人教A版高中数学必修三练习：第三章 概率3.1.3 概率的基本性质含答案

分层训练·进阶冲关A组基础练( 建议用时 20 分钟)1.一组试验仅有四个互斥的结果 A,B,C,D, 则下边各组概率可能建立的是( D )A.P(A)=0.31,P(B)=0.27,P(C)=0.28,P(D)=0.35B.P(A)=0.32,P(B)=0.27,P(C)=0.06,P(D)=0.47C.P(A)= ,P(B)= ,P(C)=,P(D)=D.P(A)=,P(B)= ,P(C)=,P(D)=2.给出以下结论 :①互斥事件必定对峙 .②对峙事件必定互斥 .③互斥事件不必定对峙 .④事件 A与 B 的和事件的概率必定大于事件A的概率 .⑤事件 A与 B 互斥 , 则有 P(A)=1-P(B).此中正确命题的个数为( C )A.0B.1C.2D.33.1 人在打靶中连续射击 3 次, 事件“起码有 1 次中靶”的对峙事件是( C )A. 起码有 3 次中靶B.3 次都中靶C.3 次都不中靶D.恰有 1 次中靶4.从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球 , 那么 , 互斥而不对峙的事件是 ( D )A. 起码有一个红球与都是红球B.起码有一个红球与都是白球C.起码有一个红球与起码有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球5. 现有语文、数学、英语、物理和化学共 5 本书 , 从中任取 1 本, 拿出的是理科书的概率为( C )A. B. C. D.6.某工厂的产品中 , 出现二级品的概率是 7%,出现三级品的概率是 3%, 其他都是一级品和次品 , 并且出现一级品概率是次品的9 倍, 则出现一级品的概率是( A )7.一商铺有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项 , 此中中一等奖的概率为 0.1, 中二等奖的概率为0.25, 则不中奖的概率为0.65 . 8.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲竞赛 , 所选 3 人中起码有1 名女生的概率为, 那么所选 3 人中都是男生的概率为.9.从一箱产品中随机地抽取一件 , 设事件 A=“抽到一等品”, 事件B=“抽到二等品” , 事件 C=“抽到三等品” , 且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为 0.35 .10.一个口袋内装有大小同样的红球、白球和黑球, 从中摸出一个球, 摸出红球或白球的概率为0.58, 摸出红球或黑球的概率为0.62, 那么摸出红球的概率为0.2 .11.盒子里装有 6 个红球 ,4 个白球 , 从中任取 3 个球 . 设事件 A 表示“ 3 个球中有 1 个红球 ,2 个白球” , 事件 B 表示“ 3 个球中有 2 个红球 ,1个白球” . 已知 P(A)= ,P(B)= , 求“ 3 个球中既有红球又有白球”的概率 .【分析】记事件C 为“3 个球中既有红球又有白球”,则它包含事件A “3 个球中有 1 个红球 ,2 个白球”和事件 B“3 个球中有 2 个红球 ,1 个白球” ,并且事件 A 与事件 B 是相互互斥的 ,因此 P(C)=P(A ∪B)=P(A)+P(B)=+ = .12.在数学考试中 , 小明的成绩在 90 分以上的概率是 0.18, 在 80 分～ 89分的概率是 0.51, 在 70 分～ 79 分的概率是 0.15, 在 60 分～ 69 分的概率是 0.09, 在 60 分以下的概率是 0.07, 计算 :(1)小明在数学考试中获得 80 分以上成绩的概率 ;(2)小明考试及格的概率 .【分析】记小明的成绩“在 90 分以上”“在 80 分～ 89 分”“在 70 分～ 79 分”“在 60 分～ 69 分”分别为事件 A,B,C,D, 且这四个事件相互互斥 .(1)小明的成绩在 80 分以上的概率是 P(A ∪B)=P(A)+P(B)=0.18+0.51=0.69.(2)方法一 :小明及格的概率是 P(A ∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.方法二 :小明不及格的概率为0.07, 则小明及格的概率为1-0.07=0.93.B组提高练( 建议用时 20 分钟)13. 假如事件 A,B 互斥 , ,分别为事件A,B的对峙事件,那么( B )A.A∪B 是必定事件B.∪是必定事件C.与必定互斥D.与必定不互斥14.对一批产品的长度 ( 单位 :mm)进行抽样检测 , 下列图为检测结果的频次散布直方图 . 依据标准 , 产品长度在区间 [20,25) 上的为一等品 , 在区间[15,20) 和区间 [25,30) 上的为二等品 , 在区间 [10,15) 和[30,35) 上的为三等品 . 用频次预计概率 , 现从该批产品中随机抽取一件 , 则其为二等品的概率为 ( D )15.为保护世界经济次序 , 我国在亚洲经济论坛时期踊跃倡议反对地方贸易保护主义 , 并承诺包含汽车在内的入口商品将最多在 5 年内把关税所有降低到世贸组织所要求的水平 , 此中 21%的入口商品恰巧 5 年关税达到要求 ,18%的入口商品恰巧 4 年关税达到要求 , 其他入口商品将在 3年或 3 年内达到要求 , 则包含汽车在内的入口商品不超出 4 年的时间关税达到要求的概率为0.79 .16.甲射击一次 , 中靶概率是 P1, 乙射击一次 , 中靶概率是 P2, 已知 ,22是方程 x -5x+6=0的根 , 且 P 知足方程 x -x+ =0.1则甲射击一次 , 不中靶概率为;乙射击一次 , 不中靶概率为.17.假定向三个相邻的敌军军械库扔掷一枚炸弹 , 炸中第一个军械库的概率为 0.5, 炸中其他两个军械库的概率都为 0.1. 若只需炸中一个 , 此外两个也要发生爆炸 . 求军械库发生爆炸的概率 .【分析】设以 A,B,C 分别表示炸中第一、第二、第三个军械库这三个事件,于是P(A)=0.5,P(B)=P(C)=0.1. 又设D 表示军械库爆炸这个事件,则有 D=A ∪B∪C,此中 A,B,C 相互互斥 .