高一数学第三次月考试题

高一数学上学期第三次月考试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：必修第一册第一章~第四章。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}(){}1,2,3,,,,A B x y x A y A x yA ==∈∈-∈∣中所含元素的个数为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．82．已知命题2:,+2+3>0p x ax x ∀∈R .若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣B ．103a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣C ．13a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣D ．13a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣ 3．已知函数()22132f x x +=+，则()3f 的值等于（ ）A ．11B ．2C ．5D ．1- 4．函数122x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞ C ．[]1,0- D ．[]0,15．设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b 6．函数22()log f x x x m =++在区间()2,4上存在零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),18-∞-B ．(5,)+∞C ．(5,18)D ．()18,5--7．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为()()0,1,01kx b P f x P a k a +=>><+的形式．已知()()613kx bf x x +=∈+N 描述的是一种果树的高度随着栽种时间x （单位：年）变化的规律，若刚栽种（x ＝0）时该果树的高为1.5m ，经过2年，该果树的高为4.5m ，则该果树的高度不低于5.4m ，至少需要（ ）A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年 8．已知两个正实数x ，y 满足1x y +=，则4xy x y +的最大值是（ ） A ．16 B ．19 C ．6 D ．9二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．若0a b >>，则下列不等式中一定不成立的是（ ）A ．11b b a a +>+ B ．11a b a b +>+ C ．11a b b a +>+ D ．22a b a a b b+>+ 10．在同一直角坐标系中，函数23y x ax a =++-与x y a =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数3()1f x x x =++，则（ ）A ．()f x 在R 上单调递增B ．()f x 是奇函数C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．()f x 的值域为R12．已知函数()21,25,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =在3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]0,3 B ．若实数,,a b c 满足a b c <<且()()()f a f b f c ==，则22a c b c +++的取值范围是()32,64C ．∃实数()0,3m ∈，关于x 的方程()()()210f x m f x m +--=恰有五个不同实数根D ．∀实数()2,3t ∈，关于x 的方程()()f f x t =有四个不同实数根第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知幂函数()y f x =的图象过点116,64⎛⎫ ⎪⎝⎭，则14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 14．关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()1,3，则二次函数()2f x cx bx a =++的单调增区间为 ．15．已知函数3222022236()3x x x f x x +++=+，且()14f a =，则()f a -的值为 ． 16．设函数()1,01,0x x x f x x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则满足条件“方程()f x a =有三个实数解”的实数a 的一个值为 .程或演算步骤．17．计算下列各式．(1)212343270.000127()8--+ (2)74log 232327log lg 25lg 47log 3log 43++++⨯. 18．设集合1|2432x A x -⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}22|3210B x x mx m m =-+--<. （1）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；（2）若B =∅，求m 的取值范围；（3）若A B ⊇，求m 的取值范围.19．已知21()f x ax x =+，其中a 为实数.（1）当2a =时，证明函数()y f x =在[]1,2上是严格增函数；（2）根据a 的不同取值，判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由.20．某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：()()212kt x b p --=，其中,k b 均为常数.当关税税率75%t =时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件.（1）试确定,k b 的值.（2）市场需求量q (单位：万件)与市场价格x (单位：千元)近似满足关系式：2x q -=，当p q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值.21．给出下面两个条件：①函数()f x 的图象与直线1y =-只有一个交点；②函数()f x 的两个零点的差的绝对值为2. 在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数()f x 的解析式确定.已知二次函数()2f x ax bx c =++满足()()121f x f x x +-=-，且______. (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()()213232x x g x t f =--⨯-有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.22．已知函数44()log (1)log (3)f x x x =++-．(1)求f (x )的定义域及单调区间．(2)求f (x )的最大值，并求出取得最大值时x 的值．(3)设函数4()log [(2)4]g x a x =++，若不等式f (x )≤g (x )在(0,3)x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围．。

2022-2023学年高一第三次月考数学考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,4M =，{}2,3N =，则集合{}5,6等于（）A.M N⋃ B.M N ⋂C.()()U U M N D.()()U U M N 2.“=1x -”是“20x x +=”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.复数()231i i +=A.2 B.－2 C.2i D.-2i4.如图所示，用符号语言可表达为（）A.m αβ= ，n ⊂α，m n A= B.m αβ= ，n α∈，m n A = C.m αβ= ，n ⊂α，A m ⊂，A n ⊂ D.m αβ= ，n α∈，A m ∈，A n∈5.已知向量()1,2AB =- ，(),5BC x =- ，若7AB BC ⋅=- ，则AC = （）A.5B.42C.6D.52 6.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且,BD CD AB BD CD ⊥==，则直线AC 与平面ABD 所成角的正切值是（）A.2B.22 C.3 D.337.在ABC ∆中，已知222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，且满足4ab =，则ABC ∆的面积为A.1B.2C.2D.38.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则函数()()f x g x 的最大值为（） A.224+ B.3 C.34 D.34二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．每小题有多项符合题目要求）9.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为22πR B.圆锥的侧面积为22πR C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱､圆锥､球的体积之比为3:1:210.下列命题正确的是（）A 平面//α平面β，一条直线a 平行与平面α，则a 一定平行于平面βB.平面//α平面β，则面α内的任意一条直线都平行于平面βC.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线11.下列说法正确的序号是（）A.偶函数()f x 的定义域为[]21a a -，，则1=3a B.一次函数()f x 满足()()43f f x x =+，则函数()f x 的解析式为()1f x x =+C.奇函数()f x 在[]24，上单调递增，且最大值为8，最小值为1-，则()()24215f f -+-=-D.若集合2{|420}A x ax x =-++=中至多有一个元素，则2a ≤-12.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==．下列说法正确的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积最大为23D.过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF AC ⊥于点F ，则1EF A B⊥三、填空题（本题共4小题，共20.0分）13.已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m =r ．若向量a b + 与a 垂直，则m =________．