第5章 控制系统的频域分析时域分析法具有直观、准确的优点，主要用于分析线性系统的过渡过程。
如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。
然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。
而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不容易实现。
本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。
频域法是通过分析不同谐波的输入时系统的稳态响应，故又称为频率响应法。
利用此方法，将传递函数从复域引到具有明确物理概念的频域来分析系统的特性。
频率分析的优点较多。
首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。
其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。
因而可以根据频率特性曲线的形状去确定系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求，并且可以同时确定系统工作的频率范围。
此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。
这对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，采用频率特性可以较方便地解决此类问题。
因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。
控制系统的时域分析法和频域分析法，作为经典控制理论的两个重要组成部分，既相互渗透，又相互补充，在控制理论中占有重要地位。
频率特性具有较强的直观性和明确的物理意义，可用实验的方法测量系统的频率响应，因此，频率特性分析的方法在控制工程中广泛应用。
频率特性的定义是以输入信号为谐波信号给出的。
当输入信号为周期信号时，可将其分解为叠加的频谱离散的谐波信号；当输入信号为非周期信号时，可将非周期信号看成周期为无穷大的周期信号，因此，非周期信号分解为叠加的频谱连续的谐波信号。
这样一来，就可用关于系统对不同频率的谐波信号的响应特性研究，取代关于系统对任何信号的响应特性的研究。
5.1频率特性概述5.1.1频率特性的基本概念1频率响应：线性定常控制系统或元件对正弦输入信号（或谐波信号）的稳态正弦输出响应称为频率响应。
为了说明频率响应，先看一个RC 电路，如图5-1（R-C 电路）所示。
设电路的输入、输出电压分别为()r u t 和()c u t ，电路的传递函数为()1()()1c r U s G s U s Ts ==+ 式中，RC T =为电路的时间常数。
若给电路输人一个振幅为X 、频率为ω的正弦信号C)t (u r )t (u c 图5-1 R-C 电路即：()sin r u t X t ω= (5-1)当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为2211()()11c r X U s U s Ts Ts s ωω==⋅+++ 对上式取拉氏反变换，得出输出时域解为()22()arctan 1t T c XT u t e t T T ωωωω-=+-+上式右端第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。
当∞→t 时，第一项趋于0，电路稳态输出为 ()()ϕωωωω+=-+=t sin B T arctan t sin T X )t (u cs 221 （5-2）式中，221ωT X B +=为输出电压的振幅；ϕ为)(t u c 与)(t u r 之间的相位差。
式(5-2)表明：R-C 电路在正弦信号)(t u r 作用下，过渡过程结束后，输出的稳态响应仍是一个与输入信号同频率的正弦信号，只是幅值变为输入正弦信号幅值 的2211ωT +倍，相位则滞后了ωT arctan 。
上述结论具有普遍意义。
事实上，一般线性系统(或元件)输人正弦信号t X t x ωsin )(=的情况下，系统的稳态输出（即频率响应）)sin()(ϕω+=t Y t y 也一定是同频率的正弦信号，只是幅值和相位不一 样。
如果对输出、输入正弦信号的幅值比X Y A =和相位差ϕ作进一步的研究，则不难发现，在系统结构参数给定的情况下，A 和ϕ仅仅是ω的函数，它们反映出线性系统在不同频率下的特性，分别称为幅频特性和相频特性，分别以)(ωA 和)(ωϕ表示。
2频率特性：线性定常系统在正弦输入信号的作用下，其稳态输出（频率响应）的幅值与输入信号的幅值比称为幅频特性，记作0()()()i X A X ωωω=；输出信号与输入信号的相位之差称为相频特性，记作()ϕω；它们都是频率ω的函数，两者合称为系统的频率特性，记作()()A ωϕω∠或()()j A e ϕωω。
也就是说频率特性定义为ω的复变函数，其幅值为()A ω，相位为()ϕω。
3频率特性和传递函数的关系 设线性定常系统的传递函数为m)(n a s a s a s a b s b s b s b s)(X s)(X ＝s)(G 011n 1n n n 011m 1m m m i 0≥++++++++=----有 (s)X )s (s )s )(s s (s a ）b s b s b s b （(s)X i n 21n011m 1m m m 0---++++=-- （5-3）当给系统输入正弦波信号时，即i i x (t)X sin ωt =，则 22i i ωs ωX (s)＝X +， 代入（5-3）式，可得系统输出为22i n 21n 011m 1m m mo ωs ωX )s (s )s )(s s (s a ）b s b s b s （b (s)＝X +---++++-- )j ωs b j ωs b ()s (s a ＝n1i i i -+++-∑= （5-4）式中，i s 为系统特征方程的根，i a 、b 、b （b 为b 的共轭复数）为待定系数。