( 由于只扔掷了一枚炸弹 , 因此不会同时炸中两个以上军械库 )因此 P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.5+0.1+0.1=0.7.18.以下图 , 靶子由一此中心圆面Ⅰ和两个齐心圆环Ⅱ、Ⅲ组成 , 射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为 0.35,0.30,0.25.(1)求射手没有命中圆面Ⅰ的概率 .(2)求射手命中圆面Ⅰ或圆环Ⅲ的概率 .(3)求射手没有命中靶的概率 .【分析】记射手命中圆面Ⅰ为事件 A, 命中圆面Ⅱ为事件 B, 命中圆面Ⅲ为事件 C,不中靶为事件 D, 则 A,B,C 互斥 .(1)记“射手没有命中圆面Ⅰ”为事件 E,则 E= .因此 P(E)=P( )=1-P(A)=1-0.35=0.65.(2)记“射手命中圆面Ⅰ或圆环Ⅲ”为事件 F,则 F=A+C. 因此P(F)=P(A+C)=P(A)+P(C)=0.35+0.25=0.60.(3)射手中靶的概率为 P(A ∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.由于中靶和不中靶是对峙事件,故不命中靶的概率为P(D)=1-P(A∪B ∪C)=1-0.90=0.10.C组培优练 ( 建议用时 15 分钟 )19.若随机事件 A,B 相互互斥 ,A,B 发生的概率均不等于 0, 且 P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是.20. 某医院派出医生下乡进行免费治疗, 派出医生人数及其概率以下:医生人数01234 5 人及以上概率0.10.16x y0.2z(1)若派出医生不超出 2 人的概率为 0.56, 求 x 的值 ;(2)若派出医生最多 4 人的概率为 0.96, 最少 3 人的概率为 0.44, 求 y,z 的值 .【分析】 (1) 由派出医生不超出 2 人的概率为 0.56,得 0.1+0.16+x=0.56,因此x=0.3.(2)由派出医生最多 4 人的概率为 0.96,得 0.96+z=1, 因此 z=0.04.由派出医生最少 3 人的概率为 0.44, 得y+0.2+z=0.44,因此 y=0.44-0.2-0.04=0.2.封闭 Word 文档返回原板块。

高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练一、 知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

第三章概率3.1.3 概率的基本性质一、选择题1．下列说法合理的是A．抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是16，意即每掷6次就有一次掷得点数6．B．抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率．C．某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为80%，是指明天本地有80%的区域下雨．D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大．【答案】B2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B【解析】某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：1–0.45–0.15=0.4．故选B．3．口袋中装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.43，摸出白球的概率是0.27，那么摸出黑球的概率是A．0.43 B．0.27 C．0.3 D．0.7【答案】C【解析】由题意，摸出黑球的概率是P=1–0.43–0.27=0.3．故选C．4．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是A．至多有1次中靶B．2次都中靶C．2次都不中靶D．只有1次中靶【答案】C【解析】由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，故选C．5．“弘雅苑”某班科技小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加学校科技艺术节“水火箭”比赛，那么互斥而不对立的两个事件是A．恰有1名男生和恰有2名男生B．至多有1名男生和都是女生C．至少有1名男生和都是女生D．至少有1名男生和至少有1名女生【答案】A【解析】“弘雅苑”某班科技小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加学校科技艺术节“水火箭”比赛，在A中，恰有1名男生和恰有2名男生是互斥而不对立的两个事件，故A正确；在B中，至多有1名男生和都是女生能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，至少有1名男生和都是女生是对立事件，故C错误；在D中，至少有1名男生和至少有1名女生能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选A．6．某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是A．“至少有1名女生”与“都是女生”B．“至少有1名女生”与“至多1名女生”C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D．“至少有1名男生”与“都是女生”【答案】C【解析】A中的两个事件是包含关系，故不符合要求；B中的两个事件之间有都包含一名女的可能性，故不互斥；C中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；D中的两个事件是对立事件，故不符合要求．故选C．7．