14.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为2143R π.设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V ，下部分（半球）的体积为2V ，则12V V 的值是__.15.下列说法中，所有正确说法的序号是______．①终边落在y 轴上的角的集合是π,2k k θθ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ；②函数π2cos 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭；③函数sin y x =在第一象限是增函数；④为了得到函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数cos y x =的图象向右平移π6个单位长度．16.函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ､N 两点，且M 在y 轴上，圆的半径为512π，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知z 为复数，2i z -和2iz +均为实数，其中i 是虚数单位.（1）求复数z ；（2）若复数12i z z m m =++对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.18.已知()22sin ,cos a x x = ，(3cos ,2)b x = ，()f x a b =⋅ ．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．19.已知四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，3PA =，∠ACB ＝90°．（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）求直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值．20.已知两个非零向量a 与b 不共线，（1）若,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=- ，求证：A ､B ､D 三点共线；（2）试确定实数k ，使得ka b + 与k +a b 共线；（3）若(1,2),(1,1),a b c a b λ===+ ，且b c ⊥ ，求实数λ的值.21.如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1,CD ＝3，cos B ＝33.(1)求△ACD 的面积；(2)若BC ＝23，求AB 的长．22.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，H 在BD 上.（1）证明：//AP GH ；（2）若AB 的中点为N ，求证：//MN 平面APD .2022-2023学年高一第三次月考数学考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．每小题有多项符合题目要求）【9题答案】【答案】CD【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AC【12题答案】【答案】ABD三、填空题（本题共4小题，共20.0分）【13题答案】【答案】7【14题答案】【答案】2.【15题答案】【答案】②④【16题答案】【答案】4π四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【17题答案】【答案】（1）42iz =+（2）41m -<<【18题答案】【答案】（1）最小正周期为π，单调减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为3，最小值为0．【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）34【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）1k =±（3）32λ=-【21题答案】【答案】(1)2；（2）4.【22题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.。

高一下学期第三次月考数学试卷（附含答案）试卷满分150分（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.下列说法正确的是（ ） A.经过三点有且只有一个平面 B.经过一条直线和一个点有且只有一个平面 C.四边形是平面图形D.经过两条相交直线有且只有一个平面2.在ABC △中，AC=1，AB =和BC=3，则ABC △的面积为（ ）D.3.设m ，n 是两条不同的直线，α和β是两个不同的平面（ ） A.若m n ⊥ n α∥，则m α⊥B.若m β∥βα⊥，则m α⊥C.若m β⊥ n β⊥ n α⊥，则m α⊥D.若m n ⊥ n β⊥ βα⊥，则m α⊥4.在ABC △中4a = 3b = 2sin 3A =，则B =（ ） A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π5.如图 在长方体1111ABCD A B C D -中2AB = 11BC BB == P 是1A C 的中点，则直线BP 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A.13C.36.某车间需要对一个圆柱形工件进行加工 该工件底面半径15cm 高10cm 加工方法为在底面中心处打一个半径为cm r 且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r 的值应设计为（ ）cmC.4D.57.已知在ABC △中2B A C =+ 2b ac =，则ABC △的形状是（ ） A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形8.与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为 侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ）22C.D.二、多项选择题（本大题共4小题 每小题5分 共计20分.在每小题给出的四个选项中至少有两个是符合题目要求的 请把答案填写在答题卡相应位置上）9.如图 已知正方体1111ABCD A B C D - M N 分别为11A D 和1AA 的中点，则下列四种说法中正确的是（ ）A.1C M AC ∥B.1BD AC ⊥C.1BC 与AC 所成的角为60°D.CD 与BN 为异面直线10.在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c 下列关系式恒成立的是（ ） A.cos cos c a B b A =⋅+⋅B.22sin1cos 2A BC +=+ C.()22cos cos a b c a B b A -=⋅⋅-⋅D.tan tan tan 1tan tan A BC A B+=-11.如图 在正四棱锥S ABCD -中E M N 分别是 BC CD SC 的中点 动点P 在线段MN 上运动时 下列四个结论恒成立的是（ ）A.EP AC ⊥B.EP BD ∥C.EP ∥平面SBDD.EP ⊥平面SAC12.如图 在正方体1111ABCD A B C D -中M 、N 分别为正方形ABCD 、11BB C C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A.平面1D MN 与11B C 的交点是11B C 的中点B.平面1D MN 与BC 的交点是BC 的三等分点C.平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点D.平面1D MN 将正方体1111ABCD A B C D -分成的两部分的体积之比为1：1三、填空题（本大题共4小题 每小题5分 共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.在ABC △中若4AB = 7AC = BC 边的中线72AD =，则BC =______.14.已知圆锥的顶点为P 底面圆心为O 高为1 E 和F 是底面圆周上两点 PEF △面积的最大值为______.15.正四棱台的上、下底面的边长分别为2 4 侧棱长为2，则其体积为______.16.过正方体1111ABCD A B C D -顶点A 作平面α 使α∥平面11A B CD 11A D 和11D C 的中点分别为E 和F ，则直线EF 与平面α所成角为______.四、解答题（本大题共6小题 共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）一个几何体由圆锥和圆柱组成 其尺寸如图所示. （1）求此几何体的表面积；（2）如图 点P Q 在几何体的轴截面上 P 为所在母线中点 Q 为母线与底面圆的交点 求在几何体侧面上 从P 点到Q 点的最短路径长.18.（本题满分12分）在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c cos cos 3cos b A a B c A +=.（1）求cos A ；（2）若2a = 求ABC △面积的最大值.19.（本题满分12分）已知正三棱柱111ABC A B C -中2AB = M 是11B C 的中点. （1）求证：1AC ∥平面1A MB ；（2）点P 是直线1AC 上的一点 当1AC 与平面ABC 所成的角的正切值为2时 求三棱锥1P A MB -的体积.20.（本题满分12分）在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c 已知cos cos b A a B b c -=-. （1）求A ；（2）若点D 在BC 边上 且2CD BD = cos B =求tan BAD ∠. 21.（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中90ABC ACD ∠=∠=︒ 30BCA CDA ∠=∠=︒ PA ⊥平面ABCD E F 分别为PD PC 的中点 2PA AB =. （1）求证：平面PAC ⊥平面AEF ； （2）求二面角E AC B --的余弦值.22.（本题满分12分）如图 在一条东西方向的海岸线上的点C 处有一个原子能研究所 海岸线北侧有一个小岛 岛上建有一个核电站.该岛的一个端点A 位于点C 的正北方向处 另一个端点B 位于点A 北偏东30°方向 且与点A 相距10km 研究所拟在点C 正东方向海岸线上的P 处建立一个核辐射监测站. （1）若4km CP = 求此时在P 处观察全岛所张视角APB ∠的正切值； （2）若要求在P 处观察全岛所张的视角最大 问点P 应选址何处？参考答案17.（1）由题设 此几何体是一个圆锥加一个圆柱 其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和.圆锥侧面积())21122S a a π=⨯⨯=；圆柱侧面积()()22224S a a a ππ=⨯=；圆柱底面积23S a π=∴几何体表面积为)222212345S S S S a a a a πππ=++=++=.