2019-2020学年天津市耀华中学高一下学期期中数学试卷(有解析)

2019-2020学年天津市耀华中学高一下学期期中数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 下列各组向量中，能作为平面内一组基底的是( )

A. 𝑒1⃗⃗⃗ =(0,2)，𝑒2⃗⃗⃗ =(0,−1) B. 𝑒1⃗⃗⃗ =(2,1)，𝑒2⃗⃗⃗ =(0,0)

C. 𝑒1⃗⃗⃗ =(3,1)，𝑒2⃗⃗⃗ =(5,53) D. 𝑒1⃗⃗⃗ =(−2,1)，𝑒2⃗⃗⃗ =(4,2)

2. 化简：𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =( )

A. 0⃗ B. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ C. 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ D. 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

3. 以下给出了5个命题

(1)两个长度相等的向量一定相等；

(2)相等的向量起点必相同；

(3)若𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =𝑎⃗ ⋅𝑐⃗ ，且𝑎⃗ ≠0⃗ ，则𝑏⃗ =𝑐⃗ ；

(4)若向量𝑎⃗ 的模小于𝑏⃗ 的模，则𝑎⃗ <𝑏⃗ ．

(5)若𝑏⃗ =𝑐⃗ ，且𝑎⃗ ≠0⃗ ，则𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =𝑎⃗ ⋅𝑐⃗

(6)与𝑎⃗ 同方向的单位向量为𝑎⃗

|𝑎⃗ |

其中正确命题的个数共有( )

A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0个

4. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：(单位：分)

78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91.

则这15人成绩的第80百分位数是( )

A. 90 B. 91.5 C. 91 D. 90.5

5. 已知a，𝑏∈𝑅，i是虚数单位，若(1+𝑖)(1−𝑏𝑖)=𝑎，则𝑎𝑏的值为( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6. 已知向量𝑎⃗ =(1,1),2𝑎⃗ +𝑏⃗ =(4,3),𝑐⃗ =(𝑥,−2)，若𝑏⃗ //𝑐⃗ ，则x的值为( )

A. 4 B. 2 C. −4 D. −2

7. 已知向量𝑎⃗ =(1,−3)，𝑏⃗ =(3,𝑚)，若𝑎⃗ ⊥𝑏⃗ ，则|2𝑎⃗ +𝑏⃗ |等于( )

A. 10 B. 16 C. 5√2 D. 4√10

8. 若|𝑚⃗⃗⃗ |=2，𝑚⃗⃗⃗ ·𝑛⃗ =8，𝑚⃗⃗⃗ ，𝑛⃗ 的夹角为60°，则|𝑛⃗ |的值为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

9. 若z是复数，且(3+𝑧)𝑖=1(𝑖为虚数单位)，则z为( )

A. −3+𝑖 B. 3+𝑖 C. −3−𝐼 D. 3−𝑖

10. 在平面四边形ABCD中，𝐴𝐶=2，𝐵𝐷=1，则(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=( )

A. 5 B. −5 C. −3 D. 3

11. 1−2𝑠𝑖𝑛2𝜋8的值等于(

)

A.

0

B.

12 C. √22 D. √32

12. 已知向量𝑚⃗⃗⃗ =(−1,2)，𝑛⃗ =(1,𝜆)，若𝑚⃗⃗⃗ ⊥𝑛⃗ ，则𝑚⃗⃗⃗ +2𝑛⃗ 与𝑚⃗⃗⃗ 的夹角为( )

A. 2𝜋3 B. 3𝜋4 C. 𝜋3 D. 𝜋4

二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）

13. 某校高一、高二和高三年级学生的人数比为2：2：1，用分层抽样的方法从全体学生中抽取1个容量为45的样本，则高一年级抽取的学生数为______ 人．

14. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图(如下图所示)，则这100名学生的平均成绩为__________．

15. 计算：(1+𝑖)(1−𝑖)+(1+2𝑖)2=_______________．

16. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎=3，𝑏=2，𝐴=30°，则𝑐𝑜𝑠𝐵= ______ ．

17. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐵𝐶=4，则𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =________．

18. 在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，则𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶的值为______ ．

三、解答题（本大题共1小题，共10.0分）

19. 在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，𝑠𝑖𝑛𝐵(𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴)=√3𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵．

(1)求B；

(2)若𝑏=2√3，△𝐴𝐵𝐶的面积为2√3，求△𝐴𝐵𝐶的周长．

【答案与解析】

1.答案：D

解析：

本题主要考查平面向量基本定理，基底的定义，属于基础题．

判定两个向量是否不共线即可．

解：A中，𝑒1⃗⃗⃗ =−2𝑒2⃗⃗⃗ ，所以向量𝑒1⃗⃗⃗ 与𝑒2⃗⃗⃗ 共线，不能作为一组基底;

B中，𝑒2⃗⃗⃗ 为零向量，所以𝑒1⃗⃗⃗ 与𝑒2⃗⃗⃗ 共线，不能作为一组基底;

C中，𝑒1⃗⃗⃗ =35𝑒2⃗⃗⃗ ，所以向量𝑒1⃗⃗⃗ 与𝑒2⃗⃗⃗ 共线，不能作为一组基底;