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红、黑球各一个【答案】D【解析】选项A，“至少有一个白球“说明有白球，白球的个数可能是1或2，而“都是白球“说明两个全为白球，这两个事件可以同时发生，故A不互斥；选项B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球“与“至少有一个红球“均发生，故不互斥；选项C，“恰有一个白球“，表明黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球“不互斥；选项D，“至少一个白球“发生时，“红，黑球各一个“不会发生，故D互斥，不对立．故选D．8．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是3 10，那么概率是710的事件是A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡【答案】A9．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%．现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为A．15% B．20% C．45% D．65%【答案】D【解析】∵某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%．现在能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率50%+15%=65%，故选D．10．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是A．15B．310C．12D．35【答案】A【解析】由题意设这个班有100a 人，则数学不及格有15a 人，语文不及格有5a 人，都不及格的有3a 人，则数学不及格的人里含有3a 人语文不及格，所以已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率为：P =31155=．故选A ． 二、填空题11．假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，则军火库发生爆炸的概率____________． 【答案】0.225【解析】∵向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，∴军火库发生爆炸的概率p =0.025+0.1+0.1=0.225．故答案为：0.225． 12．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是____________． 【答案】0.25【解析】口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，设红、黄、白球各有a ，b ，c 个，∵从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，∴0.650.6a ca b cb c a b c +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，∴10.60.4a a b c =-=++，10.650.35ba b c=-=++，∴摸出白球的概率是P =1–0.4–0.35=0.25．故答案为：0.25．13．甲乙两人下棋，若甲获胜的概率为16，甲乙下成和棋的概率为13．则乙不输棋的概率为____________． 【答案】56【解析】∵甲乙两人下棋，甲获胜的概率为16，甲乙下成和棋的概率为13．∴乙不输棋的概率p =1–1566=．故答案为：56． 14．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为____________． 【答案】0.65【解析】敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，设A 表示“甲击中”，B 表示“乙击中”，由已知得P （A ）=0.3，P （B ）=0.5，∴敌机被击中的概率为：p =1–P （A ）P （B ）=1–（1–0.3）（1–0.5）=0.65．故答案为：0.65．15．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数0 1 2 3 4 ≥5概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是____________．【答案】0.74【解析】由表格可得至少有2人排队的概率P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74，故答案为：0.74．16．口袋内有一些大小相同的红球，白球和黑球，从中任摸一球摸出红球的概率是0.3，摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是____________．【答案】0.2【解析】从中任摸一球摸出红球、从中任摸一球摸出黑球、从中任摸一球摸出白球，这三个事件是彼此互斥事件，它们的概率之和等于1，故从中任摸一球摸出白球的概率为1–0.3–0.5=0.2，故答案为：0.2．三、解答题17．甲、乙、丙三位同学完成六道数学自测题，他们及格的概率依次为45、35、710，求：（1）三人中有且只有两人及格的概率；（2）三人中至少有一人不及格的概率．【解析】（1）设事件A表示“甲及格”，事件B表示“乙及格”，事件C表示“丙及格”，则P（A）=45，P（B）=35，P（C）=710，三人中有且只有2人及格的概率为：P1=P（AB C）+P（A B C）+P（ABC）=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）=43715510⎛⎫⨯⨯-⎪⎝⎭+43715510⎛⎫⨯-⨯⎪⎝⎭+（1–45）×37510⨯=113 250．（2）“三人中至少有一人不及格”的对立的事件为“三人都及格”，三人中至少有一人不及格的概率为：P2=1–P（ABC）=1–P（A）P（B）P（C）=1–43783 5510125⨯⨯=．