（2）沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面 展开如图.则PQ ===∴P 、Q 两点间在侧面上的最短路径长为. 18.（1）因为cos cos 3cos b A a B c A +=由正弦定理得sin cos cos sin 3sin cos B A B A C A += ∴()sin 3sin cos A B C A +=∴sin 3sin cos C C A =.在ABC △中sin 0C ≠ ∴1cos 3A =；（2）由（1）知1cos 3A =由22sin cos 1A A += A 为锐角 得sin A =由余弦定理可知222123b c a bc +-= 因为2a =∴2233122b c bc +-= ∴22212336bc b c bc +≥=+ 即3bc ≤ 当且仅当b c ==所以1sin 2ABC S bc A =≤△ ABC △. 19.（1）证明：连接1AB 交1A B 于点N 连接MN因为四边形11AA B B 为平行四边形 11AB A B N ⋂=，则N 为1AB 的中点 因为M 为11B C 的中点，则1MN AC ∥∵1AC ⊂/平面1A MB MN ⊂平面1A MB 故1AC ∥平面1A MB . （2）因为1CC ⊥平面ABC ∴1AC 与平面ABC 所成的角为1CAC ∠因为ABC △是边长为2的等边三角形，则2AC =∵1CC ⊥平面ABC AC ⊂平面ABC ∴1CC AC ⊥，则11tan 2CC CAC AC ∠==所以 124CC AC ==∵1AC ∥平面1A MB 1P AC ∈ 所以点P 到平面1A MB 的距离等于点1C 到平面1A MB 的距离因为M 为11B C 的中点，则11111211222A MC A B C S S ===△△则1111111111433A P A MB C A MB B A C M C M V V V BB S ---===⋅=⨯=△.20.（1）解：因为cos cos b A a B b c -=-由余弦定理可得22222222b c a a c b b a b c bc ac +-+-⋅-⋅=-化简可得222b c a bc +-= 由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==因为0A π<< 所以 3A π=.（2）解：因为cos B =，则B 为锐角 所以 sin 3B ===因为A B C π++= 所以 23C B π=-所以22211sin sin sin cos cos sin 333232326C B B B πππ⎛⎫=-=-=⨯+⨯=+⎪⎝⎭设BAD θ∠=，则23CAD πθ∠=-在ABD △和ACD △中由正弦定理得sin sin BD AD B θ==sin sin 3CD AD C πθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭因为2CD BD =(3sin 3πθθ⎛⎫-=⎪⎝⎭(1sin 3sin 22θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sin θθ=+所以tan tan BAD θ∠===21.（1）由题意 设AB a =，则2PA AC a == 4AD a =CD =∴PD == 又PA ⊥平面ABCD AC ⊂面ABCD∴PA AC ⊥，则在Rt PAC △中PC =在PCD △中222CD PC PD +=，则CD AC ⊥ 又CD ⊂面ABCD 有PA CD ⊥ 又AC PA A ⋂= 故有CD ⊥面P AC 又E F 分别为PD PC 的中点 即EF CD ∥ ∴EF ⊥面P AC 又EF ⊂面AEF ，则平面PAC ⊥平面AEF ；（2）过E 作EH AD ⊥ 易知H 为AD 中点 若G 是AC 中点 连接EH HG EG∴GH AC ⊥ EH AC ⊥ GH EH H ⋂= 故AC ⊥面EHG 即EGH ∠是二面角E AC D --的平面角∴由图知：二面角E AC B --为EGH π-∠易知EH PA ∥，则EH ⊥面ABCD GH ⊂面ABCD 所以EH GH ⊥在Rt EHG △中EH a = GH =，则2GE a =∴cos 2EGH ∠=，则二面角E AC B --的余弦值为()cos 2EGH π-∠=-.22.（1）设APB θ∠= 由题意知AC CP ⊥ AC = 4km CP = 30yAB ∠=︒ 所以tanCAP ∠==即30CAP ∠=︒ 8km AP = 1803030120PAB ∠=︒-︒-︒=︒ 在BAP △中10km AB =由正弦定理得 ()sin sin sin 60AB AP AP ABP θθ==∠︒- 即()108sin sin 60θθ=︒-化简得13sin θθ= 即tan θ=所以此时在P 处观察全岛所张视角APB ∠. （2）过点B 作BD CP ⊥于点D 设km CP x =由（1）得 当5x >时 点P 在点D 的右侧 ()5km PD x =-，则tan BD BPC PD ∠==当05x <<时 点P 在点D 的左侧 ()5km PD x =-，则tan 5BD BPC PD x ∠=-=-.又tan APC ∠=，则当0x > 且5x ≠时有())24tan tan 5108x BPC APC x x θ+=∠-∠==-+. 当5x =时 点P 与点D 重合tan tan CD CAD AC θ=∠== 满足上式所以)24tan 5108x x x θ+=-+.令4x t +=，则)tan 445410813t t t t t θ===>---++- ⎪⎝⎭因为14424t t +≥=，则0tan θ<≤= 当且仅当1444t t =>即12t = 8x =时取等号 此时tan θ。

广东省湛江市某校2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________(1)求函数()f x 的解析式；(2)在给出的直角坐标系中画出函数()y f x =的图象并写出()f x 的单调区间．21．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为CD 的中点，沿AE 将DAE V 折起到1D AEV 的位置，使平面1D AE ^平面ABCE ．(1)若F 为线段1D A 的中点，求证：//EF 平面1D BC ；(2)求证：1BE D A ^．22．定义在()0,¥+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，(3)1f =，且1x >时，()0f x >．(1)求(1)f ；(2)判断()f x 在()0,¥+上的单调性；(3)若()(8)2f x f x +-£，求x 的取值范围.()()()()2211114244a x b x c a x b x c ax b x éù++++--+-+=+=-ëû，所以44,24a b ==-，故1,2a b ==-，又()03f =得3c =即2()23=-+f x x x ，()22()2312f x x x x =-+=-+，故()f x 单调递增区间为()1,+¥，单调递减区间为(),1-¥（2）由()10f x kx -+=得22310x x kx -+-+=，得2(2)40x k x -++=，Q ()10f x kx -+=有两个不相等的实数根，则2(2)40x k x -++=有两个不相等的实数根则满足2(2)160k D =+->，得2k >或6k <-．19．（1）见解析；（2）见解析.【详解】试题分析：1)证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等； (2)证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.试题解析：(1)PA ∵⊥底面ABCD ，平面ABCD∴CD PA.⊥又矩形ABCD 中，CD AD ⊥，∵AD∩PA ＝A ，平面PAD ，平面PAD ∴CD ⊥平面PAD ，平面PAD CD PD.∴⊥【详解】（1）当0x <时，0x ->，22()()[()2()2f x f x x x x x \=--=---+-=+；又函数()f x 是R 上的奇函数，(0)0f \=()f x \的解析式为：222,0()0,02,0x x x f x x x x x ì-+>ï==íï+<î；（2）函数()f x 的图象如图所示，根据()f x 的图象可知，()f x 的递增区间为[]1,1-，单调递减区间为()()1,,,1¥¥+--，21．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取AB 的中点G ，连接EG 、FG ，利用线线平行可得线面平行，进而可得平面//EFG 平面1D BC ，进而根据面面平行的性质可证//EF 平面1D BC ．（2）由题意根据勾股定理可证BE EA ^，利用面面垂直的性质可证1BE D A ^．【详解】（1）取AB 的中点G ，连接EG 、FG ，则//,EC BG EC BG =,故四边形BCEG 为平行四边形，22．(1)0(2)()=在()y f x+上单调递增0,¥(3)x的取值范围为(]8,90,80,(8)9,x x x x >ìï\->íï-£î解得89x <£，故x 的取值范围为(]8,9.。

2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题1.已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（）A．30，91B．31，91C．30，90D．31，902.已知复数为纯虚数，则实数（）A．1B．2C．3D．43.如图所示，是的中线.是上的一点，且，若，其中，则的值为（）A．B．C．D．4.已知，则（）A．B．C．D．5.已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A．1B．2C．3D．46.已知是不同的直线，是不同的平面，则（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7.已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（）A．B．C．D．8.在锐角中，角的对边分别为，若，则（）A．B．C．D．9.在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则为等腰直角三角形C．，则此三角形有一解D．若，则为钝角三角形10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A．乙发生的概率为B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立D．丙与丁互为对立事件11.如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（）A．B．C．直线与平面所成角的最大值是D．的最小值为12.已知i为虚数单位，复数z满足，则z的模为__________．13.已知向量满足，则与的夹角为______．14.已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是______．15.如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，(1)若为侧棱的中点．求证：平面；(2)若过的平面与交于点，求证：；16.某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．17.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．18.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，且为的中点．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由．19.已知的内角的对边为，且．(1)求；(2)若的面积为；①已知为的中点，求边上中线长的最小值；②求内角的角平分线长的最大值．。