D中，向量𝑒1⃗⃗⃗ 与𝑒2⃗⃗⃗ 不共线，可以作为一组基底．

故选D．

2.答案：A

解析：

本题主要考查了向量的加减运算，属于基础题．

根据向量的加减运算法则计算可得．

解：𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．

故选A．

3.答案：B

解析：解：两个向量相等的充要条件是大小相等且方向相同，

所以两个长度相等的向量不一定相等，故(1)错误；

两个向量只要大小相等且方向相同，就是相等向量，

所以相等的向量起点可以不相同，故(2)错误；

若𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =𝑎⃗ ⋅𝑐⃗ ，且𝑎⃗ ≠0⃗ ，则𝑏⃗ =𝑐⃗ 或𝑎⃗ ⊥𝑏⃗ 且𝑎⃗ ⊥𝑐⃗ ，故(3)错误；

(4)∵两个向量不能比较大小，∴𝑎⃗ <𝑏⃗ 不正确，故(4)错误；

(5)由(3)可以得到(5)正确；

(6)根据单位向量的定义可以(6)正确． 故正确命题的个数为2个，

故选：B．

根据向量的物理背景与概念、数量积的概念逐个分析．

本题考查向量的概念，两个向量的数量积的定义和性质，注意向量的数量积与实数的乘积的区别，正确理解向量相等的含义．

4.答案：D

解析：

本题考查了一组数据的百分位数问题，是基础题．

把该组数据从小到大排列，计算15×80%=12，即可求解．

解：该组数据从小到大排列为：

56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98.

且15×80%=12，

所以这15人成绩的第80百分位数是90+912=90.5.

故选D．

5.答案：A

解析：

本题考查复数的运算和复数相等的充要条件，属基础题，

解：(1+𝑖)(1−𝑏𝑖)=1−𝑏𝑖+𝑖−𝑏𝑖2=1+𝑏+(1−𝑏)𝑖，

∵(1+𝑖)(1−𝑏𝑖)=𝑎，

∴1+𝑏+(1−𝑏)𝑖=𝑎，即1+𝑏−𝑎+(1−𝑏)𝑖=0，

∴{1+𝑏−𝑎=01−𝑏=0，解得𝑎=2，𝑏=1，

∴𝑎𝑏=2，

故选A．

6.答案：C

解析：

可求出𝑏⃗ =(2,1)，从而根据𝑏⃗ //𝑐⃗ 得出𝑥+4=0，解出𝑥=−4．

考查向量坐标的减法和数乘运算，平行向量的坐标关系．

解：𝑏⃗ =2𝑎⃗ +𝑏⃗ −2𝑎⃗ =(2,1)；

∵𝑏⃗ //𝑐⃗ ；

∴𝑥+4=0；

∴𝑥=−4．

故选 C．

7.答案：C

解析：解：∵𝑎⃗ ⊥𝑏⃗ ，∴𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =3−3𝑚=0，解得𝑚=1．

∴2𝑎⃗ +𝑏⃗ =(5,−5)，则|2𝑎⃗ +𝑏⃗ |=√25+25=5√2．

故选：C．

通过斜率的数量积求出m，利用斜率的模转化求解即可．

本题考查斜率的数量积的应用，斜率的模的求法，是基本知识的考查、

8.答案：D

解析：

本题考查向量数量积的运算，属于基础题.代入向量的数量积公式求解即可．

解：因为，

所以．

故选D．

9.答案：C

解析：

本题主要考查复数代数形式的混合运算，属于基础题．

解：∵(3+𝑧)𝑖=1，

∴𝑧=1𝑖−3=−3−𝑖， 故选C．

10.答案：C

解析：

本题主要考查平面向量基本定理的应用，数量积，属于基础题．

将所有向量全部用𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示即可求解．

解：(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

=2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

=2(12𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

=|𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |2

=−3

故选C．

11.答案：C

解析：解：1−2𝑠𝑖𝑛2𝜋8=cos(2×𝜋8)=cos𝜋4=√22．

故选：C．

直接利用二倍角的余弦公式，特殊角的三角函数值即可化简得答案．

本题考查二倍角的余弦，考查了特殊角的三角函数值，是基础题．

12.答案：D

解析：

本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，属于基础题．

根据𝑚⃗⃗⃗ ⊥𝑛⃗ 得𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝑛⃗ =0，解得𝜆的值，再求𝑚⃗⃗⃗ +2𝑛⃗ 与𝑚⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值，从而求出夹角大小．

解：∵𝑚⃗⃗⃗ =(−1,2)，𝑛⃗ =(1,𝜆)，𝑚⃗⃗⃗ ⊥𝑛⃗ ，

∴𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝑛⃗ =−1×1+2𝜆=0，解得𝜆=12，

∴𝑚⃗⃗⃗ +2𝑛⃗ =(1,3)，

∴(𝑚⃗⃗⃗ +2𝑛⃗ )⋅𝑚⃗⃗⃗ =1×(−1)+3×2=5，

|𝑚⃗⃗⃗ +2𝑛⃗ |=√12+32=√10，