18．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率为512，得到黄球或绿球的概率也为512，试求得黑球、黄球、绿球的概率分别为多少？【解析】袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，设事件A表示“取到红球”，事件B表示“取到黑球”，事件C表示“取到黄球”，事件D表示“取到绿球”，∵得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率为512，得到黄球或绿球的概率也为512，∴()()()()()()()()()()()135125121P AP B C P B P CP C D P D P CP A P B P C P D⎧=⎪⎪⎪+=+=⎪⎨⎪+=+=⎪⎪⎪+++=⎩，解得()()()()13116144P AP BP CP D⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩∴取得黑球、黄球、绿球的概率分别为111 464，，．19．某射击运动员在一次射击比赛中，每次射击成绩均计整数环且不超过10环，其中射击一次命中7～10环的概率如下表所示命中环数7 8 9 10概率0.12 0.18 0.28 0.32求该射击运动员射击一次，（1）命中9环或10环的概率；（2）命中不足7环的概率．。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作3.1.3概率的基本性质A 组一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C ．事件B A 、中至少有一个发生的概率一定比B A 、中恰有一个发生的概率大D ．事件B A 、同时发生的概率一定比B A 、中恰有一个发生的概率小2．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A.至少有一个黒球与都是红球B.至少有一个黒球与都是黒球C.至少有一个黒球与至少有1个红球D.恰有1个黒球与恰有2个黒球3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为（ ）A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.084．把红，黄，蓝，白4张纸牌随机地分发给甲，乙，丙，丁四个人，每人一张，则事件＂甲分得红牌＂与事件＂丁分得红牌＂是（ ）A ．不可能事件B ．互斥但不对立事件C ．对立事件D ．以上答案都不对5．从集合{}543,21,，，中随机取出一个数，设事件A 为“取出的数是偶数”， 事件B 为“取出的数是奇数”，则事件A 与B （ ）A ．是互斥且是对立事件B ．是互斥且不对立事件C ．不是互斥事件D ．不是对立事件6．从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）A. A 与C 互斥B. B 与C 互斥C. 任何两个均互斥D. 任何两个均不互斥7．一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶8．掷两颗相同的均匀骰子（各个面分别标有1，2，3，4，5，6），记录朝上一面的两个数，那么互斥而不对立的两个事件是（）A. “至少有一个奇数”与“都是奇数”B. “至少有一个奇数”与“至少有一个偶数”C．“至少有一个奇数”与“都是偶数”D．“恰好有一个奇数”与“恰好有两个奇数”9．出下列命题，其中正确命题的个数有（）①有一大批产品，已知次品率为010，从中任取100件，必有10件次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的；④若()()()1P A B P A P B=+=,则,A B是对立事件。

3.1.3 概率的基本性质课后篇巩固提升1.从1,2,3,…,9中任取两数,给出下列各组事件:①“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”;②“至少有一个奇数”和“两个都是奇数”;③“至少有一个奇数”和“两个都是偶数”;④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”.其中是对立事件的是( )A.①B.②④C.③D.①③1,2,3,…,9中任取两数,有以下三种情况:(1)两个奇数;(2)两个偶数;(3)一个奇数和一个偶数.所以仅有③中的两个事件不能同时发生且必有一个发生.2.对同一事件来说,若事件A是必然事件,事件B是不可能事件,则事件A 与事件B的关系是( )A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.不互斥、不对立,但必有一个发生,故事件A 与事件B的关系是互斥且对立.3.在一次数学考试(满分150分)中,某班学生的成绩在130分以上(含130分)的频率是0.1,在120~129分的频率是0.2,在110~119分的频率是0.4,在90~109分的频率是0.2,90分以下的频率是0.1,若认为成绩在110分以上(含110分)为优秀,则从该班学生中随机抽取一人,其成绩优秀的概率是( )A.0.8B.0.7C.0.6D.0.5,易得所求事件的概率为0.1+0.2+0.4=0.7.4.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g的概率为0.3,质量不超过4.85 g的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85]范围内的概率是( )A.0.62B.0.38C.0.02D.0.684.8g为事件A,质量不超过4.85g为事件B,在[4.8,4.85]范围内为事件C,则A∪C=B,又A与C互斥,所以P(A∪C)=P(A)+P(C)=P(B),即0.3+P(C)=0.32,所以P(C)=0.02.5.