高一下学期第三次阶段考试试题一、选择题1、若三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数b等于( )A.2B.3C.9D.-92、已知四点,则下面四个结论题①;②;③;④,其中正确结论的序号为( )A.①③B.①④C.②③D.②④3、若经过原点的直线与直线的夹角为,则直线的倾斜角是( )A. B. C.或 D.或4、直线经过(∈)两点,那么直线的斜率的取值范围是( )A. B. C. D.5、下列命题中,错误的是( )A.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交B.平行于同一平面的两个不同平面平行C.若直线不平行平面,则在平面内不存在与平行的直线D.如果平面不垂直平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面6、设为不重合的平面,为不重合的直线,则下列命题正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则7、将边长为4的正方形ABCD 沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,若点A、B、C、D都在一个以为球心的球面上,则球的体积与面积分别是( )A. B. C. D.8、某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )A. B. C. D.9、在中,,,,若使绕直线旋转一周,则所形成的几何体的体积是( )A. B. C. D.10、设A、B、C、D是空间四个不同的点,在下列结论中,不正确的是( )A.若AC与BD共面,则AD与BC共面B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BCD.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC11、一棱锥的各棱都相等,则这棱锥必不是( )A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥12、如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是,那么圆柱的体积等于( )A. B. C. D.13、设三棱柱侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都在一个球面上,则该球的表面积( )A. B. C. D.14、如图,若是长方体,被平面截去几何体后得到的几何体,其中为线段上异于的点,为线段上异于的点,且,则下列结论中正确的个数是( )①②四边形是矩形③是棱柱④是棱台A 1B 2C 3D 4二、填空题15、直线的倾斜角为,且,则它的斜率的取值范围为.16、与是两个全等的正方形 , 且两个正方形所在平面互相垂直 , 则与所成角的大小为.17、某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是.18、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，11A B 中点为P ，过点1A 作与截面1PBC 平行的截面，则该截面的面积为 。

高一上学期数学第三次月考试卷一、单选题1. 已知集合，，，则（）A .B .C .D .2. 函数在上单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）A .B .C .D .3. 已知α是第四象限角tanα=- ，则cosα=（）A .B . -C .D . -4. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）A .B .C .D .5. 方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（）A .B .C .D .6. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的都有则称和在上是“和谐函数”，区间为“和谐区间”，设在区间上是“和谐函数”，则它的“和谐区间”可以是（）A .B .C .D .7. ，，则（）A .B .C .D .8. 函数的图像可能是（）．A .B .C .D .9. 若，则tanα=（）A .B .C .D .10. 已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则（）A .B .C .D .11. 已知函数是定义在上偶函数，且在内是减函数，若，则满足的实数的取值范围为（）A .B .C .D .12. 设偶函数的定义域为，且，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是（）A .B .C .D .二、填空题13. 已知α是第二象限的角,tanα=- ，则cosα=________14. 函数，若有，则的范围是________.15. 若，则________．16. 若函数与函数的图象有且只有一个公共点，则的取值范围是________．三、解答题17. 已知角的终边上一点，且（1）求的值；（2）求出和 .18. 已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立.（1）函数是否属于集合？说明理由；（2）设函数属于集合，求实数的取值范围.19. 已知（1）化简；（2）若为第四象限角，且求的值.20. 已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．21. 若函数是定义在上的奇函数，是定义在上恒不为0的偶函数.记 .（1）判断函数的奇偶性；（2）若，试求函数的值域.22. 已知函数，且，的定义域为[－1，1].（1）求的值及函数的解析式；（2）试判断函数的单调性；（3）若方程＝有解，求实数的取值范围.。

2023-2024学年高一下学期3月检测数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若,sin 4a A B π===，则b =（）A.233B.C.D.2.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若,,3BC a BA b BE EF === ，则BF = （）A.1292525a b +B.16122525a b +C.4355a b + D.3455a b + 3.函数()3tan 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为（）A.3⎣B.3⎣C.D.9⎣4.已知角θ的终边经过点()239,log 2aP a --，若cos 0θ>，且sin 0θ<，则实数a 的取值范围是（）A.()1,3 B.()2,4 C.()3,4 D.()4,65.()23log log 81a =，134b -=，1218c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.b a c<< B.a b c << C.c<a<bD.a c b <<6.已知()2sin 3sin 2ππαα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则221sin sin 2cos 2ααα--=（）A.513B.113-C.513-D.1137.设21,e e是两个单位向量，且123e e -= ，那么它们的夹角等于（）A.π6B.π3C.2π3D.5π68.已知点P 是ABC 所在平面内的动点，且满足AB AC OP OA AB ACλ⎛⎫⎪=++⎪ ⎪⎝⎭(0)λ>，射线AP 与边BC 交于点D ，若23BAC π∠=，||1AD = ，则||BC 的最小值为（）A.B.2C.D.二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9.函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.)3π(2y f x =+是奇函数C.π(cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D.若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,66t ∈10.设点M 是ABC 所在平面内一点，下列说法正确的是（）A.若AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为等边三角形B.若1122AM AB AC =+，则点M 是边BC 的中点C.过M 任作一条直线，再分别过顶点A ，B ，C 作l 的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC 的垂心D.若2AM AB AC =-，则点M 在边BC 的延长线上11.设函数e (21)()x x f x x+=，则（）A.函数()f x 的单调递减区间为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．B.曲线()y f x =在点()1,3e 处的切线方程为e(21)y x =+．C.函数()f x 既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值．D.若方程()f x k =有两个不等实根，则实数k 的取值范围为10,)e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.）12.如图所示，点A 是等边BCD △外一点，且2π3BAD ∠=，2AD =，BD =，则ABC 的周长为__________．13.在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足cos cos sin A B C a b c +=，则sin sin sin CA B=_______．14.已知函数22,21()ln 1,1ex x f x x x +-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解()1212,x x x x <，则()()212x x f x -的取值范围是______.四．解答题（共5小题，共77分）15.已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 4cos 0sin sin B AC A B+-=．（1）证明：2222a b c +=；（2）若2sin cos sin sin BB A C=，求cos A 的值．