05 第五讲 倒推法的妙用

三年级下册数学倒推法,讲解三年级下册数学倒推法 数学倒推法是一种解决问题的方法，通过从已知结果逆向思考，推导出问题的解决步骤和方法。

在三年级下册数学课程中，学生们开始接触倒推法，并学会运用它解决一些简单的问题。

本文将为您讲解三年级下册数学倒推法的基本概念和应用示例。

首先，数学倒推法指的是从问题的已知条件或结果出发，逆向推导出解决问题的步骤和方法。

通过观察已知数据或结果，运用逻辑推理和数学知识，可以解决一些复杂或未知的问题。

倒推法可以培养学生的思维逻辑和推理能力，提高解决问题的能力。

倒推法在数学领域的应用非常广泛。

学生们可以通过倒推法解决各种数学问题，例如数列问题、方程问题和几何问题等。

在三年级下册数学课程中，学生们主要学习如何运用倒推法解决一些基础的数学问题。

让我们以一个简单的数列问题为例来说明数学倒推法的应用。

假设一个数列的首项是1，公差是2，而数列的第n项是11。

现在我们需要确定数列的第几项是11。

首先，我们要明确数列的首项和公差。

已知首项是1，公差是2，我们利用这些已知数据进行倒推。

我们要找的是数列中的第n项是11，我们可以假设这个项数是x。

那么，根据数列的性质，可以列出等式：1 + (x-1) * 2 = 11。

通过解这个方程，我们可以求解得到x的值。

首先，我们将方程进行计算和转化：1 + 2x - 2 = 11，然后简化为2x - 1 = 11，最后得到2x = 12。

通过进一步计算，我们得到x = 6。

因此，数列中的第6项是11。

这就是通过倒推法解决数列问题的基本步骤。

倒推法不仅适用于数列问题，还适用于解决其他类型的数学问题。

例如，通过倒推法可以解决一个简单的逻辑方程问题。

假设一个方程是a + 3 = 8，我们需要求解变量a的值。

通过使用倒推法，我们可以将问题转化为8 - 3 = a，进一步计算可得a = 5。

除了数列和方程问题，倒推法还可以应用于几何问题。

例如，通过倒推法可以确定一个缺失的图形的属性，如缺失的角度或边长。

小学四年级上册数学奥数知识点讲解第5课《倒推法的妙用》试题附答案第五讲倒推法的妙用在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用己知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题. 例1一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10,再除以7,最后乘以4,得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？例2马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7,把减数十位上的7看成1,结果得出差是I11问正确答案应是几？例3树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树±;从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？例4篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？例5甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？例6菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少干克？第五讲倒推法的妙用在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题.例1一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10,再除以7,最后乘以4,得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？分析这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8,加上10,再除以7,乘以4,结果是56.求这个数是多少？把一个数用口来表示，根据题目己知条件可得到这样的等式：{[(□-8)+101+7}×4=56.如何求出口中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56+4=14.14是除以7后得到的，除以7之前是14X7=98.98是加10后得到的，加10以前是98-10=88.88是减8以后得到的，减8以前是88+8=96.这样倒推使问题得解.解：{[(口-8)+10]+7}×4=56[(□-8)+10)+7=56+4答：于昆这次数学考试成绩是96分.通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：①从结果出发，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.③列式时注意运算顺序，正确使用括号.例2马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7,把减数十位上的7看成1,结果得出差是II1问正确答案应是几？分析马小虎错把减数个位上1看成7,使差减少7—1=6,而把十位上的7看成1,使差增加70—10=60.因此这道题归结为某数减6,加60得111,求某数是几的问题.解：I11-（70—10）+（7—1）=57答：正确的答案是57.例3树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？分析倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48+3=16（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16—6=10（只）.同理，第二棵树上原有鸟16+6—8=14（只）.第一棵树上原落鸟16+8=24（只），使问题得解.解：①现在三棵树上各有鸟多少只？48+3=16（只）②第一棵树上原有鸟只数.16+8=24（只）③第二棵树上原有鸟只数.16+6—8=14（只）④第三棵树上原有鸟只数.16—6=10（只）答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只.例4篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？分析依题意，画图进行分析.篮子里梨的一半多1劭的二半''J ----------------- --多I个再余一半* --- √多1个乘Ih个篮子里原有梨多少个？解：列综合算式：{[（1+1）×2+U×2+1}×2=22（个）答：篮子里原有梨22个.例5甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？分析解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”,可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×2-14=16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍'，就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克.求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶住乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克.解：①甲乙两桶油共剩多少千克？15×2-14=16（千克）②乙桶油剩多少千克？16+（3+1）=4（千克）③甲桶油剩多少千克？4×3=12（千克）用倒推法画图如下：甲桶油乙桶油④从甲桶卖出油多少千克？15T1=4（千克）⑤从乙桶卖出油多少千克？15—5=10（千克）答：从甲桶卖出油4千克，从乙桶卖出油10千克.例6菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？分析解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数量关系清晰的展现出来.原有冬贮来若干千克簟禹劈第二天运金OO千克有白菜一半第二天一一半3⅛⅛第三天曼出的~1 3,1800千克解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3=600（千克）②第二天运进200千克后的一半是多少千克？600+30=630（千克）③第二天运进200千克后有白菜多少千克？630×2=1260（千克）④原来的一半是多少千克？1260—200=1060（千克）⑤原有贮存多少千克？1060×2=2120（千克）答：菜站原来贮存大白菜2120千克.综合算式：［（1800+3+30）×2—2001×2=2120（千克）答：菜站原有冬贮大白菜2120千克.习题五1.某数除以4,乘以5,再除以6,结果是615,求某数.2.生产一批零件共560个，师徒二人合作用4天做完.已知师傅每天生产零件的个数是徒弟的3倍.师徒二人每天各生产零件多少个？3.有转26块，兄弟二人争着挑.弟弟抢在前，刚刚摆好移，哥哥赶到了.哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半.哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块.这时哥哥比弟弟多2块.问：最初弟弟准备挑几块砖？4.阿凡提去赶集，他用钱的一半买肉，再用余下钱的一半买鱼，又用剩下钱买菜.别人问他带多少钱，他说：“买菜的钱是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和;加7加8,加8加7、加9加10加11。