一个口袋中有若干大小相同的红球、黄球和蓝球,从中摸出一只球.摸出红球的概率为0.48,摸出黄球的概率为0.35,则摸出蓝球的概率为.0.48,摸出黄球的概率为0.35,∴摸出蓝球的概率为1-0.48-0.35=0.17.6.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25,则不命中靶的概率是.A,命中圆环Ⅱ为事件B,命中圆环Ⅲ为事件C,不中靶为事件D,则A、B、C互斥,故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.因为中靶和不中靶是对立事件,故不命中靶的概率为P(D)=1-P(A∪B ∪C)=1-0.90=0.10.7.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为.[25,30)对应矩形的另一边长为x,则所有矩形面积之和为1,即(0.02+0.04+0.06+x+0.03)×5=1,解得x=0.05.产品为二等品的概率为0.04×5+0.05×5=0.45.8.袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球.从中任取1球,得到红球的概率为13,得到黑球或黄球的概率是512,得到黄球或绿球的概率也是512,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少?1球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”为A,B,C,D,则有P(B ∪C)=P(B)+P(C)=512;P(C ∪D)=P(C)+P(D)=512;P(B ∪C ∪D)=1-P(A)=1-13=23,解得P(B)=14,P(C)=16,P(D)=14. 答:得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14,16,14. 9.假设向三个相邻的敌军火库投掷一枚炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.5,炸中其余两个军火库的概率都为0.1.若只要炸中一个,另外两个也要发生爆炸.求军火库发生爆炸的概率.A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件,于是P(A)=0.5,P(B)=P(C)=0.1.又设D表示军火库爆炸这个事件,则有D=A ∪B∪C,其中A、B、C彼此互斥.(因为只投掷了一枚炸弹,所以不会同时炸中两个以上军火库)∴P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.5+0.1+0.1=0.7.。

课时训练17 概率的基本性质一、互斥事件与对立事件的判定1.抽查10件产品,设事件A:至少有两件次品,则A的对立事件为()A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品答案:B解析:利用对立事件的定义或利用补集思想.2.把标号为1,2,3,4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得一个.事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是()A.互斥但非对立事件B.对立事件C.相互独立事件D.以上都不对答案:A3.判断下列各对事件,是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张)中,任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.解:(1)是互斥事件,不是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.(2)既是互斥事件,又是对立事件.理由是:从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,且其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.(3)不是互斥事件,不是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.二、互斥事件的概率加法公式4.若A,B是互斥事件,则()A.P(A∪B)<1B.P(A∪B)=1C.P(A∪B)>1D.P(A∪B)≤1答案:D解析:∵A,B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B),若A,B互为对立事件,则P(A)+P(B)=1;若A,B不对立,则P(A)+P(B)<1,∴P(A∪B)≤1.5.某城市2015年的空气质量状况如下表所示:其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100时,空气质量为良;100<T≤150时,空气质量为轻微污染.该城市2015年空气质量达到良或优的概率为() A.B.C.D.答案:A解析:所求概率为.故选A.6.抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数不超过3”,求P(A∪B).下面给出两种不同解法:解法一:∵P(A)=,P(B)=,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)==1.解法二:∵A∪B这一事件包括四种结果,即出现1,2,3和5,∴P(A∪B)=.请判断解法一和解法二的正误.解:解法一是错误的,解法二是正确的.错解的原因在于忽视了互斥事件的概率加法公式应用的前提条件.由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”二者不是互斥事件,即出现1或3时,事件A,B同时发生,所以不能应用P(A∪B)=P(A)+P(B)求解.而解法二中,将A∪B分成出现“1,2,3”与“5”这两个事件,记出现“1,2,3”为事件C,出现“5”为事件D,则C与D两事件互斥,于是P(A∪B)=P(C∪D)=P(C)+P(D)=.