16.已知函数2()2cos sin(),32f x x x x x R π=+-+∈.（1）当[0,]x π∈时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位后，所得图象对应的函数为()h x .若关于x 的方程22()()10[]h x mh x ++=在区间[0,2π上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围.17.已知向量(cos ,sin )a b αα==，设()R m a tb t =+∈ .（1）3πα=，求当||m 取最小值时实数t 的值；（2）若a b ⊥ ，问：是否存在实数t ，使得向量a b - 与向量m 的夹角为4π？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由.18.ABC 为直角三角形，斜边BC 上一点D ，满足=AB .（1）若30BAD ∠=︒，求C ∠；（2）若12BD CD =，2AD =，求BC .19.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin c A A a b +=+.（1）求角C 的大小；（2）若c =，角A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围.2023-2024学年高一下学期3月检测数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若,sin 4a A B π===，则b =（）A.233B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】直接利用正弦定理计算可得；【详解】解：因为,sin 43a A B π===，由正弦定理sin sin a b A B =，2323=，解得3b =.故选：A2.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若,,3BC a BA b BE EF === ，则BF =（）A.1292525a b +B.16122525a b +C.4355a b + D.3455a b + 【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.【详解】因为3BE EF = ,所以34BE BF = ,34CF AH AE =-=-,所以34BF a CF a AE =+=- ...①,34BE BF b AE ==+...②，由①+34⨯②得：253164BF a b =+，即16122525a b BF =+ .故选：B3.函数()3tan 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为（）A.3,333⎣B.333⎣C.3,33D.339⎣【答案】C 【解析】【分析】先求出π26x +的范围，再由正切函数的性质求出πtan(2)6x +范围，再乘以3即可.【详解】ππππππ0,,2,,tan 2,3tan 212663636x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈∴+∈∴+∈∴+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣ 故选：C.4.已知角θ的终边经过点()239,log 2aP a --，若cos 0θ>，且sin 0θ<，则实数a 的取值范围是（）A.()1,3B.()2,4 C.()3,4 D.()4,6【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数定义得到不等式，求出答案.【详解】由三角函数定义可得P 在第四象限，2390log 20a a ⎧->⎨-<⎩，解得24a <<，故a 的取值范围是()2,4.故选：B5.()23log log 81a =，134b -=，1218c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.b a c << B.a b c<< C.c<a<bD.a c b<<【答案】A 【解析】【分析】利用对数运算求得a ，利用指数的性质与运算比较,b c ，从而得解.【详解】因为()()423232log log 81log log 3log 42a ====，1112321441,828b c --⎛⎫=<=== =⎪⎝⎭，所以b a c <<．故选：A ．6.已知()2sin 3sin 2ππαα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则221sin sin 2cos 2ααα--=（）A.513B.113-C.513-D.113【答案】B【解析】【分析】运用诱导公式及齐次化即可或解.【详解】由2sin()3sin()2ππαα-=+，得2sin 3cos αα=，所以3tan 2α=，从而222222221sin sin cos cos tan tan 11sin sin 2cos 2sin cos tan 113αααααααααααα------===-++故选：B7.设21,e e是两个单位向量，且123e e -= ，那么它们的夹角等于（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】由向量的模的平方结合单位向量的定义可得12121cos ,2e e e e ⋅==- ，由此即可得解.【详解】由题意21,e e是两个单位向量，且123e e -= ，所以1291316e e ⋅+=- ，解得12121cos ,2e e e e ⋅==- ，由[]12,0,πe e ∈ ，所以122π,3e e = .故选：C.8.已知点P 是ABC 所在平面内的动点，且满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++⎪ ⎪⎝⎭(0)λ>，射线AP 与边BC 交于点D ，若23BAC π∠=，||1AD = ，则||BC 的最小值为（）A.B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】由已知得AB AC AP AB ACλ⎛⎫⎪=+⎪ ⎪⎝⎭，所以点P 在BAC ∠的平分线上，即AD 为BAC ∠的角平分线，利用正弦定理得32sin BD B =，32sin CD C=，可知3112sin sin BC B C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质可求最小值.【详解】AB AB 表示与AB 共线的单位向量，AC AC 表示与AC 共线的单位向量，AB AC AB AC ∴+uu u r uuu r uu u r uuu r 的分向与BAC ∠的平分线一致，AB ACOP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uu r Q uu u r uuu r ，AB AC OP OA AP ABACλ⎛⎫⎪∴-==+ ⎪ ⎪⎝⎭uu u ruuu r uu u r uu r uu u r uu u r uuu r 所以点P 在BAC ∠的平分线上，即AD 为BAC ∠的角平分线，在ABD △中，3BAD π∠=，||1AD =，利用正弦定理知：2sin sin 3sin AD BD B Bπ=⨯=同理，在ACD 中，2sin sin 3sin AD CD C Cπ=⨯=1122sin sin 2sin sin BC BD CD B C B C ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中3B C π+=分析可知当6B C π==时，BC取得最小值，即min 122sin 6BC π=⨯⨯=故选：C二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9.函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.)3π(2y f x =+是奇函数C.π(cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D.若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,66t ∈【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(26f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<，解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确；π(22sin(2)2co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ()cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin(cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[(2sin(cos ()626233g x x x x x x x g x -=--=-+=+=，π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,66t ∈，D 正确.故选：ACD10.设点M 是ABC 所在平面内一点，下列说法正确的是（）A.若AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为等边三角形B.若1122AM AB AC =+，则点M 是边BC 的中点C.过M 任作一条直线，再分别过顶点A ，B ，C 作l 的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC 的垂心D.若2AM AB AC =-，则点M 在边BC 的延长线上【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.【详解】对于选线A ，如图作BC 的中点D ，连接AD ，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v，得()()20BC AB CA BC AB AC BC AD ⋅-=⋅+=⋅= ，即BC AD ⊥，结合三角形性质易知，AB AC =，同理AB BC =，BC AC =，故ABC 的形状为等边三角形，故A 正确；对于选项B ，由1122AM AB AC =+ ，得11112222-=-AM AB AC AM ，即BM MC = ，因此点M 是边BC 的中点，故B 正确；对于选项C ，如图当l 过点A 时，0AD =，由0AD BE CF ++=，得0BE CF += ，则直线AM 经过BC 的中点，同理直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点，因此点M 是ABC 的重心，故C 错误；对于选项D ，由2AN AB AC =- ，得AN AB AB AC -=- ，即BN CB =，因此点M 在边CB 的延长线上，故D 错.故选：AB.11.设函数e (21)()x x f x x+=，则（）A.函数()f x 的单调递减区间为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．