对式（5-4）进行拉氏反变换，得系统输出为()t j t j ni t s i o e b be e a t x i ωω++=-=∑1)( （5-5）对于稳定系统而言，上式中第一部分为瞬态响应。
由于系统特征根s i 均具有负实部，故当时间t →∞时，瞬态响应趋近于零；第二部分为稳态响应，用)(t x os 表示t j t j os e b be t x ωω+=-)( （5-6）其中，b 、b 由待定系数法求得，()2)(2)()())(()(j e A X j j G X j s j s j s X s G b j i i j s i ωϕωωωωωωω--=---=++-＝＝()2)(2)()())(()(j e A X j j G X j s j s j s X s G b j i i j s i ωϕωωωωωωω＝＝=-+-= 将b 、b 代入式（5-6）中，则系统稳态响应为：[][]()()[]ωωωωωϕωωϕωj G t X j G j e e A X t x i t j t j i os ∠+=+=+-+sin 2)()()()(由欧拉公式可得[])(sin )(ωϕω+=t X t x o os （5-7）式（5-7）表明，线性系统在正弦信号作用下，其输出量的稳态分量的频率与输入信号相同，其幅值)(ωA X X i o ＝，相位差为)(ωϕ，即)()(ωωj G A ＝，)()(ωωϕj G ∠=。
因)()()(ωωωj G j G j G ＝∠，所以)(ωj G 为系统的频率特性，而)(ωj G 可直接将)(s G 中的s 以j ω代之而得到。
这就说明了传递函数与频率特性之间的关系。
4频率特性的表达方式系统的频率特性函数是一种复变函数，其矢量图如图5-2所示，可用以下几种方式表示：（我不太明白，你看看是什么意思。
公式中并没有矢量，而是通过幅值和相位来表示的。
如果是图中问题的话，没有办法编辑，你重新画吧。
）① 代数式 )()(ωωωjV U j G +=）（ 式中：)(ωU 为实频特性，)(ωV 为虚频特性。
幅频特性 ()()22)()()()(ωωωωV U j G A +=＝相频特性 )()()()(ωωωωϕU V arctgj G -=∠＝ ② 三角函数式[])(sin )(cos )(ωϕωϕωωj A j G +=）（ ③ 极坐标式 )()(ωϕωω∠=A j G ）（④ 复指数式 )()(ωϕωωj e A j G =）（图5-2 频率响应矢量图5频率特性的特点和作用频率特性分析方法广泛应用于机械、电气、流体传动等各种系统中，是分析线性定常系统的基本方法之一。
系统的频率特性有几下特点：① 系统频率特性就是单位脉冲响应函数()t ω的傅里叶变换，即()t ω的频谱。
所以，对系统频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析，F[()t ω]＝G （j ω）。
② 时间响应分析主要用于分析线性系统的过渡过程，以获得系统的动态特性，而频率特性分析则通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应，以获得系统的动态特性。
③ 在研究系统的结构及参数的变化对系统性能的影响时，许多情况下，频域分析法比时域分析法要容易些。
④ 若研究系统的阶次较高，特别是对于不能用解析法求得微分方程的系统，在时域中分析系统，时域分析进行比较困难。
而采用频率特性分析可以较方便地解决此问题。
⑤ 若系统在输入信号的同时，在某些频带中有严重的噪声干扰，则对系统采用频率特性分析法可以设计出合适的通频带，以抑制噪声的影响。
由此可见，在经典控制理论中，频域分析法比时域分析法更有优势。
5.1.2频率特性的求取及表示方法频率特性求取内容主要包括其相频特性与幅频特性，一般有三种方法求取。
1）定义法 如果已知系统的微分方程，可将输入变量以正弦函数代入，求系统输出变量的稳态解（频率响应），输出变量的稳态解与输入变量的复数比即为系统的频率特性函数。
2）j ω替代法 如果已知系统的传递函数，可将系统传递函数中的s 以j ω替代，即可得到系统的频率特性函数。
3）试验法 这是对实际系统求取频率特性的一种常用而又重要的方法。
根据频率特性的定义，首先，保持输入正弦信号的幅值和初相角不变，只改变频率ω，测出输出信号的幅值和相位角。
然后，作出幅值比-频率ω的函数曲线，此即幅频特性曲线()A ω；作出相位差-频率ω的函数曲线，此即相频特性曲线()ϕω。
例5-1 已知系统的传递函数1+=Ts Ks G ）（，求其频率特性。
解法1） 定义法因()sin i i x t X t ω=，则22ωω+s X s X i i ）＝（所以221)()(ωω++=s X Ts Ks X s G s X i i o ）＝（ 拉氏反变换得 )sin(112222ωωωωωarctgT t T K X e T KT X t x i T ti o-+++=-）（ 式中，第一项为瞬态分量，第二项为稳态分量。
依据定义得系统的幅频特性为221ωωT K A +=）（，系统的相频特性为 ωωϕarctgT －）（= 解法2）j ω替代法 系统的频率特性为2)(1)1)(1()1(1ωωωωωωωωT jTK K jT jT jT K jT K s G j G j s +-=-+-=+===）（）（幅频特性221)()(ωωωT K j G A +==相频特性ωωωφarctgT j G -=∠=)()(。