故解法二正确.三、复杂事件的概率求法7.一枚壹元硬币连掷三次,事件A为“三次反面向上”,事件B为“恰有一次正面向上”,事件C为“至少两次正面向上”.写出事件A,B,C的概率P(A),P(B),P(C)之间的正确关系式是.答案:P(A)+P(B)+P(C)=1解析:事件A,B,C之间是互斥的,且又是一枚硬币连掷三次的所有结果.8.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别为0.24,0.28,0.19,那么这个射手在一次射击中,射中不够8环的概率为.答案:0.29解析:不够8环的概率为1-(0.24+0.28+0.19)=0.29.9.一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,那么摸出红球的概率为.答案:0.2解析:由题意知A=“摸出红球或白球”与B=“摸出黑球”是对立事件,又P(A)=0.58,所以P(B)=1-P(A)=0.42,又C=“摸出红球或黑球”与D=“摸出白球”也是对立事件, 因为P(C)=0.62,所以P(D)=0.38.设事件E=“摸出红球”,则P(E)=1-P(B∪D)=1-P(B)-P(D)=1-0.42-0.38=0.2.10.经统计某银行营业厅一个窗口等候的人数及相应的概率如下:(1)至多2人排队等候的概率是.(2)至少3人排队等候的概率是.答案:(1)0.56(2)0.44解析:记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A,B,C,则A,B,C彼此互斥.(1)至多2人排队等候的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)至少3人排队等候的概率为1-P(A∪B∪C)=1-0.56=0.44.(建议用时:30分钟)1.下列说法正确的是()A.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比事件A,B中恰有一个发生的概率大B.事件A,B同时发生的概率一定比事件A,B恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件答案:D2.抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的数是奇数”,事件B为“落地时向上的数是偶数”,事件C为“落地时向上的数是2的倍数”,事件D为“落地时向上的数是2或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是()A.A与BB.B与CC.A与DD.B与D答案:C解析:A与B是互斥事件且为对立事件,B与C是相等事件,A与D是互斥但不对立事件,B与D可能同时发生,不是互斥事件.3.从一批产品中取出3件产品,设事件A为“三件产品全不是次品”,事件B为“三件产品全是次品”,事件C为“三件产品不全是次品”,则下列结论正确的是()A.事件A与C互斥B.事件B与C互斥C.任何两个均互斥D.任何两个均不互斥答案:B解析:∵事件C包含三件产品中“三正”“二正一次”“一正二次”三种情况, ∴事件A,B互斥,事件B,C互斥且对立.4.某产品分甲、乙、丙三级,其中甲级属正品,乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则抽查一件产品抽得正品的概率为() A.0.09 B.0.98C.0.97D.0.96答案:D解析:∵某产品分甲、乙、丙三级,∴对产品抽查一件只可能是甲、乙、丙某一个等级.∴抽查一件产品得正品与得乙级或丙级是对立事件.∴抽查一件产品得正品的概率为1-(0.03+0.01)=0.96.5.如果事件A与B是互斥事件,且事件A∪B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率为()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8答案:C解析:由题意知P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8, ①P(A)=3P(B), ②解①②组成的方程组知P(A)=0.6.6.在10件产品中有8件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件A,则A的对立事件是.答案:“至少有一件是二级品”7.已知某台纺纱机在一小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别为0.8,0.12,0.05,则这台纺纱机在一小时内断头不超过2次的概率和断头超过2次的概率分别为,.答案:0.970.03解析:∵不超过2次和超过2次是对立事件,又不超过2次包含0次,1次,2次,∴不超过2次的概率为0.8+0.12+0.05=0.97.∴超过2次的概率为1-0.97=0.03.8.甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙胜的概率为,则甲胜的概率为.答案:解析:记甲胜为事件A,和棋为事件B,乙胜为事件C,由题意知P(B)=,P(C)=.∵事件A与事件B∪C互斥,∴P(A)=1-P(B∪C)=1-P(B)-P(C)=.故甲胜的概率为. 9.某学校成立了数学、英语、音乐三个课外兴趣小组,三个小组分别有39,32,33个成员,其中一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.从中随机选出一个成员,(1)他至少参加了2个小组的概率为;(2)他参加了不超过2个小组的概率为.答案:(1)(2)解析:由题设知,3个小组的总人数为6+7+8+8+11+10+10=60.只参加1个小组的人数为6+10+8=24,参加2个小组的人数为7+11+10=28,参加3个小组的人数为8.(1)“至少参加2个小组”包括“参加2个小组”和“参加3个小组”.所以至少参加2个小组的概率P=.(2)“参加了不超过2个小组”包括“参加1个小组”和“参加2个小组”.所以参加了不超过2个小组的概率P=.10.(2015北京高考,文17)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?解:(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙, 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为=0.2.(2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为=0.3.(3)与(1)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为=0.1.所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.。