B.曲线()y f x =在点()1,3e 处的切线方程为e(21)y x =+．C.函数()f x 既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值．D.若方程()f x k =有两个不等实根，则实数k的取值范围为10,)e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】BCD 【解析】【分析】根据导数的运算法则及初等函数的导数公式，利用导数值的定义及求过点处的切线方程的步骤，结合导数法求函数的极值的步骤及将方程()f x k =有两个不等实根转化为y k =与()f x 有两个交点，再利用数形结合即可求解.【详解】对A ：由题意可知()f x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，()()22e 21e 21e ()(21)(1)x x x x x x x f x x x x x '⎡⎤⎡⎤+-+⎣⎦⎣⎦=-'+'=，令()0f x '=，即2e(21)(1)0xx x x-+=，解得=1x -或12x =，当()1,1,2x ∞∞⎛⎫∈--⋃+⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()11,00,2x ⎛⎫∈-⋃ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在(),1∞--和1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,0-和10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故A 错误；对B ：切线斜率(1)2e k f '==，曲线()y f x =在点()1,3e 处的切线方程为3e 2e(1)y x -=-，即e(21)y x =+，故B 正确；对C ：当=1x -时，()f x 取得极大值为()()()1e 211111ef -⎡⎤⨯-+⎣⎦-==-，当12x =时，()f x取得极小值为121e 2112122f ⎛⎫⨯+ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭，因为1e<C 正确；对D ：由上分析可作出()f x 的图象如图所示要使方程()f x k =有两个不等实根，只需要y k =与()f x 有两个交点，由图可知，()10,e k ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭，所以实数k 的取值范围为()10,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用求过点处的切线方程的方法及零点的存在性定理判断方程的根，再利用导数法求函数的极值及作出函数的大致图象，将方程()f x k =有两个不等实根转化为y k =与()f x 有两个交点即可.三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.）12.如图所示，点A 是等边BCD △外一点，且2π3BAD ∠=，2AD =，BD =，则ABC 的周长为__________．【答案】6+##6+【解析】【分析】在ABD △中，由余弦定理求得AB ，然后结合等腰三角形、直角三角形求得结论．【详解】在ABD △中，由余弦定理可知2222π2cos3BD AB AD AB AD =+-⋅，整理可得2280AB AB +-=，解得2AB =，所以π6ABD ∠=，又BCD △是等边三角形，所以π2ABC ∠=，BC =，由勾股定理可得，4AC =，所以ABC 的周长为6+．故答案为：6+.13.在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足cos cos sin A B C a b c +=，则sin sin sin CA B=_______．【答案】1【解析】【分析】解法1，先用正弦定理边角互化，再用和差和诱导公式求解即可；解法2：先用射影定理化简，用正弦定理边角互化即可求解.【详解】解法1：cos cos sin cos cos sin 1sin sin sin A B C A B Ca b c A B C+=⇒+==，而()()sin sin cos cos cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B C A B A B B A CA B A B A B A B A B π+-++====，∴sin 1sin sin CA B=．解法2：由射影定理，cos cos cos cos A B b A a B ca b ab ab++==，又由题意，cos cos sin A B C a b c +=，∴sin c C ab c =，故2sin c C ab =，∴2sin sin sin sin CC A B=，∵0C π<<，∴sin 0C >，故sin 1sin sin CA B=．故答案为：114.已知函数22,21()ln 1,1e x x f x x x +-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解()1212,x x x x <，则()()212x x f x -的取值范围是______.【答案】5,02⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】利用()f x 的单调性以及已知条件得到(]1122,e ,1,02m m x x m +-==∈-，代入()()212x x f x -，令(]121()e,1,02x g x x x x x +=-+∈-，利用导数的求得()g x 的值域，从而得解.【详解】因为22,21()ln 1,1e x x f x x x +-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，所以()22f x x =+在[]2,1-上单调递增，值域为[]2,4-，()ln 1f x x =-在(]1,e 上也单调递增，值域为(]1,0-，又()f x m =的两根为()1212,x x x x <，所以(]1122,e ,1,02m m x x m +-==∈-，从而()()2112122e e 22m m m m x x f x m m m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭，令(]121()e,1,02x g x x x x x +=-+∈-，则1()(1)e 1x g x x x +'=+-+，(]1,0x ∈-．因为(1,0]x ∈-，所以1010,e e 1,10x x x ++>>=-+>，所以()0g x '>在(1,0]-上恒成立，从而()g x 在(1,0]-上单调递增．又5(0)0,(1)2g g =-=-，所以5(),02g x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，即()()212x x f x -的取值范围是5,02⎛⎤-⎥⎝⎦，故答案为：5,02⎛⎤-⎥⎝⎦．【点睛】关键点睛：本题解决的关键是构造函数(]121()e ,1,02x g x x x x x +=-+∈-，利用导数求取值范围求得()g x 的值域，由此得解.四．解答题（共5小题，共77分）15.已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 4cos 0sin sin B AC A B+-=．（1）证明：2222a b c +=；（2）若2sin cos sin sin BB A C=，求cos A 的值．【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）（2）由正余弦定理边角互化，结合余弦定理化简计算求解.【小问1详解】证明：由正弦定理及条件可得4cos 0b aC a b+-=，由余弦定理可得22222402b a a b c ab ab++--⋅=，化简得2222a b c +=．【小问2详解】由2sin cos sin sin B B A C =得22222a c b b ac ac+-=，化简得2223a c b +=，又2222a b c +=，故2b c =，所以2a c =，故222cos 2bc a A bc +-==．16.已知函数2()2cos sin(),32f x x x x x R π=+-+∈.（1）当[0,]x π∈时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位后，所得图象对应的函数为()h x .若关于x 的方程22()()10[]h x mh x ++=在区间[0,2π上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围.【答案】(1)5[0,]12π和11[,]12ππ；(2)3m <-或m =-【解析】【详解】分析：（1）整理函数的解析式可得()23f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质可知单调递增区间为()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又[]0,x π∈，故()f x 的单调递增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由题意可知()2h x sin x =，由函数的定义域可知()2h x sin x =的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令()t h x =，则[]0,1t ∈，原问题等价于2210t mt ++=在[)0,1t ∈上仅有一个实根.据此讨论可得3m <-或m =-详解：（1）∵()212222f x cosx sinx cosx x ⎛⎫=⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭22sinxcosx x=-+12222sin x cos x=-23sin xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()222232k x k k Zπππππ-+≤-≤+∈，得()51212k x k k Zππππ-+≤≤+∈，又因为[]0,xπ∈，所以()f x的单调递增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）将()f x的图象向左平移6π个单位后，得()2h x sin x=，又因为0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]20,xπ∈，()2h x sin x=的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令()t h x=，则[]0,1t∈，依题意得2210t mt++=在[)0,1t∈上仅有一个实根.令()221H t t mt=++，因为()010H=>，则需()1210H m=++<或280014mm⎧∆=-=⎪⎨<-<⎪⎩，解得3m<-或m=-点睛：本题主要考查三角函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.