□许高水倒推法，也叫还原法、逆推法，就是从最后的结果出发，一步步倒推，进行逆运算。

也就是说，原来是加的，倒推时用减，原来是乘的，倒推时用除，直到求出原来的数。

例1已知一个数加上80再除以12后是9，求这个数是多少？可以考虑从得数9出发，最后一步是“除以12后是9”，那么在没有除以12之前的数是12×9＝108。

接着往前推，在没有加上80之前的数是108－80＝28，所以这个数是28。

例2小明的爸爸到菜市场买东西，买虾用去了口袋中钱数的一半，买肉用去了口袋中余下钱数的一半，现在口袋中还剩下8元。

问小明爸爸的口袋中原来有多少钱？可以采用倒推法先求出买虾后，小明爸爸的口袋中还有多少元，再求出口袋中原来有多少元。

买虾后还剩下8×2＝16（元），小明爸爸的口袋中原来有16×2＝32（元）。

8小灵通把3根木料全部锯完需要18分钟。

例3今天小平的妈妈买了一篮子苹果，小平上午取走了整篮苹果的一半多1个，下午取走了余下苹果的一半又多1个，最后篮子里还剩下2个苹果。

问小平的妈妈买的一篮子苹果共有多少个？如果每次取走的是一半，只要逐次乘2就能求出原数，可现在是每次比一半多1个，该如何求呢？你再仔细想想，不难发现，最后剩下的2个苹果比下午取走前的一半少1个，因此最后的2个苹果与少的1个苹果合在一起，就是下午取走前的苹果个数的一半，即2＋1＝3（个），所以下午取走前篮子里有苹果3×2＝6（个），上午取走后篮子里余下的苹果个数，就是下午取走前篮子里的苹果个数，即6个。

同样的方法，上午小平取走前苹果个数的一半是6＋1＝7（个），所以原来篮子里有苹果7×2＝14（个）。

（作者单位：浙江省绍兴县孙端镇中心小学）9。

第九单元解决问题的策略—倒推法执教者：胡靖愈教学班级：五年级日期：2013-4教学目标1．使学生学会运用“倒过来推想”的策略寻找解决问题的思路，并能根据问题的具体情况确定合理的解题步骤。

2．使学生在对解决实际问题过程的不断反思中，感受“倒过来推想”的策略对于解决特定问题的价值，进一步发展分析、综合和进行简单推理的能力。

3.使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。

教学重点:根据具体问题选择合理的解题策略教学难点:先摘录、整理条件再倒过来推想教学准备：纸杯卡片，小黑板准备练习题教学过程一、复习，引入：同学们，你们会做以下两道题吗？试试看。

-40 +30 ÷2 -1+40 -30 ×2 +1板书：倒过来推想求原来知现在知变过程师：其实象这种知道现在求原来的情况，我们在二、三年级就已经学过：师：像这种知道现在——倒过来推想——求原来的方法在数学上我们叫它倒推法，也叫还原法。

这是一种非常重要的解决问题的策略，这节课就和大家—起来研究倒推法在数学问题里的应用。

(板书课题：解决问题的策略——倒推法)二、自主探究，深化理解1、教学例题1(1)小黑板出示例题。

芳芳有一杯果汁，喝了60ml,后来又倒入80ml，现在还有240ml，这杯果汁原来有多少ml？(学生读题)师：从题中你能知道哪些信息?生1：喝了60ml 又倒入80ml 现有240ml生2：问题是：这杯果汁原来有多少ml？师生起整理一下：原来有？ml 喝了60ml 又倒入80ml 现有240ml 师：这位同学像学习语文一样，按事情的发展顺序，把题中的关键条件用带有箭头的流程图来表示，非常清晰。