第三章概率3.1 随机事件的概率3.1.3 概率的基本性质A级基础巩固一、选择题1．下列各组事件中，不是互斥事件的是( )A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数低于90分与平均分数高于90分C．播种菜籽100粒，发芽90粒与至少发芽80粒D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%答案：C2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，已知事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡解析：结合对立事件可知所求事件是“2张全是移动卡”的对立事件，即至多有一张移动卡．答案：A3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A．60% B．30%C．10% D．50%解析：甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.答案：D4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D解析：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，A∪C＝D＝(至少有一弹击中飞机)，不是必然事件；“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，B ∪D 为必然事件，所以A ∪C ≠B ∪D .答案：D5．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45解析：记“取到语文、数学、英语、物理、化学书”分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 彼此互斥，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的和．所以P (B ∪D ∪E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝15＋15＋15＝35. 答案：C二、填空题6．在掷骰子的游戏中，向上的点数为5或6的概率为______．解析：记事件A 为“向上的点数为5”，事件B 为“向上的点数为6”，则A 与B 互斥．所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝16×2＝13. 答案：137．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为45，那么所选3人中都是男生的概率为________． 解析：设A ＝{3人中至少有1名女生}，B ＝{3人都为男生}，则A ，B 为对立事件，所以P (B )＝1－P (A )＝15. 答案：158．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．解析：“射手命中圆面Ⅰ”为事件A ，“命中圆环Ⅱ”为事件B ，“命中圆环Ⅲ”为事件C ，“不中靶”为事件D ，则A 、B 、C 彼此互斥，故射手中靶的概率为P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P (D )＝1－P (A ∪B ∪C )＝1－0.90＝0.10.答案：0.10三、解答题9．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表所示．(1)(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y ，z 的值． 解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x ＝0.56，所以x ＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z ＝1，所以z ＝0.04.由派出医生至少3人的概率为0.44，得y ＋0.2＋z ＝0.44，所以y ＝0.44－0.2－0.04＝0.2.10．如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A )的概率是14，取到方块(事件B )的概率是14，问： (1)取到红色牌(事件C )的概率是多少？(2)取到黑色牌(事件D )的概率是多少？解：(1)因为C ＝A ∪B ，且A 与B 不会同时发生，所以事件A 与事件B 互斥，根据概率的加法公式得P (C )＝P (A )＋P (B )＝12.(2)事件C 与事件D 互斥，且C ∪D 为必然事件，因此事件C 与事件D 是对立事件，P (D )＝1－P (C )＝12. B 级 能力提升1．从1，2，…，9中任取两数：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③ 解析：从1，2，…，9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．至少有一个奇数是(1)和(3)，其对立事件显然是(2)．