已知向量(cos,sin)a bαα==，设()Rm a tb t=+∈.（1）3πα=，求当||m取最小值时实数t的值；（2）若a b⊥，问：是否存在实数t，使得向量a b-与向量m的夹角为4π？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =-时min ||0m =（2）6t =-或23t =【解析】【分析】（1）首先求出b ，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到m ，最后求出m的模；（2）根据数量积的运算律求出||a b - ，||a tb +，()()a b a tb -⋅+ ，再根据()()cos 4a b a tb a b a tbπ-⋅+=-+得到方程，解得即可；【小问1详解】解：当3πα=时，1cos ,sin =2323b ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，所以(((1=+,122222t t m a tb t ⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以||22m t ==+ ，所以当2t =-时min ||0m = 【小问2详解】解：依题意()()cos 4a b a tb a b a tbπ-⋅+=-+ ，若a b ⊥ ，则0a b ⋅= ，又a = ，(cos ,sin )b αα= ，所以2a ==，1b == 又因为2222241522a b a a b b a a b b -=⋅+==--⋅++= ，22222222242a tb a a b t b a a b t b t t t +=⋅+=⋅+=+++所以||a b-=，||a tb += ，()()22224a b a tb a ta b a b tb a t b t -⋅+=+⋅-⋅-=-=- ，=，且4t <，整理得2316120t t +-=，解得6t =-或23t =，所以存在6t =-或23t =满足条件．18.ABC 为直角三角形，斜边BC 上一点D ，满足=AB .（1）若30BAD ∠=︒，求C ∠；（2）若12BD CD =，2AD =，求BC .【答案】（1）60C ∠=︒（2）BC =【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及ADB ∠的范围，得出ADB ∠的值，再借助ADB C DAC ∠=∠+∠即可得解；（2）设12BD CD a ==，根据已知条件和勾股定理求出AC =，进而得到cos C ∠的值，再利用余弦定理即可得解.【详解】（1）由正弦定理：sin 30sin BD ABADB=︒∠，得sin 303sin 2AB ADB BD ⋅︒∠==， 60180ADB ︒<∠<︒，∴120ADB ∠=︒，∴120C DAC ∠+∠=︒，60DAC∠=︒，∴60C ∠=︒.（2）设12BD CD a ==，=AB ，∴AB =，∴AC =，从而6cos 3AC C BC ∠==，由余弦定理222cos2AC DC AD C AC DC +-∠=⋅，即223=，解得a =BC =.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在平面几何中的综合应用，属于中档题.平面几何中解三角形问题的求解思路：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.19.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin c A A a b +=+.（1）求角C 的大小；（2）若c =，角A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围.【答案】（1）π3C =；（2）(3.【解析】【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据C 的范围进而即得C 的大小；（2）设DAB α∠=,利用正弦定理,三角形面积公式及三角恒等变换可得26ABD S πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭然后利用三角函数的性质即得.【小问1详解】根据正弦定理有sin cos sin sin sin C A C A A B +=+即()sin cos sin sin sin C A C A A A C =++sin sin sin cos C A A A C =+,π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，sin 0A ∴≠，1cos C C =+，π2sin 16C ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，π1sin 62C ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,0,,,2663C C ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,∴ππ66C -=，π3C ∴=.【小问2详解】由题意可知2π3ADB ∠=,设π,3DAB ABD αα∠=∴∠=-,π022α<<,又ππ20,,,32124B πππαα⎛⎫⎛⎫=--∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在ABD △中,由正弦定理可得:sin sin AB AD ADB ABD=∠∠.即:4sin 23sin sin 33AD AD παππα⎛⎫=∴=- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，，11sin 4sin sin 223ABD S AB AD πααα⎛⎫∴=⋅⋅=⨯- ⎪⎝⎭26sin cos 26παααα⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，2,,2,124633πππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,sin 262πα⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，(236πα⎛⎫∴+-- ⎪⎝⎭所以三角形面积的取值范围为(3-.。

2023年高一数学第三次月考试卷题号一二三总分得分一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.在△ABC中，b=35，c=20，C=30°，则此三角形解的情况是（）A.两解B.一解C.一解或两解D.无解2.边长为1，，的三角形，它的最大角与最小角的和是（）A.60°B.120°C.135°D.150°3.在△ABC中，A=45°，B=60°，a=，则b=（）A. B.2 C. D.24.已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若c=2bcos A，则此三角形必是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形5.如图，有一建筑物OP，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40m的基线AB，若在点A处测得P点的仰角为30°，在B点处的仰角为45°，且∠AOB=30°，则建筑物的高度为（）A.20mB.20mC.20mD.40m6.已知△ABC是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且△ABC的面积为，则AB=（）A. B. C. D.37.设数列S n是等差数列{a n}的前n项和，若a3=5，a8=11，则S10=（）A.90B.80C.100D.1208.设等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足a6=8a3，则=（）A.4B.5C.8D.99.已知等比数列{a n}的公比q=2，则的值为（）A. B. C. D.110.在等比数列{a n}中，a n＞0，且a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5=（）A.5B.10C.15D.2011.已知数列{a n}，满足a n+1=，若a1=，则a2016=（）A.-1B.2C.D.112.已知数列{a n}中，a1=1，且=+3（n∈N*），则a10=（）A.28B.C.D.33二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则a=______．14.若△ABC中，a+b=4，∠C=30°，则△ABC面积的最大值是______．15.等比数列{a n}满足：a1+a6=11，a3a4=，则a1=______．16.数列{a n}的通项公式，其前n项和，则n= ______．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.在△ABC中，若，且a＞b，（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．18.在△ABC中，已知AB=3，BC=4，AC=．（1）求角B的大小；（2）若D是BC的中点，求中线AD的长．19.已知数列{a n}是等差数列，其前n项和公式为S n，a3=6，S3=12（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和．20.等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．21.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1-a n=2，等比数列{b n}满足b1=a1，b4=8．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．22.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且公比q＞1，a1=1，S4=5S2．（1）求a n；（2）设b n=2na n，求数列{b n}的前n项和T n．高一数学月考试卷答案和解析【答案】1.A2.C3.C4.B5.D6.B7.B8.D9.A10.A11.A12.B13.214.115.16.3017.解：（1）由，可得：sin A cos C+sin C cos A=，⇔sin（A+C）=⇔sin B=．∵a＞b，∴B=．（2），∴（a+c）2=16，即a2+c2+2ac=16由cos B==，可得：，∴ac（2+）=3，ac=3（2-）∴==．18.解：（1）△ABC中，AB=3，BC=4，AC=，由余弦定理得，cos B===，又B∈（0，π），∴B=；（2）如图所示，D 是BC 的中点，∴BD=BC=2，∴AD 2=AB 2+BD 2-2AB•BD•cos B =32+22-2×3×2×cos=7，∴AD=，即中线AD 的长为．19.解：（Ⅰ）由题意可知：设等差数列{a n }的公差是d ，由等差数列的性质可知：S 3=3a 2=12，解得：a 2=4，由d =a 3-a 2=6-4=2，则a 1=a 2-d =2，∴数列{a n }的通项公式为a n =a 1+（n -1）d =2n ；（Ⅱ）由（1）可知：a n =2n ，∴由等差数列的前n 项和公式可知：S n ===n （n +1），数列{a n }的前n 项和S n =n （n +1）．