还有不一样的整理办法吗?-60ml +80ml( )ml ( ) 240ml+60ml -80ml师：相比较，这种整理方法更简洁美，只用了最简单的数学符号和数字就可以清楚的表示出来。

（2）请同学们自己列式算一算。

倒推法的妙用学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容灵活运用倒推法解答题课型一对一/一对N教学目标1.使学生学会用“倒推”的策略寻求解答题的思路，并能根据实际的问题确定合理的解题方法，从而有效地解答题。

2.让学生体验“倒推”的策略对于解决特定问题的价值，增强解答题的策略意识，进一步发展分析、综合和简单推理的能力。

3.使学生进一步积累解答题的经验，获得解答题的成功体验，提高学好数学的信心。

重、难点重点：学会运用“倒推”的策略解答题,并能根据问题的具体情况确定合理的解题方法和步骤。

难点：在解答题过程中体验“倒推”的策略对于解决特定问题的价值。

课首沟通知识导图上讲回顾（错题管理）；作业检查；询问学生学习进度等；课首小测1.一个数加上1，乘以8，减去8，结果还是8，这个数是。

2.某次数学考试中，小强的分数如果减去6，再除以10，然后加上6再乘以8，正好是120分。

那么小强这次考试的成绩是。

3.在横线上填上合适的数。

（1）85－÷7＝65 （2）（37＋）×2＝100 （3）（448＋42）÷＝30导学一：简单的倒推法问题知识点讲解 1例 1. 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。

这捆电线原来长多少米?我爱展示1.把一根绳子对半剪开，再取其中一段对半剪开，这样剪了四次，剩下的正好是1米，这根绳子原来长多少？2.（应元二中小升初真题）一桶油，每次倒掉油的一半，倒了三次后连桶重8千克，已知桶重3千克，原来桶里有油多少千克？3.（竞赛题）一根绳子第一次剪去4米，第二次剪去余下的一半还多2米，还剩下3米，原来这根绳子有（）米。

A、14B、20C、18知识点讲解 2例 1. 3个笼子里共养了36只兔子，如果从第一个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的兔子一样多。

求3个笼子里原来各养了多少只兔子？我爱展示1.王老师说：“把我的年龄减去2，除以5，加上8，乘6，正好是72.”同学们，你能推算出王老师今年多大吗？2.（竞赛试题）一个数减去2再加上3，再乘2，最后再除以3是6这个数是多少？（）A、18B、10C、83.同样重，三桶油原来各种多少千克？知识点讲解 3例 1. 甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。

倒推法的妙用1、小明问李老师今年多大年纪，李老师说：“把我的年纪加上9，除以4，减去2，再乘3，恰好是30岁。

”你知道李老师今年多少岁吗？2、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘2，结果得60，求这个数。

3、«小学生数学报»少年数学爱好者俱乐部成立的份数加上2后，缩小100倍，再扩大4倍，最后减去25，正好是55。

这个俱乐部成立于哪一年？4，粮库内有一批大米第一次运出总数的一半多3吨,第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨，问粮库原有大米多少吨？5、某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台下午售出剩下的一半多20台，还剩95台，这个商场原来有洗衣机多少台？6 、某水果店卖菠萝，第一次卖掉总数的一半多2个第二次卖掉剩下的一半多1个，第三天卖掉第二次卖后剩下的一半多1个这时只剩下1一个菠萝。

三次共卖得48元，求每个菠萝多少元？7、甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张，如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年卡张数刚好相同。

问甲、乙、丙三个小朋友原来各有贺年卡多少张？8、小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。

如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。

这三个人原有故事书多少本？9、甲、乙两个车站共停了195辆汽车，如果从甲站开往乙站36辆，又从乙站开出45辆汽车，这时乙站停的汽车辆数是甲站的2倍。

原来甲、乙两站各停放多少辆汽车？10、王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮，这时两个人都有24张，问王亮和李强原来各有画片多少张？11、书架上分上中下三层，共放192本，现从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后，从下层取出与上层剩下的同样多的数放到上层，这时三层书架所放的书本数相等，这个书架上中下各层原来各有多少本书？12、猴妈妈摘来一筐桃，将它们3等分后还剩2个桃；取出其中2份，将它们3等分后还剩2个；然后再取出其中2份，又将这2份3等分后还剩2个，猴妈妈至少摘了多少个桃？13、有一盒奶糖，把它们4等分后还剩1粒，取走3份又1粒，剩下的再4等分又剩1粒，再取走其中的3份又1粒；剩下的再4等分后剩下1粒。