课时作业21：3.2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

A级 基础巩固

一、选择题

1．曲线运动方程为s＝1－tt2＋2t2，则t＝2时的速度为( )

A．4 B．8

C．10 D．12

2．函数y＝x·ln x的导数是( )

A．y′＝x B．y′＝1x

C．y′＝ln x＋1 D．y′＝ln x＋x

3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f ′(－1)＝4，则a的值是( )

A．193 B．163

C．133 D．103

4．已知函数f(x)＝f ′(－2)ex－x2，则f ′(－2)＝( )

A．e2e2－1 B．4e2－1e2

C．e2－14e2 D．4e2e2－1

5．已知f(x)＝sinx－cosx，实数α满足f ′(α)＝3f(α)，则tan2α＝( )

A．－43 B．－34

C．34 D．43

故选A．

6．若函数f(x)＝f ′(1)x3－2x2＋3，则f ′(1)的值为( )

A．0 B．－1

C．1 D．2

二、填空题

7．曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为__________.

8．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝π2处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝_______.

三、解答题

9．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．

B级 素养提升

一、选择题

1．不可能以直线y＝12x＋b作为切线的曲线是( )

A．y＝sin x B．y＝ln x

C．y＝1x D．y＝ex

2．已知函数f(x)＝axx2＋3在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＋3＝0平行，则实数a的值为( )

A．2 B．4

C．6 D．8

3．曲线y＝xx＋2在点(0，f(0))处的切线方程为( )

A．x－2y＝0 B．2x－y＝0

C．x－4y＝0 D．4x－y＝0

4．(多选题)下列求导计算错误的是( )

A．lnxx′＝lnx－1x2 B．(log2x)′＝log2ex

C．(2x)′＝2x×1ln2 D．(xsinx)′＝cosx

5．(多选题)已知f(x)＝ln x，g(x)＝12x2＋mx＋72，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值可以为( )

A．4 B．2

C．－4 D．－2

二、填空题

6．已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为__ __.

7．曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__ __.

三、解答题

8．已知函数f(x)＝x3＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；

(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

参考答案

A级 基础巩固

一、选择题 1．【答案】 B

【解析】 s′＝1－tt2′＋(2t2)′＝t－2t3＋4t，

∴t＝2时的速度为：s′|t＝2＝2－28＋8＝8.

2．【答案】 C

【解析】 y′＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝ln x＋x·1x＝ln x＋1.

3．【答案】 D

【解析】 f ′(x)＝3ax2＋6x，

∵f ′(－1)＝3a－6，∴3a－6＝4，∴a＝103.

4．【答案】 D

【解析】 f ′(x)＝f ′(－2)ex－2x；

∴f ′(－2)＝f ′(－2)·e－2－2·(－2)；

解得f ′(－2)＝4e2e2－1.

故选D．

5．【答案】 A

【解析】 f ′(x)＝cosx＋sinx；

∴f ′(α)＝cosα＋sinα；

又f ′(α)＝3f(α)；

∴cosα＋sinα＝3sinα－3cosα；

∴2cosα＝sinα；∴tanα＝2；∴tan2α＝2×21－22＝－43.

故选A．

6．【答案】 D

【解析】 ∵f ′(x)＝3f ′(1)x2－4x，

∴f ′(1)＝3f ′(1)－4，∴f ′(1)＝2.

二、填空题

7．【答案】 y＝2x－2

【解析】 因为y′＝2x，y′| x＝1＝2，

所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.

8．【答案】 2

【解析】 ∵f′(x)＝(xsin x)′＝x′sin x＋x·(sin x)′

＝sin x＋xcos x ∴f′(π2)＝sinπ2＋π2cosπ2＝1.

又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－a2，

∴1×(－a2)＝－1，∴a＝2.

三、解答题

9．解：由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f ′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，

可知－6－f(－1)＋7＝0，

即f(－1)＝1，f ′(－1)＝6.

∴ 3－2b＋c＝6－1＋b－c＋2＝1，即 2b－c＝－3b－c＝0，解得b＝c＝－3.

故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.

B级 素养提升

一、选择题

1．【答案】 C

【解析】 若y＝1x，则y′＝－1x2<0，∴曲线y＝1x上任意点处的切线的斜率k<0，故其切线方程不可能为y＝12x＋b.

2．【答案】 B

【解析】 f′(x)＝－ax2＋3ax2＋32，f′(1)＝a8，

而直线斜率为12，∴a8＝12，∴a＝4.

3．【答案】 A

【解析】 ∵y′＝x′x＋2－xx＋2′x＋22＝2x＋22，

∴k＝y′|x＝0＝12，∵f(0)＝0，

∴切线方程为：y＝12x，即x－2y＝0.

4．【答案】 ACD

【解析】 A选项应为1－lnxx2，B选项正确，

C选项应为2xln2，D选项应为sinx＋xcosx.

故选ACD． 5．【答案】 AD

【解析】 ∵f′(x)＝1x，

∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，

又f(1)＝0，

∴切线l的方程为y＝x－1.

g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，

则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝12x20＋mx0＋72，

于是解得m＝－2或m＝4.故选AD．

二、填空题

6．【答案】 e

【解析】 ∵ f(x)＝exln x，

∴ f′(x)＝exln x＋exx，∴ f′(1)＝e.

7．【答案】 y＝2x

【解析】 设切点坐标为(x0，lnx0＋x0＋1)．由题意得y′＝1x＋1，则该切线的斜率k＝(1x＋1)|x＝x0＝1x0＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1,2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.

三、解答题

8．解：(1)∵f ′(x)＝3x2＋1，

∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13.

∴切线的方程为13x－y－32＝0.

(2)解法一：设切点为(x0，y0)，

则直线l的斜率为f ′(x0)＝3x20＋1，

∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16，

又∵直线l过原点(0,0)，

∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，

整理得，x30＝－8，

∴x0＝－2，

∴y0＝－26，k＝13.

∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．

解法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)， 则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0，

又∵k＝f ′(x0)＝3x20＋1，

∴x30＋x0－16x0＝3x20＋1，

解之得，x0＝－2，

∴y0＝－26，k＝13.

∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．

(3)∵切线与直线y＝－x4＋3垂直，

∴切线的斜率k＝4.

设切点坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x20＋1＝4，

∴x0＝±1，

∴ x0＝1y0＝－14，或 x0＝－1y0＝－18.

∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14.

即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.