20.解：（1）∵等比数列{a n }中，已知a 1=2，a 4=16，∴2q 3=16，解得q =2，∴．（2）∵a 3，a 5分别是等差数列{b n }的第4项和第16项，∴，，∴，解得b 1=2，d =2，∴b n =2+（n -1）×2=2n ．S n ==n 2+n ．21.解：（1）由题意可知：a n +1-a n =2，∴数列{a n }是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴数列{a n }的通项公式a n =2n -1，由等比数列{b n }，b 4=b 1•q 3，∴q 3=8，q =2，∴数列{b n }的通项公式b n =2n -1；（2）c n =a n +b n =2n -1+2n -1，数列{c n }的前n 项和S n =+，=2n +n 2-1，数列{c n }的前n 项和S n =2n +n 2-1．22.解：（1）由S 4=5S 2，得=5•，即（1-q 2）（1+q 2）=5（1-q 2），因为q ＞1，所以1-q 2≠0，从而1+q2=5，从而q=2，于是a n=a1q n-1=2n-1；（2）由（1）可知b n=2na n=n•2n，所以T n=1•2+2•22+…+n•2n①则2T n=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1②①-②，得-T n=2+22+23+…+2n-n•2n+1=-n•2n+1=（1-n）•2n+1-2，所以T n=2+（n-1）•2n+1．【解析】1.解：由题意知，b=35，c=20，C=30°，则a边上的高h=bsin C==，如右图所示：因＜c=20＜b，所以此三角形有两解，故选A．由题意求出a边上的高h，画出图象后，结合条件判断出此三角形解的情况．本题考查了三角形解的情况，以及数形结合思想．2.解：由题意可得，边长为的边对的角不是最大角、也不是最小角，设此角为θ，则由余弦定理可得cosθ==，∴θ=45°，故三角形的最大角与最小角的和是180°-45°=135°，故选：C．由题意可得，边长为的边对的角不是最大角、也不是最小角，设此角为θ，则由余弦定理可得cosθ的值，即可求出θ的大小，则180°-θ即为所求．本题考查余弦定理的运用与计算，考查学生的灵活转化的能力，属于基础题．3.解：∵，A=45°，B=60°，a=，∴由正弦定理可得：b===．故选：C．由已知利用正弦定理即可计算得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4.解：∵c=2bcos A由正弦定理，可得：sin C=2sin B cos A，即sin（A+B）=2sin B cos A，sin A cos B+cos A sin B=2si n B cos A，∴sin A cos B-sin B cos A=0即sin（A-B）=0，∵A、B是△ABC的三内角，∴A=B．故△ABC 的是等腰三角形．故选：B．利用正弦定理和三角形内角和定理化简即可判断．本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．5.解：设旗杆的高度为hm ．依题意，可得PO⊥OA，PO⊥OB，∴OB=OP=h （m ），OA=h （m ）由余弦定理，可得AB 2=OA 2+OB 2-2OA•OB cos ∠AOB即1600=3h 2+h 2-3h 2，解得h =40（m ）∴旗杆的高度为40m ．故选D．设旗杆的高度为hm ．依题意，可得PO⊥OA，PO⊥OB，由题意可得，OB=OP=h （m ），OA=h ，结合余弦定理，可得AB 2=OA 2+OB 2-2OA•OB cos ∠AOB 可求h ．本题主要考查了三角函数及余弦定理在解实际问题中的三角形中的应用，解题的关键是要把实际问题转化为数学中的三角形问题，属于解三角形在实际中的应用．6.解：由题意得，钝角三角形ABC，若AC=1，BC=2，且△ABC 的面积为，则×sin C=，解得sin C=，由0＜C＜π得，C=或，当C=时，由余弦定理得：AB 2=AC 2+BC 2-2AC•BC•cos C=1+4-2×1×=3，AB=，则A 是最大角，cos A=0，则A 是直角，这与三角形是钝角三角形矛盾，所以C=，则AB 2=AC 2+BC 2-2AC•BC•cos C=1+4+2×1×=7，则AB=，故选：B．根据题意和三角形的面积公式求出sin C 的值，由内角的范围、特殊角的正弦值求出角C，再分别利用余弦定理求出AB 的值，并利用余弦定理验证是否符合条件．本题考查余弦定理及其变形，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，注意内角的范围，考查化简、计算能力．7.解：∵a 3=5，a 8=11，∴a 3+a 8=a 1+a 10=5+11=16，则S 10===80，故选：B．根据等差数列前n 项和公式，以及等差数列的性质进行求解即可．本题主要考查等差数列前n 项和的计算，利用等差数列的性质进行转化是解决本题的关键．8.解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6=8a 3，∴=q 3=8，解得q =2，∴==1+q 3=9．故选：D．由a 6=8a 3，利用等比数列项公式q =2，由此能求出．本题考查等差数列的前6项和与前3项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9.解：∵等比数列{a n }的公比q =2，∴==，故选：A．利用等比数列{a n }的公比q =2，可得==，即可得出结论．本题考查等比数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．10.解：∵{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，∴a 32+2a 3a 5+a 52=25，∴（a 3+a 5）2=25，∵a n ＞0，∴a 3+a 5=5．故选：A．由{a n }是等比数列，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，利用等比数列的通项公式知a 32+2a 3a 5+a 52=25，再由完全平方和公式知（a 3+a 5）2=25，再由a n ＞0，能求出a 3+a 5的值．本题主要考查等比数列的定义和性质，由条件得到（a 3+a 5）2=25，是解题的关键，属于中档题．11.解：∵a n +1=，a 1=，∴a 2==2，同理可得：a 3=-1，a 4=，…，∴a n +3=a n ．则a 2016=a 3×671+3=a 3=-1．故选：A．利用a n +1=，a 1=，可得：a n +3=a n ．即可得出．本题考查了递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.解：由=+3，得-=3，∴数列{}是等差数列，且首项为1，公差为3，∴，则．∴．故选：B．由数列递推式可得数列{}是等差数列，求出其通项公式后得到a n ，则a 10可求．本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，是基础题．13.解：∵=bcs in A=，∴解得：c =2，∴由余弦定理可得：a ===2．故答案为：2．由已知利用三角形面积公式可求c ，进而利用余弦定理可求a 的值．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.解：在△ABC 中，∵C=30°，a +b =4，∴△ABC 的面积S=ab •sin C=ab •sin 30°=ab ≤×（）2=×4=1，当且仅当a =b =2时取等号，故答案为：1．由条件可得△ABC 的面积S=ab •sin C，再利用正弦函数的值域、基本不等式求得S 的最大值．本题主要考查三角形的面积，基本不等式的应用，属于基础题．15.解：∵等比数列{a n }满足：a 1+a 6=11，a 3a 4=，∴a 1a 6=a 3a 4=，∴a 1，a 6是方程的两个根，解方程，得：或．∴a 1的值为；故答案为：．由已知得a 1，a 6是方程的两个根，由此能求出a 1的值．本题考查等比数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．16.解：∵，∴∴S n =a 1+a 2+…+a n =++…+=∵，∴∴n =30故答案为：30将通项化简，再利用叠加法，即可求得结论．本题考查数列的求和，考查叠加法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．17.（1）利用正弦定理公式化简，即可求角B 的大小；（2）运用三角形的内角和定理可得角A，再由正弦定理，计算即可得到c ．本题考查三角形的正余弦定理的运用和计算能力以及三角形的面积的计算．属于基础题．18.（1）由余弦定理求出cos B 以及B 的值；（2）利用中点的定义和余弦定理，即可求出中线AD 的长．本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题目．19.（Ⅰ）由题意可知：S 3=3a 2=12，a 2=4，由d =a 3-a 2=6-4=2，a 1=a 2-d =2，根据等差数列通项公式可知：a n =a 1+（n -1）d =2n ；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：根据等差数列前n 项和公式S n ==n （n +1），即可求得数列{a n }的前n 项和．本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，等差数列前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题．20.（1）利用等比数列通项公式能求出首项和公差，由此能求出数列{a n }的通项公式a n ．（2）由等比数列通项公式求出等差数列{b n }的第4项和第16项，再由等差数列通项公式求出首项与公差，由此能求出数列{b n }的通项公式及前n 项和S n ．本题考查数列的通项公式及前n 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．21.（1）由a n +1-a n =2，数列{a n }是以1为首项，以2为公差的等差数列，由等比数列中公比为q ，b 4=b 1•q 3，求得q ，根据等差和等比数列通项公式即可求得数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）由c n =a n +b n =2n -1+2n -1，由等差数列和等比数列前n 项和公式，采用分组求和的方法即可求得数列{c n }的前n 项和S n ．本题考查等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式，考查数列的分组求和，考查计算能力，属于基础题．22.（1）利用等比数列的求和公式及S 4=5S 2化简可知（1-q 2）（1+q 2）=5（1-q 2），进而可知公比q =2，计算即得结论；（2）通过（1）可知b n =n •2n ，进而利用错位相减法计算即得结论．本题考查数列的通项及前n 项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。