/中心频率=Q aa00=Ω∆=Ω∆ΩΩ///因此，不论a 为何值)0(>a ，)(at ψ始终保持了和)(t ψ具有性同的品质因数。
恒Q 性质是小波变换的一个重要性质，也是区别于其它类型的变换且被广泛应用的一个重要原因。
图9.2.1说明了)(Ωψ和)(Ωψa 的带宽及中心频率随a 变化的情况。
图9.2.1 )(Ωψa 随a 变化的说明；(a) 1=a ，(b) 2=a ，(c) 2/1=a将图9.1.1和图9.1.2结合起来，我们可看到小波变换在对信号分析时有如下特点：当a 变小时，对)(t x 的时域观察范围变窄，但对)(ΩX 在频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动，如图9.2.1c 所示。
反之，当a 变大时，对)(t x 的时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动，如图9.2.1b 所示。
将图9.1.1和9.2.1所反映的时－频关系结合在一起，我们可得到在不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系，如图9.2.2所示。
图9.2.2 a 取不同值时小波变换对信号分析的时－频区间由于小波变换的恒Q 性质，因此在不同尺度下，图9.2.2中三个时、频分析区间（即0 ()ΩψΩΩ()ΩψaΩ02Ω2/0Ω0Ω)2/1(=a )1(=a )2(=a /2t ∆三个矩形）的面积保持不变。
由此我们看到，小波变换为我们提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口。
该分析窗口在高频端（图中02Ω处）的频率分辨率不好（矩形窗的频率边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边变短）；反之，在低频端（图中20/Ω处），频率分辨率变好，而时域分辨率变差。
但在不同的a 值下，图9.2.2中分析窗的面积保持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的需要作出调整。
众所周知，信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份，如陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等。
对这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成份间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。
与此相反，低频信号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中心频率也应移到低频处。
显然，小波变换的特点可以自动满足这些客观实际的需要。
总结上述小波变换的特点可知，当我们用较小的a 对信号作高频分析时，我们实际上是用高频小波对信号作细致观察，当我们用较大的a 对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观察。
如上面所述，小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分析时的规律，也符合人们的视觉特点。
现在我们来讨论一下小波变换和前面几章所讨论过的其它信号分析方法的区别。
我们知道，傅里叶变换的基函数是复正弦。
这一基函数在频域有着最佳的定位功能（频域的δ函数），但在时域所对应的范围是∞-~∞+，完全不具备定位功能。
这是FT 的一个严重的缺点。
人们希望用短时傅里叶变换来弥补FT 的不足。
重写（2.1.1）式，即⎰Ω-*-=Ωdt e t g x t STFT t j x )()(),(ττ⎰〉-〈==Ω*τττττττj t et g x d g x )(),()()(, (9.2.6)由于该式中只有窗函数的位移而无时间的伸缩，因此，位移量的大小不会改变复指数τΩ-j e 的频率。
同理，当复指数由τΩ-j e变成τΩ-2j e（即频率发生变化）时，这一变化也不会影响窗函数)(τg 。
这样，当复指数τΩ-j e的频率变化时，STFT 的基函数)(,ττt g 的包络不会改变，改变的只是该包络下的频率成份。
这样，当Ω由0Ω变化成02Ω时，)(,ττt g 对)(τx 分析的中心频率改变，但分析的频率范围不变，也即带宽不变。
因此，STFT 不具备恒Q 性质，当然也不具备随着分辨率变化而自动调节分析带宽的能力，如图9.2.3所示。
图中Tte t g /2)(-=.u图9.2.3 STFT 的时－频分析区间(a) tj t et g t g 0)()(,Ω--=ττ，tj t et g t g 02,)()(Ω--='ττ，(b) )(ΩG 是)(,t g t τ的FT ，)(Ω'G 是)(,t g t τ'的FT ， (c)在不同的0Ω和τ处，时宽、带宽均保持不变1我们在第六至第八章所讨论的M 通道最大抽取滤波器组是将)(n x 分成M 个子带信号，每一个子带信号需有相同的带宽，即M /2π，其中心频率依次为k Mπ,1,,1,0-=M k （注：若是DFT 滤波器组，则中心频率在k Mπ2, 1,,1,0-=M k ），且这M 个子带信号有着相同的时间长度。
在小波变换中，我们是通过调节参数a 来得到不同的分析时宽和带宽，但它不需要保证在改变a 时使所得到的时域子信号有着相同的时宽或带宽。
这是小波变换和均匀滤波器组的不同之处。
但小波变换和7.9节讨论过的树状滤波器组在对信号的分析方式上极其相似。
由后面的讨论可知，离散小波变换是通过“多分辨率分析”来实现的，而“多分辨率分析”最终是由两通道滤波器组来实现的。
由（9.1.1）式，定义22)()(1),(⎰-=*dt a b t t x a b a WT x ψ (9.2.7)为信号的“尺度图（scalogram ）”。
它也是一种能量分布，但它是随位移b 和尺度a 的能量分布，而不是简单的随),(Ωt 的能量分布，即我们在第二章至第四章所讨论的时－频分布。
但由于尺度a 间接对应频率（a 小对应高频，a 大对应低频），因此，尺度图实质上也是一种时－频分布。
综上所述，由于小波变换具有恒Q 性质及自动调节对信号分析的时宽/带宽等一系列突出优点，因此被人们称为信号分析的“数学显微镜”。
