1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）

A级：基础巩固练

一、选择题

1．函数y＝(3x－4)2的导数是( )

A．4(3x－2) B．6x

C．6x(3x－4) D．6(3x－4)

答案 D

解析 ∵y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)．

2．若函数f(x)＝12f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为( )

A．0 B．－1 C．1 D．2

答案 B

解析 ∵f(x)＝12f′(－1)x2－2x＋3，∴f′(x)＝f′(－1)x－2，∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，∴f′(－1)＝－1.

3．函数y＝f(2ex)，则导数y′＝( )

A．2f′(2ex) B．2exf′(x)

C．2exf′(ex) D．2exf′(2ex)

答案 D

解析 ∵y＝f(2ex)，∴y′＝(2ex)′·f′(2ex)＝2exf′(2ex)．故选D．

4．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )

A．2e B．e C．2 D．1

答案 C

解析 由题意可得y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于2，故选C．

5．要得到函数f(x)＝sin2x＋π3的导函数f′(x)的图象，只需将f(x)的图象( )

A．向左平移π2个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

B．向左平移π2个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)

C．向左平移π4个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)

D．向左平移π4个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

答案 D 解析 ∵f(x)＝sin2x＋π3，∴f′(x)＝2cos2x＋π3＝2sin2x＋π3＋π2＝2sin2x＋π4＋π3，

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）

[A 基础达标]

1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选D.y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′

＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2

＝3x2＋2x－1，

所以y′|x＝1＝4.

2．函数y＝cos(－x)的导数是( )

A．cos x B．－cos x

C．－sin x D．sin x

解析：选C.法一：[cos(－x)]′＝－sin(－x)·(－x)′＝sin(－x)＝－sin x.

法二：y＝cos(－x)＝cos x，

所以[cos(－x)]′＝(cos x)′＝－sin x.

3．(2018·郑州高二检测)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为( )

A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)

C．(2，＋∞) D．(－1，0)

解析：选C.因为f′(x)＝2x－2－4x＝2（x－2）（x＋1）x，又x>0，所以f′(x)>0即x－2>0，解得x>2.

4．对于函数f(x)＝exx2＋ln x－2kx，若f′(1)＝1，则k等于(

)

A.e2 B.e3

C．－e2 D．－e3

解析：选A.因为f′(x)＝ex（x－2）x3＋1x＋2kx2，所以f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝e2，故选A.

5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)＝( )

A．－3 B．2e

C.21－2e D.31－2e

解析：选D.因为f′(1)为常数，

所以f′(x)＝2exf′(1)＋3x，

所以f′(1)＝2ef′(1)＋3，

所以f′(1)＝31－2e.

6．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(2)＝________．

§3.1 导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x 5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2 (g(x)≠0)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

明目标、知重点

1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．

2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．

导数的运算法则：设两个函数分别为f(x)和g(x)

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

(3)[fxgx]′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．

[情境导学]

前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．

探究点一 导数的运算法则

思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？

答 利用导数的运算法则．

思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？

答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及fxgx′＝f′xg′x的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；

(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.

例1 求下列函数的导数：

(1)y＝x3－2x＋3；

(2)y＝(x2＋1)(x－1)；

(3)y＝3x－lg x.

解 (1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2. (2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1

∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.