答案：C2．事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P (A )＝2P (B )，则P (A －)＝________． 解析：P (A )＋P (B )＝1－25＝35， 又P (A )＝2P (B )，所以P (A )＝25，P (B )＝15. 所以P (A －)＝1－P (A )＝35. 答案：353．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A 、B 、C 能答对题目的概率分别为P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，诸葛亮D 能答对题目的概率为P (D )＝23，如果将三个臭皮匠A 、B 、C 组成一组与诸葛亮D 比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？解：如果三个臭皮匠A 、B 、C 能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝4760>P (D )＝23，故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮；如果三个臭皮匠A 、B 、C 能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1.下列正确的结论是()A.事件A的概率P(A)的值满足0＜P(A)＜1B.如P(A)＝0.999，则A为必然事件C.灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为99%D.如P(A)＝0.001，则A为不可能事件解析：根据必然事件和不可能事件的概念知，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，从而排除A、B、D，故选C.答案： C2.根据某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，AB型5%，B型30%.现有一血型为O型的病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为()A.50%B.15%C.45%D.65%解析：仅有O型血的人能为O型血的人输血.答案： A3.事件A发生的概率接近于0，则()A.事件A不可能发生B.事件A也可能发生C.事件A一定发生D.事件A发生的可能性很大解析：不可能事件的概率为0，但概率接近于0的事件不一定是不可能事件.答案： B4.甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是()A.抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲获胜，向上的点数为偶数则乙获胜B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲获胜，两枚都正面向上则乙获胜C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲获胜，扑克牌是黑色的则乙获胜D.甲、乙两人各写一个数字1或2，如果两人写的数字相同则甲获胜，否则乙获胜解析： B 中，同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率为12，两枚都正面向上的概率为14，所以对乙不公平. 答案： B二、填空题(每小题5分，共15分)5.利用简单抽样法抽查某校150名男学生，其中身高为1.65米的有32人，若在此校随机抽查一名男学生，则他身高为1.65米的概率大约为 (保留两位小数).解析： 所求概率为32150≈0.21. 答案： 0.216.某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为 Ｗ.①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.解析： 射中的概率是90%说明中靶的可能性，即中靶机会是90%，所以①不正确，②正确.答案： ②7.玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一步，玲玲对倩倩说：“拿一个飞镖射向如图所示的靶中，若射中区域所标的数字大于3，则我先走第一步，否则你先走第一步”.你认为这个游戏规则公平吗？答： Ｗ.解析： 如题图所示，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域则只有3个，所以玲玲先走的概率是58，倩倩先走的概率是38.所以不公平. 答案： 不公平三、解答题(每小题10分，共20分)8.已知5张票中有1张为奖票，5个人按照顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的奖票，那么，先抽还是后抽(后抽人不知道先抽人抽出的结果)，对每个人来说公平吗？解析： 公平，即每个人抽到奖票的概率相等.说明如下：不妨把问题转化为排序问题，即把5张票随机地排列在位置1，2，3，4，5上，对于这张奖票来说，由于是随机排列，因此它的位置有5种可能，故它排在任一位置上的概率都是15.5个人按排定的顺序去抽，比如甲排在第三位上，那么他抽得奖票的概率，即奖票恰好排在第三个位置上的概率为15，因此，不管排在第几个位置上去抽，在不知前面的人抽出的结果的前提下，得到奖票的概率都是15. 9.平面直角坐标系中有两个动点A 、B ，它们的起始坐标分别是(0，0)、(2，2)，动点A 、B 从同一时刻开始每隔一秒钟向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动1个单位.已知动点A 向左、右移动1个单位的概率都是14，向上、下移动1个单位的概率分别是13和p ；动点B 向上、下、左、右移动1个单位的概率都是q .求p 和q 的值.解析： 由于动点A 向四个方向移动是一个必然事件，所以14＋14＋13＋p ＝1， 所以p ＝16；同理可得q ＝14.。