第9章 小波变换基础
9.1 小波变换的定义
给定一个基本函数)(t ψ，令 )(1)(,a b t a
t b a -=
ψψ （9.1.1）
式中b a ,均为常数，且0>a 。显然，)(,t b a ψ是基本函数)(t ψ先作移位再作伸缩以后得到的。若b a ,不断地变化，我们可得到一族函数)(,t b a ψ。给定平方可积的信号)(t x ，即
)()(2R L t x ∈，则)(t x 的小波变换（Wavelet Transform ，WT ）定义为
dt a b t t x a b a WT x )()(1),(-=
⎰
*ψ
〉〈==⎰
*
)(),()()(,,t t x dt t t x b a b a ψψ （9.1.2） 式中b a ,和t 均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT ）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从∞-到∞+。信号)(t x 的小波变换),(b a WT x 是a 和b 的函数，
b 是时移，a 是尺度因子。)(t ψ又称为基本小波，或母小波。)(,t b a ψ是母小波经移位和
伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，（9.1.2）式的WT 又可解释为信号)(t x 和一族小波基的内积。
母小波可以是实函数，也可以是复函数。若)(t x 是实信号，)(t ψ也是实的，则
),(b a WT x 也是实的，反之，),(b a WT x 为复函数。
在（9.1.1）式中，b 的作用是确定对)(t x 分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子
a 的作用是把基本小波)(t ψ作伸缩。我们在1.1节中已指出，由)(t ψ变成)(a
t
ψ，当1
>a 时，若a 越大，则)(a
t
ψ的时域支撑范围（即时域宽度）较之)(t ψ变得越大，反之，当1
时，a 越小，则)(a
t ψ的宽度越窄。这样，a 和b 联合越来确定了对)(t x 分析的中心位置及分析的时间宽度，如图9.1.1所示。
图9.1.1 基本小波的伸缩及参数a 和b 对分析范围的控制 (a)基本小波，（b ）0>b ，1=
a ,(c)
b 不变，2=a , (d)分析范围
这样，（9.1.2）式的WT 可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对)(t x 作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。
（9.1.1）式中的因子a
1
是为了保证在不同的尺度a 时，
)(,t b a ψ始终能和母函数)(t ψ有着相同的能量，即
dt a
b
t a dt t b a 2
2
,)(1)(⎰⎰-=ψψ
令
t a
b
t '=-，则t ad dt '=，这样，上式的积分即等于dt t 2)(⎰ψ。 令)(t x 的傅里叶变换为)(ΩX ，)(t ψ的傅里叶变换为)(Ωψ，由傅里叶变换的性质，
2=t
t
t
a
)(,t b a ψ的傅里叶变换为：
)(1)(,a b t a
t b a -=
ψψ ⇔ b j b a e a a Ω-Ωψ=Ωψ)()(, （9.1.3）
由Parsevals 定理，（9.1.2）式可重新表为： >ΩψΩ<=
)(),(21
),(,b a x X b a WT π ⎰
∞
+∞
-Ω*ΩΩψΩ=d e a X a b j )()(2π
（9.1.4）
此式即为小波变换的频域表达式。
9.2 小波变换的特点
下面，我们从小波变换的恒Q 性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的对比来讨论小波变换的特点，以帮助我们对小波变换有更深入的理解。
比较（9.1.2）和（9.1.4）式对小波变换的两个定义可以看出，如果)(,t b a ψ在时域是有限支撑的，那么它和)(t x 作内积后将保证),(b a WT x 在时域也是有限支撑的，从而实现我们所希望的时域定位功能，也即使),(b a WT x 反映的是)(t x 在b 附近的性质。同样，若
)(,Ωψb a 具有带通性质，即)(,Ωψb a 围绕着中心频率是有限支撑的，那么)(,Ωψb a 和)
(ΩX 作内积后也将反映)(ΩX 在中心频率处的局部性质，从而实现好的频率定位性质。显然，这些性能正是我们所希望的。问题是如何找到这样的母小波)(t ψ，使其在时域和频域都是有限支撑的。有关小波的种类及小波设计的问题，我们将在后续章节中详细讨论。
由1.3节可知，若)(t ψ的时间中心是0t ，时宽是t ∆，)(Ωψ的频率中心是0Ω，带宽是Ω∆，那么)(a t
ψ的时间中心仍是0t ，但时宽变成t a ∆，)(a
t ψ的频谱)(Ωψa a 的频率中心变为a 0/Ω，带宽变成a /Ω∆。这样，)(a
t ψ的时宽－带宽积仍是Ω∆∆t ，与a 无关。这一方面说明小波变换的时－频关系也受到不定原理的制约，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波变换的一个性质，也即恒Q 性质。定义
0Q Ω∆=Ω/=带宽/中心频率 (9.1.5) 为母小波)(t ψ的品质因数，对)(a
t ψ，其
带宽/中心频率=
Q a
a
00=Ω∆=Ω∆ΩΩ///
因此，不论a 为何值)0(>a ，)(a
t ψ始终保持了和)(t ψ具有性同的品质因数。恒Q 性质是小波变换的一个重要性质，也是区别于其它类型的变换且被广泛应用的一个重要原因。图9.2.1说明了)(Ωψ和)(Ωψa 的带宽及中心频率随a 变化的情况。
图9.2.1 )(Ωψa 随a 变化的说明；(a) 1=a ，(b) 2=
a ，(c) 2/1=a
将图9.1.1和图9.1.2结合起来，我们可看到小波变换在对信号分析时有如下特点：当a 变小时，对)(t x 的时域观察范围变窄，但对)(ΩX 在频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动，如图9.2.1c 所示。反之，当a 变大时，对)(t x 的时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动，如图9.2.1b 所示。将图9.1.1和9.2.1所反映的时－频关系结合在一起，我们可得到在不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系，如图9.2.2所示。
图9.2.2 a 取不同值时小波变换对信号分析的时－频区间
由于小波变换的恒Q 性质，因此在不同尺度下，图9.2.2中三个时、频分析区间（即
0 ()Ωψ
Ω
Ω
()Ωψa
Ω
02Ω2
/0
Ω0
Ω)2/1(=a )
1(=a )2(=a /2
t ∆
